Open Course. Fungsi dan Grafik. Oleh: Sudaryatno Sudirham

Transkripsi

1

2 Open Course Fungsi dn Grfik Oleh: Sudrtno Sudirhm

3 Pengntr Dlm peljrn ini disjikn bhsn tentng fungsi dn grfik sebgi thp wl dlm mempeljri klkulus Bhsn dibtsi pd fungsi-fungsi dengn peubh bebs tunggl ng berup bilngn nt

4 Ckupn Bhsn Pengertin Tentng Fungsi Fungsi Linier Gbungn Fungsi Linier Mononom dn Polinom Bngun Geometris Fungsi Trigonometri Gbungn Fungsi Sinus Fungsi Logritm Nturl, Eksponensil, Hiperbolik Fungsi dlm Koordint Polr

5

6 Pengertin Tentng Fungsi Fungsi Apbil sutu besrn memiliki nili ng tergntung dri nili besrn lin, mk diktkn bhw besrn tersebut merupkn fungsi besrn Contoh: pnjng btng logm merupkn fungsi tempertur disebut peubh tk bebs nilin tergntung Perntn secr umum ditulis f () disebut peubh bebs bis bernili sembrng dlm peljrn ini nili dibtsi pd nili bilngn nt Wlupun nili bis berubh secr bebs, sementr rus kiri tergntung dri rus knn, nmun nili tetp hrus ditenttukn sebts mn i boleh bervrisi

7 Pengertin Tentng Fungsi Domin Domin ilh rentng nili (intervl nili) di mn peubh-bebs bervrisi rentng terbuk b < < b dn b tidk termsuk dlm rentng rentng setengh terbuk b < b msuk dlm rentng, tetpi b tidk rentng tertutup b b dn b msuk dlm rentng

8 Pengertin Tentng Fungsi Sistem koordint - tu koordint sudut-siku Q[-,] 3 P[,] II I III - IV R[-3,-3] Bidng terbgi dlm kudrn Kudrn I, II, III, dn IV sumbu- S[3,-] sumbu- Posisi titik pd bidng dintkn dlm koordint [, ]

9 Pengertin Tentng Fungsi Kurv dri Sutu Fungsi, 5 Setip nili kn menentukn stu nili - 3 dst. -,5,5,5 dst. P,5,5,5 -,5 - Q R Δ Δ 3 Kurv, 5 Titik P, Q, R, terletk pd kurv Kemiringn kurv:

10 Pengertin Tentng Fungsi Kekontinun Sutu fungsi ng kontinu dlm sutu rentng nili tertentu, kn membentuk kurv ng tidk terputus dlm rentng tersebut. Sutu fungsi f() ng terdefinisi di sekitr c diktkn kontinu di c jik dipenuhi du srt: () fungsi tersebut memiliki nili ng terdefinisi sebesr f(c) di c; () nili f() kn menuju f(c) jik menuju c; perntn ini kit tuliskn sebgi lim f ( ) f ( c) c ng kit bc: limit f() untuk menuju c sm dengn f(c).

11 Pengertin Tentng Fungsi Contoh-.. u() Terdefinisikn di / Tk terdefinisikn di / -

12 Pengertin Tentng Fungsi Simetri. Jik fungsi tidk berubh pbil kit gnti dengn mk kurv fungsi tersebut simetris terhdp sumbu-;. Jik fungsi tidk berubh pbil dn dipertukrkn, kurv fungsi tersebut simetris terhdp gris-bgi kudrn I dn III. 3. Jik fungsi tidk berubh pbil dignti dengn, kurv fungsi tersebut simetris terhdp sumbu-.. Jik fungsi tidk berubh jik dn dignti dengn dn, kurv fungsi tersebut simetris terhdp titik-sl [,].

13 Pengertin Tentng Fungsi Contoh-.. 6,3 tidk berubh bil dignti ,5 3 tidk berubh jik dn dignti dengn dn tidk berubh jik: dignti dn dignti dengn dn dn dipertukrkn dignti dengn

14 Pengertin Tentng Fungsi Perntn Fungsi Bentuk Implisit Perntn fungsi bentuk eksplisit: f () dpt diubh ke bentuk eksplisit Perntn bentuk implisit / + + ( 8) Wlupun tidk dintkn secr eksplisit, setip nili peubh-bebs kn memberikn stu tu lebih nili peubh-tk-bebs ± 8 ( 8)

15 Pengertin Tentng Fungsi Fungsi Bernili Tunggl Contoh-.3. Fungsi bernili tunggl dlh fungsi ng hn memiliki stu nili peubh-tk-bebs untuk setip nili peubh-bebs 8,5,6,8 + -,8-3 -,6,8 log - - -,8 3

