QUASI-COINCIDENT, INTERIOR DAN CLOSURE PADA TOPOLOGI FUZZY

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "QUASI-COINCIDENT, INTERIOR DAN CLOSURE PADA TOPOLOGI FUZZY"

Transkripsi

1 QUASI-COINCIDENT, INTERIOR DAN CLOSURE PADA TOPOLOGI FUZZY Siska Dewi Oktaviana 1, Dwi Juniati 2 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, annavea@ymail.com 1, dwi_juniati@yahoo.com 2 ABSTRAK Artikel ini mempelajari keterkaitan antara teori himpunan fuzzy dan topologi. Topologi pada himpunan fuzzy disebut topologi fuzzy. Salah satu topik pada topologi fuzzy mengkaji tentang quasicoincident, persekitaran, interior, closure, kekompakan dan kontinuitas. Pada artikel ini akan dibahas sifat-sifat quasi-coincident dan teorema yang terkait dengan interior dan closure pada topologi fuzzy. A dikatakan quasi-coincident dengan B jika dan hanya jika terdapat xεx sehingga μ (x) + μ (x) > 1. Akan dibuktikan, misal A dan B adalah dua himpunan fuzzy di X, A B jika dan hanya jika A dan B tidak quasi-coincident. Jika U adalah Q-persekitaran dari e maka equ. eq A jika dan hanya jika terdapat A δ sehingga eqa. Misalkan A adalah sebuah subset dari ruang topologi fuzzy X, maka interior dari A adalah A = {O O A, Oεδ} dan closure dari A adalah A = {K A K, K εδ}. Akan dibuktikan juga e A jika dan hanya jika e mempunyai persekitaran yang termuat di A. e A jika dan hanya jika masing-masing Q-persekitaran dari e quasi-coincident dengan A. Kata kunci : topologi fuzzy, quasi-coincident, interior, closure. PENDAHULUAN Himpunan merupakan bagian yang sangat penting di dalam ilmu matematika. Objek-objek dalam himpunan tersebut disebut elemen, unsur atau anggota. Himpunan yang telah dikenal selama ini adalah himpunan klasik. Himpunan klasik sering disebut dengan himpunan tegas, yaitu kumpulan obyek yang keanggotaannya terdefinisi dengan jelas. Pada tahun 1965 seorang ilmuwan Amerika Serikat berkebangsaan Iran, Profesor Lotfi A. Zadeh memperkenalkan sebuah himpunan yang keanggotaannya memiliki nilai kekaburan yang disebut himpunan fuzzy, dengan derajat keanggotaan setiap elemennya pada interval [0,1]. Topologi pertama kali diperkenalkan oleh ilmuwan asal Jerman yang bernama Johann Benedict dalam tulisannya yang berjudul Vorstudien zur Topologie pada tahun Topologi pada himpunan fuzzy disebut topologi fuzzy. Ruang topologi fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh C.L.Chang pada tahun Pada ruang topologi (X,τ) dengan X adalah himpunan klasik, juga merupakan ruang topologi fuzzy, dimana X sekarang merupakan himpunan fuzzy yang nilainya berada dalam selang tertutup [0,1]. Salah satu materi topologi fuzzy mengkaji tentang quasi-coincident, persekitaran, interior, closure, kekompakan dan kontinuitas. Pada artikel hanya dibahas quasi-coincident, interior dan closure pada topologi fuzzy. KAJIAN TEORI 2.1 Topologi dan Ruang Topologi Definisi Misalkan X adalah himpunan tak kosong. Sebuah topologi pada X adalah sebuah koleksi τ yang terdiri dari subset-subset X yang memenuhi sifat sebagai berikut : i. ϵτ dan Xετ. ii. Jika A subset sebarang dari τ maka A τ. iii. Jika A subset hingga dari τ maka A τ. Himpunan X dengan sebuah topologi τ disebut ruang topologi, dan dinotasikan dengan pasangan berurutan (X, τ). Definisi Jika X adalah ruang topologi dengan topologinya adalah τ, maka subset dari X disebut 1

2 himpunan terbuka dari X jika subset dari X merupakan anggota τ. Definisi A sebuah subset dari ruang topologi X disebut himpunan tertutup jika himpunan X-A merupakan himpunan terbuka. Definisi Misalkan X adalah himpunan tak kosong. B sebuah subset dari himpunan kuasa X disebut basis untuk sebuah topologi pada X jika memenuhi : i. Untuk setiap x X, ada E B dengan E memuat x atau dengan kata lain gabungan dari elemen-elemen di B sama dengan X. ii. Untuk setiap x B B, dengan B dan B elemen-elemen B maka ada E B dengan x E B B. Definisi Sebuah subbasis S untuk sebuah topologi pada X adalah koleksi dari subset-subset X dimana gabungannya sama dengan X. Definisi Misalkan (X, τ) adalah ruang topologi. Himpunan terbuka U pada X yang memuat x, disebut persekitaran dari x. Definisi Misalkan (X, τ) adalah ruang topologi dan A adalah subset dari X, maka interior dari A adalah gabungan dari semua himpunan buka pada X yang termuat di A. Interior dari A dinotasikan dengan Int A atau A. Proposisi Misalkan (X, τ) adalah ruang topologi dan A subset dari X. Jika A merupakan himpunan buka, maka A = Int A. Teorema Misalkan (X, τ) adalah ruang topologi dengan A, B X, maka : 1. Jika A B maka A B. 2. (A ) = A. 3. (A B) = A B. 4. X = X, =. Definisi Misalkan (X, τ) ruang topologi dan A adalah subset dari X, maka closure dari A adalah irisan dari semua himpunan tutup pada X yang memuat A. Closure dari A dinotasikan dengan Cl A atau A. Proposisi Misalkan (X, τ) ruang topologi dan A adalah subset dari X. Jika A merupakan himpunan tutup, maka A = Cl A. Teorema Misalkan (X, τ) adalah ruang topologi dengan A, B X, maka : 1. Jika A B maka A B. 2. A = A. 3. (A B) = A B. 4. X = X, =. Teorema Misalkan A adalah subset dari sebuah ruang topologi X. Maka xεa jika dan hanya jika setiap himpunan buka U yang memuat x beririsan (mempunyai elemen persekutuan) dengan A. 2.2 Himpunan Fuzzy Definisi Jika X adalah himpunan tak kosong maka himpunan fuzzy A pada X didefinisikan : A = x, μ (x) xεx dimana μ : X [0,1]. Selanjutnya μ (x) disebut derajat keanggotaan dari x, dan fungsi μ disebut fungsi keanggotaan dari X. Dengan catatan jika derajat keanggotaannya 0, boleh tidak ditulis. Definisi I adalah koleksi semua himpunan fuzzy pada X. Representasi Himpunan Fuzzy Himpunan fuzzy A pada X dapat dinyatakan dalam beberapa cara : i. Himpunan pasangan terurut. ii. Grafik fungsi keanggotaan. iii. Dalam bentuk deret. A = ( ) + ( ) + = ( ), jika X diskrit dan berhingga dimana xεx. Dengan catatan jika derajat keanggotaannya 0, boleh tidak ditulis. iv. Dalam bentuk simbol integral. () A =, jika X kontinu dan tak hingga dimana xεx. Definisi (i) Himpunan fuzzy nol pada X dinotasikan 0 adalah himpunan fuzzy dimana μ (x) = 0, x X. 2

