BAB 2 LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 6 A LADASA EORI Pd bb k dbh beberp koep-koep dr yg berhubug d edukug peetu olu optl lh progr ler pretrk Deg dek, k eperudh dl hl pebh pd bb berkuty Progr Ler Progr ler erupk utu etode opt yg dpt dpk utuk peyele lh yg uul deg fug tuu d kedl lh dl betuk fug ler dr vrbel-vrbel keputuy Kedl lh progr ler ugk dl betuk ke tu ketdk etuk uu lh progr ler dpt dytk dl betuk tdr berkut Dl betuk Sklr Mu Deg kedl z tu dl betuk Mu z Deg kedl d b b b b,,,, 0,,,

2 7 Dl betuk trk Mu z Deg kedl 0 b A d A b b b b,, Krktertk lh progr ler dpt dbedk dl betuk tdr ytu : Fug tuu dlh e euk Seu kedl berbetuk per 3 Seu vrbel keputu oegtf 4 Seu l kutt bt oegtf Setp lh progr ler dpt dletkk ke dl betuk tdr deg egguk trfor berkut : Peku utu fug z dlh ekvle deg peu dr egtf fug yg d eblky Cotoh : Fug tuu Mu z Ekvle kepd ku z z

3 Jk utu kedl uul dl betuk ketdk lebh kel tu deg ( ) epert k + k + k b k k tu dpt dubh ke dl betuk ke deg ebhk tu vrbel pegurg tdk egtf ebg berkut : b k + k + + k + + k S hly k kedl uul dl betuk ketdk lebh ber tu deg ( ) epert k + k + k b k k tu dpt dubh ke dl betuk ke deg egurgk utu vrbel epert b k + k + + k + k d dlh vrbel oegtf yg dkel ebg vrbel + pebh S k utu per dpt ellu dbut tdk egtf deg eglk kedu deg d rh pertdk dblk k kedu dklk 8 3 Vrbel Sebg tu eu vrbel dktk uretrted k erek dpt elk l egtf tu potf Vrbel uretrted dpt dekprek dl du vrbel tdk egtf deg egguk ubtu D, 0 Vrbel uretrted d eberp terolog yg dguk dl progr ler d beberp teore petg yg berhubug deg lh dlh ebg berkut : Hpu Kove, erupk utu kolek dr ttk-ttk edek hgg k d erupk etp du ttk dl kolek, k gbug ege gr kedu ttk-ttk terebut ug berd dl kolek

4 Jk S eytk hpu kove, k S dpt ddefk er tetk ebg berkut : Jk, S, k S d α + ( α ), 0 α 9 Vertek ( ttk ektr ), erupk utu ttk pd hpu kove yg tdk terletk pd gbug ege gr kedu ttk l pd hpu 3 Solu lyk, erupk etp olu dl lh progr ler yg elk kedl-kedl A b d 0 4 Solu b, erupk utu olu d ( - ) vrbel hpu deg ol Solu b dpt dperoleh deg ebut ( - ) vrbel deg ol d eyelek per deg ult 5, erupk kolek dr vrbel-vrbel hpu yg tdk deg ol utuk eperoleh olu b 6 Solu lyk b, dlh olu b yg eeuh kod oegtf dr per 0, 7 Solu lyk b odegeer, dlh utu olu lyk b yg er tept epuy l yg potf 8 Solu optl, dlh utu olu lyk yg egoptlk fug tuu 9 Solu b optl, erupk utu olu lyk b yg fug tuuy dlh optl ( terbk )

5 0 eore Derh lyk S dr utu lh progr ler dlh kove ukt :Derh lyk S dr utu lh progr ler tdr ddefk ebg S { A b, 0} Mlk ttk d teruk hpu lyk S edek hgg A b, 0 () A b, 0 () Atu deg eglk per () deg λ d per () deg (- λ ) d eulhk erek,k dperoleh D A [ λ ( λ ] + λ b +(- λ )b b ) A b λ λ λ + (- λ ) Jd ttk 0 λ, 0 Oleh kre tu teore terbukt λ eeuh kedl d k λ eore Sutu ttk dlh utu ttk ektr dr hpu { : A b, 0} k d hy k dlh olu lyk b ukt : Ak dperlhtk k dlh olu lyk b k ug erupk ttk ektr Pert-t, duk dlh ob ehgg 0 vrbel khr dr Mlk ed b vertbel eu utuk Deg kotrdk k dbuktk : Jk buk utu ttk ektr k terdpt (du) ttk lyk yg berbed, y d z eeuh λy + ( λ)z deg 0 λ Pd b yg y d z dpt dtul ehgg y 0 d 0 y y d y z z z z Kre ( ) k y d z dlh lyk, 0 λy + λ z d 0 λ, eu bg pd k dlh oegtf, d kre tu dpt dpulk