16 Pengertin Tentng Fungsi Fungsi Bernili Bnk Contoh-.3. Fungsi bernili bnk dlh fungsi ng memiliki lebih dri stu nili peubh-tk-bebs untuk setip nili peubh-bebs ± / ± / - -

17 Pengertin Tentng Fungsi Fungsi Dengn Bnk Peubh Bebs Secr umum kit menuliskn fungsi dengn bnk peubh-bebs: w f (,, z, u, v) Fungsi dengn bnk peubh bebs jug mungkin bernili bnk, misln ρ + + z Fungsi ini kn bernili tunggl jik dintkn sebgi ρ+ + + z

18 Pengertin Tentng Fungsi Sistem Koordint Polr Selin sistem koordint sudut-siku di mn posisi titik dintkn dlm skl sumbu- dn sumbu-, kit mengenl pul sistem koordint polr. Dlm sistem koordint polr, posisi titik dintkn oleh jrk titik ke titik-sl [,] ng diberi simbol r, dn sudut ng terbentuk ntr r dengn sumbu- ng diberi simbol θ Hubungn ntr koordint susut siku dn koordint polr r sinθ r cosθ r + θ tn ( / ) rcosθ θ r P rsinθ

19

20 Fungsi Linier Fungsi Tetpn Fungsi tetpn bernili tetp untuk rentng nili dri smpi +. k Contoh

21 Fungsi Linier Persmn Gris Lurus ng mellui [,] m gris lurus mellui [,] kemiringn gris lurus Δ Δ 3 kemiringn m, dibc : "delt "delt " " - Contoh ,5,5 m < m >

22 Fungsi Linier Pergesern Kurv dn Persmn Gris Lurus titik potong dengn sumbu pergesern ke rh sumbu ( ) titik potong dengn sumbu- pergesern ke rh sumbu- ( b) m m( ) kurv tergeser sebesr b ke rh sumbu- positif m+ b m+ kurv tergeser sebesr ke rh sumbu- positif Bentuk umum persmn gris lurus

23 Fungsi Linier Contoh memotong sumbu di memotong sumbu di m Persmn gris: tu ( ) +

24 Fungsi Linier Persmn Gris Lurus ng mellui du titik 8 6 [, ] [, ] m m - Contoh [,] [3,8] 8 m 3 persmn gris: b tu ( ) b tu 8 (3 ) b tu tu ( + ) +

25 Fungsi Linier Perpotongn Gris Lurus Du gris: + b dn + b Koordint titik potong P hrus memenuhi: b b P P P + b + + b b tu P P + b Contoh P + 3 dn 8 Koordint titik potong P hrus memenuhi persmn mupun , ,5+ 3 P Titik potong: P[(5,5), ] P

26 Fungsi Linier Contoh-Contoh Fungsi Linier dlm Peristiw Nt Contoh-.6. Sutu bend dengn mss m ng mendpt g F kn memperoleh perceptn F m v ( t) v + t Contoh-.7. Bed tegngn ntr nod dn ktod dlm tbung ktod dlh V Kut medn listrik: G pd elektron: V E l F e ee Perceptn pd elektron: ev l F m e e nod ] g fungsi linier dri V l ktod perceptn fungsi linier dri F e Apkh perceptn elektron fungsi linier dri V?

27 Fungsi Linier Contoh-.8. Sutu pegs, jik ditrik kemudin dilepskn kn kembli pd posisi semul pbil trikn ng dilkukn msih dlm bts elstisits pegs. G trikn merupkn fungsi linier dri pnjng trikn. F k g Contoh-.9. Dlm sebtng konduktor sepnjng l, kn menglir rus listrik sebesr i jik ntr ujung-ujung konduktor diberi perbedn tegngn sebesr V. Arus merupkn fungsi linier dri tegngn. i GV konduktnsi pnjng trikn konstnt pegs V R resistnsi G R G dn R dlh tetpn kerptn rus i j A V RA Lus penmpng konduktor R ρ l A resistivits pnjng konduktor

28 Fungsi Linier Contoh-.. Peristiw difusi: mteri menembus mteri lin mteri msuk di C C mteri kelur di Peristiw difusi mencpi kedn mntp,jik konsentrsi mteri C dn C bernili konstn Fluksi mteri ng berdifusi ke rh J D dc d koefisien difusi grdien konsentrsi Fluksi mteri ng berdifusi merupkn fungsi linier dri grdien konsentrsi Inilh Hukum Fick Pertm ng secr forml mentkn bhw fluksi dri mteri ng berdifusi sebnding dengn grdien konsentrsi.

