4.1 Algoritma Ortogonalisasi Gram-Schmidt yang Diperumum
|
|
- Suhendra Atmadja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB 4 ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM Diberikan sebarang barisan hingga vektor di ruang Hilbert berdimensi hingga. Pada bab ini akan diberikan algoritma untuk menghitung frame Parseval pada subruang yang dibangun oleh barisan vektor yang berhingga tersebut, sambil tetap mempertahankan sifat redundancy-nya. Di bagian akhir diberikan beberapa contoh penerapan algoritma tersebut. 4.1 Algoritma Ortogonalisasi Gram-Schmidt yang Diperumum Ortogonalisasi Gram-Schmidt merupakan algoritma standar untuk mendapatkan basis ortogonal. Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan {v 1, v 2,..., v n } adalah basis bagi V. Kita bentuk basis ortogonal {w 1, w 2,..., w n } untuk V dengan menggunakan v 1, v 2,..., v n. Pertama, bentuk w 1 = v 1 ( 0). Untuk k dengan 1 < k n 19
2 BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 20 kita bentuk w k secara induktif, melalui: w k = v k j=1 v k, w j w j, w j w j. Lebih jauh, w k = 0 jika dan hanya jika v k span {w 1,..., w k 1 }. Diberikan ruang Hilbert H berdimensi m dan barisan vektor f = (f i ) n H, dengan m < n. Kita bisa saja melakukan ortogonalisasi Gram-Schmidt yang akan menghasilkan basis ortogonal untuk subruang ini disertai sejumlah maksimal vektor nol. Akan tetapi, redundancy adalah bagian terpenting dari frame yang ingin kita pertahankan. Untuk itu, kita akan memperumum ortogonalisasi Gram-Schmidt agar dapat menghasilkan frame Parseval yang bukan merupakan basis ortogonal; dan lebih jauh tetap mempertahankan redundancy secara tepat. Berikut ini, akan diberikan algoritma untuk menghitung frame Parseval g = (g i ) n H untuk span {(f i ) n }. Untuk selanjutnya kita akan menyebut algoritma ini sebagai prosedur GGSP (Generalized Gram-Schmidt orthogonalization to compute Parseval frames). Misalkan Ω menyatakan pemetaan (f i ) n (g i ) n dari suatu barisan vektor di H ke barisan vektor yang lain di H yang diberikan oleh prosedur GGSP. Kita juga akan menggunakan notasi ((f i ) n, g) := (f 1,..., f n, g) untuk (f i ) n H dan g H. Dari Teorema 21 diketahui bahwa menerapkan S 1/2 pada barisan vektor (f i ) n H akan menghasilkan frame Parseval, dengan S menyatakan operator frame untuk barisan ini. Dalam prosedur GGSP, pada setiap iterasi, saat kita menambahkan satu vektor baru yang bergantung linier terhadap vektor-vektor lain yang telah dimodifikasi, kita menerapkan S 1/2 ke vektor-vektor tersebut dan vektor tambahannya, dimana dalam hal ini S menyatakan frame operator untuk himpunan vektor yang baru ini. Jika yang kita tambahkan adalah vektor yang bebas linier, kita mengortogonalisasi satu vektor ini menggunakan langkah Gram-Schmidt. Jadi, prosedur GGSP adalah suatu perumuman dari ortogonalisasi Gram-Schmidt.
