Bab V Model Difusi Oksigen di Jaringan dengan Laju Konsumsi Berdasarkan Prinsip Michaelis-Menten

Transkripsi

1 Bb V Model Difusi Oksigen di Jingn dengn Lju Konsumsi Bedskn Pinsip Mihelis-Menten Pd Bb V ini kn dikji poses penyebn konsentsi oksigen di jingn dengn lju konsumsi memenuhi pinsip kinetik Mihelis-Menten, yitu: g( ) = A B +, dimn A dn B dlh konstnt. Ken menytkn konsentsi oksigen di jingn, mk. Oleh ken itu, didefinisikn g( ) benili nol, ketik <. Menggunkn syt bts pd Bb III dn penskln (3.), pesmn difusi di jingn dlm bentuk tidk bedimensi dlh: Nili wl dn syt bts: t + ( ) = λh() α +, b. (5.) b t +, jik t < δ; δ (, t) = ĉ, jik t δ (, ) =, ( ) b =, (5.) dimn λ = A D j, α = B, ĉ = i, δ = εd j, dn H() meupkn fungsi Heviside.

2 37 V. Solusi Kedn Tunk Setelh t, konsentsi oksigen di dlm jingn menpi kedn stsione, yitu memenuhi mslh syt bts: ( d d ) = λh() d d α +, () = ĉ, d d ( b b ) (5.3) =. (5.4) V.. Ketunggln dn Kepositifn Solusi Bentuk umum pesmn (5.3) dlh = f() untuk (5.5) = l untuk. (5.6) dimn dlh opeto Lple, l konstnt non-negtif, dlh deh nnulus, dengn b, dn dlh bts pd =. Dlm hl ini f() = λh() α +, dengn f() = jik dn f () > untuk >. Mislkn dn dlh solusi (5.5)-(5.6), dn u = mk: u = f( ) f( ) untuk, u = untuk. Bedskn Teoem Geen, mk dipeoleh: u u dv + u. u dv =.(u u) dv = dimn n dlh vekto noml di bts. u u ds, (5.7) n Ken u = pd, mk us knn pesmn (5.7) benili nol. Sehingg: u u dv = u (f( ) f( )) dv = u. u dv u. u dv.

3 38 Ken u. u dv, mk: u (f( ) f( )) dv. Tetpi f dlh fungsi monoton nik, sehingg huslh u =. Dengn demikin dipeoleh =. Selnjutny kn ditunjukkn bhw solusi pesmn (5.5)-(5.6) dlh nonnegtif. Jik l =, mk () = dlh solusi tunggl untuk pesmn (5.5). Mislkn 3 dlh solusi untuk pesmn (5.5), dengn b >. Jik 3 ( ) = untuk < = < b, mk dpt dibut pembtsn untuk domin, yitu dlh nnulus dengn b. Ken 3 dlh solusi tunggl untuk pesmn (5.5), mk 3 jug memenuhi: 3 = f( 3 ) untuk, 3 = untuk. Sehingg dipeoleh 3 () = untuk b. Dengn demikin (). Selnjutny kn dii solusi di pesmn (5.3)-(5.4). V.. Metode Numeik Untuk diskitissi pesmn (5.3) digunkn metode bed hingg. Intevl [, b] diptisi menjdi n buh selng yng beukun h = ( b )/n. Dipe- oleh titik-titik = < <... < n = b, dengn j = + jh. Untuk penyedehnn, nili konsentsi ( j ) dinotsikn dengn j. Bedskn ekspnsi Tylo, poksimsi untuk d d dn d d pd titik j, msing-msing dlh pesmn (3.35) dn (3.36). Dengn mensubstitusi pesmn (3.35) dn (3.36) ke pesmn (5.3), mk dipeoleh ν j j+ h j + ς j j = λ jh( j ) α + j, j =,..., n (5.8)