29

30 Gbungn Fungsi Linier Fungsi Ank Tngg Fungsi nk tngg stun u( ) Fungsi nk tngg secr umum untuk untuk < ku() muncul pd mplitudo Fungsi ini memiliki nili ng terdefinisi di Contoh ,5u ( ) 5 3,5u ( ) 5 5 -,5u( ) - Fungsi nk tngg tergeser ku( ) Pergesern sebesr ke rh sumbu- positif

31 Gbungn Fungsi Linier Fungsi Rmp u() kemiringn Fungsi ini bru muncul pd kren d fktor u() ng didefinisikn muncul pd (fungsi nk tngg) Fungsi rmp stun : u() kemiringn Fungsi rmp tergeser: ( g) u( g) Contoh u() u() 3 3,5(-)u(-) - 3

32 Gbungn Fungsi Linier Puls Contoh-3.3. Puls merupkn fungsi ng muncul pd sutu nili tertentu dn menghilng pd > persmn : u( ) u( ) lebr puls : lebr puls u(-) + u(-) u(-) { u( ) u( ) } - u( ) period Deretn Puls:

33 Gbungn Fungsi Linier Perklin Rmp dn Puls { ( ) u( )} mu( ) A u rmp ma puls hn mempuni nili dlm selng lebrn { u ) u( )} ( mk jug kn bernili dlm selng lebr puls sj Contoh u(),5{u(-)-u(-3)} m{u()-u(-b)} mu() {u()-u(-b)} b - 3 5

34 Gbungn Fungsi Linier Gbungn Fungsi Rmp u( ) + b( ) u( ) + c( ) u( ) +... Contoh u() ( )u( ) 3 5 u() Kemiringn ng berlwnn membut 3 bernili konstn muli dri tertentu ( )u( ) u() ( )u( ) 3 5 u() lebih cept menurun dri mk 3 menurun muli dri tertentu ( )u( )

35 Gbungn Fungsi Linier Puls ini membut 3 hn bernili dlm selng {u() (-)u(-)}{u(-)-u(-3)} u() (-)u(-)

36

37 Mononom

38 Mononom Mononom Mononom dlh perntn tunggl ng berbentuk k n Mononom Pngkt Du: Contoh k memiliki nili minimum Kren,mk jik k > > jik k < < memiliki nili mksimum

39 Mononom Pergesern kurv mononom pngkt du 3 ( ) + 3 Pergesern ke rh sumbu- positif 5 ( ) Pergesern ke rh sumbu- positif

40 Mononom Contoh-.. Mononom Pngkt Genp pd umumn Pd mononom berpngkt genp, mkin besr pngkt mkin melndi kurv di sekitr titik punck Jik kurv-kurv ini memiliki nili k ng sm mk merek berpotongn di titik P[,k] Koordint titik potong ntr kurv Kurv : 6 3 Kurv : dn 6 dn dn 3 dn 3 3 ( ) 3 6 ( 3) 8 Kurv mononom pngkt genp simetris terhdp sumbu-

41 Mononom Mononom Pngkt Gnjil Pngkt gnjil terendh: linier Mkin tinggi pngkt mononom, mkin lndi kurv di sekitr titik [,] itu titik ng merupkn titik belok Jik kurv-kurv ini memiliki nili k ng sm mk merek berpotongn di titik P[,k] Kurv mononom pngkt gnjil simetris terhdp titik [,]

42 Mononom Mononom Pngkt Tig Mononom pngkt tig Simetris terhdp [,] Pergesern ke rh sumbu- positif 3 ( ) 3 + ( ) 3 Pergesern mononom pngkt tig ke rh sumbu- positif

43 Polinom

44 Polinom, Pngkt Du Polinom Pngkt Du + b+ c Kurv msing-msing komponen (mononom) dri polinom: / Penjumlhn mononom pertm dn ke-du: Perpotongn dengn sumbu

45 Polinom, Pngkt Du sumbu simetri 5/ 5 +5 sumbu simetri / Sumbu simetri dri + 5 memotong sumbu- di: 5 Penmbhn komponen 3 3 memberikn: Koordint titik punck: 5 / 3, ,5

46 +b +c -5 c b Polinom Pngkt Du secr umum Sumbu simetri: b c b b c b b c b Pergesern ke rh kiri sumbu- Pergesern ke rh negtif sumbu- c b Polinom, Pngkt Du

