BIPLOT DENGAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR BIASA DAN KEKAR UNTUK PEMETAAN PROVINSI BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA IPB WARSITO

Transkripsi

1 BIPLOT DENGAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR BIASA DAN KEKAR UNTUK PEMETAAN PROVINSI BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA IPB WARSITO SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

2 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis yang berjudul Biplot dengan Dekomposisi Nilai Singular Biasa dan Kekar untuk Pemetaan Provinsi Berdasarkan Prestasi Mahasiswa IPB adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum pernah diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan oleh penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian tesis ini. Bogor, Agustus 2009 Warsito NRP G

3 ABSTRACT WARSITO. Biplot with Ordinary and Robust Singular Value Decomposition for Province Mapping Based on IPB Students Achievement. Under supervision of SISWADI and N. K. KUTHA ARDANA. Biplot can be constructed through ordinary and robust singular value decomposition (SVD) approach. Ordinary SVD approach is usually applied for data without outliers. If there are outliers, they will possibly influence the result of the biplot, such as the mapping obtained. Therefore, robust SVD approach, as an alternative, is needed. The data used in this study for province mapping are IPB students achievement in 2007/2008 academic year. Some data apparently can be classified as outliers according to box-plot. Quite identical biplots are resulted from both approaches. It means that outliers resulted from box-plot give no effect in province mapping. When some extreme data are then given, ordinary SVD approach shows quite different mapping, while robust SVD shows that the mapping is not influenced by the extreme data. Therefore, biplot with robust SVD could generally be applied to data with or without extreme ones. Keyword: singular value decomposition, biplot, goodness of fit of biplots, robust SVD, outliers, extreme data

4 RINGKASAN WARSITO. Biplot dengan Dekomposisi Nilai Singular Biasa dan Kekar untuk Pemetaan Provinsi Berdasarkan Prestasi Mahasiswa IPB. Dibimbing oleh SISWADI dan N. K. KUTHA ARDANA. Analisis biplot dapat dikonstruksi dengan pendekatan dekomposisi nilai singular (DNS) biasa dan kekar. Pendekatan DNS biasa memerlukan matriks data tanpa pencilan atau data ekstrim. Pasangan eigennilai dan eigenvektor dari DNS biasa mempunyai sifat meminimalkan jarak antara matriks data dengan matriks dugaannya dengan norma Euclid atau norma L 2. Apabila dalam suatu penelitian ditemukan data pencilan, biplot dengan DNS biasa belum menjamin gambaran pemetaan antara objek pengamatan dan peubah oleh sebab itu perlu digunakan pendekatan DNS kekar. Pendekatan ini digunakan untuk menduga sejumlah eigennilai dan eigenvektor kiri dan kanan yang tahan terhadap pengaruh pencilan. Pasangan eigennilai dan eigenvektor dari DNS kekar mempunyai sifat meminimalkan jarak antara matriks data dengan matriks dugaannya dengan norma blok kota (city block) atau norma L 1. Analisis biplot yang dihasilkan dengan pendekatan DNS kekar diharapkan dapat memberikan gambaran objek pengamatan dan peubah yang tahan terhadap pencilan. Mahasiswa IPB hampir mewakili seluruh provinsi di Indonesia, diharapkan mampu memberikan gambaran prestasi dan pemetaan mutu pendidikan setiap daerahnya. Pencapaian prestasi tersebut salah satunya dipengaruhi oleh mutu masukan, di mana seleksi penerimaan mahasiswa baru IPB dapat melalui jalur USMI, SNMPTN, dan BUD. Penelitian ini menggunakan data sekunder dari nilai mata kuliah dan IPK mahasiswa TPB IPB Bogor tahun akademik 2007/2008 yang dikelompokkan berdasarkan provinsi dan hasil seleksi masuk IPB, yaitu melalui jalur BUD atau non BUD. Keragaman mutu yang diperoleh memungkinkan terdapat pencilan, sehingga untuk mendapatkan pemetaan provinsi berdasarkan peubah mata kuliah dan IPK mendorong untuk membandingkan analisis biplot dengan pendekatan DNS biasa dan kekar. Metode diagram kotak dari data penelitian prestasi mahasiswa TPB IPB menunjukkan adanya pencilan. Analisis biplot dengan pendekatan DNS biasa dan kekar memperlihatkan gambaran pemetaan provinsi yang relatif hampir sama, hal ini menunjukkan bahwa pencilan yang ada tidak berpengaruh pada hasil pemetaan provinsi. Provinsi Kalimantan Selatan (Non BUD), Lampung (BUD), Jawa Tengah (BUD), Kalimantan Barat (Non BUD), Kalimantan Tengah (Non BUD), Kalimantan Timur (non BUD), Gorontalo (Non BUD), PAPUA (BUD), Bengkulu (Non BUD), dan Nusa Tenggara Timur (Non BUD) merupakan sepuluh besar peringkat tertinggi nilai IPK. Provinsi Kalimantan Selatan (Non BUD) menempati peringkat pertama dalam perolehan nilai IPK. Provinsi Bali (Non BUD), Sulawesi Tenggara (Non BUD), Sulawesi Selatan (BUD), Sulawesi Selatan (Non BUD), NAD (Non BUD), Sulawesi Utara (Non BUD), Sumatera Barat (BUD), Sumatera Utara (BUD), Kalimantan Tengah (BUD), dan Maluku Utara (BUD) merupakan sepuluh besar peringkat terbawah dengan Maluku Utara (BUD) menempati peringkat terendah.

5 Provinsi DKI Jakarta (BUD), Yogyakarta (BUD), Jawa Tengah (Non BUD), dan Jawa Timur (Non BUD) mempunyai prestasi yang unggul pada mata kuliah Fisika, Kalkulus, Pengantar Matematika, dan Kimia tetapi kurang di bidang mata kuliah Pengantar Kewirausahaan (KWR), Sosiologi Umum (SOU), dan Agama (AGM). Provinsi Sulawesi Tenggara (BUD) dan Sulawesi Tengah (BUD dan Non BUD) mempunyai prestasi yang unggul pada mata kuliah Pengantar Kewirausahaan (KWR), Sosiologi Umum (SOU), dan Agama (AGM) tetapi kurang pada mata kuliah Fisika (FIS). Sebagai gambaran pendekatan DNS yang tahan terhadap pencilan, data penelitian diberi beberapa data ekstrim kemudian dianalisis dengan DNS biasa dan kekar. Analisis biplot yang didasarkan DNS biasa sangat sensitif dengan keberadaan data ekstrim, akibatnya hasil biplot yang diperoleh berbeda jauh dengan biplot biasa. Analisis biplot yang didasarkan dengan DNS kekar memperlihatkan bahwa gambaran pemetaan yang diperoleh tidak terpengaruh oleh adanya data ekstrim. Kata Kunci: dekomposisi nilai singular, biplot, kesuaian biplot (goodness of fit), pencilan, data ekstrim.

