Bab IV Model Difusi Oksigen di Jaringan dengan Laju Konsumsi Linier terhadap Konsentrasi

Transkripsi

1 Bb IV Model Difusi Oksigen di Jingn dengn Lju Konsumsi Linie tehdp Konsentsi Poses metbolisme yng tejdi di jingn menggunkn oksigen sebgi bhn utmny. Dlm hl ini disumsikn lju konsumsi oksigen di jingn niliny begntung luus tehdp konsentsi. Sehingg g( ) pd pesmn (2.6) dpt dituliskn g( ) = κ, dengn κ dlh konstnt. IV. Solusi Kedn unk Pesmn difusi untuk deh jingn dengn konsumsi oksigen linie tehdp konsentsi dibeikn oleh ( 2 D j + ) = κ. (4.) 2 Pd Bb III, telh disumsikn bhw konsentsi oksigen di dinding kpile sm dengn nili konsentsi oksigen di dlm dh. Pd bb ini disumsikn dinding kpile mempunyi koefisien pepindhn mss h, yng didefinisikn : D j = h( k ) pd =, (4.2) dimn k dlh konsentsi oksigen di kpile, yng dlm h dil niliny konstn, k = k ( z). Pesmn (4.2) meupkn syt bts yng menghubungkn pesmn difusi di jingn dengn pesmn untuk pebedn konsentsi di dh dn di dinding kpile. Pd dinding lu jingn, lin konsentsi oksigen benili nol, sehingg (b) =. (4.3)

2 23 Di dlm kpile, tedpt kondisi kesetimbngn, yitu lju konsentsi oksigen yng bepindh ke jingn dlh sm dengn lju pengdn oksigen. Ken dinding kpile mempunyi kethnn pepindhn mss, mk pesmn untuk deh kpile dlh: u π 2d k d z = 2πh( k ), (4.4) dimn nili dihitung pd =. edpt sutu kondisi bhw konsentsi oksigen di ujung wl kpile dlh in, beti: k = in pd z =. (4.5) Mslh syt bts (4.)-(4.5) dpt dituliskn dlm bentuk tk bedimensi, dengn penskln: = in, =, z = z. Sehingg pesmn difusi untuk deh jingn dlh: = k2, (4.6) dimn k = ( κ2 D j ) 2. Pesmn konsentsi untuk deh kpile dlh: u π d k dz = 2πh( k ) pd =. (4.7) Syt bts untuk pesmn (4.6) dn (4.7) dibeikn oleh: = pd = b, (4.8) = h ( k ) D j pd =. (4.9) k = pd z =. (4.) Solusi pesmn (4.7) dengn bts (4.) dlh: [ ( ) ] 2βυ h k (z) = exp z, (4.) + βυ u

3 24 dn penyebn konsentsi untuk deh jingn dlh: (, z) = k(z) (I (k)k (k b + βυ ) + K (k)i (k b ) ), (4.2) dimn β = (κd j) 2 h set, k = ( κ2 D j ) 2, I dn K dlh fungsi Bessel emodifiksi, = I (k)k (k b ) + K (k)i (k b ), (4.3) υ = K (k)i (k b ) I (k)k (k b ). (4.4) Lngkh penyelesin pesmn (4.7) dn (4.6), se ini tedpt pd lmpin B. Gmb 4. dn 4.2 betuut-tuut menunjukkn penyebn oksigen dlm h ksil dn dil untuk pmete b =, κ = 5se, D j = 6µ 2 /se, h = µ/se, in =.2ml O 2 /ml dh, dn u = 4µ/se. kpile =.5 = z Gmb 4.: Gfik Konsentsi Oksigen dlm Ah Aksil untuk g() = k 2.