6 y z 0 Jug kre, y, z dlh lyk, erek eeuh kedl per lh ehgg y z b Kre dlh vertbel, y z, kotrdk deg u bhw y d z dlh ttk yg berbed dr Oleh kre tu, dlh ttk ektr Ak dperlhtk k dlh ttk ektr k dlh olu lyk b I ug k dbuktk deg kotrdk Sutu ttk ektr hru ed lyk edek hgg vrbel ol terkhr dpt dtul ebg Dpt dtul A (, ) A b d 0 Deg egurutk vrbel ehgg d 0 d 0 d d dlh koefe yg eu utuk d, er berturut-turut ( dpt duk ebg trk buur gkr ) Jk kolo beb ler k dlh olu lyk b d tdk perlu dbuktk Jd, dggp kolo dlh bergtug ler d dkotrukk ttk lyk y d z eeuh dpt ed ttk ektr Mlk bergtug ler k terdpt blg rll y + z, deg eperlhtk tu, tdk ed kolo ke dr Jk kolo p,, p yg tdk euy ol, k edek hgg p p + + p k 0 Jk p ddefk ebg ( p ) p k + k p,, k per d t dpt dtul ebg 0 Ctt, ( ± ) ± λ b λ utuk eu l λ Kre > 0 utuk etp p p l potf terkel ε k dlk + ε p > 0 d ε p > 0 Mlk + εp y d z εp Keud dperoleh y + z yg egekprek ebg kob dr du ttk berbed dl hpu kove, tdk dpt terd tu kotrdk deg u d t kre dlh utu ttk ektr Jd dlh beb ler d oleh kre tu dlh utu olu lyk b p

7 Solu Ste Per Ler Mellu Oper Pvot Sutu te per ler erupk hpu terbt per ler d tp-tp per elk vrbel yg Sutu olu te per ler dlh utu vektor yg er ult dlh olu utuk tp-tp per dl te Hpu olu te per ler dlh hpu dr eu olu te Mlk d buh te per berkut : + (E ) + + b + (E ) (3) + + b b (E ) Adk hpu per elk olu khuu, tu r peyele te per ler ellu pereduk per ke utu betuk yg dkethu epert betuk tdr Dr lbr ler dr dpt dkethu bhw olu dr per (3) tdk k berubh eurut oper berkut : Setp per E r dgtk oleh per ke r d k erupk utu kott buk ol, d Setp per E r dgtk oleh per E r + ke d E erupk per l dr te Deg peggu oper dr, te per (3) dpt dreduk ke utu betuk ekvle yg eu epert berkut Pert beberp vrbel dplh d dob del dr eu per keul per ke ( d ol ) I dpt delek deg ebg per ke deg tdk d egurg hl kelpt dr tp-tp per l, k k,,, k, k +,,

8 3 Hl te per dpt dtul ebg berkut : b + + +, + 0 +, b + + +, + 0 +, (4), +, + +, + 0 +, , b + + +, + +, b +, + +, + + +, , , b , + 0 +, b D dr keterg euukk bhw d b dubh dr te l Oper pegel utu vrbel khuu dr eu per, keul dr tu per debut oper pvot Ste per (4) dhlk oleh oper pvot yg er tept elk olu yg epert hpu l dr per (3), ytu yg eeuh per (3) ug eeuh per (4) d eblky Seluty, k per (4) dbl d dlkuk utu oper pvot yg bru deg pegel, per ke, pd eluruh per keul t, t, ol tu pd kolo ke tdk k dgggu Oper pvot dpt dulg tp kl deg peggu utu vrbel dr per yg berbed hgg te per (4) tereduk ke betuk : b b (5) 0 b b

