PENGENDALIAN OPTIMAL TUBERKULOSIS DENGAN EXOGENOUS REINFECTION

Transkripsi

1 Prosdng Semnar asonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MPA, Fakltas MPA, Unverstas eger Yogyakarta, 4 Me PEGEDALA OPTMAL TUBERKULOSS DEGA EXOGEOUS REFECTO Hasnan asrn, Sbchan, M.Yns nsttt Teknolog Seplh opember, Srabaya Emal : hasnannasrnsregar@yahoo.com ABSTRAK Penyakt Tberkloss (TB) merpakan salah sat penyakt menlar terta yang menyerang mansa. Badan Kesehatan Dna (WHO) menyatakan bahwa sepertga penddk dna telah ternfeks oleh Mycobacterm Tbercloss, yang merpakan bakter penyebab penyakt Tberkloss. D ndonesa, jmlah pasen Tberkloss menempat rtan ke tga terbanyak ddna setelah Cna dan nda. Model matemats Tberkloss dengan Exogenos Renfecton dmodelkan sebaga Permasalahan Pengendalan Optmal yang dselesakan menggnakan metode langsng dengan mentransformaskan kedalam bentk permasalahan pemerograman tak lnear (on lnear Programng, LP). Pengendalan dalam peneltan n terdr dar kendal solas, daya tahan tbh dan pengobatan yang bertjan ntk memnmalkan jmlah penddk ternfeks dan menlar melal penerapan Pengendalan Optmal. Hasl Peneltan nja dar da keadaan dmana Ro (Blangan Reprodks Dasar), Ro> ntk kass terjadnya endemk dan paya tambahan Ro < ntk kass tdak terjadnya endemc. Kata Knc: Tberkloss dengan Exogenos Renfecton, Pengendalan Optmal Blangan Reprodks Dasar M-

2 Hasnan asrn/ Pengendalan Optmal Tberkloss PEDAHULUA Sejarah panjang penyakt Tberkloss telah ada sejak sektar 6 SM, hal n ddasar dengan emkannya fosl tlang dada dan belakang seorang pra yang dketah menderta Tberkloss d daerah Hedelberg, Jerman. Oleh karena tlah maka Tberkloss tercatat sebaga salah sat penyakt menlar terta yang menyerang mansa. Menrt perkraan Badan Kesehatan Dna (WHO, ) sektar sepertga penddk dna telah ternfeks oleh Mycobacterm Tbercloss. Laporan Tberkloss dna oleh WHO yang terbar (6), menempatkan ndonesa sebaga egara terbesar nomor penymbang Tberkloss d dna setelah nda dan Cna dengan jmlah kass bar sektar 59. dan jmlah kematan sektar. pertahn. Penlaran penyakt Tberkloss terblang nk jka dbandngkan dengan penyakt menlar lannya. Pada Tberkloss penlaran langsng dar penderta aktf kepada orang yang belm ternfeks sebagan besar hanya mengakbatkan seseorang terjangkt Bakter Mycobactera Tbercloss tanpa mennjkkan gejala penyakt Tberkloss. Pada kenyataannya, sebagan besar ndvd ternfeks Tberkloss tetap dalam tahap laten dan tdak pernah menjad menlar ata mennjkkan gejala Tberkloss. Hal n sejalan dengan pernyataan (Snhwa Cho, 9) yang mengatakan dalam perspektf, % ndvd dalam kontak dengan pasen Tberkloss aktf akan ternfeks (laten dan pasf), sedangkan % dar kelompok n ternfeks akan menjad menlar (aktf). Kemngknan perkembangan Tberkloss laten dan pasf menjad aktf dan menlar dapat dpercepat dar kontak berlang dengan orang yang mengdap Tberkloss aktf dan menlar. Akbatnya, smber ntk kemajan Tberkloss tdak hanya nfeks prmer, tetap jga kemngknan Exogenos Renfecton. Exogenos Renfecton Merpakan nfeks dar orang yang sdah memlk Bakter Mycobactera Tbercloss (laten dan pasf) tap menjad terkena TB dkarenakan nfeks lang dar Orang lan yang sedang terkena Tberkloss Aktf. Oleh karena t, Exogenos Renfecton memlk peranan pentng dalam perkembangan serta penlaran penyakt Tberkloss. Rmsan masalah dalam peneltan n adalah Bagamana model pengendalan optmal serta menentkan kendal optmal dar solas, daya tahan tbh dan pengobatan pada Tberkloss dengan Exogenos Renfecton.Yang menjad tjan dalam peneltan n adalah mendeskrpskan model pengendalan optmal yang menggambarkan hbngan penyakt Tberkloss dengan Exogenos Renfecton dan cara penlarannya serta menentkan Kendal optmal dar kendal solas, daya tahan tbh dan pengobatan pada Tberkloss dengan Exogenos Renfecton sehngga memnmalkan orang yang ternfeks penyakt Tberkloss. Sedangkan manfaat dar penlsan peneltan n adalah ntk memberkan nformas bahwa pengendalan optmal yang dperoleh dapat menjad sat sols optmal dalam menentkan kebjakan ntk mengatas penyebaran serta penlaran penyakt Tberkloss dengan Exogenos Renfecton. METODE PEELTA Metode peneltan yang dlakkan pada peneltan n terdr atas : Analss Model Penyelesaan Kendal Optmal Penyelesaan kendal optmal pada pencegahan Tberkloss dengan Exogenos Renfecton dlakkan dengan menggnakan kendal solas, daya tahan tbh dan pengobatan dengan menggnakan Prnsp Maksmm Pontryagn. Prnsp Maxmm Prncple merpakan sat konds sehngga dapat dperoleh penyelesaan optmal control yang sesa dengan tjan (memaksmalkan performance ndex). Prosedr menyelesakan masalah ontrol optmal dengan menggnakan Prnsp Maksmm Pontryagn adalah sebaga berkt (ad, ): Dberkan persamaan plant: x f x t, t, t M-

