BAB I H I M P U N A N
|
|
- Sukarno Darmali
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 1 BAB I H I M P U N A N Dalam kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data (objek) inilah yang selanjutnya didefinisikan sebagai himpunan. Pada bab awal ini akan dibahas tentang definisi dan keanggotaan suatu himpunan, operasi himpunan dari beberapa jenis himpunan. 1.1 Definisi dan Keanggotaan Suatu Himpunan Himpunan (set) merupakan sekumpulan objek-objek yang berbeda yang dapat didefinisikan dengan jelas. Objek di dalam himpunan dinamakan unsur atau anggota himpunan. Keanggotaan suatu himpunan dinyatakan oleh notasi. Contoh 1 : A = {x, y, z} x A : x merupakan anggota himpunan A. w A : w bukan merupakan anggota himpunan A. Ada beberapa cara dalam menyatakan himpunan, yaitu : a. Mencacahkan anggotanya (enumerasi) Dengan cara ini, himpunan tersebut dinyatakan dengan menyebutkan semua anggota himpunannya di dalam suatu kurung kurawal. Contoh 2 : - Himpunan empat bilangan ganjil pertama: A = {1, 3, 5, 7}. - Himpunan lima bilangan prima pertama: B = {2, 3, 5, 7, 11}. - Himpunan bilangan asli yang kurang dari 50 : C = {1, 2,..., 50} - Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {, -2, -1, 0, 1, 2, }. b. Menggunakan simbol standar (baku) Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam suatu simbol standar (baku) yang telah diketahui secara umum oleh masyarakat (ilmiah). Contoh 3 : N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2,... } Z = himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } Q = himpunan bilangan rasional R = himpunan bilangan riil C = himpunan bilangan kompleks Himpunan yang universal (semesta pembicaraan) dinotasikan dengan U. Contoh 4 : Misalkan
2 2 U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A = {1, 3, 5} merupakan himpunan bagian dari U 3. Menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasinya sebagai berikut : { x syarat yang harus dipenuhi oleh x } Contoh 5 : (i) A adalah himpunan bilangan asli yang kecil dari 10 A = { x x 10 dan x N } atau A = { x N x 10 } yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (ii) M = { x x adalah mahasiswa yang mengambil kuliah matematika diskrit} Atau M = { x adalah mahasiswa ia mengambil kuliah matematika diskrit} 4. Menggunakan Diagram Venn Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatu gambar (diagram) yang dinamakan diagram venn. Contoh 6 : Misalkan U = {1, 2,, 7, 8}, A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram Venn: U A B Terkait dengan masalah keanggotaan, suatu himpunan dapat dinyatakan sebagai anggota himpunan lain. Contoh 7 : a. Misalkan, M = { mahasiswa STT Telkom } M 1 = { mahasiswa anggota himatel} M 2 = { mahasiswa anggota HMTI} M 3 = { mahasiswa anggota HMIF} Dengan demikian, M = { M 1, M 2, M 3 } b. Bila P 1 = {x, y}, P 2 = { {x, y} } atau P 2 ={P 1 }, Sementara itu, P 3 = {{{x, y}}}, maka x P 1 dan y P 2, sehingga P 1 P 2, sedangkan P 1 P 3, tetapi P 2 P 3 Jumlah unsur dalam suatu himpunan dinamakan kardinalitas dari himpunan tersebut. Misalkan, untuk menyatakan kardinalitas himpunan A ditulis dengan notasi:
3 3 n(a) atau A Contoh 8 : (i) B = { x x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 10 }, atau B = {2, 3, 5, 7 } maka B = 4 (ii) A = {a, {a}, {{a}} }, maka A = 3 Jika suatu himpunan tidak mempunyai anggota, dengan kata lain dengan kardinalitas himpunan tersebut sama dengan nol maka himpunan tersebut dinamakan himpunan kosong (null set). Notasi dari suatu himpunan kosong adalah : atau {} Contoh 9 : (i) P = {Mahasiswa Teknik Industri STT Telkom yang pernah ke Mars}, maka n(p) = 0 Jadi P = (ii) A = {x akar persamaan kuadrat x = 0 dan x R}, maka n(a) = 0 Jadi A = {} (iii) B = {{ }} dapat juga ditulis sebagai B = { }. Jadi B bukan himpunan kosong karena ia memuat satu unsur yaitu himpunan kosong. Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A. Notasi himpunan bagian : A B atau A B Jika digambarkan dalam bentuk diagram Venn himpunan bagian tersebut menjadi : U A B Contoh 10 : (i) N Z R C (ii) {2, 3, 5} {2, 3, 5} Untuk setiap himpunan A berlaku hal-hal sebagai berikut: (a) A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri (yaitu, A A).
