PENGURANGAN PEUBAH DALAM ANALISIS KORELASI KANONIK FANNY NOVIKA

Transkripsi

1 PENGURANGAN PEUBAH DALAM ANALISIS KORELASI KANONIK FANNY NOVIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Pengurangan dalam Analisis adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2015 Fanny Novika NIM G

4 ABSTRAK FANNY NOVIKA. Pengurangan dalam Analisis. Dibimbing oleh SISWADI dan TONI BAKHTIAR. Analisis korelasi kanonik merupakan analisis peubah ganda yang digunakan untuk memperoleh tingkat keeratan hubungan linear antara dua kelompok peubah. Banyaknya peubah dalam suatu kelompok peubah sering menyulitkan dalam merepresentasikan hasilnya. Pengurangan peubah yang digunakan menjadi hal yang penting untuk dilakukan. Pengurangan peubah dapat dilakukan antara lain dengan analisis korelasi kanonik itu sendiri, analisis komponen utama, dan analisis Procrustes. yang dikurangi dengan ketiga analisis tersebut dibatasi dengan kriteria penurunan korelasi kanonik sebelum dan sesudah pengurangan peubah. yang menurunkan korelasi kanonik dengan selisih yang besar tidak dihilangkan. Pada karya tulis ini, pengurangan peubah dilakukan pada data jenis ikan di Laut Barents (Anonim 1997). Analisis Procrustes paling banyak mengurangi peubah, yang kedua yaitu dengan analisis komponen utama dan yang terakhir yaitu dengan analisis korelasi kanonik. Kata kunci: analisis komponen utama, analisis korelasi kanonik, analisis Procrustes, pengurangan peubah ABSTRACT FANNY NOVIKA. Variable Reduction in Canonical Correlation Analysis. Supervised by SISWADI and TONI BAKHTIAR. Canonical correlation analysis is multivariate analysis used to obtain a linear relationship between two sets of variables. A large number of variables in a set of variables is often difficult to represent the results. Reduction of the used variables becomes important to be done. Variables reduction can be done for example by using the canonical correlation analysis, principal component analysis, and Procrustes analysis. Variables reduced by these three analyses restricted by the criteria of canonical correlation decrease before and after the reduction of variables. Variables that decrease the canonical correlation by a large difference are not removed. In this paper, variable reduction is performed on the data type of fish in the Barents Sea (Anonymous 1997). Procrustes analysis at most reduces the variables, the second is the principal component analysis and the last is the canonical correlation analysis. Keywords: canonical correlation analysis, principal component analysis, Procrustes analysis, variable reduction

5 PENGURANGAN PEUBAH DALAM ANALISIS KORELASI KANONIK FANNY NOVIKA Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

6

7

8 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia- Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulis telah menerima bantuan dari berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada Prof Dr Ir Siswadi, MSc dan Dr Toni Bakhtiar, MSc sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas segala ide cemerlang mengembangkan karya ilmiah ini dan memberikan solusi ketika menghadapi masalah pada penulisan karya ilmiah ini, serta kepada sebagai dosen penguji Ir N.K. Kutha Ardana, MSc. Selain itu, penulis juga mengucapkan terimakasih kepada Ibu, Ayah, keluarga dan temanteman Matematika 48 yang selalu memberi semangat, doa dan motivasi. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitianpenelitian selanjutnya. Bogor, Agustus 2015 Fanny Novika

9 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL DAFTAR GAMBAR DAFTAR LAMPIRAN PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen 2 Vektor Kombinasi Linear 2 Matriks Koragam 2 Analisis Ganda 3 Analisis 3 Analisis Komponen Utama 5 Standardisasi Komponen Utama 6 Dekomposisi Nilai Singular 7 Analisis Procrustes 8 METODE 9 Sumber Data 9 Proses Analisis Data 10 HASIL DAN PEMBAHASAN 11 Pengurangan dengan Analisis 12 Pengurangan dengan Analisis Komponen Utama 15 Pengurangan dengan Analisis Procrustes 17 Eksplorasi Berdasarkan Pengurangan dengan Analisis, Analisis Komponen Utama dan Analisis Procrustes 19 SIMPULAN 20 DAFTAR PUSTAKA 21 LAMPIRAN 22 RIWAYAT HIDUP 54 x x x

10 DAFTAR TABEL 1 Setelah Pengurangan dengan Analisis Secara Langsung 12 2 Koefisien dari Pertama 13 3 Setelah Pengurangan dengan Analisis Melalui 14 4 Setelah Pengurangan dengan Analisis Komponen Utama 16 5 Setelah Pengurangan dengan Analisis Procrustes 18 6 Nilai pada Pengurangan 20 DAFTAR GAMBAR 1 Penurunan Pertama Setiap Berkurang Satu dengan Analisis Secara Langsung 13 2 Penurunan Pertama Setiap Berkurang Satu dengan Analisis Melalui 15 3 Penurunan Pertama Setiap Berkurang Satu dengan Analisis Komponen Utama 17 4 Penurunan Pertama Setiap Berkurang Satu dengan Analisis Procrustes 18 5 Penurunan Pertama Setiap Berkurang Satu dengan Semua Analisis 19 DAFTAR LAMPIRAN 1 Data Lingkungan Laut Barents 22 2 Data Jenis Ikan di Laut Barents 24 3 Komponen Utama yang Berkorelasi Terbesar Setiap Pengurangan Satu yang Bersesuaian dengan Nilai Eigen Terkecil 35 4 Nilai Eigen Terkecil dari Komponen Utama yang Berkorelasi Terbesar dengan Yang dikurangi 42 5 Nilai Mutlak dari 43 6 Ukuran Procrustes 47 7 Nilai Pertama dengan Analisis Secara Langsung 52

