DEKOMPOSISI GRAF KOMPLIT

Transkripsi

1 DEKOMPOSISI GRA KOMPLIT SKRIPSI Oleh: RINA MUNAWARA NIM: 0006 JURUSAN MATEMATIKA AKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 009

2 DEKOMPOSISI GRA KOMPLIT SKRIPSI Dajukan Kepada: Unverstas Islam Neger Malang Untuk Memenuh Salah Satu Persyaratan Dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sans (S.S) Oleh: RINA MUNAWARA NIM 0006 JURUSAN MATEMATIKA AKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI (UIN) MALANG MALANG 009

3 DEKOMPOSISI GRA KOMPLIT SKRIPSI Oleh: RINA MUNAWARA NIM 0006 Telah Dsetuju untuk Duj Malang 7 Januar 009 Pembmbng I Pembmbng II Wahyu enky Irawan M.Pd NIP: 0 00 Achmad Nashchuddn MA NIP. 0 0 Mengetahu Ketua Jurusan Matematka Sr arn M.S NIP. 0 8

4 v DEKOMPOSISI GRA KOMPLIT SKRIPSI Oleh: RINA MUNAWARA NIM 0006 Telah Dpertahankan d Depan Dewan Penguj Skrps dan Dnyatakan Dterma sebaga Salah Satu Persyaratan untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sans (S.S) Tanggal: 9 Januar 009 Susunan Dewan Penguj: Tanda Tangan. Penguj Utama : Abdussakr M.Pd ( ) NIP: Ketua : Evawat Alsah M.Pd ( ) NIP: Sekretars : Wahyu. Irawan M.Pd ( ) NIP: Anggota : Ach. Nashchuddn M.A ( ) NIP: 0 0 Mengetahu dan Mengesahkan Ketua Jurusan Matematka Sr arn M.S NIP: 0 8 v

5 v SURAT PERNYATAAN Yang bertanda tangan d bawah n: Nama : Rna Munawarah NIM : 0006 akultas : SAINTEK Jurusan : Matematka Judul Skrps : Dekomposs Graf Komplt Menyatakan bahwa skrps tersebut adalah karya saya sendr dan bukan karya orang lan bak sebagan maupun keseluruhan kecual dalam bentuk kutpan yang telah dsebutkan sumbernya. Demkan surat pernyataan n saya buat dengan sebenar-benarnya dan apabla pernyataan n tdak benar saya berseda mendapatkan sanks akadems. Malang 7 Januar 009 Yang menyatakan Rna Munawarah NIM 0006 v

6 v MOTTO Kepuasan terletak pada usaha bukan pada hasl. Dan berusaha dengan keras adalah kemenangan yang hakk. (Mahatma Gandh) Tuhan tdak selalu mengabulkan apa yang kta ngnkan tetap Tuhan selalu memberkan apa yang kta butuhkan. (penuls) v

7 v PERSEMBAAN Alhamdulllah Robbl alamn Segala Puj Bag Allah SWT Seru Sekalan Alam Terma Kash Atas Rahmat Taufk dan dayah-nya yang Telah Dberkan Kepada Penuls Penuls Persembahkan Skrps n Sebaga Cnta Kash dan Bakt Penuls Kepada Orang-orang yang Penuls Cnta dan Sayang Selamanya Bapak dan Ibu Tercnta Serta adk-adk Tersayang v

8 KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah SWT Yang Maha Pengash lag Maha Penyayang dan dengan untaan rasa syukur atas lmpahan taufq dan hdayahnya sehngga penuls dapat menyelesakan penulsan skrps yang berjudul Dekomposs Graf Komplt dapat dselesakan. Sholawat serta salam semoga senantasa terlmpahkan kepada Nabyullah Muhammad SAW yang telah menunjukkan jalan yang drdho oleh Allah SWT dan semoga syafaatnya selalu tercurah pada kta semua. Selanjutnya penuls menghaturkan ucapan termakash kepada semua phak yang telah membantu dem terselesanya penulsan skrps n. Ungkapan termakash n penuls sampakan kepada yang terhormat:. Prof. Dr. Imam Suprayogo selaku Rektor Unverstas Islam Neger (UIN) Malang.. Prof. Drs. Sutman Bambang Sumtro SU. D.Sc selaku Dekan akultas Sans dan Teknolog Unverstas Islam Neger (UIN) Malang.. Sr arn M.S selaku Ketua Jurusan Matematka Unverstas Islam Neger (UIN) Malang.. Wahyu enky Irawan M.Pd selaku dosen pembmbng yang senantasa sabar member arahan dan bmbngan dalam penyusunan skrps n.. Achmad Nashchuddn MA selaku dosen pembmbng keagamaan yang telah memberkan saran dan bantuan selama penulsan skrps n.

9 6. Seluruh dosen yang telah memberkan lmunya selama n dan yang selalu membmbng dan member motvas agar penuls dapat menyelesakan stud dengan bak. 7. Bapak dan Ibu tercnta dan seluruh keluarga yang selalu memberkan semangat dan motvas bak morl maupun sprtul dalam menddk dan membmbng penuls hngga penuls dapat menyelesakan skrps n. 8. Teman-teman mahasswa Matematka angkatan 00 yang telah memotvas penuls untuk segera menyelesakan skrps dan spesal untuk teman seperjuangan Mohammad Nrwan dan Vera Mandalna yang banyak membantu. 9. Suc Rahayu yang telah banyak membantu penuls selama d Malang. 0. Teman-teman kos Wsma Asr Dew Rayan yang telah memotvas penuls untuk segera menyelesakan skrps.. Semua phak yang tdak dapat penuls sebutkan satu persatu yang telah memberkan bantuan bak morl materl maupun sprtual bag penuls sehngga dapat menyelesakan skrps Penuls berdo'a semoga bantuan yang telah dberkan dcatat sebaga amal bak oleh Allah SWT dan mendapatkan balasan yang setmpal. Penuls berharap semoga skrps n bermanfaat. Amn. Malang 0 Desember 008 Penuls

10 DATAR ISI ALAMAN JUDUL... LEMBAR PERSETUJUAN... LEMBAR PENGESAAN... v SURAT PERNYATAAN... v MOTTO... v PERSEMBAAN... v KATA PENGANTAR... v DATAR ISI... x DATAR GAMBAR... x DATAR TABEL... xv ABSTRAK... xv BAB I : PENDAULUAN. Latar Belakang.... Rumusan Masalah.... Tujuan Peneltan.... Manfaat Peneltan.... Metode Peneltan....6 Sstematka Penulsan... BAB II : KAJIAN PUSTAKA. Graf Defns Graf Derajat Suatu Ttk..... Isomorfsme..... Jalan dan Lntasan..... Graf Komplt Graf Bparts Graf Bparts Komplt... 6

11 v..8 Operas pada Graf Matchng aktorsas Dekomposs.... Tafsr surat Al-athah..... Kelompok yang Dber Nkmat Kelompok yang Dmurka dan Sesat Al-Maghdhub Adh-Dhalln... BAB III: PEMBAASAN. Dekomposs Graf Pada Graf Komplt K n..... Graf Komplt K..... Graf Komplt K Graf Komplt K Graf Komplt K Graf Komplt K Graf Komplt K Graf Komplt K Graf Komplt K Pengelompokan Manusa Berdasarkan Teor Graf... 7 BAB IV: PENUTUP. Kesmpulan Saran DATAR PUSTAKA LAMPIRAN v

12 v DATAR GAMBAR No. Gambar alaman. Graf G dengan Ttk dan Ss Graf G Subgraf dar Graf G Subgraf Merentang dar Graf G Subgraf Ternduks dar Graf G Subgraf Ternduks Ss dar Graf G Derajat Suatu Ttk pada Graf G....8 Graf Terhubung (connected) G....9 Graf G tdak Terhubung....0 Graf Isomorfk.... Jalan dan Lntasan.... Graf Komplt.... Graf Bparts Graf Bparts Komplt Gabungan Graf Penjumlahan Dua Graf Graf asl Kal Kartesus Matchng dan Maksmum Matchng Graf Komplt K....0 Graf Komplt K.... Graf Komplt K.... Graf Komplt K Graf Komplt K Graf Komplt K Graf Komplt K Graf Komplt K Graf Komplt K v