4 4 (b) Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A ( A). (c) Jika A B dan B C, maka A C A dan A A, maka dan A disebut himpunan bagian tak sebenarnya (improper subset) dari himpunan A. Pernyataan A B berbeda dengan A B : A B : A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B. Yang demikian, A merupakan himpunan bagian sebenarnya (proper subset) dari B. Contoh 11 : Misalkan A = {1, 2, 3}. {1} dan {2, 3} merupakan proper subset dari A. Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A merupakan suatu himpunan yang unsurunsurnya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Himpunan kuasa dinotasikan oleh P(A). Jumlah anggota (kardinal) dari suatu himpunan kuasa bergantung pada kardinal himpunan asal. Misalkan, kardinalitas himpunan A adalah m, maka P(A) = 2 m. Contoh 12 : Contoh 13 : Jika A = { x, y }, maka P(A) = {, { x }, { y }, { x, y }} Himpunan kuasa dari himpunan kosong adalah P( ) = { }, sementara itu himpunan kuasa dari himpunan { } adalah P({ }) = {, { }}. Pernyataan A B digunakan untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian (subset) dari B yang memungkinkan A = B. Dua buah himpunan dikatakan sama jika memenuhi kondisi berikut : A = B jika dan hanya jika setiap unsur A merupakan unsur B dan sebaliknya setiap unsur B merupakan unsur A. Untuk menyatakan A = B, yang perlu dibuktikan adalah A adalah himpunan bagian dari B dan B merupakan himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka A B. atau A = B A B dan B A Contoh 14 : (i) Jika A = { 0, 1 } dan B = { x x (x 1) = 0 }, maka A = B (ii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {5, 3, 8 }, maka A = B (iii) Jika A = { 3, 5, 8, 5 } dan B = {3, 8}, maka A B Untuk tiga buah himpunan, A, B, dan C berlaku aksioma berikut: (a) A = A, B = B, dan C = C (b) Jika A = B, maka B = A (c) Jika A = B dan B = C, maka A = C
5 5 Dua buah himpunan dikatakan ekivalen jika masing-masing mempunyai kardinalitas yang sama. Misalkan, himpunan A adalah ekivalen dengan himpunan B berarti kardinal dari himpunan A dan himpunan B adalah sama, notasi yang digunakan adalah : A ~ B Contoh 15 : Misalkan A = { 2, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab A = B = 4 Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas (disjoint) jika keduanya tidak memiliki unsur yang sama. Notasi yang digunakan adalah A // B. Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah sebagai berikut : U A B Contoh 16 : Jika A = { x x N, x < 10 } dan B = { 11, 12, 13, 14, 15 }, maka A // B. 1.2 Operasi Himpunan Ada beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan, gabungan, komplemen, selisih dan beda setangkup. a. Irisan (intersection) Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda. Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka A B = { x x A dan x B } Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah : Contoh 17 :
6 6 1. Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12}, maka A B = {3} 2. Misalkan A adalah himpunan mahasiswi TI STT Telkom dan B merupakan himpunan wanita lanjut usia (50 tahun ke atas) maka A B =. Hal ini berarti A dan B adalah saling lepas atau A // B. b. Gabungan (union) Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka A B = { x x A atau x B } Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah : Contoh 18 : (i) Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7} (ii) A = A c. Komplemen (complement) Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh : A = { x x U dan x A } Jika dinyatakan dalam b entuk diagram Venn adalah : Contoh 19 : Misalkan U = { 1, 2, 3,..., 9 }, jika A = {1, 3, 7, 9}, maka A = {2, 4, 5, 6, 8}
7 7 jika A = { x U x habis dibagi dua }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 } Contoh 20 : A = himpunan mahasiswa STT Telkom B = himpunan mahasiswa yang tinggal di Asrama C = himpunan mahasiswa angkatan 2004 D = himpunan mahasiswa yang mengambil matematika diskrit E = himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi ke kampus a. Pernyataan Semua mahasiswa STT Telkom angkatan 2004 yang membawa motor untuk pergi ke kampus dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut : (A C) E b. Pernyataan Semua mahasiswa STT Telkom yang tinggal di asrama dan tidak mengambil matematika diskrit dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut : A B D c. Pernyataan semua mahasiswa angkatan 2004 yang tidak tinggal di asrama atau tidak membawa motor untuk pergi ke kampus dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut : C ( B E ) d. Selisih (difference) Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh A B = { x x A dan x B } = A B Contoh 21 : Jika A = { 1, 2, 3,..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B A =
8 8 e. Beda Setangkup (Symmetric Difference) Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan oleh : A B = (A B) (A B) = (A B) (B A) Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :Notasi: Contoh 22 : Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A B = { 1, 4, 7 } Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A B = B A (b) (A B ) C = A (B C ) (hukum komutatif) (hukum asosiatif) f. Perkalian Kartesian (cartesian product) Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B dinotasikan oleh : A B = {(a, b) a A dan b B } Contoh 23 : (i) Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka C D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) } (ii) Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A B = himpunan semua titik di bidang datar Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut adalah perkalian antara kardinalitas masing-masing himpunan. Dengan demikian, jika A dan B merupakan himpunan berhingga, maka:
