MEDAN KLEIN-GORDON DAN MEDAN DIRAC PADA RUANG MINKOWSKI TAK KOMUTATIF

Transkripsi

1 SKRIPSI MEDAN KLEIN-GORDON DAN MEDAN DIRAC PADA RUANG MINKOWSKI TAK KOMUTATIF Timothy Siahaan 99/126784/PA/07593 Departemen Pendidikan Nasional Universitas Gadjah Mada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Yogyakarta 2004

2 SKRIPSI MEDAN KLEIN-GORDON DAN MEDAN DIRAC PADA RUANG MINKOWSKI TAK KOMUTATIF Timothy Siahaan 99/126784/PA/07593 Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh derajat Sarjana S1 Program Studi Fisika pada Jurusan Fisika Departemen Pendidikan Nasional Universitas Gadjah Mada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Yogyakarta 2004

3 SKRIPSI MEDAN KLEIN-GORDON DAN MEDAN DIRAC PADA RUANG MINKOWSKI TAK KOMUTATIF Timothy Siahaan 99/126784/PA/07593 Dinyatakan lulus ujian skripsi oleh tim penguji pada tanggal 8 Juli 2004 Tim Penguji Dr.rer.nat. M. Farchani Rosyid Pembimbing I Dr. Kamsul Abraha Penguji I Pembimbing II Juliasih Partini, M.Si. Penguji II Penguji III

4 Skripsi ini kupersembahkan Bagi Dia yang menciptakan segala keteraturan Untuk Papa, Mama, dan Adikku Andres tercinta Untuk Ria tersayang iii

5 Janganlah kecut dan tawar hati, sebab Tuhan, Allahmu, menyertai engkau, ke manapun engkau pergi (Yosua 1:9 Apabila aku ingat kepada-mu di tempat tidurku, merenungkan Engkau sepanjang kawal malam,- sungguh Engkau telah menjadi pertolonganku, dan dalam naungan sayap-mu aku bersorak-sorai (Mazmur 63:7,8 Takut akan Tuhan adalah permulaan pengetahuan, tetapi orang bodoh menghina hikmat dan didikan (Amsal 1:7 iv

6 PRAKATA Puji syukur kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala rahmat serta kasih setianya kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Sesungguhnya Tuhanlah Pencipta alam semesta, dan segala usaha kita untuk mengungkap rahasia ciptaannya akan sia-sia tanpa campur tangan Sang Pencipta yang Agung. Segala kata tidak akan dapat melukiskan puji syukur penulis kepadanya atas semua campur tangan pertolongannya dalam proses penulisan skripsi ini. Dalam penulisan skripsi ini penulis menyadari bahwa apa yang penulis dapatkan di bangku perkuliahan belumlah apa-apa dibandingkan dengan ilmu fisika. Penulis juga menjadi terbuka wawasannya dan menyadari bahwa ilmu fisika, khususnya fisika teori, terus berkembang selama manusia masih dapat berpikir. Kesadaran penulis akan hal itu menyebabkan penulis dipenuhi semangat untuk berkreasi mengembangkan teori yang telah ada. Sekarang setelah penulis merampungkan skripsi ini, penulis menyadari bahwa dibutuhkan dua hal agar manusia dapat melakukan sesuatu, yakni izin Tuhan serta optimisme manusia tersebut bahwa dia mampu melakukannya. Dalam penulisan skripsi dan masa perkuliahan banyak pihak yang telah berjasa kepada penulis, kepada mereka penulis mengucapkan terima kasih. Adapun ucapan terima kasih penulis tujukan kepada: 1. Tuhan Yesus Kristus, yang begitu baik bagi penulis, membuka cakrawala dan memberi gagasan-gagasan kreatif dalam pikiran penulis. 2. Papa dan Mama tercinta, yang tidak henti-hentinya memberi dukungan moral, semangat, dan cinta kasih yang tak pernah menuntut balas. 3. Dr.rer.nat. M. Farchani Rosyid, selaku pembimbing penulisan skripsi ini, yang telah memberi banyak masukan berupa tema skripsi yang menarik, bahan perkuliahan dan berbagai pemahaman mengenai berbagai teori, dan yang terpenting v

7 vi adalah teladan dan semangat untuk memberi kontribusi kepada ilmu pengetahuan. Penulis saat ini hanya dapat membalas semua yang bapak berikan dengan ucapan terima kasih, dan di kemudian hari sekiranya Tuhan mengizinkan, penulis ingin membalas semua kebaikan yang telah bapak berikan kepada penulis dan juga berkolaborasi dalam usaha memberi kontribusi bagi fisika. 4. Dr. Mirza Satriawan, yang telah banyak memberikan waktu dan tenaga untuk membimbing penulis, berdiskusi, dan memberikan wawasan mengenai fisika. Kalau Tuhan mengizinkan, penulis ingin sekali berkolaborasi dengan bapak dalam berbagai riset yang menantang. 5. Prof.Dr. Muslim, yang banyak memberi teladan untuk tidak takut kepada kerumitan perhitungan. Walaupun penulis mendapat perkuliahan dari bapak hanya pada tahun pertama, tetapi torehan selama tahun pertama itu membekas sampai saat ini sehingga penulis memutuskan untuk terjun dalam fisika teori. 6. Staf pengajar program studi fisika yang telah membimbing selama masa perkuliahan, yang telah mau diganggu oleh pertanyaan-pertanyaan penulis selama di kelas. 7. Ria Endriana Utami, yang terus memberikan dukungan moril dan kasih sayang yang tidak henti-hentinya kepada penulis. Terima kasih untuk semua yang kamu berikan kepada penulis. Kejarlah terus cita-citamu dan sukses untuk kita berdua. 8. Teman-teman kelompok "underground" Mathematical and Theoritical Physics, yang telah menjadi teman diskusi yang menyenangkan. Penulis memimpikan suatu saat nanti kita menorehkan nama kita di jurnal-jurnal fisika internasional bahkan persamaan-persamaan dengan nama kita tertulis di berbagai buku teks perkuliahan fisika di dunia.

8 vii 9. Pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu demi satu, yang telah banyak memberi bantuan, baik dalam penulisan skripsi ini maupun dalam perkuliahan. Akhirnya penulis berharap agar skripsi ini dapat memberikan gagasan-gagasan baru bagi yang membacanya sehingga skripsi ini memberi suatu kontribusi bagi fisika serta dapat menjadi batu loncatan menuju penelitian-penelitian lainnya. Penulis menyadari bahwa skripsi ini tidak lepas dari berbagai kesalahan, untuk itu penulis mohon maaf. Terakhir penulis mengutip peribahasa lama: Bila ada jarum yang patah, jangan disimpan di dalam peti. Bila ada sikap dan perilaku saya selama ini yang salah, mohon jangan disimpan di dalam hati. Yogyakarta, 21 Juni 2004 Penulis

9 DAFTAR ISI Halaman Judul i Halaman Pengesahan ii Halaman Persembahan iii Halaman Motto iv PRAKATA v INTISARI xii I PENDAHULUAN 1 1. Latar Belakang Masalah Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Tinjauan Pustaka Ruang Lingkup Kajian Sistematika Penulisan Metode Penelitian II RUANG TAK KOMUTATIF Beberapa Contoh Ruang Tidak Komutatif a. Ruang fase klasik (p, x dalam bahasan mekanika kuantum.. 12 b. Elektron pada medan magnet yang sangat kuat Bidang Tak Komutatif Ruang Minkowski Tak Komutatif viii

10 ix 4. Sifat-Sifat Perkalian Bintang III FORMULASI LAGRANGAN YANG DIPERUMUM DAN KESETANGKU- PAN Persamaan Euler-Lagrange Yang Diperumum Kesetangkupan dan Kaidah Noether Untuk Teori Lagrangan Suatu Medan Yang Diperumum Homogenitas Ruang-Waktu Isotropi Ruang IV MEDAN KLEIN-GORDON PADA RUANG MINKOWSKI TAK KO- MUTATIF Medan Klein-Gordon Riil Medan Klein-Gordon Kompleks V MEDAN DIRAC PADA RUANG MINKOWSKI TAK KOMUTATIF 54 VI KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Yang Diperoleh Dari Perluasan Teori Lagrangan Untuk Suatu Medan Kesimpulan Yang Diperoleh Dari Kajian Mengenai Medan Klein- Gordon Pada Ruang Minkowski Tak Komutatif Kesimpulan Yang Diperoleh Dari Kajian Mengenai Medan Dirac Pada Ruang Minkowski Tak Komutatif Saran A PEMBUKTIAN PERSAMAAN (II.22 74