3 (ii). Himpunan fuzzy satu pada X dinotasikan 1 adalah himpunan fuzzy dimana μ (x) = 1, x X. Definisi Komplemen dari suatu himpunan fuzzy A pada X adalah himpunan fuzzy A pada X, dengan derajat keanggotaan μ (x) = 1 μ (x), x X. Definisi Gabungan dua himpunan fuzzy A, B pada X adalah himpunan fuzzy A B pada X, dengan derajat keanggotaan μ (x) = max{μ (x), μ (x)}, x X. Definisi Irisan dua himpunan fuzzy A, B pada X adalah himpunan fuzzy A B pada X, dengan derajat keanggotaan μ (x) = min{μ (x), μ (x)}, x X. Definisi Misalkan A himpunan fuzzy pada X, jεj dengan J adalah himpunan indeks, maka gabungan dan irisan berturut-turut pada himpunan fuzzy tersebut didefinisikan : μ (x) = sup μ (x): jεj, x X, μ (x) = inf μ (x): jεj, x X. Definisi Misalkan A dan B adalah dua himpunan fuzzy di X. A disebut himpunan bagian dari B dinotasikan dengan A B jika dan hanya jika μ (x) μ (x), x X. Sifat-Sifat Pada Himpunan Fuzzy 1) Involution Untuk AεI berlaku : 2) Komutatif Untuk A, BεI berlaku : (A ) = A A B = B A A B = B A 3) Asosiatif Untuk A, B, CεI berlaku : (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) 4) Distributif Untuk A, B, CεI berlaku : A B C = A B (A C) A B C = (A B) (A C) 5) Identitas Untuk AεI berlaku : A = A A X = A 6) Hukum De Morgan s Untuk A, BεI berlaku : (A B) = A B (A B) = A B 7) Idempoten Untuk AεI berlaku : 8) Absorption Untuk A, BεI berlaku : 9) Absorption oleh X dan Untuk AεI berlaku : A A = A A A = A A A B = A A A B = A A X = X A = 10) Rumus ekuivalen Untuk A, BεI berlaku : (A B) A B = (A B ) A B (A B) A B = (A B ) A B. PEMBAHASAN 3.1 Topologi fuzzy Definisi Sebuah koleksi himpunan fuzzy δ I disebut topologi fuzzy pada X jika memenuhi aksioma sebagai berikut : i. 0εδ, 1εδ. ii. A, Bεδ A Bεδ. iii. (A ) εδ A εδ. Pasangan berurutan (X,δ) disebut ruang topologi fuzzy. Definisi Jika δ adalah suatu topologi fuzzy pada X, maka anggota-anggota dari δ disebut himpunan fuzzy buka. Definisi Himpunan fuzzy K dikatakan tertutup jika K εδ. Dinotasikan dengan δ untuk semua koleksi himpunan fuzzy tutup di ruang topologi fuzzy δ. Definisi Misalkan (X, δ) adalah ruang topologi fuzzy. B subkoleksi himpunan dari δ disebut basis dari topologi fuzzy δ jika dan hanya jika untuk setiap Aεδ, terdapat himpunan indeks J dengan {A } B, sehingga A = A. Definisi S subkoleksi himpunan dari δ disebut subbasis dari δ jika dan hanya jika koleksi semua irisan berhingga anggota S membentuk suatu basis dari topologi fuzzy δ. 3

4 3.2 Titik Fuzzy dan Quasi-coincident Definisi Titik fuzzy P, dengan 0 < λ 1, xεx, adalah himpunan fuzzy khusus dengan derajat keanggotaan didefinisikan P λ, x = y (y) = 0, x y. Definisi Titik fuzzy P dikatakan termuat pada himpunan fuzzy A dinotasikan dengan P εa jika dan hanya jika λ μ (x). Definisi Dua himpunan fuzzy A, B di X dikatakan beririsan jika dan hanya jika ada xεx sehingga μ (x) 0. Untuk kasus seperti ini dikatakan bahwa A dan B beririsan di x. Definisi Himpunan fuzzy A di (X, δ) disebut persekitaran dari titik fuzzy P jika dan hanya jika ada Bεδ sehingga P εb A. Definisi Titik fuzzy P dikatakan quasi-coincident dengan A dinotasikan dengan P qa jika dan hanya jika λ + μ (x) > 1. Definisi Misalkan A dan B adalah himpunan fuzzy pada X. A dikatakan quasi-coincident dengan B dinotasikan dengan AqB jika dan hanya jika terdapat xεx sehingga μ (x) + μ (x) > 1. Juga dapat dikatakan A dan B quasi-coincident di x. Bahwa jika A dan B quasi-coincident di x, maka μ (x) dan μ (x) kedua-duanya tak nol oleh karena itu A dan B beririsan di x. Definisi Himpunan fuzzy A di (X, δ) disebut Q- persekitaran dari P jika dan hanya jika terdapat B δ sehingga P qb dan B A. Proposisi Misalkan A dan B adalah dua himpunan fuzzy di X. (i) A B jika dan hanya jika A dan B tidak quasi-coincident. (ii) P εa jika dan hanya jika P tidak quasicoincident dengan A. (i) A B jika dan hanya jika A dan B tidak quasi-coincident. A dan B tidak quasi-coincident jika dan hanya jika untuk xεx sehingga μ (x) μ ( ) (x) μ (x) 1 μ (x) μ (x) + μ (x) 1 μ (x) + 1 μ (x) 1 μ (x) μ (x). Berdasarkan Definisi 2.2.5, A B μ (x) μ (x), xεx, jadi A B. (ii) P εa jika dan hanya jika P tidak quasicoincident dengan A. P tidak quasi-coincident dengan A jika dan hanya jika λ + μ (x) 1 λ + 1 μ (x) 1 λ μ (x)...(**) Berdasarkan Definisi P εa jika dan hanya jika λ μ (x). Berdasarkan (**) maka P εa. Proposisi Misalkan U koleksi Q-persekitaran dari titik fuzzy e di (X, δ). Maka : 1. Jika UεU, maka e quasi-coincident dengan U. 2. Jika U, VεU, maka U VεU. 3. Jika UεU dan U V, maka VεU. Jika UεU, maka ada VεU sehingga V U dan VεU untuk setiap titik fuzzy d quasi-coincident dengan V. 1. UεU, e = P, berdasarkan Definisi 3.2.7, himpunan fuzzy U di (X, δ) disebut Q- persekitaran dari P jika dan hanya jika terdapat A δ, sehingga P qa dan A U maka λ > μ (x), λ > 1 μ (x), μ (x) > 1 λ, dan μ (x) μ (x), x X maka 1 λ < μ (x) μ (x), akibatnya 1 λ < μ (x), λ > 1 μ (x), λ > μ (x), Jadi P qu atau equ. 2. U, VεU, maka terdapat A, A δ sehingga eqa, eqa dan A U, A V. Karena eqa dan eqa maka λ > 1 μ (x) dan λ > 1 μ (x), μ (x) > 1 λ dan μ (x) > 1 λ sehingga min {μ (x), μ (x)} > 1 λ, λ > 1 min {μ (x), μ (x)}, x X maka eqa A. A U, μ (x) μ (x), x X, A V, 4