9 Ste dr per (5) dktk berd dl betuk tdr d telh dperoleh etelh egdk oper pvot Dr betuk tdr, vektor olu dpt dperoleh ebg,,,, (6) b kre hpu per (5) telh dperoleh dr per (4) hy ellu oper dr Ste per (5) ekvle deg te per (3) Jd te yg dberk pd per (6) erupk olu yg dgk utuk per (3) 4 Sebeluy, te per dl betuk te kudrt, yg terdr dr buh vrbel d per Ste terebut elk vektor olu ebg b,,,, Sekrg te terdr dr per d vrbel deg Utuk eperoleh oluy, k ddk te per kote ehgg edkty elk tu olu b + (7) + + b b Jk oper pvot berke deg etp vrbel dlkuk, ktk,,, dubh, hpu hl per dpt dtul ebg berkut : Ste Kok deg Vrbel Khuu,,, 0 0 b , , b (8) , b vrbel pvot vrbel buk pvot kott

10 5 Stu olu khuu yg dpt ellu dbl dr per (8) dlh b,,,, (9) 0, +, +,, Solu debut utu olu b kre vektor olu berd tdk lebh dr buh fktor tdk ol Vrbel pvot,,,, debut vrbel b d vrbel ly, +, +,, debut vrbel ob etu buk hy olu, tp tu dlh lh tu olu terudh yg dpt dbl dr per (8), tu eeuh 0,,,, d eeuh per b b,,,, Oleh kre tu, olu dpt debut utu olu lyk Ad keugk utuk eperoleh olu b ly dr te tdr per (8) Sutu oper pvot tbh dpt dlkuk pd te etelh te dl betuk tdr, egguk ( buk ol ) ebg fktor pvot, pq q >, d egguk etp br p ( d tr,,, ) Ste bru k h berd dl betuk tdr, tp deg ebg vrbel pvot peggt q Vrbl p yg erupk vrbel b pd betuk tdr l, tdk k p l ed vrbel b pd betuk tdr bru Ste tdr bru epuy utu olu b bru ( yg dpt ed lyk tu tdk lyk ) hly pd per (9) l dr eu vrbel b dpt berubh, er uu, ketk tu olu b bergerk ke olu b ly hy tu vrbel ol ( yg ob pd betuk tdr l ) ed buk ol ( yg ed b dl te tdr bru ) d eblky Dr keterg d t dpt dlht bg olu b berpdh ke olu b terdekt deg oper pvot Jd, tu r utuk eeuk olu optl dr lh progr ler yg dberk dlh deg ebgktk eu olu d elh tu yg lyk d eu utuk l optl fug tuu Hl lh yg ty ed dr peyele lh progr ler deg egguk etode ple

11 6 3 Metode Sple Metode ple pert kl dkebgk oleh George Dtzg pd thu 947 Metode telh terbukt efe utuk eehk perol progr ler dl kl ber Metode ple dlh utu proedur lbr d etp ter elbtk peeh utu te per utuk edptk peeh bru d utuk pegu keoptl Hl ddr dr peyele te per ler er uu Metode ple eugguhy erupk utu lgort, d lgort ple egu er berurut hpu peyele lyk b hgg dperoleh peyele optl tk wl lgort ple ellu dul deg utu hpu per yg ekup fug tuu ber- kedl lh dl betuk tdr Jd, tuu lgort ple dlh eeuk vektor 0 yg euk fug z d eeuh per-per : 0 0 b , , + + (0) b , b z z0 d,, b d z dlh kott, 0 z dytk ebg utu vrbel dr dl betuk tdr dr per (0), olu dr yg deg udh dtrk dr per (0) dlh,,,, b z z 0 () 0, +, +,,

12 7 Jk olu b lyk, l,,,, dlh oegtf d kre b 0,,,, () Setelh dteuk utu olu lyk b, k k du pkh olu lyk terebut erupk olu optl Deg elht,,,,, olu lyk b dpt dytk optl tu tdk eore berkut eyedk utu pegert dr pegdetfk ttk optl eore 4 Sutu olu b yg lyk dlh utu olu optl deg utu l fug tuu u z k eu hrg koefe 0 pd per (0) oegtf, +, +,, ukt : Dr br khr per (0), dpt dtul z0 + z (3) + Stu-tuy r etp vrbel +, +,, dpt dubh ed potf dlh deg ebut l erek deg ol d dbt ed oegtf p k > 0 utuk +, +,,, k kekk etp tdk dpt euruk l dr fug tuu z Kre tdk berubh pd vrbel ob, utuk dpt eyebbk z euru, k olu yg dhdrk hru ed optl deg l optl z deg z 0 Jd, ebg utu kepul, utu olu lyk b dpt debut ebg olu lyk optl khuu k > 0 utuk eu vrbel ob, +, +,, Jk etelh pegu keoptl, ru olu lyk dteuk tdk optl, utu perbk olu b dperoleh dr pey betuk tdr ebg berkut