47 Polinom, Pngkt Tig Polinom Pngkt Tig: mononom pngkt tig + polinom pngkt du 3 + b + c+ d Mononom pngkt tig ( ) Dn Polinom pngkt du ( ) Penjumlhn: memotong sumbu- di 3 titik Hl ini tidk sellu terjdi Tergntung dri nili koefisien

48 Polinom, Pngkt Tig 3 + b + c+ d Ksus: kurng positif Penurunn kurv di derh negtif tidk terllu tjm Kurv terliht hn memotong sumbu- di titik Titik potong ke-3 juh di sumbu- negtif 3 - Ksus: terllu positif Penurunn di derh negtif sngt tjm Tk d titik potong dengn sumbu di derh negtif Hn d stu titik potong di positif 3

49 Polinom, Pngkt Tig 3 + b + c+ d b + c+ d k < Kurv 3 berpotongn dengn sumbu- di tig tig tempt. Akn tetpi perpotongn ng ke-tig berd juh di derh positif Jik terllu negtif kurv berpotongn dengn sumbu- di stu tempt

50

51 Bngun Geometris, Krkteristik Umum Simetri jik fungsi tidk berubh pbil kit gnti dengn mk kurv fungsi tersebut simetris terhdp sumbu-; jik fungsi tidk berubh pbil dn dipertukrkn, kurv funsi tersebut simetris terhdp gris-bgi kudrn I dn III. jik fungsi tidk berubh pbil dignti dengn, kurv funsi tersebut simetris terhdp sumbu-. jik fungsi tidk berubh jik dn dignti dengn dn, kurv fungsi tersebut simetris terhdp titik-sl [,].

52 Bngun Geometris, Krkteristik Umum Nili Peubh Dlm meliht bentuk-bentuk geometris hn nili-nt dri dn ng kit perhtikn Kit mengnggp bhw bilngn negtif tidk memiliki kr, kren kit belum membhs bilngn kompleks Contoh ± Apbil >, mk ( - ) < Dlm hl demikin ini kit membtsi hn pd rentng Kren kurv ini simetris terhdp gris, mk i memiliki nili jug terbts pd rentng

53 Bngun Geometris, Krkteristik Umum Titik Potong Dengn Sumbu Koordint Koordint titik potong dengn sumbu- dpt diperoleh dengn memberi nili, sedngkn koordint titik potong dengn sumbu- diperoleh dengn memberi nili. Apbil dengn cr demikin tidk diperoleh nili tupun mk kurv tidk memotong sumbu- mupun sumbu- Contoh Titik potong dengn sumbu- dlh P[,] dn Q[,]. Titik potong dengn sumbu- dlh R[,] dn S[, ] Kurv fungsi ini tidk memotong sumbu- mupun sumbu-

54 Bngun Geometris, Krkteristik Umum Asimptot Sutu gris ng didekti oleh kurv nmun tidk mungkin menentuhn, disebut simptot Contoh-5.3. ( ) + ± ( + ) - - tidk boleh < gr ( ) > hruslh < tu > Tidk d bgin kurv ng berd ntr dn. Gris vertikl dn dlh simptot dri kurv

55 Bngun Geometris, jrk ntr du titik Jrk Antr Du Titik Jik P[ p, p ) dn Q[ q, q ], mk PQ ( p q ) + ( p q ) Contoh [3,8] PQ (3 ) + (8 ) [,]

56 Bngun Geometris, Prbol Prbol Bentuk kurv k disebut prbol PQ (PR ( p) Q[,p] p) + [,] + k P[,] R[, p] PR ( + p) P terletk pd kurv Q terletk di sumbu- p gris sejjr sumbu- R terletk pd gris d sutu nili k sedemikin rup sehingg PQ PR Q disebut titik fokus prbol Gris disebut direktrik Titik punck prbol berd di tengh ntr titik fokus dn direktrikn p+ p + p+ p + + p p k p p k p

57 Bngun Geometris, Prbol Contoh-5.. Prbol,5 dpt kit tuliskn,5 Direktrik: p, 5 Titik fokus: Q[,(,5)]

58 Bngun Geometris, Lingkrn Lingkrn Lingkrn merupkn tempt kedudukn titik-titik ng berjrk sm terhdp stu titik tertentu ng disebut titik pust lingkrn Jik titik pust lingkrn dlh [,] dn jri-jri lingkrn dlh r r + + r persmn lingkrn berjri-jri r berpust di [.] Pergesern titikpust lingkrn sejuh kerh sumbu- dn sejuh b ke rh sumbu- ( ) + ( b) r Persmn umum lingkrn berjri-jri r berpust di (,b)

