Penentuan Banyak Kelompok dalam Fuzzy C-Means Cluster. Berdasarkan Proporsi Eigen Value Dari Matriks Similarity. dan Indeks XB (Xie dan Beni)

Transkripsi

1 S-11 Penentuan Banyak Kelompok dalam Fuzzy C-Means Cluster Berdasarkan Propors Egen Value Dar Matrs Smlarty dan Indeks XB (Xe dan Ben) Anndya Aprlyant Pravtasar 3 Emal: dejafu_008@yahoo.com Abstrak Dalam analss pengelompokkan (cluster), banyak kelompok menjad suatu masalah yang berart. Beberapa penelt memlh banyak kelompok sesua dengan kebutuhan dalam peneltannya. Beberapa peneltan dalam analss cluster lebh mentberatkan pada struktur dan metode pengelompokkan yang terus berkembang dar waktu ke waktu. Metode terakhr yang sedang dmnat adalah Fuzzy C-means Cluster. Fuzzy C-means Cluster melakukan pengelompokkan dengan prnsp memnmumkan fungs objektf pengelompokkannya dmana salah satu parameternya adalah fungs keanggotaan dalam fuzzy (sebaga pembobot) yang dsebut juga dengan fuzzer (Klawonn dan Höppner, 001). Makalah n selan mengkaj metode pengelompokkan dengan Fuzzy C-means Cluster juga akan memlh banyak kelompok deal dengan menggunakan ndeks XB (Xe dan Ben). Untuk jumlah objek yang besar, ndeks XB akan dhtung sebanyak objek yang delompokkan, maka hal n tdaklah efektf. Untuk tu dcoba untuk membatas banyak kelompok dengan menggunakan propors egen value dar matrs kemrpan (smlarty). Dengan membatas banyak kelompok, perhtungan untuk mendapatkan kelompok deal akan semakn cepat. Hal n akan sangat berguna untuk efsens algortma perhtungan ndeks XB. Kata kunc : analss pengelompokkan, cluster, fuzzy c-means, ndeks XB, propors, egen value, matrs kemrpan, smlarty. 3 Dosen Jurusan Statsta, FMIPA, Unverstas Padjadjaran Bandung Jurusan Penddan Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

2 1. Pendahuluan Analss Cluster adalah salah satu analss data eksplorator yang bertujuan untuk menentukan kelompok atau grup dar sekelompok data. Awal mulanya metode n dembangkan dengan menemukan struktur pengelompokkan dantara objek yang akan delompokkan. Paradgma data clusterng mula banyak dmnat berbaga kalangan dan dtuls dalam berbaga paper dan jurnal (Shhab, 000). Analss cluster sempat dsebut sebaga prmary tool for so-called knowledge dscovery (Fayyad et al, 1996) karena tngkat temuan struktur dan metode yang berkembang begtu pesat serng dengan perkembangan paradgma lan dluar statst, sepert fenomena data mnng, ntellgent data analyss (Lu, 000), sampa mage processng yang saat n banyak dtelt. Faktanya, karena menggunakan data yang besar dan algortma yang secara teratf menentukan pengelompokkan, maka analss cluster meml kepekaan akan kebutuhan yang tngg dalam komputas. Perkembangan analss cluster dmula dar metode herarchcal yang secara gars besar membentuk sebuah tree dagram yang basa dsebut dengan dendogram yang mendeskrpsan pengelompokan berdasarkan jarak, graph-theortc melhat objek sebaga node pada network terbobot, mxture models mengasumsan suatu objek dhaslkan dar skala data yang berbeda-beda, parttonal lebh denal dengan metode non-herarchy termasuk ddalamnya adalah metode K-means cluster. Perkembangan terakhr dar analss cluster mempertmbangkan tngkat keanggotaan yang mencakup hmpunan fuzzy sebaga dasar pembobotan bag pengelompokan yang dsebut dengan fuzzy clusterng (Bezdek, 1981). Metode n merupakan pengembangan dar metode parttonal dengan pembobotan fuzzy yang memungknkan pengelompokkan dmana kelompok data tdak terdstrbus secara jelas. Sejalan dengan perkembangan metode dalam analss cluster, penentuan jumlah kelompok tetap dlakukan secara subjektf. Metode herarch (sngle lnkage, complete lnkage dan average lnkage) membuat cut off dar dendogram kemudan menentukan jumlah kelompok yang deal. Metode non-herarc atau parttonal menentukan terlebh dahulu jumlah cluster yang akan dbentuk, termasuk juga pembentukan kelompok dalam Fuzzy C-means Cluster. Penentuan jumlah kelompok basanya dsesuaan dengan tujuan peneltan. Suatu masalah kemudan tmbul, bagamana jumlah kelompok deal yang memnmumkan fungs objektf sebaga dasar pengelompokkan. Ja dlakukan pemlhan jumlah kelompok dar satu kesatuan kelompok besar sampa sebanyak objek yang akan delompokkan, maka penyelesaannya akan trval. Karena bagamanapun juga fungs objektf akan optmal saat jumlah kelompok yang terbentuk sama dengan jumlah objek yang delompokkan. Hal n darenakan tngkat kemrpan (smlarty) yang tngg terhadap objek tu sendr. Jurusan Penddan Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