11 ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN R C Himpunan bilangan riil. Himpunan bilangan kompleks. R n Produk kartesis n buah himpunan bilangan riil R. a A a adalah anggota himpunan A. Untuk setiap. B A Himpunan B adalah subhimpunan dari himpunan A. C (R n, C Himpunan fungsi-fungsi licin (smooth functions bernilai kompleks pada R n. A B Pemetaan dari himpunan A ke himpunan B. ζ[d] Bayangan himpunan D oleh pemetaan ζ. ξ B Pemetaan ξ terbatas pada himpunan B. Perkalian-bintang (star-product. [f, g] Sama dengan f g g f. e Muatan listrik elementer, dalam satuan SI sebesar 1, C. δ (n Fungsi delta Dirac. := Definisi Tak terhingga. d n x Sama dengan dx 1 dx 2 dx n atau dx 0 dx 1 dx n 1. Integral meliputi seluruh domain integrand. δ ɛ µνα δ µ ν g µν Variasi Epsilon Kronecker. Delta Kronecker. Tensor metrik. Dalam skripsi ini yang dipakai adalah tensor metrik x

12 xi Minkowski yakni g µν = diag( = g µν. k Operator nabla pada ruang koordinat. Operator nabla pada ruang momentum. 2 Operator Laplasan (Laplacian. r Penjumlahan meliputi semua nilai r. Vektor ket. Vektor bra. Hasil kali skalar antara vektor ket dan vektor bra. T αν P ν Tensor energi-momentum kontravarian. Vektor momentum-4 kontravarian. J jk = ɛ jkl J l Komponen momentum sudut total ke arah sumbu x l. M jk = ɛ jkl M l Komponen momentum sudut orbital ke arah sumbu x l. S jk = ɛ jkl S l Komponen momentum sudut intrinsik ke arah sumbu x l. h Tetapan Planck. Dalam satuan SI besarnya adalah 6, J.s. e Tetapan Planck tereduksi, sama dengan h 2π. Muatan listrik elementer. Dalam satuan SI besarnya adalah 1, C. c Laju rambat cahaya pada ruang hampa, dalam satuan SI besarnya adalah 2, m/s. k ν Komponen suatu vektor 4 kontravarian (kecuali ada keterangan tambahan. k µ t µ Sama dengan 3 µ=0 k µt µ atau 3 µ,ν=0 k µt ν g µν.

13 INTISARI MEDAN KLEIN-GORDON DAN MEDAN DIRAC PADA RUANG MINKOWSKI TAK KOMUTATIF Oleh : Timothy Siahaan 99/126784/PA/07593 Telah dilakukan kajian mengenai medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif dengan menggunakan teori Lagrangan untuk medan yang telah diperumum. Perumuman teori Lagrangan untuk medan menghasilkan perumuman definisi Hamiltonan, momentum, dan momentum sudut suatu medan. Definisi-definisi tersebut digunakan dalam kajian mengenai medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif. xii

14 BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Masalah Gagasan mengenai ketidakkomutatifan ruang dan waktu merupakan gagasan lama yang telah dipikirkan oleh para fisikawan. Hal ini pertama kali dipublikasikan oleh Snyder pada tahun Snyder mengemukakan bahwa invariansi Lorentz tidak mensyaratkan ruang-waktu sebagai suatu kontinuum. Dalam artikelnya [Snyder, 1947] Snyder mengemukakan gagasannya mengenai ruang-waktu yang diskret. Ruang-waktu yang diskret dapat mengakibatkan ruang-waktu tidak lagi komutatif. Bahkan Snyder melangkah lebih jauh dengan melakukan telaah mengenai medan elektromagnet pada ruang-waktu yang diskret. Namun gagasan mengenai ruangwaktu yang tidak komutatif seakan tenggelam karena kurang mendapat tanggapan para fisikawan. Hal ini dikarenakan kemunculan gagasan tersebut berdekatan waktunya dengan "booming" renormalisasi kala itu. Perkembangan penelitian teoritis di bidang fisika energi tinggi dan karya besar Connes mengenai geometri tak komutatif [Connes, 1994] mengingatkan kembali gagasan mengenai ruang-waktu tak komutatif yang telah lama dilupakan orang. Perkembangan kajian teoritis menyatakan bahwa pada skala Planck 1 struktur ruangwaktu berubah menjadi tidak komutatif. Namun karena data eksperimen mengenai struktur ruang-waktu pada skala yang sangat kecil (dengan kata lain pada energi yang sangat tinggi sangat terbatas, maka para fisikawan berusaha menyusun berbagai model yang diperkirakan dapat menggambarkan tidak komutatifnya ruang-waktu tersebut. Model yang dipakai dalam skripsi ini adalah model yang paling sederhana, 1 Skala Planck secara numerik diberikan oleh panjang Planck l P cm dan selang waktu Planck t P s. 1

15 2 yakni model yang berdasarkan kaitan komutasi [ˆx µ, ˆx ν ] = iθ µν, (I.1 dengan θ µν suatu tensor yang bernilai riil dan antismetris terhadap pertukaran indeks. Kaitan komutasi (I.1 berimbas pada terbentuknya suatu aljabar fungsi-fungsi licin (smooth functions yang terdefinisikan pada ruang Minkowski (dapat dilihat misalnya pada [Siahaan dkk, 2004]. Berbagai kajian teoritis mengenai teori medan (kuantum pada ruang-waktu tak komutatif telah dilakukan dan artikel-artikel mengenai teori medan pada ruangwaktu tak komutatif telah dipublikasikan, namun belum ada artikel yang secara khusus membahas medan Klein-Gordon dan medan Dirac 2. Dalam berbagai artikel disebutkan bahwa pembahasan mengenai medan bebas tidak akan memberikan hal yang baru (lihat misalnya [Girotti, 2003], [Sochichiu, 2002], [Szabo, 2003] karena sifat dari perkalian tak komutatif (disebut sebagai perkalian-bintang atau star-product ( akan dibahas pada bab kedua dalam skripsi ini antara dua fungsi licin yang terintegralkan secara kuadratis akan tereduksi menjadi perkalian biasa jika dilakukan integrasi ke seluruh ruang-waktu f gd 4 x = fgd 4 x. (I.2 Sifat di atas berlaku jika terdapat fungsi licin f(k (dan juga g(k pada ruang momentum- 4 sedemikian sehingga f(x = f(ke ikµxµ d 4 x. (I.3 Hal ini akan dibahas pada bab II. Dalam berbagai artikel tersebut dikemukakan bah- 2 Sebenarnya artikel yang membahas medan Klein-Gordon dan medan Dirac sudah ada, namun yang artikel tersebut merupakan karya penulis dan merupakan bentuk ringkas dari skripsi ini [Siahaan dkk, 2004].