3 BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 21 Prosedur GGSP (n, f; g) 0 untuk k := 1 hingga n lakukan 1 mulai 2 jika f k = 0 maka 3 g k := 0; 4 jika tidak 5 mulai 6 g k := f k k 1 j 1 f k, g j g j ; 7 jika g k 0 maka 8 g k := 1 g k g k; 9 jika tidak 10 mulai 11 untuk i := 1 hingga k 1 lakukan ) g i :=g i f 1 g i, f k f k ; k 2 f k 2 ( 12 g k := 1 1+ f k 2 g k; 13 akhiri; 14 akhiri; 15 akhiri; akhiri. Teorema berikut ini akan menunjukkan bahwa prosedur GGSP tidak hanya menghasilkan frame Parseval untuk span {(f i ) n }, tetapi bahkan pada setiap iterasi juga menghasilkan frame Parseval spesial untuk span { (f i ) k }, k = 1,..., n. Teorema 22. Misalkan n N dan (f i ) n H. Maka, untuk setiap k {1,..., n} barisan vektor Ω((f i ) k ) adalah frame Parseval untuk span { } (f i ) k = span { Ω((f i ) k ) }. Lebih khusus, untuk setiap k {1,..., n} berlaku kondisi berikut ini. 1. Jika f k span { f i ) k }, maka Ω((f i ) k ) = (S 1/2 (Ω((f i ) k 1 ), f k)),
4 BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 22 Dengan S adalah operator frame untuk (Ω((f i ) k 1 ), f k). 2. Jika f k / span { (f i ) k }, maka dan Ω((f i ) k ) = (Ω((f i ) k 1 ), g k), g k H, g k = 1 g k Ω((f i ) k 1 ). Bukti. Kita akan membuktikan klaim pertama dengan induksi dan sementara itu di setiap langkah akan kita buktikan bahwa, secara khusus, klaim (i) dan (ii) dipenuhi. Pertama, misalkan l menyatakan bilangan terkecil di {1,..., n} dengan f l 0. Jelas bahwa untuk setiap k {1,..., l 1}, himpunan vektor g k yang dibangun (lihat baris 3 dari prosedur GGSP) membentuk frame Parseval untuk span { (f i ) k } = 0 dan karena itu (i) dipenuhi. Hipotesis (ii) tidak berlaku untuk hal ini. Berikutnya perhatikan bahwa dalam kasus k = l kita peroleh g k := 1 f k f k (baris 8), yang jelas merupakan frame Parseval untuk span { (f i ) k } = span {fk }. Dengan mudah dapat dilihat bahwa (i) dan (ii) dipenuhi. Sekarang perhatikan untuk k {l + 1,..., n}, ambil k tetap. Asumsikan bahwa barisan ( g k ) k 1 := Ω((f i ) k 1 ) adalah frame Parseval untuk span { (f i ) k 1 } = span { ( g k ) k 1 }. Masalah ini dapat dibagi menjadi dua kasus. Kasus 1: vektor g k trivial. Ini mengimplikasikan bahwa := f k k 1 j=1 f k, g j g j yang dihitung di baris 6 bersifat span { } { } { } (f i ) k 1 = span ( gi ) k 1 = span (fi ) k (4.1) Karena jika tidak demikian maka langkah ortogonalisasi Gram-Schmidt akan menghasilkan vektor yang tidak trivial. Secara khusus, hanya hipotesis (i) yang berlaku. Sekarang misalkan P adalah proyeksi ortogonal dari H pada span {f k }. Untuk menghitung S 1/2, dengan S adalah operator frame untuk (( g i ) k 1, f k), pertamatama akan kita tunjukkan bahwa setiap (I P ) g i, i = 1,..., k 1 adalah vektor eigen untuk S yang berhubungan dengan nilai eigen 1 atau vektor nol. Klaim ini
5 BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 23 berasal dari kenyataan bahwa S(I P ) g i = = (I P ) g i, g j g j + (I P ) g i, f k f k j=1 (I P ) g i, g j g j j=1 = (I P ) g i, karena ( g i ) k 1 adalah frame Parseval untuk span { ( g i ) k 1 }. Selain itu, fk juga merupakan vektor eigen untuk S, yang berhubungan dengan nilai eigen 1 + f k 2, yang dibuktikan oleh perhitungan berikut: Sf k = f k, g j g j + f k, f k f k = (1 + f k 2 )f k. j=1 Menggunakan f k sebagai basis eigen untuk P (span { ( g i ) k 1 } ) dan sebarang basis eigen untuk (I P )(span { ( g i ) k 1 } ), kita dapat