13 Dr br khr per (0), fug tuu dpt dtul ebg berkut : 8 + z z + + (4) 0 z 0 utuk olu yg dberk oleh per () Jk edkty tu egtf, l dr z dpt dreduk deg pebut > 0 yg eu Deg kt l, vrbel ob yg hrg koefe egtf, dbut ed utu vrbel b utuk ereduk l fug tuu Pd oper pvot, tu dr vrbel b k ed vrbel ob, d kre tu l dr vrbel b yg bru dtur utuk eghlk l z yg lebh kel dr z Jk d terdpt lebh dr tu 0 < 0, dek dr vrbel ob yg dbut b dplh edek hgg u < 0 (5) Jk terdpt lebh dr tu yg epuy l u, k lh tu dr erek dplh ebg er ebrg Setelh dputuk vrbel ed vrbel b, ly dr l ol ekrg dkk d dperk pegruhy pd ru vrbel bru Oleh per (0), dhubugk ebg b, b 0 b, b 0 b, 0 b z z +, 0 (7) 0 < (6) Kre < 0, per (7) egurk bhw l ehruy ed lebh ber keugky utuk ereduk l z ebyk ugk Ak tetp, pd proe kek l, beberp vrbel (,,, ) pd

14 per (6) dpt ed egtf Itu terd k eu koefe 0,,,, 9, k dpt dbut terbt bery tp pebut etp < 0,,,, Dl ebuh otoh ku, l u z dlh u tk terbt d lh progr ler dktk elk olu tdk terbt D l, k edkty tu potf, l ku dpt dbl * tp pebut egtf Jk d d lebh dr tu > 0, l terber ytu dpt dbl dr peber l u perbdg b yg > 0 Jd, b r r b u > 0 (8) Keud r dplh er ebrg dl ku er, uk eu b > 0 Jk etp b yg > 0 dlh ol pd per (6) k tdk dpt dkk oleh ulh berppu, epert utu olu debut utu olu degeer Pd ku olu b yg lyk odegeer, utu olu lyk b bru dpt dkotrukk deg utu l yg lebh redh dr fug tuu ebg berkut * Deg peubttu l yg dberk oleh per (6) d (7) dperoleh : r b * 0 0, * * 0 + z0 0,,,, d r (9) +, +,, d z z (0) yg deg ept dpt dlht utuk ed utu olu lyk yg berbed dr ebeluy Kre > 0 pd per (8), utu oper pvot tuggl pd elee dl te per (0) k ep ke utu betuk

15 30 tdr bru yg olu b dr (9) dpt deg udh dperoleh Jug per (0) euukk bhw olu lyk b eu utuk l fug tuu yg lebh redh dbdgk per () Solu lyk b dpt lg dperk keoptly deg elht pkh eu > 0 pd betuk tdr bru Jk olu tdk optl, k proedur keeluruh hru dulg, proedur bergerk ke olu b ly dr tu olu lyk b ekrg Pd lgort ple, proedur dulg dl utu r tertf hgg lgort eeuk lh tu hl berkut : Sutu kel dr olu lyk optl yg z tu Sutu olu lyk b optl deg eu 0,,,, Kre hy d beberp r yg terbt utuk elh utu hpu vrbel b yg kelur dr vrbel, proe tertf lgort ple k berkhr pd beberp putr yg terbt Lgkh-lgkh etode ple ug dpt dturuk dl betuk trk, tepty deg egguk ver trk Sutu forul uu utuk lgkh- lgkh etode ple dl betuk vektor trk Aggp bhw lh epuy vrbel d per kedl yg beb ler Mu z Deg kedl : A b 0 Mlk ed utu olu lyk b deg vrbel terurut D dlh vektor vrbel b d dlh vektor vrbel ob (ekrg berl ol) Fug tuu dpt dtul ebg : z + D koefe utuk vrbel b ytu d koefe utuk vrbel ob ytu S hly kedl dtul deg dtulk kebl ebg + b Kedl dpt b Oleh perubh l vrbel