16 3 wa sifat (II.1 menyebabkan aksi untuk suatu medan bebas pada ruang-waktu tak komutatif tidak berbeda dengan aksi medan bebas pada ruang-waktu yang komutatif. Namun demikian suatu aksi merupakan integral suatu rapat Lagrangan meliputi sembarang daerah integrasi pada ruang-waktu berdimensi 4 (lihat misalnya [Ryder, 1996]p.82-87, [Mandl dan Shaw, 1984]p.30. Selain itu, sifat (I.2 tidak berlaku untuk medan Klein-Gordon dan medan Dirac, karena ekspansi Fourier medan-medan tersebut di ruang momentum-4 dibatasi oleh persyaratan-persyaratan fisis, yakni ketidaknegatifan energi dan kaitan energi-momentum Einstein, sehingga wakilannya di ruang momentum-4 bukan fungsi licin yang berakibat medan-medan tersebut tidak dapat diekspansikan seperti pada persamaan (I.3. Dengan demikian pernyataan bahwa pembahasan mengenai medan bebas tidak akan memberikan hal yang baru karena berlakunya persamaan (I.2 tidak dapat diterima. Karena itu pembahasan medan Klein-Gordon dan medan Dirac, yang merupakan medan-medan bebas, pada ruangwaktu yang tidak komutatif (lebih tepat disebutkan sebagai ruang Minkowski yang tidak komutatif masih harus dilakukan. 2. Perumusan Masalah Dari uraian di atas jelas bahwa kajian mengenai medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif masih harus dilakukan. Hal ini dikarenakan belum terdapatnya teori yang menjelaskan medan-medan tersebut pada ruang Minkowski tak komutatif. Selain itu medan Klein-Gordon dan medan Dirac merupakan dua medan yang paling sederhana kajiannya namun berkaitan dengan zarah-zarah elementer yang terdapat di alam. Pembahasan mengenai suatu medan biasanya berangkat dari suatu rapat Lagrangan yang menggambarkan medan tersebut. Demikian pula dalam pembahasan medan Klein-Gordon dan medan Dirac, kajian akan dilakukan dengan meninjau ra-

17 4 pat Lagrangan medan-medan tersebut. Namun dalam teori medan yang lazim dikaji rapat Lagrangan hanya gayut pada suatu medan dan turunan pertamanya sedangkan pada kajian kali ini rapat Lagrangan gayut bukan saja pada suatu medan dan turunan pertamanya tetapi juga pada turunan-turunan parsial berderajat tinggi sebagai akibat deformasi (penggantian perkalian biasa (perkalian per titik atau pointwise multiplication antara medan-medan menjadi perkalian-bintang. Untuk itu perlu diadakan perumuman teori Lagrangan untuk suatu medan (Lagrangian field theory dengan rapat Lagrangan yang gayut pada suatu medan dan turunan-turunan parsial hingga sembarang orde. Perumuman tersebut menyebabkan perlunya pendefinisian ulang beberapa kuantitas yang berkaitan dengan suatu medan, yakni Hamiltonan, momentum, serta momentum sudut, yang merupakan perumuman kuantitas-kuantitas tersebut pada teori Lagrangan untuk suatu medan yang biasa. Selanjutnya teori Lagrangan untuk suatu medan yang diperumum (Generalized Lagrangian field theory tersebut digunakan dalam menelaah medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif. 3. Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah: 1. Melakukan perumuman teori Lagrangan untuk suatu medan dan merumuskan persamaan Euler-Lagrange yang diperumum, Hamiltonan, momentum, serta momentum sudut suatu medan. 2. Merumuskan bentuk rapat Lagrangan untuk medan Klein-Gordon dan medan Dirac baik yang bernilai riil maupun kompleks pada ruang Minkowski tak komutatif. 3. Mencari bentuk eksplisit Hamiltonan, momentum, dan momentum sudut medan

18 5 Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif dengan menggunakan teori Lagrangan untuk suatu medan yang diperumum. 4. Tinjauan Pustaka Kajian mengenai teori medan (kuantum tak komutatif 3 meliputi tiga aspek, yakni ruang yang tidak komutatif, deformasi aljabar yang terdefinisikan pada ruang tersebut, serta teori medan (kuantum pada ruang yang tidak komutatif. Connes (1994 mengemukakan gagasan mengenai geometri yang tidak komutatif (noncommutative geometry. Torrielli (2002 mengemukakan bahwa gagasan ruang-waktu yang tidak komutatif cocok dengan dugaan bahwa struktur ruang-waktu berubah pada skala penyatuan teori gravitasi dengan teori kuantum [Torrielli, 2002]. Sochichiu (2002 mengemukakan konsep ruang tak komutatif dan kaitannya dengan fisika disertai dengan beberapa model dan contoh ruang yang tidak komutatif [Sochichiu, 2002]. Kajian Calmet (2004 mengenai ruang-waktu yang tidak komutatif memberikan hasil bahwa batas-batas ketidakkomutatifan ruang-waktu gayut pada model yang ditinjau [Calmet, 2004]. Konsep ruang tak komutatif memiliki akar pada konsep penguantuman Moyal [Moyal, 1949]. Dalam artikel tersebut Moyal memperkenalkan suatu prosedur penguantuman melalui deformasi aljabar pada ruang fase klasik sebagai akibat ketidakkomutatifan ruang fase pada bahasan mekanika kuantum. Penguantuman tersebut kemudian dikenal sebagai penguantuman Moyal. Bayen dkk (1978 membahas teori penguantuman deformasi [Bayen dkk, 1978] yang menjadi landasan bagi penguantuman Moyal. Girotti (2003 menurunkan bentuk perkalian-bintang (starproduct sebagai manifestasi asumsi bahwa ruang-waktu yang ditinjau tidak lagi komutatif. Penurunan bentuk perkalian-bintang tersebut analog dengan penguantuman 3 Pengertian istilah teori medan (kuantum tak komutatif mengacu pada teori medan (kuantum pada ruang yang tidak komutatif [Barbon, 2001].

19 6 Moyal. Pembahasan secara kompak mengenai perkalian-bintang dengan parameter ketidakkomutatifan yang berupa konstanta telah dilakukan oleh Meyer (2003. Kajian mengenai teori medan (kuantum pada ruang tak komutatif telah banyak dilakukan. Torrielli (2002 menunjukkan kaitan antara teori medan (kuantum pada ruang-waktu tak komutatif dengan teori string (string theory. Kaitan tersebut adalah bahwa teori medan (kuantum pada ruang-waktu tak komutatif dapat diturunkan sebagai penggambaran efektif teori string pada energi rendah dengan latar belakang yang antisimetris (effective description of string theory in antisymmetric background. Selanjutnya Torrielli membahas teori gangguan medan kuantum tidak komutatif [Torrielli, 2002]. Sochichiu (2002 membahas invariansi tera dan medan tera pada ruang tak komutatif, pembahasan ini juga disertai pembahasan mengenai lintasan Wilson dan simpal Wilson pada ruang tak komutatif. Girotti (2003 membahas berbagai suku interaksi pada Lagrangan medan yang tidak komutatif. Meyer (2003 membahas model-model medan tera pada ruang tak komutatif. Selain yang telah disebutkan masih banyak artikel yang membahas teori medan (kuantum pada ruang tak komutatif. Namun demikian belum ada yang melakukan kajian mengenai medan bebas pada ruang Minkowski tak komutatif, sehingga kajian dalam skripsi ini merupakan hal yang baru. 5. Ruang Lingkup Kajian Kajian mengenai medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang-waktu yang tidak komutatif dibatasi hanya untuk medan bebas, yakni medan yang tidak berinteraksi dengan medan lain. Selain itu medan yang ditelaah adalah medan klasik, yakni belum diadakan penguantuman terhadap medan Klein-Gordon dan Dirac. Model ruang-waktu tak komutatif yang digunakan adalah model yang memenuhi kaitan komutasi (I.1 dan merupakan ruang-waktu yang flat disertai dengan metrik Minkows-

20 7 ki. 6. Sistematika Penulisan Skripsi ini ditulis dalam enam bab, dengan penjelasan bab demi bab adalah sebagai berikut: Pada bab I mengemukakan latar belakang penelitian yang dilakukan, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, sistematika penulisan, serta penjelasan mengenai metode pelaksanaan penelitian. Bab II berisi penjelasan mengenai konsep ruang tak komutatif serta beberapa contoh ruang yang tidak komutatif. Pada bab ini dilakukan penurunan bentuk perkalian tak komutatif (perkalian-bintang yang merupakan akibat dari ketidakkomutatifan suatu ruang yang ditinjau. Bab III membahas perumuman teori Lagrangan untuk suatu medan. Pada bab ini dirumuskan persamaan Euler-Lagrange yang diperumum, serta kuantitaskuantitas yang berkaitan dengan suatu medan yakni Hamiltonan, momentum, serta momentum sudut. Pada bab IV dibahas medan Klein-Gordon pada ruang Minkowsi tak komutatif. Pembahasan tersebut dilakukan dengan menggunakan teori Lagrangan untuk suatu medan yang telah diperumum pada bab III. Pada bab ini dirumuskan rapat Lagrangan medan Klein-Gordon pada ruang Minkowski yang tidak komutatif baik yang bernilai riil maupun kompleks, serta dilakukan juga perumusan Hamiltonan, momentum, serta momentum sudut medan Klein-Gordon. Pada akhirnya bentuk eksplisit Hamiltonan, momentum, serta momentum sudut medan Klein-Gordon pada ruang Minkowski tak komutatif (baik medan yang bernilai riil maupun yang bernilai kompleks dinyatakan pada bab ini.