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Ilmu pengetahuan mudah berkembang pesat dengan cepat. Hal ini dapat ditunjukkan dengan banyaknya ilmu-ilmu baru yang diadaptasi dari hasil penelusuran ilmu-ilmu dasar. Para peneliti semakin giat memperdalam ilmu demi memperkaya ranah ilmu pengetahuan. Semakin berkembangnya ilmu pengetahuan maka masalah yang dapat diselesaikan akan semakin kompleks. Dalam hal analisis peubah ganda, masalah yang hanya melibatkan dua peubah bisa dikembangkan dengan masalah yang melibatkan tiga peubah atau lebih. Penggabungan dari beberapa masalah sederhana juga merupakan salah satu masalah kompleks yang dapat diselesaikan dari perkembangan suatu ilmu pengetahuan. Perkembangan ilmu pengetahuan dalam kasus analisis peubah ganda diantaranya dikembangkan oleh Hotelling pada tahun 1936 tentang analisis korelasi kanonik. Analisis korelasi kanonik adalah analisis peubah ganda yang sering digunakan untuk menguji hubungan secara linear antara dua kelompok peubah (Rencher dan Christensen 2012). Salah satu masalah kompleks lainnya yang seringkali terjadi adalah analisis peubah ganda yang memunyai peubah yang sangat banyak sehingga sulit untuk merepresentasikan hasil penelitian. Kesulitan lainnya adalah hasil penelitian sulit untuk disimpulkan secara global. Selain itu, dengan banyaknya peubah memperbesar kemungkinan tidak akuratnya koefisien dari penduga parameter. Terjadi juga kondisi saat data yang diperlukan dalam satu peubah memerlukan biaya yang besar. Permasalahan ini dapat diatasi dengan mengurangi peubah antara lain dengan menggunakan analisis korelasi kanonik dengan menghilangkan satu per satu peubah secara langsung dan dengan peubah kanonik. Analisis lainnya dapat dilakukan dengan analisis komponen utama dan analisis Procrustes. Dalam analisis korelasi kanonik, beberapa peubah dalam dua kelompok peubah dapat digunakan untuk mempelajari korelasi antara dua kelompok peubah (Timm 2002). Oleh karena itu, peubah yang dihilangkan adalah yang memberikan pengurangan nilai korelasi kanonik paling sedikit atau yang memunyai koefisien peubah dalam peubah kanonik paling dekat dengan nol. Analisis komponen utama merupakan analisis peubah ganda yang digunakan untuk mengurangi dimensi data yang berukuran sangat besar dengan mempertahankan sebanyak mungkin informasi yang terkandung pada data asalnya. Analisis komponen utama mentransformasi peubah-peubah asli yang masih saling berkorelasi satu dengan yang lain menjadi satu himpunan peubah baru yang tidak berkorelasi lagi. -peubah baru tersebut disebut dengan komponen utama. yang dihilangkan adalah peubah yang mempunyai korelasi paling besar dengan komponen utama yang bersesuaian dengan nilai eigen terkecil. Analisis Procrustes adalah teknik yang mengacu pada perbandingan dua objek dengan berbagai kondisi dan menghasilkan ukuran kesesuaian. Analisis Procrustes dapat menghilangkan kemungkinan peubah yang tidak dapat dibandingkan dalam kelompok data individu dan perbedaan ukuran antara kelompok data dengan mengubah skala data dan menghitung jarak antar data.

12 2 Perhitungan dengan jarak Euclid dan transformasi dengan cara translasi-rotasi dan dilasi adalah langkah yang efektif dalam analisis Procrustes (Bakhtiar dan Siswadi 2015). Pengurangan peubah dalam analisis Procrustes dilakukan dengan membandingkan jarak antara matriks awal yang ingin dihilangkan peubahnya dengan matriks itu sendiri setelah pengurangan peubah satu per satu. Tujuan Penelitian Penulisan karya ilmiah ini bertujuan untuk mengurangi peubah dalam analisis korelasi kanonik, analisis komponen utama dan analisis Procrustes lalu membandingkan korelasi kanonik dua kelompok peubah sebelum dan sesudah pengurangan peubah. TINJAUAN PUSTAKA Nilai Eigen dan Vektor Eigen Untuk setiap matriks segi A, skalar λ dan suatu vektor x 0 dari persamaan Ax = λx maka λ disebut sebagai nilai eigen dan x sebagai vektor eigen matriks A. Untuk mencari nilai λ buat persamaan karakteristik A λi = 0. Akar persamaan dari λ merupakan nilai eigen dan x merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ (Rencher dan Christensen 2012). Vektor Kombinasi Linear Misalkan v 1, v 2, v 3,, v n adalah vektor-vektor dalam suatu himpunan vektor V. Jumlah vektor-vektor berbentuk α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v α n v n di mana α 1, α 2, α 3,, α n adalah skalar-skalar disebut suatu kombinasi linear dari v 1, v 2, v 3,, v n (Rencher dan Christensen 2012). Matriks Koragam Misalkan y adalah vektor peubah berukuran q 1, x adalah vektor peubah berukuran p 1, E(y) adalah nilai harapan dari y dan E(x) adalah nilai harapan dari x. Maka matriks koragam dari y dan x ialah cov[y,x] = Σ yx = E[(y E[y])(x E[x]) T ] (Johnson dan Wichern 2007). Untuk x = y, maka cov[x,x] = var(x) = Σ xx = E[(x E[x])(x E[x]) T ].

13 3 Analisis Ganda Misalkan ingin didapatkan korelasi antara variabel Y dan X = (X 1, X 2,, X q ). Definisikan matriks S = ( s Y 2 T s YX ) dan R = ( 1 r T YX ) di s YX S XX r YX R XX mana s T YX = (s Y1, s Y2,, s Yq ) merupakan koragam contoh dari Y dengan X dan S XX merupakan matriks koragam contoh dari X, analog dengan r T YX = (r Y1, r Y2,, r Yq ) merupakan korelasi contoh dari Y dengan X dan R xx adalah matriks korelasi contoh dari X. Kuadrat korelasi ganda dapat dihitung menggunakan partisi dari matriks koragam atau partisi dari matriks korelasi sebagai berikut R 2 = s YX T 1 S XX syx s2 = r T YX R 1 XX r YX. Y ganda R dapat didefinisikan dengan maksimum korelasi antara Y dan kombinasi linear X (Rencher dan Christensen 2012). Analisis Analisis korelasi kanonik merupakan perluasan dari analisis korelasi ganda, yaitu dengan melibatkan dua kelompok peubah. Misalkan Y = (Y 1, Y 2,, Y q ) dan X = (X 1, X 2,, X p ) dengan n buah data, matriks koragam dapat didefinisikan Σ = ( Σ YY ), Σ XY Σ XX di mana Σ YY adalah matriks koragam dari Y berukuran q q, Σ XX adalah matriks koragam dari X berukuran p p, dan Σ YX adalah matriks koragam dari (Y 1, Y 2,, Y q, X 1, X 2,, X p ) berukuran q p. Suatu kombinasi linear u = a T Y dan v = b T X koragamnya ialah = E[(u E[u])(v E[v]) T ] = E[(a T Y E[a T Y ])(b T X E[b T X ]) T ] = E[(a T Y a T E[Y ])(b T X b T E[X ]) T ] = a T E[(Y E[Y ])(X E[X ]) T ]b = a T Σ YX b. Jadi, korelasinya ialah cov(u, v) cor(u, v) = var(u) var(v) = at Σ YXb a T Σ YY a b T Σ XX b. kanonik merupakan maksimum korelasi antara kombinasi linear u dan kombinasi linear v. Maksimum korelasi dapat ditentukan dengan mencari vektor koefisien a dan b agar cor(u, v) bernilai sebesar mungkin. Misalkan q p. kanonik pertama merupakan maksimum cor(u 1, v 1 ) = ρ 1, dengan pasangan peubah kanonik pertama adalah u 1 = a T 1 Y dan v 1 = b T 1 X dan korelasi kanonik ke-k merupakan maksimum cor(u k, v k ) = ρ k dengan pasangan peubah kanonik ke-k adalah u k = a T k Y dan v k = b T k X yang tidak berkorelasi dengan peubah kanonik sebelumnya dengan k = min {p, q} (Johnson dan Wichern 2007). Σ YX