5 μ (x) μ (x), x X maka μ ( ) (x) μ ( ) (x). Karena eq(a A ) dan (A A ) (U V) maka equ V. Jadi U VεU. 3. UεU jika dan hanya jika terdapat A δ sehingga eqa dan A U. Karena UεU maka equ, dan U V sehingga λ > μ (x) (berdasarkan Definisi 3.2.5) λ > 1 μ (x) μ (x) > 1 λ, dan μ (x) < μ (x) 1 λ < μ (x) < μ (x) maka μ (x) > 1 λ λ + μ (x) > 1, maka eqv. Jadi VεU. 4. UεU jika dan hanya jika terdapat V δ sehingga eqv dan V U, maka V juga merupakan Q-persekitaran dari e, VεU. Dan untuk setiap titik fuzzy d sehingga dqv, maka V adalah Q-persekitaran dari d. Proposisi Misalkan A koleksi himpunan fuzzy di X. Titik fuzzy e quasi-coincident dengan A jika dan hanya jika ada A δ sehingga eqa. Misal e = P, eq A terdapat A δ sehingga eqa dan A A maka A merupakan Q-persekitaran dari e (berdasarkan Proposisi bagian 4). Jika A merupakan Q-persekitaran dari e maka eqa (berdasarkan Proposisi bagian 1). Jadi terbukti eqa. Proposisi Subkoleksi himpunan B dari topologi fuzzy δ pada X adalah basis dari δ jika dan hanya jika untuk setiap titik fuzzy e di (X, δ) dan untuk setiap Q-persekitaran buka U dari e, terdapat B B sehingga eqb A. Jika untuk setiap e di (X, δ) dan untuk setiap Q-persekitaran buka U dari e terdapat B B sehingga eqb A. Andaikan B bukan basis dari δ, maka terdapat A δ sehingga G = B B: B A, G A, karena itu ada xεx sehingga μ (x) < μ (x), misal e = P dengan λ = 1 μ (x), 1 μ (x) = μ (x) maka λ = μ (x), yang mana λ selalu positif. Jika μ (x) < μ (x) μ (x) > μ (x) μ (x) > μ ( ) (x) μ (x) > 1 μ (x) μ (x) + μ (x) > 1 μ (x) + λ > 1 (berdasarkan Definisi 3.2.5) Jadi eqa...(*) Tetapi untuk sebarang B B, yang mana B termuat di A adalah termuat di G, maka : μ (x) μ (x) μ (x) μ ( ) (x) μ (x) 1 μ (x) μ (x) + μ (x) 1 μ (x) + λ 1 (berdasarkan Definisi 3.2.5) e tidak quasi-coincident dengan B...(**) Dari (*) dan (**) kontradiksi dengan eqb A, maka pengandaian salah. Jadi B basis dari (X, δ). 3.3 Interior dan Closure pada Topologi Fuzzy Definisi Misalkan A subset dari ruang topologi fuzzy X, maka interior A adalah gabungan dari semua subset buka pada X yang termuat di A, dinotasikan A = {O O A, Oεδ}. Definisi Misalkan A subset dari ruang topologi fuzzy X, maka closure A adalah irisan dari semua subset tutup pada X yang memuat A, dinotasikan A = {K A K, K εδ}. Teorema Titik fuzzy e A jika dan hanya jika e mempunyai persekitaran yang termuat di A. Jika titik fuzzy e A, maka e {O: O A, O δ}, sehingga e merupakan elemen dari himpunan fuzzy buka O (e O). Berdasarkan Definisi 3.2.4, O δ, O A maka e O A. Jadi e mempunyai persekitaran yang termuat di A. Teorema Titik fuzzy e = P A jika dan hanya jika tiap-tiap Q-persekitaran dari e quasi-coincident dengan A. Misalkan U Q-persekitaran dari e dan UqA. Berdasarkan Definisi UqA di x μ (x) 0. Andaikan e = P A, diambil himpunan fuzzy U, dimana U = X A, maka U adalah himpunan fuzzy buka yang memuat x, sehingga μ (x) = 0. Kontradiksi dengan μ (x) 0 maka pengandaian salah. Jadi e = P A. 5

6 Teorema A = (A ), A = (A ), (A ) = (A ), (A ) = (A ). A = (A ) Misal A = {A : A δ dan A A}. Berdasarkan Definisi 3.3.1, A = {A : A A, A δ }, sehingga diperoleh A = A untuk (A ) = {A : A A }. Maka (A ) adalah koleksi semua himpunan fuzzy tutup yang memuat A. Karena itu A = {A : A A }, A = (A ). Berdasarkan hukum De Morgan s (A ) = ( (A ) ) (A ) = ((A ) ) (A ) = A (A ) = A. A = (A ) Misal A = {A : A δ dan A A }. Berdasarkan Definisi 3.3.2, A = {A : A A, A δ }, A = A...(*) Misal (A ) = { A : A δ dan A A }. Berdasarkan Definisi jika A interior maka (A ) = { A : A A, A δ },sehingga diperoleh (A ) = (A ) untuk ((A ) ) = {A : A (A ) }, ((A ) ) = {A: A (A ) }. Maka ((A ) ) adalah koleksi semua himpunan fuzzy tutup yang memuat A, karena itu A = {A: A (A ) } A = ((A ) ). Berdasarkan Definisi 3.3.2, A = {A: A (A ) } A = ((A ) ) berdasarkan (*) A = ((A ) ). (A ) = (A ) Berdasarkan A = (A ) telah terbukti maka (A ) = ((A ) ). Berdasarkan sifat involution maka (A ) = (A ). (A ) = A Berdasarkan ((A )) = A telah terbukti maka (((A )) ) = (A ). Berdasarkan sifat involution maka (A ) = A. Teorema Misalkan (X, δ) adalah ruang topologi fuzzy. Maka, i. 0 = 0, 1 = 1. ii. A A. iii. A = A. iv. A B A B. v. (A B) = A B. i. 0 δ maka 0 merupakan himpunan fuzzy buka pada X. 0 = A: A 0, A δ = 0, 1 δ maka 1 merupakan himpunan fuzzy buka pada X. 1 = A: A 1, A δ = 1. ii. A = {U U A, U εδ},berdasarkan Definisi maka A = U, U A, U εδ, karena U, U A maka diperoleh U A. Jadi A A. iii. Akan dibuktikan A merupakan himpunan fuzzy buka terbesar yang termuat di A. Jika U himpunan fuzzy buka dengan A U A, maka U U: U A, Uεδ = A. Karena A U dan U A sehingga U = A. Jadi terbukti A adalah himpunan fuzzy buka terbesar yang termuat di A. A A...(*) Disisi lain A himpunan fuzzy buka, karena A merupakan gabungan himpunan fuzzy buka yang termuat di A, sehingga A U: U A, Uεδ akibatnya A A...(**) Berdasarkan (*) dan (**) A = A. iv. Karena A adalah himpunan fuzzy buka terbesar yang termuat di A. Kemudian A termuat di B maka A A B. Karena B adalah himpunan fuzzy buka terbesar yang termuat di B maka A A B B. Jadi A B. v. (A B) = A B Akan dibuktikan (A B) A B. Misal C = (A B). Maka C adalah himpunan fuzzy buka dan termuat di keduanya A dan B, C termuat di keduanya A dan B, sehingga A dan B adalah himpunan fuzzy buka terbesar di A dan B berturut-turut. Akan dibuktikan A B A B. Misal D = A B. Jadi D adalah himpunan fuzzy buka dan subset dari keduanya A dan B, sehingga subset dari A B, oleh karena itu subset dari A B. Sehingga A B himpunan fuzzy buka terbesar yang termuat di A B. Teorema Misalkan (X, δ) adalah ruang topologi fuzzy. Maka, 6