4 39 dimn ν j = h + h j dn ς j = h h j. Ken () = ĉ, mk j = ĉ, untuk j =. Bedskn syt bts ( b ) =, mk untuk j = n : ( j j ) h = λ jh( j ) α + j. (5.9) Selnjutny digunkn metode Newton Rphson untuk menyelesikn sistem pesmn non linie (5.8) - (5.9). Ken g() meupkn fungsi non-linie, mk digunkn metode simtotik untuk menyelesikn pesmn difusi di jingn. Penyelesin dengn metode simtotik pd Bb V ini besift ksuistik, yitu untuk psngn nili α dn λ = O(α), nili α dn λ = O(), set α = O() dn λ. V..3 Metode Asimtotik V..3. Ksus α, λ = O(α). Pmete α meupkn pebndingn di B dn. Oleh ken itu, jik nili yng meepesentsikn konsentsi di dinding kpile benili juh lebih bes dibndingkn dengn nili B yng meupkn konstnt keseimbngn eksi, mk α. Hl yng sm, jik nili konsentsi oksigen di dinding kpile kli koefisien difusi jingn ( D j ) juh lebih bes di lju mksimum eksi kli kudt ji-ji dinding kpile (A ), mk λ. Ken λ = O(α), mk dpt ditulis λ = λ α, dimn λ = O s (). ĉ = O(), dn mislkn mempunyi pelusn: (; α) = () + α () + O(α ). (5.) Dengn pelusn (; α) tesebut, pesmn (5.3) menjdi: ( ) + α ( ( ) + O(α λ ) = λ α + λ ) ( + ) α + O(α 3 ).

5 4 Untuk O(): Dengn bts: ( ) =. (5.) () = ĉ, ( b ) =, (5.) mk dipeoleh () = ĉ. Untuk O(α): ( ) = λ dengn () =, (b ) =. (5.3) ( ) b Membeikn solusi: () = λ ln. 4 Sehingg ( ) b () = ĉ λ α ln (5.4) 4 ( ) b = ĉ λ ln. (5.5) 4 Gmb 5. menunjukkn pebndingn solusi () yng diselesikn dengn metode simtotik ode petm (gis penuh) dn metode numeik (gis putus-putus), untuk pmete b =, dn ĉ =.5. Bedskn Gmb 5., jik ketesedin konsentsi oksigen di kpile juh lebih bes, bik di lju mksimum eksi (A) mupun di keofisien kesetimbngn (B), mk konsentsi oksigen di jingn tidk kn menpi nili nol smpi wktu tk hingg. lmbd=.,lph=. lmbd=., lph= Gmb 5.: Pebndingn Solusi Asimtotik Suku Petm dn Numeik untuk α = λ =., dn α = λ =..

6 4 V..3. Ksus α, λ = O(). Beikut ini kn dikji sutu kedn, dimn konsentsi di dinding kpile benili juh lebih bes dibndingkn dengn konstnt keseimbngn eksi ( B), set nili konsentsi oksigen di dinding kpile kli koefisien difusi sebnding dengn lju mksimum eksi kli kudt ji-ji dinding kpile ( D j A ). Ken () = i = O(), mk () = O(), untuk di pesekitn. Mislkn mempunyi pelusn: Pesmn (5.3) menjdi: (; α) = () + α () + O(α ). (5.6) ( ) + α ( ) + O(α ) = Untuk O() dipeoleh: dengn syt bts () = ĉ, ( b ) =. Sehingg λ α + = λ αλ + O(α ). (5.7) ( ) = λ, (5.8) λ () = + K, (5.9) dimn K dlh konstnt. Jik meupkn poksimsi yng vlid untuk seluuh deh domin, kit dpt menepkn syt bts ( b ) =. Sehingg dipeoleh K = λb. Dengn menginteglkn pesmn (5.9) dn menepkn kondisi () = ĉ, mk dipeoleh: ( ) b () = ĉ λ ln. (5.) 4 Ken meepesentsikn konsentsi oksigen di dlm jingn, mk dn begitu jug. Bedskn (5.), kn benili positif jik λ < ĉ b ln 4. (5.) Gfik λ tehdp ditunjukkn oleh Gmb 5., dengn b = dn ĉ =.5.

7 4..5 Λ Gmb 5.: Hubungn λ dn. Bedskn gfik tesebut, jik λ <.867 mk, sehingg sumsi dipenuhi. Akibtny solusi (5.) vlid di seluuh deh domin. Jik λ >.867, mk mempunyi k, dinotsikn. Ken intevl dibgi menjdi du bgin oleh, mk kit tidk dpt menepkn kondisi ( b) = pd (). Oleh ken itu K pd pesmn (5.9) belum bis ditentukn niliny dn demikin jug untuk nili. Untuk <, belku: () = λ 4 + K ln + ĉ λ 4. (5.) Akn ditunjukkn bhw untuk, () =. Asumsikn O(α). Selnjutny dibut penskln = α n, n. Pesmn (5.3) menjdi: α ( d d ) = d d λ. (5.3) + αn Ken α mk dengn n, setip ekspnsi (; α) = () +..., kn membeikn =. Sehingg solusi untuk dlh nol. Beikutny kn dii k dn K. Mislkn = α n ψ, = + α m ξ. (5.4) Dengn mensubstitusikn pemisln tesebut ke pesmn (5.3), mk dipe-

