BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Transkripsi

1 Tugas Akhr BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Pendahuluan D dalam bab n dbahas metoda-metoda perhtungan yang dgunakan dalam tugas akhr n. Metoda-metoda tersebut mencakup perhtungan nla daya dukung predks dan nla daya dukung terukur. Nla daya dukung predks adalah nla daya dukung yang ddapat dar metoda perhtungan daya dukung fondas tang berdasarkan data N- SPT (Number - Standard Penetraton Test). Sedangkan nla daya dukung terukur adalah nla daya dukung yang ddapat dar metoda perhtungan daya dukung fondas tang berdasarkan nterpretas data tes pembebanan. Dar nla-nla daya dukung tersebut, nantnya akan danalss metoda manakah yang haslnya palng mendekat nla daya dukung terukur. Adapun metoda-metoda untuk menganalss nla-nla daya dukung tersebut adalah : pertama dlakukan analss ketepatan, kemudan yang kedua dlakukan analss kehandalan. Cara-cara perhtungan yang dgunakan dalam analss ketepatan dan analss kehandalan akan djelaskan pada sub bab berkutnya.. Perhtungan Kapastas Fondas Tang Berdasarkan N-SPT Nla daya dukung fondas tang dapat dhtung sebaga berkut : Qb qb. A (.1) Q q.. B. L (.) Q s Tot s Q Q (.3) b s Dmana : Q b = Kapastas daya dukung ujung fondas tang (ton) Q s = Kapastas daya dukung selmut fondas tang (ton) q b = Unt tahanan ujung (ton/m ) q s = Unt tahanan selmut (ton/m ) A = Luas permukaan ujung fondas tang (m ) B = Kellng fondas tang (m) L = Panjang fondas tang (m) = Konstanta ph (3,14) Q tot = Kapastas total fondas tang (ton) Nla N-SPT untuk perhtungan q b dambl nla rata-rata sejauh B. Untuk perhtungan q s nla N-SPT dambl d kedalaman segmen (L) tang yang dtnjau. 7

2 Tugas Akhr B Qs = qs x..b.l B Qb = qb x..(b/) Gambar.1 Gambaran Daya Dukung Selmut Dan Daya Dukung Ujung Pada Tang Pancang Nla Maksmum untuk unt tahanan frks (qs) dan unt tahanan ujung (qb) Nla q s maksmum untuk tanah lempung (clay) dambl sebesar 6 t/m, untuk tanah pasr (sand) dambl 19 t/m. Nla q b maksmum untuk tanah lempung (clay) dambl sebesar 5 t/m, sementara q b maksmum untuk tanah pasr (sand) dambl 90 t/m. D bawah n djelaskan metoda-metoda yang dpaka dalam perhtungan daya dukung tang berdasarkan data N-SPT : a. Metoda Meyerhoff Unt Kapastas Ujung (q b ) Untuk sands dan gravels D q b 0, 4.Ncor..Pa B q b dalam ton/m jka Pa dambl 10 t/m untuk nonplastc slts (.4) D q b 0, 4.Ncor..Pa B (.5) q b dalam ton/m jka Pa dambl 10 t/m Dmana : q b = Unt tahanan ujung Ncor = Nla N-SPT dar prosedur lapangan dan tegangan overburden D = Kedalaman tang tertanam (m) B = Dameter tang (m) Pa = Tegangan referens =10 ton/m 8

3 Tugas Akhr Unt Kapastas Selmut (q s ) untuk tang small-dsplacement pada tanah tak berkohes: Pa qs N 100 untuk tang large-dsplacement pada tanah tak berkohes: Pa qs N 50 (.6) (.7) Dmana : q s = unt tahanan selmut (ton/m ) N = nla N-SPT terkoreks hanya dar prosedur lapangan Pa = tegangan referens = 10 t/m b. Metoda Aok dan Velloso Aok dan Velloso (1975) mengajukan formulas untuk berbaga jens tanah dan tpe tang berkut n : q b K F 1 N b P a (.8) q s K F N s P a (.9) dmana : q b = Unt Tahanan Ujung dalam ton/m q s = Unt Tahanan Selmut dalam ton/m Pa = Tegangan referens = 10 t/m K = Faktor emprs sebaga fungs dar jens tanah F 1 dan F = Faktor-faktor emprs sebaga fungs dar tpe tang = Faktor unt tahanan selmut bergantung pada jens tanah N b = Rata-rata dar tga nla N-SPT yang dekat kepada ujung tang N s = Rata-rata dar nla N-SPT sepanjang selmut tang pada lapsan ke-. Nla-nla dar K,, dan F 1, F dberkan pada tabel berkut : 9