9 9 A B = A. B. Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) (b, a). Dengan argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu A B B A dimana A atau B bukan himpunan kosong. Jika A = atau B =, maka A B = B A = Hukum-hukum yang berlaku untuk operasi himpunan adalah sebagai berikut : 1. Hukum identitas: A = A A U = A 2. Hukum null/dominasi: A = A U = U 3. Hukum komplemen: A A = U A A = 4. Hukum idempoten: A A = A A A = A 5. Hukum involusi: (A) = A 6. Hukum penyerapan (absorpsi): A (A B) = A A (A B) = A 7. Hukum komutatif: A B = B A A B = B A 8. Hukum asosiatif: A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C 9. Hukum distributif: A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) 10. Hukum De Morgan: A B = A B A B = A B 11. Hukum komplemen = U
10 10 U = 1.3 Prinsip Dualitas Prinsip dualitas mengemukakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar. Contoh 24 : Peraturan: AS kemudi mobil di kiri depan Indonesia kemudi mobil di kanan depan (a) di Amerika Serikat, mobil harus berjalan di bagian kanan jalan, pada jalan yang berlajur banyak, lajur kiri untuk mendahului, bila lampu merah menyala, mobil belok kanan boleh langsung (b) di Indonesia, mobil harus berjalan di bagian kiri jalan, pada jalur yang berlajur banyak, lajur kanan untuk mendahului, bila lampu merah menyala, mobil belok kiri boleh langsung Prinsip dualitas pada kasus diatas adalah: Konsep kiri dan kanan dapat dipertukarkan pada kedua negara tersebut sehingga peraturan yang berlaku di Amerika Serikat menjadi berlaku pula di Inggris. (Prinsip Dualitas pada Himpunan). Misalkan S adalah suatu kesamaan (identity) yang melibatkan himpunan dan operasi-operasi seperti,, dan komplemen. Jika S* merupakan kesamaan yang berupa dual dari S maka dengan mengganti,, U, U, sedangkan komplemen dibiarkan seperti semula, maka operasi-operasi tersebut pada kesamaan S* juga benar. 1. Hukum identitas: A = A Tabel 1.1 Dualitas dari Hukum Aljabar Himpunan A U = A 2. Hukum null/dominasi: A = 3. Hukum komplemen : A A = U 4. Hukum idempoten : A A = A A U = U A A = A A = A
11 11 5. Hukum penyerapan : A (A B) = A 6. Hukum komutatif : A B = B A 7. Hukum asosiatif : A (B C) = (A B) C 8. Hukum distributif : A (B C)=(A B) (A C) 9. Hukum De Morgan: A B = A B 10. Hukum 0/1 = U A (A B) = A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) (A C) A B = A B U = Contoh 25 : Misalkan A U dimana A = (A B) (A B ) maka pada dualnya, misalkan U*, berlaku : A = (A B) (A B ). Dalam membuktikan kebenaran suatu pernyataan atau merepresentasikan suatu pernyataan dengan cara lain dengan menggunakan bantuan himpunan ada beberapa cara, antara lain : a. Pembuktian dengan menggunakan diagram Venn Contoh 26 : Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. Tunjukan bahwa A (B C) = (A B) (A C) dengan diagram Venn. Jawab : Cara ini dilakukan bukan dalam pembuktian formal, dengan menggambarkan sejumlah himpunan yang diketahui dan mengarsir setiap operasi yang diinginkan secara bertahap, sehingga diperoleh himpunan hasil operasi secara keseluruhan.
12 12 A (B C) (A B) (A C) Kedua digaram Venn memberikan area arsiran yang sama. Terbukti bahwa A (B C) = (A B) (A C). b. Beberapa contoh dalam membuktikan pernyataan dengan menggunakan aljabar himpunan. Contoh 27 : Misalkan A dan B himpunan. Tunjukan bahwa : A (B A) = A B Jawab : A (B A) = A (B A) (Definisi operasi selisih) Contoh 28 : = (A B) (A A) (Hukum distributif) = (A B) U (Hukum komplemen) = A B (Hukum identitas) Tunjukan bahwa untuk sembarang himpunan A dan B, berlaku (i) A ( A B) = A B dan Jawab : (ii) A ( A B) = A B (i) A ( A B) = ( A A ) (A B) (H. distributif) = U (A B) (H. komplemen) = A B (H. identitas) (ii) adalah dual dari (i) A ( A B) = (A A ) (A B) (H. distributif) = (A B) (H. komplemen) = A B (H. identitas) 1.4 Multi Set dan Fuzzy Set Pada bagian akan diberikan penjelasan tentang Multi Set dan Fuzzi Set. Sehingga diharapkan pembaca dapat mengetahui perbedaan di antara keduanya Multi Set Himpunan yang unsurnya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut multi set (himpunan ganda). Contoh 29 : A = {1, 1, 1, 2, 2, 3}, B = {2, 2, 2},
13 13 C = {2, 3, 4}, D = {}. Multiplisitas dari suatu unsur pada multi set adalah jumlah kemunculan unsur tersebut pada multi set tersebut. Contoh 30 : M = { 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1 }, multiplisitas 1 adalah 4 dan multiplisitas 2 adalah 3, sementara itu multiplisitas 3 adalah 2. Himpunan (set) merupakan contoh khusus dari suatu multiset, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap unsurnya adalah 0 atau 1. Himpunan yang multiplisitas dari unsurnya 0 adalah himpunan kosong. Misalkan P dan Q adalah multiset, operasi yang berlaku pada dua buah multi set tersebut adalah sebagai berikut : a. P Q merupakan suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas maksimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh 31 : P = { a, a, a, c, d, d } dan Q ={ a, a, b, c, c }, maka P Q = { a, a, a, b, c, c, d, d } b. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas minimum unsur tersebut pada himpunan P dan Q. Contoh 32 : P = { a, a, a, c, d, d } dan Q = { a, a, b, c, c } maka P Q = { a, a, c } c. P Q adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan multiplisitas unsur tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q, ini berlaku jika jika selisih multiplisitas tersebut adalah positif. Jika selisihnya nol atau negatif maka multiplisitas unsur tersebut adalah nol. Contoh 33 : P = { a, a, a, b, b, c, d, d, e } dan Q = { a, a, b, b, b, c, c, d, d, f } maka P Q = { a, e } d. P + Q, yang didefinisikan sebagai jumlah (sum) dua buah himpunan ganda, adalah suatu multiset yang multiplisitas unsurnya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas unsur tersebut pada P dan Q. Contoh 34 :