13 v.8 Graf Komplt K Representas Graf pada Surat Al-fathah... 7 v

14 v DATAR TABEL No. Tabel alaman Tabel Dekomposs pada Graf Komplt K n... 7 Tabel Parts dar Dekomposs Graf Komplt K n... 7 v

15 v ABSTRAK Munawarah Rna Dekomposs Graf Komplt. Skrps Jurusan Matematka akultas Sans dan Teknolog Unverstas Islam Neger (UIN) Malang. Pembmbng: (I) Wahyu enky Irawan M.Pd. (II) Achmad Nashchuddn MA. Kata Kunc: Dekomposs Graf Komplt Parts Ss. Teor graf yang merupakan salah satu cabang dar matematka dskrt menurut defnsnya adalah hmpunan yang tdak kosong yang memuat elemenelemen yang dsebut ttk dan suatu daftar pasangan tdak terurut elemen tu yang dsebut ss. Salah satu pembahasan dalam teor graf yang belum begtu banyak dkenal orang adalah tentang dekomposs. Kemudan dalam skrps n penuls mengembangkannya dengan membahas kajan tentang dekomposs graf komplt. Masalah yang dbahas dalam skrps n drumuskan sebaga berkut yatu; bagamana dekomposs pada graf komplt K n ke dalam bentuk -faktor dengan n blangan asl genap serta bagamana dekomposs graf komplt K n dengan n blangan asl ganjl. Sedangkan tujuan penulsan n adalah menjelaskan dekomposs pada graf komplt K n dengan n blangan asl genap membentuk -faktor dan menjelaskan dekomposs pada graf komplt K n dengan n adalah blangan asl ganjl. Kemudan permasalahan yang dkaj dbatas pada graf komplt K n dengan n blangan asl genap membentuk -faktor dan graf komplt q( K n ) dengan n blangan asl ganjl dengan parts sebanyak parts. p( K n ) Dalam menjelaskan dekomposs graf komplt K n perlu dketahu defnsdefns sebaga berkut. Matchng pada graf G adalah sekumpulan hmpunan ss dar graf G yang tdak terhubung langsung (adjacent). aktorsas graf G adalah penjumlahan ss dar graf G yang merupakan subgraf merentang dengan dsjontss. Jka sekumpulan hmpunan ss{ } dar graf G dengan dsjont-ss djumlahkan sehngga... n G maka dsebut dekomposs graf G. Dalam kajan n penuls mengkaj dekomposs graf komplt K n dengan n blangan asl. Pembahasan mengena dekomposs graf komplt K n dklasfkaskan menjad dua bagan yatu; () dekomposs pada graf komplt K n ke dalam bentuk -faktor dengan n blangan asl genap () dekomposs pada graf komplt K n dengan n blangan asl ganjl. Berdasarkan hasl pembahasan dapat dperoleh bahwa dekomposs pada graf komplt K n dengan n blangan asl genap juga merupakan faktorsas yatu membentuk -faktor dan jumlah parts ss sebanyak n sedangkan dekomposs pada graf komplt K n dengan n blangan asl ganjl tdak membentuk faktorsas karena parts ssnya bukan subgraf merentang dan jumlah parts ss sebanyak n. Pembahasan mengena dekomposs graf mash dapat dlanjutkan pada dekomposs graf yang lan sepert pada graf roda atau graf gear. v

16 ( BAB I PENDAULUAN.. Latar Belakang Bag duna kelmuan Matematka berperan sebaga bahasa smbolk yang memungknkan terwujudnya komunkas yang cermat dan tepat. Matematka bukan saja menyampakan nformas secara jelas dan tepat namun juga sngkat. Suatu rumus yang jka dtuls dalam bahasa verbal memerlukan kalmat yang panjang dmana makn banyak kata-kata yang dgunakan maka makn besar pula peluang terjadnya salah nformas dan salah nterpretas maka dalam bahasa matematka cukup dtuls dengan model yang sederhana (Surasumantr 00; 0). Sebagamana contoh yang tertera dalam frman Allah SWT dalam surat Al-An am ayat 60 : Ÿω öνèδuρ $yγn WÏΒ ωî) # t øgä Ÿξsù Ïπy ÍhŠ 9$Î/ u!%ỳ tβuρ $yγï9$swøβr& ç ô³tã ã&s#sù ÏπuΖ ptø:$î/ u!%ỳ tβ tβθßϑnôàムArtnya: Barangsapa membawa amal yang bak Maka bagnya (pahala) sepuluh kal lpat amalnya; dan barangsapa yang membawa perbuatan jahat Maka da tdak dber pembalasan melankan sembang dengan kejahatannya sedang mereka sedktpun tdak danaya (drugkan) (Q.S. Al-An am: 60). Pada QS Al-An am ayat 60 tersebut nampak jelas bahwa Allah menentukan balasan perbuatan kebakan dan kejahatan. Amal kebakan mendapat pahala 0 kal amal kebakan tersebut dan amal kejahatan mendapatkan balasan kal amal kejahatan tersebut.

17 Secara matematka dperoleh rumus y 0x untuk amal kebakan dan y x untuk amal kejahatan. Varabel x menyatakan nla amal dan y menyatakan nla balasan yang dperoleh (Abdusysyakr 007; 8).. Matematka juga merupakan alat yang memungknkan dtemukannya serta dkomunkaskannya kebenaran lmah lewat berbaga dspln kelmuan. Salah satu cabang dar kelmuan matematka adalah matematka dskrt. Salah satu mater yang dbahas dalam matematka dskrt adalah tentang teor graf. Teor graf yang merupakan salah satu cabang dar matematka dskrt tersebut menurut defnsnya adalah hmpunan yang tdak kosong yang memuat elemen-elemen yang dsebut ttk dan suatu daftar pasangan tdak terurut elemen tu yang dsebut ss. Teor graf dalam kehdupan sehar-har banyak manfaatnya antara lan dalam komunkas transportas sstem antran dan penjadwalan. Ketka umat Islam membaca Al-Qur an maka pada surat Al-athah akan djumpa bahwa manusa terbag menjad tga kelompok yatu () kelompok yang dber nkmat oleh Allah SWT () kelompok yang dmurka dan () kelompok yang sesat. Dalam hal n Al-Qur an berbcara mengena kelompok golongan atau sekumpulan. Berdasarkan surat Al-atah tersebut terdapat konsep matematka yang terkandung d dalamnya yatu kumpulan objek-objek yang mempunya cr-cr yang sangat jelas. Inlah yang dalam matematka dnamakan

18 dengan hmpunan (Abdussyyakr 006; 7). Dalam teor graf kumpulan atau kelompok dmsalkan sebaga dekomposs. Dekomposs adalah sekumpulan atau koleks { } dar subgraf G sedemkan hngga E untuk suatu E subset E(G) dan { } E adalah parts dar E(G). Jka { } adalah dekomposs dar G maka G dapat dtuls sebaga penjumlahan ss... n dmana { } n (Chartrand and Lesnak 986: 9). Kajan tentang dekomposs pada graf saat n mash belum begtu banyak dkenal oleh orang. Berdasarkan hal tersebut maka penuls mengambl judul skrps n yatu Dekomposs Graf Komplt... Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang d atas maka rumusan masalah yang dapat dkemukakan adalah:. Bagamana dekomposs pada graf komplt K n ke dalam bentuk -faktor dengan n blangan asl genap?. Bagamana dekomposs pada graf komplt K n dengan n blangan asl ganjl?.. Tujuan Penulsan Berdasarkan rumusan masalah maka tujuan dar penulsan n adalah:. Menjelaskan dekomposs pada graf komplt K n dengan n blangan asl genap membentuk -faktor.. Menjelaskan dekomposs pada graf komplt K n dengan n blangan asl ganjl.