3 Prosdng Semnar asonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MPA, Fakltas MPA, Unverstas eger Yogyakarta, 4 Me Dberkan ndeks performans: J S x t, t V x t, t, t f f t Dan konds batas x t x dan x t x f f bebas. Maka langkah-langkah penyelesaannya adalah: Bentk fngs Pontryagnnya: H x t, t, t, t V x t, t, t x t, t, t Mnmmkan H terhadap sema vektor kontrol t : ' H dan dperoleh t h x t, t, t Gnakan hasl dar langkah ke dalam langkah dan tentkan H yang optmal. H x t, h x t, t, t, t, t H x t, t, t Selesakan sekmplan n persamaan H x t dan t H x S S Dengan konds awal x dan konds akhr H t t x f f t x 5. Untk memperoleh kontrol optmal, sbsttskan sols x t, t dar langkah 4 ke dalam ekspres optmal ckontrol pada langkah. Smlas Smlas pada peneltan n menggnakan bantan program kompter ntk mencar kendal optmal pada model Tberkloss dengan Exogenos Renfecton. HASL PEELTA Untk mengendalkan penyebaran Tberkloss dengan Exogenos Renfecton dgnakan model kompartemen yang dkembangkan oleh (Zhlan Feng,dkk (). Asms asms yang dapat dambl dar model tersebt alah : Ssceptble alah poplas yang rentan terhadap penyakt Tberkloss. Poplas Ssceptble menngkat dengan adanya laj rekrtment dar ndvd yang mask ke dalam sat wlayah dan menrn dengan laj kematan alam (µ). Laj rekrtment melpt kelahran, mgras, dan emgras. Penlaran dapat terjad akbat hbngan antara Ssceptble dengan nfectos yang mengakbatkan poplas n menjad kt ternfeks dan berdampak poplas dar ssceptble akan berkrang. Pada poplas n akan kta berkan kendal solas ( ) sebaga pencegah hbngan antara poplas ssceptble dengan poplas nfectos. Koefsen transms kelas Ssceptble dan Exposed n adalah β dan c. Exposed alah ndvd yang terdeteks sdah ternfeks tetap belm mengnfeks, namn secara meds gejala penyakt Tberkloss belm menyebar. Total poplas n dnotaskan E, M- '

