Pemeriksaan Ketepatan Fungsi Hubung dalam Analisis Data Biner

Transkripsi

1 Statstka, Vol. 9 No., Me 009 Pemerksaan Ketepatan Fungs Hubung dalam Analss Data Bner Nusar Hajarsman Program Stud Statstka Fakultas MIPA Unsba Mahasswa Sekolah Pascasarjana Insttut Pertanan Bogor nrsman@yahoo.co.uk Rngkasan Dalam pemodelan data bner atau bnomal ada sejumlah cara dmana model dugaan tdak layak. Yang palng pentng dar semua tu adalah komponen sstematk lnear dar model tdak dnyatakan dengan tepat. Sebaga contoh msalnya model tdak menyertakan suatu varabel penjelas yang memang seharusnya berada d dalam model, atau mungkn satu atau dua varabel penjelas perlu dtransformas sebelumnya. Kedua, transformas dar peluang respons yang dgunakan mungkn tdak tepat; msalnya mungkn saja bahwa transformas dar peluang respons yang telah dgunakan adalah transformas logstk padahal seharusnya menggunakan transformas log-log komplementer. Ketga, data mungkn bers suatu data penclan yang mengakbatkan data tdak cocok terhadap model dugaan. Teknk yang dgunakan untuk memerksa kelayakan model n dsebut juga sebaga proses dagnosa. Pada makalah n pembahasan akan lebh dfokuskan pada pemerksaan ketepatan fungs hubung dalam pemodelan data bner. Kata Kunc: data bner, model lnear terampat, devans, fungs hubung, model logt, model probt, model log-log komplementer, log-lkelhood.. Pendahuluan Dalam berbaga bdang peneltan yang menggunakan prosedur statstka, sepert dalam bdang agronom, pertanan, sosal dan ekonom, poltk, kesehatan, bolog, dan teknk, data yang damat dbuat pada unt percobaan yang mengambl nla salah satu dar dua kategor yang mungkn. Sebaga contoh, suatu benh akan berkecambah atau gagal berkecambah d bawah konds percobaan tertentu; suatu peralatan lstrk yang dproduks oleh sebuah pabrk elektronk dapat cacat atau tdak cacat; seorang pasen dalam percobaan klns dapat dnyatakan sembuh atau sakt setelah dber sejumlah perlakuan; atau serangga dapat dnyatakan bertahan hdup atau mat setelah dber sejumlah doss nsektsda. Data semacam tu dkatakan sebaga data bner dan dua kategor yang mungkn untuk masng-masng observas secara umum dnyatakan dengan stlah sukses atau gagal. Dalam beberapa stuas, peneltan tdak hanya dfokuskan pada respons dar satu unt percobaan tertentu (benh, pasen, alat lstrk, dan serangga tetap pada segugus unt percobaan yang telah dber perlakuan yang sama. Jad, msalnya segugus benh dapat dpaparkan pada konds yang dtentukan oleh kelembaban dan suhu, kemudan propors dar benh yang berkecambah akan dcatat. Demkan juga bag respons ndvdu dar masngmasng pasen dalam percobaan klns yang menerma perlakuan sama, serta mempunya karakterstk yang mrp berdasarkan faktor-faktor demografs (umur atau jens kelamn, dapat dkombnaskan untuk mendapatkan propors dar pasen yang dnyatakan sembuh. Data sepert n dsebut juga sebaga data bner terkelompok (grouped bnary data serta mewakl banyaknya perstwa sukses dar banyaknya unt percobaan yang dlakukan. Data berbentuk propors sepert n serngkal dmodelkan dengan menggunakan dengan menggunakan dstrbus bnomal sedangkan data bner tu sendr dasumskan mempunya dstrbus Bernoull (Collet, 003. Terdapat beberapa model yang dapat dgunakan untuk memodelkan data respons bnomal, dantaranya yatu: model logstk, model probt, dan model log-log komplementer. Setelah model dcocokan ke data pengamatan dar varabel respons bner atau bnomal, maka langkah pentng selanjutnya adalah melakukan pemerksaan kelayakan model dugaan. Ada sejumlah cara dmana model dugaan tdak layak. Yang palng pentng dar semua tu adalah komponen sstematk lnear dar model tdak dnyatakan dengan tepat. Sebaga contoh 55