6 BIPLOT DENGAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR BIASA DAN KEKAR UNTUK PEMETAAN PROVINSI BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA IPB WARSITO Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Departemen Matematika SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

7 Judul Tesis : Biplot dengan Dekomposisi Nilai Singular Biasa dan Kekar untuk Pemetaan Provinsi Berdasarkan Prestasi Mahasiswa IPB Nama : Warsito NRP : G Program Studi : Matematika Terapan Disetujui Komisi Pembimbing Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. Ketua Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. Anggota Diketahui Ketua Program Studi Matematika Terapan Dekan Sekolah Pascasarjana IPB Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S. Tanggal Ujian: 13 Agustus 2009 Tanggal Lulus:

8 PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan sesuai dengan waktu yang ditentukan. Judul yang dipilih dalam penelitian ini adalah Biplot dengan Dekomposisi Nilai Singular Biasa dan Kekar untuk Pemetaan Provinsi Berdasarkan Prestasi Mahasiswa IPB. Terima kasih saya ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc dan Bapak Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc atas bimbingannya dalam penulisan karya ilmiah ini, serta Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Bapak Dr. Ir. Ibnul Qayim selaku Direktur Tingkat Persiapan Bersama (TPB) IPB yang telah memberikan izin dan membantu mengumpulkan data nilai mahasiswa TPB IPB. Ungkapan terima kasih juga saya sampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa, seluruh dosen dan staf di Departemen Matematika IPB atas dukungan dan motivasinya. Ucapan terima kasih juga saya sampaikan kepada pak Eli, bu Tina, pak Usep, serta teman-teman BUD lainnya yang tidak sempet saya sebutkan namanya yang telah membantu sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Tidak lupa pula saya sampaikan ucapan terima kasih kepada ayahanda Prapto Suwito, ibunda Tuginem, ma Haji, baba Haji, istriku Ayu, putriku Disa & Nayla, mas Wardoyo, adikku Nanang, Ningsih & Dede serta seluruh keluarga di Sragen dan di Cileduk atas doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Agustus 2009 Warsito

9 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Sragen pada tanggal 22 November 1974 dari ayah Wagimin Prapto Suwito dan ibu Tuginem. Penulis merupakan putra kedua dari lima bersaudara. Tahun 1994 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Gondang, Sragen dan pada tahun yang sama diterima di Institut Pertanian Bogor lewat jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Di IPB Bogor, penulis memilih Jurusan Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, lulus pada tahun Tahun 2001 penulis diterima sebagai staf pengasuhan SMA Madania Boarding School, Parung Bogor. Tahun 2003 diterima sebagai staf pengajar di SMA Labschool Cinere, Depok. Tahun 2001 sampai sekarang menjadi pengajar MA Darussalam, Pondok Pesantren Darussalam, Cilangkap, Cimanggis Depok. Melalui beasiswa dari Departemen Agama Republik Indonesia, pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor (Program Magister), dengan mengambil Mayor Matematika Terapan dan lulus tahun 2009.

10 Hak Cipta milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah. b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB. 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.

11 Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.

12 Kupersembahkan tesis ini untuk Orangtuaku terkasih, istriku tercinta Ayu Rusmiati, dan anakku tersayang Alya Paradisa dan Bidari Nayla Azmi

13 DAFTAR ISI Halaman DAFTAR TABEL... vi DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN... vii viii PENDAHULUAN Latar Belakang... 1 Tujuan Penelitian... 2 TINJAUAN PUSTAKA Diagram Kotak Garis... 3 Dekomposisi Nilai Singular Biasa... 4 Dekomposisi Nilai Singular Kekar... 5 Analisis Biplot... 7 Ukuran Kesuaian Biplot DATA DAN METODE PENELITIAN Data Penelitian Peubah dan Objek Penelitian Metode penelitian HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil Eksplorasi Data Gambaran Umum Prestasi Provinsi Analisis Biplot dengan DNS Biasa dan Kekar Eksplorasi Data Ekstrim Analisis Biplot Data Ekstrim dengan DNS Biasa dan Kekar KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA DAFTAR LAMPIRAN... 34

14 DAFTAR TABEL Halaman 1 Nama peubah Nama objek pengamatan (provinsi) Klasifikasi nilai mutu Tebaran pencilan Matriks korelasi Pearson data asal Ukuran kesuaian biplot data asal Matriks korelasi Pearson data ekstrim Ukuran kesuaian biplot data ekstrim... 28

15 DAFTAR GAMBAR Halaman 1 Diagram kotak garis Diagram kotak garis data prestasi mahasiswa IPB Peringkat provinsi berdasarkan nilai IPK Biplot biasa data asal Biplot kekar data asal Diagram kotak garis data ekstrim Biplot biasa data ekstrim Biplot kekar data ekstrim... 28

16 DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1 Peringkat provinsi berdasarkan nilai IPK Matriks korelasi Pearson data asal Matriks korelasi Pearson data ekstrim Tabel nilai rata-rata mata kuliah dan IPK TPB IPB 2007/ Tabel nilai rata-rata mata kuliah dan IPK TPB IPB 2007/2009 dengan data ekstrim Statistik deskriptif data asal dan data ekstrim Biplot biasa data asal Biplot kekar data asal Biplot biasa data ekstrim Biplot kekar data ekstrim Koordinat biplot biasa data asal Koordinat biplot kekar data asal Koordinat biplot biasa data ekstrim Koordinat biplot kekar data ekstrim... 48

17 PENDAHULUAN Latar Belakang Analisis Peubah Ganda (APG) merupakan bentuk lain dari aljabar linear terapan dalam matematika. Misalkan, suatu matriks X berukuran nxp dapat menjelaskan dengan adanya n objek dan masing-masing objek tersebut diamati p peubah. Analisis ini diharapkan dapat memberikan keterangan dengan memanipulasi data, meringkas, dan memperagakan sehingga lebih mudah memahami dan mengenal adanya hubungan atau pola tidak acak dalam data serta kemungkinan penyimpangannya. Salah satu analisis yang didasarkan pada dekomposisi nilai singular (DNS) adalah analisis biplot. Pada dasarnya, analisis ini merupakan suatu alat statistika yang menyajikan posisi relatif n objek dengan p peubah secara simultan dalam dua dimensi. Analisis ini dapat mengkaji hubungan antara objek pengamatan dan peubah. Selain itu dapat dilihat juga ciri-ciri masingmasing objek dan peubahnya. Analisis biplot dapat dikonstruksi dengan pendekatan DNS biasa dan kekar. Pendekatan DNS biasa memerlukan matriks data tanpa pencilan atau data ekstrim. Jika dalam suatu matriks data terdapat data pencilan maka penghitungan terhadap matriks tersebut tidak memberikan hasil yang mencerminkan data sebenarnya. Pasangan eigennilai dan eigenvektor dari DNS biasa mempunyai sifat meminimalkan jarak antara matriks data dengan matriks dugaannya dengan norma Euclid atau norma L 2. DNS biasa akan memberikan biplot yang memvisualisasikan dari segugus objek dan peubah dalam bentuk grafik bidang datar sehingga ciri-ciri peubah dan objek pengamatan serta posisi relatif antar objek dengan peubah dapat dianalisis. Permasalahan yang muncul, apabila dalam suatu penelitian ditemukan data pencilan, biplot dengan DNS biasa belum menjamin gambaran pemetaan antara objek pengamatan dan peubah oleh sebab itu diberikan sebuah pendekatan DNS secara iteratif yang disebut pendekatan DNS kekar. Pendekatan ini digunakan untuk menduga sejumlah eigennilai dan eigenvektor kiri dan kanan sehingga hasil dugaan tersebut tahan terhadap pencilan. Pasangan eigennilai dan eigenvektor dari DNS kekar mempunyai sifat meminimalkan jarak antara matriks