16 3 A d z z+ dpt dguk utuk ob, eu olu yg ugk utuk A b dpt dperoleh Jk forul dubttuk ke dl forul utuk z k hl yg dperoleh dlh : z b + ( ) Jk y ( ) k z dpt dtulk ebg z y b + ( y ) Vektor y erupk vektor pegl ple Aru l vrbel d tuu dperoleh deg pebut 0 I dytk oleh b b d z b Mlk ed elee pd vektor ( ) eu utuk Koefe debut hrg reduk dr Mk t z + z Utuk egu keoptl, p yg k terd pd fug tuu k dperk k tp-tp vrbel ob dkk dr ol Jk > 0, fug tuu k k, k 0, tuu tdk k berubh d k < 0, tuu k euru Oleh kre tu k < 0 utuk beberp k fug tuu dpt dperbk k dk dr ol Jk b ekrg tdk optl k utu vrbel deg < 0 dpt dplh utuk uk b Sekl vrbel uk telh dplh, keud l hru dtetuk ber keky ebelu kedl keegtf dlggr I eetuk vrbel ( k d ) yg k egglk b Vrbel b ddefk oleh b D deg pegeul ( ), eu kopoe dlh ol Jd b A d A erupk vektor A d A dlh kolo ke dr A Kopoe per dperk deg r ) b, ( Jk k < 0 k ( ) k euru ketk vrbel uk ek d ( ) k deg ol ketk b / k Jk < 0 k ( ) k ek d

17 k 0 k 3 ( ) k tetp tdk berubh Vrbel dpt dkk epg eu vrbel tetp oegtf ytu hgg egku l, b u ;, > 0 Perbdg u dr te perbdg egdetfkk vrbel ob bru, d kre tu eetuk olu lyk b bru deg ebg vrbel b bru Forul : eetuk l bru fug tuu d vrbel b pd b ekrg Vrbel dberk l ; vrbel ob tetp ol Jk 0 utuk eu l, k tdk d tupu b k euru ly ketk dk dr ol, ehgg dpt dbut lebh ber er ebrg Pd ku fug tuu k euru tp bt ketk, egdetfkk bhw progr ler tdk epuy u terbt Sepert utu lh dktk tdk terbt Deg dek etode ple dpt dperlhtk ebg berkut Metode dwl deg utu trk b eu utuk olu lyk b, b b 0 Lgkh-lgkh lgort dberk ebg berkut : e keoptl Htug vektor y Htug koefe y Jk 0 k b ekrg optl, proedur tertf dhetk Seblky, plh utu vrbel yg eeuh < 0 ebg vrbel uk Lgkh Htug A A, koefe kedl eu utuk vrbel uk euk utu dek yg eeuh

18 33 b r r, b u ;, > 0 e perbdg eetuk vrbel yg kelur d elee pvot r, Jk 0 utuk eu, k lh tdk terbt 3 Pvot Perbhru trk b d vektor vrbel b Kebl ke lgkh pert Perhtug pd etode ple dpt dk dl betuk tbel d tbel egguk ver tr b Lgkh-lgkh yg dguk pd tbel eu deg lgkh-lgkh lgort ple d t Pd bg dr dr tbel ber koefe kedl progr ler dl betuk tdr g t br tbel terdr dr koefe fug tuuutuk eber tek, l tuu dklk -, br t tbel dberk lbel lbel kolo k ett l dr dlh z Kolo pert tbel ber vrbel b d z d vrbel b Kre tr b I, etr pd bg dr kolo k dlh b b d etr pd br dr dlh hrg reduk ekrg Pd etp ter etr dl tbel k dk pd bg b ekrg ehgg kolo k k ekup b d br t k ekup Sutu forul uu k dberk utuk tbel Sutu progr ler dl betuk tdr deg vrbel d kedl per Pd ter, vektor dr vrbel b d ob er tept duk ebg ( ) ( ) +, +,,, d,, bel yg eu utuk progr ler l d perubhy dtuukk oleh tbel