mendiagonalisasikan S untuk menghitung S 1/2. Bersama dengan fakta bahwa (I P ) g i, i = 1,..., k 1 adalah vektor eigen untuk S yang berhubungan dengan nilai eigen 1 dan bahwa S(I P )f k = 0 menghasilkan S 1/2 g i = f k 2 P g i + (I P ) g i untuk 1 i k 1 dan S 1/2 f k = f k 2 f k. Bandingkan persamaan ini dengan baris 11 dan 12 dari prosedur GGSP. Maka, akan kita dapatkan fakta bahwa Ω((f i ) k ) = (S 1/2 (( g i ) k 1, f k)), yaitu (i). Dari Teorema 21 dan (4.1), kita peroleh implikasi bahwa barisan Ω((f i ) k ) adalah frame Parseval untuk span { Ω((f i ) k ) } = span { (f i ) k }. Kasus 2: Kondisi di baris 7 terjadi, yaitu kita peroleh g k := (f k k 1 j=1 f k, g j g j )/ ( fk ) k 1 j=1 f k, g j g j 0. Kemudian, kita bentuk g i := g i untuk setiap i = 1,..., k 1. Jelas bahwa g k = 1. Lebih jauh, dari hipotesis induksi telah kita tunjukkan bahwa ( g i ) k 1 membentuk frame Parseval, maka untuk setiap i = 1,..., k 1,
6 BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 24 kita peroleh g i, f k f k, g j g j = g i, f k g i, f k = 0. j=1 Jadi g k adalah vektor yang ternormalkan, yang orthogonal terhadap g 1,..., g k 1. Dengan demikian, (ii) dipenuhi dan, untuk semua h span { (g i ) k }, kita dapatkan k h, g i 2 = (I P )h, g i 2 + P h, g k 2 = (I P )h 2 + P h 2 = h 2, dengan P adalah proyeksi ortogonal dari H pada span {g k }. Hal ini membuktikan bahwa (g i ) k = Ω((f i ) k ) adalah frame Parseval untuk span { Ω((f i ) k ) }. Lebih jauh, kita peroleh span { Ω((f i ) k ) } { = span (f i ) k 1, f k } k 1 j=1 f k, g j g j = span { (f i ) k }. Dengan demikian kita telah sampai pada akhir dari bukti karena hipotesis (i) tidak berlaku dalam kasus ini. Algoritma prosedur GGSP dapat dipandang sebagai prosedur Gram-Schmidt yang berjalan mundur dengan pemahaman bahwa di setiap iterasi, jika vektor yg ditambahkan bergantung linier terhadap vektor-vektor lain yang telah dihitung, tidak hanya vektor ini yang dimodifikasi, tetapi juga semua vektor yang lain disusun ulang bersesuaian dengan vektor yang baru tadi sehingga himpunan vektor yang baru akan membentuk frame Parseval. 4.2 Implementasi Algoritma Prosedur GGSP Untuk memberi gambaran lebih jauh dari prosedur GGSP, pada subbab ini kita akan mempelajari 4 contoh. Contoh pertama dan kedua menunjukkan bahwa urutan vektor sangat berpengaruh pada frame Parseval yang dihasilkan. Contoh ketiga menunjukkan bahwa frame Parseval yang diperoleh mewarisi bentuk geometri dari vektor-vektor masukan secara khusus. Contoh keempat menunjukkan kelemahan prosedur GGSP. Akan tetapi, tugas akhir ini tidak akan terlalu rinci membahas bagaimana prosedur GGSP mewariskan sifat geometri serta kelemahan prosedur GGSP tersebut.
7 BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 25 Contoh 3. Diberikan barisan vektor: ((1, 0.1), (1, 0.2), (1, 0.3), (1, 0.4), (1, -0.1), (1, -0.2), (1, -0.3) (1, -0.4)) sebagai input untuk prosedur GGSP. Untuk setiap contoh tersebut diberikan gambar-gambar yang menunjukkan proses perubahan vektor akibat prosedur GGSP. Ortogonalisasi Gram-Schmidt terjadi dua kali karena barisan vektor yang kita gunakan sebagai contoh berada di ruang vektor R 2. Di langkah-langkah berikutnya, vektor tambahan yang baru bergantung linier terhadap vektor-vektor yang telah dimodifikasi. Karena itu, proses kita harus melewati baris 11 dan 12, dan vektor-vektor yang telah dimodifikasi tadi akan kembali diubah di setiap langkah.