19 .. Manfaat Peneltan Penulsan karya lmah n pada dasarnya dharapkan dapat memberkan manfaat terhadap beberapa phak dantaranya:. Bag Penuls - Menambah wawasan dan lmu pengetahuan tentang dekomposs pada graf komplt K n.. Bag Jurusan Matematka - Sebaga bahan pustaka tentang kajan dekomposs graf komplt K n... Metode Peneltan Metode yang dgunakan dalam peneltan n adalah metode peneltan kepustakaan (lbrary research) atau kajan pustaka yakn melakukan peneltan untuk memperoleh data-data dan nformas-nformas serta objek yang dgunakan dalam pembahasan masalah tersebut. Langkah-langkah yang dlakukan dalam peneltan n adalah :. Merumuskan masalah Sebelum penelt melakukan peneltan terlebh dahulu dsusun rencana peneltan bermula dar suatu masalah tentang dekomposs pada graf komplt.. Mengumpulkan Data. Mengumpulkan data dar lteratur Graphs & Dgraphs (Gary Chartrand dan Lnda Lesnak) dan lteratur pendukung bak yang bersumber dar buku

20 jurnal artkel dktat kulah nternet dan lannya yang berhubungan dengan permasalahan yang akan dbahas dalam peneltan n.. Menganalss Data Langkah-langkah yang dambl untuk menganalss data dalam peneltan n adalah : a. Menggambar beberapa graf komplt K n dmula dar n. b. Mencar parts graf komplt K n dmana n adalah blangan asl genap sehngga membentuk -faktor. c. Mencar parts graf komplt K n dmana n adalah blangan asl ganjl dengan parts yang beraturan yatu q( K n ) parts. p( K ) n. Membuat Kesmpulan Kesmpulan dalam skrps n berupa pola dar jumlah parts masngmasng graf komplt K n dan menunjukkan bahwa dekomposs graf komplt K n merupakan faktorsas.. Melaporkan Langkah terakhr dar kegatan n adalah menyusun laporan dar peneltan yang telah dlakukan yatu berupa skrps sebaga syarat memperoleh gelar sarjana..6. Sstematka Penulsan Agar penulsan skrps n lebh terarah mudah dtelaah dan dpaham maka dgunakan sstematka penulsan yang terdr dar empat bab. Masngmasng bab dbag ke dalam beberapa subbab dengan rumusan sebaga berkut:

21 6 BAB I PENDAULUAN Pendahuluan melput: latar belakang permasalahan rumusan masalah tujuan peneltan batasan masalah manfaat peneltan metode peneltan dan sstematka penulsan. BAB II KAJIAN PUSTAKA Bagan n terdr atas konsep-konsep (teor-teor) yang mendukung bagan pembahasan. Konsep-konsep tersebut antara lan membahas tentang defns graf derajat ttk pada graf somorfsme jalan dan lntasan graf komplt graf bparts graf bparts komplt operas pada graf matchng faktorsas dekomposs dan tafsr surat Al-fathah. BAB III PEMBAASAN Pembahasan bers tentang bagamana dekomposs pada graf komplt K n dengan n adalah blangan asl genap dan blangan asl ganjl yang dmula dar n. BAB IV PENUTUP Pada bab n akan dbahas tentang kesmpulan dan saran.

22 7 BAB II KAJIAN PUSTAKA.. Graf... Defns Graf Defns Graf G ddefnskan sebaga pasangan hmpunan (V(G) E(G)) dmana V(G) adalah hmpunan tak kosong dar unsur-unsur yang dsebut ttk (vertex) dan E(G) adalah hmpunan dar pasangan tak terurut (uv) dar ttk-ttk u dan v yang berbeda d V(G) yang dsebut ss (edge). Selanjutnya ss e (uv) pada graf G dtuls e uv. Banyaknya unsur d V dsebut order dar G yang dlambangkan dengan p(g) sedangkan banyaknya unsur d E dsebut ukuran dar G yang dlambangkan dengan q(g) (Chartrand and Lesnak 986: ). Sebaga contoh msal: V(G) {v v v } dan E(G) {v v v v v v }. Maka G dapat dgambarkan sebaga berkut: G : v e e v e v Gambar. Graph G dengan Ttk dan Ss 7

23 8 Graf G pada Gambar. mempunya ttk sehngga p(g) dan mempunya empat ss yatu: e v v e v v e v v sehngga ukuran G adalah q(g). Defns Sebuah ss e uv dkatakan menghubungkan ttk u dan v. Jka e uv adalah ss d graf G maka u dan v dsebut terhubung langsung (adjecent) v dan e serta u dan e dsebut terkat langsung (ncdent) ttk u dan v dsebut ujung dar e (Chartrand986: ). Pada graf G Gambar. ttk yang terhubung langsung adalah ttk v dan v ttk v dan v ttk v dan v. Selanjutnya ttk v dan v terkat langsung dengan ss e ttk v dan v terkat langsung dengan ss e ttk v dan v terkat langsung dengan ss e. Defns Graf dsebut subgraf dar G jka hmpunan ttk d adalah subset dar hmpunan ttk-ttk d G dan hmpunan ss d adalah subset dar hmpunan ss d G. Dapat dtuls V() V(G) dan E() E(G). Subgraf dar graf G yang memlk hmpunan order yang sama pada G atau jka subgraf dengan V()V(G) maka dsebut subgraf merentang (spannng subgraph ) dar G (Chartrand dan Lesnak 986: 8).

24 9 G : v e 6 e 7 v e e e e v e v Gambar. Graf G v e 7 v e e e v Gambar. Subgraf dar Graf G v e 7 v e e e v e v Gambar. Subgraf Merentang dar Graf G Subgraf Ternduks (Induced subgraf) dar graf G yang dnotaskan dengan G[ V ] adalah subgraf dar graf G yang memuat hmpunan V ttk bersama semua ss-ss uv dar graf G dmana uv graf G dapat dperoleh dengan menghapus ttk-ttk dar graf G. V jad subgraf dar

25 0 Dar Gambar. Subgraf Ternduks (Induced subgraf) adalah sebaga berkut: v e 6 e e e Gambar. Subgraf Ternduks dar Graf G Subgraf ternduks ss (edge nduced) d defnskan sebaga G [ E ] jka untuk setap subset dar E(G). Jad subgraf ternduks ss dar graf G dapat dperoleh dengan menghapus ttk dan ss pada graf G(Chartrand dan Lesnak 986: 8).. Dar Gambar. Subgraf Ternduks (Induced subgraf) adalah sebaga berkut: v e v v e 6 e 7 v e e e v Gambar.6 Subgraf Ternduks Ss dar Graf G

26 ... Derajat Ttk pada Graf Defns Derajat ttk v pada graf G adalah banyaknya ss dar graf G yang terkat langsung dengan v. Derajat ttk v pada graf G dnotaskan dengan deg G v atau dapat juga dnotaskan dengan deg v (Chatrand and Lesnak 986: 7) v G : deg v e e 6 v e e e deg v deg v deg e v v deg v Gambar.7 Derajat Suatu Ttk pada Graf G Defns Msalkan u dan v ttk berbeda pada graf G. Maka ttk u dan v dapat dkatakan terhubung (connected) jka terdapat lntasan u v d G. Sedangkan suatu graf G dapat dkatakan terhubung (connected) jka untuk setap ttk u dan v d G terhubung (Chartrand dan Lesnak 986:8). G : Gambar.8 Graf Terhubung (connected) G

27 Defns 6 Komponen dar graf adalah banyaknya subgraf terhubung maksmal dar G yang dnotaskan dengan k ( G) (Chartrand dan Lesnak 986: 8). Jad setap graf terhubung hanya mempunya satu komponen. Sedangkan untuk graf tak terhubung memlk sedktnya dua komponen. G : v v v v v v G G Gambar.9 G Terhubung G Tdak Terhubung Dar Gambar.9 GTerhubung G tdak terhubung dan graf G mempunya satu komponen dan graf G mempunya dua komponen.... Isomorfsme Defns 7 Graf G somorfk dengan graf G dnyatakan dengan G G jka ada pemetaan φ yang satu-satu dan pada dar V(G ) ke V(G ) yang melestarkan sfat keterhubungan langsung yatu jka u dan v d G dhubungkan oleh k ss jka dan hanya jka φ(u) dan φ(v) d G dhubungkan oleh k ss (Purwanto 998: 0).