14 14 P = { a, a, b, c, c } dan Q = { a, b, b, d }, maka P + Q = { a, a, a, b, b, b, c, c, d } Fuzzy set Misalkan, U merupakan himpunan semesta pembicaraan (Universal Set). Crisp Set merupakan himpunan bagian dari U yang membedakan antara anggota dan bukan anggotanya dengan batasan yang jelas (pasti). Contoh 35 : A = {x x Z dan x > 2} atau A = {3, 4, 5, } Jelas bahwa 3 A dan 1 A Pada suatu Fuzzy set, anggotanya mempunyai nilai keanggotaan tertentu yang ditentukan oleh membership function (fungsi keanggotaan). Fungsi keanggotaan mempunyai kisaran antara nol dan satu. Notasi dari fungsi keanggotaan adalah µ A (x) = [0,1] Contoh 36 : A = {5, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80}, merupakan crisp set umur dalam tahun. Fuzzy set balita, dewasa, muda, dan tua adalah subset dari A. Tabel 1.2. Kelompok Umur Terhadap Kriteria dalam Fuzzy Set Elemen Balita Anak-anak Muda Dewasa Tua Dari tabel di atas perhatikan bahwa : Balita = { } Anak-anak = {5, 10, 20} dengan fungsi keanggotaan µ Anak-anak = {1, 1, 0.2}
15 Muda = {5, 10, 20, 30, 40, 50} dengan fungsi keanggotaan 15 µ Muda = {1, 1, 0.8, 0.5, 0.2, 0.1} Dewasa = {20, 30, 40, 50, 60, 70, 80} dengan fungsi keanggotaan µ Dewasa = {0.8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} Tua = {20, 30, 40, 50, 60, 70, 80} dengan fungsi keanggotaan µ Tua = {0.1, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1, 1} Ada beberapa cara menyatakan fuzzy set yaitu : μ 1. Tua = Tua e = 0.1/ / / / /60 + 1/70 + 1/80 2. Tua = {0.1/20, 0.2/30, 0.4/40, 0.6/50, 0.8/60, 1/70, 1/80} 3. Tua = {( 0.1,20),( 0.2,30)(, 0.4,40)(, 0.6,50),( 0.8,60),( 1,70),( 1,80)} Ada beberapa cara (yang biasa dipakai) dalam menentukan fungsi keanggotaan (membership function) suatu fuzzy set, antara lain : 1. Fungsi Sigmoid µ(x) 1 Sigmoid(x, a, b, c) 0, x a 2{((x - a)/(c - a)} 2, a < x b = 1-2{((x - c)/(c - a)} 2, b < x c 1, c< x a b c x 2. Fungsi Phi µ(x) 1 Phi(x, b, c) = Sigmoid(x, c-b, c-b/2, c), x c
16 Sigmoid(x, c, c+b/2, c+b), x > c 3. Fungsi Segitiga µ(x) 1 Triangular(x, a, b, c) = 0, x a, x c (x-a)/(b-a), a < x b -(x-c)/(c-b), b < x c 4. Fungsi Trapesium a b c x µ (x) 1 Trapezium(x, a, b, c, d) = 0, x a, x d (x-a)/(b-a), a < x b 1, b < x c -(x-d)/(d-c), c < x d a b c d x Beberapa operasi dasar pada Fuzzy set adalah 1. Komplemen (Complement) : Contoh : μ ( x) = 1 μ ( x) A A
17 (x) A μ (x) A 17 μ untuk Tua = {0/5, 0/10, 0.1/20, 0.2/30, 0.4/40, 0.6/50, 0.8/60, 1/70, 1/80} = Tidak Tua = {1/5, 1/10, 0.9/20, 0.8/30, 0.6/40, 0.4/50, 0.2/60, 0/70, 0/80} 2. Gabungan (Union / Disjunction) : μ A B ( x) = max μ A ( x), μ B ( x) Contoh : [ ] μ muda (x) = {1/5, 1/10, 0.8/20, 0.5/30, 0.2/40, 0.1/50, 0/60, 0/70, 0/80} μ untuk Tua = {0/5, 0/10, 0.1/20, 0.2/30, 0.4/40, 0.6/50, 0.8/60, 1/70, 1/80} tua (x) μ = {1/5, 1/10, 0.8/20, 0.5/30, 0.4/40, 0.6/50, 0.8/60, 1/70, 1/80} muda tua (x) 3. Irisan (Intersection /Conjunction) : μ ( x) = min μ ( x), μ ( x) Contoh : A B [ ] A μ muda tua (x) = {0/5, 0/10, 0.1/20, 0.2/30, 0.2/40, 0.1/50, 0/60, 0/70, 0/80} B
18 18 Latihan Untuk no. 1 3, Misalkan A = {bilangan asli yang kurang dari sama dengan 500} 1. Tentukan Jumlah (banyaknya) bilangan pada himpunan A yang tidak habis dibagi 3 atau 5! 2. Tentukan Jumlah (banyaknya) bilangan pada himpunan A yang habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi 5! 3. Tentukan Jumlah (banyaknya) bilangan pada himpunan A yang habis dibagi 3, tetapi tidak habis dibagi 5 maupun 7! 4. Misalkan, jumlah mahasiswa pada suatu kelas adalah 60 orang. 20 orang mahasiswa menyukai kalkulus, 30 menyukai matematika diskrit, dan 10 orang menyukai aljabar linear. 7 orang menyukai kalkulus dan matematika diskrit, 5 orang menyukai matematika diskrit dan aljabar linear, dan 10 orang tidak menyukai ketiga mata kuliah itu. a. Tentukan jumlah mahasiswa yang menyukai ketiga mata kuliah tersebut! b. Tentukan jumlah mahasiswa yang hanya menyukai satu mata kuliah! 5. Tunjukan bahwa A (A B) = A B! 6. Suatu perusahaan makanan kaleng jenis ABC, menurut data 1 bulan terakhir, permintaan berkisar antara kemasan/hari. Persediaan barang digudang Berkisar antara kemasan/hari. a. Buat grafik fungsi keanggotaan (linear) untuk himpunan fuzzy tersebut. Petunjuk : himpunan fuzzy untuk permintaan adalah turun dan naik himpunan fuzzy untuk persediaan barang adalah sedikit dan banyak b. Tentukan nilai keanggotaan saat permintaan 4000 kemasan/hari persediaan barang 300
Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit
Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 Himpunan Tujuan Mahasiswa memahami konsep dasar
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan
Lebih terperinciHimpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Bahan kuliah Matematika Diskrit 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan,
Lebih terperinciHimpunan (set) Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Teori Himpunan 2011 Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. -
Lebih terperinciInduksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.