4 Tugas Akhr Tabel.1 Nla-Nla K Dan Untuk Berbaga Jens Tanah (Aok dan Velloso, 1975) Type of Sol K (%) Sand Slty Clayey slty sand Clayey sand Slty clayey sand Slt Sandy slt Clayey sandy slt Clayey slt Sandy clayey slt Clay Sandy clay Sandy slty clay Slty clay Slty sandy clay Frank ples Steel Ples Precast Concrete Ples Bored Ples Tabel. Nla-Nla Dar F 1 Dan F Untuk Berbaga Tpe Tang Type of Ple F 1 F Sumber : Fnal Report of FHWA.Ple Desgn Based On CPT Result.Rodrgo Salgado & Junhwan Lee. October c. Metoda Sho dan Fuku Unt tahanan ujung tang, q b Sho dan Fuku (198) mengajukan formulas sebaga berkut : Untuk drven ple D q b 6 B N (untuk open-end ppe ples dalam kpa) (.10) q b D 10 4 N B (untuk closed-end ppe ples dalam kpa) (.11) Untuk Cast-n-place q b 300 q b 3.Su (pada tanah pasr dalam kpa) (.1) (pada tanah lempung dalam kpa) (.13) 10

5 Tugas Akhr Untuk Bored ples q b 10N (pada tanah pasr dalam kpa) (.14) q b 15N (pada tanah gravelly sand dalam kpa) (.15) dmana nla q b dalam satuan kpa dan D, B berturut-turut adalah kedalaman tertanam (m) dan dameter tang (m). Sedangkan untuk unt tahanan selmut, q s, tang Sho dan Fuku (198) mengajukan formulas sebaga berkut : Untuk drven ple : q s =.N pada tanah pasr (dalam kpa) : q s = 10.N pada tanah lempung (dalam kpa) Untuk Bored ples : q s = 1.N pada tanah pasr (dalam kpa) : q s = 5.N pada tanah lempung (dalam kpa) dmana nla N adalah nla rata-rata dar N-SPT tap-tap lapsan dan q s dalam kpa. d. Metoda Reese dan O Nell Berdasarkan pengamatan pada 41 tes-tes pembebanan, Reese dan O Nell (1989) mengajukan hubungan hasl SPT dengan unt tahanan ujung tang (drlled shaft) yang tertanam pada pasr sebaga berkut : q b = 0,575N b.pa (dalam ton/m ) (.16) dmana q b = unt tahanan ujung Pa = tegangan referens = 10 ton/m. Untuk membatas penurunan dar large-dameter shaft, mereka juga menyarankan untuk menggunakan sebuah nla reduks dar unt tahanan ujung, (qb,r), sepert berkut : BR qb r qb B, 1, 5 b ; untuk Bb 1,5B R (.17) dmana qb,r = unt tahanan ujung tereduks; B R = lebar referens =1m dan Bb = dameter expanded base. persamaan datas tdak drekomendaskan untuk dgunakan dengan dameter drlled shafts kurang dar 4,6 meter. Untuk unt tahanan selmut,q s, pada pasr Reese dan O Nell merekomendaskan agar dgunakan metoda. 11

6 Tugas Akhr e. Metoda Neely Neely (1990, 1991) menyarankan suatu hubungan emprs yang baru antara nla N- SPT dengan unt tahanan ujung untuk expanded-base ples dan auger-cast ples pada pasr. Untuk expanded-base ples sepert tang Frank, Neely mencatat bahwa unt tahanan ujung ultmt yatu dua kal dar nla convensonal drven ple, sepert yang dsarankan oleh Meyerhoff (1956), akan menghaslkan nla yang overestmated, berdasarkan pada pengamatan dar 93 tes-tes beban pada expanded-based ples. Dapat djelaskan bahwa unt tahanan ujung yang overestmated untuk expanded-base ple oleh saran Meyerhoff (1956) dkarenakan pengabakan efek dar casng. Tang yang uncased dan compacted concrete shaft menmbulkan tekanan yang sangat besar dantara selmut dan tanah sekellngnya sehngga menunjukan kapastas beban yang sangat besar darpada tang-tang yang cased shaft. Berdasarkan Neely (1990), unt tahanan ujung ultmt dar expanded-base ples pada tanah pasr dapat dberkan sebaga : D q b 0,8. N.. P a B (.18) Dmana : q b = Unt tahanan ujung (ton/m ) Pa = tegangan referens = 100 kpa = 10 ton/m D = Kedalaman tertanam dar penampang maksmum unt tahanan ujung sebaga jumlah dar panjang pemancangan dan setengan dar dameter base (m). Db = Dameter dar expanded base (m) N = Nla N-SPT Untuk augered, cast-n-place (auger-cast) ples, unt tahanan ujung dsarankan sepert berkut (Neely 1991) : q b = 1,9N.Pa (.19) Dmana : q b = Unt tahanan ujung (ton/m ) Pa = tegangan referens = 10 ton/m.3 Perhtungan Kapastas Fondas Tang Berdasarkan Interpretas Data Tes Pembebanan (Loadng Test) Setelah mendapatkan daya dukung predks, selanjutnya dlakukan nterpretas loadng test untuk mendapatkan nla daya dukung terukur (measured). Terdapat empat metoda nterpretas loadng test dgunakan, yatu : 1. Metoda Davsson. Metoda Chn 3. Metoda De Beer 1