21 8 Bab V membahas medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif dengan menggunakan teori Lagrangan untuk suatu medan yang telah diperumum. Seperti halnya pada bab IV, pada bab ini juga dirumuskan rapat Lagrangan medan Dirac pada ruang Minkowski yang tidak komutatif serta Hamiltonan, momentum, dan momentum sudut medan Dirac. Hasil-hasil tersebut digunakan untuk merumuskan bentuk eksplisit kuantitas-kuantitas tersebut. Bab VI berisi kesimpulan mengenai hasil penelitian yang telah dilakukan serta saran-saran untuk penelitian mendatang mengenai topik-topik yang telah berkaitan dengan topik yang dikemukakan dalam skripsi ini. 7. Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah kajian teoritis terhadap teori Lagrangan untuk suatu medan pada ruang Minkowski tak komutatif. Untuk melakukan kajian mengenai medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif, mula-mula diperkenalkan konsep ruang tak komutatif. Konsep yang diperkenalkan bukanlah konsep yang mendetail secara matematis namun merupakan konsep yang memberikan gambaran kasar mengenai ruang tak komutatif. Dalam pembahasan mengenai konsep ruang tak komutatif juga dibahas perkalian tak komutatif yang disebut sebagai perkalian-bintang (star-product yang digunakan dalam menelaah rapat Lagrangan medan Klein-Gordon dan medan Dirac pada ruang Minkowski tak komutatif. Selanjutnya dilakukan perluasan teori Lagrangan untuk suatu medan. Hal ini dilakukan karena teori Lagrangan yang lazim dibahas tidak memadai dalam pembahasan yang akan dilakukan selanjutnya. Dalam perluasan teori Lagrangan untuk suatu medan ini dilakukan pendefinisian ulang Hamiltonan, momentum, serta momentum sudut suatu medan. Hasil-hasil yang diperoleh dari perluasan teori Lagrangan untuk medan kemudian digunakan dalam kajian mengenai

22 9 medan Klein-Gordon dan medan Dirac, yakni untuk merumuskan rapat Lagrangan, Hamiltonan, momentum, serta momentum sudut medan-medan tersebut.

23 BAB II RUANG TAK KOMUTATIF Andaikan (C (R n, C, +, aljabar asosiatif di atas lapangan kompleks (complex field yang beranggotakan fungsi-fungsi licin pada ruang R n. Aljabar asosiatif (C (R n, C, +, merupakan suatu aljabar yang dibangkitkan oleh koordinatkoordinat x µ, µ = 1, 2,..., n. Andaikan pula O n himpunan yang beranggotakan operator-operator linier pada ruang Hilbert H yang diperoleh dari anggota-anggota C (R n, C melalui pemetaan P n : C (R n, C O n sebagai berikut: f(x 1, x 2,..., x n ˆf(ˆx 1, ˆx 2,..., ˆx n, f C (R n, C. (II.1 Pemetaan P n mengimbas terbentuknya aljabar (O n, +, di atas lapangan kompleks yang dibangkitkan oleh operator-operator ˆx µ, µ = 1, 2,..., n. Kajian mengenai kekomutatifan ruang R n terkait erat dengan kedua aljabar di atas. Ruang Minkowski tak komutatif yang akan menjadi ruang konfigurasi dalam pembahasan medan Klein- Gordon dan medan Dirac dalam skripsi ini merupakan kasus khusus untuk n = 4 dengan disertakannya metrik Minkowski pada R 4. Menurut definisi (II.1 setiap anggota O n dapat diperoleh dari setiap fungsi f C (R n, C dengan penggantian tiap-tiap peubah x µ dengan operator ˆx µ. Pemetaan P n yang menjembatani himpunan C (R n, C dan O n merupakan suatu pemetaan yang bijektif. Bijektivitas P n mengakibatkan struktur aljabar pada C (R n, C dan pada O n saling berkaitan, yakni deformasi (pengubahan struktur aljabar di himpunan O n akan menyebabkan deformasi struktur aljabar pada himpunan C (R n, C, demikian pula sebaliknya. Karena x µ membangkitkan suatu sruktur aljabar pada himpunan C (R n, C dan ˆx µ membangkitkan suatu struktur aljabar pada O n, maka kai- 10

24 11 tan komutasi antara ˆx µ, yang menentukan bentuk perkalian antara operator-operator anggota himpunan O n akan mempengaruhi bentuk perkalian antara fungsi-fungsi anggota himpunan C (R n, C. Jika ˆx µ saling komut, yakni [ˆx µ, ˆx ν ] = 0, (II.2 maka [x µ, x ν ] = 0, (II.3 dan bentuk perkalian baik pada O n maupun pada C (R n, C bersifat komutatif. Salah satu bentuk perkalian yang komutatif antara fungsi-fungsi f, g C (R n, C adalah bentuk perkalian biasa antara fungsi-fungsi yang telah dikenal. Suatu ruang R n yang menjadi ruang basis (base space bagi aljabar asosiatif dan komutatif (C (R n, C, +, di atas lapangan kompleks disebut sebagai ruang R n komutatif. Jika kaitan komutasi pada persamaan (II.2 didideformasi sedemikian sehingga [ˆx µ, ˆx ν ] = iθ µν (II.4 dengan θ µν merupakan unsur-unsur suatu matriks θ berukuran n n yang antisimetris, maka perkalian pada O n berubah menjadi perkalian yang tidak komutatif. Unsur-unsur θ µν disebut parameter ketakkomutatifan. Hal ini akan mengimbas terbentuknya suatu perkalian tak komutatif antara fungsi-fungsi licin pada himpunan C (R n, C yang diparameterkan oleh θ µν. Bentuk perkalian tersebut harus kembali ke bentuk perkalian komutatif untuk limit θ µν 0. Ruang R n yang menjadi ruang basis bagi aljabar asosiatif tak komutatif (C (R n, C, +, θ, dengan ( θ merupakan perkalian tak komutatif yang disebut diatas, disebut sebagai ruang R n tak komutatif. Menurut persamaan (II.4, ruang R n tak komutatif sangat bergantung pada θ µν, sehingga model ruang tak komutatif ditentukan oleh parameter θ µν.

25 12 Seperti yang telah disebutkan pada bab sebelumnya, pembahasan dalam skripsi ini dibatasi hanya pada model ruang tak komutatif yang ditentukan oleh parameter θ µν yang merupakan suatu konstanta bernilai riil, antisimetris terhadap pertukaran indeks, sehingga membentuk suatu matriks konstan berorde n n. Matriks θ yang dibentuk oleh θ µν haruslah merupakan matriks yang swanilainya tidak merosot, sehingga mensyaratkan dimensi n bernilai genap. Hal ini disebabkan karena trθ harus bernilai nol, sedangkan trθ berkaitan dengan jumlah swanilai matriks θ. Untuk n yang bernilai genap dan swanilainya merosot, selalu dapat dilakukan transformasi koordinat sedemikian sehingga terdapat pasangan-pasangan koordinat yang saling komut. Artinya ruang yang tidak komutatif adalah R n 2m R n, 2m < n. Transformasi yang demikian mengakibatkan θ = NθN 1 dapat tereduksi, yang berarti R n dapat terbagi mendaji R 2m yang komutatif dan R n 2m yang tidak komutatif. Jika n bernilai ganjil, det θ = 0. Hal ini berarti dapat diadakan transformasi koordinat yang menyebabkan transformasi θ θ dengan θ diagonal. Karena determinan suatu matriks tidak akan berubah karena transformasi pendiagonalan, maka det θ = 0, yang berarti terdapat swanilai matriks θ yang lenyap. Dengan kata lain jika n bernilai ganjil, maka selalu dapat diadakan transformasi koordinat yang akan mengubah matriks θ sedemikian sehingga ruang R n tersebut atau subruang dari R n komutatif. 1. Beberapa Contoh Ruang Tidak Komutatif a. Ruang fase klasik (p, x dalam bahasan mekanika kuantum Ruang fase (p, x merupakan ruang R 2 yang tidak komutatif. Melalui penguantuman kanonik p ˆp; x ˆx; [ˆx, ˆp] = i, (II.5 (II.6