8 BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 26 Contoh 4. Diberikan barisan vektor: ((1, -0.4), (1, -0.3), (1, -0.2), (1, -0.1), (1, 0.4), (1, 0.3), (1, 0.2) (1, 0.1)) sebagai input untuk prosedur GGSP. Urutan dari barisan vektor ini merupakan kebalikan dari barisan vektor pada contoh 3. Meskipun himpunan vektor yang digunakan pada contoh 3 dan contoh 4 sama, akan tetapi dapat dilihat bahwa frame Parseval yang dihasilkan oleh barisan vektor di contoh 4 sangat berbeda dengan contoh 3. Hal ini merupakan dampak dari ortogonalisasi Gram-Schmidt yang sensitif terhadap urutan vektor. Untuk contoh 5, kita gunakan barisan vektor di contoh 2. Selama prosedur GGSP dijalankan, vektor-vektor yang sudah dimodifikasi tetap mempertahankan bentuk
9 BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 27 geometrinya. Contoh 5 bisa jadi mengindikasikan bahwa hingga suatu tingkatan tertentu, barisan vektor yang dihasilkan mewarisi sifat geometri dari barisan vektor inputnya. Contoh 5. Diberikan barisan vektor: ((1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)) sebagai input untuk prosedur GGSP; yaitu barisan vektor di contoh 2 yang merupakan frame ketat dengan batas frame = 2. Pada contoh 6, kita gunakan barisan vektor yang dihasilkan oleh prosedur GGSP untuk contoh 5. Meskipun barisan vektor yang digunakan adalah frame Parseval, ternyata prosedur GGSP tidak mampu mengenalinya, bahkan justru menghasilkan barisan vektor yang berbeda (tidak terlalu mewarisi sifat geometri dari barisan vektor yang diberikan). Pengertian dari mewarisi sifat geometri adalah barisan vektor input dan barisan vektor yang dihasilkan memiliki bentuk yang sejenis. Lihat contoh 6, jika kita hubungkan setiap 2 titik terdekat dengan sebuah garis lurus, maka barisan vektor input akan membentuk suatu belah ketupat sempurna, sedangkan barisan vektor
10 BAB 4. ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM 28 yang dihasilkan tidak. Untuk penjelasan lebih lanjut mengenai kelemahan prosedur GGSP ini dapat dirujuk ke [5]. Contoh 6. Diberikan barisan vektor: 1 / 2 2 ((1, 0), (0, 1), ( 1, 0), (0, 1)) sebagai input untuk prosedur GGSP. Perhatikan bahwa barisan vektor tersebut merupakan frame Parseval yang kita peroleh dari contoh 5.