8 43 oleh: ( α n m d ( + α m + α m ξ) dψ ) ξ dξ dξ d ψ d ξ + α md ψ d ξ + α m + α m ξ α m dψ dξ = = + α m ξ dψ dξ = λαm ψ α + α n ψ = λα n ψ α + α n ψ λψ α + α n ψ (5.5) (5.6) λαm ψ + α n ψ. (5.7) Distinguished limit. Ken m, n >, mk dipilih n = dn m =, sehingg = αψ, = + αξ dn d ψ dξ = λψ + ψ. (5.8) Mthing ondition. Di sebelh knn, ψ hus tehubung dengn () =, sehingg ψ, jik ξ. Di sebelh kii, ψ hus tehubung dengn (). Oleh ken itu, ekspnsi Tylo di () di sekit dlh: () = ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) +... (5.9) = αξ ( ) + αξ ( ) +... (5.3) αψ(ξ). (5.3) Ode O( α) hus sm dengn nol, sehingg ( ) =. Se fisis, hl tesebut sngtlh msuk kl: jik tidk d sumbe pd bts deh dimn konsentsi benili nol, mk fluks oksigen benili nol. Dipeoleh K = λ. Sehingg: () = λ 4 λ ln + ĉ λ 4 = ĉ λ dengn meupkn k di (). = ( ) = λ + K. (5.3) = ( ) = ĉ λ ( ) ln, (5.33) 4 ( ln ). (5.34) 4 Gmb 5.3 meupkn gfik sebgi fungsi di λ, untuk ĉ =.5.

9 lmbd Gmb 5.3: Gfik tehdp λ. Dpt diliht di Gmb 5.3 bhw untuk λ =.867 tu λ = 9.58 nili. Selnjutny kn dikji se nlitik tentng nili, untuk λ dn ĉ = O(). Mislkn λ = ε. Mk pesmn (5.34) menjdi: ln 4 = εĉ, (5.35) dimn ε. Mislkn x + ε α x + ε β x +..., (5.36) dengn x = O s (), < α < β. Dengn mensubstitusi pesmn (5.36) ke (5.35) mk (x + ε α x + ε β x +...) ln(x +ε α x +ε β x +...) (x + ε α x + ε β x +...) 4 = εĉ. ] (x + ε α x + ε β x +...) [lnx + (ε α x + ε β x +...) (εα x + ε β x +...) (x + ε α x + ε β x +...) = εĉ. 4 x ln x 4 (x ) + εα x + εβ x + εα+β x x +... = εĉ. Untuk O() : x ln x 4 (x ) =,

10 45 mk dipeoleh x =. Selnjutny pilih α =, sehingg untuk O(ε) : x = ĉ, membeikn x = ± ĉ. Ken b, mk dipilih x = ĉ. Sehingg + ε ĉ +... Dengn ĉ =.5, Tbel 5. menunjukkn bebep pebndingn nili yng dipeoleh dengn metode simtotik dn numeik. Tbel 5.. Nili. Asimtotik Numeik ε = ε = ε = ε = Dengn demikin, solusi () untuk λ.867 dlh: ( ) b () = ĉ λ ln, (5.37) 4 dn untuk λ.867 dlh: ( ) ĉ λ () = ln, jik < 4 ;, jik < b. Ken λ =.867, mk dpt diliht bhw solusi () untuk λ.867 dlh sm dengn pesmn (5.5). Gmb 5.4 () dn (b) menunjukkn pebndingn solusi lu (gis penuh) dengn solusi numeik (gis putus) untuk λ.867. Bedskn gmb tesebut, dpt diktkn bhw jik λ = O() dn α, mk konsentsi oksigen di jingn kn menpi nili nol dlm wktu yng behingg.

11 46.5 lmbd=, lph=..5 lmbd=, lph= () (b).5 lmbd=., lph= () Gmb 5.4: Pebndingn Solusi Asimtotik Suku Petm dn Numeik α, λ = O(). Sedngkn Gmb 5.4 () menunjukkn pebndingn solusi lu dengn solusi numeik untuk λ.867. Bedskn gmb tesebut, jik λ dn α, konsentsi oksigen di jingn tidk kn menpi nili nol smpi wktu tk hingg. Bedskn Gmb 5.4, glt untuk solusi simtotik suku petm dlh semkin keil jik nili α semkin mendekti nili nol. V..3.3 Ksus α = O(), λ. Akn dikji sutu kedn, dimn konsentsi oksigen di dinding kpile dn koefisien kesetimbngn eksi menuju nol, tetpi jingn melkukn metbolisme yng membutuhkn oksigen (A ). Se mtemtis, kedn tesebut dpt dituliskn α = O(), λ.