18 data dengan matriks dugaannya dengan jarak blok kota (city block) atau norma L 1, dan implementasinya norma ini sebagai alternating L 1 regression. Analisis biplot yang didasarkan pendekatan DNS kekar dapat memberikan gambaran objek pengamatan dan peubah yang tahan terhadap pencilan. Institut Pertanian Bogor (IPB) sebagai salah satu perguruan tinggi negeri yang dipercaya untuk mendidik mahasiswa dari seluruh provinsi di Indonesia. Mahasiswa IPB hampir mewakili seluruh provinsi di Indonesia, diharapkan mampu memberikan gambaran prestasi dan pemetaan mutu pendidikan setiap daerahnya. Indikator prestasi mahasiswa biasanya dikaitkan dengan pencapaian prestasi nilai mutu tiap mata kuliah yang diambil dan Indeks Prestasi Kumulatif (IPK)nya. Pencapaian prestasi tersebut salah satunya dipengaruhi oleh mutu masukan, dimana seleksi penerimaan mahasiswa baru IPB dapat melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI), jalur ujian tertulis atau dikenal Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN), dan jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD). Hasil seleksi tersebut menunjukan mahasiswa yang menuntut ilmu di IPB sangat beragam latar belakang kualitas pendidikan antar sekolah dan antar provinsinya. Mutu masukan dari BUD dan non BUD memungkinkan terdapat pencilan, sehingga untuk mendapatkan pemetaan provinsi berdasarkan peubah mata kuliah dan IPK mendorong untuk membandingkan analisis biplot dengan pendekatan DNS biasa dan kekar. Tujuan Penelitian: 1 Membandingkan analisis biplot dengan pendekatan DNS biasa dan kekar untuk pemetaan provinsi berdasarkan prestasi mahasiswa (studi kasus mahasiswa TPB IPB tahun akademik 2007/2008). 2 Memperoleh gambaran bahwa pendekatan DNS kekar lebih tahan terhadap data pencilan ekstrim dibanding pendekatan DNS biasa.

19 TINJAUAN PUSTAKA Diagram Kotak Garis Metode diagram kotak garis atau boxplot merupakan salah satu teknik untuk memberikan gambaran tentang lokasi pemusatan data, rentangan penyebaran dan kemiringan pola sebaran serta dapat digunakan untuk mengidentifikasi adanya pencilan. nilai maksimum Q 3 = kuartil ke-3 Q 2 = median Q 1 = kuartil ke-1 nilai minimum Gambar 1 Diagram kotak garis Selisih Q 3 dan Q 1 menggambarkan tingkat keragaman suatu data. Jika selisihnya semakin besar maka data semakin beragam, dan sebaliknya jika selisihnya semakin kecil maka data semakin kurang beragam. Data yang terletak di antara data terkecil dan Q 1 atau terletak di antara Q 3 dan data terbesar bisa terdapat pencilan. Pencilan (outlier) didefinisikan sebagai suatu pengamatan yang tampak bertentangan atau tidak konsisten terhadap pengamatan yang lain. Pencilan antara lain dapat dideteksi jika pengamatan lebih besar dari Q 3 + k(q 3 - Q 1 ) atau lebih kecil dari Q 1 k (Q 3 - Q 1 ). Umumnya k 1.5, makin besar nilai k, makin ekstrim pencilan yang dihasilkan (Tukey, 1979).

20 Dekomposisi Nilai Singular Biasa Dekomposisi Nilai Singular (DNS) dari matriks data adalah suatu alat yang dapat digunakan untuk memahami struktur data. Beberapa metode yang didasarkan pada DNS ialah Analisis Komponen Utama (AKU), Analisis Biplot, dan Analisis Korespondensi. Misalkan X adalah matriks data peubah ganda dengan n objek pengamatan dan p peubah yang terkoreksi terhadap rata-ratanya. Jika matriks X berpangkat r dengan r min {n,p}, maka dengan menggunakan DNS biasa diperoleh: nx p = n U r L r A p (2.1) Matriks U dan A merupakan matriks ortonormal kolom, di mana U U = A A = I r. Matriks A adalah matriks yang kolom-kolomnya terdiri atas eigenvektor a i yang berpadanan dengan eigennilai λ i dari matriks X X. Matriks U adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor-eigenvektor yang berpadanan dengan eigennilai-eigennilai dari matriks XX, U =,,,, sedangkan matriks L adalah matriks diagonal yang unsur-unsur diagonalnya merupakan akar kuadrat dari eigennilai-eigennilai tak nol matriks X X atau matriks XX, yaitu L = diag(,,, ), di mana nilai-nilai dari λ i memenuhi sifat > 0 dan disebut nilai singular. Selain itu DNS biasa juga dapat ditulis dalam bentuk: X = λ (2.2) Bila r > 2 dan matriks data X ingin digambarkan pada ruang berdimensi s dengan s < r, dapat dilakukan suatu pendekatan terbaik dengan suatu matriks Y berpangkat s, sehingga diperoleh jarak minimum matriks Y ke matriks X yaitu: min = min (2.3) Matriks Y tersebut dapat ditulis dalam bentuk DNS biasa: Y = nu s L s A p (2.4) dengan U dan A matriks ortonormal kolom yang berukuran nxs dan pxs, L adalah matriks diagonal dengan nilai singular: λ 1 λ 2 λ 3. λ s > 0 (Johnson & Wichern, 2002).

21 Dekomposisi Nilai Singular Kekar Misalkan X* adalah matriks data asal yang di dalamnya terdapat data pencilan dengan ukuran nxp yang menggambarkan n objek pengamatan dan p peubah. Pembangkitan eigenvektor dan eigennilai tergantung jenis data asal yang digunakan, apabila data yang digunakan memiliki ragam yang relatif sama maka digunakan matriks koragam. Sebaliknya jika data yang digunakan memiliki ragam yang relatif tidak sama, maka digunakan matriks korelasi. Pada metode DNS kekar, eigenvektor dapat dibangkitkan dari matriks koragam. Misalkan X matriks data yang terpusatkan terhadap median. nx p = n - ( n 1 1 median X*.j)) (2.5) di mana n 1 1 adalah vektor yang semua unsurnya bernilai 1 dan X*.j =,,, adalah vektor kolom ke-j dari matriks X* untuk j =1, 2,..., p. Matriks koragam S dari matriks X adalah: ps p = X X, (2.6) sedangkan matriks korelasi R dari matriks X adalah: pr p = D -1/2 SD -1/2 (2.7) di mana D -1/2 = diag, _ _,, _ adalah matriks diagonal dengan MADN(X*.j) = Median{ median. }/ MADN (Median Obsolute Deviation Normalized) adalah salah satu alternatif mencari simpangan baku yang kekar (Moronna et al., 2006). Untuk mengetahui bagaimana mencari jarak, terdapat fungsi jarak yang dikenal sebagai fungsi jarak Minkowski. Norma vektor ke-p pada suatu vektor v = (v 1,..., v m ) didefinisikan sebagai berikut: p p = ( ) 1/p, untuk p 1 (2.8) Jarak Minkowski antara dua vektor v = (v 1,..., v m ) dan u = (u 1,..., u m ) didefinisikan sebagai berikut: p p = ( ) 1/p (2.9) Ruang vektor yang berhubungan dengan fungsi tersebut dikenal sebagai ruang Minkowski dan dinotasikan dengan L p. Untuk p = 1 maka persamaan (2.9) didefinisikan sebagai berikut:

22 1 = (2.10) Konsep (2.10) dikenal sebagai norma L 1. Untuk p = 2 maka persamaan (2.9) didefinisikan sebagai berikut: 2 2 = ( ) 1/2 (2.11) Konsep (2.11) dikenal sebagai norma L 2. Kesesuaian antara matriks yang merupakan pendekatan terbaik bagi matriks data X menggunakan norma L 1 adalah meminimalkan fungsi: min (2.12) dengan. Prosedur mendapatkan sejumlah eigennilai dan eigenvektor kiri dan kanan secara iteratif pada persamaan (2.12) dikenal dengan metode DNS kekar pada L 1, dan implementasinya norma ini sebagai alternating L 1 regression. Metode ini digunakan untuk menduga sejumlah eigennilai dan eigenvektor kiri dan kanan sehingga hasil dugaan tersebut tahan terhadap pencilan. Algoritma DNS kekar a) Dimulai dengan menentukan dugaan awal eigenvektor kiri u 1 dari XX. b) Masing-masing kolom j matriks X, dengan j =1,2,,p, ditentukan c j sebagai koefisien regresi L 1 dengan meminimumkan c) Menghitung hasil perkiraan eigenvektor kanan yaitu a 1 = dengan. adalah lambang norma Euclid. d) Menggunakan hasil perkiraan eigenvektor kanan untuk memperhalus perkiraan eigenvektor kiri. Masing-masing baris i matriks X, dengan i=1,2,3,,n, ditentukan d i sebagai koefisien regresi L 1 dengan meminimumkan. e) Menghitung hasil perkiraan eigenvektor kiri yaitu u 1 =. f) Ulangi hasil langkah (e) dari (b) sampai (e) kembali hingga diperoleh dugaan eigenvektor kiri u 1 dan eigenvektor kanan a 1 yang konvergen. Proses ini memberikan pasangan eigenvektor pertama yaitu eigenvektor kiri dan eigenvektor kanan. Setelah kreteria nilai tersebut konvergen, eigennilai λ 1 pada L 1 dapat diperoleh dengan meminimumkan:

23 λ (2.13) Untuk yang kedua dan selanjutnya DNS menempatkan X kembali dengan matriks turunan yang berlaku dengan mengurangi bentuk yang baru. X X - λ (2.14) Analisis Biplot Analisis Biplot merupakan suatu upaya untuk memberikan peragaan grafik dari matriks data X dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor yang berada dalam ruang berdimensi tinggi ke dalam ruang berdimensi rendah (dua atau tiga) sekaligus yang mewakili vektor-vektor baris X sebagai gambaran objek dengan vektor-vektor yang mewakili kolom matriks X sebagai gambaran peubah. Dari peragaan ini diharapkan akan diperoleh gambaran tentang ciri-ciri peubah dan objek pengamatan serta posisi relatif antar objek pengamatan dengan peubah dapat dianalisis (Jollife, 2002). Dari tampilan biplot tersebut, ada beberapa informasi yang dapat diperoleh, di antaranya ialah: 1 Kedekatan antar objek atau kedekatan letak posisi dua objek diinterpretasikan sebagai kemiripan sifat dua objek. Semakin dekat letak dua buah objek maka sifat yang ditunjukan oleh nilai-nilai peubahnya semakin mirip. 2 Panjang vektor peubah sebanding dengan keragaman peubah tersebut. Semakin panjang vektor peubah maka keragamannya semakin tinggi. 3 Nilai sudut antara dua vektor peubah menggambarkan korelasi kedua peubah. Semakin sempit sudut yang dibuat antara dua peubah maka semakin tinggi korelasinya. Jika sudut yang dibuat tegak lurus maka kedua peubah tersebut tidak saling berkorelasi. Sedangkan jika sudutnya tumpul yaitu berlawanan arah maka korelasinya negatif. 4 Nilai peubah pada suatu objek dapat menginformasikan keunggulan dari setiap objek. Objek yang terletak searah dengan arah dari suatu peubah maka nilai objek tersebut di atas nilai rata-rata, jika berlawanan berarti objek tersebut nilanya di bawah rata-rata, dan jika hampir tegak lurus berarti nilainya mendekati rata-rata.

24 Analisis biplot didasarkan pada DNS biasa dari matriks data yang sudah terkoreksi terhadap rata-ratanya. Misalkan n adalah matriks data peubah ganda yang terdiri n objek pengamatan dan p peubah. Selanjutnya matriks n dilakukan tranformasi terhadap nilai rata-ratanya sehingga diperoleh matriks n X p nx p = n - ( n1 n ) (2.15) di mana n 1 n adalah matriks yang semua unsurnya bernilai 1. Matriks koragam S dari matriks X adalah: ps p = X X, (2.16) sedangkan matriks korelasi R dari matriks X adalah: pr p = D -1/2 SD -1/2 (2.17) di mana D -1/2 = diag,,, adalah matriks diagonal dengan unsur diagonal utama ; i = 1, 2,..., p. Unsur matriks korelasi r ij juga merupakan cosinus sudut antara peubah ke-i dan ke-j: cos( ) = r ij (2.18) Misalkan matriks X berpangkat r dengan r min {n,p}. Dengan DNS biasa akan diperoleh seperti persamaan (2.1), yaitu: nx p = n U r L r A p. (2.19) Dalam Jollife (2002), didefinisikan L α untuk 0 α 1, adalah matriks diagonal dengan elemen-elemen,,,, definisi sama untuk L 1-α dengan elemen-elemennya,,, dan jika G = UL α dan, maka persamaan (2.19) dapat ditulis menjadi nx p = n U r L r A p = n U r A p = n G r H p (2.20) Untuk menggambarkan matriks X pada ruang berdimensi k < r, dapat didekati menggunakan matriks berpangkat k, (k) = G (k) H (k) = α α (2.21)

25 Biasanya digunakan k = 2, sehingga koordinat-koordinat G dan H dapat digambarkan dalam ruang berdimensi 2 (Lipkovich & Smith, 2002). Pengambilan nilai α dapat digunakan pada kisaran [0,1], untuk nilai α tertentu berimplikasi dalam interpretasi biplot. a) Jika α = 0, maka pada (2.19) diperoleh G = U dan H =LA akibatnya: X X = (GH ) (GH ) = HG G H = HU UH = HH = (n-1)s (2.22) diperoleh: = (n-1)s ij, di mana s ij adalah koragam peubah ke-i dan ke-j. Artinya, penggandaan titik antara vektor h i dan h j akan memberikan gambaran koragam antara peubah ke-i dengan peubah ke-j. Panjang vektor = 1 s i dengan s i =. Artinya, panjang vektor tersebut akan memberikan gambaran tentang keragaman peubah ke-i. Makin panjang vektor h i dibandingkan dengan vektor h j maka makin besar keragaman peubah h i dibanding peubah h j. Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j dijelaskan oleh cosinus sudut antara h i dan h j, yaitu: cos = = r ij, yang artinya: Bila sudut antara kedua peubah tersebut mendekati 0 maka makin besar korelasi positif antara kedua peubah tersebut dan korelasinya sama dengan 1 diperoleh jika = 0. Bila sudut antara kedua peubah tersebut mendekati maka makin besar korelasi negatif kedua peubah tersebut dan korelasinya sama dengan -1 jika =. Bila sudut makin dekat terhadap, maka makin kecil korelasi kedua peubah tersebut dan korelasinya sama dengan 0 atau tidak ada korelasi jika sudut = π. Jika X berpangkat p, maka (x i x j ) S -1 (x i x j ) = (n-1)(g i - g j ) (g i - g j ) Artinya, kuadrat jarak Mahalanobis antara x i dengan x j akan sebanding dengan kuadrat jarak Euclid antara g i dengan g j.

26 b) Jika α = 1, maka pada (2.19) diperoleh G=UL dan H = A, atau H = A dengan H = A A = I, akibatnya: XX = (GH = GH = GA = GG (2.23) diperoleh: (x i x j ) (x i x j ) = (g i - g j ) (g i - g j ) (2.24) Artinya, jarak Euclid antara x i dengan x j akan sama dengan jarak Euclid antara vektor-vektor yang merepresentasikan g i dan g j. Posisi g i dalam plot akan sama dengan posisi objek ke-i dengan menggunakan r komponen utama pertama. Vektor lajur h j sama dengan vektor a j yang merupakan koefisien untuk komponen utama ke-j. Untuk α (0,1), maka interpretasi pada korelasi serta jarak Euclid dan Mahalanobis tidak berlaku, sedangkan posisi relatif g i dan h j masih mencerminkan besaran objek ke-i pada peubah ke-j, x ij =. Baris matriks G berisi koordinat titik-titik yang menggambarkan n objek pada biplot, hasil plot terhadap n titik disebut g-plot. Sedangkan kolom matriks H berisi koordinat titik-titik p peubah yang digambarkan sebagai vektor p peubah pada biplot, hasil plot terhadap vektor p disebut h-plot. Biplot adalah upaya menggabungkan antara h-plot dan g-plot dalam ruang berdimensi rendah. Analisis biplot yang didasarkan pada DNS kekar, mengambil pendekatan matriks X berpangkat dua yaitu : X L (2.26) dengan L dan R adalah matriks yang terdiri dua eigenvektor kiri dan eigenvektor kanan pertama pada X (Hawkins et al., 2001). Kemudian, matriks L dan R digunakan sebagai matriks G dan H yang masing-masing merupakan gambaran vektor-vektor baris dan kolom matriks X.

