FAMILI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN DENGAN ORDE KONVERGENSI ENAM. Oktario Anjar Pratama ABSTRACT

Transkripsi

1 FAMILI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN DENGAN ORDE KONVERGENSI ENAM Oktario Anjar Pratama Mahasiswa Program Studi S Matematika Dosen Jurusan Matematika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Bina Widya Pekanbaru oktarioanjar@gmail.com ABSTRACT This article discusses the development of a family derivative free iterative method with nine parameters for solving nonlinear equations. Analytically it is showed that this iterative method has the order of convergence six. Numerical simulation shows that the proposed methods are better than Newton method Wang method and Neta method. Keywords: Iterative methods derivative free convergence order sixth order ABSTRAK Artikel ini membahas tentang pengembangan famili metode iterasi bebas turunan dengan sembilan parameter untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Secara analitik ditunjukkan bahwa famili metode iterasi ini memiliki orde konvergensi enam. Simulasi numerik menunjukkan bahwa metode tersebut lebih baik bila dibandingkan dengan metode Newton metode Wang dan metode Neta. Kata kunci: Metode iterasi bebas turunan orde konvergensi orde enam. PENDAHULUAN Pada bidang matematika terdapat berbagai persoalan yang sering dijumpai untuk menentukan akar dari persamaan nonlinear fx = 0. Apabila persamaan tersebut mempunyai bentuk sederhana penyelesaiannya dapat dilakukan secara analitik yang memiliki solusi eksak karena error yang dihasilkan sama dengan nol. Tetapi pada beberapa kasus persamaan nonlinear tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik sehingga digunakan cara alternatif yaitu dengan bantuan metode numerik berupa metode iterasi yang memberikan solusi aproksimasi sampai ketelitian tertentu.

2 Salah satu metode numerik yang sering digunakan untuk mencari akar dari suatu persamaan nonlinear adalah metode Newton [3 h. 67] yang memiliki orde konvergen kuadratik di daerah akar γ [2 h. 99] dan indeks efisiensi adalah 2 2 =.44 [9 h. 2]. Dalam perkembangannya metode Newton banyak mengalam modifikasi tujuannya untuk mempercepat kekonvergenan dan mengurangai evaluasi fungsi. Selain metode Newton terdapat beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan nonlinear diantaranya modifikasi metode Jarrat yang dikembangkan oleh Wang dan Kou [0] yang memiliki orde konvergensi enam dan indeks efisiensinya adalah 6 6 =.348. Selanjutnya modifikasi metode Ostrowski yang dikembangkan oleh Neta [6] yang memiliki orde konvergensi enam dengan indeks efisiensi 6 4 =.565. Pada artikel ini di bagian dua dibahas metode iterasi bebas turunan dengan orde konvergensi enam yang merupakan tinjauan dari artikel Khattri dan Argyros [5]. Kemudian dilanjutkan di bagian tiga dengan melakukan simulasi numerik menggunakan empat persamaan nonlinear. 2. FAMILI METODE ITERASI BEBAS TURUNAN DENGAN ORDE KONVERGENSI ENAM Metode iterasi tiga langkah bebas turunan dengan kekonvergenan orde enam diperoleh dari hasil modifikasi metode Newton. Bentuk dari metode Newton yaitu x n+ = x n fx n n = f x n dengan tebakan awal x 0 dan f x n 0 untuk setiap n. Bentuk turunan pertama pada metode Newton di taksir dengan pendekatan backward-difference [4 h. 52] untuk f x n pada x n dapat ditulis Misalkan h = Kfx n persamaan 2 menjadi f x n fx n fx n h. 2 h f x n fx n fx n Kfx n. 3 Kfx n Selanjutnya persamaan 3 disubstitusikan ke metode Newton pada persamaan sehingga diperoleh langkah pertama metode iterasinya dengan bentuk iterasi y n = x n Kfx n 2 fx n fx n Kfx n. 4 2