59 Bngun Geometris, Lingkrn Contoh-5.5. (,5) + (,5) r,5 - [,],5 r r - +

60 Elips Bngun Geometris, Elips Elips dlh tempt kedudukn titik ng jumlh jrk terhdp du titik tertentu dlh konstn Kedu titik tertentu tersebut merupkn du titik fokus dri elips X[,] P[-c, ] Q[c, ] ) ( XP c + + ) ( XQ c + ( ) c c ) ( ) ( mislkn) kit XQ XP ) ( c c + ) ( ) ( ) ( c c c ) ( ) ( c c c c c c c kwdrtkn kwdrtkn sederhnkn XQ XP PXQ : segitig di c c > > + + b c b

61 Bngun Geometris, Elips + b [,] [,b] X[,] P[-c, ] Q[c, ] [,] sumbu pendek b [, b] ( Elips tergeser p) ( q) + b q sumbu pnjng b b,5,5 - (,5) (,5) +,5 - p,5

62 Hiperbol Hiperbol merupkn tempt kedudukn titik-titik ng selisih jrkn ntr du titik tertentu dlh konstn X(,) P[-c,] Q[c,] ) ( XP c + + ) ( XQ c + c c XQ XP ) ( ) ( ) ( ) ( c c ) ( ) / ( c c + c Dlm segitig PXQ, selisih (XP XQ) < PQ c < c b b kwdrtkn dn sederhnkn kwdrtkn persmn hiperbol Bngun Geometris, Hiperbol

63 Bngun Geometris, Hiperbol b b c + X(,) -c c [-,] [,] Kurv tidk memotong sumbu- Tidk d bgin kurv ng terletk ntr dn

64 Bngun Geometris, Kurv Berderjt Du Kurv Berderjt Du Prbol, lingkrn, elips, dn hiperbol dlh bentuk-bentuk khusus kurv berderjt du, tu kurv pngkt du Bentuk umum persmn berderjt du dlh A + B+ C + D+ E+ F Persmn prbol: B C D F ; A ; E p Lingkrn: B D E ; A ; C ; F Bentuk A dn C dlh bentuk-bentuk berderjt du ng telh sering kit temui pd persmn kurv ng telh kit bhs. Nmun bentuk B ng jug merupkn bentuk berderjt du, belum kit temui dn kn kit liht berikut ini

65 Bngun Geometris, Kurv Berderjt Du Perputrn Sumbu Koordint Hiperbol dengn titik fokus tidk pd sumbu- P[-,-] Q[,] ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + + Mempetukrkn dengn tidk mengubh persmn ini. Kurv persmn ini simetris terhdp gris, ) ( ) ( ) ( ) ( Kurv hiperbol ini memiliki sumbu simetri ng terputr 5 o berlwnn dengn rh perputrn jrum jm, dibndingkn dengn sumbu simetri hiperbol sebelumn, itu sumbu

66

67 Fungsi Trigonometri, Pengertin-Pengertin Untuk menjelskn fungsi trigonometri, kit gmbrkn lingkrn-stun sin θ+ cos θ Fungsi Cosecn cscθ P r O θ - [,] -θ Q sinθ Fungsi sinus PQ sin θ PQ r r PQ Fungsi Tngent tnθ PQ OQ P Q tn( θ) OQ sinθ cosθ PQ OQ tnθ P - Fungsi Secn secθ Fungsi Cosinus OQ cos θ OQ r cosθ r OQ Fungsi Cotngent OQ cosθ cotθ PQ sinθ OQ OQ cot( θ) P Q PQ cotθ

68 Fungsi Trigonometri, Relsi-Relsi Relsi-Relsi cosα sinα cosβ β sinα sinα sinβ sin( α+β) sinα cosβ+ cosαsinβ α β - [,] cosα sinβ cos( α+β) cosαcosβ sinαsinβ cosα cosβ - Kren sin( β) sinβ cos( β) cosβ sin( α β) sinαcosβ cosαsinβ cos( α β) cosαcosβ+ sinαsinβ

69 Fungsi Trigonometri, Relsi-Relsi Contoh-6.: α α α α α+ α α cos sin sin cos cos sin ) sin( α α α α α α α sin cos sin sin cos cos ) cos( β α β α α β β α β+ α α+β sin cos cos sin ) sin( sin cos cos sin ) sin( ) sin( ) sin( cos sin α β + α+β β α α α+ sin cos α + α cos ) cos( ) cos( ) cos( cos cos α β + α+β β α β α β α +β α sin sin cos cos ) cos( β α β+ α β α sin sin cos cos ) cos( ) cos( ) cos( cos cos α β + α+β β α β α β α +β α sin sin cos cos ) cos( β α β+ α β α sin sin cos cos ) cos( cos ) cos( α α α α sin ) cos( α α sin ) cos(