27 Ukuran Kesuaian Biplot Menurut Gabriel (2002), biplot tidak hanya sebagai pendekatan matriks data X dengan menggunakan matriks GH, tetapi juga koragam dan korelasi antar peubah, serta bentuk dan kemiripan antar objek. Hasil perkalian HH sebagai pendekatan dari matriks X X yang berkaitan dengan ragam-koragam dan korelasi antar peubah, sedangkan matriks GG sebagai pendekatan bagi XX yang berkaitan dengan ukuran kemiripan antar objek. Selanjutnya Gabriel mengemukakan ukuran kesuaian biplot (Goodness of Fit of Biplots) sebagai ukuran pendekatan dalam bentuk sebagai berikut: 1) Kesuaian data: GF (X, GH ) = 2) Kesuaian peubah: GF (X'X,HH ) = 3) Kesuaian objek: GF (XX', GG ) = (2.27) (2.28) (2.29)

28 DATA DAN METODE PENELITIAN Data Penelitian Penelitian ini menggunakan data sekunder dari nilai mata kuliah dan IPK mahasiswa TPB IPB Bogor tahun akademik 2007/2008. Pelaksanaan penelitian ini melibatkan semua mahasiswa TPB yang terdiri 3001 mahasiswa yang dikelompokkan berdasarkan provinsi dan seleksi masuk IPB, yaitu melalui jalur BUD atau non BUD. Hasil matriks data peubah ganda berukuran 54x15 yang menunjukkan 24 provinsi asal daerah mahasiswa BUD dan 30 provinsi mahasiswa non BUD. Dari setiap provinsi dan jalur masuk IPB, diamati rata-rata nilai mutu 14 mata kuliah dan nilai IPK mahasiswanya. Sebagai gambaran bahwa biplot dengan DNS kekar lebih tahan terhadap data pencilan, diberikan data ekstrim pada peubah mata kuliah Biologi dari objek provinsi NAD (non BUD) dan peubah mata kuliah Pengantar Matematika dari objek provinsi PAPUA (non BUD) yang masing-masing sebesar 7.50 dan Hasil biplot kemudian dibandingkan hasil biplot dengan metode biasa. Peubah dan Objek Penelitian Peubah yang digunakan dalam penelitian ini merupakan mata kuliah selama di TPB IPB yang disajikan pada Tabel 1. Tabel 1. Nama peubah No Peubah Kode 1 Agama AGM 2 Biologi BIO 3 Ekonomi Umum EKU 4 Fisika FIS 5 Bahasa Indonesia IND 6 Bahasa Inggris ING 7 Kalkulus KAL 8 Kimia KIM 9 Pengantar Kewirausahaan KWR 10 Pengantar Matematika MTK 11 Olah Raga dan Seni ORS 12 Pengantar Ilmu Pertanian PIP 13 Pengantar Kewarganegaraan PKN 14 Sosiologi Umum SOU 15 Indeks Prestasi Kumulatif IPK

29 Nilai peubah AGM, BIO, EKU, FIS, IND, ING, KAL, KIM, KWR, MTK, ORS, PIP, PKN, SOU dan IPK merupakan rata-rata nilai mutu mata kuliah dan IPK mahasiswa. Objek pengamatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah provinsi asal mahasiswa jalur BUD dan non BUD yang disajikan pada Tabel 2. Tabel 2 Nama objek pengamatan (provinsi) Provinsi Seleksi Kode Provinsi Seleksi Kode NAD 1 Non BUD 1 JATIM 1 Non BUD 28 NAD 2 BUD 2 JATIM 2 BUD 29 SUMUT 1 Non BUD 3 BALI Non BUD 30 SUMUT 2 BUD 4 NTB Non BUD 31 SUMBAR 1 Non BUD 5 NTT 1 Non BUD 32 SUMBAR 2 BUD 6 NTT 2 BUD 33 RIAU 1 Non BUD 7 KALBAR Non BUD 34 RIAU 2 BUD 8 KALTENG 1 Non BUD 35 JAMBI 1 Non BUD 9 KALTENG 2 BUD 36 JAMBI 2 BUD 10 KALSEL 1 Non BUD 37 SUMSEL 1 Non BUD 11 KALSEL 2 BUD 38 SUMSEL 2 BUD 12 KALTIM 1 Non BUD 39 BENGKULU Non BUD 13 KALTIM 2 BUD 40 LAMPUNG 1 Non BUD 14 SULUT Non BUD 41 LAMPUNG 2 BUD 15 SULSEL 1 Non BUD 42 KEP.BABEL. 1 Non BUD 16 SULSEL 2 BUD 43 KEP.BABAL. 2 BUD 17 SULTRA 1 Non BUD 44 DKI JAKARTA 1 Non BUD 18 SULTRA 2 BUD 45 DKI JAKARTA 2 BUD 19 SULTENG 1 Non BUD 46 JABAR 1 Non BUD 20 SULTENG 2 BUD 47 JABAR 2 BUD 21 GORONTALO Non BUD 48 BANTEN 1 Non BUD 22 MALUKU 1 Non BUD 49 BANTEN 2 BUD 23 MALUKU 2 BUD 50 JATENG 1 Non BUD 24 MALUT 1 Non BUD 51 JATENG 2 BUD 25 MALUT 2 BUD 52 DIY 1 Non BUD 26 PAPUA 1 Non BUD 53 DIY 2 BUD 27 PAPUA 2 BUD 54 Klasifikasi nilai mutu berdasarkan aturan akademik di IPB disajikan pada Tabel 3. Tabel 3 Klasifikasi nilai mutu No Huruf Mutu Nilai Mutu 1 A 4 2 B 3 3 C 2 4 D 1 5 E 0

30 Metode Penelitian Diagram kotak garis digunakan untuk memperoleh gambaran tentang lokasi pemusatan data, rentangan penyebaran, kemiringan pola sebaran dan pencilan. Matriks korelasi Pearson yang menggambarkan tingkat keeratan hubungan linear antar peubah diperoleh dengan software Minitab 14. Data dianalisis dengan dua pendekatan. Pendekatan I digunakan untuk memperoleh biplot dengan DNS biasa (menggunakan paket Biplot versi 3.2, Ardana (2008) software Mathematica 6.0). Pendekatan II digunakan untuk memperoleh biplot dengan DNS kekar (menggunakan paket RobustBiplotPack Versi 1.1, Ardana (2009) software Mathematica 6.0). Pendekatan I dengan DNS biasa. 1. Transformasi matriks data ke bentuk matriks koragam yang terstandarisasi terhadap rata-rata. 2. Analisis dengan menggunakan paket Biplot versi 3.2, Ardana (2008) software Mathematica 6.0 dengan memilih nilai α = Menelusuri ketepatan biplot dengan menggunakan ukuran kesuaian dari Gabriel (2002). Pendekatan II dengan DNS kekar. 1. Transformasi matriks data ke bentuk matriks koragam yang terstandarisasi terhadap median. 2. Analisis dengan menggunakan paket BiplotRobustPack versi 1.1, Ardana (2009) software Mathematica 6.0 dengan memilih nilai α = Menelusuri ketepatan biplot dengan menggunakan ukuran kesuaian dari Gabriel (2002). Jika hasil analisis data dengan metode biasa dan kekar memberikan hasil yang relatif sama, maka terhadap data asli diberikan beberapa data ekstrim, lalu kembali dianalisis dengan pendekatan DNS biasa dan kekar, dan hasilnya dibandingkan dengan hasil analisis data awal.