7 Tugas Akhr 4. Metoda Maurkewc Langkah-langkah pengerjaan dar masng-masng metoda dapat dlhat d bawah n : A. Prosedur metoda Davsson : 1. Gambar kurva pembebanan. Htung pergerakan elastk : Q va L AE (.0) Dmana : Qva adalah beban yang dpasang (ton) L adalah panjang tang (m) A adalah luas penampang tang (m ) E adalah modulus elaststas tang (ton/mm ) 3. Gambar gars OA berdasarkan rumus pergerakan elastk 4. Gambar gars BC, yatu sejajar dengan gars OA dengan jarak sebesar x. Dmana x adalah ; D x 0,15 10nch (.1) D adalah dameter tang dalam nch 5. Beban Falure adalah perpotongan gars BC dengan kurva pembebanan B. Prosedur metoda Chn : 1. Gambar kurva /Qva terhadap, dmana adalah besar penurunan dan Qva adalah besar beban yang dpasang.. Langkah selanjutnya car persamaan gars lurus yang merupakan regres dar kurva tersebut. 3. Persamaan umum dar regres kurva tesebut adalah : c1 A c Q va (.) 4. Nla dar Qult menurut Chn adalah : 1 Q ult c1 (.3) C. Prosedur metoda De Beer : 1. Gambar kurva beban terhadap penurunan dalam skala logartmk. Dar kurva tersebut, kta dapat melhat dua gars lurus yang berpotongan 3. De Beer mendefnskan beban runtuh nya adalah ttk perpotongan antara dua gars lurus yang terlhat d pon b. D. Prosedur metoda Maurkewc : 1. Gambar kurva beban terhadap penurunan 13

8 Tugas Akhr. Kemudan tentukan rentang antar ttk penurunan. Dar tap ttk perpotongan dengan kurva beban, gambarkan gars vertkal yang menynggung sumbu beban. 3. Dar ttk-ttk d sumbu beban tersebut, gambarkan gars mrng dengan sudut 45 o hngga memotong gars beban berkutnya. 4. Ttk-ttk potong dar gars beban tersebut akan membentuk sebuah gars lurus. Kemudan gars lurus tu akan menynggung kembal sumbu beban. Ttk snggung tersebut merupakan beban runtuh..4 Analss Ketepatan Metoda-Metoda Perhtungan Daya Dukung Fondas Tang Setelah mendapatkan semua nla daya dukung predks dan daya dukung terukur, selanjutnya adalah menganalss metoda dar daya dukung predks yang terbak. Pertama dlakukan Analss Ketepatan Pada analss ketepatan, masng masng daya dukung predks akan dbandngkan dengan daya dukung terukur. Nla daya dukung terukur dsn, hanya dplh satu metoda saja. Karena hanya dperlukan satu nla daya dukung yang dpercaya merupakan yang terbak. Hasl dar analss ketepatan adalah ddapat metoda perhtungan daya dukung predks yang palng akurat dengan nla daya dukung terukur. Analss ketepatan yang dlakukan berdasarkan atas tga krtera. Pertama adalah krtera probabltas kumulatf 50% dan 90%. Yang kedua adalah krtera artmetk yatu nla rata-rata dan devas, dan yang ketga adalah krtera 0% tngkat akuras yatu dstrbus nla Qp/Qm ddekat dengan dstrbus lognormal dan metoda dengan nla Qp/Qm antara 0,8 sampa dengan 1, terbanyak memlk perngkat teratas..4.1 Krtera Probabltas Kumulatf 50% dan 90% Untuk krtera pertama, ada dua nla pada probabltas kumulatf yang djadkan acuan analss yatu besarnya raso Qp/Qm saat nla probabltas kumulatfnya (CP) 50% dan 90%. Dengan acuan dstrbus probabltas kumulatf saat 50% dan 90% (CP50 dan CP90) memlk nla ksaran (CP90-CP50) yang palng kecl, serta nla pada saat CP 50% nla Qp?qm mendekt satu..4. Krtera Artmetk Nla Rata-Rata dan Devas Krtera kedua yatu analss yang dlakukan untuk menganalss kemampuan predks tap metoda dengan menghtung nla rata-rata serta devas standar raso (Qp/Qm). Berdasarkan krtera n, dplh metoda yang memlk nla rata-rata mendekat satu dan nla devas standar terkecl memlk perngkat pertama. 14