3 Kemudian langkah kedua dengan menggunakan persamaan 4 diperoleh bentuk iterasi z n yaitu fx n fy n z n = y n K + Aw x n y n + Bw x n y n 2 fx n fx n Kfx n + Cw 2 x n y n + Dw 2 x n y n 2. 5 Langkah ketiga dengan menggunakan persamaan 4 diperoleh bentuk iterasi x n+ yaitu fx n fz n x n+ = z n K + Ew x n y n + F w x n y n 2 fx n fx n Kfx n + Gw 2 x n y n + Hw 2 x n y n 2 + Iw 3 y n z n 6 dengan K 0 dan A B C D E F G H I R dan fungsi w w 2 dan w 3 diberikan sebagai berikut w x n y n = fy n w 2 x n y n = w 3 y n x n = fz n fy n. fx n fy n fx n Kfx n Kemudian persamaan 7 disubstitusikan ke persamaan 4 5 dan 6 sehingga bentuk iterasi tiga langkah bebas turunan dengan orde enam menjadi y n = x n K z n = y n K x n+ = z n K fx n 2 fx n fx n Kfx n fx nfy n fx n fx n Kfx n fy +C n + D fx n Kfx n fx n fz n fx n fx n Kfx n fy +G n + H fx n Kfx n + A fyn fx n + B fyn fx n fy n fx n Kfx n 2 + E fy n fx n + F fy n fx n fy n fx n Kfx n 2 + I fz n fy n Metode iteras i tiga langkah ini memerlukan perhitungan empat fungsi periterasinya yaitu fx n fx n Kfx n fy n dan fz n. Selanjutnya akan ditunjukkan analisis konvergensi dari metode iterasi tiga langkah bebas turunan pada Teorema. Teorema Misalkan fungsi f : L R R adalah fungsi yang mempunyai turunan secukupnya dari akar γ L pada interval terbuka L. Jika x 0 cukup dekat ke γ maka metode iterasi yang didefinisikan oleh persamaan

4 mempunyai kekonvergenan orde enam dengan K 0 dan A = C = E = G = B = F = α D = H = β I = η R dan memenuhi persamaan error e n+ = c 2 + Kc c 5 c 2 2αK 2 c 2 c 2 2K 2 c 2 2c 2 2αKc c 2 Kc 3 + 5c 2 2Kc + c 2 2α + c c 3 5c c 2 2β c 2 2αK 2 c 2 + K 2 αc 2 c 2 2η + c 2 2K 2 c 2 K 2 c 2 c 2 2η + 2c 2 2αKc 2Kαc c 2 2η + c 2 Kc 3 Kc 2 ηc 3 + 5Kc c 2 2η 6c 2 2Kc c 2 2α + αc 2 2η + c ηc 3 c c 3 + 6c 2 2 5c 2 2η + c 2 2ηβe 6 n + Oe 7 n. 9 Bukti. Misalkan γ adalah akar sederhana dari fungsi f maka fγ = 0 dan f γ 0. Dengan melakukan ekspansi Taylor [ h. 89] dari fx n di sekitar x n = γ sampai orde enam dan mengabaikan orde yang lebih tinggi diperoleh fx n = fγ + f γx n γ + 2 f γx n γ f γx n γ f 4 γx n γ f 5 γx n γ f 6 γx n γ 6 + Ox n γ 7. 0 Karena e n = x n γ dan fγ = 0 maka persamaan 0 dapat ditulis fx n = f γe n + 2 f γe 2 n + 6 f γe 3 n + 24 f 4 γe 4 n + 20 f 5 γe 5 n f 6 γe 6 n + Oe n 7. Misalkan c k = f k γ k! k = maka persamaan dapat ditulis fx n = c e n + c 2 e 2 n + c 3 e 3 n + c 4 e 4 n + c 5 e 5 n + c 6 e 6 n + Oe n 7. 2 Selanjutnya hitung fx n 2 dengan menggunakan persamaan 2 diperoleh fx n 2 = c 2 e 2 n + 2c c 2 e 3 n + c c c 3 e 4 n + 2c c 4 + 2c 2 c 3 e 5 n + 2c 2 c 4 + 2c c 5 + c 2 3e 6 n + Oe 7 n. 3 Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor dari fx n Kfx n di sekitar x n Kfx n = γ dan menggunakan x n = e n + γ didapat fx n Kfx n = 7 c i e n + γ Kfx n i i= = c e n + γ Kfx n + c 2 e n + γ Kfx n 2 + c 3 e n + γ Kfx n 3 + c 4 e n + γ Kfx n 4 + c 5 e n + γ Kfx n 5 + c 6 e n + γ Kfx n 6 + Oe n + γ Kfx n