BAB 2 RUANG HILBERT. 2.1 Definisi Ruang Hilbert
BAB 2 RUANG HILBERT Pokok pembicaraan kita dalam tugas akhir ini berpangkal pada teori ruang Hilbert. Untuk itu di bab ini akan diberikan definisi ruang Hilbert dan ciri-cirinya, separabilitas ruang Hilbert,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pembahasan mendasar mengenai matriks terutama yang berkaitan dengan matriks yang dapat didiagonalisasi telah jelas disajikan dalam referensi yang biasanya digunakan
Lebih terperinciDASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT
DASAR-DASAR TEORI RUANG HILBERT Herry P. Suryawan 1 Geometri Ruang Hilbert Definisi 1.1 Ruang vektor kompleks V disebut ruang hasilkali dalam jika ada fungsi (.,.) : V V C sehingga untuk setiap x, y, z
Lebih terperincidari ruang vektor berdimensi hingga V (dimana I adalah suatu himpunan indeks) disebut basis bagi V jika V = span(ψ) dan vektorvektor
BAB 3 FRAME Sinyal kontinu dapat kita diskritisasi dengan menggunakan ekspansi vektor. Sifat yang paling esensial untuk melakukan hal tersebut adalah adanya operator yang menjamin bahwa ekspansi vektor
Lebih terperinciUNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat
Lebih terperinciRuang Hasil Kali Dalam
Ruang Hasil Kali Dalam (Gram Schmidt) Wono Setya Budhi KKAG FMIPA ITB v 0.1 Maret 2015 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 1 / 13 Misalkan S subhimpunan di V, kita
Lebih terperinciBAB III MATRIKS HERMITIAN. dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks
BAB III MATRIKS HERMITIAN Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks Hermitian merupakan kelas
Lebih terperinciAnalisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert
Lebih terperinciSUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126
Lebih terperinciSUBRUANG MARKED. Suryoto Jurusan Matematika, FMIPA-UNDIP Semarang. Abstrak
SUBRUANG MARKED Suryoto Jurusan Matematika, FMIPA-UNDIP Semarang Abstrak Misalkan V suatu ruang vektor berdimensi hingga atas lapangan kompleks C, T operator linier nilpoten pada V dan W subruang T-invariant
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM UNTUK MEMBANGUN FRAME PARSEVAL
ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM UNTUK MEMBANGUN FRAME PARSEVAL TUGAS AKHIR Diajukan untuk Memenuhi Persyaratan Sidang Sarjana Program Studi Matematika ITB Disusun oleh: Maria Anestasia 10103014
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Analisis fungsional merupakan salah satu cabang dari kelompok analisis
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Analisis fungsional merupakan salah satu cabang dari kelompok analisis yang membahas operator, operator linear dan sifat-sifatnya. Sebuah pemetaan antar ruang bernorm
Lebih terperinciBeberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert
Vol 12, No 2, 153-159, Januari 2016 Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert Firman Abstrak Misalkan adalah operator linier dengan adalah ruang Hilbert Pada operator linier dikenal istilah
Lebih terperinciPERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1
PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Ruang Metrik Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental dalam analisis fungsional,
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciPROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK414515 DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
Lebih terperinciOperasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut
RUANG VEKTOR REAL Aksioma ruang vektor, dinyatakan dlam definisi beikut, dimana aksiona merupakan aturan permainan dalam ruang vektor. Definisi : Jika V merupakan suatu himpunan tidak kosong dari objek
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 6 KUANTOR III: INDUKSI (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Pernyataan Berkuantor Universal (1) Pada bab sebelumnya kita telah membahas metode
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciBAB III KEKONVERGENAN LEMAH
BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciAljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperinci7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
Lebih terperinciEigen value & Eigen vektor
Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,
Lebih terperinciANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. September 12, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. September 12, 2011 Teorema 11 pada Bab 3 memberi kita cara untuk menyelidiki kekonvergenan sebuah barisan tanpa harus mengetahui
Lebih terperinciKaitan Antara Homomorfisma Pada Graf dan Homomorfisma Pada Aljabar Graf
Kaitan Antara Homomorfisma Pada Graf dan Homomorfisma Pada Aljabar Graf Nunung Nurhidayah, Rizky Rosjanuardi, Isnie Yusnitha Departemen Pendidikan Matematika, Universitas Pendidikan Indonesia Correspondent
Lebih terperinciPertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan:
Dimensi dari Suatu Ruang Vektor Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu himpunan S yang merentang V, maka ukuran dari sembarang himpunan di V yang bebas linier tidak akan melebihi ukuran dari S. Teorema