9 Tugas Akhr.4.3 Krtera 0% Tngkat Akuras Krtera ketga mempergunakan fungs dstrbus lognormal, dengan menla tngkat akuras 0%-nya, yatu luas area dbawah kurva PDF Qp/Qm yang ddekat dengan dstrbus lognormal, antara nla Qp/Qm sebesar 0.8 sampa 1.. Berdasarkan krtera n, dplh metoda yang memlk area yang palng luas menempat perngkat pertama..5 Teor Probabltas Dasar Dan Teor Kehandalan Setelah melakukan analss ketepatan, langkah selanjutnya adalah melakukan analss kehandalan. D dalam analss kehandalan n kam menggunakan konsep LRFD (Load and Resstance Faktor Desgn). Hasl dar analss kehandalan n adalah mendapat faktor pengal untuk setap metoda perhtungan daya dukung predks. Tetap sebelum melangkah ke konsep LRFD, sebaknya djelaskan terlebh dahulu mengena konsep probabltas tu sendr. Karena konsep probabltas adalah dasar dar LRFD. D bawah n akan djelaskan mengena konsep probabltas..5.1 Istlah-Istlah Dalam Fungs Probabltas Dalam aplkasnya pada bdang rekayasa bentuk fungs probabltas kepadatan (probablty densty functon) tdak selalu dketahu untuk tu dpergunakanlah descrptor pembantu yang dapat menggambarkan bentuk tamplan fungs dstrbus yang nampak domnan, descrptor pembantu yang dapat menggambarkan bentuk tamplan fungs dstrbus yang nampak domnan, descrptor tersebut dapat berupa ekspektas (nla rata-rata), varan dan sebaganya. Contohnya untuk fungs dstrbus normal yang dapat drepresentaskan dengan dua parameter yatu nla rata-rata () dan nla standar devas (). Nla rata-rata dformulaskan sebaga berkut : n E( x) x p( x ) x (.4) atau 1 x f ( x). x. dx (.5) p(x) adalah kemungknan suatu varable bernla x, sedangkan f(x) adalah fungs dstrbus varabel x. Varan dformulaskan sebaga berkut : s n 1 p( x ).( x x) (.6) 15

10 Tugas Akhr atau s. f ( x ).( x x) dx nla akar postf dar varan dsebut devas standar () (.7) n p( x ).( x x) (.8) atau 1 p( x ).( x x). dx (.9) koefsen varas (c.o.v) dformulaskan sebaga berkut : c. o. v (.30) x.5. Tpe-Tpe Dstrbus Probabltas a. Dstbus Normal Dstrbus normal memlk fungs kepadatan probabltas (probablty densty functon/pdf) dengan formulas sebaga berkut : 1 1 x f x ( x) exp ; x (.31) dmana dan parameter-parameter dstrbus, yatu nla rata-rata serta devas standardnya. Notas N() dgunakan untuk menggambarkan dstrbus normal. Fungs dstrbus kumulatf (cumulatve dstrbuton functon/cdf) dhtung menggunakan formulas berkut : 1 1 x F x ( x) exp. dx ; x (.3) b. Dstrbus Normal Standard Dstrbus Normal dengan parameter dan dkenal sebaga dstrbus normal standard dan dnotaskan dengan N(0,1) serta fungs kepadatannya (densty functon) sebaga berkut: 16

11 Tugas Akhr 1 1 f s ( s) exp s ; s (.33) Dstrbus normal standard memlk karakterstk yatu smetr terhadap sumbu nol. Notas (s) menyatakan fungs dstrbus dar varat normal standar (standard normal varate) S, yatu (s) = F s (s) dmana S memlk dstrbus N(0,1). Nla dstrbus kumulatf p dapat dnyatakan : (s p ) = p (.34) sebalknya varat normal standar dapat dcar melalu persamaan, s p = -1 (p) (.35) Oleh karena karakterstk dar dstrbus normal standar yang smetrs terhadap sumbu nol maka suatu varat S dapat dformulaskan sebaga berkut, (-s) = 1 - (s) (.36) c. Dstrbus Normal Logartmk varable acak x memlk dstrbus normal logartmk (dstrbus lognormal) jka ln x terdstrbus normal. Fungs kepadatan dstrbus n (PDF) adalah, 1 1 x f x ( x) exp ; x (.37). x dengan fungs dstrbus kumulatf F ( x) x x 1 1 x exp.. x ; x (.38) dmana nla rata-rata serta devas standar untuk ln xberturut-turut sebaga berkut E(lnx) dan = Var(ln x) yang merupakan parameter-parameter dstrbus logartmk. Kedua parameter tersebut memlk hbungan dengan parameter dstrbus normal dan yatu : ln 1 (.39) dmana untuk yang cukup kecl 17

12 Tugas Akhr yatu COV (.40) 1 ln (.41) d. Dstrbus Ektrem Tpe I (Gumbel) Fungs kepadatan dstrbus ektrem tpe I (PDF) dformulaskan sebaga berkut, x ( xu) ( xu) f ( x). e exp e ; x (.4) sementara fungs dstrbus kumulatf (CDF) dformulaskan sebaga berkut, ( xu) x. F ( x) exp e dx ; x (.43) Dstrbus ekstrm tpe I memlk parameter-parameter fungs sebaga berkut : (.44) 6. dan u (.45) dmana blangan Euler sebesar 0, Konsep Kehandalan (Reablty) Relabltas dalam lmu rekayasa dapat dgambarkan sebaga suatu masalah tahanan dan beban. Secara sederhana untuk menggambarkan reabltas dalam lmu rekayasa tersebut adalah memastkan besarnya tahanan pada saat konds krts mash mampu mencukup besarnya beban tertentu pada saat beban tersebut berada dalam konds maksmum. Tahanan dan beban memlk nla yang bervaras dan tergambarkan sebaga suatu fungs probabltas. Dalam lmu rekayasa umumnya fungs probabltas n tergambarkan sebaga fungs probaltas dengan mengkut salah satu jens fungs probabltas yang telah d jelaskan melalu proses pengujan statstc. Dengan R = kapastas (resstance) dan S= besarnya (load), f R = fungs dstrbus probabltas kapastas dan f S = fungs dstrbus probabltas besarnya beban. Untuk semua nla y besarnya kemungknan kegagalan yatu P(R<S S=s)P(S=s) (untuk fungs f S dan f R yang kontnyu) dapat dnytakan sebaga berkut : pf FR ( s) fs ( s) ds (.46) 0 18