7 i. 0 = 0, 1 = 1. ii. A A. iii. A = A. iv. A B A B. v. (A B) = A B. i. 0 δ, 0 = 1 δ, karena 0 δ maka 0 tertutup, 1 δ, 1 = 0 δ, karena 1 δ maka 1 tertutup, 0 = A : 0 A, A δ = 0, ii. iii. iv. 1 = A : 1 A, A δ = 1. A = K: A K, K δ, A K A sehingga A A. Akan dibuktikan A merupakan himpunan fuzzy tutup terkecil yang memuat A. Jika K himpunan fuzzy tutup dengan A K A, maka A = K: A K, K δ K. Karena K A dan A K sehingga K = A. Jadi terbukti A himpunan fuzzy tutup terkecil yang memuat A. A A...(*) Disisi lain A himpunan fuzzy tutup, karena A merupakan irisan himpunan fuzzy tutup yang memuat A, sehingga A = K: A K, K δ A akibatnya A A...(**). Berdasarkan (*) dan (**) A = A. A = K: A K, K δ, A K A sehingga A A. B = {L : B L, L δ }, B L B sehingga B B. A B, maka A A B B sehingga A B. v. A A B A (A B), B A B B (A B), jadi A B (A B). Di sisi lain jika A dan B adalah himpunan fuzzy tutup yang memuat A dan B berturut-turut maka A B adalah himpunan fuzzy tutup yang memuat A B. Sedangkan (A B) adalah himpunan fuzzy tutup terkecil yang memuat A B. A B (A B) A B sehingga (A B) A B. Jadi (A B) = A B. KESIMPULAN Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa : 1. Sifat-sifat quasi-coincident pada topologi fuzzy antara lain : a. Misal A dan B adalah dua himpunan fuzzy di X. A B jika dan hanya jika A tidak quasi-coincident dengan B. b. Jika U Q-persekitaran dari e maka equ. c. eq A A δ sehingga eqa. Sifat-sifat quasi-coincident digunakan untuk menentukan Q-Persekitaran, basis dan closure pada topologi fuzzy. 2. Setiap teorema pada interior dan closure pada topologi juga berlaku pada topologi fuzzy. 3. Setiap definisi, sifat-sifat dan teorema pada topologi juga berlaku pada topologi fuzzy. DAFTAR PUSTAKA [1] Carlson, Steve Fuzzy Sets and Fuzzy Topologies : Early Ideas and Obstacles. New York : Rose-Hulman Institute of Technology. hulman.edu/math/seminar/seminarfiles/ /abstract pdf, diakses pada : :27. [2] Juniati, Dwi Topologi Dasar. Surabaya: Unesa. [3] Lee K.H First Course On Fuzzy Theory and Application. New York: Springer-Verlag Berlin Heidelberg. [4] Palaniappan, N Fuzzy Topology, Second Edition. UK : Alpha Science International Ltd. [5] Shi W, Liu K A fuzzy topology for computing the interior,boundary,and exterior of spatial objects quantitatively in GIS. Hongkong : The Hongkong Polythechnic University. doi= &rep=rep1&type=pdf, diakses pada : :41. [6] Smith, Trey Topology Definition and Theorems. f, diakses pada : :32. [7] Zimmermann.H.J Fuzzy Set Theory-and Its Applications, Second, Revised Edition. Massachusetts : Kluwer Academic Publishers. 7

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014 FUZZY SLIGHTLY PRECONTINUITY PADA TOPOLOGI FUZZY Elita Hartayati Program Studi S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : elita_dean@yahoo.com Prof.

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Fuzzy berarti kabur atau samar-samar. Himpunan fuzzy adalah himpunan yang keanggotaannya memiliki nilai kekaburan/kesamaran antara salah dan benar. Konsep tentang

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Akhir-akhir ini, konsep tentang logika himpunan fuzzy begitu banyak dipelajari dan dipergunakan. Ini disebabkan karena himpunan fuzzy tidak diekspresikan dalam istilah

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat

BAB I PENDAHULUAN. Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Kata topologi berasal dari bahasa yunani yaitu topos yang artinya tempat dan logos yang artinya ilmu merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan

Lebih terperinci

RUANG TOPOLOGI LEMBUT KABUR

RUANG TOPOLOGI LEMBUT KABUR Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 122 128 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND RUANG TOPOLOGI LEMBUT KABUR SRI NOVITA SARI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

HUTAN DAN SIKEL PADA GRAF FUZZY

HUTAN DAN SIKEL PADA GRAF FUZZY HUTAN DAN SIKEL PADA GRAF FUZZY Aisyahtin Afidah Arifai 1, Dwi Juniati 2 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 60231 2 Jurusan Matematika, Fakultas

Lebih terperinci

SUATU KAJIAN TENTANG HIMPUNAN FUZZY INTUISIONISTIK

SUATU KAJIAN TENTANG HIMPUNAN FUZZY INTUISIONISTIK Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 47 56 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SUATU KAJIAN TENTANG HIMPUNAN FUZZY INTUISIONISTIK NILA SEFRIANA PUTRI Program Studi Matematika, Fakultas

Lebih terperinci

OPERASI PADA GRAF FUZZY

OPERASI PADA GRAF FUZZY OPERASI PADA GRAF FUZZY Budi Setiawan, Prof. Dr. Dwi Juniati, M.Si. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang Surabaya 60231 Email: b_diset@yahoo.com,