31 HASIL DAN PEMBAHASAN Hasil Eksplorasi Data Diagram kotak garis merupakan salah satu teknik untuk memberikan gambaran tentang lokasi pemusatan data, rentangan penyebaran, dan kemiringan pola sebaran. Gambaran pencilan dan sebaran dari peubah yang ditata berdasarkan mediannya, disajikan pada Gambar Nilai ORS AGM EKU KWR IND PIP SOU PKN IPK ING MTK KIM BIO KAL FIS Peubah Gambar 2 Diagram kotak garis data prestasi mahasiswa IPB Keterangan : AGM = Mata Kuliah Agama BIO = Mata Kuliah Biologi EKU = Mata Kuliah Ekonomi Umum FIS = Mata Kuliah Fisika IND = Mata Kuliah Bahasa Indonesia ING = Mata Kuliah Bahasa Inggris KAL = Mata Kuliah Kalkulus KIM = Mata Kuliah Kimia KWR = Mata Kuliah Pengantar Kewirausahaan MTK = Mata Kuliah Pengantar Matematika ORS = Mata Kuliah Olah Raga & Seni PIP = Mata Kuliah Pengantar Ilmu Pertanian PKN = Mata Kuliah Pendidikan Kewarganegaraan SOU = Mata Kuliah Sosiologi Umum IPK = Indeks Prestasi Kumulatif Posisi median di dalam diagram kotak garis akan menunjukkan kemiringan pola sebaran. Berdasarkan Gambar 2, letak median peubah EKU, IND, ING, KAL, KIM, PKN, dan IPK dekat dengan Q 3 (kuartil atas) hal ini menunjukkan peubah-peubah tersebut mempunyai kemiringan pola sebaran data negatif. Pola sebaran negatif mengindikasikan bahwa rata-rata peubah tersebut di bawah median dan memanjang ke arah nilai-nilai yang kecil. Median peubah KWR dan

32 FIS terletak lebih dekat Q 1 (kuartil bawah), artinya kedua peubah mempunyai kemiringan pola sebaran data positif. Pola ini mengindikasikan bahwa rata-rata kedua peubah tersebut di atas median. Nilai median peubah AGM dan ORS sama dengan rata-ratanya, hal ini menunjukkan kedua peubah mempunyai kemiringan pola sebaran data simetri. Pola sebaran data dapat dilihat dari panjangnya kotak yang merupakan jarak antar kuartil. Berdasarkan Gambar 2, diperoleh gambaran bahwa peubah MTK mempunyai ragam yang lebih besar, sedangkan ragam peubah SOU lebih kecil daripada peubah lain. Peubah EKU, IND, ING, PIP, KWR, BIO dan FIS mempunyai keragaman yang relatif sama besar, sedangkan peubah ORS, AGM, dan PKN mempunyai keragaman yang relatif sama kecil daripada peubah lain. Tabel 4 Tebaran pencilan Peubah Pencilan Keterangan AGM BIO EKU FIS IND ING KAL KIM KWR MTK ORS PIP PKN SOU IPK 36 (BUD), 44 (Non BUD) 36 (BUD), 52 ( BUD) 36 (BUD), 52 ( BUD) - 36 (BUD), 52 ( BUD) 36 (BUD), 52 ( BUD) 4 (BUD), 41 (Non BUD), 36 & 52( BUD) 4 (BUD), 36 (BUD), 52 ( BUD) - 52 ( BUD) 36 (BUD) 36 (BUD), 52 ( BUD) 36 (BUD) 2, 36, 43, & 52 ( BUD), 41 &49 (Non BUD) 36 (BUD), 52 ( BUD) 2 pencilan bawah 2 pencilan bawah 2 pencilan bawah Tidak ada pencilan 2 pencilan bawah 2 pencilan bawah 4 pencilan bawah 3 pencilan bawah Tidak ada pencilan 1 pencilan bawah 1 pencilan bawah 2 pencilan bawah 1 pencilan bawah 4 pencilan bawah & 2 pencilan atas 2 pencilan bawah Berdasarkan Gambar 2 dan Tabel 4 terdapat 30 pencilan, di mana sebagian besar pencilan didominasi objek 36 (KALTENG 2) dan 52 (KALSEL). Dari Gambar 2, juga terlihat hampir semua peubah kecuali peubah FIS (Fisika) dan KWR (Pengantar Kewirausahaan) terdapat pencilan. Pencilan yang dihasilkan dengan nilai k 3 terdapat pada peubah EKU (Ekonomi Umum), KAL (Kalkulus), dan SOU (Sosiologi Umum) di objek 52 (KALSEL), 41 (SULUT) dan 49 (MALUKU 1). Berdasarkan data asal, nilai objek 52 pada peubah EKU dan KAL masing-masing sebesar 0.00, sedangkan nilai objek 41 dan 49 pada peubah SOU masing-masing sebesar 4.00.

33 Hubungan antar peubah atau korelasi antar peubah dapat dilihat pada Tabel 5. Korelasi dengan nilai-p-nya disajikan pada Lampiran 2. Sebagian besar korelasi bernilai-p < 1% (sangat nyata). Tabel 5 Matriks korelasi Pearson data asal Peubah AGM BIO EKU FIS IND ING KAL KIM KWR MTK ORS PIP PKN SOU IPK AGM 1 BIO 0.51 ** 1 EKU 0.48 ** 0.75 ** 1 FIS ** 0.43 ** 1 IND 0.57 ** 0.69 ** 0.67 ** 0.40 ** 1 ING 0.40 ** 0.70 ** 0.59 ** 0.62 ** 0.74 ** 1 KAL ** 0.81 ** 0.73 ** 0.58 ** 0.67 ** 1 KIM 0.41 ** 0.75 ** 0.70 ** 0.68 ** 0.60 ** 0.68 ** 0.86 ** 1 KWR 0.57 ** 0.50 ** 0.51 ** ** 0.48 ** 0.32 * 0.41 ** 1 MTK 0.41 ** 0.70 ** 0.82 ** 0.62 ** 0.57 ** 0.57 ** 0.85 ** 0.81 ** 0.38 ** 1 ORS * ** PIP 0.44 ** 0.68 ** 0.75 ** 0.41 ** 0.73 ** 0.63 ** 0.69 ** 0.62 ** 0.58 ** 0.70 ** PKN SOU IPK 0.42 ** 0.50 ** 0.54 ** 0.45 ** 0.54 ** 0.87 ** ** nilai-p 1 % * 1% < nilai-p 5 % 0.50 ** 0.42 ** 0.86 ** 0.41 ** ** 0.42 ** 0.53 ** 0.79 ** 0.40 ** 0.51 ** 0.81 ** 0.50 ** 0.34 * 0.87 ** 0.55 ** 0.44 ** 0.88 ** ** 0.57 ** 0.53 ** ** 0.32 * 0.30 * 0.32 * 0.51 ** 0.55 ** 0.82 ** ** 0.55 ** 1 Peubah IPK merupakan Indeks Prestasi Kumulatif yang dicapai mahasiswa sebagai indikator prestasi mahasiswa. Berdasarkan Tabel 5, korelasi peubah IPK dengan peubah yang tergabung dalam mata kuliah MIPA, Bahasa, Ekonomi, dan Pengantar Ilmu Pertanian mempunyai korelasi besar positif, yaitu korelasi peubah IPK dengan peubah BIO (Biologi), KAL (Kalkulus), KIM (Kimia), MTK (Pengantar Matematika), IND (Bahasa Indonesia), dan ING (Bahasa Inggris), EKU (Ekonomi Umum), dan PIP (Pengantar Ilmu Pertanian) masing-masing sebesar 0.87 **, 0.87 **, 0.88 **, 0.87 **, 0.79 **, 0.81 **, 0.86 **, dan 0.82 **. Korelasi tersebut menunjukkan bahwa rata-rata IPK yang dicapai mahasiswa sangat dipengaruhi oleh nilai mata kuliah MIPA, Bahasa, Ekonomi, dan Pengantar Ilmu Pertanian. Korelasi antara peubah IPK dengan peubah ORS (Olah Raga dan Seni) adalah 0.32 *, korelasi ini menunjukkan bahwa prestasi Olah Raga dan Seni kecil pengaruhnya terhadap nilai IPK. Dari Tabel 5 juga diperoleh gambaran bahwa korelasi antara peubah FIS (Fisika) dengan peubah KWR (Pengantar Kewirausahaan) sebesar dengan nilai-p = artinya kedua peubah tidak berkorelasi.

