H I M P U N A N. 1 Matematika Ekonomi Definisi Dasar

Transkripsi

1 H I M P U N A N 1.1. Definisi Dasar Definisi 1.1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital seperti A, B, D, dsb. Sementara untuk menyatakan setiap elemennya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb. a A : a adalah anggota/elemen dari himpunan A b A : b bukan anggota dari himpunan A Suatu himpunan dapat dinyatakan dalam beberapa cara diantaranya: 1). Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Setiap elemen dipisahkan dengan tanda koma dan ditutup dengan tanda kurung krawal { }. Cara ini pada dasarnya cukup efektif digunakan menyatakan suatu himpunan dengan elemen-elemen yang bersifat diskrit atau dengan kata lain setiap elemen dari himpunan yang dimaksud dapat didaftarkan dengan jelas. Disamping itu pula, enumerasi biasanya digunakan untuk himpunan terbatas dan tidak terlalu besar. Namun demikian, untuk mengatasi keterbatasan space jika semua elemen ingin didaftarkan, maka dapat digunakan tanda ellipsis yaitu berupa simbol tiga titik.... perhatikan Contoh 1.1. berikut: 1 Matematika Ekonomi

2 Contoh 1.1. a. Himpunan empat bilangan asli pertama; A = {1, 2, 3, 4} b. Himpunan alfabet ditulis dengan {a, b, c,..., z}. Pada Contoh 1.1.a., himpunan A cukup kecil dan terbatas sehingga memungkinkan setiap elemennya untuk didaftarkan. Sedangkan pada Contoh 1.1.b., tidak efektif untuk mendaftarkan semua annggota himpunan alfabet mulai dari a sampai dengan z. Untuk itu, cukup didaftarkan beberapa elemen pertama, kemudian elemen yang lain diganti dengan tanda... sebelum kemudian didaftarkan elemen terakhir dari himpunan yang dimaksud. 2). Notasi pembentuk himpunan Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh setiap anggotanya. Notasi: {x syarat yang harus dipenuhi oleh x}. Cara ini pada dasarnya cukup efektif digunakan untuk menyatakan suatu himpunan yang besar dengan elemen-elemen yang bersifat kontinu yang tidak mungkin untuk didaftarkan satu-persatu seperti pada cara enumerasi. Selengkapnya, perhatikan Contoh 1.2. berikut: Contoh 1.2. a. A adalah himpunan bilangan asli yang kurang dari 5. A = {x x bilangan asli yang kurang dari 5} atau A = {x x < 5, x N} b. B adalah himpunan bilangan real yang kurang dari 1 dan lebih besar dari atau sama dengan 0. B = {x x bilangan real yang kurang dari 1 dan lebih besar dari atau sama dengan 0} atau B = {x 0 x < 1, x R}. Pada Contoh 1.2.a., himpunan A dinyatakan dalam bentuk notasi pembentuk himpunan meskipun dapat juga dinyatakan dalam bentuk enumerasi menjadi A = {1, 2, 3, 4, 5}. Sementara pada Contoh 1.2.b., mustahil untuk 2 Matematika Ekonomi

3 mendaftarkan semua anggota himpunan B karena jumlah anngota bilangan real antara 0 sampai 1 jumlahnya tidak berhingga. Definisi 1.2. Suatu himpunan dengan jumlah elemen yang berhingga disebut dengan himpunan berhingga (finite set). Jumlah elemen dari himpunan berhingga A disebut dengan kardinal dari himpunan A dan dinotasikan dengan n(a) atau A. Himpunan dengan jumlah elemen yang tidak berhingga disebut dengan himpunan tak berhingga (infinite set). Setiap elemen dari himpunan berhingga dapat dihitung (countable) dan didaftarkan satu persatu sebagaimana yang terlihat pada Contoh 1.1. Karena dapat dihitung, maka dengan mudah dapat ditentukan kardinalitasnya. Pada Contoh 1.1.a. kardinalitasnya adalah 4 (n(a) = 4), sedangkan kardinalitas pada Contoh 1.1.b. adalah 26. Sementara itu, elemen-elemen dari himpunan tak berhingga tidak mudah untuk didaftarkan satu-persatu seperti yang terlihat pada Contoh 1.2.b. Karena jumlah elemennya sangat banyak, maka kardinalitas dari himpunan tak berhingga biasa ditulis dengan n(b) =. Definisi 1.3. a. Himpunan B disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan A (B A) jika setiap anggota di B adalah juga anggota di A. b. Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama (A = B) jika dan hanya jika A B dan B A. c. Himpunan A dikatakan himpunan kosong / empty set (A = atau A = {}) jika himpunan A tidak memiliki elemen. Atau dengan kata lain kardinal dari A samadengan 0 (n(a) = 0). 3 Matematika Ekonomi