13 Tugas Akhr Resstance Load Gambar. Data Dskrt Load Dan Resstance Ddekat Dengan Fungs Dstrbus Probabltas Load fs (S) Area = F R (s) Resstance F R (R) Sumbu R S=s atau S Gambar.3 Daerah Arsran Yang Menunjukan Kemungknan Kegagalan Pada Suatu Nla Load S=s, Yatu Area Resstance Dbawah S=s (F R (s)) Yang Mash Harus Dkalkan Kemungknan Load Bernla S=s Yatu f s (s)ds Maka probabltas non falure adalah : pnf 1 p F (.47).5.4 Tahanan Rata-Rata ( R ) Dan Beban Rata-Rata ( S ) Apabla suatu kurva dstrbus probabltas tahanan semakn jauh datas kurva dstrbus probabltas beban maka dapat dkatakan nla keamanannya makn tngg, oleh karena tu dperkenalkan stlah central safety faktor R / S serta safety margn ( R - S ) dmana menyatakan nla rata-rata fungs dstrbus tersebut. 19

14 Tugas Akhr Resstance Load S 1 R 1 Resstance Load S R Gambar.4 Semakn Besar R / S Ataupun R - S Semakn Tngg Tngkat Keamanan Dtanda Dengan Semakn Keclnya Area Yang Berarsr.5.5 COV Tahanan Dan COV Beban Fungs dstrbus dengan sebaran yang makn tngg cenderung membuat daerah tumpang tndh/overlap antara kurva dstrbus tahanan dan beban akan semakn besar maka nla kegagalan kemngknan besar terjad, sebaran dapat drepresentaskan dengan devas (, akan tetap untuk membandngkan tngkat sebaran besarnya devas perlu dnormalsas dengan nla rata-rata ( sehngga ddapat apa yang dsebut dengan COV atau c.o.v (coeffcent of varaton) dmana c.o.v =. (.48) Nla maupun c.o.v ()mempengaruh tngkat keamanan, maka berdasarkan central safety faktor dan nla c.o.v dapat dsajkan bentuk sebaga berkut : PF ~ g( R / S ; c. o. vr, c. o. vs ) (.49).5.6 Margn Keamanan (Margn Of Safety) Margn keamanan (M) menyatakan hubungan tahanan dan beban. Yatu sebaga berkut, M=R-S. Dmana dasumskan R serta S adalah dstrbus varbel acak. 0

15 Tugas Akhr Resstance Load S 1 R 1 Resstance Load S 1 R 1 Gambar.5. Semakn Rendah C.O.V (Coeffcent Of Varaton) Semakn Tngg Tngkat Keamanan Dtanda Dengan Semakn Semptnya Area Yang Darsr Oleh karena tu, M juga akan merupakan dstrbus varabel acak dengan PDF f M (m). Kegagalan terjad saat (M<0), dan probabltas kegagalan dapat dformulaskan sebaga berkut : p F 0 fm ( m) dm FM (0) (.50) Secara grafs dapat dgambarkan pada gambar.6 R Resstance.M S Load Pf=P(R<S) M M S R M=R-S =M/M 0 M M Gambar.6 Daerah Arsran Yang Menunjukan Kemungknan Kegagalan Dalam Krtera Keamanan. Jka dambl suatu kasus dasar dmana hanya melbatkan varabel (R dan S), maka : p f P( R S) (.51) 1

16 Tugas Akhr M g( R, S) R S (.5) dengan batas kegagalan R-S = Indeks Kehandalan (Relablty Index) Cornell (1980) mendefnskan besaran ndeks kehandalan Irelablty ndex) sebaga : M (.53) M dmana M dan M masng-masng adalah nla rata-rata serta standard devas dar M. konds aman ddapatkan untuk M>0 sedangkan falure utuk M<0. Indeks kehandalan (relablty ndex) dapat dambl sebaga jarak dar orgn (M=0) ke nla rata-rata ( M ) dukur dalam satuan standard devas ( M ). Jka R dan S terdstrbus normal dan ndependen satu sama lan (tdak ada korelas dantra kedua varable) maka dapat kta nyatakan : M R S (.54) 1/ M ( R S ) (.55) R S (.56) 1/ ( R S ).5.8 Pendekatan Dengan N-Dmens Dalam Analss Kehandalan Kemungknan kegagalan (falure probablty), jka fungs g(r,s) =R-S dgambarkan bersama dengan f(r,s) merupakan fungs gabungan untuk R dan S sepert terlhat pada gambar.7, dapat drepresentaskan dengan volume fungs gabungan f(r,s) yang berada d dalam daerah falure (falure regon) yatu volume ABCD terlhat pada gambar.7.