3 Oleh karena tu dcoba untuk membatas jumlah pengelompokkan berdasarkan propors egen value dar matr smlarty objek yang akan delompokkan. Prnspnya hampr sama dengan prncpal komponen dan analss faktor yang menggunakan propors egen value sebaga ukuran kontrbus yang dapat dberan keta mereduks dmens varable. Pembatasan jumlah pengelompokkan n kemudan dontrol dengan Indeks XB (Xe dan Ben), dmana kelompok hasl pemlhan dar propors egen value yang memaksmumkan Indeks XB adalah ukuran kelompok yang terba.. Fuzzy C-Means Cluster Secara umum tekn dar fuzzy cluster adalah memnmumkan fungs objektf dmana parameter utamanya adalah fungs keanggotaan dalam fuzzy (membershp functon) yang dsebut juga dengan fuzzer (awonn dan Höppner, 001). Klawonn secara khusus mendalam fuzzy clusterng sebaga metode yang ba untuk dgunakan dalam pengelompokkan data spasal dan mage analyss (Laboratorum of Data analyss and Pattern Recognton). Oleh karena tu sebagan besar referens dar tulsan n ddapatkan dar jurnal peneltan Klawonn bersama penelt lannya. Fuzzy C-means cluster pertama kal demukakan oleh Dunn (1973) dan kemudan dembangkan oleh Bezdek (1981) yang banyak dgunakan dalam pattern recognton. Metode n merupakan pengembangan dar metode non herark K-means Cluster, karena pada awalnya dtentukan dulu jumlah kelompok atau cluster yang akan dbentuk. Kemudan dlakukan teras sampa mendapatkan keanggotaan kelompok tersebut. Metode n adalah metode yang palng dgemar karena merupakan metode yang palng robust (( Klawonn dan Höppner, 001) dan (Klawonn, 000)) dan memberan hasl yang smooth (halus) dengan tolerans relatf (Shhab, 000). Prnsp utama pengelompokkan dengan fuzzy c-means cluster adalah memnmumkan fungs objektf dengan asums constrant J c = 1 c N FCM ( P, U, X, c, m) = m ( u ) d ( x k, p ) (1) = 1 k = 1 u = 1, untuk k { 1,K,N}. () Jurusan Penddan Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

4 Keterangan: P dan U adalah varabel yang konds optmalnya dharapkan, untuk matrs U konds optmalnya berart konvergens keanggotaan kelompok dalam FCM. X, c, m adalah parameter nput dar J FCM, dmana: c adalah jumlah cluster yang memenuh X (jumlah cluster yang dngnkan, c < N) m 1 adalah tngkat ke-fuzzy-an dar hasl pengelompokkan. Parameter n dsebut dengan fuzzer, nla dar m yang serng dpaka dan danggap yang palng halus adalah m= (Klawonn dan Höppner, 001) u adalah tngkat keanggotaan yang merupakan elemen dar matrs U. N jumlah observas. d adalah jarak observas yang dapat drumuskan sebaga berut: d T ( x p ) = x p = ( x p ) A( x p ) k, (3) Ja A adalah matrs denttas maka k A k k d adalah jarak Eucld. Algortma pengelompokan Fuzzy C-means cluster dberan sebaga berut: 1. Menentukan c banyak cluster atau kelompok yang ngn dbuat.. Menentukan tngkat ke-fuzzy-an hasl pengelompokan (m). 3. Menghtung fuzzy cluster center (P) dengan persamaan () N m u x k k = 1 p * = (4) N u k = 1 m 4. Update anggota matrs U dengan persamaan * 1 u = 1 / ( m 1) c d j= 1 d jk (5) 5. Bandngkan nla keanggotaan dalam matrs U, ja tdak banyak mengalam perubahan maka artnya sudah konvergen dan keanggotaannya sudah maksmal. Iteras dhentan dan ddapatkan hasl pengelompokkan. Jurusan Penddan Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