Induksi Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan: Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan Enumerasi Simbol-simbol Baku Notasi
Lebih terperinciHimpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
1 HIMPUNAN DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMK adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa
Lebih terperinciHimpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa mahasiswa.
Lebih terperinciBahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1
Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciBahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1
Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciDEFINISI. Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
BAB 1 HIMPUNAN 1 DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciDefinisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.
Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota
Lebih terperinciPertemuan 6. Operasi Himpunan
Pertemuan 6 Operasi Himpunan Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B } Contoh (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika
Lebih terperinciMatematika Komputasional. Himpunan. Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB
Matematika Komputasional Himpunan Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah
Lebih terperinciMatematika Terapan. Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 2
Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 2 2/24/2016 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Jl. Kolonel Wahid Udin Lk. I Kel. Kayuara, Sekayu 30711 web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.id
Lebih terperinciHimpunan. Nur Hasanah, M.Cs
Himpunan Nur Hasanah, M.Cs 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B ={2, 4, 6, 8, 10}. C = {kucing, a, Amir,
Lebih terperinciModul ke: Penyajian Himpunan. operasi-operasi dasar himpunan. Sediyanto, ST. MM. 01Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
Modul ke: 01Fakultas FASILKOM Penyajian Himpunan operasi-operasi dasar himpunan Sediyanto, ST. MM Program Studi Teknik Informatika Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.
Lebih terperinciHIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si
HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga Jenis-jenis himpunan 3. Himpunan bagian (subset) 4. Himpunan saling lepas
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN. A. Penyajian Himpunan
TEORI HIMPUNAN A. Penyajian Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Dalam
Lebih terperinciHIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma
HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya
Lebih terperinciHimpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed
Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita. Matematika Diskret (TKE132107)
Lebih terperinciHIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI
HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI Himpunan Jenis-jenis himpunan Operasi Pada Himpunan Cara Menuliskan Himpunan Himpunan kosong & semesta Himpunan berhingga & tak berhingga
Lebih terperinciBAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10}
BAB I HIMPUNAN 1 1. Definisi Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing masing objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi
Lebih terperinciLogika Matematika Modul ke: Himpunan
Logika Matematika Modul ke: Himpunan Fakultas FASILKOM Syukri Nazar. M.Kom Program Studi Teknik Informatika Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut
Lebih terperinciBAB 2. HIMPUNAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 17 Oktober 2016
PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER BAB 2. HIMPUNAN ILHAM SAIFUDIN Senin, 17 Oktober 2016 Universitas Muhammadiyah Jember ILHAM SAIFUDIN MI HIMPUNAN 1 DASAR-DASAR
Lebih terperinciBahan kuliah Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Didin Astriani P, M.Stat. Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri
Bahan kuliah Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Didin Astriani P, M.Stat Fakultas Ilkmu Komputer Universitas Indo Global Mandiri 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek
Lebih terperinciHimpunan. Himpunan (set)
BAB 1 HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek-objek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas. Anggota Himpunan Objek di dalam himpunan disebut elemen,
Lebih terperinciHIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) EvanRamdan
HIMPUNAN (Pengertian, Penyajian, Himpunan Universal, dan Himpunan Kosong) Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari benda atau objek yang berbeda dan didefiniskan secara jelas Objek di dalam himpunan
Lebih terperinciHIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com
HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class
Lebih terperinciHIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com
HIMPUNAN Adri Priadana ilkomadri.com Definisi Set atau Himpunan adalah bentuk dasar matematika yang paling banyak digunakan di teknik informatika Salah satu topik yang diturunkan dari Himpunan adalah Class
Lebih terperinciLANDASAN MATEMATIKA Handout 2
LANDASAN MATEMATIKA Handout 2 (Himpunan bagian, kesamaan dua himpunan, comparable, himpunan kosong, himpunan kuasa, kardinalitas, himpunan hingga dan tak hingga) Tatik Retno Murniasih, S.Si., M.Pd. tretnom@unikama.ac.id
Lebih terperinciMateri 1: Teori Himpunan
Materi 1: Teori Himpunan I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali Himpunan (set) kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Terdapat beberapa cara
Lebih terperinciTeori Himpunan. Author-IKN. MUG2B3/ Logika Matematika 9/8/15
Teori Himpunan Author-IKN 1 Materi Jenis Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan Hukum-Hukum Operasi Himpunan Representasi Komputer untuk Himpunan 2 Teori Himpunan Himpunan Sekumpulan elemen unik, terpisah,
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS. Himpunan. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen.
MATEMATIKA BISNIS Modul ke: Himpunan Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Konsep Himpunan merupakan suatu konsep yang paling mendasar bagi
Lebih terperinciH i m p u n a n. Himpunan. Oleh : Panca Mudji Rahardjo, ST. MT.