14 4 Untuk mendapatkan korelasi yang maksimum nilai a T Σ YX b maksimum dengan kendala a T Σ YY a = 1 dan b T Σ XX b = 1 dengan maksimisasi Lagrange, didapatlah persamaan Lagrange L(a,b, λ, φ) = a T Σ YX b λ(a T Σ YY a 1) φ(b T Σ XX b 1). Turunkan persamaan (2.1) terhadap a dan agar maksimum, hasil turunan persamaan (2.1) adalah nol, maka didapatlah Σ YX b 2λΣ YY a = 0 dan turunkan persamaan (2.1) terhadap b, maka didapatlah Σ XY a 2φΣ XX b = 0. Eliminasi salah satu persamaan Σ YX b 2λΣ YY a = 0 Σ YX b = 2λΣ YY a 1 Σ YX b. a = 1 Σ 2λ YY Substitusi persamaan (2.2) ke Σ XY a 2φΣ XX b = 0 sehingga Σ XY 1 2λ Σ YY 1 Σ YX b 2φΣ XX b = 0 1 2λ Σ XYΣ 1 YY Σ YX b = 2φΣ XX b 1 4φλ Σ XX 1 Σ XY Σ YY Σ 1 XX Σ XY Σ YY 1 Σ YX b = b 1 Σ YX b = 4φλb Σ 1 XX Σ XY Σ 1 YY Σ YX b 4φλb = 0 1 Σ XY Σ 1 YY Σ YX 4φλI)b = 0. (Σ XX (2.1) (2.2) (2.3) Jika kita mengeliminasi Σ XY a 2φΣ XX b = 0 Σ XY a = 2φΣ XX b 1 2φ Σ XX 1 Σ XY a = b. (2.4) Substitusi persamaan (2.4) ke Σ YX b 2λΣ YY a = 0 sehingga 1 Σ YX 2φ Σ XX 1 Σ XY a 2λΣ YY a = 0 1 2φ Σ YXΣ 1 XX Σ XY a = 2λΣ YY a 1 4λφ Σ YY 1 Σ YX Σ 1 XX Σ XY a = a Σ 1 YY Σ YX Σ 1 XX Σ XY a = 4λφa Σ 1 YY Σ YX Σ 1 XX Σ XY a 4λφa = 0 (Σ 1 YY Σ YX Σ 1 XX Σ XY 4λφI)a = 0. Berdasarkan persamaan (2.3) dan (2.5), maka 4λφ adalah kuadrat korelasi (2.5) ρ 2 i, i = 1,2,, k dengan k = min {p, q} adalah nilai eigen dari Σ 1 YY Σ YX Σ 1 XX Σ XY dan a merupakan vektor yang bersesuaian dengan nilai eigennya, dan b merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen ρ 2 i dari matriks Σ 1 XX Σ XY Σ 1 YY Σ YX, akar kuadrat dari nilai eigen ρ 1, ρ 2,, ρ k disebut korelasi kanonik. Matriks koragam populasi dapat diduga dengan matriks koragam contoh. Misalkan S YY adalah matriks koragam contoh dari Y berukuran q q, S XX adalah matriks koragam contoh dari X berukuran p p, dan S YX adalah matriks koragam

15 contoh dari (Y 1, Y 2,, Y p, X 1, X 2,, X q ) berukuran q p dan r adalah korelasi kanonik yang diperoleh dari matriks koragam contoh. Dengan tahapan yang sama, korelasi kanonik dengan matriks koragam contoh dapat dihitung dari persamaan karakteristik S 1 YY S YX S 1 XX S XY r 2 I = 0. Vektor koefisien a dan b dapat dihitung dengan persamaan vektor eigen S 1 YY S YX S 1 XX S XY a = r 2 a dan S 1 XX S XY S 1 YY S YX b = r 2 b. 5 Analisis Komponen Utama Ide utama dari analisis komponen utama adalah untuk mengurangi dimensi kelompok data yang memiliki peubah dengan jumlah banyak dengan mempertahankan sebanyak mungkin informasi yang diperoleh dari data, caranya adalah dengan memaksimumkan ragam. Misalkan terdapat p peubah dengan p adalah bilangan yang cukup besar. Analisis komponen utama dapat merancang alternatif peubah sebanyak k komponen utama yang dapat mewakili variasi data dengan k adalah bilangan yang jauh lebih kecil dari p (Jolliffe 2002). Misalkan X = (X 1, X 2,, X p ) T merupakan vektor peubah acak berdimensi p dengan matriks koragam Σ. Dasar dari analisis komponen utama ialah mencari fungsi linear α T T 1 X yang memiliki ragam maksimum, di mana α 1 adalah vektor dengan konstanta α 11, α 12,, α 1p sehingga α T p 1 X = α 11 X 1 + α 12 X 2 + α 13 X α 1p X p = j=1 α 1j X j. Kemudian, cari fungsi linear α T 2 X yang tidak berkorelasi dengan α T 1 X yang memiliki ragam terbesar, dan seterusnya hingga fungsi linear ke-k α T k X yang memaksimumkan ragam. ke-k dari α T k X adalah komponen utama ke-k. Untuk membentuk komponen utama pertama, maksimumkan ragam dari α T 1 X, dengan Var(α T 1 X) dapat ditentukan dengan ragam α T 1 X ialah Var[α T 1 X] =E[(α T 1 X E[α T 1 X])(α T 1 X E[α T 1 X]) T ] =E[(α T 1 X α T 1 E[X])(α T 1 X α T 1 E[X]) T ] =α T 1 E[(X E[X])(X E[X]) T ] α 1 = α T 1 Σ XX α 1 = α T 1 Σα 1, dengan Σ adalah ragam X. Kendala yang digunakan adalah α T 1 α 1 = 1 yang berarti jumlah kuadrat dari setiap unsur α 1 adalah satu agar α T 1 Σα 1 memunyai solusi maksimum dalam persamaan Lagrange. Persamaan Lagrange pada kasus ini adalah L(α 1, λ) = α T 1 Σα 1 λ(α T 1 α 1 1), (2.6) di mana λ adalah pengali Lagrange. Turunkan persamaan (2.6) terhadap α 1. Agar maksimum, hasil turunan persamaan (2.6) haruslah nol, menjadi Σα 1 λα 1 = 0 atau (Σ λi)α 1 = 0, di mana I adalah matriks identitas berukuran p p. Dengan demikian, λ adalah nilai eigen dari Σ dan α 1 adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Untuk menentukan nilai eigen yang memberikan α 1 X yang memberikan ragam maksimum, nilai yang harus dimaksimumkan ialah α T 1 Σα 1 = α T 1 λα 1 = λα T 1 α 1 = λ