5 Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan 2 ke persamaan 4 didapat fx n Kfx n = c + Kc e n + c 2 K 2 c 2 3Kc + e 2 n + 3c 3 K 2 c 2 + 2K 2 c 2 2c c 3 K 3 c 3 2Kc c 3 4c Kc 3 e 3 n + + Oe 7 n. 5 Kemudian fx n fx n Kfx n dihitung dengan menggunakan persamaan 2 dan persamaan 5 diperoleh fx n fx n Kfx n =Kc 2 e n + 3c Kc 2 c 2 K 2 c 2 e 2 n + c 3 K 3 c 3 + 2Kc 2 2 3c 3 K 2 c 2 + 4c Kc 3 2K 2 c 2 2c e 3 n + + Oe 7 n. 6 Jika persamaan 3 dibagi dengan persamaan 6 maka deng;an menggunakan deret geometri [8 h. 730] diperoleh fx n 2 fx n fx n Kfx n = K e n + c 2 + Kc e 2 n 2Kc 2 Kc Kc 2c 2 c 2 K 2 c c c 3 + c 3 K 2 c 3 3c 3 Kc 2 2c 2 2e 3 n + + Oe 7 n 7 Selanjutnya persamaan 7 dikalikan dengan K dan substitusikan ke persamaan 8 maka diperoleh y n = γ c 2 + Kc e 2 n + 2c c c 2 c 3 3c 2 Kc 3 + c 3 K 2 c 3 2c c 2 2Kc c 2 2K 2 c 2 e 3 n + Oe 7 n. 8 Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor dari fy n di sekitar y n diperoleh = γ fy n = fγ + f γy n γ + 2! f γy n γ 2 + 3! f γy n γ 3 + 4! f 4 γy n γ 4 + 5! f 5 γy n γ 5 + 6! f 6γy n γ 6 + Oy n γ 7. 9 Selanjutnya persamaan 8 disubstitusikan ke persamaan 9 diperoleh fy n = c 2 + Kc e 2 n + c K 2 c 2 2c 2 3c 3 Kc 2 2c c 3 K 2 c 3 + 2Kc 2 2c + 2c c 3 e 3 n + Oe 7 n. 20 Lalu persamaan 20 dibagi dengan persamaan 2 dengan menggunakan 5

6 deret geometri diperoleh fy n fx n = c 2 + Kc e n + 2c c c 2 c 3 + 3Kc 2 2c K 2 c 2 2c 2 3c 3 Kc 2 3c c 3 K 2 c 3 e 2 n c 3 3c 4 c 2 4c 2 Kc 3 c 2 + 0c 3 2c K + 6c 3 Kc 4 8c c 4 K 3 c 5 5c 3 2c 2 K 2 4c 4 K 2 c 4 + c 3 K 3 c c 2 K 2 c 3 c 3 + 0c 2 c 3 c 2c 3 K 3 c 2 c 4 e 3 n + + Oe 7 n. 2 Jika persamaan 20 dibagi persamaan 5 dengan menggunakan deret geometri didapat fy n fx n Kfx n =c 2 e n c 2 c c kc 2 3 2c 2 2kc 2c c 3 + 3c 2 2e 2 n + c c 3 4 k 2 c 4 4c 3 K 2 c 2 c 3 + 3K 2 c 3 2c 2 3c 3 Kc 4 + c 3 Kc 2 c 2 8Kc 3 2c + 3c 2 c 4 0c 3 c 2 c + 8c 3 2e 3 n + Oe 7 n. 22 Selanjutnya persamaan 2 dikalikan ke persamaan 20 diperoleh fx n fy n = c c 2 + Kc e 3 n + 2c c 3 3c 2 Kc 3 + c 3 K 2 c 3 c c 2 2Kc c 2 2K 2 c 2 e 4 n + Oe 7 n. 23 Selanjutnya persamaan dan 22 disubstitusikan ke persamaan 8 diperoleh z n = c2 2 + Kc c 2 AKc Kc C A + 2e 3 n + c 2 4c 2 c Kc 3 3 9c 2 2 9c 2 2K 2 c 2 + 5c 2 2Kc 2c 3 K 3 c 4 + 9c 3 K 2 c 3 + 2c 2 2K 3 c 3 + 7c c 3 + 7c 2 2A + 7c 2 2C 5c 2 2AKc + c 2 2K 2 c 2 A 0c 2 2Kc C + 0Ac 2 Kc 3 8Ac 3 K 2 c 3 + 2Ac 3 K 3 c 4 3Ac 2 2K 3 c 3 + 3Bc 2 2Kc 3Bc 2 2K 2 c 2 + Bc 2 2K 3 c 3 + 6Cc 2 Kc 3 2Cc 3 K 2 c 3 + 4Cc 2 2K 2 c 2 + Dc 2 2Kc Dc 2 2 Bc 2 2 4Cc c 3 4Ac c 3 e 4 n + Oe 7 n. 24 Kemudian dengan melakukan ekspansi Taylor dari fz n di sekitar z n = γ didapat fz n = fγ + f γz n γ + 2! f γz n γ 2 + 3! f γz n γ 3 + 4! f 4 γz n γ 4 + 5! f 5 γz n γ 5 + 6! f 6 γz n γ 6 + Oz n γ