28 G: u a d t v w b c G G Gambar.0 Graf Isomorfk Pada Gambar.0 G G karena ada pemetaan φ : V(G ) V(G ) t c u d v a w b yang satu-satu dan pada serta melestarkan keterhubungan. Dua graf G dan G adalah dentk dnotaskan G G jka V(G ) V(G ) dan E(G ) E(G ). Dua graf yang somorfk belum tentu dentk. Graf G dan G pada Gambar.0 tdak dentk walaupun G G.... Jalan dan Lntasan Defns 8 Sebuah jalan (walk) u v d graf G adalah barsan berhngga (tak kosong) W : u v 0 e v e v... e n v n v yang berselang selng antara ttk dan ss yang dmula dar ttk u dan dakhr dengan ttk v sedemkan hngga untuk 0 < n maka e v v

29 adalah ss d G. v 0 dsebut ttk awal v n dsebut ttk akhr v v... v n- dsebut ttk nternal dan n menyatakan panjang dar W (Chartrand dan Lesnak 986:6). Defns 9 Tral u v adalah jalan u v yang semua ssnya berbeda dan boleh mengulang ttk (Chartrand dan Lesnak 986: 6). Defns 0 Jalan terbuka yang semua ss dan ttknya berbeda dsebut lntasan. Dengan demkan dapat dkatakan bahwa setap lntasan past tral tetap tdak semua tral merupakan lntasan (Wlson and Watkns 989: ). Contoh v 7 e 7 e 8 v e 6 v 6 e 9 v e e e v e v e Gambar. Jalan dan Lntasan Contoh jalan pada graf G dalam Gambar. adalah : v e v e v e v e v e v e v e Contoh tral pada graf G dalam Gambar. adalah : v e v e v e v e v e v e v Contoh lntasan pada graf G dalam Gambar. adalah : v v. e7 v7 e8 v6 e9 v e v e v e

30 Defns Defns Contoh Srkut adalah sebuah jalan tertutup (closed tral) dan melewat ss yang berbeda pada Graf G (Chartrand dan Lesnak 986:8). Srkut v v... v n v ( n ) dan v berbeda untuk setap dsebut Skel (cycle) (Chartrand dan Lesnak 986: 8). Contoh srkut pada graf G dalam Gambar. adalah : v e v6 e7 v e v e v e v Contoh Skel pada graf G dalam Gambar. adalah: v e v6 e6 v e v e v... Graf Komplt Defns Graf komplt (complete) adalah graf yang setap dua ttk yang berbeda salng terhubung langsung. Graf komplt dengan n ttk dnotaskan sebaga K n (Wlson and Watkns 989: 6). Sebaga contoh Gambar. adalah beberapa graf komplt. K K K K K K 6 Gambar. Graf Komplt

31 6..6. Graf Bparts Defns Graf bparts adalah graf yang hmpunan ttknya dapat dparts menjad hmpunan A dan B sedemkan hngga setap ss graf mempunya salah satu ujung d A dan salah satunya d B (Wlson and Watkns 989: 7). Contoh G : v v v v Gambar. Graf Bparts Graf G pada Gambar. adalah graf bparts karena hmpunan ttk d G dapat dparts menjad dua hmpunan yatu: A {v v } dan B {v v } sehngga masng-masng ss d G mempunya ujung d A dan d B. mpunan ttk dalam satu parts tdak boleh terhubung langsung...7. Graf Bparts Komplt Defns Graf G dsebut graf bparts komplt jka G adalah graf bparts dan komplt. Graf bparts komplt yang masng-masng parts memuat m dan

32 7 Contoh n dlambangkan dengan K (mn). Graf bparts komplt K (n) dsebut dengan graf bntang (Chartrand and Lesnak 986: 0). G : v v v v Gambar. Graf Bparts Komplt Graf G adalah bparts karena hmpunan ttk dapat dparts menjad dua hmpunan dan graf komplt karena masng-masng ttk dalam tap parts berbeda salng terhubung langsung...8. Operas pada Graf Defns 8 Gabungan dua graf G dan G yang dnotaskan dengan G G G mempunya hmpunan ttk V G) V ( G ) V ( ) dan hmpunan ( G ss E G) E( G ) E( ). Jka graf G memuat sebanyak n graf ( G maka dnotaskan dengan G n. Graf K K K ( ) akan dtunjukkan pada gambar sebaga berkut (Chartrand and Lesnak 986: ).

33 8 Gambar. Gabungan Graf Defns 9 Penjumlahan dua graf G dan G yang dnotaskan G G + G mempunya hmpunan ttk V G) V ( G ) V ( ) dan hmpunan ( G ss E G) E( G ) E( G ) { uv u V ( G ) dan v V ( )} dmana ( G E( G) ( aa ) ( bb bb ) {( a b )( a b )( a b )( a b )( a b ) ( b a )} (Chatrand and Lesnak 986: ). b a a b G : G : G + G : b a b a Gambar.6 Penjumlahan Dua Graf b b Defns 0 asl kal kartesus dar graf G dan G adalah graf yang dnotaskan G G x G dan mempunya hmpunan ttk V G) V ( G ) x V ( ) {u u } x {v v v } dan dua ttk (u u ) dan ( G (v v ) dar graf G terhubung langsung jka dan hanya jka atau u v dan u v E ) ( G u v dan u v E ) (Chartrand and Lesnak 986: ). ( G

34 9 Perhatkan contoh berkut (u v ) u v G : G : G x G : (u v ) (u v ) (u v ) u v v (u v ) (u v ) Gambar.7 Graf asl Kal Kartesus Dar gambar.7 tersebut bahwa V(G ) {u u } dan V(G ) {v v v } maka G x G adalah V(G) {( u v ) ( u v ) ( u v ) ( u v ) ( u v ) (u v ). ( u v ) dan ( u v ) terhubung langsung jka dan hanya jka u u dan v v E(G )...9. Matchng Defns Dua ttk atau dua ss yang berbeda pada graf G adalah bebas (ndependent) jka ttk dan ss tersebut tdak terhubung langsung (adjacent) d G. Sekumpulan hmpunan ss dar G yang ndependent dnamakan matchng d G sedangkan matchng dar ttk maksmum dnamakan matchng maksmum d G. Jka M adalah matchng pada graf G yang memlk sfat bahwa setap ttk dar G adalah terkat langsung (ncdent) dengan ss dar M maka M pemasangan sempurna (matchng perfect) d G. Graf G mempunya pemasangan sempurna (matchng

35 0 perfect) M jka G mempunya order genap dan M adalah -regular subgraf merentang dar G (Chartrand and Lesnak 986: ). G : e e e e e e 6 Gambar.8 Matchng dan Maksmum Matchng Pada graf G Gambar.8 dapat dlhat bahwa hmpunan M e } adalah { e matchng tetap bukan matchng maksmum sedangkan M e e } dan { e M e e } adalah matchng maksmum d G. Gambar graf G pada Gambar { e6.8 tdak bsa mempunya matchng perfect karena graf G mempunya order ganjl dan M adalah -regular yang bukan subgraf merentang dar G...0. aktorsas Defns Sebuah faktor dar graf G adalah (boleh kosong) subgraf merentang dar G. Jka G G... Gn ( n ) adalah faktor dsjont-ss dar graf G sedemkan hngga U n E( G) E( G) maka dtuls G G G... Gn dmana adalah penjumlahan tertutup yatu penjumlahan pada ruang lngkupnya pada penjumlahan ss dan dkatakan G adalah penjumlahan ss dar faktor G... G G n. Penjumlahan ss dsebut faktorsas dar G ke dalam faktor G... G G n. Sebuah faktor r-regular graf G dsebut sebaga r-faktor dar G. Oleh karena tu graf mempunya -faktor jka dan hanya jka memuat

36 Contoh pemasangan sempurna (matchng perfect) (Chartrand and Lesnak 986: 9). G : e 6 v e e e e v v Gambar.9. Graf Komplt K Bentuk faktorsas graf komplt K adalah sebaga berkut : e e 6 v v v e e e e v e v v v v v G G G Dar gambar tersebut dapat dlhat bahwa graf komplt K membentuk -faktor. Jka G G G G maka G adalah faktorsas.... Dekomposs Defns Dekomposs dar graf G adalah koleks { } dar subgraf G sedemkan hngga E untuk suatu E subset E(G) dan { } E adalah parts dar