19 34 Iter 0 Vrbel bel Perubh l pd bel Sple Per - z ( 0 ) z Koefe Dr Vrbel Al Vrbel Slk S K 0 (,,, ) 0 b - - z ( 0 ) 0 (,,, ) 0 I - b b 4 eor Dult d Metode Dul Sple Setp odel progr ler elk du betuk ytu prl d dul etuk l dr utu odel progr ler debut betuk prl, edgk betuk ltertf yg dkebgk dr betuk prl debut dul Kegu betuk dul bg pr pegbl keputu dlh bhw deg erek dpt elht ltertf perlh dr yg berbed etuk prl k eghlk olu dl betuk ulh lb yg dperoleh dr eproduk brg, edgk betuk dul eberk for ege l (hrg) dr uber-uber yg ebt terpy lb terebut Sutu lh u dl betuk tdr k eu kedl bertpe d eu vrbel oegtf Mu z Deg kedl A b 0 Melk betuk dul Mku w b Deg kedl y A y y 0

20 35 Jk lh prl elk vrbel d kedl k lh dul k epuy vrbel ( tu vrbel dul utuk tu kedl prl ) d kedl ( tu kedl dul utuk tu vrbel prl ) Koefe pd tuu prl erupk koefe pd ebelh k dul, d eblky Mtr kedl pd dul dlh trpo dr tr pd prl Mlh dul dlh lh ekuk, d eu kedl bertpe d eu kedl oegtf I egrh kepd betuk tdr utuk lh ku Kedu betuk perlh d t debut pg prl dul d tu dpt dlht dr rel berkut, bhw dul dr dul dlh prl eore 5 Dul dr progr ler dul dlh progr ler prl ukt : Mlh u dl betuk tdr Mu z Deg kedl A b 0 Progr duly ytu : Mku w b y Deg kedl A y y 0 I ekvle deg lh u berkut dl betuk tdr : Mu w b y Deg kedl A y y 0 Dul lh dlh Mku z Deg kedl A b 0

21 36 Progr ler ekvle deg progr Mu z Deg kedl A b 0 yg dlh progr ler prl eberp teore berkut edukug ft-ft dr yg berhubug deg lh progr ler dul eore 5 Mlk ed utu ttk lyk utuk lh prl dl betuk tdr d lk y ed utu ttk lyk utuk lh dul, k z b y w ukt : Kedl utuk lh dul euukk bhw y A Kre 0, z y A y b b y w eore 53 Pd pg lh prl d dul, k tu lh epuy olu optl k lh yg l ug epuy lu optl d l optl keduy dlh ukt : Utuk eperudh, perlu u bhw Mlh prl epuy olu optl ( kre per prl d dul dpt bergt ) Mlh prl dl betuk tdr 3, olu utuk prl dlh olu lyk b optl * Deg egurutk vrbel d eul * dl bg vrbel b d ob : * d eul A ( ) d k X b Jk dlh hrg reduk optl eeuh * 0 tu

22 37 Mlk y ed vektor pegl ple eu utuk olu lyk b ; * y * tu y Ak dtuukk bhw y * dlh lyk utuk dul * d b y* Mk dr teore 5 euukk bhw * y * dlh olu utuk dul Peerk kelyk : y A ( ) ( * ) (, ) oleh kre tu d dul dlh A y* d y eeuh kedl dul l tuu utuk prl z w b w y b y y b b b z b z ehgg y dlh lyk utuk dul d epuy l dul yg deg * l optl prl Oleh kre tu, dr teore 5, y * dlh optl utuk dul tu oleh kre z dlh bt t utuk d oleh kre tu teore terbukt w, y eyelek dul * Metode ple prl eul peyele lh progr ler prl deg olu lyk b d egterky hgg kod optl terpeuh Mlh dul ug dpt ek etode ple, dul deg utu olu lyk utuk progr dul d dterk hgg kod optl dul terpeuh Kod optl utuk prl eu deg kod optl utuk dul Hl dturuk ebg bg dr pebukt teore 5 d tu dtuukk bhw kod optl prl 0 dlh utuk kod optl dul A y D y erupk vektor pegl ple eu pd b Jd, etode ple prl bergerk ellu br lyk prl tp b