4 25 z= z= z= Gmb 4.2: Gfik Konsentsi Oksigen dlm Ah Rdil untuk g() = k 2. Untuk deh kpile, penyebn oksigen dlm h dil telh disumsikn benili konstn. Sedngkn dlm h ksil, semkin bes jk di inlet konsentsi oksigen semkin keil. Ken tedpt kethnn pepindhn mss pd dinding kpile, mk penyebn oksigen pd dinding kpile tidk kontinu. Sejln dengn betmbh besny jk di dinding kpile, nili konsentsi oksigen di jingn menuun. Pd ksus lju konsumsi oksigen linie ini, dikji jug bebep kedn fisis di pembuluh kpile beset jingn yng melingkupiny. IV.. Jingn yng ipis Jik jk nt sebuh kpile dengn kpile yng linny bedektn, mk deh jingn mempunyi ukun tipis. Bedskn pesmn (4.2)- (4.), untuk b, penyebn konsentsi oksigen di kpile dn jingn ditunjukkn oleh Gmb 4.3 dn Gmb 4.4. Pmete yng digunkn dlh b =.3, h = µ/se, κ = 5se, D j = 6µ 2 /se.

5 26.5 kpile =.4 = z Gmb 4.3: Gfik Konsentsi Oksigen dlm Ah Aksil untuk b..4 z=.2 z= z= Gmb 4.4: Gfik Konsentsi Oksigen dlm Ah Rdil untuk b. Kondisi jingn yng tipis, menyebbkn jumlh oksigen yng dikonsumsi oleh jingn dlh sedikit. Sehingg oksigen yng dilepskn di kpile pun tidk bes. Ken dinding kpile mempunyi kethnn pepindhn mss, mk konsentsi oksigen di dinding kpile tidk kontinu. IV..2 Jingn yng ebl Untuk jingn yng sngt tebl, b, mk I (x). Hl tesebut kn membeikn solusi yng tidk tebts. Oleh ken itu fungsi Bessel

6 27 yng digunkn hnylh K (k), dn kondisi bts (4.5) tidk digunkn (liht lmpin B). Fungsi konsentsi pd jingn dlh: (, z) = k(z) exp (k) exp ( k) [( + 2k) D j 2h + ], (4.5) dn fungsi konsentsi pd kpile dlh: [ ( ) ] 2h k (z) = exp u [( + 2k) D b + ] z. (4.6) 2h Kondisi jingn yng sngt tebl (b ), menyebbkn besny jumlh oksigen yng dikonsumsi oleh jingn. Bedskn Gmb 4.5, konsentsi oksigen di kpile dlm h ksil menuun dengn tjm. Dlm h dil, konsentsi oksigen di jingn menuun seiing dengn betmbhny ji-ji. kpile =.5 = z Gmb 4.5: Penyebn Konsentsi Oksigen dlm Ah Aksil untuk b.

7 28 z=.8 z= z= Gmb 4.6: Penyebn Konsentsi Oksigen dlm Ah Rdil untuk b. Bedskn pemodeln tesebut, dpt dikethui lsn mengp di tubuh kit tedpt kpile dengn jumlh sngt bnyk. Jik jk nt kpile yng stu dengn yng linny bejuhn mk kebutuhn oksigen di jingn tidklh dpt diukupi oleh kpile-kpile tesebut. Oleh ken itu, jk nt kpile yng stu dengn yng linny huslh sling bedektn. Bedskn Ross J [6], dlm otot sebet kg memut kpile dengn pnjng 9 km, set lus pemukn kpile 2 m 2. IV..3 Koefisien Pepindhn Mss inggi Ketik koefisien pepindhn mss mempunyi nili yng tinggi, dinding kpile sngt mudh ditembus oleh oksigen. Sehingg belku: k (z) = (, z) (4.7) Untuk h, mk pesmn (4.2) dn (4.) menjdi (, z) = I (k)k (k b) + K (k)i (k b) k (z), (4.8) dn k (z) = exp [ 2υ ( kdj u 2 ) 2 z ]. (4.9)