70 Fungsi Trigonometri, Norml Kurv Fungsi Trigonometri Dlm Koordint - period period π π π π π π π - - sin( ) cos( π / ) Contoh: pergesern fungsi cosinus sejuh π/ ke rh sumbu- positif o sin 56 cos(56 9 ) o o cos3 o

71 Fungsi Trigonometri, Norml 3-3π/ -π/ -π/ π/ π/ 3π/ Fungsi Tngent sinθ tnθ cosθ cotθ Rentng: -π/ < tnθ < π/ π/ < tnθ < 3π/ dst. Lebr rentng: π/ simptot 3-3π/ -π/ -π/ π/ π/ 3π/ Fungsi Cotngent cosθ cotθ sinθ tn θ Rentng: < tnθ < π/ -π/ < tnθ < dst. Lebr rentng: π/

72 Fungsi Trigonometri, Norml 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π Fungsi Secn sec( ) cos( ) Rentng: -π/ < tnθ < π/ π/ < tnθ < 3π/ dst. Lebr rentng: π simptot 3 -,5π -π -,5π,5π π,5π Fungsi Cosecn csc( ) sin( ) Rentng: < tnθ < π -π< tnθ < dst. Lebr rentng: π

73 Fungsi Trigonometri, Inversi Sinus Inversi rcsin sin tu sin Sudut ng sinusn π π,5π,5π - - -,5,5 -,5π sin π π -,5π Kurv nili utm -π/ < sin - <π/ cos tn Kurv lengkp - < <

74 Fungsi Trigonometri, Inversi Cosinus Inversi cos cos - π π,75π,5π,5π cos π - -,5,5 sin Kurv lengkp Kurv nili utm < cos - < π - < < tn

75 Fungsi Trigonometri, Inversi Tngent Inversi tn tn,5π π,5π ,5π -π -,5π Kurv lengkp,5π,5π ,5π -,5π Kurv nili utm π < tn π < sin + tn cos + +

76 Fungsi Trigonometri, Inversi Cotngent inversi cot cot dengn nili utm < cot <π π +,5π Kurv nili utm < cot <π tn sin cos + +

77 Fungsi Trigonometri, Inversi Secn Inversi π,75π,5π sec cos dengn nili utm sec π sec +,5π sec Kurv nili utm < sec <π sin cos tn + +

78 Fungsi Trigonometri, Inversi Cosecn Inversi csc sin dengn nili utm csc,5π,5π π csc π ,5π -,5π Kurv nili utm π csc π sin tn + csc cos + +

79

80 Gbungn Fungsi Sinus Bnk peristiw terjdi secr siklis sinusoidl ng merupkn fungsi wktu, seperti misln gelombng ch, gelombng rdio pembw, gelombng tegngn listrik sistem teng, dsb Oleh kren itu kit kn meliht fungsi sinus dengn menggunkn wktu, t, sebgi peubh bebs Tig besrn krkteristik fungsi sinus Asin( +θ) Asin(πf t+ θ ) sudut fs mplitudo frekuensi siklus Selin frekuensi siklus, f, kit mengenl jug frekuensi sudut, ω, dengn hubungn ω πf

81 Gbungn Fungsi Sinus Fungsi sinus dlh fungsi periodik itu fungsi ng memenuhi hubungn f ( t T ) f ( t) Hubungn ntr frekuensi siklus dn period dlh: f T period A T A T t -A T s t -A Kren fungsi sinus dlh fungsi periodik mk gbungn fungsi sinus jug merupkn fungsi periodik wlupun tidk berbentuk sinus.

82 Gbungn Fungsi Sinus Contoh-6.. Bentuk kurv gbungn fungsi sinus ditentukn oleh besrn krkteristik fungsi sinus penusunn -5 5 t - 3 cos f t -5 5 t cos f t cos πft cos(π( f ) t) t cos π ft cos(π( f) t+ π Perbedn mplitudo, frekuensi, dn sudut fs menentukn bentuk gelombng gbungn / )

83 Gbungn Fungsi Sinus Bentuk kurv gbungn fungsi sinus ditentukn jug oleh bnk komponen sinus ng terlibt Komponen-komponen sinus ng terlibt dlm pembentukn gelombng gbungn disebut hrmonis Komponen sinus dengn f disebut komponen fundmentl Di ts komponen fundmentl dlh Hrmonis ke- dengn frekuensi f Hrmonis ke-3 dengn frekuensi 3f Hrmonis ke- dengn frekuensi f dst. Gbungn fungsi sinus jug mungkin mengndung fungsi tetpn ng disebut komponen serh