16 6 jadi λ haruslah sebesar mungkin, dengan α 1 adalah vektor yang bersesuaian dengan nilai eigen λ. Komponen utama kedua ialah α T 2 X, maksimumkan α T 2 Σα 2 dengan kendala tak adanya korelasi dengan α T 1 X, secara matematis cov[α T 1 X,α T 2 X] = 0. Nilai dari cov[α T 1 X,α T 2 X] ialah cov[α T 1 X,α T 2 X] = α T 1 Σα 2 = α T 2 Σα 1 = α T 2 λ 1 α 1 = λ 1 α T 2 α 1 = λ 1 α T 1 α 2 dengan demikian, kendala tak adanya korelasi untuk λ 1 > 0 ialah α T 1 α 2 = 0 atau α T 2 α 1 = 0. Fungsi Lagrange untuk komponen utama kedua adalah maksimumkan L(α 1, α 2, λ, φ) = α T 2 Σα 2 λ(α T 2 α 2 1) φα T 2 α 1, (2.7) di mana λ, φ adalah pengali Lagrange. Turunkan persamaan (2.7) terhadap α 2 dan agar persamaan (2.7) maksimum, turunannya harus bernilai nol, didapatlah 2Σα 2 2λα 2 φα 1 = 0. (2.8) T kalikan persamaan (2.8) dengan α 1 didapatlah T T T 2α 1 Σα 2 2λα 1 α 2 φα 1 α 1 = 0. T Karena α 1 Σα 2 = 0 maka φ = 0. Hasilnya, Σα 2 λα 2 = 0 ekivalen dengan (Σ λi)α 2 = 0, jadi λ adalah nilai eigen lainnya dari Σ dan α 2 adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ. Untuk menentukan nilai eigen yang memaksimumkan λ = α T 2 Σα 2, nilai λ harus sebesar mungkin. Asumsikan Σ tidak memiliki nilai eigen kembar sehingga λ λ 1. Jika demikian, seperti halnya pada komponen utama pertama, λ adalah nilai eigen kedua terbesar setelah λ 1 yang besesuaian degan vektor eigen α 2. Metode yang sama untuk mencari komponen utama ketiga, keempat dan seterusnya hingga ke-p. Vektor α 3, α 4,, α p adalah vektor eigen dari λ 3, λ 4,, λ p yang merupakan nilai eigen terbesar ketiga, nilai eigen terbesar keempat, dan seterusnya sampai nilai eigen terkecil. Bila Σ tidak dapat ditentukan nilainya secara langsung, Σ dapat diduga dengan S = 1 n 1 XT X di mana x 11 x 12 x 1p x 21 x 22 x 2p X = [ ] x n1 x n2 x np adalah matriks data contoh yang telah terkoreksi dengan nilai tengahnya. Standardisasi Komponen Utama Misalkan X merupakan matriks data contoh berukuran n p dengan n objek dan p peubah, maka X = X 1 n 11T X, di mana 1 merupakan vektor kolom berukuran n 1 dengan setiap unsurnya bernilai satu. Data yang harus distandardisasi adalah data yang memiliki skala yang berbeda atau skala yang sama namun kisaran yang sangat berbeda. Data yang terstandardisasi juga dapat mencegah mendominasinya salah satu peubah yang memunyai ragam besar. Dari matriks data n X p, standardisasi dilakukan dengan cara

17 T z 1 z 11 z 12 z 1p T Z = z z 2 21 z 22 z 2p = [ ] [ z T n ] z n1 z n2 z np x 11 x 1 x 12 x 2 x 1p x p s 11 s 22 s pp x 21 x 1 x 22 x 2 x 2p x p = s 11 s 22 s pp x n1 x 1 x n2 x 2 x np x p [ s 11 s 22 s pp ] dengan x i sebagai rataan dari kolom ke-i, s ii sebagai simpangan baku kolom ke- i dan matriks Z menyatakan matriks dengan setiap unsurnya terstandardisasi. Vektor rata-rata dari matriks yang terstandardisasi ialah z = 1 n (1T Z) T = 1 n ZT 1 = 0. Matriks koragam dari data terstandardisasi ialah S z = 1 n 1 (Z 1 n 11T Z) T (Z 1 n 11T Z) = 1 n 1 (Z 1z )T (Z 1z T) = 1 n 1 ZT Z (Johnson dan Wichern 2007). 7 Dekomposisi Nilai Singular Setiap matriks Y yang berdimensi n q dapat dinyatakan sebagai bentuk dekomposisi nilai singular sebagai berikut: ny q = n U r L r A q T (Jolliffe 2002), di mana U dan A masing-masing dengan r kolom ortonormal, r merupakan pangkat matriks Y dengan r min{n, q}. U T U = A T A = I r, dengan I r merupakan matriks identitas berpangkat r. L = diag ( λ 1, λ 2,, λ r ) dengan λ 1 λ 2 λ r > 0 dan λ i, i = 1,2, r merupakan nilai singular dari matriks Y. Matriks A adalah matriks yang kolom-kolomnya terdiri atas vektor eigen a i yang berpadanan dengan nilai eigen taknol i dari matriks Y T Y. Matriks U adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen taknol dari matriks YY T dengan U = (u 1, u 2,, u r ) = ( Ya 1 λ 1, Ya 2 λ 2,, Ya r λ r ). Bila a r+1, a r+2,, a q merupakan vektor eigen yang ortonormal dari matriks Y T Y yang berpadanan dengan nilai eigen nol, dan u r+1, u r+2,, u n merupakan vektor eigen yang ortonormal dari matriks Y T Y yang berpadanan

18 8 dengan nilai eigen nol, maka bentuk dekomposisi nilai singular lengkap dari matriks n Y q ialah ny q = n U n L q A T q. Matriks U, L, dan A dapat dinyatakan dalam bentuk U = [U u r+1 u n ] L r 0 r (q r) L = [ ] 0 (n r) r 0 (n r) (q r) A = [A a r+1 a q ] di mana 0 merupakan matriks nol dengan dimensi yang telah disesuaikan. Analisis Procrustes y 11 y 12 y 1q y 21 y 22 y 2q Andaikan Y = [ ] adalah susunan dari n titik dalam y n1 y n2 y nq ruang Euclid berdimensi q yang dapat dituliskan dalam matriks berukuran n q T Y 1 T Y 2 Y = T Y 3 ( Y T n ) di mana Y T i adalah vektor baris Y T i = (y i1 y i2 y iq), untuk i = 1,2,, n dan matriks X berukuran n p adalah susunan dari n titik dalam ruang Euclid berdimensi p. Matriks Y akan dipasangkan dengan matriks X dalam setiap baris. Diasumsikam bahwa X dan Y berdimensi sama sehingga p = q. Jika p > q maka (p q) kolom nol ditambahkan pada matriks Y sehingga kedua matriks berada pada dimensi yang sama. Untuk mengukur perbedaan antara dua atau lebih, maka didefinisikan jarak Procrustes n p E(X,Y) = (x ij y ij ) 2 = tr(x Y) T (X Y), i=1 j=1 di mana tr adalah teras matriks (Bakhtiar dan Siswadi 2011). Secara geometris, ukuran Procrustes dapat dilakukan dengan cara melakukan translasi, merotasi dan mendilasi matriks Y sehingga jumlah kuadrat jarak E(X,Y) antara titik-titik matriks Y dengan titik-titik matriks X yang bersesuaian menjadi minimum. Translasi dalam analisis Procrustes adalah pergeseran semua unsur matriks dengan jarak yang tetap dan arah yang sama dengan mengacu pada pusatnya. Minimalisasi jarak antara X dan Y setelah translasi dengan menempatkan pusatnya pada tempat asalnya. Jadi, matriks X dan Y setelah translasi yang optimal adalah X T = X C X dan Y T = Y C Y, di mana C X = 1 n 1 n1 n T X dan C Y = 1 n 1 n1 n T Y masing-masing adalah pusat dari X dan Y, dengan 1 n adalah vektor n 1 dengan setiap unsurnya bernilai satu.