7 Lalu persamaan 24 disubstitusikan ke persamaan 25 diperoleh fz n = c2 2 c + Kc AKc Kc C A + 2e 3 n + + Oe 7 n. 26 Jika persamaan 26 dibagi dengan persamaan 20 dengan menggunakan deret geometri diperoleh fz n fy n =c 2 AKc Kc C A + 2e n c c c 2 3 K 2 c 3 + Ac 3 K 2 c 3 + Bc 2 2K 2 c 2 2c 2 2K 2 c 2 A + c 2 2K 2 c 2 + 3c 2 Kc 3 3Ac 2 Kc 3 Cc 2 Kc 3 4c 2 2Kc 2Bc 2 2Kc + 6c 2 2AKc + 3c 2 2Kc C 3c c 3 + 2Ac c 3 + 2Cc c 3 5c 2 2A 5c 2 2C + Dc c Bc 2 2e 2 n + + Oe 7 n. 27 Kemudian persamaan 2 dikali dengan persamaan 26 didapat fx n fz n = c Kc AKc Kc C A + 2e 4 n + + Oe 7 n. 28 Lalu persamaan 28 dibagi dengan persamaan 6 dapat ditulis fx n fz n fx n fx n Kfx n = c2 2 + Kc AKc Kc C A + 2e 3 n c Oe 7 n. 29 Selanjutnya persamaan dan 27 disubstitusikan ke persamaan 8 diperoleh x n+ = γ + c3 2 c 3 θ 4 e 4 n c2 2 c 4 Karena x n+ = e n+ + γ maka diperoleh e n+ = c3 2 c 3 θ 4 e 4 n c2 2 c 4 θ 5 e 5 n + c 2 θ c 5 6 e 6 n + Oe 7 n. θ 5 e 5 n + c 2 θ c 5 6 e 6 n + Oe 7 n 30 7