84 Gbungn Fungsi Sinus Contoh-6.. Gbungn fungsi sinus membentuk gelombng persegi ) b) c) d) e) ). sinus dsr (fundmentl). b). hrmonis-3 dn sinus dsr + hrmonis-3. c). hrmonis-5 dn sinus dsr + hrmonis-3 + hrmonis-5. d). hrmonis-7 dn sinus dsr + hrmonis-3 + hrmonis-5 + hrmonis-7. e) hsil penjumlhn ng dilkukn smpi pd hrmonis ke-.

85 Gbungn Fungsi Sinus Spektrum Lebr Pit Jik gbungn fungsi sinus membentuk gelombng periodik ng tidk berbentuk sinus (non-sinus) mk bentuk gelombng non-sinus dpt diurikn menjdi komponen-komponen sinus Komponen-komponen sinus itu membentuk sutu spektrum. Ad du spektrum itu Spektrum Amplitudo dn Spektrum Sudut-fs Mkin tinggi frekuensi hrmonis, mkin rendh mplitudon. Frekuensi tertinggi, f mks, dlh frekuensi hrmonis ng mplitudon sudh dpt dibikn. Frekuensi terendh, f min, dlh frekuensi komponen fundmentl itu, tu jik spektrum mengndung komponen serh Lebr pit frekuensi sutu spektrum dlh selng frekuensi ng merupkn selisih f mks dn f min

86 Gbungn Fungsi Sinus Contoh cos(πf t) + 5cos(π ft π / ) + 7,5cos(π ft + π ) Frekuensi f f f Amplitudo 3 5 7,5 Sudut fs π/ π π Amplitudo 3 Sudut Fs π/ 3 5 π/ 3 5 Frekuensi [ f ] π Frekuensi [ f ] Spektrum Amplitudo Spektrum Sudut-fs

87 Gbungn Fungsi Sinus Deret Fourier Pengurin sutu sinl periodik menjdi sutu spektrum sinl tidk lin dlh perntn fungsi periodik kedlm deret Fourier fungsi periodik f [ cos(πnf t) + b sin(πnf ] ( n n t t) + ) Koefisien Fourier Contoh-6.. T t b n A / π A / π n A / ; n b n genp; n n n gnjil

88 Contoh-6.6. Contoh-6.5. Gbungn Fungsi Sinus T A t n b n n n A A n n n untuk semu gnjil genp; / / π π n n A b n A n n untuk semu untuk semu / π T A t

89

90

91 Fungsi Logritm Nturl Bilngn Nturl Logritm nturl dlh logritm dengn menggunkn bsis bilngn e Bilngn e ini, seperti hln bilngnπ, dlh bilngn-nt dengn desiml tk terbts. Smpi dengn ngk di belkng kom, nilin dlh e,78888 ln e ln e ln e

92 Fungsi Logritm Nturl Fungsi Logritm Nturl Definisi ln /t ln 3 ln dt t lus bidng ntr fungsi /t dn sumbu- ng dibtsi oleh t dn t t Kurv ln ln e,5,5 -,5 - -,5 - ln 3 e e,

93 Fungsi Logritm Nturl Sift-Sift ln ln + ln ln ln ln ; n ln nln ln e ln e ln bernili negtif untuk <

94

95 Fungsi Eksponensil Fungsi Eksponensil Antilogritm Antilogritm dlh inversi dri logritm ln Fungsi Eksponensil e Fungsi eksponensil ng penting dlh fungsi eksponensil dengn eksponen negtif e u( ) ; Fktor u() membut fungsi ini muncul pd Nmun demikin fktor ini bis tidk lgi dituliskn dengn pengertin bhw fungsi eksponensil tetp muncul pd t

96 Fungsi Eksponensil Kurv Fungsi Eksponensil e,8,6,, e e Mkin negtif eksponen fungsi ini, mkin cept i menurun mendekti sumbu-,5,5,5 3 3,5 Penurunn kurv fungsi eksponensil ini sudh mencpi sekitr 36% dri nili wln (itu nili pd ), pd st / Pd st 5/, kurv sudh sngt menurun mendekti sumbu-, nili fungsi sudh di bwh % dri nili wln Oleh kren itu fungsi eksponensil bis dinggp sudh bernili nol pd 5/