19 Rotasi adalah proses memindahkan setiap unsur matriks dengan sudut rotasi yang tetap tanpa mengubah jarak titik dengan titik pusat. Rotasi Y T pada X T dilakukan dengan cara mengalikan Y T dengan matriks rotasi Q. Jarak minimun setelah rotasi didapat dengan memilih Q = VU T, di mana UΣV T adalah dekomposisi nilai singular lengkap dari X T T Y T. Jelas bahwa Q adalah matriks ortogonal, yaitu Q T Q = QQ T = I. Dilasi adalah meregangkan atau memampatkan suatu titik dari titik pusat dengan mengalikan faktor penskala yang tetap. Dilasi Y T Q pada X T dengan cara mengalikan Y T Q dengan skalar c di mana c = trx T T Y T Q yang meminimumkan try T T Y T jarak antara X T dan Y T Q setelah dilasi. Transformasi dengan cara translasi-rotasi-dilasi memberikan kemungkinan jarak terkecil, di mana jarak tersebut didefinisikan dengan d(x T, cy T Q) = tr(x T Y T Q) T (X T Y T Q). Ukuran Procrustes tersebut didefinisikan dengan p(x,y) = trx T T X T tr2 X T T Y T Q tr Y T T Y T dengan X dan Y adalah matriks berukuran n p (Bakhtiar dan Siswadi 2011). Untuk mendapatkan ukuran Procrustes yang simetris, lakukan normalisasi setelah ditranslasi. Urutan transformasinya menjadi translasi-normalisasi-rotasidilasi. Ukuran Procrustes setelah transformasi ialah p(x,y) = p(y,x) = 1 ( σ ii ), di mana r adalah pangkat dan σ ii ialah nilai singular dari matriks X TT Y T atau Y TX T dengan X T = ax T dan Y T = by T di mana a 1 1 = X T F tr X T T X T b 1 1 = Y T F tr Y T T Y T dan σ ii adalah nilai singular dari matriks X TT Y T atau Y TX T (Bakhtiar dan Siswadi 2015). r i=1 2 9 METODE Sumber Data Data yang digunakan dalam karya ilmiah ini adalah data peubah ganda dua kelompok tentang jumlah ikan jenis tertentu dan lingkungan laut di sekitar Laut Barents (Anonim 1997). Kelompok pertama berkaitan dengan lingkungan terdapat empat peubah yaitu garis lintang, garis bujur, kedalaman dan suhu di 89 teritorial Laut Barents. Kelompok kedua berkaitan dengan jenis ikan yang berada di 89

20 10 teritorial Laut Barents. Terdapat 30 jenis ikan yang setiap jenisnya mewakili satu peubah. Data ini adalah data yang diunduh dari internet. Proses Analisis Data Pengurangan peubah dilakukan dengan tiga jenis analisis, yaitu analisis korelasi kanonik, analisis komponen utama, dan analisis Procrustes. Proses analisis data pada setiap metode adalah sebagai berikut: Analisis korelasi kanonik Terdapat dua cara mengurangi peubah dengan analisis korelasi kanonik. Cara pertama ialah dengan mencari korelasi kanonik dari dua kelompok peubah, dengan data kelompok kedua dikurangi satu peubah. Lakukan berulang kali hingga semua peubah pernah dikurangi. yang dihilangkan ialah peubah yang memberikan pengurangan korelasi kanonik pertama yang paling sedikit. Setelah mengetahui peubah yang dihilangkan, tentukan korelasi kanonik dari kelompok peubah yang baru. Ulangi langkah ini sampai nilai korelasi kanonik berkurang cukup banyak dari korelasi kanonik semula. Cara kedua ialah dari dua kelompok data dicari korelasi kanonik dan peubah kanoniknya. kanonik yang dicari adalah kombinasi linear dari konstanta dengan peubah pada kelompok yang ingin dikurangi peubahnya, dalam hal ini adalah data kelompok dua dengan 30 peubah. Kombinasi linear tersebut didapat dengan cara mencari vektor eigen yang bersesuaian dari nilai eigen terbesar dari invers dari matriks koragam data kelompok dua dikalikan matriks koragam data kelompok dua dengan kelompok satu dikalikan dengan matriks koragam data kelompok satu dikalikan matriks koragam data kelompok satu dengan kelompok dua. Nilai eigen dari matriks tersebut merupakan korelasi kanonik antar dua kelompok peubah. dengan koefisien peubah dalam peubah kanonik yang memunyai nilai paling dekat dengan nol adalah peubah yang dihilangkan. Setelah menentukan peubah yang dihilangkan, tentukan kembali korelasi kanonik antara kelompok satu dan kelompok dua dengan 29 peubah. Tentukan juga kombinasi linearnya dan hilangkan peubah dengan koefisien peubah dalam peubah kanonik paling dekat dengan nol. Ulangi tahap ini hingga korelasi kanonik berkurang cukup banyak. Analisis komponen utama Terdapat matriks data dua kelompok. Kelompok pertama berdimensi Kelompok kedua berdimensi Kedua kelompok data ini distandardisasi agar tidak terdapat peubah yang mendominasi. Kedua kelompok data yang sudah terstandardisasi ini dicari korelasinya dengan analisis korelasi kanonik. Terdapat empat korelasi kanonik. pertama merupakan korelasi terbesar pertama, korelasi kedua merupakan korelasi terbesar kedua, korelasi ketiga merupakan korelasi terbesar ketiga dan korelasi keempat merupakan korelasi terbesar keempat. Kelompok data kedua yang mempunyai 30 peubah dicari komponen utamanya. Komponen utama yang digunakan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen terkecil dikalikan dengan data asli. Kemudian cari korelasi