8 dengan nilai θ sebagai berikut θ 4 = + Kc AKc Kc C A + 2IAKc IA + Kc IKc EKc 2 + G + E + 2I IC θ 5 =26c c 3 K 2 c 3 57c 2 2Kc + 50c 2 Kc 3 + 9c 3 K 3 c c 2 2K 2 c 2 9c 2 2K 3 c 3 3Bc 2 2K 2 c 2 G Bc 2 2K 4 c 4 E + Bc 2 2K 3 c 3 G Dc 2 2K 2 c 2 E + Dc 2 2Kc G θ 6 = 489c 3 K 2 c 2 2c c 3 K 3 c 4 c c 4 Kc 2 c c 4 K 2 c 2 c 4 66c 4 K 3 c 2 c c 4 K 4 c 2 c c 3 Kc 2 2c c 4 c 2 c 2 99Kc 2 3c 3 + 9K 2 c 2 3c 4 73K 3 c 5 c c 2 3c 2 + 3A 2 c 2 3K 5 c 7 I + 5Bc 4 2K 4 c 4 F 5B 2 c 4 2K 4 c 4 I + 6Bc 4 2K 5 c 5 E 7Bc 4 2K 4 c 4 G Bc2 4 K 5 c 5 F + B 2 c 4 2K 5 c 5 I + 3Cc 6 K 4 c 2 3E 3Cc 5 K 3 c 2 3G + 3C 2 c 5 K 3 c 2 3I. Dari persamaan 30 untuk mendapatkan orde konvergensi enam koefisien e 4 n dan e 5 n haruslah nol. Perhatikan θ 4 agar θ 4 = 0 asumsikan jika b = + Kc = 0 b 2 =AKc Kc C A + 2 = 0 b 3 =IAKc IA + Kc IKc EKc 2 + G + E + 2I IC = 0. Untuk memperoleh θ 4 = 0 jika salah satu dari b b 2 dan b 3 bernilai nol. Misalkan dipilih A = disubstitusikan ke b 2 maka diperolah C =. Selanjutnya nilai A = C = disubstitusikan ke b 3 diperoleh Kc EKc 2 + G + E = 0. Misalkan E = maka diperoleh nilai G =. Dengan demikian dari θ 4 diperoleh nilai A = C = E = dan G =. Jika disubstitusikan ke θ 4 maka diperoleh nilai θ 4 = 0. Kemudian substitusikan A = C = E = dan G = pada θ 5 dan dengan menggunakan Maple diperoleh θ 5 = 0. Karena nilai θ 4 = θ 5 = 0 dengan parameter A = C = E = G = maka parameter B D F H dan I dapat dipilih sembarang bilangan R. Misalkan dipilih [5] B = α D = β F = α H = β I = η dengan α β η R maka diperoleh nilai θ 6 pada e n+ yaitu e n+ = c 2 + Kc c 5 c 2 2αK 2 c 2 c 2 2K 2 c 2 2c 2 2αKc c 2 Kc 3 + 5c 2 2Kc + c 2 2α + c c 3 5c c 2 2β c 2 2αK 2 c 2 + K 2 αc 2 c 2 2η + c 2 2K 2 c 2 K 2 c 2 c 2 2η + 2c 2 2αKc 2Kαc c 2 2η + c 2 Kc 3 Kc 2 ηc 3 + 5Kc c 2 2η 6c 2 2Kc c 2 2α + αc 2 2η + c ηc 3 c c 3 + 6c 2 2 5c 2 2η + c 2 2ηβe 6 n + Oe 7 n. 3 8

9 Dari persamaan 3 dan berdasarkan definisi persamaan error [7] maka metode iterasi 3 memiliki orde konvergensi enam dan mempunyai 6 4 =.565. Persamaan 3 dari teorema di atas terbukti untuk orde konvergensi enam. Metode Pertama Orde Enam MO6 Misalkan α = β = 5 dan η = disubstitusikan ke persamaan 8 diperoleh 2 fx y n = x n K n 2 fx n fx n Kfx n fx z n = y n K nfy n + fyn fy n x n+ = z n K fx n fx n Kfx n + fy n + 5 fx n Kfx n 2 fx n fz n fx n fx n Kfx n + fy n + 5 fx n Kfx n fx n 2 fx n fy n fx n Kfx n + fy n fy n fx n 2 fx n fy n fx n Kfx n 2 + fz n fy n dengan persamaan error-nya adalah e n+ = c3 2 27c 2 4c 2K 3 c c 2 2K 2 c + 22c 3 K 2 c 2 32c Kc 3 + 4c 3 + 6K 4 c 3 c 2 2 4c 3 K 3 c 3 e 6 n + Oe 7 n.. 32 Metode Kedua Orde Enam M2O6 Misalkan α = β = η = disubstitusikan ke persamaan 8 diperoleh y n = x n K z n = y n K x n+ = z n K fx n 2 fx n fx n Kfx n fx nfy n fx n fx n Kfx n fy + n + fx n Kfx n fx n fz n fx n fx n Kfx n fy + n + fx n Kfx n + fyn fx n + fyn fx n fy n fx n Kfx n 2 + fy n fx n + fy n fx n fy n fx n Kfx n 2 + fz n fy n. 33 dengan persamaan error-nya adalah e n+ = c3 2 2c 2 c 2K 2 c 2 5 5c 2 2Kc 4c 3 K 2 c 3 + 5; c 2 Kc 3 + 6c 2 2 2c c 3 3c 2 2K 3 c 3 + c 3 K 3 c 4 e 6 n + Oe 7 n. 9