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)
Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah 3. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand
Aljabar Linier Kuliah 3 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 3 Jumlah Langsung, Hasilkali Langsung Himpunan Pembangun (Spans) dan Bebas Linier 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2
Lebih terperinciKetaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan Bessel, dan Kesamaan Parseval di Ruang n-hasilkali Dalam Baku. Hendra Gunawan
Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, Ketaksamaan Bessel, dan Kesamaan Parseval di Ruang n-hasilkali Dalam Baku Hendra Gunawan Departemen Matematika, ITB, Bandung 40132 hgunawan@dns.math.itb.ac.id 1 Abstrak Beberapa
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer
Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah
Lebih terperinciEdisi Juni 2011 Volume V No. 1-2 ISSN SIFAT-SIFAT RUANG HASIL KALI DALAM-n KOMPLEKS
SIFAT-SIFAT RUANG HASIL KALI DALAM-n KOMPLEKS Sri Maryani Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto Email : sri.maryani@unsoed.ac.id Abstract Inner
Lebih terperinciPENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat
Lebih terperinciLatihan 5: Inner Product Space
Latihan 5: Inner Product Space Diketahui vektor u v w ϵ R di mana u = v = Hitunglah : a b c d e f Diketahui vektor u v ϵ R di mana u = dan v = Carilah
Lebih terperinciBAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR
BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR A. DEFINISI DASAR 1. Definisi-1 Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang vektor W adalah aturan perkawanan sedemikian sehingga setiap vektor v V dikawankan
Lebih terperinciKode, GSR, dan Operasi Pada
BAB 2 Kode, GSR, dan Operasi Pada Graf 2.1 Ruang Vektor Atas F 2 Ruang vektor V atas lapangan hingga F 2 = {0, 1} adalah suatu himpunan V yang berisi vektor-vektor, termasuk vektor nol, bersama dengan
Lebih terperinciBAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA. Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang
BAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang bertujuan untuk mereduksi dimensi data dengan membentuk kombinasi linear
Lebih terperinciRENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 526 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional
Ming gu ke RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 56 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional T o p i k S u b T o p i k 1. Ruang Banach - Ruang metrik - Ruang vektor bernorm - Barisan di ruang
Lebih terperinciJika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Lebih terperinciCHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah 2 30/8/2014 2
30/8/2014 1 Aljabar Linier Kuliah 2 30/8/2014 2 Bab 1 Subpokok Bahasan Ruang Vektor Subruang Subruang Lattice Jumlah Langsung Himpunan Pembangun dan Bebas Linier Dimensi Ruang Vektor Basis Terurut dan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Perkalian skalar perplectic merupakan bagian dari teori perkalian skalar indefinite. Untuk menjelaskan pengertian perkalian skalar perplectic, terlebih dahulu
Lebih terperinciSUMMARY ALJABAR LINEAR
SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciPROYEKSI ORTOGONAL PADA RUANG HILBERT. Skripsi
PROYEKSI ORTOGONAL PADA RUANG HILBERT Skripsi Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memenuhi Gelar Sarjana
Lebih terperinciBASIS DAN DIMENSI. dengan mengurangkan persamaan kedua dengan persamaan menghasilkan
BASIS DAN DIMENSI Representasi Basis Jika S={v 1,v,...,v n ) adalah suatu basis dari ruang vektor V, maka tiap vektor v pada V dapat dinyatakan dalam bentuk v= c 1 v 1 + c v +... c n v n dengan cepat satu
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor
Lebih terperinciANALISIS NUMERIK LANJUT. Hendra Gunawan, Ph.D. 2006/2007
ANALISIS NUMERIK LANJUT Hendra Gunawan, Ph.D. 2006/2007 BAB I. RUANG LINEAR Pelajari definisi dan contoh: ruang linear (hal. 1-3); subruang (hal. 3); kombinasi linear (hal. 4); bebas/bergantung linear
Lebih terperinciREDUNDANSI FRAME DAN PENGARUHNYA PADA DEKOMPOSISI FUNGSI DI RUANG HILBERT
Page 1 of 33 REDUNDANSI FRAME DAN PENGARUHNYA PADA DEKOMPOSISI FUNGSI DI RUANG HILBERT SUZYANNA NRP.1208 201 002 July 13, 2010 ABSTRAK Page 2 of 33 Konsep frame di ruang hasil kali dalam dapat dipandang
Lebih terperinciRUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR
7//5 RUANG VEKTOR UMUM Yang dibahas.. Ruang vektor umum. Subruang. Hubungan dependensi linier 4. Basis dan dimensi 5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank dan nulitas AKSIOMA RUANG VEKTOR V disebut
Lebih terperinciTable of Contents. Table of Contents 1
Table of Contents Table of Contents 1 1 Pendahuluan 2 1.1 Koreksi dan deteksi pola kesalahan....................... 5 1.2 Laju Informasi.................................. 6 1.3 Efek dari penambahan paritas..........................