H i m p u n a n Oleh : Panca Mudji Rahardjo, ST. MT. Himpunan Definisi himpunan Penyajian himpunan Definisi-definisi Operasi himpunan Prinsip inklusi dan eksklusi Himpunan ganda 1 Definisi Himpunan (set)
Lebih terperinci1 Pendahuluan I PENDAHULUAN
1 Pendahuluan 1.1 Himpunan I PENDAHULUAN Himpunan merupakan suatu konsep mendasar dalam semua cabang ilmu matematika. Mengapa himpunan adalah hal yang sangat penting dalam matematika?, untuk mencari jawaban
Lebih terperinciMatematika Terapan. Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 1
Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 1 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Jl. Kolonel Wahid Udin Lk. I Kel. Kayuara, Sekayu 30711 web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.id
Lebih terperinciBAB I HIMPUNAN. Matematika Infomatika. Universitas Gunadarma Halaman 1
BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur, anggota, elemen) yang dirumuskan secara jelas dan tegas, sehingga dapat dibeda-bedakan antara satu dengan
Lebih terperinciAturan Penilaian & Grade Penilaian. Deskripsi. Matematika Diskrit 9/7/2011
Matematika Diskrit Sesi 01-02 Dosen Pembina : Danang Junaedi Tujuan Instruksional Setelah proses perkuliahan, mahasiswa memiliki kemampuan Softskill Meningkatkan kerjasama dalam kelompok dan kemampuan
Lebih terperinciPOLITEKNIK TELKOM BANDUNG
POLITEKNIK TELKOM BANDUNG 29 Penyusun dan Editor Adi Wijaya M.Si Dilarang menerbitkan kembali, menyebarluaskan atau menyimpan baik sebagian maupun seluruh isi buku dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa
Lebih terperinciLOGIKA MATEMATIKA PENGERTIAN HIMPUNAN DAN OPERASI OPERASI DALAM HIMPUNAN. TITI RATNASARI, SSi., MSi. Modul ke: Fakultas ILKOM
LOGIKA MATEMATIKA Modul ke: PENGERTIAN HIMPUNAN DAN OPERASI OPERASI DALAM HIMPUNAN Fakultas ILKOM TITI RATNASARI, SSi., MSi Program Studi SISTEM INFORMASI www.mercubuana.ac.id Pengertian Himpunan Definisi
Lebih terperinciPERTEMUAN 5. Teori Himpunan
PERTEMUAN 5 Teori Himpunan Teori Himpunan Definisi 7: Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang terdfinisi dengan jelas Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Enumerasi artinya menuliskan semua elemen (anggota)
Lebih terperinciMATEMA TEMA IKA BISNIS BY : NINA SUDIBYO
MTEMTIK BISNIS BY : NIN SUDIBYO BB 1. HIMPUNN Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek yang harus didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan
Lebih terperinciMohammad Fal Sadikin
Mohammad Fal Sadikin Purcell, Varberg, Rigdon, Kalkulus, Erlangga, 2004. Dumairy, Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi, Penerbit BPFE Yogyakarta, 1996. Himpunan : kumpulan objek yang didefinisikan
Lebih terperinciLogika Matematika Teori Himpunan
Pertemuan ke-2 Logika Matematika Teori Himpunan Oleh : Mellia Liyanthy TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS PASUNDAN TAHUN AJARAN 2007/2008 Perampatan Operasi Himpunan A1 A2... An = Ai A1 U A2 U... U An = U
Lebih terperinciDEFINISI. Himpunan (set): Dengan kata lain : Elemen dari himpunan : Kumpulan objek-objek yang berbeda.
HIMPUNN Himpunan (set): DEFINISI Kumpulan objek-objek yang berbeda. Dengan kata lain : Kumpulan dari objek-objek tertentu yang merupakan suatu kesatuan. Elemen dari himpunan : Obyek-obyek itu sendiri.
Lebih terperinci[HIMPUNAN] MODUL MATEMATIKA SMP KELAS VII KURIKULUM 2013 RAJASOAL..COM. istiyanto
2014 MODUL MATEMATIKA SMP KELAS VII RAJASOAL..COM KURIKULUM 2013 istiyanto [HIMPUNAN] Modul ini berisi rangkuman materi mengenai Himpunan untuk siswa SMP kelas VII. Modul ini disusun sesuai dengan kurikulum
Lebih terperinciBAB III HIMPUNAN. 2) Mahasiswa dapat menyebutkan relasi antara dua himpunan. 3) Mahasiswa dapat menentukan hasil operasi dari dua himpunan
BAB III HIMPUNAN Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian himpunan, relasi antara himpunan, operasi himpunan, aljabar himpunan, pergandaan himpunan, serta himpunan kuasa. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciKata kata Motivasi. Malas belajar hanya akan membuat suatu pelajaran semakin sulit dipelajari.
M e n g e n a l H i m p u n a n 1 Kata kata Motivasi Malas belajar hanya akan membuat suatu pelajaran semakin sulit dipelajari. Tidak ada mata pelajaran yang sulit, kecuali kemalasan akan mempelajari mata
Lebih terperinciTeori himpunan. 2. Simbol baku: dengan menggunakan simbol tertentu yang telah disepakati. Contoh:
Teori himpunan Teori Himpunan adalah teori mengenai kumpulan objek-objek abstrak. Teori himpunan biasanya dipelajari sebagai salah satu bentuk: Teori himpunan naif, dan Teori himpunan aksiomatik, yang
Lebih terperinciFERRY FERDIANTO, S.T., M.Pd. PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011
FERRY FERDIANTO, S.T., M.Pd. PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON 2011 Operasi Himpunan Operasi Himpunan Operasi Himpunan Operasi Himpunan Operasi Himpunan 4. Beda Setangkup
Lebih terperinciTEORI HIMPUNAN Penyajian Himpunan
TEORI HIMPUNAN 1.1. Penyajian Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang
Lebih terperinciINF-104 Matematika Diskrit
Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?
Lebih terperinci1.2 PENULISAN HIMPUNAN
BAB I HIMPUNAN 1.1 PENGERTIAN Definisi : Himpunan adalah kumpulan benda atau hal hal lain yang telah terdefinisi secara jelas. Benda atau hal hal lain tersebut disebut elemen atau unsure atau anggota himpunan.