37 E(G). Jka { } adalah dekomposs dar G maka G dapat dtuls sebaga penjumlahan ss... n dmana { } n. Jka... n adalah dekomposs dar graf G dan jka p ddefnskan sebaga order dar G pada rumus ( p p( )) K maka... adalah merupakan faktorsas dar G. Jka { } n adalah dekomposs dar graf G dan untuk setap tertentu maka G adalah -decomposable (Chartrand and Lesnak 986: 9). Contoh G : e 8 e 0 v e 9 v e 7 e 6 e e e e v e v Gambar.0 Graf Komplt K Parts ss-ss dar graf komplt K dtunjukkan sebaga berkut v e 9 v v v e 6 e e 7 e v e v v v v v

38 e 0 e 8 v v v v e e v v Dar gambar tersebut dapat dlhat bahwa partsnya adalah beraturan dua-dua karena parts q( G) sehngga ddapat parts ss dengan masng- p( G) masng parts terdr dar ss. Jka G maka G adalah dekomposs. Karena K maka G adalah K -dekomposable.. Tafsr Surat Al-athah Surat Al-fathah adalah satu-satunya dalam ktab al-quran yang palng banyak dhapal oleh Umat Islam karena surat n wajb dbaca d dalam shalat. Sebagamana hadst nab yang drwayatkan oleh Bukhar Muslm bahwa tdak ada shalat bag orang yang tdak membaca Al-athah. Sesua dengan namanya yang berart pembukaan surat n memang basa dbaca oleh orang-orang Islam ketka hendak berdoa berzdkr atau membuka suatu hajat. Surat n bukan hanya untuk membuka hal-hal yang bersfat lahrah tetap juga untuk membuka pntu batn kta (Chodjm 00:).

39 Surat Al-athah dturunkan pada tahun pertama kenaban d Mekah. Dengan ayat pertama surat n masyarakat Mekah pada waktu tu dngatkan oleh Tuhan agar tdak berlebhan dalam menyanjung memuja atau memuj manusa lannya. Orang Arab basa memuj sukunya keluarganya atau rajanya. Para penyar mengungkapkan syar pujan bag keluarga suku atau raja mereka (Chodjm 00:). Surat Al-athah dbaca untuk membuka mata batn kta. Dengan memaham dan menghayat surat n dharapkan akan terbuka mata hat agar kta menyadar kandungan Ktab Allah bak Ktab-ktab-Nya yang tertuls maupun yang tdak tertuls yatu ktab yang terbentang d alam semesta termasuk ktab yang ada d dalam dr kta. Allah mengharamkan pembacanya dar tujuh pntu jahanam. Inlah obat dar segala penyakt kecual kematan. Tdak ada d dalam ktab-ktab surat yang lebh utama darnya (Rakhmat 000: 88) Al-athah termasuk kelompok surat pendek dalam Al-Quran yang terdr dar tujuh ayat (Al 00:) ÉΟŠÏm 9$# Ç uη q 9$# š Ïϑn yèø9$# Å_Uu! ß ôϑysø9$# ÉΟŠÏm 9$# Ç uη q 9$# ÉΟó Î0«!$# xþ u Å_Ç9$# $tρï δ$# Ú ÏètGó nσ y $ ƒî)uρ ß ç7 ètρ x $ ƒî) É Ïe$!$# ÏΘöθtƒ Å7Î tβ t Ïj9!$ Ò9$# Ÿωuρ óοîγø ntæ ÅUθàÒøóyϑø9$# Î ö xî öνîγø ntã Môϑyè Ρr& t Ï%!$# xþ u ÅÀ tλ É)tGó ßϑø9$#

40 Artnya: () Dengan menyebut nama Allah yang Maha Pemurah lag Maha Penyayang. () Segala puj bag Allah Tuhan 6 semesta alam 7. () Maha Pemurah lag Maha Penyayang. () Yang menguasa 8 har Pembalasan 9. () anya Engkaulah kam menyembah 0 dan anya kepada Engkaulah kam memnta pertolongan. (6) Tunjuklah kam jalan yang lurus (7) (yatu) jalan orang-orang yang Telah Engkau ber nkmat kepada mereka; bukan (jalan) mereka yang dmurka dan bukan (pula jalan) mereka yang sesat. Nama Zat Yang Maha Suc; Zat yang berhak dsembah dengan sebenar-benarnya; Zat yang tdak membutuhkan makhluk-nya tetap dbutuhkan oleh makhluk-nya.. Salah satu nama dar nama Allah SWT (ar-rahman) yang member pengertan bahwa Allah SWT bersfat belas kash melmpahkan karuna-nya kepada semua makhluk-nya.. Salah satu nama dar nama Allah SWT (ar-rahm) yang member pengertan bahwa Allah SWT senantasa bersfat rahm yatu Allah SWT bersfat penyayang selalu melmpahkan rahmat-nya kepada makhluk-nya yang taat dan bertaqwa.. Bsmllahr rahmanr rahm; a. saya membaca al-athah karena Allah semata karena tu saya memula membaca surat n dengan menyebut nama Allah SWT b. setap pekerjaan yang bak hendaknya dmula dengan menyebut nama Allah SWT sepert makan mnum menyembelh bnatang untuk dmakan dan sebaganya.. Segala puj bag Allah SWT berart menyanjung seluruh perbuatan-nya. Kta menghadapkan segala puj kepada Allah SWT karena Allah SWT adalah sumber dr segala kebakan yang patut dpuj. Oleh karena tu memuj Allah SWT dlakukan pula saat kta bersyukur (mengaku keutamaan nkmat yang dberkan-nya). 6. Allah SWT (Rabb) yatu Tuhan yang dtaat yang memlk yang menddk mengatur dan memelhara makhluk-nya. 7. Semua yang dcptakan Allah yang terdr atas berbaga jens dan macam sepert alam manusa alam hewan alam tumbuhan benda-benda mat dan sebaganya. 8. Dengan memanjangkan mm kata malk berart pemlk atau penguasa. Bla dbaca dengan memendekkan mm kata malk berart raja. 9. Adalah har saat setap manusa menerma pembalasan amalannya yang bak maupun yang buruk. Yawmd dn dsebut juga yawmul qyamah yawmul hsab yawmul jaza dan sebaganya. 0. Kepatuhan dan ketubdukan yang tmbul oleh perasaan tentangkebesaran Allah SWT sebaga Tuhan yang dsembah karena berkeyaknan bahwa Allah SWT mempunya kekuasaan yang mutlak terhadap penyembah-nya.. Memnta bantuan hanya kepada Allah SWT untuk dapat menyelesakan suatu pekerjaan yang sanggup maupun tdak sanggup dselesakan dengan kemampuan sendr.. Memohon kepada Allah SWT supaya memberkan petunjuk ke jalan yang benar. Yang dmaksud dalam ayat n bukan sekedar memberkan hdayah saja tetap juga memberkan taufk (pertolongan) untuk mencapa jalan yang benar.. Semua golongan yang menympang dar ajaran Islam.

41 6 Pada surat Al-athah pada dua ayat terakhr yatu pada ayat ke-6 dan ayat ke-7 akan djumpa bahwa manusa terbag menjad tga kelompok yatu () kelompok yang dber nkmat oleh Allah SWT () kelompok yang dmurka dan () kelompok yang sesat. Dalam hal n Al-Qur an berbcara mengena kelompok golongan atau sekumpulan. Berdasarkan surat Al-atah tersebut terdapat konsep matematka yang terkandung d dalamnya yatu kumpulan objek-objek yang mempunya cr-cr yang sangat jelas. Inlah yang dalam matematka dnamakan dengan hmpunan (Abdussyyakr 006; 7). Dalam teor graf kumpulan atau kelompok dmsalkan sebaga dekomposs. Dekomposs sendr merupakan kumpulan atau koleks hmpunan ss dar sebuah graf G dmana ss-ssnya adalah subgraf dar graf G tu sendr dan hmpunan ss-ss tersebut adalah merupakan parts dar ss dalam graf G tersebut... Kelompok yang Dber Nkmat Kelompok yang dber nkmat dar surat Al-athah terdapat pada ayat yang keenam yatu : tλ É)tGó ßϑø9$# xþ u Å_Ç9$# $tρï δ$# Artnya:. Tunjuklah kam jalan yang lurus (Q.S. Al-athah: 6). Pada ayat 6 surat Al-athah tersebut yang dmaksud dengan jalan yang lurus adalah jalannya orang-orang yang dber kenkmatan oleh Tuhan dan bukan jalannya orang-orang yang terkena murka dan sesat (Chodjm 00: 6).