4 Hasnan asrn/ Pengendalan Optmal Tberkloss berkembangnya poplas Exposed karena laj perbahan dar kelas Ssceptble menjad Exposed dpengarh oleh β dan c dan berbahnya poplas Exposed menjad nfectos dpengarh oleh k (tngkat perkembangan dar kelas pasf dan laten menj kelas aktf dan menlar), dan menrn dengan laj kematan alam (µ). Pada Poplas n akan kta berkan kendal solas ( ) dan daya tahan tbh ( ) nfektos alah ndvd yang menlar, poplas n mncl setelah berkembangnya gejala dar ternfeks menjad menlar dan aktf yang dpengarh oleh k. Poplas n berkrang oleh kematan akbat penyakt Tberkloss (d), kematan alam (µ) dan orang yg sembh dar penyakt Tberkloss (r).hbngan poplas pada kelas n dengan kelas lannya dapat terjad dengan kelas ssceptble dan kelas treatment. Oleh karenan tlah kta dapat menekan perkembangan kelas nfectos dengan memberkan kendal solas ( ) dan mengrang poplas kelas nfectos dengan memberkan kendal pengobatan ata treatment ( ). Recovery Poplas sembh (Recovery) n dsmbolkan dengan notas T dan dasmskan bahwa poplas n telah sembh dar penyakt Tberkloss. Poplas berasal dar ndvd menlar () yang sembh dar penyakt Tberkloss dan menrn karena adanya laj kematan alam (µ). Pada poplas d kelas n kta akan memberkan kendal pengobatan ( )sebaga cara ntk memperbanyak poplas pada kelas n, serta memberkan kendal daya tahan tbh ( )ntk mencegah poplas pada kelas n kembal menjad poplas yang ternfeks. D bawah n adalah dagram kompartemen dar hbngan keempat kelas model Tberkloss dengan adanya kendal sebaga berkt : S cs M-4 E BcS S E T ke r d BCT Model matemats dar penyebaran Tberkloss dengan exogenos renfecton dapat ls dalam bentk persamaan dfferensal sebaga berkt: ds Λ t cs S de t cs t p ce k E t ct d dt d t r t ct T Λ t p ce ke t r d d T

5 Prosdng Semnar asonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MPA, Fakltas MPA, Unverstas eger Yogyakarta, 4 Me Untk mengetah tngkat penyebaran sat penyakt dperlkan sat parameter tertent. Parameter yang basa dgnakan adalah Blangan Reprodks Dasar (Basc Reprodcton mber). Blangan Reprodks Dasar adalah blangan yang menyatakan banyaknya rata-rata ndvd nfektf seknder akbat tertlar ndvd nfektf prmer yang berlangsng ddalam poplas ssceptble. Kanttas dar blangan reprodks dasar tergantng dar beberapa faktor dantaranya banyaknya rata-rata kontak antara ndvd-ndvd yang mash sehat (ssceptble) dengan ndvd-ndvd yang sdah menderta penyakt (nfectos) dan lama terjadnya kontak. Pada setap model, blangan reprodks dasar tergantng pada parameter-parameter kependdkan (demograf) dan epdemolog yang termat d dalam model. Jka model hanya mempnya da ttk kesetmbangan yat ttk kesetmbangan bebas penyakt dan ttk kesetmbangan endemk, maka tdak terjad endemk jka R < dan terjad endemk jka R >.Blangan reprodks dasar pada model Tberkloss dengan Exogenos Renfecton adalah R c k r d k Penyelesaan Kendal Optmal Pada penyelesaan kendal optmal n akan dbahas penggnaan kendal solas, Vaksnas(daya tahan tbh), dan Pengobatan. Tjannya ntk memnmalkan jmlah ndvd yang ternfeks (nfected) Tberkloss dengan wakt dan baya yang optmal dengan ndek performa sebaga berkt: B B B J,, t t t t Kendal adalah kendal solas yang merpakan paya yang mencegah nfeks ndvd rentan dengan ndvd menlar. Hal n akan mengrang jmlah ndvd yang dapat mengembangkan Tberkloss aktf. alah kendal daya tahan tbh yang merpakan paya ntk mencegah nfeks lang dar Tberkloss. alah kendal pengobatan, (pemberan Obat obatan secara ntensf dan terkendal) yang merpakan paya pada penanganan ndvd yang ternfeks aktf ntk menjad sembh. B, B, B adalah parameter pembobotan, menyembangkan kepentngan relatf dan kran persyaratan dalam fngsonal objektf. Selanjtnya dengan menggnakan prnsp maksmm pontryagn ddapatkan Persamaan Lagrananberkt: βcsn L E n B B B λ Λ μ S λ β csn pβ ce n σβ ct n μ k E 888 dengan pβ ce n λ ke μ r d n σβctn λ re μt λ Λ μ d n 4 5 w ( ( t ) a ) w ( b ( t )) w ( ( t ) a ) w ( b ( t )) w ( ( t ) a ) w ( b ( t )) M-5