5 3. Penentuan Jumlah Kelompok Penentuan jumlah kelompok dalam Fuzzy C-Means Cluster ddasarkan pada dua hal. Yang pertama adalah dengan membatas jumlah kelompok yang terbentuk melalu propors egen value matrs smlarty dar objek yang akan delompokkan. Yang kedua adalah melakukan kontrol dengan ndeks XB. Tujuannya adalah untuk mengetahu apakah benar jumlah cluster terba bsa ddapatkan dantara jumlah cluster yang dbatas oleh propors egen value matrs smlarty. Berut n adalah ulasan mengena propors egen value matrs smlarty dan Indeks XB. Propors Egen Value Matrs Smlarty Analss Egen adalah salah satu tekn yang memberan rngkasan struktur data yang drepresentasan oleh matrs korelas ataupun kovarans (Johnson dan Wchern, 00). Propors dar egen value menggambarkan seberapa besar struktur data yang dapat dwakl atau drepresentasan oleh matrs korelas atau kovarans tersebut. Dalam analss komponen utama dan analss faktor, propors dar egen value memberan nterpretas mengena seberapa besar data dapat terwakl dalam dmens yang telah dreduks. Pada kasus pengelompokkan dalam analss cluster, matrs korelas yang dgunakan adalah matrs smlarty dar objek yang akan delompokkan. Prnspnya adalah semakn tngg nla smlartas antara objek satu dengan yang lan maka nla pengamatan antar objek tersebut meml banyak kesamaan (berart memungknkan untuk menjad satu kelompok). Propors egen value untuk lustras n berart memberan nformas besarnya tngkat kesamaan antar objek. Propors egen value 100 persen dberan oleh semua egen yang terbentuk yang banyaknya sama dengan banyak objek yang delompokkan. Berut n lustras menggunakan data angka partspas penddan d Kabupaten Tuban (Angka partspas Murn, Angka Partspas Kasar dan Angka Partsps Sekolah). Pengelompokkan dlakukan untuk kecamatankecamatan pada jenjang penddan SMU. Hasl perhtungan egen value dan kumulatf propors dberan pada Tabel1. Tabel 1. Egen Value matr smlarty dan propors kumulatf Egen Propors Kumulatf Jurusan Penddan Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

6 Dar nla pada Tabel 1, dapat dlhat bahwa propors 100 persen dengan cepat dberan oleh tga egen value. Maka kesmpulan sementara yang dapat dambl adalah pengelompokkan yang terbentuk sebanyak tga cluster. Pada gambar 1 dberan sebaran data angka partspas penddan dalam scatter plot 3D. Dar gambar 1 terlhat bahwa data berkumpul dalam tga kelompok besar. Maka ndas terbentuknya tga cluster semakn kuat. Selanjutnya akan dlakukan kontrol dengan perhtungan ndeks XB. Untuk perhtungannya akan dlakukan untuk jumlah cluster, 3, 4 dan 5. sub bahasan selanjutnya akan membahas tentang ndeks XB dan perhtungannya untuk contoh data yang sama. 3D Scatterplot of APK vs APM vs APS 0.8 APK APS APM Gambar 1. Scatter plot data partspas penddan. 3.1 Indeks XB (Xe dan Ben) Sesua dengan namanya Indeks XB dtemukan oleh Xe dan Ben yang pertama kal demukakan pada tahun Valdtas dalam FCM dtentukan oleh banyak kelompok optmum melalu perhtungan Indeks valdtas. Formula dar Indeks XB dberan pada (6). Formula n mrp dengan Separaton Index dengan nla m yang dapat berubah-ubah, oleh karena tu ndeks n dapat dgunakan untuk metode hard partton sepert K-means cluster maupun FCM. Krteranya banyak kelompok optmum dberan oleh nla XB yang mnmum pada lembah pertama. Jurusan Penddan Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