4 Jika B adalah subset dari A maka dapat dikatakan bahwa B termuat di dalam A atau A memuat B. konsep ini yang nantinya dapat digunakan untuk menunjukkan kesamaan dua himpunan dimana A = B jika dan hanya jika A B dan B A. Contoh 1.3. a. Misalkan A = {1, 3, 5}, dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Maka A B. b. Jika K = {0, 1} dan L = {x x(x 1) = 0}, maka K = L. c. S = {orang indonesia yang pernah ke bulan} = Pada Contoh 1.3.a., terlihat bahwa setiap anggota himpunan A terdapat di B sehingga A B. Namun demikian, B bukan himpunan bagian dari A, B A, karena terdapat anggota di B yang tidak terdapat di A yaitu 2 dan 4. Sementara itu, pada Contoh 1.3.b., himpunan L dapat dinyatakan kedalam bentuk enumerasi sebagaimana himpunan K sehingga dapat diketahui dengan jelas apakah betul anggota himpunan L adalah 0 dan 1 sehingga K = L. Untuk itu, sayarat dari x yakni x(x 1) = 0 dapat diselesaikan seperti berikut: x (x 1) = 0 x = 0 x 1 = 0 x = 1 Jadi L = {0, 1}. Karena K L dan L K maka K = L. Pada Contoh 1.3.b., S merupakan himpunan kosong karena tidak ada orang Indonesia yang pernah ke bulan. Atau dengan kata lain, n(s) = 0. Definisi 1.4. Misalkan diberikan himpunan A. Himpunan dari semua himpunan bagian dari A disebut dengan power set dari A, disimbolkan dengan P(A). Perhatikan bahwa himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri merupakan himpunan bagian dari A. 4 Matematika Ekonomi

5 Contoh 1.4. Misalkan K = {1, 3, 5}. Himpunan bagian dari K adalah K1 = {1}, K2 = {3}, K3 = {5}, K4 = {1, 3}, K5 = {1, 5}, K6 = {3, 5}, K7 = {1, 3, 5}, dan K8 =. Karena K1 sampai dengan K8 merupakan himpunan bagian dari K maka power set dari K = P(K) = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, K7, K8}. Banyaknya elemen / kardinal dari suatu power set dari suatu himpunan terbatas A, ditulis n(p(a)) sama dengan 2 dipangkatkan dengan kardinal dari himpunan A. n((p(a)) = 2 n(a). Contoh 1.5. Perhatikan kembali Contoh 1.4. Diketahui n(k) = 3. Sehingga n(p(k)) = 2 n(k) = 2 3 = Operasi Himpunan Definisi 2.1. Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A atau himpunan B. Notasi : A B = {x x A atau x B}. Diagram venn dari A B adalah sebagai berikut: Gambar 2.1. Diagram ven dari A B 5 Matematika Ekonomi

6 Definisi 2.2. Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap elemennya merupakan elemen dari himpunan A dan himpunan B. Notasi : A B = {x x A dan x B}. Diagram venn dari A B adalah sebagai berikut: Gambar 2.2. Diagram venn A B. Definisi 2.3. Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Notasi: A B = {x x A dan x B} = A B Diagram venn dari A B adalah sebagai berikut: Gambar 2.3. Diagram venn A B. Definisi 2.4. Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A. 6 Matematika Ekonomi

7 Notasi : A = {x x U dan x A}. Komplemen A biasa juga dinotasikan dengan A c atau A. Diagram venn dari A c adalah sebagai berikut: Gambar 2.4. Diagram venn A c. Contoh 2.1. Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {3, 5, 7}, dan B = {2, 3, 4, 7, 8}. Maka: a. A B = {2, 3, 4, 5, 7, 8}. b. A B = {3, 7}. c. A B = {5}. d. B A = {2, 4, 8}. e. A c = {1, 2, 4, 6, 7, 8} f. B c = {1, 5, 6}. Misalkan diberikan suatu himpunan A, B, dan C. Beberapa sifat dasar yang berlaku pada himpunan tersebut diantaranya: 1. Komutatif a. A B = B A b. A B = B A 2. Assosiatif a. (A B) C = A (B C) b. (A B) C = A (B C) 3. Distributif 7 Matematika Ekonomi