26 13 maka terbentuk aljabar operator yang dibangkitkan oleh operator-operator ˆp dan ˆx yang tidak lagi komutatif. Kaitan komutasi (II.6 mengimbas terbentuknya aljabar fungsi-fungsi licin (C (R 2, C, +, M, dengan M adalah perkalian Moyal (Moyalproduct [Moyal, 1949] yang tidak lagi bersifat komutatif dan mempertahankan struktur (II.6 di C (R 2, C yakni [x, p] M := x M p p M x = i. (II.7 b. Elektron pada medan magnet yang sangat kuat Ditinjau elektron yang berada pada suatu bidang (x 1, x 2 dengan suatu vektor potensial A i = 1 2 Bɛ ijx j, i, j = 1, 2. Bentuk Lagrangan bagi sistem tersebut adalah L = 1 2 m eẋ j ẋ j e 2 Bɛ ijx i ẋ j, (II.8 dengan m e adalah massa elektron. Lagrangan (II.8 merupakan penggambaran suatu sistem yang terdiri dari sebuah elektron yang berada dalam suatu medan magnet seragam (uniform yang tegak lurus bidang (x 1, x 2. Jika tenaga kinetik elektron jauh lebih kecil dibandingkan dengan tenaga yang ditimbulkan akibat interaksi elektron tersebut dengan medan magnet, maka Lagrangan (II.8 tereduksi menjadi L e 2 Bɛ ijx i ẋ j. (II.9 Komponen-komponen momentum konjugat yang diperoleh dari Lagrangan (II.9 adalah π j = dl dẋ j = e 2 Bɛ ijx i, (II.10

27 14 sehingga dengan penguantuman kanonis, diperoleh [ˆπ j, ˆx l ] = δ l j = e 2 Bɛ ij[ˆx i, ˆx l ], (II.11 atau [ˆx i, ˆx l ] = i 2 eb ɛil. (II.12 Jika dibandingkan dengan persamaan (II.4, maka θ il = 2 eb ɛil, i, l = 1, 2. (II.13 Hal ini berkaitan dengan aras-aras Landau. 2. Bidang Tak Komutatif Ditinjau kasus ruang tak-komutatif yang paling sederhana yakni bidang yang tidak komutatif dan himpunan C (R 2, C. Selanjutnya hendak dibentuk aljabar tak komutatif (C (R 2, C, +, 2, yakni dengan membentuk perkalian tak komutatif antara fungsi-fungsi anggota himpunan C (R 2, C melalui pemetaan P 1 2 : O 2 C (R 2, C. Pada kasus bidang tak komutatif, koordinat-koordinat x 1, x 2 merupakan observabel, sehingga wakilan operator liniernya ˆx 1, ˆx 2 bersifat Hermitan. Untuk itu ditinjau himpunan S R 2 C (R 2, C yang beranggotakan fungsi-fungsi licin yang semua turunannya (orde berapapun meluruh lebih cepat daripada 1/ r N, N = 1, 2,..., ketika r. Setiap fungsi φ S R 2 disebut sebagai fungsi yang meluruh dengan cepat (rapidly decreasing function[dunford dan Schwartz, 1971] 1. Untuk setiap φ = φ( r = φ(x 1, x 2 S R 2, terdapat padanannya di ruang 1 S R 2 disertai operasi penjumlahan membentuk suatu ruang vector yang dikenal sebagai ruang fungsi Schwartz yang terdefinisikan pada R 2. Secara umum ruang fungsi Schwartz dapat didefinisikan pada ruang R D, D = 1, 2,..., dan selanjutnya dilambangkan dengan S R D, D = 1, 2,... dengan D adalah dimensi ruang yang menjadi domain dari tiap-tiap anggota S R D.

28 15 momentum-2 [Dunford dan Schwartz, 1971] φ( p = φ(p 1, p 2 = h 1 φ( re i p r d 2 x, (II.14 dan sebaliknya φ( r dapat dinyatakan sebagai transformasi Fourier balik φ( r = h 1 φ( pe i p r d 2 p. (II.15 Pemetaan Ŵ := P 2 SR 2 memetakan tiap anggota S R 2 ke Ŵ [S R 2] O 2, dengan perkalian pada O 2 digantikan menjadi perkalian tak komutatif menurut kaitan [ˆx j, ˆx k ] = iθ jk, j, k = 1, 2. (II.16 Bayangan φ di Ŵ [S R2] adalah Ŵ [φ] = ˆφ = h 1 φ( pe i p j ˆx j d 2 p. (II.17 Jika didefinisikan operator ˆT ( p ˆT ( p := e i p j ˆx j, (II.18 maka persamaan (II.17 dapat dituliskan sebagai ˆφ = h 1 φ( p ˆT ( pd 2 p. (II.19 Bayangan balik operator ˆφ dapat diperoleh dengan menggunakan sifat-sifat

29 16 operator ˆT ( p, yakni ˆT ( p = ˆT ( p; (II.20 ˆT ( p ˆT ( p = ˆT ( p + p e i 2 2 p ip j θij ; (II.21 tr ˆT ( p = h 2 δ (2 ( p. (II.22 Persamaan (II.21 diperoleh dengan menggunakan rumus Baker-Campbell-Hausdorff, sedangkan persamaan (II.22 dibuktikan pada lampiran A. Jika ˆφ dikalikan dari kanan dengan ˆT ( p dan dilanjutkan dengan mengambil trace operator ˆφ T ( p, diperoleh tr[ ˆφ ˆT ( p ] = h φ( pe i 2 2 p jp k θjk δ (2 ( p p d 2 p = h φ( p, (II.23 atau φ( p = h 1 tr[ ˆφ ˆT ( p], (II.24 sehingga dengan menggunakan persamaan (II.15, diperoleh φ( r = h 2 e i p r tr[ ˆφ ˆT ( p]d 2 p. (II.25 Pemetaan Ŵ merupakan pemetaan bijektif dari S R 2 menuju Ŵ [S R2]. Andaikan Ŵ [S R 2] subaljabar dari (O 2, +, dengan perkalian pada O 2 merupakan perkalian yang tidak komutatif menurut kaitan (II Perkalian antara operator-operator ˆφ 1, ˆφ 2,..., ˆφ n Ŵ [S R2] adalah ˆφ 1 ˆφ2 ˆφ n = h n φ 1 ( p 1 φ 2 ( p 2 φ n ( p n 2 Asumsi ini benar jika (S R 2, +, 2, dengan 2 perkalian tak komutatif yang hendak diturunkan bentuk eksplisitnya, merupakan suatu aljabar asosiatif tak komutatif di atas lapangan kompleks.

30 17 = e i 2 2 θ n lm j<k pl j pm k n ˆT ( p j d 2 p 1 d 2 p 2. j=1 (II.26 Jika kedua ruas persamaan (II.26 dikalikan dari kanan dengan ˆT ( p dan diambil nilai trace-nya, maka diperoleh tr[ ˆφ 1 ˆφ2 ˆφ n ˆT ( p] = h 2 n e i 2 2 θ lm n δ( j=1 n j<k pl j pm i k e 2 2 θ lm p j pd 2 p 1 d 2 p n. φ 1 ( p 1 φ 2 ( p 2 φ n ( p n n j=1 pl j pm (II.27 Dengan mengalikan kedua ruas persamaan (II.27 dengan he i p r dan dilanjutkan dengan pengintegralan ke seluruh nilai p 1, p 2, diperoleh Ŵ 1 [ ˆφ 1 ˆφ2 ˆφ n ] = h 2 e i p r tr[ ˆφ 1 ˆφ2 ˆφ n ]d 2 p = h n φ( p 1 φ( p 2 φ n ( p n e i p r e i 2 2 θ lm n j<k pl j pm k d 2 p 1 d 2 p n i 2 = e θ lm n j<k x j l x k m φ 1 ( r 1 φ 2 ( r 2 φ n ( r n r1 = = r n= r := (φ 1 2 φ φ n ( r (II.28 yang merupakan definisi perkalian tak komutatif antara anggota-anggota S R 2, untuk n = 2 i 2 (φ 1 φ 2 ( r = e θlm x 1 l = (φ 1 φ 2 ( r + x 2 m φ1 ( r 1 φ 2 ( r 2 n=1 r1 = r 2 = r ( n i 1 2 n! θj 1k1 θ jnkn n φ 1 n φ 2 x j 1 x j n ( r x k 1 x k n ( r, (II.29

