Teori Himpunan. Author-IKN. MUG2B3/ Logika Matematika 9/8/15

Transkripsi

1 Teori Himpunan Author-IKN 1

2 Materi Jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Hukum-Hukum Operasi Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan 2

3 Teori Himpunan Himpunan Sekumpulan elemen unik, terpisah, dan tanpa urutan tertentu. contoh: himpunan mahasiswa IK Notasi x D artinya x adalah elemen himpunan D x D artinya x bukan elemen himpunan D 3

4 Representasi Himpunan Enumerasi/eksplisit Contoh: D = {a,b,c,d} Implisit Contoh: D = {1,2,3, } Notasi Baku N = himpunan bilangan asli Z = himpunan bilangan bulat Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan real C = himpunan bilangan kompleks 4

5 Representasi Himpunan Notasi pembentuk himpunan Contoh: D = {x x Z, 0<x<10} Diagram Venn 5

6 Kardinalitas Definisi Kardinalitas (bilangan kardinal) dari sebuah himpunan adalah banyaknya elemen dalam himpunan tersebut. Kardinalitas himpunan A dinotasikan A Contoh: Jika A = {a,b,c,d}, maka A = 4 Jika N = {x x2 8x + 12 = 0}, maka N = 2 6

7 Relasi Himpunan Himpunan Semesta (Universal) Himpunan yang anggotanya merupakan semua objek yang mungkin ada. Dinotasikan dengan S atau U Himpunan Kosong (Null Set) Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki elemen. Dinotasikan dengan {} atau Contoh: F = {x x < x} 7

8 Relasi Himpunan Himpunan Bagian (Subset) A dikatakan himpunan bagian (subset) dari B jika hanya jika setiap anggota A merupakan anggota B dan dilambangkan dengan A B. Contoh: Himpunan B = {c,d} merupakan himpunan bagian dari himpunan A = {a,b,c,d}. 8

9 Relasi Himpunan Himpunan Sama Himpunan A dan B dikatakan sama dan dinotasikan A = B, jika dan hanya jika A B dan B A. Contoh: Himpunan A = {a,b,c,d} dan B = {b,c,a,d} adalah himpunan yang sama 9

10 Relasi Himpunan Himpunan Bagian Sejati (Proper Subset) Himpunan A dikatakan himpunan bagian sejati (proper subset) dari B jika A B dan minimal ada satu anggota B yang bukan anggota A, biasa ditulis A B. Contoh: Himpunan A = {c,d} merupakan himpunan bagian dari himpunan B = {a,b,c,d}. 10

11 Relasi Himpunan Himpunan Kuasa (Power Set) Himpunan kuasa dari himpunan A adalah himpunan yang memuat semua himpunan bagian S. Himpunan kuasa S dinotasikan sebagai P(S). Contoh: Himpunan A = {a,1,2} memiliki himpunan bagian : {a},{1},{2},{a,1},{a,2},{1,2},{a,1,2} Maka P(A) = {,{a},{1},{2},{a,1},{a,2},{1,2},{a,1,2}} Kardinalitas untuk himpunan kuasa P(S) adalah P(S) = 2 S 11,

12 Relasi Himpunan Himpunan Berpotongan Himpunan A dan B dikatakan berpotongan jika dan hanya jika ada elemen A yang menjadi elemen B. Contoh: A = {x x2 8x + 12 = 0} dan B = {x x2 4 = 0} berpotongan P = {x x2 8x + 12 = 0} dan Q = {1,3,5} tidak berpotongan 12

13 Relasi Himpunan Himpunan Saling Lepas Himpunan A dan B dikatakan saling lepas dan dinotasikan A B jika dan hanya jika kedua himpunan tidak kosong dan tidak mempunyai elemen yang sama Contoh: A = {x x2 8x + 12 = 0} dan B = {x x2 4 = 0} tidak saling lepas P = {x x2 8x + 12 = 0} dan Q = {1,3,5} saling lepas 13

14 Relasi Himpunan Himpunan Ekivalen Dua himpunan berhingga A dan B dikatakan ekuivalen jika hanya jika banyak elemen kedua himpunan tersebut sama Contoh: Himpunan A = {1,2,3,4} dan B = {a,b,c,d} adalah himpunan ekivalen Himpunan P = {a,b,c} dan Q = {p,q,r,s} adalah himpunan tak ekivalen 14

15 Operasi Himpunan Gabungan (Union) Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen A atau semua elemen B atau elemen keduanya. Secara notasi dapat ditulis A B = {x x A x B} Contoh: P Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka Q = {a,b,c,d,e,f} A B dan B A merupakan dua himpunan yang sama. Kedua himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A B. 15

16 Operasi Himpunan Irisan (Intersection) Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. Secara notasi dapat ditulis A B = {x x A x B} Contoh: Jika P = {a,b,c} dan Q = {1,2}, maka P Q =. Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P Q = {c,d} A B dan B A merupakan dua himpunan yang sama. Kedua himpunan A dan B masing-masing memuat A B. 16

17 Operasi Himpunan Komplemen Komplemen suatu himpunan A adalah himpunan semua elemen dalam semesta yang bukan elemen A. Secara notasi dapat ditulis Ac = {x x S x A} Contoh: Jika P = {a,b,c} dan S= {a,b,c,d,e,f,g}, maka Pc ={d,e,f,g} A Ac = S dan A Ac = Sc = dan c = S (Ac) c = A 17