Lebih terperinci

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014 IDEAL FUZZY PADA NEAR-RING Dwi Ayu Anggraini Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, e-mail : dwiayuanggraini55@gmail.com Dr.Raden Sulaiman M.Si. Matematika,

Lebih terperinci

IDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP

IDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP Vol 2 No 2 Bulan Desember 2017 Jurnal Silogisme Kajian Ilmu Matematika dan Pembelajarannya http://journal.umpo.ac.id/index.php/silogisme IDEAL PRIMA FUZZY DI SEMIGRUP Info Artikel Article History: Accepted

Lebih terperinci

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN

MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 SUBGRUP MULTI ANTI FUZZY DAN BEBERAPA SIFATNYA Umar Faruk Jurusan Matematika,Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas

Lebih terperinci

Aljabar Boole. Meliputi : Boole. Boole. 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar

Aljabar Boole. Meliputi : Boole. Boole. 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar Aljabar Boole Meliputi : 1. Definisi Aljabar Boole 2. Prinsip Dualitas dalam Aljabar Boole 3. Teorema Dasar Aljabar Boole 4. Orde dalam sebuah Aljabar Boole Definisi Aljabar Boole Misalkan B adalah himpunan

Lebih terperinci

DUAL PADA MATROID ABSTRAK KAJIAN TEORI I. PENDAHULUAN. Alvinaria 1, Budi Rahadjeng, S.Si, M.Si. 2,

DUAL PADA MATROID ABSTRAK KAJIAN TEORI I. PENDAHULUAN. Alvinaria 1, Budi Rahadjeng, S.Si, M.Si. 2, DUAL PADA MATROID Alvinaria 1, Budi Rahadjeng, SSi, MSi 2, 1 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Surabaya, 60321 2 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

KONSTRUKSI, SIFAT DAN DIMENSI HIMPUNAN CANTOR MIDDLE THIRD. Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

KONSTRUKSI, SIFAT DAN DIMENSI HIMPUNAN CANTOR MIDDLE THIRD. Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika FMIPA UNDIP KONSTRUKSI, SIFAT DAN DIMENSI HIMPUNAN CANTOR MIDDLE THIRD Khoiroh Alfiana, Siti Khabibah, Robertus Heri S.U,, Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang Jurusan Matematika

Lebih terperinci

SUBGRUP FUZZY ATAS SUATU GRUP

SUBGRUP FUZZY ATAS SUATU GRUP JMP : Volume 6 Nomor, Juni 0, hal. 33 - SUBGRUP FUZZY ATAS SUATU GRUP Fatkhur Rozi, Ari Wardayani, dan Suroto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman email : cahcilacap07@yahoo.com

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya; BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 13, 2012 Apakah Matematika Diskrit Itu? Matematika diskrit: cabang matematika yang mengkaji objek-objek diskrit. Apa yang dimaksud dengan kata diskrit (discrete)?

Lebih terperinci

HIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si

HIMPUNAN. Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si HIMPUNAN Arum Handini Primandari, M.Sc Ayundyah Kesumawati, M.Si 1. Himpunan kosong & semesta 2. Himpunan berhingga & tak berhingga Jenis-jenis himpunan 3. Himpunan bagian (subset) 4. Himpunan saling lepas

Lebih terperinci

SIFAT KOMPAK PADA RUANG HAUSDORFF (RUANG TOPOLOGI TERPISAH)

SIFAT KOMPAK PADA RUANG HAUSDORFF (RUANG TOPOLOGI TERPISAH) SIFAT KOMPAK PADA RUANG HAUSDORFF (RUANG TOPOLOGI TERPISAH) skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sain Program Studi Matematika oleh Ririn Setyaningrum 4150406026 JURUSAN

Lebih terperinci

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351)

I. Aljabar Himpunan Handout Analisis Riil I (PAM 351) I. Aljabar Himpunan Aljabar Himpunan Dalam bab ini kita akan menyajikan latar belakang yang diperlukan untuk mempelajari analisis riil. Dua alat utama analisis riil, yakni aljabar himpunan dan fungsi,

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. dari suatu graf G disebut himpunan titik G, dinotasikan dengan V(G) dan

BAB I PENDAHULUAN. dari suatu graf G disebut himpunan titik G, dinotasikan dengan V(G) dan BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graf merupakan salah satu bidang bahasan matematika yang mempelajari tentang himpunan titik yang dihubungkan oleh himpunan sisi. Suatu Graf G terdiri atas himpunan

Lebih terperinci

TOPOLOGI RUANG LINEAR

TOPOLOGI RUANG LINEAR TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Jurusan Pendidikan Matematika FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo Jalan KHA. Dahlan 3 Purworejo e-mail: kurniasih.nila@yahoo.co.id Abstrak Tulisan ini bertujuan

Lebih terperinci

MATEMATIKA BISNIS. Himpunan. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen.

MATEMATIKA BISNIS. Himpunan. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen. MATEMATIKA BISNIS Modul ke: Himpunan Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Konsep Himpunan merupakan suatu konsep yang paling mendasar bagi

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada

BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi

Lebih terperinci

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HIMPUNAN Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan Enumerasi Simbol-simbol Baku Notasi

Lebih terperinci

HIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma

HIMPUNAN MATEMATIKA. Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma HIMPUNAN MATEMATIKA Program Studi Agroteknologi Universitas Gunadarma Ruang Lingkup Pengertian Himpunan Notasi Himpunan Cara menyatakan Himpunan Macam Himpunan Diagram Venn Operasi Himpunan dan Sifat-sifatnya

Lebih terperinci

Himpunan. Nur Hasanah, M.Cs

Himpunan. Nur Hasanah, M.Cs Himpunan Nur Hasanah, M.Cs 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B ={2, 4, 6, 8, 10}. C = {kucing, a, Amir,

Lebih terperinci

BAB 2. HIMPUNAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 17 Oktober 2016

BAB 2. HIMPUNAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Senin, 17 Oktober 2016 PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER BAB 2. HIMPUNAN ILHAM SAIFUDIN Senin, 17 Oktober 2016 Universitas Muhammadiyah Jember ILHAM SAIFUDIN MI HIMPUNAN 1 DASAR-DASAR

Lebih terperinci

Fungsi Generalisasi Supra Kontinu Pada Ruang Supra Topologi

Fungsi Generalisasi Supra Kontinu Pada Ruang Supra Topologi PROSIDING ISBN : 978 979 6353 6 3 Fungsi Generalisasi Supra Kontinu Pada Ruang Supra Topologi A 9 Imam Supeno Universita Negeri Malang imam@mat.um.a.id Abstrak Pada makalah ini dikenalkan fungsi generalisasi

Lebih terperinci

IDEAL FUZZY NEAR-RING. Saman Abdurrahman, Na imah Hijriati, Thresye

IDEAL FUZZY NEAR-RING. Saman Abdurrahman, Na imah Hijriati, Thresye IDEAL FUZZY NEAR-RING Saman Abdurrahman, Na imah Hijriati, Thresye Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru ABSTRAK Dalam tulisan ini akan dibahas ideal

Lebih terperinci

Teori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo

Teori Dasar Himpunan. Julan HERNADI. December 27, Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo December 27, 2012 PENGERTIAN DASAR Denition Himpunan merupakan koleksi objek-objek yang disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.