31 18 yang merupakan anggota S R 2. Dengan demikian ( 2 merupakan operasi biner pada S R 2. Karena menurut persamaan (II.28 perkalian ( 2 bersifat asosiatif, maka (S R 2, +, 2 merupakan aljabar asosiatif tak komutatif di atas lapangan kompleks. Hal ini juga membuktikan kebenaran asumsi bahwa Ŵ [S R2] merupakan subaljabar dari (O 2, +,. Karena Ŵ = P 2 SR 2 dan P 2 bersifat bijektif, maka perkalian ( 2 merupakan perkalian tak komutatif pada C (R 2, C sehingga terbentuklah aljabar (C (R 2, C, +, 2 yang asosiatif dan tidak komutatif di atas lapangan kompleks. Perkalian ( 2 disebut sebagai perkalian-bintang (star-product yang terdefinisikan pada bidang R 2 tak komutatif. 3. Ruang Minkowski Tak Komutatif Penurunan bentuk perkalian-bintang yang terdefinisikan pada bidang R 2 dilakukan berdasarkan kenyataan bahwa dalam mekanika kuantum koordinat-koordinat x j merupakan observabel yang berarti memiliki wakilan operator linier yang Hermitan di ruang Hilbert H. Penjabaran konsep ruang-waktu R 4 tak komutatif yang diikuti dengan pendefinisian perkalian-bintang pada ruang-waktu R 4 analog dengan penjabaran konsep bidang tak komutatif. Tetapi hal ini terkendala oleh kenyataan bahwa dalam bahasan mekanika kuantum waktu bukanlah observabel melainkan suatu parameter, sehingga tidak terdapat operator linier yang Hermitan bagi waktu 3. Dalam pembahasan teori medan, waktu dan ruang bukan lagi suatu observabel melainkan suatu parameter, sehingga dapat dilakukan pembentukan ruang-waktu yang tidak komutatif dengan memperkenalkan operator-operator linier yang Hermitan di ruang Hilbert 3 Kedudukan waktu dalam mekanika kuantum masih menjadi perdebatan hingga kini. Beberapa fisikawan (salah satunya adalah Goswami. Hal ini dapat diacu pada [Goswami, 1997] menyatakan tidak terdapat operator waktu. Namun andaikan waktu merupakan suatu observabel keberadaan operator linier yang hermitan bagi observabel waktu tidak dimungkinkan secara matematis [Dwandaru dkk, 2004].

32 19 H bagi parameter ruang-waktu x µ yang mematuhi kaitan komutasi [ˆx µ, ˆx ν ] = iθ µν, µ, ν = 0, 1, 2, 3. (II.30 Kuantitas θ µν merupakan komponen suatu tensor kontravarian antisimetris dengan rank 2 yang [L] 2 ([L] adalah dimensi observabel/besaran panjang. Kaitan komutasi pada persamaan (II.30 menyebabkan aljabar (O 4, +, di atas lapangan kompleks tidak lagi komutatif, dan melalui pemetaan P 1 4 ketidakkomutatifan aljabar (O 4, +, mengimbas terbentuknya aljabar (C (R 4, C, +, yang tidak komutatif di atas lapangan kompleks, dengan perkalian ( adalah perkalian tak komutatif yang hendak dicari bentuk eksplisitnya. Untuk mencari bentuk eksplisit perkalian ( dilakukan penurunan yang analog dengan penurunan bentuk eksplisit perkalian-bintang pada bidang R 2 tak komutatif. Ditinjau S R 4 C (R 4, C, di mana setiap ψ = ψ(x = ψ( r, t S R 4 mempunyai padanan di ruang k berdimensi 4 yang diperoleh melalui transformasi Fourier ψ(k = (2π 2 ψ(xe ikµxµ d 4 x, (II.31 dan ψ(x dapat dinyatakan sebagai transformasi Fourier balik dari ψ(k ψ(x = (2π 2 ψ(ke ikµxµ d 4 k. (II.32 Dengan adanya pemetaan Ŵ4 := P 4 SR 4, maka bayangan ψ(x di Ŵ 4 [S R 4] O 4 adalah ˆψ = Ŵ4[ψ] = (2π 2 ψ(ke ikµxµ d 4 k, (II.33

33 20 dan bayangan baliknya di S R 4 adalah Ŵ 1 4 [ ˆψ] = ψ(x = (2π 4 e ikµxµ tr[ ˆψ ˆT (k]d 4 k, (II.34 dengan operator ˆT (k didefinisikan sebagai ikµ ˆxµ ˆT (k := e (II.35 yang memiliki sifat-sifat yang mirip dengan ˆT ( p = ˆT (p 1, p 2 pada persamaan (II.20, (II.21, dan (II.22, yakni ˆT (k = ˆT ( k; (II.36 ˆT (k ˆT (k = ˆT (k + k e i 2 θµν k µk ν ; (II.37 tr[ ˆT (k] = (2π 4 δ (4 (k. (II.38 Persamaan (II.38 merupakan analogi sifat pada persamaan (II.22 [Sochichiu, 2004]. Perkalian tak komutatif ( pada S R 4 didefinisikan sebagai Ŵ 1 4 [ ˆψ 1 ˆψ2 ˆψ n ] := ψ 1 ψ 2 ψ n = (2π 4 e ikµxµ tr[ ˆψ 1 ˆψ2 ˆψ n ˆT (k]d 4 k i n 2 = e θµν j<k x j µ x k ν ψ 1 (x 1 ψ 2 (x 2 ψ n (x n x1 =...=x n=x, (II.39 sehingga untuk n = 2, diperoleh hasil yang serupa dengan (II.29 (ψ 1 ψ 2 (x = e i 2 θµν x µ y ν ψ 1 (xψ 2 (y x=y

34 21 = (ψ 1 ψ 2 (x + n=1 ( n i 1 2 n! θµ 1ν 1 θ µ 2ν2 θ µnνn n ψ 1 n ψ 2 x µ 1 x µ n (x x ν 1 x ν n (x. (II.40 Persamaan (II.40 menyatakan bahwa ψ 1 ψ 2 S R 4, dan dari persamaan (II.39 jelas bahwa (S R 4, +, merupakan aljabar asosiatif tak komutatif di atas lapangan kompleks. Dengan memberlakukan perkalian ( pada C (R 4, C S R 4, diperoleh aljabar asosiatif tak komutatif (C (R 4, C, +, dengan (S R 4, +, subaljabar dari (C (R 4, C, +,. Perkalian ( disebut sebagai perkalian-bintang yang didefinisikan pada ruang-waktu R 4. Suatu ruang yang menjadi basis bagi aljabar asosiatif yang tak komutatif itu disertai dengan metrik Minkowski disebut ruang Minkowski tak komutatif. 4. Sifat-Sifat Perkalian Bintang Menurut persamaan (II.40 jelas bahwa untuk setiap f, g C (R 4, C berlaku (f g (x = (g f (x. (II.41 Selanjutnya dengan melakukan pengintegralan persamaan (II.39 diperoleh ψ 1 ψ 2 ψ n d 4 x = tr[ ˆψ 1 ˆψ2 ˆψ n ]. (II.42 Karena nilai trace dari perkalian operator-operator invarian terhadap permutasi siklis tr[ ˆψ 1 ˆψ2 ˆψ n ] = tr[ ˆψ π(1 ˆψπ(2 ˆψ π(n ], π permutasi siklis, (II.43