42 7 amba Allah yang mendapat petunjuk jalan yang lurus adalah mereka yang danugerah nkmat Allah yatu sebaga berkut (adhr 00: 8) :. Para Nab; mereka dlndung Allah dar godaan setan yang menyesatkan.. Para Shddqn; mereka yang berman kepada Allah dan RasulNya dengan tdak ragu-ragu kemudan berjhad dengan harta dan jwanya d jalan Allah.. Para Syuhada; mereka mat syahd karena menegakkan agama Allah.. Para Shalhn; mereka yang berman kepada rukun man dan beramal shaleh (menyuruh yang makhruf mencegah yang mungkar dan mengerjakan berbaga kebakan).. Para Mukhlsn; mereka yang selalu menaat segala petunjuk dan perntah Allah bukan hanya taat bla dtmpa musbah. Menurut Iman bahwa jalan yang lurus sama dengan ajaran tauhd agama kebenaran dan kemanan kepada Allah. Sebagamana yang telah dnyatakan dalam surat Al-An am ayat 6 yang artnya Katakanlah: Sesungguhnya Tuhanku telah membmbngku kejalan yang lurus sebuah agama kebakan jalannya (yang dtempuh) oleh Ibrahm yang lurus dan sesungguhnya da bukan termasuk orang-orang yang musyrk (Q.S. Al-An;am: 6). Pada ayat tersebut dsebutkan bahwa sebuah agama yang benar dan jalan keagamaan Ibrahm sebaga kemanan yang benar karena a mengucapkan tdak ada Tuhan selan Allah dperkenalkan sebaga jalan yang lurus. al n menunjukkan aspek kemanan. Al-Qur an mengungkapkan bahwa jalan yang benar adalah keyaknan yang benar kepada agama Ilahyah dengan aspek-aspek prakts dan moralnya.

43 8 Agama yang benar tdak lebh dar satu sebagamana frman Allah dalm surat Al-Imran ayat 9 yang artnya Agama dss Allah adalah Islam (ketundukan pada kehendaknya) (Q.S. Al-Imran 9). Sehngga jalan yang lurus dmakna agama tauhd dalam aspek kemanan dan praktk... Kelompok yang Dmurka dan Sesat Kelompok yang dmurka dan sesat pada surat Al-athah terdapat pada ayat yang ketujuh yatu: t Ïj9!$ Ò9$# Ÿωuρ óοîγø ntæ ÅUθàÒøóyϑø9$# Î ö xî öνîγø ntã Môϑyè Ρr& t Ï%!$# xþ u ÅÀ Artnya: (yatu) jalan orang-orang yang Telah Engkau ber nkmat kepada mereka; bukan (jalan) mereka yang dmurka dan bukan (pula jalan) mereka yang sesat (Q.S.Al-athah: 7). Dalam berbaga tafsr dsebutkan bahwa golongan maghdhub yatu mereka yang dmurka adalah orang-orang Yahud. Sedangkan dhalln yatu mereka yang tersesat adalah orang-orang Nasran. Ayat ghar al-maghdhub alahm wa la al-dhalln seolah-olah menunjukkan adanya golongan yang dmurka dan golongan yang tersesat. Tetap jka kta perksa dengan seksama semua ayat yang berkatan dengan kemurkaan dan ketersesatan maka sult bag kta untuk memsahkan golongan mana yang terkena murka dan golongan mana yang terkena sesat. Kata kemurkaan dan kesesatan d dalam Al-Quran kadang dgunakan secara terpsah dan kadang juga dgunakan bersama-sama dalam satu ayat.

44 9 Yang jelas orang-orang yang menyembah berhala orang-orang musyrk orang-orang yang melanggar janj orang-orang yang mengngkar ayat-ayat Allah adalah mereka yang terkena murka dan mereka adalah orang-orang yang tersesat (Chodjm 00: ). amba yang tdak mendapat petunjuk Allah adalah orang-orang yang dmurka Allah dan yang tersesat jalan hdupnya. Manusa tu tersesat karena tdak mau menggunakan akalnya mereka tu dantaranya adalah sebaga berkut (adhr 00: 86) :. Orang ask Orang fask adalah orang mukmn atau orang muslm yang secara sadar melanggar ajaran Allah (Islam) atau dengan kata lan orang tersebut percaya akan adanya Allah percaya akan kebenaran Islam yang dbawa oleh Nab Muhammad SAW tetap dalam tndak perbuatannya mereka mengngkar terhadap Allah dan hukumnya selalu berbuat kerusakan dan kemaksatan.. Orang Zhalm Zalm berart lalm kejam suka menganaya. Adapun perbuatan zalm berasal dar makna penempatan sesuatu yang tdak pada tempatnya. Kezalman sendr juga bermakna kesyrkan. Orang-orang yang zalm adalah orang-orang yang melakukan perbuatan maksat perbuatan asusla bak tu yang tergolong dosa kecl atau dosa besar melakukan ragam bentuk pelanggaran membunuh merampok menyakt melakukan tpu muslhat member dan menerma suap

45 0 menyalahgunakan kewenangan jabatannya dem kepentngan drnya dan orang-orang terdekatnya memakan harta benda kaum manusa dan anak yatm dengan batl membunuh meklam dengan penuh kedustaan bersumpah d atas kebatlan menyesatkan kaum manusa tanpa dasar lmu menyakt tetangga-tetangga mereka menyksa kaum manusa akbat kesalahan yang dlakukan oleh selan mereka mengumbar hawa nafsu mereka tanpa lmu mencac mak orang lan mencela melaknat menyebar ab dan kejelekannya.. Orang Kafr Amalan orang kafr adalah takld buta mereka hanya mengkut nenek moyangnya tanpa mengetahu hukum yang semestnya. Mereka adalah orang-orang yang mendustakan ayat-ayat Allah. Kafr bermakna orang yang ngkaryang tdak berman (tdak percaya) atau tdak beragama Islam. Dengan kata lan orang kafr adalah orang yang tdak mau memperhatkan serta menolak terhadap segala hukum Allah atau hukum Islam yang dsampakan melalu para Rasul (Muhammad SAW) atau para penyampa dakwah/rsalah. Perbuatan yang semacam n dsebut dengan kufur.. Orang Musyrk Musyrk adalah orang yang mempersekutukan Allah mengaku akan adanya Tuhan selan Allah atau menyamakan sesuatu dengan Allah. Perbuatan tu dsebut musyrk. Syrk adalah perbuatan dosa yang palng

46 besar kerana tu kta harus menjauh perbuatan yang menjerumuskan kepada syrk.. Orang Munafk Munafk berasal dar kata nafaqa yang berart melahrkan sesuatu yang berlawanan dengan hat nurannya. Sedangkan dalam pengertan syara munafk adalah orang yang lahrnya menyatakan berman padahal hatnya kufur. Orang munafk termasuk golongan orang yang tdak mendapat hdayah atau petunjuk dar Allah sehngga jalan hdupnya yang dtempuh tdaklah mengandung nla-nla badah dan segala amal yang dkerjakan tdak mencar kerdhaan Allah. Orang munafk adalah orang yang bermuka dua mengaku berman padahal hatnya ngkar.... Al-Maghdhub (orang-orang yang terkena murkanya) Kata al-maghdhub hanya dpaka sekal d dalam al-quran yatu pada surat Al-athah. Kata dalam akar yang sama yang dgunakan adalah ghadhab dan kata kerja ghadba. Kata lan yang dgunakan dalam art marah adalah kata kerja sakhta. Namun yang dsfatkan kepada Tuhan bahwa Da menmpakan kemarahan kepada orang-orang yang mengngkar kebenaran adalah kata ghadhab. Pada surat al-nahl ayat 06 dsebutkan bahwa kelapangan hat menerma kekafran atau kengkaran terhadap ayat-ayat Tuhan tu menyebabkan mereka dtmpa oleh azab dan kemurkaan dar Tuhan. Mengngkar atau menutup dr dar