17 Tugas Akhr 0 R Kontur Probabltas S D o A C P B S Gambar.7 Dstrbus Probabltas Gabungan (L, Lee & Lo 1993).5.9 Tahanan Rata-Rata ( R ), Beban Rata-Rata ( S ), Dan COV Dalam Pendekatan Dengan Sstem N-Dmens Nla rata-rata R dan S ( R dan S ) adalah ttk pusat dstrbus, semakn jauh ttk n dar lmt state boundary maka tngkat keamanan akan semakn tngg, hal n dapat peroleh apabla nla R memlk nla yang semakn besar datas nla S sehngga ttk pusat dstrbus berada dalam safety regon. Tujuan dalam desan adalah untuk memastkan jarak mnmum OP antara ttk pusat O dan lmt state boundary cukup besar sehngga nla kemungknan falure cukup kecl. (L, lee dan Lo 1993). 3

18 Tugas Akhr Pengaruh tngkat varabltas yang dnyatakan dengan nla COV terhadap tngkat keamanan dalam sstem dengan N-dmens dapat dgambarkan dalam gambar.8. 0 R S Safety Regon g>0, R>S S Falure Regon g<0, R>S P o S 0 R S Safety Regon g>0, R S Falure Regon g<0 P o S Gambar.8 Pengaruh Varabltas Terhadap Probablty Of Falure, Makn Tngg Varabltas Makn Besar Probablty Of Falure Yang Dtanda Dengan Daerah Berarsr Yang Lebh Besar Dar gambar.8 terlhat bahwa meskpun letak ttk pusat dstrbus yatu O sama dan jarak OP juga sama, besarnya kemungknan kegagalan yang dtanda dengan daerah berarsr ternyata berbeda untuk nla varabltas yang berbeda. 4

19 Tugas Akhr.5.10 Indeks Kehandalan (Relablty Index) Dalam Pendekatan Dengan Sstem N-Dmens Jarak OP antara ttk pusat dstrbus O dan gars lmt state boundary ternyata bukanlah krtera yang konssten terhadap besarnya tngkat kemungknan kegagalan. Maka, untuk mencapa konsstens dlakukan normalsas varable R dan S terhadap varabltas parameter nput (masukan), hal n dapat dperoleh dengan mentransformas varablel R dan S ke dalam Z R dan Z S. Hasl dar transformas dperlhatkan dalam gambar.9. R 0 S Safe Regon S Falure Regon P o g(r,s)=0 S Safe regon D o Falure regon Lmt state boundary Z S g(z )=0 Gambar.9 Transformas Ruang Dalam Varable R Dan S Ke Dalam Z R Dan Z S Pendekatan yang dlakukan oleh Hasofer dan Lnd, sstem ruang dengan varabel acak R dan S dsebut sstem ruang X(X-space) karena R dan S dapat dnyatakan oleh X, hal n dlakukan agar dalam perkembangannya ruang tdak hanya dbatas dua varable acak R dan S saja tetap bsa lebh menjad n varabel acak. Konsekuensnya fungs batas g(r,s) akan berubah menjad g(x 1, X,, X n ) atau dsngkat g(x). 5

20 Tugas Akhr Setelah dtranformas dar sstem ruang X(X-space) ke dalam sstem ruang yang dnormalsas Z(Z-space) maka fungs g(x) pun berubah menjad g(z). Dengan normalsas n maka jarak anatara ttk pusat dan gars lmt state boundary akan menjad acuan yang memberkan tngkat keamanan ataupun kehandalan yang konssten terhadap varabltas parameter nput. Jarak mnmum antara ttk pusat dan gars lmt state boundary dalam ruang Z(Zspace) dkenal sebaga ndeks kehandalan atau ndeks keamanan. Hasofer dan Lnd menggunakan defns n dalam metoda FOSM (Frst Order Second Moment). Korelas antara ndeks kehandalan atau ndeks keamanan terhadap probablty of falure untuk varable acak yang bersfat terdstrbus normal dapat dnyatakan sebaga berkut, pf ( ) (.57) Nla adalah fungs dstrbus standard normal kumulatf. Untuk varable acak yang tdak terdstrbus normal maka terlebh dahulu dlakukan transformas ke dstrbus normal Metoda FOSM (Frst Order Second Moment) Margn keamanan M, menyatakan M=g(R,S). Fungs tersebut dapat dperluas menjad M(x)= g(x 1, X,, X n ) dsngkat g(x) untuk n varable. Fungs g(x) ddekat dengan deret Taylor dar ttk : X* = (X 1 *, X *,, X n *) (.58) Deret Taylor datas hanya dambl orde pertamanya yatu : n * * * g * M g( X1, X,..., Xn) ( X X ) (.59) 1 X X * Apabla ttk X* dambl sama dengan nla rata-rata masng-masng varable X* = ( n ) dan E(X - I )=0 maka akan ddapat M E( g( X )) g( 1,,..., n) (.60) serta ddapat juga varan g(x) : n g M Var( g( X )) Var( g( 1,,..., n)) Var ( X ) (.61) 1 X Karena Var (g( n )) = 0, dan dengan asums X varabel acak yang tdak berkorelas satu sama lan maka : 6