10 4. SIMULASI NUMERIK Simulasi numerik digunakan untuk membandingkan banyak iterasi yang diperlukan metode Newton MNewton metode Wang MWang metode Neta MNeta dan metode iterasi bebas turunan dengan orde enam MO6 serta M206 dalam menemukan akar dari persamaan nonlinear. Adapun fungsifungsi yang digunakan adalah. f x = x 3 + 4x f 2 x = x 3 3. f 3 x = x f 4 x = x 5 + x 4 + 4x 2 5. Dalam melakukan simulasi numerik dari beberapa contoh fungsi persamaan nonlinear di atas digunakan program Maple3 dengan menggunakan toleransi serta ditentukan kriteria pemberhentian jalannya program komputasi yang sama untuk semua metode yaitu jika nilai mutlak fungsi lebih kecil dari toleransi yang diberikan atau jika selisih nilai mutlak antara dua akar hampiran yang berdekatan bernilai lebih kecil dari toleransi yang diberikan atau jika jumlah iterasi mencapai maksimum iterasi. Hasil dari perbandingan komputasi untuk keempat fungsi diatas ditunjukan pada Tabel. Tabel : Perbandingan hasil komputasi dari beberapa metode iterasi f i x 0 Metode n fx n COC MNewton e MNeta e MWang e f.5 K = MO e f M2O6 K = e K = e K = e MNewton e MNeta e MWang e MO6 M2O6 K = e K = e K = e K = e

11 f f 4.2 MNewton e MNeta e MWang e K = MO e M2O6 K = e K = e K = e MNewton e MNeta e MWang e MO6 M2O6 K = e K = e K = e K = e Secara keseluruhan berdasarkan Tabel semua metode yang dibandingkan berhasil menemukan akar yang diharapkan dari semua fungsi yang diberikan dengan toleransi Dari segi jumlah iterasi dapat dilihat bahwa metode Newton menghasilkan lebih banyak jumlah iterasi jika dibandingkan dengan metode pembanding lainnya. Sedangkan metode Wang metode Neta MO6 dan M2O6 memiliki jumlah iterasi yang sama dan tidak terlihat perbedaan yang signifikan. Hal ini terjadi karena orde konvergenan dari setiap metode sama yaitu memiliki orde kekonvergenan enam. Sehingga metode iterasi bebas turunan dengan orde enam MO6 dan M2O6 dapat dikatakan sebagai metode alternatif untuk metode dikelasnya. Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada dosen Pembimbing Khozin Mu tamar M.Si. yang telah memberikan arahan dalam penulisan artikel ini. DAFTAR PUSTAKA [] R. G. Bartle dan D. R. Shebert Introduction to Real Analysis Fourth Ed. John Wiley & Sons New York 20. [2] W. Cheney dan D. Kincaid Numerical Mathematics and Computing Third Ed. Wadsworth Belmont 980. [3] J. D. Faires dan R. L. Burden Numerical Analysis Ninth Ed. Brooks/Cole Boston 20. [4] D. Harijono Metode Numerik. Penerbit PT. Gramedia Pustaka Utama Jakarta 2000.

12 [5] S. K. Khattri dan I. K. Argyros Sixth order derivative free family of iterative methods Applied Mathematics and Computation [6] B. Neta A Sixth-order family of methods for nonlinear equations International Journal of Computer Mathematics [7] J. R. Sharma dan R. K. Guha Some modified Newton s methods with fourth-order convergence Advances in Applied Science Research [8] J. Stewart Single Variable Calculus Seventh Ed. Brooks/Cole Belmont 202. [9] J. F. Traub Iterative Methods for the Solution of Equations Prentice Hall Inc Englewood Cliffs 964. [0] X. Wang dan J. Kou A Variant of Jarratt method with sixth-order convergence Applied Mathematics and Computation