Lebih terperinci

R-SUBGRUP NORMAL FUZZY NEAR-RING

R-SUBGRUP NORMAL FUZZY NEAR-RING R-SUBGRUP NORMAL FUZZY NEAR-RING Saman Abdurrahman Email: samunlam@gmail.com Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Banjarbaru ABSTRAK Dalam tulisan ini akan dibahas R-subgrup normal fuzzy

Lebih terperinci

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan

Lebih terperinci

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR

Lebih terperinci

HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI

HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI HIMPUNAN ARUM HANDINI PRIMANDARI, M.SC AYUNDYAH KESUMAWATI, M.SI Himpunan Jenis-jenis himpunan Operasi Pada Himpunan Cara Menuliskan Himpunan Himpunan kosong & semesta Himpunan berhingga & tak berhingga

Lebih terperinci

BAB I H I M P U N A N

BAB I H I M P U N A N 1 BAB I H I M P U N A N Dalam kehidupan nyata, banyak sekali masalah yang terkait dengan data (objek) yang dikumpulkan berdasarkan kriteria tertentu. Kumpulan data (objek) inilah yang selanjutnya didefinisikan

Lebih terperinci

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan. Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan Bahan kuliah Matematika Diskrit 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan,

Lebih terperinci

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014

MATHunesa (Volume 3 No 3) 2014 MATHunesa (Volume 3 No 3) 014 KOMPLEMEN GRAF FUZZYTERHADAPDIRINYASENDIRI DAN SIFAT-SIFATNYA Tina Imaniar Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, UniversitasNegeri Surabaya tinaimaniar04@yahoo.com

Lebih terperinci

IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL

IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Vol 11, No 1, 71-76, Juli 2014 IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawaty Abstrak Teori gelanggang merupakan salah satu bagian di matematika

Lebih terperinci

GELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.

GELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal. Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA

DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA (Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila

Lebih terperinci

5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real

5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real 5. Sifat Kelengkapan Bilangan Real Sifat aljabar dan sifat urutan bilangan real telah dibahas sebelumnya. Selanjutnya, akan dijelaskan sifat kelengkapan bilangan real. Bilangan rasional ℚ juga memenuhi

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat

BAB 2 LANDASAN TEORI. Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Himpunan Fuzzy Himpunan fuzzy adalah bentuk umum himpunan biasa yang memiliki tingkat keanggotaan dari tiap-tiap elemen yang dibatasi dengan interval [ 0, 1 ]. Oleh karena itu

Lebih terperinci

FUNGSI CANTOR KAJIAN TEORI ABSTRAK 2.1 HIMPUNAN KOMPAK 2.2 HIMPUNAN COUNTABLE 2.3 HIMPUNAN TERUKUR I. PENDAHULUAN

FUNGSI CANTOR KAJIAN TEORI ABSTRAK 2.1 HIMPUNAN KOMPAK 2.2 HIMPUNAN COUNTABLE 2.3 HIMPUNAN TERUKUR I. PENDAHULUAN FUNGSI CANTOR Kisti Nur Aliyah 1, Manuharawati 2, 1 Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,Universitas Negeri Surabaya Kampus Ketintang 60231,Surabaya email : chist_kiss@yahoocoid 1, manuhara1@yahoocoid

Lebih terperinci

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. - Himpunan empat bilangan

Lebih terperinci

BAB I SET DAN RELASI

BAB I SET DAN RELASI BAB I SET DAN RELASI 1.1. SET, ELEMEN (UNSUR) Set adalah suatu konsep yang terdapat dan selalu ada di dalam semua cabang matematika. Secara intuitif, suatu set adalah sesuatu yang didefinisikan dengan

Lebih terperinci

Matematika Komputasional. Himpunan. Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB

Matematika Komputasional. Himpunan. Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB Matematika Komputasional Himpunan Oleh: M. Ali Fauzi PTIIK - UB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah

Lebih terperinci

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan. 2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,

Lebih terperinci

GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN

GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN Saintia Matematika Vol. 1, No. 6 (2013), pp. 591 602. GRUP MONOTETIK TOPOLOGI DISKRIT BERHINGGA PADA DUALITAS PONTRYAGIN L.F.D. Bali, Tulus, Mardiningsih Abstrak. Dalam teori grup topologi kompak lokal,

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR. Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo. Abstrak

SIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR. Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo. Abstrak SIFAT-SIFAT TOPOLOGI RUANG LINEAR Nila Kurniasih Program Studi Pendidikan Matematika Jalan KHA Dahlan 3 Purworejo Abstrak Penulisan ini bertujuan menyelidiki sifat-sifat yang berlaku di dalam topologi

Lebih terperinci

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL

PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat

Lebih terperinci

Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed

Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Himpunan Matematika Diskret (TKE132107) Program Studi Teknik Elektro, Unsoed Iwan Setiawan Tahun Ajaran 2013/2014 Obyek-obyek diskret ada di sekitar kita. Matematika Diskret (TKE132107)

Lebih terperinci

Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union),

Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union), Lecture 1: ALGEBRA OF SETS Himpunan dapat dikomposisikan satu sama lain. Komposisi yang menyangkut dua himpunan disebut operasi biner, seperti Gabungan (union), A B = {x x A x B} Irisan (intersection),

Lebih terperinci

INF-104 Matematika Diskrit

INF-104 Matematika Diskrit Teori Himpunan Jurusan Informatika FMIPA Unsyiah February 25, 2015 Himpunan (set) adalah koleksi dari objek-objek yang terdefinisikan dengan baik. Terdefinisikan dengan baik dimaksudkan bahwa untuk sebarang

Lebih terperinci

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH

BAB III KEKONVERGENAN LEMAH BAB III KEKONVERGENAN LEMAH Bab ini membahas inti kajian tugas akhir. Di dalamnya akan dibahas mengenai kekonvergenan lemah beserta sifat-sifat yang terkait dengannya. Sifatsifat yang dikaji pada bab ini

Lebih terperinci

LANDASAN MATEMATIKA Handout 2

LANDASAN MATEMATIKA Handout 2 LANDASAN MATEMATIKA Handout 2 (Himpunan bagian, kesamaan dua himpunan, comparable, himpunan kosong, himpunan kuasa, kardinalitas, himpunan hingga dan tak hingga) Tatik Retno Murniasih, S.Si., M.Pd. tretnom@unikama.ac.id