Lebih terperinciBAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Hasil Kali Dalam 2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam 3.Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4.Perubahan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. umum ruang metrik dan memperluas pengertian klasik dari ruang Euclidean R n, sehingga
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Permasalahan Permulaan munculnya analisis fungsional didasari oleh permasalahan pada kurang memadainya metode analitik klasik pada fisika dan astronomi matematika.
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinci8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari
8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W. Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
Lebih terperinciAnalisis Matriks. Ahmad Muchlis
Analisis Matriks Ahmad Muchlis January 22, 2014 2 Notasi Pada umumnya matriks yang kita bicarakan dalam naskah ini adalah matriks kompleks. Himpunan semua matriks kompleks [real] berukuran m n dinyatakan
Lebih terperinciBAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F
BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN
KS091206 Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui apakah suatu vektor bebas linier atau tak bebas
Lebih terperinciI. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde 1 (Review)
I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 () I. Sistem Persamaan Diferensial Linier Orde (Review) November 0 / 6 Teori Umum Bentuk umum sistem persamaan diferensial linier orde satu
Lebih terperinci9. Teori Aproksimasi
44 Hendra Gunawan 9 Teori Aproksimasi Mulai bab ini tema kita adalah aproksimasi fungsi dan interpolasi Diberikan sebuah fungsi f, baik secara utuh ataupun hanya beberapilai di titik-titik tertentu saja,
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks
Lebih terperinciSOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat menghitung eigen value dan eigen vector
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Pendahuluan Ruang vektor tidak hanya terbatas maksimal 3 dimensi saja 4 dimensi, 5 dimensi, dst ruang n-dimensi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka sekuens sebanyak n
Lebih terperinciALJABAR LINIER JILID II (Aproksimasi terbaik;kuadrat terkecil)
ALJABAR LINIER JILID II (Aproksimasi terbaik;kuadrat terkecil) Setelah lama blog ini kosong sama tulisan,akhirnya ada tulisan baru juga. Pada tulisan kali ini sya di tuntut untuk menjelaskan materi pada
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI. 2.1 Pengantar Proses Stokastik
Bab 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan penjelasan singkat mengenai pengantar proses stokastik dan rantai Markov, yang akan digunakan untuk analisis pada bab-bab selanjutnya. 2.1 Pengantar Proses
Lebih terperinciMATRIKS BENTUK KANONIK RASIONAL DENGAN MENGGUNAKAN PEMBAGI ELEMENTER INTISARI
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 6, No. (17), hal 7 34. MATRIKS BENTUK KANONIK RASIONAL DENGAN MENGGUNAKAN PEMBAGI ELEMENTER Ardiansyah, Helmi, Fransiskus Fran INTISARI Pada
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Dalam ilmu matematika, banyak pembahasan di bidang analisis dan topologi yang memerlukan pengertian ruang Hilbert. Ruang Hilbert merupakan konsep abstrak yang mendasari
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 4. Fungsi Kontinu 4.1 Konsep Kekontinuan Fungsi kontinu Limit fungsi dan limit barisan Prapeta himpunan buka 4.2 Sifat-Sifat Fungsi
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinci6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
Lebih terperinciLAPORAN TUGAS AKHIR. Topik Tugas Akhir : Kajian Matematika Murni PENERAPAN PROSES ORTHOGONALISASI GRAM-SCHMIDT DALAM MEMBENTUK FAKTORISASI QR