21 Tugas Akhr M n g Var( g( X )) ( ) 1 X (.6) Nla ndeks keamanan atau ndeks kehandalan (relablty ndex) dambl dar defns yang dajukan oleh Cornell(1980) yatu : M Perlu dsadar pendekatan metoda M FOSM n dlakukan dalam sstem ruang X(X-space) dengan mengambl X* = ( n ). Sebagamana telah dbahas sebelumnya pendekatan kehandalan pada ruang yang terdr atas varable-varabel yang belum dnormalsas akan menghaslkan tngkat keamanan ataupun tngkat resko (probablty of falure) yang tdak konssten, untuk tu dkembangkan metoda FOSM Hasofer dan Lnd yang menghaslkan konsstens terhadap tngkat keamanan..5.1 Metoda FOSM Hasofer dan Lnd Fungs batas kegagalan (falure) dapat ddefnskan sebaga g(x 1, X,, X n ) dengan varable-varabel dasarnya, dmana (X 1, X,, X n ) d transformaskan ke dalam (Z 1, Z,, Z n ). Yatu : X Z ; = 1,,3,n (.63) dmana nla = X dan nla = X. Kemudan fungs batas kegagalan dapat dnyatakan sebaga varabel ternormalsas yatu. Fungs batas kegagalan dapat dnyatakan dalam formulas sebaga berkut : g ( 1,,, n ) = 0 (.64) Selanjutnya, suatu ttk dambl pada permukaan fungs batas kegagalan dalam sstem koordnat yang sudah ternormalsas sepert berkut: * =( 1 *, *,, n *) (.65) dmana : g(*) = 0 Hasofer dan Lnd mendefnskan ndeks kehandalan (relablty ndex) sebaga jarak terdekat dar orgn ke permukaan kegagalan dalam sstem koordnat yang dnormalsas ( = r mn ). Jarak suatu ttk pada permukaan fungs batas kegagalan ke orgn sstem koordnat dapat dformulaskan sebaga berkut : 7

22 Tugas Akhr r 1/ n t 1/ ( ) (.66) Persoalannya adalah memnmumkan nla r dengan batasan g(*)=0. Solus dcar dengan menerapkan metoda pengal Lagrange (Lagrange multpler method). Fungs Lagrange L dformulaskan sebaga berkut : L r g( ) t 1/ L ( ) g( ) (.67) Safe regon (Z 1 *,Z *)D o Z 1 Falure regon Z g(z )=0 Gambar.10 Formulas Analss Keamanan Dalam Kordnat Yang Dnormalsas. Catatan : Fungs g=0 Dapat Berupa Fungs Nonlner Untuk nla L yang mnmum : L g 0 ; =1,,3,,n (.68) t 1/ ( ) dsajkan dalam bentuk notas matrks : L G 0 (.69) t 1/ ( ) dmana graden vector adalah : g g g G,,..., 1 n (.70) 8

23 Tugas Akhr L g( 1,,..., n) 0 (.71) Maka ddapatkan persamaan sebaga berkut : * * rg * (.7) * 1/ * ( G t. G*) (.73) * t 1/ G * r * ( G G*) rg* * t 1/ ( G G*) (.74) Apabla d kalkan dengan G* t maka dperoleh : * t G. * r (.75) * t 1/ ( G G*) r datast adalah r mnmum atau sama dengan. Nla G* adalah graden vector pada ttk *. Bentuk skalar persamaan datas dsajkan dalam formulas berkut : n g 1 * (.76) n g 1 * g NIla * maka : adalah turunan pada ( * * * 1,,..., n) dengan menyamakan r mn =, G * * (.77) * t 1/ ( G G *) Bentuk scalar persamaan datas dapat dsajkan dalam formulas berkut : * * dmana = 1,,,n (.78) dmana : 9

24 Tugas Akhr g * (.79) n g 1 * yang merpakan kosnus arah pada sumbu-sumbu. Metoda Hasofer dan Lnd dapat dsebut juga dengan metoda FOSM, akan tetap dar penurunannya tdak ada kata-kata deret Taylor berkut dengan orde pertamanya ataupun stlah statsk second moment atau yang lebh dkenal dengan stlah varance. Untuk tu berkut adalah penjelasannya dengan cara yang berbeda. 1 o (Z 1 *,Z *)D Z 1 g=0 Z Gambar.11 Adalah Kosnus Arah Gars OD. Catatan: Fungs g=0 Dapat Berupa Fungs Nonlner Fungs batas kegagalan g() ddekat dengan deret Taylor pada ttk D n 1 * g * k g ( ) ( ) (.80) k 0 k! 1 * Deret datas hanya dambl orde pertamanya saja sehngga dsebut frst order. 30

25 Tugas Akhr 31 ) ( ) ( * * 1 * n g g (.81) Nla ekspektas dan varance (dsebut juga second moment) g() dformulaskan sebaga berkut : n g g E 1 * * )) ( ( (.8) n g g 1 * ) ( (.83) Sehngga apabla nla ddefnskan sebaga berkut: ) ( )) ( ( g g E (.84) maka dperoleh : 1/ 1 * 1 * * n n g g (.85) Hasl datas sama halnya dengan cara yang dlakukan Hasofer dan Lnd. Oleh sebab tu metoda Hasofer dan Lnd dapat juga dkatakan sebaga metoda FOSM Penentuan Faktor Keamanan Parsal Bentuk pertdaksamaan dalam desan yang dgunakan pada tugas akhr n adalah n n L n D R L D..., dmana nla nomnal beban-beban yang bekerja dkalkan dengan faktor-faktor beban dan nla nomnal tahanan (resstance) dreduks dengan faktor tahanan. Konds dkatakan aman apabla jumlah faktor-faktor tahanan dkalkan nla tahanan masng-masng, sebsa mungkn dapat menahan faktor-faktor pengal beban masng.-masng.