47 hal-hal yang benar yang ddatangkan kepada mereka menyebabkan kemurkaan Tuhan atas mereka. Pada ayat Al-Quran yang lan yatu pada surat Al-Baqarah ayat 90 dkatakan bahwa Allah menmpakan kemurkaan kepada orang-orang yang mengngkar ayat-ayatnya. Secara lahrah seolah-olah ayat-ayat tu menunjukkan bahwa Tuhan tu sepert raja yang kecewa terhadap manusa cptannya yang mengngkarnya (Chodjm 00: ). D dalam Al-Quran dapat dpaham bahwa magdhub alahm (orang-orang yang terkena murkanya) adalah orang-orang yang tdak terbmbng yang keras kepala atau munafk. Kelompok n yatu orang-orang yang terkena murkanya adalah orang-orang yang dsampng kekufuran mereka mengambl jalan kedeglan dan permusuhan kepada Allah. Sebagan ahl tafsr percaya bahwa maghdub alahm (orang-oarng yang terkena murkanya) mengacu kepada orang-orang Yahud. Kesmpulan n dambl karena respon-respon khas mereka terhadap seruan Islam. Sebab sepert yang jelas-jelas dtunjukkan oleh al-quran dalam beberapa ayat orang-orang Yahud yang tersesat senantasa menunjukkan dendam dan permusuhan terhadap dakwah Islam kendatpun semula para rahb dan kaum terpelajar mereka menjad pembawa kabar gembra tentang Islam. Namun dengan segera mereka menjad musuh Islam yang terkeras dan melakukan kejahatan apa saja yang dapat dlakukan guna menghadang kemajuan Islam dan Muslmn. In terjad karena pengaruh penympangan pkran keyaknan dan dugaan dan juga karena

48 keuntungan fnansal. Dengan demkan menyamakan orang-orang nlah yang terkena murkanya (Iman 006: 9).... Adh-Dhalln (orang-orang yang sesat) Kata dhalln bermakna orang-orang yang sesat. Dalam surat al-an am ayat 77 dterangkan bahwa Ibrahm meyadar bahwa rembulan tu bukan Tuhan. Lalu Ibrahm berkata sesungguhnya jka Tuhanku tdak memberkan petunjuk kepadaku nscaya aku termasuk dalam kaum yang sesat. D ayat n dtegaskan bahwa orang yang sesat adalah orang yang tdak mendapat petunjuk tentang keesaan Tuhan. Dengan kata lan orang-orang yang menyekutkan Tuhan atau orang-orang yang menyembah berhala adalah dhalln orang-orang yang sesat. Kata sesat juga merujuk pada tndakan yang tdak dlandas pengetahuan. Dengan kata lan perbuatan tanpa ddasar pengetahuan yang benar atau perbuatan yang hanya karena dorongan emos adalah perbuatan yang sesat. Serng kal perbuatan demkan n merugkan orang lan (Chodjm 00: 8). Sebagan ahl tafsr percaya bahwa adh-dhalln (orang-orang yang tersesat) merujuk kepada orang Nasran. Namun orang-orang sesat dar kaum Nasran yang menghadang Islam dengan tdak begtu mendendam namun tersesat karena salah pandang (mspercepton) akan agama Ilahah dan karena mereka menolak kebenaran. Mereka percaya kepada Tuhan Bapa Anak dan Ruhul Kudus. Inlah salah satu contoh ketersesatan dan penyelewengan terbesar. Mungkn juga bacaan adh-dhalln dmaksudkan kepada orang-orang yang tersesat tetap tdak menekan orang-orang selannya untuk tersesat juga

49 sedangkan magdhub alahm mengacu kepada orang-orang yang tersesat dan membuat orang lan tersesat juga. Mereka mencoba keras mempengaruh orang lan agar sepert mereka (Iman 006: 60).

50 BAB III PEMBAASAN Pada bab n akan dbahas tentang dekomposs graf pada graf komplt untuk n blangan asl. Pembahasan mengena dekomposs graf pada graf komplt K n dklasfkaskan menjad dua bagan yatu:. Dekomposs pada graf komplt K n ke dalam bentuk -faktor dengan n adalah blangan asl genap.. Dekomposs pada graf komplt K n dengan n adalah blangan asl ganjl. K n Dekomposs graf pada graf komplt K dmula dar n. n.. Dekomposs Graf pada Graf Komplt K n... Graf Komplt K n dmana n Cara menggambarkan graf komplt dmana n maka dmsalkan terlebh dahulu bahwa : K v 0 dan K v v maka graf komplt K K + K adalah: G : v 0 e e v e v Gambar.. Graf Komplt K

51 6 Graf komplt K mempunya E(G) {v v 0 v v v v 0 } dmana q. Jumlah ss graf komplt K adalah ganjl yatu sebanyak dan untuk memperoleh ss-ss yang dsjont maka ss-ss graf komplt K tersebut dapat dparts satusatu dengan aturan parts q( K p( K ). Sehngga ddapat koleks dan partsnya ) yatu E { } E { } dan E { } e e e. Parts ssss dar graf komplt K dtunjukkan sebaga berkut : v 0 v 0 e e v v v e v Dar gambar tersebut dapat dlhat bahwa dlakukan parts satu-satu dar jumlah ss K ganjl sehngga ddapat parts ss dengan masng-masng parts terdr dar ss. Jka G maka G adalah dekomposs. Koleks{ } adalah dekomposs dar graf G dan K maka G adalah K -dekomposable. Karena G adalah dekomposs dar graf G maka untuk masng-masng dan akan dbuktkan juga membentuk suatu faktor dengan menggunakan rumus ( p p( )) K dengan p adalah order dar G sehngga adalah faktorsas dar G.

52 7 Bukt bahwa K dekomposs membentuk suatu faktor: () Untuk E { } adalah sebaga berkut : e ( K p p( )) ( K ) K { e} K () Untuk E { } adalah sebaga berkut : e ( K p p( )) ( K ) K { e} K () Untuk E { } adalah sebaga berkut : e p p( )) ) K { e} K Karena masng-masng terdr dar satu ss dengan p( ) maka { e } K dapat dgambarkan sebaga berkut : e K dmana

53 8 Dar bukt tersebut dapat dketahu bahwa dekomposs graf K tdak membentuk suatu faktor karena dar gambar { e } K satu ttk yang tdak mempunya pasangan. tersebut terdapat... Graf Komplt K n dmana n Graf komplt K dapat dgambarkan sebaga berkut : G : e 6 v e e e e v v e Gambar.. Graf komplt K Graf komplt K mempunya E(G) {v v v v v v v v v } dmana q 6. Karena jumlah ss graf komplt K adalah genap yatu sebanyak 6 ss dan untuk mendapatkan ss-ss yang dsjont maka ss-ss graf komplt K tersebut dapat dparts dua-dua sehngga ddapat koleks dan partsnya yatu E { e } E { e } dan E { e } e 6 e ss-ss dar graf komplt K dtunjukkan sebaga berkut :. Parts e e 6 v v v e e e e v v e v v v v

54 9 Dar gambar tersebut dapat dlhat karena dlakukan parts dua-dua maka ddapat parts ss dengan masng-masng parts terdr dar ss. Jka G maka G adalah dekomposs. Karena dalam setap parts E { e } E { e } dan E { e } e 6 e adalah e merupakan subgraf merentang dar graf komplt K yang ss-ssnya adalah dsjont maka parts tersebut dapat dkatakan sebaga -faktor. al tersebut juga dapat dbuktkan menggunakan rumus berkut yatu ( ( )) K p p dengan p adalah order dar G sehngga adalah faktorsas dar G. Bukt bahwa K dekomposs membentuk suatu faktor: () Untuk E { e } adalah sebaga berkut : e 6 p p( )) ) { } e e 6 () Untuk E { e } adalah sebaga berkut : e p p( )) ) { } e e