23 tdk lyk dul p ter ereduk ketdklyk dul hgg keoptl prl terpeuh 38 Metode dul ple beker pd r dul ergerk ellu utu br lyk dul tp b tdk lyk prl, ereduk ketdklyk prl hgg kod prl terpeuh Wlupu etode dul ple dpt dlht ebg peggu etode ple utuk lh dul, u etode dul ple dpt ug dpleetk er lgug dl hubug lh prl, k utu olu lyk tered Mlk lh delek er edr pd betuk tdr deg beberp b < 0, hrg koefe reltf utuk vrbel b 0 d eu ly 0 Kre beberp b egtf, olu prl k tdk lyk d kere eu 0, olu dul yg eu k ed lyk Oleh kre tu etode dul ple berkhr ketk b ekrg dlh lyk prl d eblky, ter etode dul ple dul deg peerk l 0 Jk tdk dek, beberp etr ( ) < 0 dguk utuk ed br pvot Deg egguk rgue yg, ter etode dul ple dturuk epert pd etode ple prl Adk bhw utu vrbel ( tdk lyk hgg elee ebelh ky b < 0 epert keterg d t Seetr kedl ke pd b ekrg epuy betuk :, < ( ) b r 0 r + ) r d erupk hpu dek vrbel ob d, erupk etr pd br dr A Jk beberp etr r, < 0 d vrbel ob b dgtk ( ) pd b, k l bru k ed > 0, yg, vrbel b bru k ed lyk dk eu vrbel ob dpt uk b kre kod lyk dul ( keoptl prl ) hru tetp terpeuh Jk dlh vrbel uk, k hrg reduk bru k eeuh

24 39 l l, l, utuk l,,, ( k l k l 0) Kre tp l hru ed oegtf, ro terkel, deg, < 0 eetuk hrg reduk ed ol pert kl e perbdg eerluk perhtug r, utuk etp vrbel ob yg, < 0 Jd tu petg utuk egethu elee pd br pvot Seblky, br pvot hru dhtug Elee ob pd br yg uk dtuukk oleh e A d e dlh kolo ke dr trk dett Elee dpt dhtug oleh σ ytu peghtug br r dr keud pebetuk A e σ utuk eu vrbel ob Hrg perhtug khr hpr ketk lgkh peetp hrg etode ple prl pd Pvot yg dtuukk epert pd etode ple prl Seblky kolo pvot dhtug egguk t A A d hrg reduk ekrg egguk t t, Akhry d terbhru, t Seluty etode ple dpt dpulk ebg berkut Pd b l, hrg reduk hru eeuh 0 Ad 3 (tg) lgkh ut; te kelyk, lgkh, d pvot : e kelyk Jk b b 0, k b ekrg dlh utu ) r olu Seblky, ( dplh ebg vrbel kelur, d b < 0

25 Lgkh Pd br pvot ( br deg elee r, A, d erupk kolo ke dr trk dett ) teuk utu dek t yg eeuh 40 t, t u, ;, < 0, ob I eetuk vrbel uk t d elee pvot, t Jk tdk terdpt dek t, k lh prl tdk lyk d lh tdk terbt 3 Pvot Hl eggbrk progr ler pd hubug b bru Metode dul ple ug eberk lgkh-lgkh yg udh pd peyele lh dul dl betuk tbel r r dplh ebg br pvot edek hgg b r u b < 0 Kolo ebg kolo pvot ehgg _ r, u r < 0 r Jk eu r 0, prl tdk k epuy tupu olu lyk (optl) 3 Adk utu oper pvot pd r 4 U keoptl Jk eu b 0 k olu ekrg dlh optl d kre tu proedur tertf dhetk Sel tu, kebl ke lgkh ()

26 4 6 Al Setvt Al etvt dlh l yg dlkuk utuk egethu pegruh perubh yg terd pd preter-preter perol progr ler terhdp olu optl yg telh dp Al ug erg debut deg l p optl, ytu utu l yg dlkuk etelh olu optl dperoleh uu uu dr l etvt dlh utuk eetuk preterpreter etf ( ytu preter yg tdk dpt dubh tp egubh peyele optl ), elkuk et preter-preter deg lebh tept, ert elh peyele yg tetp lebh bk utuk eulh l-l yg lyk dlk oleh preter-preter yg etf uu yg l dlh utuk egurg perhtug-perhtug d eghdr perhtug ulg, bl terd perubh pd tu tu beberp koefe odel progr ler pd t peyele optl telh dp ekk l etvt bergtug pd kod lyk d optl utuk utu progr ler ekrg dlh lyk k b 0 d tu optl k 0 Dr udut pdg lu pt, eu l etvt dpt dgt ebg koekue forul Pedekt uu l etvt dlh Apkh perubh preter epegruh kod optl d eberp ber dt dpt berubh ebelu kod optl dlggr? Jk b ekrg tdk optl, k etode ple prl dguk utuk eperbk keoptl Apkh perubh preter epegruh kod lyk d eberp ber preter dpt berubh ebelu kod lyk dlggr Jk b ekrg tdk lyk, k etode dul ple dguk utuk eperbk ketdklyk Ser uu, ketk utu preter berubh, lh tu kbt yg ugk terd dlh :