Lebih terperinci

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan

Lebih terperinci

TOPOLOGI METRIK PARSIAL

TOPOLOGI METRIK PARSIAL Jurnal Matematika UNAND Vol. 1 No. 2 Hal. 71 78 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND TOPOLOGI METRIK PARSIAL DESY WAHYUNI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

Urian Singkat Himpunan

Urian Singkat Himpunan Urian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com February 27, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi

Lebih terperinci

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB

ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. August 18, Dosen FMIPA - ITB (Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 18, 2011 Kita telah mencatat sebelumnya bahwa supremum dan infimum suatu himpunan tidak harus merupakan anggota himpunan

Lebih terperinci

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMIF adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota

Lebih terperinci

Uraian Singkat Himpunan

Uraian Singkat Himpunan Uraian Singkat Himpunan Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 3, 2014 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Notasi Himpunan 3 3 Operasi

Lebih terperinci

Himpunan dan Sistem Bilangan Real

Himpunan dan Sistem Bilangan Real Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Real Drs. Sardjono, S.U. PENDAHULUAN M odul himpunan ini berisi pembahasan tentang himpunan dan himpunan bagian, operasi-operasi dasar himpunan dan sistem bilangan

Lebih terperinci

MATEMATIKA 1. Pengantar Teori Himpunan

MATEMATIKA 1. Pengantar Teori Himpunan MATEMATIKA 1 Silabus: Logika, Teori Himpunan, Sistem Bilangan, Grup, Aljabar Linier, Matriks, Fungsi, Barisan dan deret, Beberapa Cara pembuktian Pengertian Himpunan Pengantar Teori Himpunan Himpunan adalah

Lebih terperinci

Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi

Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2015 Semi Modul Interval [0,1] Atas Semi Ring Matriks Fuzzy Persegi Subjudul (jika diperlukan) [TNR14, spasi 1] Suroto, Ari Wardayani Jurusan Matematika

Lebih terperinci

ORDER UNSUR DARI GRUP S 4

ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 142 147 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 FEBYOLA, YANITA, MONIKA RIANTI HELMI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

HIMPUNAN LEMBUT BERPARAMETER KABUR INTUISIONISTIK DAN APLIKASINYA DALAM PENGAMBILAN KEPUTUSAN

HIMPUNAN LEMBUT BERPARAMETER KABUR INTUISIONISTIK DAN APLIKASINYA DALAM PENGAMBILAN KEPUTUSAN Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 86 93 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND HIMPUNAN LEMBUT BERPARAMETER KABUR INTUISIONISTIK DAN APLIKASINYA DALAM PENGAMBILAN KEPUTUSAN RONI HAPIZ

Lebih terperinci

Himpunan (set) Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Teori Himpunan 2011 Himpunan (set) Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Cara Penyajian Himpunan 1. Enumerasi Contoh 1. -

Lebih terperinci

Pertemuan 6. Operasi Himpunan

Pertemuan 6. Operasi Himpunan Pertemuan 6 Operasi Himpunan Operasi Terhadap Himpunan 1. Irisan (intersection) Notasi : A B = { x x A dan x B } Contoh (i) Jika A = {2, 4, 6, 8, 10} dan B = {4, 10, 14, 18}, maka A B = {4, 10} (ii) Jika

Lebih terperinci

HIMPUNAN MEMBAHAS TENTANG:

HIMPUNAN MEMBAHAS TENTANG: Modul ke: HIMPUNAN MEMBAHAS TENTANG: Fakultas Ekonomi dan Bisnis Program Studi Akuntansi www.mercubuana.ac.id PENGERTIAN HIMPUNAN, PENYAJIAN HIMPUNAN, HIMPUNAN UNIVERSAL DAN HIMPUNAN KOSONG, OPERASI HIMPUNAN,

Lebih terperinci

Relasi Kongruensi Fuzzy pada Grup dan Grup Hasil Bagi

Relasi Kongruensi Fuzzy pada Grup dan Grup Hasil Bagi Relasi Kongruensi Fuzzy pada rup dan rup asil Bagi Oleh K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta e-mail: yatiuny@yahoo.com

Lebih terperinci

GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI. Denik Agustito 1, Sriwahyuni 2

GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI. Denik Agustito 1, Sriwahyuni 2 Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009 GRUP HOMOLOGI DARI RUANG TOPOLOGI Denik Agustito 1, Sriwahyuni 2 Mahasiswa

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

Matematika Terapan. Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 2

Matematika Terapan. Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 2 Matematika Terapan Dosen : Zaid Romegar Mair, ST., M.Cs Pertemuan 2 2/24/2016 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Jl. Kolonel Wahid Udin Lk. I Kel. Kayuara, Sekayu 30711 web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.id

Lebih terperinci

Y.D. Sumanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstrak

Y.D. Sumanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP. Abstrak JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 4. No. 2, 93-100, Agustus 2001, ISSN : 1410-8518 ELEMEN PEMBANGUN DALAM SEMIGRUP - Y.D. Sumanto Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Misalkan M himpunan tak kosong

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT GRAF SIKEL DENGAN PELABELAN FUZZY

SIFAT-SIFAT GRAF SIKEL DENGAN PELABELAN FUZZY SIFAT-SIFAT GRAF SIKEL DENGAN PELABELAN FUZZY Nurul Umamah 1 dan Lucia Ratnasari 2 1,2 Jurusan Matematika FSM UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S. H, Tembalang, Semarang. Abstract. Fuzzy labeling is a bijection

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program

BAB II KAJIAN TEORI. Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program BAB II KAJIAN TEORI Berikut diberikan landasan teori mengenai teori himpunan fuzzy, program linear, metode simpleks, dan program linear fuzzy untuk membahas penyelesaian masalah menggunakan metode fuzzy

Lebih terperinci

BAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10}

BAB I HIMPUNAN. Contoh: Himpunan A memiliki 5 anggota, yaitu 2,4,6,8 dan 10. Maka, himpunan A dapat dituliskan: A = {2,4,6,8,10} BAB I HIMPUNAN 1 1. Definisi Himpunan Definisi 1 Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek yang berbeda. Masing masing objek dalam suatu himpunan disebut elemen atau anggota dari himpunan. Tidak ada spesifikasi

Lebih terperinci

BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi

BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN. Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi BAB V KEKONVERGENAN BARISAN PADA DAN KETERKAITAN DENGAN Pada subbab 4.1 telah dibahas beberapa sifat dasar yang berlaku pada koleksi semua fungsi yang terintegralkan Lebesgue, 1. Sebagaimana telah dirumuskan

Lebih terperinci

IMAGE DAN PRE-IMAGE TRANSLASI PADA GRUP FUZZY INTUITIONISTIK. Dian Pratama

IMAGE DAN PRE-IMAGE TRANSLASI PADA GRUP FUZZY INTUITIONISTIK. Dian Pratama JMP : Vol. 8 No. 2, Des. 2016, hal. 41-56 IMAGE DAN PRE-IMAGE TRANSLASI PADA GRUP FUZZY INTUITIONISTIK Dian Pratama dianpratama3789@gmail.com ABSTRACT. A intuitionistic fuzzy set in is set gives a membership

Lebih terperinci

Saman Abdurrahman Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru

Saman Abdurrahman Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru HOMOMORFISMA DARI LEVEL SUBNEAR-RING FUZZY Saman Abdurrahman Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 36 Banjarbaru E-mail: saman@unlam.ac.id ABSTRAK Dalam

Lebih terperinci

Induksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik.