55 0 () Untuk E { e } adalah sebaga berkut : e p p( )) ) { } e e Dar bukt tersebut dapat dlhat bahwa hmpunan ss yang dperoleh adalah sama dengan parts ss sehngga tetap membentuk -faktor. Koleks{ } adalah dekomposs dar graf G dan K maka G adalah K -dekomposable.... Graf Komplt K n dmana n Graf komplt K dapat dgambarkan sebaga berkut : G : e 8 e 0 v e 9 v e 7 e 6 e e e e v e v Gambar.. Graf Komplt K Graf komplt K mempunya E(G) {v v v v v v v v v v v v v v v v } dmana q 0. Jumlah ss graf komplt K adalah genap yatu

56 sebanyak 0 ss dan untuk memperoleh ss-ss yang dsjont maka ss-ss graf komplt K tersebut dapat dparts dua-dua dengan aturan parts q( K p( K ) ) sehngga ddapat koleks dan partsnya yatu E { e } e 9 E { e } E { e } E { e } e 6 { e }. E e 8 e 7 dan e0 Parts ss-ss dar graf komplt K dtunjukkan sebaga berkut : v e 9 v v v e 6 e e 7 e v e v v v v v e 0 e 8 v v v v e e v v Dar gambar tersebut dapat dlhat karena dlakukan parts dua-dua dar jumlah ssnya genap sehngga ddapat parts ss dengan masng-masng parts

57 terdr dar ss. Jka G maka G adalah dekomposs. Koleks{ } adalah dekomposs dar graf G dan K maka G adalah K -dekomposable. Karena G adalah dekomposs dar graf G maka untuk masng-masng dan akan dbuktkan juga membentuk suatu faktor dengan menggunakan rumus ( p p( )) K dengan p adalah order dar G sehngga adalah faktorsas dar G. Bukt bahwa K dekomposs membentuk suatu faktor: () Untuk E { e } adalah sebaga berkut : e 9 p p( )) ) K { e e 9} K () Untuk E { e } adalah sebaga berkut : e 6 p p( )) ) K { e e 6} K

58 () Untuk E { e } adalah sebaga berkut : e 7 p p( )) ) K { e e 7} K () Untuk E { e } adalah sebaga berkut : e0 p p( )) ) K { e e 0} K () Untuk E { e } adalah sebaga berkut : e 8 p p( )) ) K { e e8} K Karena masng-masng p( ) yang terdr dar dua ss maka { e e } K dapat dgambarkan sebaga berkut : n m untuk n e n K m e m

59 Dar bukt tersebut dapat dketahu bahwa dekomposs graf K tdak membentuk suatu faktor karena dar gambar { e e } K satu ttk yang tdak mempunya pasangan. tersebut terdapat n m... Graf Komplt K n dmana n 6 Graf komplt K 6 dapat dgambarkan sebaga berkut : G : v e v 6 e 0 e e e e v e 9 e 8 e 7 e e e e e 6 v e v Gambar.. Graf Komplt K 6 Graf komplt K 6 mempunya E(G) {v v v v v v v v v v v 6 v v v v v 6 v v 6 v 6 v v 6 v v v v } dmana q. Karena jumlah ss graf komplt K 6 adalah ganjl yatu sebanyak ss dan untuk memperoleh ssss yang dsjont maka ss-ss graf komplt K 6 tersebut dapat dparts tga-tga sehngga ddapat koleks dan partsnya yatu E { e e e } 9 E { e e e } E { e e e } E { e e e } 7 dan E { e e e }

60 Parts ss-ss dar graf komplt K 6 dtunjukkan sebaga berkut : v e v v e v 6 v v 6 e v v 6 e v e 9 e e 7 e v v v v v v e v v v 6 e 0 e v v 6 e 8 e e v e 9 v v v v Dar gambar tersebut dapat dlhat bahwa dlakukan parts tga-tga karena jumlah ssnya ganjl sehngga ddapat parts ss dengan masng-masng parts terdr dar ss. Jka G maka G adalah dekomposs. Karena dalam setap parts E { e e e } 9 E { e e e } E { e e e } E { e e e } 7 dan E { e e e } 6 8 adalah merupakan subgraf merentang dar graf komplt K 6 yang ss-ssnya adalah dsjont maka parts tersebut dapat dkatakan sebaga -faktor. 0

61 6 al tersebut dapat juga dbuktkan menggunakan rumus berkut yatu ( p p( )) K dengan p adalah order dar G sehngga adalah faktorsas dar G. Bukt bahwa K 6 dekomposs membentuk suatu faktor: () Untuk E { e e e } adalah sebaga berkut : 9 p p( )) 6 6) { e e e } 9 () Untuk E { e e e } adalah sebaga berkut : 7 p p( )) 6 6) { e e e } 7 () Untuk E { e e e } adalah sebaga berkut : p p( )) 6 6) { e e e }

62 7 () Untuk E { e e e } adalah sebaga berkut : 0 p p( )) 6 6) { e e e } 0 () Untuk E { e e e } adalah sebaga berkut : 6 8 p p( )) 6 6) { e e e } 6 8 Dar bukt tersebut dapat dlhat bahwa hmpunan ss yang dperoleh adalah sama dengan parts ss sehngga tetap membentuk -faktor. Koleks{ } adalah dekomposs dar graf G dan K maka G adalah K -dekomposable.

63 8.. Graf Komplt K n dmana n 7 Graf komplt K 7 dapat dgambarkan sebaga berkut : G : v e e 6 e e e e e 7 v 6 e e e 9 e 8 e 0 e e e v 7 e 6 e 9 e 0 v e 7 e 8 v e v Gambar.. Graf Komplt K 7 Graf komplt K 7 mempunya E(G) {v v v v v v v v v 6 v v 7 v v v v v v v 6 v v 7 v v v v v 6 v v 7 v v 6 v 7 v v 6 v v 7 v 6 v 7 } dmana q. Jumlah ss graf komplt K 7 adalah ganjl yatu sebanyak ss dan untuk memperoleh ss-ss yang dsjont maka ss-ss graf komplt K 7 tersebut dapat dparts tga-tga dengan aturan q( K 7 ) parts sehngga ddapat p( K ) 7 koleks dan partsnya yatu E { e e e } E { e e e } 9 E { e e e } E { e e e } E { e e e } E { e e e } dan E { e e e }

64 9 Parts ss-ss dar graf komplt K 7 dtunjukkan sebaga berkut : v v v 6 e e e v 7 e 9 v v 7 e v v v v e 0 v v 6 e 7 e v 7 e 6 v v 6 v 7 e 0 v v v e 7 e v v v e 6 v v 6 e v 6 e e v 7 v e 8 v e 9 v e v 6

65 0 v e 6 e 8 e e v 7 v v 7 Dar gambar tersebut dapat dlhat karena dlakukan parts tga-tga dar jumlah ssnya ganjl sehngga ddapat 7 parts ss dengan masng-masng parts terdr dar ss. Jka G 6 7 maka G adalah dekomposs. Koleks { } G adalah K -dekomposable. adalah dekomposs dar graf G dan K maka Karena G 6 7 adalah dekomposs dar graf G maka untuk masng-masng 6 dan 7 akan dbuktkan juga membentuk suatu faktor dengan menggunakan rumus ( p p( )) K dengan p adalah order dar G sehngga 6 7 adalah faktorsas dar G. Bukt bahwa K 7 dekomposs membentuk suatu faktor: () Untuk E { e e e } adalah sebaga berkut : 9 p p( )) 7 6)

66 K { e e e9} K () Untuk E { e e e } adalah sebaga berkut : 0 p p( )) 7 6) K { e e e0} K () Untuk E { e e e } adalah sebaga berkut : 7 6 p p( )) 7 6) K { e7 e6 e} K () Untuk E { e e e } adalah sebaga berkut : 0 7 p p( )) 7 6) K { e e0 e7} K () Untuk E { e e e } adalah sebaga berkut : 6 8 p p( )) 7 6)

67 K { e6 e e8} K (6) Untuk E { e e e } adalah sebaga berkut : p p( 6 )) 6 7 6) 6 K { e e9 e} K (7) Untuk E { e e e } adalah sebaga berkut : p p( 7 )) 7 7 6) 7 K { e e8 e} K Karena masng-masng p( ) 6 yang terdr dar tga ss maka { e e e } K dapat dgambarkan sebaga berkut : n n n e n e n e n K untuk n...