LAPORAN TUGAS AKHIR Topik Tugas Akhir : Kajian Matematika Murni PENERAPAN PROSES ORTHOGONALISASI GRAM-SCHMIDT DALAM MEMBENTUK FAKTORISASI QR TUGAS AKHIR Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Lebih terperinciBAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Ruang n Euclid 2. Transformasi Linier dari R n dan R m 3. Sifat-sifat Transformasi Linier 4.1 RUANG N EUCLID Jika di bab
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 26
Aljabar Linier Elementer Kuliah 26 Materi Kuliah Transformasi Linier Umum Kernel dan Range 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2 Transformasi Linier Umum Definisi Misalkan V dan W adalah ruang vektor
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciOPERATOR FREDHOLM. Kartika Yulianti December 20, 2007
OPERATOR FREDHOLM Kartika Yulianti 20106010 December 20, 2007 1 Orientasi De nition 1 Misalkan X, Y adalah ruang Banach. Sebuah operator A 2 B(X; Y ) disebut operator Fredholm dari X ke Y, jika : 1. (A)
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Integral Lebesgue merupakan suatu perluasan dari integral Riemann. Sebagaimana telah diketahui, pengkonstruksian integral Riemann dilakukan dengan cara pemartisian
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Ilmu Matematika merupakan salah satu cabang ilmu yang berperan penting dalam berbagai bidang. Salah satu cabang ilmu matematika yang banyak diperbincangkan
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Misalkan diberikan suatu ruang vektor atas lapangan R atau C. Jika
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Misalkan diberikan suatu ruang vektor atas lapangan R atau C. Jika dilengkapi dengan suatu norma., maka dikenal bahwa suatu ruang vektor bernorma. Kemudian
Lebih terperinciBAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN
BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan
Lebih terperinciSyarat Perlu dan Cukup Struktur Himpunan Transformasi Linear Membentuk Semigrup Reguler 1
Syarat Perlu dan Cukup Struktur Himpunan Transformasi Linear Membentuk Semigrup Reguler Karyati Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoocom Abstrak Pada kajian
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan
Lebih terperinciBAB III FUNGSI UJI DAN DISTRIBUSI
BAB III FUNGSI UJI DAN DISTRIBUSI Bab ini membahas tentang fungsi uji dan distribusi di mana ruang yang memuat keduanya secara berturut-turut dinamakan ruang fungsi uji dan ruang distribusi. Ruang fungsi
Lebih terperinciCandi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta Telp. : ; Fax. :
ii Aljabar Linear Kata Pengantar iii iv Aljabar Linear ALJABAR LINEAR Oleh : Setiadji Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2008 Hak Cipta 2008 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak
Lebih terperinciOPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS
OPERATOR PADA RUANG BARISAN TERBATAS Muslim Ansori *,Tiryono 2, Suharsono S 2,Dorrah Azis 2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung,2 Jln. Soemantri Brodjonegoro No Bandar Lampung email: ansomath@yahoo.com
Lebih terperinciALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN INTERVAL LINEAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No. 3 (2015), hal 313 322. ALGORITMA ELIMINASI GAUSS INTERVAL DALAM MENDAPATKAN NILAI DETERMINAN MATRIKS INTERVAL DAN MENCARI SOLUSI SISTEM
Lebih terperinciMODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS
MODUL DAN KEUJUDAN BASIS PADA MODUL BEBAS MODULES AND BASES OF FREE MODULES Dian Mardiani Pendidikan Matematika, STKIP Garut Garut, Indonesia Alfid51@yahoo.com Abstrak Penelitian ini membahas beberapa
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5 KUANTOR II: METODE MEMILIH (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Masih Berurusan dengan Kuantor Sekarang kita akan membahas metode memilih,
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 6 Ruang Hasil Kali Dalam Sub Pokok Bahasan Definisi Ruang Hasilkali Dalam Himpunan ortonormal Proses Gramm Schmidt Aplikasi RHD Metode Optimasi seperti metode
Lebih terperinci