97 Fungsi Eksponensil Persmn umum fungsi eksponensil dengn mplitudo A dengn wktu sebgi peubh bebs dlh Ae t u( t) Ae t / τ u( t) ng dituliskn dengn singkt Ae t Ae t / τ τ / disebut konstnt wktu mkin kecil τ, mkin cept fungsi eksponensil menurun Pd st t 5τ, nili fungsi sudh di bwh % dri A fungsi eksponensil dinggp sudh bernili nol pd t 5τ

98 Fungsi Eksponensil Gbungn Fungsi Eksponensil 5 A 3 Ae t / τ Ae t / τ ( t / τ t τ ) e A e / t/τ 3 5

99

100 Fungsi Hiperbolik Fungsi Hiperbolik Definisi Kombinsi tertentu dri fungsi eksponensil membentuk fungsi hiperbolik, seperti cosinus hiperbolik (cosh) dn sinus hiperbolik (sinh) cosh e + e ; sinh e e Untuk sinh dn cosh terdpt hubungn cosh sinh e + + e e + e sedngkn untuk sin dn cos terdpt hubungn: cos + sin

101 Fungsi Hiperbolik sinh v P[,] v v cosh v Fungsi hiperbolik ng lin tnh v sinh v cosh v e e v v e + e v v ; coth v cosh v sinh v e e v v + e e v v sech v cosh v e v + e v ; csch v sinh v e v e v

102 Fungsi Hiperbolik Beberp Identits cosh v sinh v tnh v sech coth v csch cosh v + sinh v u e v v cosh v sinh v e u

103 Fungsi Hiperbolik Kurv-Kurv Fungsi Hiperbolik 3 e sinh e cosh 3 e sinh cosh 3 sech coth coth tnh csch csch sinh

104

105 Koordint Polr Relsi Koordint Polr dn Koordint Sudut-siku P r sinθ P r cosθ P [,] r θ P P[r,θ]

106 Koordint Polr Persmn Kurv Dlm Koordint Polr Persmn lingkrn berjri-jri c berpust di O[,b] dlm koordint sudut-siku dlm koordint polr ( ) + ( b) c ( r cosθ ) + ( r sinθ b) c b θ r P[r,θ] [,] θ r P[r,θ] [,]

107 Koordint Polr Contoh-9.. P[r,θ] r 3 θ r θ P[r,θ] r ( cosθ) crdioid - -3 r 6cosθ - -3 rθ θ π,5,5-3 -,5 θ 3π - P[r,θ] r θ θ π θ π

108 Koordint Polr Persmn Gris Lurus l O r θ P[r,θ] b O l r θ P[r,θ] l : r cosθ l : r sinθ b P[r,θ] P[r,θ] A α l 3 β r θ r β θ l O O l : r cos(β θ) 3 l : r cos(θ β)

109 Koordint Polr Prbol, Elips, Hiperbol Eksentrisits D titik fokus direktriks Prbol: Elips: A e s e s k < Hiperbol: e s > r θ F B P[r,θ] k r cosθ Eksentrisits: e s PF r PD k+ r cosθ Dengn pengertin eksentrisits ini kit dpt membhs sekligus prbol, elips, dn hiperbol. r e ( k + r cosθ) e k + e r cosθ s s esk r es cosθ,5 k k r (misl e,5cosθ cosθ s,5) k r (misl e s ) cosθ s

110 Koordint Polr Lemniskt dn Ovl Cssini Kurv-kurv ini dlh kurv pd kondisi khusus, ng merupkn tempt kedudukn titik-titik ng hsil kli jrkn terhdp du titik tertentu bernili konstn θ π F [,π] θ π/ P[r,θ] r θ θ F [,] ( PF) ( r sinθ) + ( + r cosθ) ( PF ) ( r sinθ) + ( r cosθ) r + But b dn berrelsi b k + r cosθ k b Mislkn r PF PF b r + ( r + + r cosθ) ( r + r cosθ) + + r ( cos r + r cos θ θ) r cosθ r + r cos θ r r cos θ+ ( k ) r cos θ± cos θ ( k )

111 Koordint Polr Lemniskt r cos θ± cos θ ( k ) Kondisi khusus: k r cos θ θ π/,6 Kurv dengn Kondisi khusus: k >, misl k, θ π/,5 θ π, -,5 - -,5 -,,5,5 θ θ π θ - - -,5 -,6 -

112 Koordint Polr Ovl Cssini r cos θ± cos θ ( k ) Kondisi khusus: k <, mislkn k,8 θ π/,5 θ π, ,5 - θ -,5

113 Coursewre Fungsi dn Grfik Sudrtno Sudirhm