6 Hasnan asrn/ Pengendalan Optmal Tberkloss w t w t w t w t w ( t ) w ( t ) w ( t ) a, w b ( t ), w ( t ) a, w b t w ( ( t ) a ), w ( b ( t ) Selanjtnya berdasarkan prnsp maksmal ddapatkan : L L L cs cs ce ce llllll B t E w t w ( t ) c ( S S E E ) t w t B ct ct 4 llllll B t w t w ( t ) ct ( ) 4 t w t w B llllll 4 4 w () t B t r re w t w ( t ) re ( ) t w t B w () t Ada tga kass dalam menentkan karakter yang spesfk dalam pengendalan optmal yat: ( t). Jkaaaa ( t ) b. jka a. jkabb b, dengann,, Dengan mengkombnaskan tga kass dalam menentkan karakter yang spesfk dalam pengendalan optmal dapat dbentk dalam bentk kompak sebaga berkt: ( ) lllll,, t m n b m ax a 4 ( ) lllll,, t m n b m ax a 4 ( t ) lllll m n b, m ax a, c ( S S E E ) ct ( ) re ( ) B B B Penyelesaan pencegahan Tberkloss dengan Exogenos Renfecton secara nmerk dlakkan dengan menggnakan bantan program kompter. la dar parameter dambl dar nla parameter yang berasal dar Snhwa Cho dkk(9) yat : M-6

7 POPULAS POPULAS Prosdng Semnar asonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MPA, Fakltas MPA, Unverstas eger Yogyakarta, 4 Me PARAMETER KOMPUTAS SMBOL LA Wakt akhr Batas gawah kendal Batas atas kendal Jmlah faktor yang mempengarh Jmlah faktor yang mempengarh Jmlah faktor yang mempengarh Tngkat rekrtmen konstan Jmlah rata-rata ndvd normal yang rentan ternfeks oleh sat ndvd menlar yang berhbngan langsng per nt wakt Rata rata tngkat kematan alam Jmlah rata-rata ndvd ternfeks yang rentan ternfeks oleh sat ndvd menlar yang berhbngan langsng per nt wakt Hbngan rata rata perkapta Angka kematan perkapta akbat Tberkloss Tngkat pegembangan dar terfeks laten menjad nfeks yang menlar Tngkat Exogenos Renfecton Tngkat pengobatan perkapta Total Poplas la awal Poplas Ssceptble la awal Poplas Exposed la awal poplas nfectos la awal poplas Treatment B B B Λ β µ σ c d k ρ r S() E() () T( 65,,,,,, , Pada tahap smlas n akan dbandngkan sstem sebelm dkontrol (tanpa memberkan kendal solas, Daya tahan tbh dan Pengobatan) dan sesdah dkontrol (dengan memberkan kendal solas, Daya tahan tbh dan Pengobatan), sehngga kta dapat mengkr sejah mana keefektfan dar kendal yang dlakkan. Pada sstem yang dberkan kendal kta akan membat da macam persoalan yat: Persoalan ketka R < artnya tdak ada terjadnya endemk Penyakt. Penlaran penyakt tergolong normal serta mash dalam taraf yang basa. Persoalan ketka R > Pada kass R > artnya terjadnya endemk penyakt. Penlaran penyakt tergolong datas normal ata dkatakan dapat menlar dan menyebar dengan sangat cepat.hal n nantnya akan dapat mengakbatkan jmlah korban yang sangat banyak apabla tdak dlakkan penanganan yang sers ntk mengantspas dar penlaran penyakt tersebt. Berkt n akan amplkan grafk hasl smlas Pengendalan Tberkloss dengan menggnakan program kompter dmana akan dperlhatkan konds pada saat tdak dkendalkan, dkendalkan pada saat penyebaran penyakt normal (Ro<) serta pada saat terjadnya endemk penyakt (Ro>). 5 GRAFK. POPULAS ORMAL Tanpa Kendal Pada saat Ro< Pada saat Ro> 5 GRAFK. POPULAS TERFEKS Tanpa Kendal Pada saat Ro< Pada saat Ro> 5 5 WAKTU PERLAKUA M-7 WAKTU PERLAKUA