21 antara peubah asal ke-i dengan komponen utama ke-j. yang mempunyai korelasi terbesar adalah peubah yang dihilangkan. Setelah menghilangkan satu peubah, tentukan kembali korelasi kanonik dari data kelompok pertama dan kelompok kedua. Jika selisih korelasi kanonik sebelum dan sesudah pengurangan peubah tidak besar, lakukan pengurangan peubah kembali dengan mencari komponen utama yang bersesuaian dengan nilai eigen terkecil dan tentukan kembali korelasinya. Proses analisis ini terus berlanjut hingga nilai korelasi kanonik dari kedua kelompok peubah turun cukup jauh dari korelasi kanonik dengan peubah lengkap. Analisis Procrustes Langkah pertama adalah menentukan korelasi kanonik data lengkap. Setelah itu lakukan pengurangan peubah. Pengurangan peubah diawali dengan melakukan konfigurasi matriks baru dari data kelompok dua dengan salah satu setiap unsur kolomnya diubah menjadi nol. Misalkan matriks pertama adalah matriks dengan unsur setiap kolom pertama nol dan kolom lainnya merupakan data dari kelompok dua, matriks kedua adalah matriks dengan semua unsur kolom kedua nol dan kolom lainnya tetap, seterusnya sampai 30 peubah dengan 30 matriks baru. Setiap matriks baru ditentukan ukuran Procrustesnya. Ukuran Procrustes menyatakan selisih jarak antara dua matriks. Semakin kecil ukuran Procrustes, semakin kecil pula jaraknya. yang dihilangkan ialah peubah yang memiliki ukuran Procrustes terkecil antara matriks yang terkonfigurasi dari kolom setiap unsur peubahnya nol dengan matriks data asal. Ukuran Procrustes yang kecil ini menyatakan peubah yang telah dibuat nol tidak banyak berpengaruh terhadap jarak antar matriks konfigurasi dan matriks asal. Setelah melakukan pengurangan peubah hitung kembali korelasi kanoniknya. Jika korelasi tidak turun secara drastis, lakukan kembali pengurangan peubah dengan cara yang sama. Matriks yang digunakan adalah matriks dengan 29 peubah. Konfigurasi kembali matriks baru dan hitung ukuran Procrustesnya. Tahap ini berlanjut hingga korelasi kanonik setelah peubah yang dihilangkan mengalami banyak penurunan. 11 HASIL DAN PEMBAHASAN Tujuan dari karya ilmiah ini adalah mengurangi dimensi data yang memunyai peubah banyak. Langkah awal yang dilakukan adalah menghitung korelasi kedua kelompok peubah dengan analisis korelasi kanonik. kanonik dicari menggunakan matrik koragam contoh dari kelompok pertama (S yy ), kelompok kedua (S xx ), dan antar kelompok pertama dan kedua (S yx ). kanonik adalah akar dari nilai eigen dari S 1 yy S yx S 1 xx S xy. kanonik pertama bernilai , korelasi kanonik kedua bernilai , korelasi kanonik ketiga bernilai , dan korelasi kanonik keempat bernilai kanonik bernilai artinya keeratan hubungan antara kelompok pertama adalah sebesar Semakin mendekati satu, maka keeratan antar kelompok data semakin besar. kanonik yang menjadi acuan utama adalah korelasi kanonik yang paling maksimum, yaitu korelasi kanonik pertama.

22 12 Pengurangan dengan Analisis Pengurangan peubah dengan analisis korelasi kanonik secara langsung yaitu dengan menghilangkan satu peubah, kemudian dicari korelasi kanoniknya. Bandingkan korelasi kanonik dari semua peubah yang dihilangkan. Hilangkan peubah yang memunyai korelasi yang berkurang paling sedikit. Nilai korelasi kanonik dari metode ini terdapat pada Lampiran 7. Nilai korelasi kanonik dari pengurangan peubah dengan analisis korelasi kanonik secara langsung dan peubah yang dihilangkan terdapat pada Tabel 1. pertama yang dihilangkan ialah Hippoglossoides platessoides. kanonik pertama setelah berkurangnya peubah ini ialah dan seterusnya. Setelah menghilangkan 6 peubah, nilai korelasi kanoniknya kurang dari 0.9. Agar penurunan terlihat lebih jelas, dapat dilihat grafik pada Gambar 1. kanonik turun sangat cepat, setelah berkurangnya tujuh peubah, nilai korelasi kanonik pertama mempunyai selisih yang besar dari korelasi kanonik awal. Metode ini kurang baik untuk mengurangi peubah dari data Laut Barents. Tabel 1 Setelah Pengurangan dengan Analisis Secara Langsung yang Dihilangkan Pertama Kedua Ketiga Keempat Hi_pl (x4) Ga_mo (x18) An_mi (x3) Me_ae (x6) Se_me (x16) Ra_ra(x7) Ly_va (x27) Re_hi (x1) Ma_vi (x12)

23 13 Gambar 1 Penurunan Pertama Setiap Berkurang Satu dengan Analisis Secara Langsung Untuk mengurangi peubah dengan analisis korelasi kanonik melalui peubah kanonik, langkah awal yang dapat dilakukan ialah mencari korelasi kanonik dan peubah kanonik yang bersesuaian. kanonik yang menjadi acuan utama adalah korelasi kanonik terbesar yaitu korelasi kanonik pertama. Nilai mutlak dari peubah kanonik terlampir pada Lampiran 5. Tabel 2 Koefisien dari Pertama Re_hi An_de An_mi Hi_pl An_lu Me_ae Koefisien Pertama Ra_ra Mi_Po Ar_at No_rk Lu_la Ma_vi Koefisien Pertama Bo_sa Cy_lu Cl_ha Se_me Le_de Ga_mo Koefisien Pertama Le_ma Se_ma Tr_es Ly_pa Ly_eu Ly_re Koefisien Pertama

24 14 Ly_se Ly_es Ly_va Be_gl Ca_re Tr_sp Koefisien Pertama Pada Tabel 2 dapat terlihat bahwa nilai mutlak dari koefisien dari peubah kanonik yang minimum adalah Boreogadus saida. Jadi, calon peubah yang akan dihilangkan adalah Boreogadus saida. setelah pengurangan satu peubah tersebut adalah korelasi kanonik pertama korelasi kanonik kedua korelasi kanonik ketiga , dan korelasi kanonik keempat Tidak ada perbedaan yang besar antara korelasi kanonik sebelum pengurangan peubah Tabel 3 Setelah Pengurangan dengan Analisis Melalui yang Dihilangkan Pertama Kedua Ketiga Keempat Bo_sa (x13) Tr_sp (x30) Ga_mo (x18) Mi_Po (x8) Se_me (x16) Ly_eu (x23) Le_de (x17) Ly_re (x24) Me_ae (x6) Cl_ha (x15) Le_ma (x19) Ar_at (x9) Hi_pl (x4) Ma_vi (x12) An_de (x2) Ly_va (x27) Se_ma (x20) Ly_pa (x22) No_rk (x10) Ca_re (x29) Re_hi (x1) Tr_es (x21)

25 15 Gambar 2 Penurunan Pertama Setiap Berkurang Satu dengan Analisis Melalui dan korelasi kanonik setelah pengurangan peubah. Maka peubah Boreogadus saida dihilangkan. Hal yang sama dilakukan untuk mengurangi peubah kedua. Data lengkap nilai mutlak koefisien peubah kanonik terdapat pada Lampiran 5. kanonik pada pengurangan peubah dapat dilihat pada Tabel 3. Baris pertama pada Tabel 3 adalah korelasi kanonik dengan peubah lengkap. Baris kedua adalah korelasi kanonik setelah menghilangkan peubah Boreogadus saida. Baris ketiga adalah korelasi kanonik setelah menghilangkan peubah Boreogadus saida dan Triglops pingelii. Baris keempat adalah korelasi kanonik setelah mengurangi tiga peubah, yaitu Boreogadus saida, Triglops pingelii dan Gadus morhua. Seterusnya juga berlaku hingga baris ke-23 adalah korelasi kanonik setelah mereduksi 22 peubah. Nilai mutlak dari peubah kanonik terdapat pada Lampiran 5. Agar lebih terlihat penurunan korelasi kanonik, maka disajikan dalam bentuk grafik pada Gambar 2. Nilai korelasi pada korelasi kanonik pertama selalu turun, namun tidak terlalu besar. Penurunan paling besar terjadi setelah mengurangi peubah Reinhardtius hippoglossoides. Maka, pengurangan peubah dianggap cukup hingga Careproctus reinhardti. yang diamati adalah korelasi kanonik pertama yang merupakan korelasi kanonik terbesar. Sebanyak 20 peubah dapat dihilangkan dengan menggunakan peubah kanonik. Selisih korelasi kanonik pertama setelah pengurangan 20 peubah dengan korelasi kanonik 1 data awal adalah Pengurangan dengan Analisis Komponen Utama Langkah awal mengurangi peubah dengan analisis komponen utama adalah melakukan standardisasi terhadap matriks data dengan cara mengurangi data asal dengan rata-rata dan membaginya dengan standar deviasi pada tiap kolom, lalu dicari komponen utamanya. Komponen utama yang digunakan adalah yang bersesuaian dengan nilai eigen terkecil. Komponen utama didapat dari vektor eigen