34 Gambaran Umum Prestasi Provinsi Indikator prestasi mahasiswa biasanya dikaitkan dengan pencapaian prestasi nilai mutu tiap mata kuliah yang diambil dan nilai IPK. Pemetaan provinsi berdasarkan prestasi mahasiswa dapat dilihat dari indikator nilai IPK. Jika ratarata nilai IPK mahasiswa dari suatu provinsi lebih tinggi maka provinsi tersebut mempunyai mutu pendidikan lebih baik dengan provinsi lainnya. Peringkat provinsi berdasarkan nilai IPK ditunjukkan pada Gambar KALSEL1 LAMPUNG2 JATENG2 KALBAR KALTENG1 KALTIM1 GORONTALO PAPUA2 BENGKULU NTT1 JATENG1 DIY2 PAPUA1 RIAU1 JAMBI2 KEP.BABEL1 JATIM1 SULTENG1 MALUKU 1 KALSEL2 SUMSEL2 BANTEN1 DIY1 KALTIM2 DKI JAK1 DKI JAK2 SULTRA2 SULTENG2 JATIM2 SUMBAR1 JAMBI1 NAD2 JABAR2 JABAR1 LAMPUNG1 NTB SUMSEL1 KEP.BABEL2 MALUKU2 MALUT1 RIAU2 SUMUT1 BANTEN2 NTT2 BALI SULTRA1 SULSEL2 SULSEL1 NAD1 SULUT SUMBAR2 SUMUT2 KALTENG2 MALUT2 Gambar 3 Peringkat provinsi berdasarkan nilai IPK Berdasarkan Gambar 3, sepuluh besar provinsi yang mendapat peringkat IPK tertinggi didominasi oleh provinsi dari luar pulau Jawa, dan sepuluh besar peringkat IPK terbawah semuanya dari luar pulau Jawa. Jika dilihat dari jalur seleksi masuk IPB, sepuluh provinsi peringkat tertinggi berdasarkan nilai IPK terdiri dari 7 jalur Non BUD (KALSEL, KALBAR, KALTENG, KALTIM, GORONTALO, BENGKULU, dan NTT) dan 3 jalur BUD (JATENG, LAMPUNG, dan PAPUA). Sedangkan sepuluh peringkat terbawah berdasarkan nilai IPK terdiri dari 5 jalur Non BUD (BALI, SULTRA, SULSEL, NAD, dan SULUT) dan 5 jalur BUD (SULSEL, SUMBAR, SUMUT, KALTENG, dan MALUT).

35 Analisis Biplot dengan DNS Biasa dan Kekar Analisis biplot dengan pendekatan DNS biasa dan kekar, masing-masing diperoleh dengan menggunakan paket Biplot versi 3.2, Ardana (2008) dan paket RobustBiplotPack versi 1.1, Ardana (2009) software Mathematica 6.0 dengan nilai α = 0. Hasil biplot yang diperoleh disajikan pada Gambar 4 dan 5 dengan ukuran kesuaiannya diberikan pada Tabel 6. GH GH Biplot GF ( GH = %) 38 FIS D2 D2 (10.31 %) ORS PKN AGM 32 SOU 50 KWR KAL MTK KIM IPK ING BIO EKU PIP IND D D1 1 (65.44%) Gambar 4 Biplot biasa data asal GH Robust GH Biplot Biplot ( GH GF = %) D2 D2 ( %) ORS PKN AGMSOU KWR FIS KIMKALMTK EKU IPK INGPIP BIO IND D1 D1 (65.24 %) Gambar 5 Biplot kekar data asal

36 Tabel 6 Ukuran kesuaian biplot data asal Kesuaian (%) DNS biasa DNS kekar Data GF Peubah Objek Berdasarkan Gambar 4 dan 5 serta Tabel 6, beberapa hasil biplot biasa dan kekar yang dapat diperoleh antara lain: a. Keragaman Peubah Berdasarkan analisis biplot informasi yang dapat diperoleh, di antaranya ialah panjang vektor peubah sebanding dengan keragaman peubah tersebut, semakin panjang vektor peubah maka keragamannya semakin tinggi. Pada kedua biplot terlihat bahwa peubah KWR (Pengantar Kewirausahaan), KAL (Kalkulus), EKU (Ekonomi Umum), IND (Bahasa Indonesia), PIP (Pengantar Ilmu Pertanian), FIS (Fisika), dan MTK (Pengantar Matematika) mempunyai keragaman yang relatif sama besar karena mempunyai panjang vektor yang sama panjang, sedangkan peubah PKN (Pendidikan Kewarganegaraan), AGM (Agama), SOU (Sosiologi Umum), KIM (Kimia) dan peubah IPK mempunyai keragaman yang relatif sama kecil karena mempunyai panjang vektor yang sama pendek. Keragaman di atas relatif sama dengan hasil yang diperoleh dari diagram kotak garis data asal pada Gambar 2. b. Korelasi antar peubah Sudut antara dua vektor peubah menggambarkan korelasi kedua peubah tersebut, semakin sempit sudut antara dua vektor peubah, maka semakin tinggi korelasinya. Jika sudut yang dibuat tegak lurus maka kedua peubah tidak berkorelasi. Sedangkan jika sudutnya tumpul yaitu berlawanan arah maka korelasinya negatif. Pada kedua biplot apabila ditinjau berdasarkan peubah IPK, semua peubah berkorelasi positif karena vektor-vektornya membentuk sudut lancip dengan peubah IPK. Jika diamati lebih lanjut, peubah IPK mempunyai korelasi lebih besar dengan peubah BIO (Biologi), EKU (Ekonomi Umum), IND (Bahasa Indonesia), ING (Bahasa Inggris), MTK (Pengantar Matematika), KIM (Kimia), KAL (Kalkulus) dan PIP (Pengantar Ilmu Pertanian) karena sudut yang dibentuk antara peubah IPK dengan peubah tersebut lebih lancip dibanding dengan peubah