35 22 maka ψ 1 ψ 2 ψ n d 4 x = ψ π(1 ψ π(2 ψ π(n d 4 x, π permutasi siklis, dengan ψ j S R 4, j = 1, 2,..., n. Khusus untuk n = 2 berlaku (II.44 ψ 1 ψ 2 d 4 x = = ψ 1 ψ 2 d 4 x + n=1 n ψ 1 n ψ 2 x µ 1 x µ n x ν 1 x ν n d 4 x ψ 1 ψ 2 d 4 x, ( n i 1 θ µ 1ν1 θ µnνn 2 n! (II.45 karena θ µ n ψ 1ν1 θ µnνn 1 n ψ 2 x µ 1 x µ n x ν 1 x ν n = θ µ 1ν1 θ µnνn x µ 1 ( n 1 ψ 1 x µ n n ψ 2 x ν 1 x ν n d 4 x θ µ 1ν1 θ µnνn n 1 ψ 1 x µ n n+1 ψ 2 x µ 1 x ν 1 x ν n d 4 x = 0 (II.46 dengan menerapkan hukum Gauss pada ruang berdimensi 4 dan menggunakan sifat θ µν yang antisimetris terhadap pertukaran indeks. Untuk fungsi-fungsi licin yang terdefinisikan pada ruang berdimensi 4 dan terintegralkan secara mutlak, serta padanannya di ruang k yang berdimensi 4 juga merupakan fungsi licin, maka f 1 f 2 f n d 4 x = (2π 4 δ (4 ( f 1 (k 1 f 2 (k 2 f n (k n e i 2 θµν n j<k kj µk k ν n kd 4 k 1 d 4 k n C, j=1 (II.47

36 23 karena faktor e i 2 θµν n j<k kj µk k ν hanyalah suatu faktor fase belaka. Jika ˆfj = P 4 [f j ], maka tr[ ˆf 1 ˆf2 ˆf n ] = f 1 f 2 f n d 4 x (II.48 ada, sehingga persamaan (II.44 juga berlaku untuk fungsi-fungsi licin anggota himpunan (C (R 4, C yang terintegralkan secara mutlak dan padanannya di ruang k berdimensi 4 juga merupakan fungsi-fungsi licin. Selain itu, untuk n = 2 f 1 f 2 d 4 x = = = (2π 4 d 4 k 1 d 4 k 2 e i 2 θµνkµ 1 kν 2 f1 (k 1 f 2 (k 2 f 1 (k 1 f 2 ( k 1 d 4 k 1 f 1 f 2 d 4 x. (II.49 Jika ϕ C (R 4, C terintegralkan secara mutlak tetapi wakilannya di ruang k berdimensi 4 tidak licin, sifat persamaan (II.48 dan (II.49 tidak berlaku. Hal inilah yang telah dikemukakan pada bab I. Bentuk yang akan banyak dipakai dalam pembahasan mengenai medan Klein- Gordon dan medan Dirac adalah komutator-bintang [, ] dan antikomutator-bintang,. Komutator-bintang dan antikomutator-bintang antara f, g C (R 4, C adalah ( 1 [f, g] (x = 2i sin 2 θµν f(xg(y, x µ y ν x=y (II.50 dan ( 1 f, g (x = 2 cos 2 θµν f(xg(y. x µ y ν x=y (II.51

37 BAB III FORMULASI LAGRANGAN YANG DIPERUMUM DAN KESETANGKUPAN Pada bab sebelumnya telah diturunkan bentuk perkalian tak komutatif sebagai manifestasi dari asumsi bahwa ruang Minkowski yang terlibat tidak lagi komutatif. Perkalian yang tidak komutatif tersebut akan digunakan dalam telaah teori medan yang akan dilakukan pada bab-bab selanjutnya, yakni dengan menggantikan perkalian biasa pada rapat Lagrangan suatu medan tertentu dengan perkalian-bintang (star-product yang tidak komutatif. Pada persamaan (II.39 dan (II.40 tampak bahwa perkalian tak komutatif tersebut akan mengandung turunan suatu fungsi sampai orde tak terhingga, sehingga rapat Lagrangan suatu medan tidak lagi hanya gayut pada suatu medan dan turunan orde pertamanya. Untuk itu perlu dilakukan perluasan terhadap teori Lagrangan suatu medan untuk dapat mewadahi pembahasan mengenai teori medan pada ruang Minkowski yang tak komutatif. Hal ini pada akhirnya akan membawa perubahan definisi beberapa kuantitas atau observabel yang dimiliki suatu medan. Dalam bab ini akan dilakukan perumuman teori Lagrangan suatu medan serta perumuman definisi beberapa kuantitas atau observabel yang biasa dibahas dalam teori Lagrangan medan yang biasa. 1. Persamaan Euler-Lagrange Yang Diperumum Suatu aksi I didefinisikan sebagai berikut: I = t2 t 1 Ldt, t 2 > t 1, (III.1 24

38 25 dengan L = L(q i, q i, t adalah Lagrangan yang mengambarkan suatu sistem fisis tertentu. Dalam Lagrangan L tersebut, q i adalah koordinat umum dan t adalah waktu, yang menjadi parameter Lagrangan tersebut. Dalam Mekanika Klasik suatu sistem yang digambarkan oleh Lagrangan L berevolusi dari saat t 1 sampai t 2 sedemikian sehingga I mencapai nilai ekstrim. Prinsip ini dikenal sebagai prinsip aksi terkecil (the principle of least action. Penerapan prinsip ini menghasilkan persamaan Euler- Lagrange d = 0. q i dt q i (III.2 Dalam teori medan, peranan koordinat umum q i dan turunan pertamanya terhadap waktu, q i, digantikan oleh medan ψ dan ψ x µ = ( 1 c ψ, ψ, di mana ψ gayut t pada x = (ct, r. Dengan demikian x dipandang sebagai parameter pada Lagrangan. Penggantian peran ini dapat digambarkan sebagai berikut: q i (t ψ(x; q i (t ψ x µ (x; t x µ. Lagrangan suatu sistem merupakan suatu integral dari suatu rapat Lagrangan L meliputi suatu daerah Ω pada ruang konfigurasi R 3 [Goldstein, 1980] L = Ld 3 x, Ω (III.3 dengan L = L(ψ, ψ x µ, x µ. Substitusi persamaan (III.3 ke dalam persamaan (III.1 menghasilkan I = R Ld 4 x, (III.4 dengan R adalah suatu daerah integrasi pada ruang berdimensi empat yang dibatasi

39 26 oleh R. Dengan menerapkan prinsip aksi terkecil, maka diperoleh persamaan Euler-Lagrange untuk suatu medan ψ diberikan oleh ψ x µ ( ψ x µ = 0. (III.5 Berbagai persamaan fisika (yang merupakan persamaan-persamaan medan dapat diturunkan dari persamaan (III.5 dengan membentuk suatu rapat Lagrangan L tertentu. Rapat Lagrangan yang gayut pada suatu medan dan turunan orde pertamanya sudah cukup untuk membahas berbagai persamaan medan yang telah dikenal selama ini. Namun demikian secara umum suatu rapat Lagrangan tidak terbatas hanya pada yang tergantung terhadap suatu medan dan turunan orde pertamanya. Rapat Lagrangan L dapat merupakan suatu fungsi dari medan ψ serta turunan-turunannya hingga orde ke-n, L = L(ψ, aksi I dapat dituliskan sebagai ψ x µ 1, 2 ψ x µ 1 x µ 2,..., n ψ x µ 1 x µ 2 x µn, x ν. Dengan demikian I = R L(ψ, ψ x µ 1, 2 ψ x µ 1 x µ 2,..., n ψ x µ 1 x µ n, x ν d 4 x. (III.6 Ketika aksi I mencapai ekstrim maka I tidak berubah jika diadakan variasi infinitesimal x µ x ν = x ν + δx ν ψ(x ψ (x = ψ(x + δψ (III.7 yang kemudian mengimbas variasi infinitesimal turunan-turunan ψ x µ 1 x (x

40 27 x µ 1 x (x = x µ 1 x (x + δ x µ 1 x, (III.8 dengan j = 1, 2,..., n, serta dengan menyertakan syarat δx ν = δψ = δ 0 di R, maka variasi aksi adalah x µ 1 x = δi = L(ψ, ψ R x,..., n ψ µ 1 x µ 1 x µ n, x ν d 4 x ψ L(ψ, x,..., n ψ µ 1 x µ 1 x µ n, x ν d 4 x. R (III.9 Karena d 4 x = J(x /xd 4 x, dengan J(x /x adalah Jacobian untuk transformasi x x, dan x ν x λ = δν λ + δxν x λ, (III.10 maka ([Ryder, 1996] p ( ( x x ν J = det x x λ = 1 + δxν x ν. (III.11 Dengan demikian persamaan (III.9 menjadi δi = = (δl + L δxν d 4 x R x ν [ n R ψ δψ + j=1 ( j ψ x µ 1 x µ 2 x δ j ψ x µ 1 x + ] x ν δxν + L δxν d 4 x. x ν (III.12 Karena δ n j=1 ( x µ 1 x µ 2 x = x µ 1 x µ 2 x j δψ x µ 1 x µ 2 x, maka j δψ x µ 1 x =