26 16 matriks koragam data kelompok dua yang telah distandardisasi. Komponen utama dan nilai eigen yang bersesuaian terlampir pada Lampiran 3 dan Lampiran 4. Untuk memilih peubah yang akan dihilangkan adalah dengan mencari korelasi tiap peubah dengan komponen utama yang bersesuaian dengan nilai eigen terkecil. dengan korelasi terbesar dengan komponen utama yang bersesuaian dengan nilai eigen terkecil adalah peubah yang akan dihilangkan. Penurunan korelasi kanonik dapat terlihat pada Gambar 3. Setelah berkurangnya peubah Lycodes esmarkii, terjadi penurunan yang cukup besar pada korelasi kanonik pertama. kanonik awal adalah sebesar Setelah berkurang 23 peubah, korelasi kanonik pertama bernilai Terjadi penurunan korelasi sebesar Penurunan korelasi ini cukup banyak dibandingkan dengan menurunkan 22 peubah. Setelah peubah ke-22 dihilangkan, korelasi kanonik pertama adalah sebesar Penurunan korelasi kanonik pertama adalah sebanyak Berdasarkan hasil data, maka cukup memuaskan jika mengurangi 22 peubah. Tabel 4 Setelah Pengurangan dengan Analisis Komponen Utama yang Dihilangkan Pertama Kedua Ketiga Keempat Tr_sp (x30) Le_ma (x19) Lu_la (x11) Ga_mo (x18) Se_ma (x20) Le_de (x17) Mi_Po (x8) Ly_eu (x23) Ly_re (x24) Ra_ra(x7) Ca_re (x29) No_rk (x10) Bo_sa (x13) Ly_eu (x23) Ly_va (x27) Cl_ha (x15) Se_me (x16) Ar_at (x9) An_de (x2) Me_ae (x6) Ma_vi (x12) Tr_es (x21) Ly_es (x26) An_lu (x5)

27 17 Gambar 3 Penurunan Pertama Setiap Berkurang Satu dengan Analisis Komponen Utama Tabel 4 menunjukkan nilai korelasi kanonik pertama, korelasi kanonik kedua, korelasi kanonik ketiga dan korelasi kanonik keempat pengurangan peubah dengan analisis komponen utama. Secara umum, keempat korelasi mengalami penurunan setelah berkurangnya peubah satu per satu. Baris pertama adalah nilai korelasi kanonik dengan peubah lengkap. Baris kedua adalah nilai korelasi kanonik setelah berkurangnya satu peubah, baris ketiga adalah nilai korelasi setelah berkurangnya dua peubah, dan seterusnya. Pengurangan dengan Analisis Procrustes Nilai korelasi kanonik pada setiap pengurangan peubah dan peubah-peubah yang dihilangkan dapat diamati pada Tabel 5. Ukuran Procrustes terlampir pada Lampiran 6. Baris pertama adalah korelasi kanonik dengan peubah lengkap. Baris kedua adalah korelasi kanonik setelah menghilangkan peubah Lycodes esmarkii. Baris ketiga adalah korelasi kanonik setelah mengurangi peubah Lycodes esmarkii dan Lycodes seminudus. Baris keempat adalah korelasi kanonik setelah mengurangi tiga peubah. yaitu Lycodes esmarkii, Lycodes seminudus dan Benthosema glaciale. Seterusnya juga berlaku hingga baris ke-26 adalah korelasi kanonik setelah mengurangi 25 peubah.

28 18 Gambar 4 Penurunan Pertama Setiap Berkurang Satu dengan Analisis Procrustes Agar lebih terlihat penurunan korelasi kanonik pertama, maka disajikan dalam bentuk grafik pada Gambar 4. Penurunan korelasi paling besar terjadi saat mengurangi Hippoglossoides platessoides dalam data sehingga Hippoglossoides platessoides tidak dihilangkan hanya sampai Mallotus villosus. Selisih korelasi kanonik pertama setelah mengurangi Mallotus villosus peubah adalah Tabel 5 Setelah Pengurangan dengan Analisis Procrustes yang Dihilangkan Pertama Kedua Ketiga Keempat Ly_es (x26) Ly_se (x25) Be_gl (x28) An_lu (x5) Ly_eu (x23) Cy_lu (x14) Ly_re (x24) Ly_pa (x22) An_mi (x3) Lu_la (x11) Ca_re (x29) An_de (x2) Ra_ra(x7) No_rk (x10)

29 19 yang Dihilangkan Pertama Kedua Ketiga Keempat Re_hi (x1) Ly_va (x27) Re_hi (x1) Le_de (x17) Se_ma (x20) Cl_ha (x15) Ar_at (x9) Tr_sp (x30) Le_ma (x19) Mi_Po (x8) Ma_vi (x12) Hi_pl (x4) Eksplorasi Berdasarkan Pengurangan dengan Analisis, Analisis Komponen Utama dan Analisis Procrustes Gambar 5 menunjukkan penurunan korelasi kanonik pertama dengan semua metode. Terlihat analisis yang paling banyak mengurangi peubah adalah dengan analisis Procrustes yang mengurangi 24 peubah. Analisis komponen utama mengurangi 22 peubah dan peubah kanonik mengurangi paling sedikit yaitu 20 peubah melalui peubah kanonik dan 8 peubah dengan cara langsung. Penurunan Gambar 5 Penurunan Pertama Setiap Berkurang Satu dengan Semua Analisis