8 a. (A B) C = (A C) (B C) b. (A B) C = (A C) (B C) Contoh 2.2. Misalkan A = {3, 4, 5}, B = {3, 5, 6, 7}, dan C = {2, 3}. Maka: (A B) C = {3, 5} {2, 3} = {2, 3, 5} (A C) (B C) = {2, 3, 4, 5} {2, 3, 5, 6, 7} = {2, 3, 5} Jadi terlihat bahwa (A B) C = (A C) (B C) = {2, 3, 5}. Misalkan A dan B adalah suatu himpunan berhingga. A dan B melambangkan kardinal dari A dan B. Maka: a. A B = A + B A B b. A B = A A B = A B B Contoh 2.3. Suatu dealer mobil telah menjual 350 buah mobil sepanjang tahun ini. Dari jumlah tersebut, 130 mobil memiliki ekstra penyejuk udara, 255 mobil memiliki power steering, dan 110 mobil memiliki sistem navigasi. Sementara itu, 75 mobil memiliki power steering dan sistem navigasi, 10 mobil hanya memiliki sistem navigasi, 20 mobil tidak memiliki ekstra penyejuk udara, power steering, maupun sistem navigasi, dan 10 mobil lagi justru memiliki ketiganya. Jika dimisalkan A adalah himpunan mobil yang memiliki ekstra penyejuk udara, P adalah himpunan mobil yang memiliki power steering, dan N adalah himpun mobil dengan sistem navigasi, gambarkan diagram vennnya. Penyelesaian: Diketahui S = 350, A = 130, P = 255, N = 110, P N = 75, N (A P) = 10, A P N c = 20, dan A P N = 10. Agar lebih mudah dipahami, perhatikan Gambar 2.4. berikut: 8 Matematika Ekonomi

9 Gambar 2.5. Berdasarkan diagram venn tersebut, maka x + y + 35 = 130 atau x + y 95 = 0 (1) y + z + 75 = 255 atau y + z 180 = 0 (2) x + y + z = atau x + y + z 220 = 0 (3) dari (1) dan (2) diperoleh x = z 85 dari (3) diperoleh y = 180 z Selanjutnya, subtitusi x = z 85 dan y = 180 z ke persamaan (3) x + y + z 120 = 0 (z 85) + (180 z) + z 220 = 0 (z 85) + (180 z) + z 220 = 0 z = 125 Jadi, x = = 40 dan y = = 55. Sehingga diagram venn-nya menjadi: 9 Matematika Ekonomi Gambar 2.6.

10 Definisi 2.5. Suatu pasangan terurut (a, b) dengan a A dan b B disebut hasil kali produk/cartesian product dari A x B. Notasi: A x B = {(a, b) a A dan b B}. Contoh 2.3. Misalkan A = {2, 3} dan B = {3, 4, 5}. A x B = {(2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5)} B x A = {(3, 2), (4, 2), (5, 2), (3, 3), (4, 3), (5, 3)} Misalkan A dan B himpunan berhingga dengan A = n dan B = m. Maka A x B = B x A = A. B = n. m. Contoh 2.4. Perhatikan kembali Contoh 2.3. A = 2 dan B = 3. Jadi, A x B = B x A = 2. 3 = Matematika Ekonomi

11 Latihan Misalkan S1 = {2, 4, 6}, S2 = {7, 2, 6}, S3 = {4, 2, 6}, dan S4 = {2, 4}. Periksa apakah pernyataan berikut benar atau salah? a. S1 = S2 d. S1 S4 b. S1 = R e. S3 c. S4 R f. S3 {1, 2} 2. Enumerasikan semua subset dari himpunan B = {a, b, c}. Berapa banyak subset dari himpunan B yang dimaksud? 3. Diberikan A = {4, 5, 6}, B = {3, 4, 6, 7}, dan C = {2, 3, 6}. Tunjukkan apakah: a. (A B) C = (A C) (B C) b. (A B) C = (A C) (B C) 4. Misalkan A = {3, 4}, B = {b1, b2}, dan C = {0, 2, 4}. Tentukanlah a. A x B x C b. Anggota himpunan dari A x B x C 5. Dari 1100 mahasiswa Jurusan Ekonomi di salah satu Universitas, 550 mahasiswa diantaranya memiliki mobil, 400 mahasiswa memiliki PC, dan 260 mahasiswa memiliki mobil dan atau PC. Tentukan banyaknya mahasiswa yang memiliki mobil atau PC, yang memiliki keduanya yaitu mobil dan PC, yang memiliki mobil tetapi tidak memiliki PC, dan jumlah mahasiswa yang memiliki PC tapi tidak memiliki mobil. 11 Matematika Ekonomi