26 Tugas Akhr Persoalannya adalah mencar nla faktor keamanan parsal untuk suatu nla ndeks kehandalan atau ndeks keamanan yang telah dtentukan atau nla yang telhdtargetkan untuk mencapa suatu nla tertentu. Apabla x * adalah suatu nla desan dar varabel X maka persamaan batas kegagalan dapt dformulaskan sebaga berkut : * * * g ( x1, x,... x n ) 0 (.86) Jka faktor keamanan parsal kta paka akan menjad : g( 1xn1, xn,... nxnn) 0 (.87) Ttk desan adalah ttk dmana kegagalan palng besar kemungknannya untuk terjad. Persoalannya adalah bagamana menentukan ttk n berada. Dalam sstem koordnat yang dnormalsas, ttk n dperoleh dengan persamaan berkut n : * * (.88) dmana : g * * (.89) g * Nla varat * x dberkan oleh : * * x. (.90) bentuk persamaan datas dapat dtuls sebaga berkut : * x *.( 1 COV.. ) (.91) Nla COV datas merupakan nla koefsen varas (coeffcent of varaton) X. Sehngga faktor keamanan parsal untuk suatu yang dtargetkan adalah : * * x (1 COV.. ) (.9) xn xn 3

27 Tugas Akhr Dalam tugas akhr n faktor keamanan parsal nlah yang akan dcar, adapun fungs dstrbus yang berlaku pada setap komponen tahahan dan beban sebagamana dasumskan berdasarkan peneltan terdahulu. Untuk dstrbus beban mat dasumskan terdstrbus normal (Yett Rohayat, 1999), beban hdup terdstrbus ekstrm tpe I (Relablty of Structure, oleh Andrej S. Nowak dan Kevn R. Colln ) Nla Faktor-Faktor Beban Dan Tahanan Yang Optmal Nla faktor-faktor beban dan tahanan tdak selalu tergantung pada nla target, nla raso nomnal Ln/Dn ataupun yang lannya. Dalam tugas akhr n dngnkan nla faktor-faktor pengala yang berlaku pada berbaga konds desan, dmana keandalan yang dperoleh dalam ksaran yang mash memenuh syarat. Apabla satu set nla faktor-faktor beban dan tahanan konstan sehngga untuk berbaga konds akan terjad devas nla ndeks keandalan dar nla target ndeks keandalan awal o yang dtetapkan. Oleh karena tu dcar cara mendapatkan satu nla faktor-faktor beban dan tahanan yang optmal, untuk tu ddefnskan fungs S( ) sebaga berkut : II I S ( ) (R n R n ) w (.93) Kemudan, metoda FOSM dgunakan untuk beberapa nla raso nomnal (msal Ln /Dn ) sehngga dperoleh nla faktor-faktor tahanan dan beban (msal R, D dan L dengan menunjukan nomor set). Selanjutnya dengan menggunakan persamaan kelakan (performance functon) msalnya R Rn = D Dn + L Ln dperoleh persamaan nomnal resstance sepert berkut : II D La R n (.94) R dmana a = Ln /Dn Dengan nla-nla faktor pada persamaan datas telah dketahu sehngga ddapatkan II besarnya nla R n. Selanjutnya untuk satu set faktor-faktor tahanan dan beban yang bernla tetap ( R, D dan L ), dmana nla faktor-faktor yang akan dcar, dbentuk suatu persamaan berkut : I D La R n (.95) R 33

28 Tugas Akhr Perbedaan persamaan antara I R n dengan II R n adalah pada persamaan beberapa a, nla R, D, L hanya ada satu set sedangkan persamaan beberapa set yang banyak setnya sesua dengan banyaknya a. Sehngga persamaan S( ) menjad : I R n untuk II R n memlk II D La S( R, D, L ) R n w (.96) R Selanjutnya, persamaan datas dcar nla mnmumnya dengan langkah yatu persamaan datas dturunkan terhadap R, D dan L dan haslnya dbuat sama dengan nol. II a R R wa D w n a L w 0 (.97) II wrnr wd wa L 0 (.98) Maka, berdasarkan persamaan-persamaan datas, dperoleh tga varabel yang nlanya tdak dketahu,yatu R, D dan L. Sedangkan kta hanya memlk dua persamaan. Sehngga dbutuhkan satu persamaan lag untuk mendapatkan tga varabel tu. Oleh karena tu dnentukan terlebh dahulu salah satu varablel yang nlanya cenderung konstan. Maka, dengan dperoleh tga persamaan, maka semua nla dar tga varabel tersebut dapat dketahu. 34