27 4 Solu optl tdk berubh, begtu ug vrbel b d ly ug tdk berubh Vrbel b tetp tetp ly berubh 3 Vrbel b d ly - berubh Ad 5 ( l ) tpe dr perubh preter yg epegruh olu optl Kel tpe tu dlh : Perubh koefe fug tuu ( ) Perubh kot k ( b ) 3 Perubh kedl tu koefe tr A 4 Pebh vrbel bru 5 Pebh kedl bru etp dl lh, perubh preter yg berhubug deg progr ler pretrk hylh pd tpe (tu) d (du) eberp tur uu dpt durk utuk peyele l etvt deg hrg reduk dlh ebg berkut Perubh pd koefe fug tuu ( ) Perubh terdr dr du bg, ytu : Perubh koefe fug tuu vrbel b ( ) Jk + k utuk eetuk gr b tetp optl deg eerk bhw ( ) terpeuh Jk b tdk berubh k y y + d z z + ( ) Jk b berubh, etode ple prl dguk utuk eperbk keoptl pd lh peggggu

28 43 Perubh koefe fug tuu vrbel ob ( ) Jk + k utuk eetuk gr b tetp optl deg eerk bhw ( ) terpeuh Jk b tdk berubh k etode ple prl dguk utuk eperbk keoptl pd lh peggggu Perubh kot k ( b ) Jk b b + b k utuk eetuk gr b tetp lyk deg eerk b b terpeuh Jk b tdk berubh k + b d z z + y b ( Vektor y erupk vektor dr vrbel dul ) Jk b < 0, etode dul ple dguk utuk eperbk kelyk pd lh peggggu 7 Progr Ler Pretrk Al etvt ebrk tetg pegruh perubh preter terhdp olu optl yg telh dp, d perubh preter yg terd er tertetu Seetr progr ler pretrk ug ebrk tetg pegruh perubh preter terhdp olu optl yg telh dp, bedy, perubh preter dpt terd er kotu Oleh kre tu progr ler pretrk dpt drtk ebg l yg berkt deg perubh kotu preter utuk eetuk urut olu dr yg ed optu k perubh dlkuk lebh uh Dl pegert yg l, progr ler pretrk erupk utu betuk l etvt tet, d l tervl tuu d k ( l kutt kedl ) dl ery l perubh preter yg terd berd dl tervl tertetu Perubh preter-preter ( koefe tuu tu l kutt kedl ) dpt dperkek terd er ber tupu terph

29 44 Progr ler pretrk dbg dl ( du ) bg : Perubh preter koefe fug tuu ( ) Pd t preter dubh, fug obektf l Mu z erubh ed Mu z( θ ) ( + α θ ) Deg kedl yg tetp epert kedl l d 0,,,, D : z ( θ ) : Sutu odfk fug odel progr ler l ed fug θ θ : ery tgkt perubh preter yg dgk terd ( θ R) α : Agk reltf perubh preter, ( α Z ) : Keutug etp tu vrbel keputu terhdp l z : Vrbel keputu ke : Je ktvt yg egguk uber tu flt yg tered (,,,) Perubh preter pd l kutt bt ( b ) Pd t l kutt kedl dubh, l kutt kedl l b erubh ed b + α θ,,,, Deg fug tuu tetp epert pd lh l D : : yky uber ke yg dperluk utuk eghlk etp ut ktvt

30 45 b : Vrbel keputu ke : yky uber tu flt ke yg tered utuk dlokk pd etp e ktvt α : Agk reltf perubh preter kutt kedl, ( α ) Z θ : ery tgkt perubh preter yg dgk terd : Je uber tu flt yg tered (,,, ) Perubh kek tupu peuru θ ebelh k pd hpu per wl, keud k eyebbk perubh k pd hpu per khr yg ty k eyebbk perubh derh olu optl Proedur peyele lh progr ler pretrk rp deg proedur utuk perubh tet preter Proedur yg dguk dlh proedur l etvt pd perubh preter l kutt bt, d ug elbtk peggu etode dul ple utuk ku khuu ( < 0) olu optl utuk lh bru dpt dperoleh b ehgg