37 lainnya. Peubah FIS (Fisika) membentuk sudut agak tumpul dengan peubah KWR (Pengantar Kewirausahaan), AGM (Agama), dan SOU (Sosiologi Umum), sehingga korelasinya negatif. Korelasi antara peubah KAL (Kalkulus) dengan peubah KIM (Kimia) dan MTK (Pengantar Matematika) adalah tinggi, hal ini ditunjukkan dengan sudut antar peubah tersebut membentuk sudut lancip. Berdasarkan Tabel 5 matriks korelasi Pearson, signifikansi korelasi peubah IPK dengan semua peubah kecuali dengan peubah ORS berdasarkan nilai-p semuanya bernilai kurang dari 1%, artinya peubah IPK berkorelasi sangat nyata dengan peubah-peubah lainnya. Dari Tabel 5 matriks korelasi Pearson, diperoleh gambaran bahwa korelasi peubah IPK dengan peubah BIO, EKU, IND, ING, MTK, KIM, KAL dan PIP masing-masing sebesar 0.87 **, 0.86 **, 0.79 **, 0.81 **, 0.87 **, 0.88 **, 0.87 **, dan 0.82 **. Korelasi peubah FIS dengan peubah KWR, AGM, dan SOU masing-masing sebesar -0.02, 0.01, dan 0.13 atau berdasarkan nilai-p masing-masing sebesar 0.905, 0.940, dan artinya peubah FIS tidak berkorelasi dengan ketiga peubah tersebut. Korelasi dari hasil biplot berdasarkan DNS biasa dan kekar di atas relatif sama dengan hasil yang diperoleh dari Tabel 5 matriks korelasi Pearson data asal. c. Keterkaitan objek dengan peubah Berdasarkan analisis biplot, keterkaitan objek dengan peubah ditunjukkan oleh letak objek tersebut terhadap vektor peubah. Apabila objek terletak searah dengan arah suatu peubah, maka objek tersebut mempunyai nilai di atas rata-rata. Sebaliknya, jika objek terletak berlawanan dengan arah suatu peubah maka objek tersebut nilainya di bawah rata-rata. Informasi ini digunakan untuk melihat keunggulan dari setiap objek. Pada kedua biplot, objek yang mengelompok di sebelah kanan memiliki nilai IPK di atas rata-rata yaitu objek ke: 7, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 32, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 45, 46, 47, 48, 49, 53, dan 54. Sepuluh objek yang posisi letaknya paling kanan terhadap peubah IPK terdiri dari objek 13, 15, 25, 32, 34, 35, 37, 39, 48, dan 54. Berdasarkan pemetaan prestasi provinsi, posisi objek 13 (BENGKULU), 15 (LAMPUNG 2), 25 (JATENG 2), 32 (NTT 1), 34 (KALBAR), 35 (KALTENG 1), 37 (KALSEL 1), 39 (KALTIM 1), 48 (GORONTALO), dan 54 (PAPUA 2) terhadap peubah IPK merupakan posisi

38 provinsi yang mendapatkan sepuluh besar peringkat tertinggi nilai IPK. Pada kedua biplot, posisi objek 37 (KALSEL 1) sebagai objek yang menempati peringkat pertama dalam perolehan nilai IPK, karena terletak paling kanan dan berada tepat pada peubah IPK. Objek yang mengelompok di sebelah kiri secara umum memiliki nilai IPK di bawah rata-rata yaitu objek ke: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 17, 20, 21, 23, 30, 31, 33, 36, 41, 42, 43, 44, 50, 51, dan 52. Sepuluh objek yang posisi letaknya paling kiri terhadap peubah IPK terdiri objek 1, 4, 6, 30, 33, 36, 41, 42, 43, 44 dan 52. Berdasarkan pemetaan prestasi provinsi, posisi objek 1 (NAD 1), 4 (SUMUT 2), 6 (SUMBAR 2), 30 (BALI), 36 (KALTENG 2), 41 (SULUT), 42 (SULSEL 1), 43 (SULSEL 2), 44 (SULTRA 1), dan 52 (MALUT 2) terhadap peubah IPK merupakan posisi provinsi yang mendapatkan sepuluh besar peringkat terbawah. Dari Gambar 4 dan 5, posisi objek 52 (MALUT 2) sebagai objek yang menempati peringkat terakhir, karena terletak paling kiri dan berlawanan arah dengan peubah IPK. Berdasarkan Tabel 6, kedua biplot mempunyai pendekatan matriks data, matriks peubah, dan matriks objek yang tidak jauh berbeda dengan nilai GF biplot kekar. Hasil peringkat prestasi provinsi berdasarkan rata-rata nilai IPK dari biplot biasa dan kekar relatif sama dengan hasil yang diperoleh dari peringkat provinsi berdasarkan nilai IPK pada Gambar 3. Kedekatan antar objek (provinsi) Kedekatan antar objek atau kedekatan letak posisi dua objek diinterpretasikan sebagai kemiripan sifat dua objek. Semakin dekat letak dua buah objek maka sifat yang ditunjukkan oleh nilai-nilai peubahnya semakin mirip. Informasi ini dapat dijadikan panduan objek mana yang memiliki kemiripan karakteristik dengan objek tertentu. Gambar 4 dan 5 memberikan gambaran posisi objek dan vektor peubah dalam biplot. Berdasarkan kedekatan antar objek dan kedekatan objek dengan peubah, objek-objek tersebut dapat dikelompokkan menjadi 8 kelompok, yaitu: Kelompok 1: 13, 15, 25, 34, 35, 37, 39, dan 54. Kelompok 2: 12, 19, 24, 27, 28, 38, 40, dan 48. Kelompok 3: 7, 9, 10, 16, 18, 22, 26, 29, dan 53.

39 Kelompok 4: 32, 45, 46, 47, dan 49. Kelompok 5: 2, 5, 6, 14, 21, 31, dan 44. Kelompok 6: 41 dan 50. Kelompok 7: 1, 3, 4, 8, 11, 17, 20, 23, 30, 33, 42, 43, dan 51 Kelompok 8: 36 dan 52. Kelompok 1, terdiri dari provinsi BENGKULU (13), LAMPUNG 2 (15), JATENG 2 (25), KALBAR (34), KALTENG 1 (35), KALSEL 1 (37), KALTIM 1 (39) dan PAPUA 2 (54). Berdasarkan posisi objek 13, 15, 25, 34, 35, 37, 39 dan 54 pada biplot, menunjukkan objek-objek tersebut atau provinsi tersebut mempunyai prestasi di atas rata-rata pada semua mata kuliah dan IPK. Berdasarkan data asal, provinsi-provinsi tersebut termasuk yang mendapatkan sepuluh besar peringkat tertinggi pada nilai IPK. Posisi objek 37 (KALSEL 1) sebagai objek yang menempati peringkat pertama dalam perolehan nilai IPK, karena terletak paling kanan dan berada tepat pada peubah IPK. Kelompok 2, terdiri dari provinsi SULSEL 2 (12), DKI JAKARTA 2 (19), JATENG 1 (24), DIY 2 (27), JATIM 1 (28), KALSEL 2 (38), KALTIM 2 (40), dan GORONTALO (48). Berdasarkan posisi objek 12, 13, 15, 19, 24, 27, 28, 38, 40, dan 48 pada biplot, menunjukkan objek-objek tersebut atau provinsi tersebut mempunyai prestasi yang unggul pada mata kuliah Fisika, Kalkulus, Pengantar Matematika dan Kimia, sebaliknya provinsi-provinsi tersebut mempunyai prestasi di bawah rata-rata pada mata kuliah Pengantar Kewirausahaan, Agama, dan Sosiologi Umum. Kelompok 3, terdiri dari provinsi RIAU 1 (7), JAMBI 1 (9), JAMBI 2 (10), KEP.BABEL 1 (16), DKI JAKARTA 1 (18), BANTEN 1 (22), DIY 1 (26), JATIM 2 (29), dan PAPUA 1 (53). Berdasarkan posisi objek 7, 9, 10, 16, 18, 22, 26, 29 dan 53 pada biplot, digambarkan objek-objek tersebut searah dengan semua peubah. Posisi tersebut menunjukkan bahwa objek-objek tersebut atau provinsi tersebut mempunyai prestasi di atas rata-rata dari semua mata kuliah dan nilai IPK. Pada peringkat IPK kelompok ini berada berdekatan, sehingga kedekatan posisi objek tersebut menjelaskan posisi peringkat IPK.