30 20 korelasi kanonik paling sedikit adalah dengan analisis Procrustes dan yang paling banyak adalah dengan analisis korelasi kanonik secara langsung. Saat mengurangi satu peubah sampai 14 peubah, nilai korelasi kanonik pertama pengurangan peubah dengan metode analisis korelasi kanonik melalui peubah kanonik, analisis komponen utama dan analisis Procrustes tidak mengalami banyak penurunan yaitu masih bernilai 0.93, tapi dengan analisis korelasi kanonik secara langsung telah banyak menurunkan nilai korelasi kanonik pertama yang hanya mengurangi 8 peubah, yaitu bernilai Penurunan paling sedikit dengan menggunakan analisis Procrustes sedangkan dengan analisis korelasi kanonik dan analisis komponen utama tidak berbeda jauh. Saat mengurangi 15 peubah, pengurangan peubah dengan analisis korelasi kanonik mengalami banyak penurunan, nilai korelasi kanoniknya sekitar 0.93, sedangkan dengan analisis Procrustes dan analisis komponen utama hanya berkurang sedikit, nilai korelasi kanoniknya sekitar Saat mengurangi 16 peubah sampai 22 peubah, nilai korelasi kanonik dari pengurangan peubah dengan analisis korelasi kanonik sudah tidak terlalu besar, yaitu bernilai sekitar 0.89, sedangkan dengan analisis komponen utama dan analisis Procrustes masih bernilai sekitar Pengurangan peubah sebanyak 23 peubah dan 24 peubah dengan analisis korelasi kanonik sudah tidak lebih dari 0.90, akan tetapi penurunannya tidak banyak. Namun dengan analisis Procrustes masih di atas Pengurangan peubah pada data Laut Barents (Anonim 1997) paling baik dilakukan dengan analisis Procrustes seperti yang disajikan pada Tabel 6. Tabel 6 Nilai pada Pengurangan Banyaknya yang dihilangkan Nilai Setelah Pengurangan dengan Analisis Secara Langsung Nilai Setelah Pengurangan dengan Analisis Melalui Nilai Setelah Pengurangan dengan Analisis Komponen Utama Nilai Setelah Pengurangan dengan Analisis Procrustes SIMPULAN Metode yang paling baik digunakan untuk pengurangan peubah pada data Laut Barents (Anonim 1997) ialah dengan analisis Procrustes karena metode ini

31 paling banyak mengurangi peubah dan penurunan nilai korelasi kanonik pertama juga yang paling sedikit. Yang kedua ialah dengan analisis komponen utama karena peubah yang dihilangkan cukup banyak, namun nilai korelasi kanonik pertama tidak lebih besar dari korelasi kanonik setelah pengurangan peubah dengan analisis Procrustes. Analisis korelasi kanonik dengan pengurangan langsung peubah satu per satu memberikan paling sedikit pengurangan peubah dan penurunan nilai korelasi kanonik pertama cukup besar. Analisis korelasi kanonik melalui peubah kanonik juga tidak banyak mengurangi peubah dibandingkan dengan analisis komponen utama dan analisis Procrustes. 21 DAFTAR PUSTAKA Anonim Multivariate Analysis of Ecological Data - Greenacre and Primicerio Barents Fish Data Set. [internet]. Tersedia pada: Bakhtiar T, Siswadi Orthogonal Procrustes Analysis: Its Transformation Arrangement and Minimal Distances. IJAMAS 20: Bakhtiar T, Siswadi On the Symmetrical Property of Procrustes Measure of Distance. IJPAM. 99(3): doi: /ijpam.v99i3.7. Hotelling H Relations Between Two Sets of Variates. Biometrika Johnson RA, Wichern DW Applied Multivariate Statistical Analysis. 6 th Ed. New York: Pearson Education. Jolliffe IT Principal Component Analysis. 2 nd Ed. New York: Springer- Verlag. Leon SJ Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A. penerjemah; Hardani HW. editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. 5 th Ed. Rencher AC, Christensen WF Methods of Multivariate Analysis. 3 rd Ed. New York: John Wiley and Sons. Timm NH Applied Multivariate Analysis. New York: Springer-Verlag.

32 22 Lampiran 1 Data Lingkungan Laut Barents Nomor Identitas Wilayah Garis Lintang (y1) Garis Bujur (y2) Kedalaman (y3) Suhu (y4)

33 23 Nomor Identitas Wilayah Garis Lintang (y1) Garis Bujur (y2) Kedalaman (y3) Suhu (y4)

34 24 24 Lampiran 2 Data Jenis Ikan di Laut Barents Nomor Identitas x p Wilayah Re_hi (x1) An_de (x2) An_mi (x3) Hi_pl (x4) An_lu (x5) Me_ae (x6) Ra_ra (x7) Mi_po (x8) Ar_at (x9) No_rk (x10)

35 Nomor Identitas Wilayah Re_hi (x1) An_de (x2) An_mi (x3) Hi_pl (x4) An_lu (x5) Me_ae (x6) Ra_ra (x7) Mi_po (x8) Ar_at (x9) No_rk (x10)

36 Nomor Identitas Wilayah Re_hi (x1) An_de (x2) An_mi (x3) Hi_pl (x4) An_lu (x5) Me_ae (x6) Ra_ra (x7) Mi_po (x8) Ar_at (x9) No_rk (x10)

37 Nomor Identitas Wilayah Re_hi (x1) An_de (x2) An_mi (x3) Hi_pl (x4) An_lu (x5) Me_ae (x6) Ra_ra (x7) Mi_po (x8) Ar_at (x9) No_rk (x10) Nomor Identitas Wilayah Lu_la (x11) Ma_vi (x12) Bo_sa (x13) Cy_lu (x14) Cl_ha (x15) Se_me (x16) Le_de (x17) Ga_mo (x18) Le_ma (x19) Se_ma (x20)

38 Nomor Identitas Wilayah Lu_la (x11) Ma_vi (x12) Bo_sa (x13) Cy_lu (x14) Cl_ha (x15) Se_me (x16) Le_de (x17) Ga_mo (x18) Le_ma (x19) Se_ma (x20)

39 Nomor Identitas Wilayah Lu_la (x11) Ma_vi (x12) Bo_sa (x13) Cy_lu (x14) Cl_ha (x15) Se_me (x16) Le_de (x17) Ga_mo (x18) Le_ma (x19) Se_ma (x20)

40 Nomor Identitas Wilayah Lu_la (x11) Ma_vi (x12) Bo_sa (x13) Cy_lu (x14) Cl_ha (x15) Se_me (x16) Le_de (x17) Ga_mo (x18) Le_ma (x19) Se_ma (x20)

41 Nomor Identitas Wilayah Tr_es (x21) Ly_pa x(22) Ly_eu (x23) Ly_re (x24) Ly_se (x25) Ly_es (x26) Ly_va (x27) Be_gl (x28) Ca_re (x29) Tr_spp (x30)

42 Nomor Identitas Wilayah Tr_es (x21) Ly_pa x(22) Ly_eu (x23) Ly_re (x24) Ly_se (x25) Ly_es (x26) Ly_va (x27) Be_gl (x28) Ca_re (x29) Tr_spp (x30)

43 Nomor Identitas Wilayah Tr_es (x21) Ly_pa x(22) Ly_eu (x23) Ly_re (x24) Ly_se (x25) Ly_es (x26) Ly_va (x27) Be_gl (x28) Ca_re (x29) Tr_spp (x30)

44 Nomor Identitas Wilayah Tr_es (x21) Ly_pa x(22) Ly_eu (x23) Ly_re (x24) Ly_se (x25) Ly_es (x26) Ly_va (x27) Be_gl (x28) Ca_re (x29) Tr_spp (x30) Keterangan Singkatan Variabel