7 XB ( c) c N m ( u ) d ( xk, p ) = = 1 k = 1 (6) N mn, j p, p j Dengan c menyatakan banyak cluster, u adalah tngkat keanggotaan, adalah jarak observas dengan pusat cluster, p adalah pusat cluster, N merupakan banyak objek yang akan delompokkan, mn, j p, p j d menyatakan jarak mnmum antara pusat cluster p dan pj. Krtera banyak cluster optmum dberan oleh ndeks XB yang mnmum. Rekomendas untuk menggunakan ndeks XB tertuang dalam peneltan Duo dkk (007) yang menyatakan bahwa ndeks XB meml ketepatan dan keandalan yang tngg ba untuk memberan banyak kelompok optmum pada metode hard partton sepert K-means cluster maupun pada FCM. Hasl pengelompokkan Fuzzy C-means Cluster dengan bantuan matlab beserta ndeks XB dberan dalam Tabel. Dar Tabel terlhat bahwa ndeks XB maksmum dberan oleh pengelompokkan dengan 3 cluster, maka kesmpulan awal yang dberan sudah tepat, yatu bahwa propors egen value dapat djadan patokan awal untuk pemlhan banyaknya pengelompokkan dalam perhtungan ndeks XB. Sehngga untuk ukuran data yang sangat besar, perhtungan ndeks XB tdak perlu dlakukan sampa jumlah kelompok maksmum (sama dengan jumlah objek), namun perhtungannya dapat mengut nformas yang dberan oleh banyaknya egen dengan propors kumulatf yang cukup tngg. Plot data beserta nla pusat p dalam Fuzzy C-means Cluster dberan oleh Gambar. 4. Kesmpulan Penentuan jumlah cluster yang deal dapat dlakukan dengan perhtungan ndeks XB. Namun untuk jumlah data yang besar, maka perhtungan ndeks XB akan dlakukan sampa jumlah pengelompokkan maksmum, yatu sebanyak jumlah objek tu sendr. Hal n kurang efektf, maka drekomendasan untuk menentukan banyaknya cluster yang mungkn terbentuk dengan memperhatan propors kumulatf egen value matrs smlarty dar objek dalam pengelompokkan. Jurusan Penddan Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

8 Tabel. Hasl Cluster dan Indeks XB Kecamatan Ukuran Cluster KENDURUAN BANGILAN SENORI 1 1 SINGGAHAN 1 1 MONTONG 1 3 PARENGAN 3 3 SOKO 1 1 RENGEL PLUMPANG 1 1 WIDANG 1 4 PALANG 1 1 SEMANDING 1 3 TUBAN JENU 1 1 MERAKURAK 1 3 KEREK TAMBAKBOYO JATIROGO BANCAR 1 3 Indeks XB * Jurusan Penddan Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

9 Gambar. Scatter Plot dengan pusat p Referens : Bezdek, James., Pattern Recognton wth Fuzzy Objectve Functon Algorth, Plenum Press, New York. Calnsk and Harabasz, (1974), A Dendrte Method for Cluster Analyss. Communcaton n Statstcs 3, 1-7. Dunn, J.C., (1973), A Fuzzy Relatve of the ISODATA Process and Its Use n Detectng Compact well-separated Cluster, Journal of Cybernetc 3, Fayyad, U, M., Patetsky-Saphro, G., Smth., (1996). Advance and Knowledge dscovery and data mnng, Part.33, Fayyadetal// Johnson, Wchern, (00), Appled Multvarate Statstcal Analyss, Prentce Hall, New Jersey. Klawonn, Frank., (000), Fuzzy Clusterng: Insght and a New Approach, Scence Journal, Klawonn dand Höppner, (001), What s Fuzzy about Fuzzy Clusterng? Understandng and Improvng the Concept of the Fuzzer. Scence Journal, Klawonn dan Keller, (1997), Fuzzy Clusterng and Fuzzy Rules, Scence Journal, Jurusan Penddan Matemata FMIPA UNY, 5 Desember

10 Klawonn dan Klementda, (1997), Matematcal Analyss of Fuzzy Clasfers, Scence Journal, Klawonn dan Kruse, (1995), Clusterng Method n Fuzzy Control, Scence Journal, Sharma, S, (1996), Appled Multvarate Technques, John Wley and Sons, Inc, New York. Shhab, A.I., (000) Fuzzy Clusterng Algorthm and Ther Applcaton to Medcal Image Analyss. Dssertaton, Unversty of London, London. Pckert, Klawonn, dan Wngender., (1997), Fuzzy Cluster Analyss for Identfcaton of Gene Regulaton Regon. Scence Journal, Zadeh, Lotf. A., (1965), Fuzzy Sets. Informaton Control, vol 8, Jurusan Penddan Matemata FMIPA UNY, 5 Desember