8 29 Gmb 4.7 dn Gmb 4.8 betuut-tuut menunjukkn penyebn konsentsi oksigen dlm h dil dn ksil, dengn pmete b =, D j = 6µ 2 /se, dn κ = 5se. z= z= z= Gmb 4.7: Gfik Konsentsi Oksigen dlm Ah Rdil untuk h. kpile =2 = z Gmb 4.8: Gfik Konsentsi Oksigen dlm Ah Aksil untuk h. Bedskn Gmb 4.7 dn Gmb 4.8, konsentsi oksigen di jingn menuun seiing dengn betmbhny ji-ji. Ken dinding kpile tidk mempunyi kethnn pepindhn mss, oksigen dpt lngsung bepindh

9 3 ke jingn. Sehingg konsentsi oksigen di kpile dlm h ksil menuun lebih ept jik dibndingkn dengn h <. IV..4 Koefisien Pepindhn Mss menuju nol Ketik koefisien tnsfe mss benili mendekti nol (β ), dinding kpile sngt sulit ditembus oleh penetnt, sehingg di seluuh deh jingn tidk mendpt psokn oksigen di kpile. Fungsi konsentsi di jingn: lim (, z) = lim k (I (k)k (k b β β + βυ ) + K (k)i (k b ) ) (4.2) = (4.2) Sedngkn untuk deh kpile, ken tidk d oksigen yng bepindh ke jingn, mk fungsi konsentsi pd deh ini benili konstn, yitu sm dengn pd posisi z =. ( [ ] ) 2βυ h lim k(z) = lim exp z h h + βυ u (4.22) = (4.23) IV.2 Solusi Kedn idk unk dengn Alin Dh Besift Pulstil Ketik t = konsentsi oksigen di deh jingn dimislkn konstn, yitu sebes. Kemudin mengli dh di dlm kpile. Ken lin dh di kpile besift pulstil, mk untuk t > disumsikn nili konsentsi di = besift peiodik. Pesmn konsentsi oksigen untuk deh jingn dlh: dengn bts ( 2 t + D j + ) = κ, 2 (, t) = + sin( 2π t), (4.24) (b, t) =, (4.25) (, ) =, (4.26)

10 3 dimn dlh peiode. Bedskn bts (4.24), dpt dikethui bhw (, 3 4 ) = f(t) t Gmb 4.9: Gfik (, t) untuk = dn =.5. Ag vibel dn pmete tidk bedimensi, dilkukn penskln: =, =, t = 2 D j t. Sehingg dipeoleh: dengn bts: t = k, (4.27) (, t) = + sin( 2π t), (4.28) ( ) b, t =, (4.29) (, ) =, (4.3) dimn k = κ2 D j, = D j 2. Untuk menyedehnkn mslh nili wl dn syt bts tesebut, dibut pemisln: (, t) = (, t) + 2 (, t) + 3 (, t), dn skem penyelesin mslh (4.27)-(4.3) tedpt pd Gmb 4..

11 32 Mislkn (, t) = (, t) + 2 (, t) + 3 (, t) - t t t b ( ) 2 b ( ) 3 b ( ) sin 2 t Mislkn (, ) t u + u -w t + w + w ( b ) u ( b ) w Gmb 4.: Skem Penyelesin. Solusi untuk 2 (, t). Mislkn 2 (, t) = Φ()Ψ(t), mk Φ()Ψ (t) + Φ ()Ψ(t) + Φ ()Ψ(t) kφ()ψ(t) =, Φ () Φ() + Φ () Φ() k = Ψ (t) Ψ(t) = λ2. Akibtny dipeoleh du buh pesmn difeensil, yitu: Ψ (t) + λ 2 Ψ(t) = dn (4.3) Φ () + Φ () + (λ 2 k)φ() =. (4.32) Solusi untuk pesmn (4.3) dlh Ψ(t) = C exp( λ 2 t), dimn C dlh konstnt. Mislkn σ 2 = λ 2 k, mk Φ() = C 2 J (σ) + C 3 Y (σ), dimn C 2, C 3 meupkn konstnt, J dn Y msing-msing meupkn fungsi Bessel ode nol. Bedskn syt bts, mk = C 2 J (σ) + C 3 Y (σ), = C 2 σj (σ b ) C 3σY (σ b ).