18 Operasi Himpunan Selisih (Difference) Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua elemen A yang bukan elemen B. Secara notasi dapat ditulis A B atau A/B A B = {x x A x B} Contoh: Jika P = {a,b,c} dan Q= {1,2}, maka P Q = P Jika P = {a,b,c,d} dan Q = {c,d,e,f}, maka P Q = {a,b} A B dan A Bc merupakan himpunan yang sama. 18

19 Operasi Himpunan Selisih Simetris (Symmetric Difference) Perbedaan simetris himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B tetapi tidak pada keduanya. Secara notasi dapat ditulis A B = {x (x A x B) (x (A B))} Contoh: Jika P = {2,4,6} dan Q= {2,3,5}, maka P Q = {3,4,5,6} 19

20 Diagram Venn Gabungan A B Irisan A B 21

21 Diagram Venn Komplemen Ac Selisih A B 22

22 Diagram Venn Perbedaan Simetri A B 23

23 Latihan Soal Misalkan himpunan semesta S = {1,2,3,,10}, A = {2,4,7,9}, B = {1,4,6,7,10}, dan C= {3,5,7,9}. Tentukan himpunan hasil operasi, serta gambar diagram Venn-nya. 24

24 Latihan Soal Diketahui himpunan A = {a,b,1,2,3}, = {a,2,4,5} B Tentukan A B, A B, A B, B A, A B. Hitunglah A, B, A B, A B. Tentukan himpunan P(A B) dan P(A) P(B). 25

25 Latihan Soal Dari 75 mahasiswa yang tinggal di sebuah asrama, 47 orang memiliki radio, 18 orang memiliki TV, 39 orang memiliki tape, 10 orang memiliki radio dan TV, 12 orang memiliki TV dan tape, 30 orang memiliki radio dan tape, dan 6 orang memiliki ketiganya. Berapa orang yang hanya memiliki tape? Berapa orang yang tidak memiliki satupun? Berapa orang yang memiliki radio dan TV tapi tidak memiliki tape Berapa orang yang hanya memiliki satu macam saja? 26

26 Hukum-Hukum Operasi Himpunan Hukum Komutatif A B = B A A B = B A Hukum Asosiatif (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) Hukum Distributif A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 27

27 Hukum-Hukum Operasi Himpunan Hukum Identitas A = A A S = A Hukum Komplemen A Ac = S A Ac = Hukum Dobel Komplemen (Ac)c = A 28

28 Hukum-hukum Operasi Himpunan Hukum Idempotent A A = A A A = A Hukum Dominasi A S = S A = Hukum De Morgan (A B)c = Ac Bc (A B)c = Ac Bc 29

29 Hukum-Hukum Operasi Himpunan Hukum Penyerapan/ Absorpsi A (A B) = A A (A B) = A Komplemen S dan Sc = c = S Hukum Selisih Himpunan A B = A Bc 30

30 Pembuktian Prosisi Himpunan Pembuktian dengan Diagram Venn Tunjukkan bahwa A (B C) = (A B) (A C) 31

31 Pembuktian Prosisi Himpunan Pembuktian dengan Tabel Keanggotaan Tunjukkan bahwa A (B C) = (A B) (A C) 32

32 Pembuktian Prosisi Himpunan Pembuktian dengan Aljabar Himpunan Tunjukkan bahwa (A (B C))c = (Cc Bc) Ac (A (B C))c 33 = Ac (B C)c = Ac (Bc Cc) (hukum De Morgan) (hukum De Morgan) = (Bc Cc) Ac (hukum komutatif) = (Cc Bc) Ac (hukum komutatif)

33 Latihan Soal Buktikan hukum De Morgan dengan menggunakan tabel keanggotaan 34

34 Representasi Komputer untuk Himpunan Bagaimana himpunan-himpunan disimpan dan dimanipulasi dalam sebuah komputer? Himpunan didefinisikan dalam sebuah program dengan mengacu pada sebuah himpunan semesta S. Dalam konteks ini terdapat pengecualian terhadap aturan umum mengenai urutan elemen. 35

35 Representasi Komputer untuk Himpunan Himpunan A direpresentasikan dengan sebuah string n bits, {b1 b2 bn}, dimana n adalah bilangan kardinal dari S. Aturan pengisian nilai bi = 1 jika elemen ke-i dari S berada dalam A bi = 0 jika elemen ke-i dari S tidak berada dalam A 36

36 Representasi Komputer untuk Himpunan Misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} Tentukan representasi dari {2,3,5,7} sebagai sebuah bit string. Carilah himpunan yang direpresentasikan oleh bit string Jawaban: {1,4,6,7,9,10} 37

37 Representasi Komputer untuk Himpunan Operasi Irisan, gabungan dan komplemen dapat dinyatakan dalam bit string. Proses perhitungan Operasi untuk mendapatkan bit string dari A B disebut operasi bitwise and. Operasi untuk mendapatkan bit string dari A B disebut operasi bitwise or. Operasi untuk mendapatkan bit string dari Ac disebut operasi bitwise not. 38

38 Representasi Komputer untuk Himpunan Contoh Jika bit string untuk himpunan A adalah dan bit string untuk himpunan B adalah Maka tentukan bit string untuk: A B, A B, dan Ac. Jawab A B = A B = Ac =

39 Latihan 40

40 Latihan 41

41 Latihan 42

42 Latihan 43

43 Latihan 44

44 Latihan 45

45 Latihan 46

46 Latihan 47

47 48 THANK YOU