Induksi Matematika. Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Induksi Matematika Metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat adalah induksi matematik. Misalkan p(n) adalah pernyataan yang menyatakan: Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah

Lebih terperinci

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1

Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit. Himpunan. Oleh: Rinaldi Munir. Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Bahan kuliah IF2120 Matematika Diskrit Himpunan Oleh: Rinaldi Munir Program Studi Teknik Informatika STEI - ITB 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA

BAB II KAJIAN PUSTAKA BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Logika Fuzzy Logika fuzzy pertama kali dikembangkan oleh Prof. Lotfi A. Zadeh, seorang peneliti dari Universitas California, pada tahun 1960-an. Logika fuzzy dikembangkan dari

Lebih terperinci

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit

Kode MK/ Nama MK. Cakupan 8/29/2014. Himpunan. Relasi dan fungsi Kombinatorial. Teori graf. Pohon (Tree) dan pewarnaan graf. Matematika Diskrit Kode MK/ Nama MK Matematika Diskrit 1 8/29/2014 Cakupan Himpunan Relasi dan fungsi Kombinatorial Teori graf Pohon (Tree) dan pewarnaan graf 2 8/29/2014 1 Himpunan Tujuan Mahasiswa memahami konsep dasar

Lebih terperinci

PEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH MULTIVALUED DI RUANG METRIK PARSIAL

PEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH MULTIVALUED DI RUANG METRIK PARSIAL Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 9 No. 2, Desember 2017, hal. 1-10 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN (Online) : 2550-0422; https://jmpunsoed.com/ PEMETAAN KONTRAKTIF LEMAH MULTIVALUED

Lebih terperinci

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Definisi. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Himpunan 1 Definisi Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota

Lebih terperinci

Ruang Linear Metrik: Sifat Sifat Dasar Dan Struktur Ruang Dalam Ruang Linear Metrik

Ruang Linear Metrik: Sifat Sifat Dasar Dan Struktur Ruang Dalam Ruang Linear Metrik Ruang Linear Metrik: Sifat Sifat Dasar Dan Struktur Ruang Dalam Ruang Linear Metrik Oleh : Iswanti 1, Soeparna Darmawijaya 2 Iswanti, Jurusan Teknik Elektro, Politeknik Negeri Semarang, Semarang, Jawa

Lebih terperinci

PENYELESAIAN MASALAH LINTASAN TERPENDEK FUZZY DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA CHUANG KUNG DAN ALGORITMA FLOYD

PENYELESAIAN MASALAH LINTASAN TERPENDEK FUZZY DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA CHUANG KUNG DAN ALGORITMA FLOYD PENYELESAIAN MASALAH LINTASAN TERPENDEK FUZZY DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA CHUANG KUNG DAN ALGORITMA FLOYD 1 Anik Musfiroh, 2 Lucia Ratnasari, 3 Siti Khabibah 1.2.3 Jurusan Matematika Universitas Diponegoro

Lebih terperinci

DEFINISI. Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

DEFINISI. Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. BAB 1 HIMPUNAN 1 DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMTI adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota

Lebih terperinci

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.

Lebih terperinci

ANTI SUBGRUP FUZZY. Kata Kunci: Lower level subset, Anti subgrup fuzzy, Lower Level Subgrup.

ANTI SUBGRUP FUZZY. Kata Kunci: Lower level subset, Anti subgrup fuzzy, Lower Level Subgrup. ANTI SUBGRUP FUZZY Ahmad Yasir, Saman Abdurrahman, Nurul Huda Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Email: Ahmad.yasir.syahti@gmail.com ABSTRAK Subgrup yaitu himpunan bagian

Lebih terperinci

Matematika Logika Aljabar Boolean

Matematika Logika Aljabar Boolean Pertemuan ke-3 Matematika Logika Aljabar Boolean Oleh : Mellia Liyanthy TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS PASUNDAN TAHUN AJARAN 2011/2012 Definisi Aljabar Boolean merupakan aljabar yang terdiri atas : suatu

Lebih terperinci

DEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1. Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS. Abstrak

DEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1. Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS. Abstrak DEFINISI TIPE RIEMANN UNTUK INTEGRAL LEBESGUE 1 An-2 1. PENDAHULUAN Drajad Maknawi 2 dan Muslich 3 Jurusan Matematika FMIPA UNS Abstrak Tujuan dari tulisan ini adalah membahas tentang integral Lebesgue

Lebih terperinci

MA3231 Analisis Real

MA3231 Analisis Real MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017

Lebih terperinci

TINGKATAN SUBGRUP DARI SUBHIMPUNAN FUZZY

TINGKATAN SUBGRUP DARI SUBHIMPUNAN FUZZY Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 1 Hal. 82 89 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND TINGKATAN SUBGRUP DARI SUBHIMPUNAN FUZZY AFIFAH RAHAYU, NOVA NOLIZA BAKAR Program Studi Matematika, Fakultas

Lebih terperinci

Oleh : Rahanimi Pembimbing : Dr. M Isa Irawan, M.T

Oleh : Rahanimi Pembimbing : Dr. M Isa Irawan, M.T PERAMALAN JUMLAH MAHASISWA PENDAFTAR PMDK JURUSAN MATEMATIKA MENGGUNAKAN METODE AUTOMATIC CLUSTERING DAN RELASI LOGIKA FUZZY (STUDI KASUS di INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA) Oleh : Rahanimi

Lebih terperinci

MATEMA TEMA IKA BISNIS BY : NINA SUDIBYO

MATEMA TEMA IKA BISNIS BY : NINA SUDIBYO MTEMTIK BISNIS BY : NIN SUDIBYO BB 1. HIMPUNN Himpunan adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah obyek yang harus didefinisikan dengan jelas. Obyek-obyek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan

Lebih terperinci

Prosiding ISSN:

Prosiding ISSN: KARAKTERISASI IDEAL MAKSIMAL FUZZY NEAR-RING Saman Abdurrahman Program Studi Matematika FMIPA Unlam Jl. A. Yani KM 36 Banjarbaru Kalimantan Selatan, samunlam@gmail.com ABSTRAK Dalam tulisan ini dibahas

Lebih terperinci

Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota.

Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. 1 HIMPUNAN DEFINISI Himpunan (set) adalah kumpulan objekobjek yang berbeda. Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. HMK adalah contoh sebuah himpunan, di dalamnya berisi anggota berupa

Lebih terperinci