12 47 Mislkn ε =. Ken λ, mk ε. Pesmn (5.3) menjdi: λ ) ε () = ĉ, ( d d d d = H() α +. (5.38) d d (b ) =. (5.39) Solusi Lu Mislkn ĉ dlh solusi lu bgi pesmn (5.38) - (5.39), dn ĉ mempunyi pelusn ĉ = + ε γ +..., dimn γ >. Pesmn (5.38) menjdi: ε ε [ ] d d( + ε γ +...) d d [ ] d d + ε +γ [ ] d d d d d d = = + ε γ +... α + + ε γ +... [ + ε γ ] α + α + (α + ) +... Untuk O() : mk =. Dipilih γ =, sehingg untuk O(ε) : d d ken =, mk =. ĉ =. α + = [ ] d = d α + (α + ) Solusi ĉ =, memenuhi bts d d ( b ) =, tetpi tidk memenuhi () = ĉ. Sehingg di = tejdi boundy lye. Solusi Dlm Mislkn = ε ς X+, dn C dlh solusi untuk X. Pesmn (5.38) menjdi ε ζ d C dx + ε ζ d C d C + ε ζ dx dx d C dx = C α + C d C εx dx = C α + C. ε ζ + ε ς X

13 48 Mellui poses blning, dipeoleh ζ =, sehingg d C d C + ε/ dx dx εx d C dx = C α + C, (5.4) dengn bts C() = ĉ. Mislkn C = C + ε η C +..., dimn η >. Dengn mensubstitusi pelusn di C tesebut ke pesmn (5.4) mk untuk O() : C C C d( C ) dx C C = α + C C = α + C C [ = α ] α + C C = ± C α ln(α + C ) + K, K dlh konstnt yng kn ditentukn niliny. Ken C() > () mk C meupkn fungsi tuun di sekit =. Sehingg yng dimbil dlh tnd negtif. Mthing ondition Ken ĉ =, mk C ( ) = dn C ( ) =. Sehingg dpt dipeoleh nili K, yitu K = α ln(α). Selnjutny dengn menggunkn metode Runge-Kutt, C dihitung se numeik. = ĉ + C = C. Gfik solusi () ditunjukkn oleh Gmb 5.5. Dengn nili λ =, solusi simtotik ode membeikn hsil yng sm dengn solusi numeik.

14 49 lp=, lmbd= lph=, lmbd=. simtotik O() numeik. simtotik O() numeik Gmb 5.5: Pebndingn Solusi Asimtotik Suku Petm dn Numeik α = O(), λ =, dn α = O(), λ =. V. Solusi Kedn Tidk Tunk Pesmn difusi beset syt-syt bts dn nili wl dibeikn oleh pesmn (5.)-(5.). Ken pesmn (5.) nonlinie, mk kn diselesikn dengn metode numeik. Metode yng digunkn untuk meni solusi numeik ini dlh metode bed mju. Dengn nili pmete b =, Gmb 5.6 menunjukkn poses penyebn konsentsi oksigen di jingn.. lp=., lmd=..4. lp=., lmbd= t= t=. t=.6 t= t= t=.6 t= lph=, lmbd= t= t=. t=.6 t=.4. lp=, lmbd= t= t=. t=.6 t= Gmb 5.6: Poses Penyebn Konsentsi Oksigen di Jingn dengn Lju Konsumsi Memenuhi Pinsip Kinetik Mihelis-Menten.

15 5 Bedskn Gmb 5.6, dpt dinytkn bhw yng mempunyi penn penting dlm poses penyebn konsentsi oksigen di jingn dlh λ, dimn λ ini meupkn pebndingn di keeptn eksi kli ji-ji dinding kpile tehdp koefisien difusi kli konsentsi di dinding kpile. Pmete α yng meupkn pebndingn koefisien kesetimbngn tehdp nili konsentsi oksigen di dinding kpile membeikn penguh kepd keeptn penuunn konsentsi oksigen. Dpt diliht di Gmb 5.6, bhw untuk nili λ yng sm, semkin bes nili α mk penuunn konsentsi oksigen semkin lm.