8 POPULAS POPULAS Hasnan asrn/ Pengendalan Optmal Tberkloss Pada Grafk. Mennjkkan jmlah poplas normal dmana terlhat dengan adanya kendal dapat memaksmalkan dar ndvd yang normal sedangkan pada kass tanpa kendal mengakbatkan poplas ndvd normal menrn tajam. Pada Grafk. Mennjkkan jmlah poplas Ternfeks dmana terlhat dengan ata tanpa kendal jmlah dar poplas sama sama menrn, tetap pada saat dkendalkan jmlah poplas ternfeks akan lebh sedkt dbandngkan tanpa kendal 5,, GRAFK.POPULAS MEULAR Tanpa Kendal Pada saat Ro< Pada saat Ro> 5 GRAFK 4. POPULAS SEMBUH Tanpa Kendal Pada saat Ro< Pada saat Ro>, WAKTU PERLAKUA 4 WAKTU PERLAKUA Pada Grafk. Mennjkkan jmlah poplas menlar dmana dengan adanya kendal dapat menrnkan jmlah dar poplas yang menlar. Sedangkan apabla tdak dkendalkan dapat membat poplas n menjad menngkat. Pada Grafk 4. Mennjkkan jmlah poplas yang sembh, dengan adanya kendal poplas sembh mengalam penngkatan dsebabkan kendal pengobatan kemdan menrn dkarenakan poplas n bergerak ke poplas normal dkarenakan adanya kendal vaksnas sedangkan tanpa kendal poplas ters menrn. GRAFK 6. KEDAL SOLAS ( ) saat Ro< saat Ro> GRAFK 7. KEDAL VAKSAS ( ) saat Ro< saat Ro> KEDAL.75.5 KEDAL WAKTU PERLAKUA GRAFK 8. KEDAL PEGOBATA ( ) 4 WAKTU PERLAKUA saat Ro< KEDAL.75.5 saat Ro>.5 4 WAKTU PERLAKUA Pada Grafk 6,7,8 Mennjkkan kendal dar solas, vaksnas dan pengobatan dmana pada saat Ro> membthkan kendal yang lebh besar darpada saat Ro< Tabel. Jmlah pada Masng masng poplas setelah tahn Poplas Tanpa Kendal Ro < Ro > ormal Ternfeks Menlar Sembh M-8

9 Prosdng Semnar asonal Peneltan, Penddkan dan Penerapan MPA, Fakltas MPA, Unverstas eger Yogyakarta, 4 Me KESMPULA dan SARA Kesmplan Hasl peneltane mennjkkan kendal solas, Daya tahan tbh dan pengobatan yang dberkan dapat mengrang ndvd yang ternfeks dan ndvd yang menlar serta memnmmkan baya dalam menerapkan program solas, vaksnas dan pengobatan. Smlas merk mennjkkan hasl akhr keselrhan poplas dengan adanya kendal lebh bak darpada tanpa kendal. Pada kass Ro > ata terjadnya endemk membthkan kendal yang lebh besar dbandngkan dengan kass Ro < ata penlaran normal. Saran Pada kass Ro< dan Ro> dapat dberkan berbaga bentk strateg yang berbeda yat berpa kombnas dar kendal yang ada. DAFTAR PUSTAKA Cho.S, (9),Optmal Treatment Strateges for Tbercloss wth Exogenos Renfecton, atonal Scence Fondaton (SF -Grant DMPS-8875) Departemen Kesehatan Repblk ndonesa (6),Pedoman asonal Penangglangan Tberkloss, (6), Volme, DepKes, Jakarta. Feng.Z, dan Carlos Castllo-Chavez (),A Model for Tbercloss wth Exogenos Renfecton, Theor. Pop. Bol.57, 5 Hatta.K, M.Rachk, S.Saad, Y.Tabt and.yosf (9), Optmal Control of Tbercloss wth Exogenos Renfecton, Matematka Scences,Vol.,9. Sbchan,S, dan Zbkowsk, R., (9), Comptatonal Optmal Control Tools and Practse, John Wlley and Sons, Ltd, pblcaton., Unted Kngdom. M-9