41 28 ( n j [ ( 1 k 1 k 1 x µ k x µ 1 j=1 k=1 x µ k 1 ( ] j k δψ x µ k+1 x + ( 1 j j x µ 1 x ( x µ 1 x µ 2 x x µ 1 x µ 2 x δψ, (III.13 sehingga δi = [ n R ψ + ( 1 j j x µ 1 j=1 x ( j ψ ( n j [ + ( 1 k 1 k 1 R x µ k x µ 1 j=1 k=1 x µ k 1 ( ] j k ψ δ x µ k+1 x + x ν (Lδxν d 4 x. x µ 1 x µ 2 x ] δψd 4 x x µ 1 x µ 2 x (III.14 Integral terakhir pada persamaan (III.14 lenyap dengan menggunakan teorema Gauss pada ruang berdimensi empat, sehingga suku yang tersisa adalah δi = R n ψ + ( 1 j j x µ 1 x j=1 ( ( x µ 1 x µ 2 x δψd 4 x (III.15 yang harus lenyap untuk sembarang δψ dan R. Agar hal tersebut tercapai, maka integrand persamaan (III.15 harus bernilai nol, sehingga diperoleh persamaan Euler- Lagrange yang diperumum yakni n ψ + ( 1 j j x µ 1 x j=1 = 0. (III.16 ( j ψ x µ 1 x µ 2 x Untuk n = 1, yang berarti L = L(ψ, ψ x ν, x ν, persamaan (III.16 akan kembali ke bentuk persamaan (III.5.

42 29 2. Kesetangkupan dan Kaidah Noether Untuk Teori Lagrangan Suatu Medan Yang Diperumum Pada bagian sebelumnya telah dibahas prinsip aksi terkecil yang diterapkan dalam penurunan persamaan Euler-Lagrange yang diperumum. Persamaan Euler- Lagrange yang diperumum pada akhirnya akan menghasilkan persamaan-persamaan medan yang menggambarkan dinamika suatu medan. Dengan demikian persamaan Euler-Lagrange yang diperumum ekivalen dengan persamaan-persamaan medan tersebut, dengan kata lain persamaan Euler-Lagrange yang diperumum menggambarkan dinamika suatu medan. Prinsip aksi terkecil selain menghasilkan (III.16 juga dapat memberikan gambaran yang jelas mengenai kesetangkupan dan teorema Noether. Suatu sistem fisis digambarkan oleh rapat Lagrangan L dan aksi I yang saling terkait oleh persamaan (III.6. Suatu sistem fisis dikatakan setangkup terhadap suatu transformasi jika transformasi tersebut tidak menyebabkan perubahan pada persamaan yang menggambarkan dinamika medan. Hal ini dapat terpenuhi jika aksi I invarian terhadap transformasi yang berkaitan. Teorema Noether mengatakan bahwa kesetangkupan suatu sistem fisis terhadap suatu transformasi berkaitan dengan keberadaan suatu kuantitas yang lestari. Dalam telaah berikut akan ditunjukkan bahwa teorema Noether merupakan konsekuensi dari prinsip aksi terkecil. Ditinjau persamaan (III.6 dengan R sembarang daerah integrasi pada ruang berdimensi empat. Selain itu persyaratan δx ν = δψ = δ x µ 1 x µ 2 x tidak lagi diberlakukan. Dengan demikian persamaan (III.14 menjadi = 0 di R δi = [ n R ψ + ( 1 j j x µ 1 j=1 x ( n j + ( 1 k 1 k 1 R x µ 1 x µ k 1 ( j=1 k=1 x µ 1 x µ 2 x ] x µ 1 x µ 2 x δψd 4 x

43 30 j k δψ x µ k+1 x dσ µk + R Lδx ν dσ ν. Karena untuk setiap nilai k integrasi kedua meliputi daerah R yang sama dan juga karena µ k merupakan indeks boneka (dummy indices, maka dapat di-set dσ µ1 = dσ µ2 = = dσ µk = dσ α dengan mengadakan pertukaran indeks µ k dengan α, sehingga persamaan di atas menjadi δi = [ n R ψ + ( 1 j j x µ 1 j=1 x ( n j + ( 1 k 1 k 1 R x µ 1 j=1 k=1 x µ k 1 ( j k δψ x µ k+1 x dσ α + Lδx ν dσ ν. R x µ 1 x µ 2 x ] δψd 4 x x µ 1 x µ k 1 x α x (III.17 Jika suatu sistem fisis setangkup terhadap transformasi (III.7 dan (III.8, maka persamaan (III.16 tetap berlaku sehingga R [ n ψ + ( 1 j j x µ 1 x j=1 ( x µ 1 x µ 2 x ] δψd 4 x = 0. (III.18 Medan ψ dan turunan-turunannya x µ 1 x µ 2 x selain mengalami transformasi ψ ψ + δψ x µ 1 x µ 2 x x µ 1 x µ 2 x = + δ x µ 1 x µ 2 x x µ 1 x µ 2 x + j δψ x µ 1 x µ 2 x juga akan tertransformasi karena transformasi ruang-waktu x ν x ν + δx ν. Akibatnya terdapat variasi total untuk ψ dan x µ 1 x µ 2 x ψ = ψ (x ψ(x = δψ + ψ x ν δxν sebagai berikut

44 31 x µ 1 x = x µ 1 x (x x µ 1 x (x = δ x µ 1 x + ( x ν x µ 1 x δx ν. (III.19 Dengan mensubstitusikan persamaan (III.18 ke dalam persamaan (III.17 dan menggunakan persamaan (III.19, maka persamaan (III.17 menjadi δi = ( n j ( 1 k 1 k 1 R x µ 1 j=1 k=1 x µ k 1 ( [ n j k ψ j x µ k+1 x ( 1 k 1 j=1 k=1 k 1 x µ 1 x µ k 1 ( j ψ x µ 1 x α x ]δx ν dσ α. Lδ α ν x µ 1 x α x ( x ν j k ψ x µ k+1 x (III.20 Dengan mendefinisikan T α ν = n j=1 k=1 x ν j ( 1 k 1 k 1 x µ 1 x µ k 1 ( j k ψ x µ k+1 x Lδ α ν ( x µ 1 x α x (III.21 sebagai tensor energi-momentum, maka persamaan (III.20 dapat dituliskan sebagai berikut: δi = R [ n j=1 k=1 j k ψ x µ k+1 x j ( 1 k 1 k 1 x µ 1 x µ k 1 ( x µ 1 x µ 2 x T µ k ν δx ν ]dσ µk. (III.22

45 32 Kesetangkupan suatu sistem fisis mensyaratkan bahwa I tidak berubah oleh transformasi (III.7 dan (III.8, yang berarti I tetap memenuhi prinsip aksi terkecil, akibatnya δi = 0. (III.23 Dengan menggunakan teorema Gauss serta persamaan (III.23 dan (III.22 diperoleh [ n j ( 1 k 1 k 1 R x α x µ 1 j=1 k=1 x µ k 1 ] j k ψ x µ k+1 x T ν α δx ν d 4 x = 0. ( x µ 1 x α x (III.24 Karena R sembarang, maka integrand persamaan (III.24 harus lenyap, sehingga diperoleh persamaan kontinuitas berikut: [ n j ( 1 k 1 k 1 x α x µ 1 j=1 k=1 x µ k 1 ( j ψ x µ 1 x α x ] j k ψ x µ k+1 x T ν α δx ν = 0. (III.25 Pengintegralan terhadap kedua ruas pada persamaan (III.25 meliputi seluruh ruang konfigurasi menghasilkan 0 = [ n j ( 1 k 1 k 1 x α x µ 1 j=1 k=1 x µ k 1 ( ] j k ψ x µ k+1 x T ν α δx ν d 3 x = d [ n j ( 1 k 1 dx 0 j=1 k=1 k 1 x µ 1 x µ k 1 ( j ψ x 0 x µ 1 x µ k 1 x µ k+1 x ] d 3 x. j k ψ x µ k+1 x T νδx 0 ν x µ 1 x α x (III.26