Lebih terperinciPENDAHULUAN. 1. Himpunan
PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya
Lebih terperinciTeori Himpunan Ole l h h : H anu n n u g n N. P r P asetyo
Teori Himpunan Oleh : Hanung N. Prasetyo Meski sekilas berbeda, akan kita lihat bahwa logika matematika dan teori himpunan berhubungan sangat erat. Matematika Diskrit Kuliah-2 2 Definisi: himpunan (set)
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS. Dosen Hikmah Agustin,SP.,MM. Politeknik Dharma Patria Kebumen 2016
MATEMATIKA BISNIS Dosen Hikmah Agustin,SP.,MM Politeknik Dharma Patria Kebumen 2016 Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan
Lebih terperinciMODUL 1. A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat keanggotaan tertentu.
MODUL 1 A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang berlainan yang memenuhi suatu syarat keanggotaan tertentu. 2. Penyajian Himpunan Suatu himpunan dapat disajikan dengan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI 1. Oleh : Muhammad Imron H
MATEMATIKA EKONOMI 1 Oleh : Muhammad Imron H UNIVERSITAS GUNADARMA 015 Universitas Gunadarma Halaman BAB I HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari objek tertentu (dinamakan unsur,
Lebih terperinciTeori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo
1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.
Lebih terperinciModul 03 HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.
Modul 03 HIMPUNAN I. Cara Menyatakan Himpunan PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang
Lebih terperinciRINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN
RINGKASAN CATATAN KULIAH PENDAHULUAN TEORI HIMPUNAN Apakah himpunan itu? Tidak ada definisi himpunan, yang ada hanya sinonim-sinonim atau kesamaan kata. 1. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia: himpunan
Lebih terperinci1.1 Pengertian Himpunan. 1.2 Macam-macam Himpunan. 1.3 Relasi Antar Himpunan. 1.4 Diagram Himpunan. 1.5 Operasi pada Himpunan. 1.
I. HIMPUNAN 1.1 Pengertian Himpunan 1.2 Macam-macam Himpunan 1.3 Relasi Antar Himpunan 1.4 Diagram Himpunan 1.5 Operasi pada Himpunan 1.6 Aljabar Himpunan Pengertian Himpunan 1. Apa yang dimaksud dengan
Lebih terperinciH I M P U N A N. 1 Matematika Ekonomi Definisi Dasar
H I M P U N A N 1.1. Definisi Dasar Definisi 1.1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu
Lebih terperinciPENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DAN HIMPUNAN PERTEMUAN I
PENGANTAR MATEMATIKA DISKRIT DAN HIMPUNAN PERTEMUAN I oleh : Lisna Zahrotun, S.T, M.Cs lisna.zahrotun@tif.uad.ac.id lisnazahrotun.tif.uad.ac.id 1 Penilaian : 1. UTS 25% 2. UAS 30% 3. Keaktifan 4. Praktikum
Lebih terperinciTeori Himpunan Elementer
Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements
Lebih terperinciMatematika Diskrit 1
Dr. Ahmad Sabri Universitas Gunadarma Pendahuluan Apakah Matematika Diskrit itu? Matematika diskrit adalah kajian terhadap objek/struktur matematis, di mana objek-objek tersebut diasosiasikan sebagai nilai-nilai
Lebih terperinciLogika Matematika. Teknik Informatika IT Telkom
Logika Matematika Andrian Rakhmatsyah Teknik Informatika IT Telkom 1 OUTLINE ATURAN PENILAIAN SYLABUS PUSTAKA TEORI HIMPUNAN BAB I ALJABAR BOOLEAN 2 PENILAIAN UTS : 35% UAS : 40% KUIS : 20% PR/PRAKTEK
Lebih terperinciHimpunan. by Ira Prasetyaningrum. Page 1
Himpunan by Ira Prasetyaningrum Page 1 Set / Himpunan Set/Himpunan = kumpulan dari objek-objek yang berbeda Anggota Himpunan disebut elemen/anggota Contoh Listing: Example: A = {1,3,5,7} = {7, 5, 3, 1,
Lebih terperinciBab1. Himpunan. Gajah Merpati. Burung Nuri Jerapah
Bab1. Himpunan I. Pengantar Himpunan merupakan konsep yang sangat mendasar dalam ilmu matematika. Banyak sekali kegiatan-kegiatan dalam kehidupan sehari-hari berkaitan dengan himpunan. Untuk memahami himpunan
Lebih terperinciMatematika Ekonomi, MKK30234 FEBI, IAIN Palopo
Matematika Ekonomi, MKK30234 FEBI, IAIN Palopo 1 2 Definisi 1.1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggotaanggota dari
Lebih terperinciMateri Ke_2 (dua) Himpunan
Materi Ke_2 (dua) Himpunan 12-10-2013 OPERASI HIMPUNAN Gabungan (union), notasi U : Gabungan dari himpunan A dan himpunan B merupakan suatu himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota himpunan A atau
Lebih terperinciHIMPUNAN. A. Pendahuluan
HIMPUNAN A. Pendahuluan Konsep himpunan pertama kali dicetuskan oleh George Cantor (185-1918), ahli mtk berkebangsaan Jerman Semula konsep tersebut kurang populer di kalangan matematisi, kurang diperhatikan,
Lebih terperinciModul ke: Matematika Ekonomi. Himpunan dan Bilangan. Bahan Ajar dan E-learning
Modul ke: 01 Pusat Matematika Ekonomi Himpunan dan Bilangan Bahan Ajar dan E-learning MAFIZATUN NURHAYATI, SE.MM. 08159122650 mafiz_69@yahoo.com Selamat Datang di Perkuliahan MATEMATIKA EKONOMI 2 BUKU
Lebih terperinci: SRI ESTI TRISNO SAMI
MATEMATIKA DISKRIT By : SRI ESTI TRISNO SAMI 082334051324 Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill Book Company,
Lebih terperinciMatematika Diskrit (Discrete Mathematics) Oleh : Asep Jalaludn,S.T.,M.M.