12 33 Ag solusi tidk tivil, mk huslh σ meupkn solusi di J (σ)y (σ b ) + Y (σ)j (σ b ) =. (4.33) Nili C 2 dn C 3 betuut-tuut dlh Y (σ) dn J (σ), sehingg Φ() = Y (σ)j (σ) J (σ)y (σ). (4.34) 2 (, t) = C Φ() exp( λ 2 t). (4.35) Ken pesmn diffeensilny homogen dn tedpt tk hingg buh σ yng memenuhi (4.33) mk kombinsi linie di (4.35) jug meupkn solusi. Sehingg: 2 (, t) = dimn α n Φ n () exp( λ 2 nt), n= Φ n () = Y (σ n )J (σ n ) J (σ n )Y (σ n ). (4.36) Untuk mempeoleh nili α n, kit puny nili wl 2 (, ) =, mk Sehingg = α n Φ n (). n= b/ Φ n ()d α n = b/ Φ 2 n()d πj 2 b = (σ n ) J 2(σ n) J 2(σ n b). Solusi untuk (, t). Bedskn bgn (, t) = u() + w(, t). Solusi untuk u() (liht Lmpin D) dlh u() = I ( k)k ( k b ) + K ( k)i ( k b ) I ( k)k ( k b ) + K ( k)i ( k b ). (4.37)

13 34 Untuk meni w(, t), posesny sm sepeti meni 2 (, t), yng membedkn dlh koefisien untuk kombinsi linieny. w(, t) = β n Φ n () exp( λ 2 nt), n= dimn β n = R b/ u()φ n()d R b/ Φ 2 n()d = [R b/ u()φ n()d]j 2 (σn b )π2 σ 2 n 2[J 2 (σn) J2 (σn b )]. Nili β n dihitung dengn bntun pogm Mpple 9. Solusi untuk 3 (, t). Solusi 3 (, t) dii dengn menggunkn teoem Duhmel, yitu 3 (, t) = t s(, t τ) d sin ( ) 2πτ dτ, dτ dimn s(, t) meupkn solusi di pesmn diffeensil tesebut dengn bts benili dn nili wl nol, dengn kt lin s(, t) = (, t). Ken (, t) telh dipeoleh pd bgin sebelumny, mk 3 (, t) = t t 2π 2π ( ) 2πτ u() os dτ + [ ] ( 2πτ β n Φ n () exp( λ 2 n (t τ)) os n= ) dτ. Sehingg (liht Lmpin C) dipeoleh: ( ) 2πt 3 (, t) = u() sin + [ 2π 2π β n Φ n () sin ( 2πt n= ) + λ 2 n os ( ) 2πt λ 2 n exp( λ 2 n ) t) ] 2. + λ 4 n ( 2π Gmb 4. menunjukkn pebndingn solusi nlitik dengn numeik. Bedskn gmb tesebut, solusi nlitik dn numeik membeikn hsil yng sm.

14 t=6 Anlitik Numeik 2.8 t=2 Anlitik Numeik * * Gmb 4.: Pebndingn Solusi Numeik dn Anlitik. Gmb 4.2 menunjukkn poses penyebn konsentsi oksigen di jingn untuk pmete b =, = 8.89, k =.28. Ken kondisi bts pd = beup fungsi peiodik, mk konsentsi oksigen di jingn teus menglmi peubhn. Pd deh jingn, tedpt dimn untuk < nili konsentsi oksigen menglmi peubhn mengikuti nili konsentsi di dinding kpile, dn untuk >, nili konsentsi oksigen tidk tepenguh oleh penyedin di dinding kpile. * Gmb 4.2: Poses Penyebn Oksigen di Jingn dengn Lju Konsumsi Linie.