Matematika Diskrit (Discrete Mathematics) Oleh : Asep Jalaludn,S.T.,M.M. LOGIKA Oleh : Asep Jalaludn,S.T.,M.M. MUKADIMAH Dia akan meninggikan orang-orang yang beriman di antara kamu dan orang-orang yang
Lebih terperinciMODUL STRUKTUR ALJABAR 1. Disusun oleh : Isah Aisah, Dra., MSi NIP
MODUL STRUKTUR ALJABAR 1 Disusun oleh : Isah Aisah, Dra., MSi NIP 196612021999012001 Program Studi S-1 Matematika Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Padjadjaran Januari 2017 DAFTAR
Lebih terperinciPengertian Himpunan. a. kumpulan makanan lezat b. kumpulan batu-batu besar c. kumpulan lukisan indah. 1. Kumpulan yang bukan merupakan himpunan
Pengertian Himpunan Himpunan adalah sekumpulan objek yang mempunyai syarat tertentu dan jelas. Objek yang dimaksud dapat berupa bilangan, manusia, hewan, tumbuhan, negara dan sebagainya. Objek ini selanjutnya
Lebih terperinciTeori Himpunan. Learning is not child's play, we cannot learn without pain. - Aristotle. Matema(ka Komputasi - Teori Himpunan
Teori Himpunan Learning is not child's play, we cannot learn without pain. - Aristotle 1 Kilas Balik Negasi (1) Semua mobil di kota Malang memiliki plat nomor N. NEGASINYA: Ada mobil di bukan kota Malang
Lebih terperinciDasar Logika Matematika
Dasar Logika Matematika Pertemuan 4: Objective Mahasiswa dapat menjelaskan himpunan (set) Himpunan (Set) Mahasiswa dapat memodelkan himpunan dengan menggunakan diagram venn Himpunan (Set) 2 Definisi Himpunan
Lebih terperinciRelasi Tegas (Crips Relation)
Logika Fuzzy (3) 1 Cartesian Product Terdapat dua himpunan A = {0, 1} dan B = {a, b, c}. Maka beberapa variasi hasil-kali kartesian (cartesian product) dapat dituliskan sebagai berikut: 2 Relasi Tegas
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciUrian Singkat Himpunan
Urian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com February 27, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciHIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI
Kegiatan Belajar Mengajar 4 HIMPUNAN, RELASI DAN FUNGSI Zainuddin Akina Kegiatan belajar mengajar 4 ini akan membahas tentang himpunan, relasi, dan fungsi.. Kegiatan belajar mengajar 4 ini mencakup 3 pokok
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciUraian Singkat Himpunan
Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi
Lebih terperinciBAB V HIMPUNAN. Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas.
BAB V HIMPUNAN A. Pengertian Himpunan Himpunan adalah kumpulan benda-benda atau obyek yang mempunyai definisi yang jelas. Contoh: 1. A adalah himpunan bilangan genap antara 1 sampai dengan 11. Anggota
Lebih terperinciLogika Matematika Himpunan
Modul ke: Logika Matematika Himpunan Modul ini menjelaskan mengenai himpunan dan operasi-operasi dasar himpunan. Fakultas ILMU KOMPUTER Tedjo Nugroho, ST. MT Program Studi Sistem Informasi www.mercubuana.ac.id
Lebih terperinciMATEMATIKA 1. Pengantar Teori Himpunan
MATEMATIKA 1 Silabus: Logika, Teori Himpunan, Sistem Bilangan, Grup, Aljabar Linier, Matriks, Fungsi, Barisan dan deret, Beberapa Cara pembuktian Pengertian Himpunan Pengantar Teori Himpunan Himpunan adalah
Lebih terperinciHimpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union),
Lecture 1: ALGEBRA OF SETS Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union), A B = {x x A x B} Irisan (intersection),
Lebih terperinciHimpunan Bagian ( Subset )
Teori Himpunan 2 Himpunan Bagian ( Subset ) 1. Jika dan hanya jika setiap anggotanya merupakan anggota himpunan lain 2. Dituliskan dg simbol Contoh pabila himp merupakan himpunan bagian dari himp B maka
Lebih terperinciMatematika Ekonomi. Bab I Himpunan
Matematika Ekonomi Bab I Himpunan 1.1 Pengantar Pernahkah kalian masuk ke sebuah supermarket? Tentu hampir semua orang pernah ke sana. Hal yang kita lihat adalah susunan barang yang sejenis ditempatkan
Lebih terperinciMATEMATIKA DISKRIT MATEMATIKA DISKRIT
MATEMATIKA DISKRIT BAB I HIMPUNAN Huruf-huruf besar A, B, C,... menyatakan himpunan dan huruf-huruf kecil a, b, c,... menyatakan elemen-elemen atau anggota dari himpunan. Notasi himpunan : p Є A A B atau
Lebih terperinci: SRI ESTI TRISNO SAMI
MATEMATIKA DISKRIT By : SRI ESTI TRISNO SAMI 08125218506 / 082334051324 Bahan Bacaan / Refferensi : 1. Seymour Lipschutz dan Marc Lars Lipson, Matematika Diskkrit Shcaum s Outline Series, Mc Graw-Hill
Lebih terperinci