2 56 Nusar Hajarsman msalnya model tdak menyertakan suatu varabel penjelas yang memang seharusnya berada d dalam model, atau mungkn satu atau dua varabel penjelas perlu dtransformas sebelumnya. Kedua, transformas dar peluang respons yang dgunakan mungkn tdak tepat; msalnya mungkn saja bahwa transformas dar peluang respons yang telah dgunakan adalah transformas logstk padahal seharusnya menggunakan transformas log-log komplementer. Ketga, data mungkn bers suatu data penclan yang mengakbatkan data tdak cocok terhadap model dugaan. Teknk yang dgunakan untuk memerksa kelayakan model n dsebut juga sebaga proses dagnosa. Pada makalah n pembahasan akan lebh dfokuskan pada pemerksaan ketepatan fungs hubung dalam pemodelan data bner. Sebagamana yang telah dketahu bahwa d dalam pemodelan data bner atau bnomal, suatu fungs tertentu dar peluang respons, yang dkenal sebaga fungs hubung, adalah menghubungkan ke kombnas lenar dar varabel penjelas dalam model. Transformas logstk adalah salah satu yang palng banyak dgunakan, akan tetap perlu dngat bahwa belum tentu transformas logstk n akan cocok untuk berbaga kasus. Dalam hal n harus pula dpertmbangkan apakah perbedan transformas akan membawa pada model yang lebh sederhana atau suatu model yang memberkan kecocokan yang lebh bak. Sebaga contoh, msalnya model logstk lnear dengan segugus vaabel penjelas bukan merupakan model yang cocok terhadap data yang damat, tetap bsa saja model probt atau log-log komplementer. Alternatfnya, komponen lnear, katakan saja model log-log komplementer memerlukan bentuk yang lebh sederhana darpada komponen yang dalam model logstk. Dalam keadaan demkan, maka akbatnya penentuan atau pemlhan fungs hubung yang memada dlakukan bersamaan dengan penentuan struktur lnear dar model. Dengan demkan setap stud yang berhubungan dengan kelayakan suatu fungs hubung selalu ddasarkan pada segugus varabel penjelas yang tetap (fxed. Dalam makalah n akan dbahas mengena berbaga metode untuk memerksa kelayakan model yang dfokuskan pada pemlhan suatu fungs hubung dalam memodelkan data bner.. Model untuk Respons Bner Pada bagan n akan dbahas tentang model lner umum yang mana varabel-varabel responnya dukur dengan skala bner. Sebaga contoh, msalnya hdup atau mat, hadr atau tdak hadr, sehat atau sakt, dan lan-lan. Secara umum kejadan-kejadan tu dnyatakan dalam bentuk sukses dan gagal untuk dua buah kategor. Selanjutnya, akan ddefnskan varabel acak sebaga berkut: Y jka varabel responnya menyatakan sukses, 0 jka varabel responnya menyatakan gagal, dengan P(Y dan P(Y 0. Jka terdapat n varabel Y,..., Yn yang salng bebas dengan j P(Yj, maka peluang bersamanya adalah: n n n y j y j j j y ( j exp j log log j j + j j ( j... ( dmana bentuk tersebut merupakan anggota dar keluarga dstrbus eksponensal. Untuk kasus dmana j semuanya bernla sama, maka akan ddefnskan R n Y j j, yatu banyaknya perstwa sukses dalam n buah percobaan. Varabel acak R tersebut mempunya dstrbus bnomal b(n,, yatu dengan fungs masa peluangnya sebaga berkut: n r PR ( r ( r n r, (r 0,,..., n... ( Dengan demkan, maka E(R n dan Var(R n(. Secara umum maka kta perhatkan N buah varabel yang salng bebas R, R,..., RN menurut banyaknya perstwa sukses dalam N sub kelompok atau strata yang berbeda (lhat Tabel. Jka R b(n,, maka fungs log-lkelhoodnya adalah: Statstka, Vol. 9, No., Me 009

3 Pemerksaan Ketepatan Fungs Hubung 57 N n l(,..., N; r,..., rn rlog + nlog ( + log r... (3 Dalam hal n dstrbus dar Pers. ( dan ( merupakan kasus khusus dar Pers. (3. Tabel. Frekuens Untuk N Dstrbus Bnomal Sub kelompok atau strata... N Sukses R R... RN Gagal n R n R... nn RN Total n n... nn Model-model yang dbahas dalam makalah n merupakan kasus khusus dar model lner umum, suatu model yang dperkenalkan oleh Nelder dan Wedderburn (97. Model lner umum n dspesfkaskan oleh tga buah komponen, yatu: komponen acak, komponen sstematk, dan fungs penghubung. Komponen acak adalah suatu komponen yang mengdentfkaskan dstrbus peluang dar varabel respon, dmana komponen n akan bers pengamatan tak bebas Y (Y,..., YN dar dstrbus dalam keluarga eksponensal. Yatu, masng-masng pengamatan Y mempunya fungs denstas peluang atau fungs masa peluang dalam bentuk: f(y;θ a(θ b(y exp[yq(θ]... (4 Keluarga n menyangkut beberapa dstrbus pentng sebaga kasus khusus, termasuk dstrbus bnomal dan Posson. Nla parameter θ dalam Pers. (4 dapat bervaras untuk,,..., N, bergantung pada nla dar varabel-varabel penjelasnya. Sedangkan bentuk Q(θ dsebut sebaga parameter alamah dar dstrbus tu sendr (Agrest, 990. Komponen sstematk dar model lner umum akan menghubungkan vektor η (η,..., ηn kepada sekumpulan varabel penjelas melalu model lner: ( g η Xβ... (5 dmana X adalah matrks model (kadang-kadang dsebut juga matrks rancangan yang bers nla-nla varabel-varabel penjelas untuk N buah pengamatan, dan β adalah vektor dar parameter-parameter d dalam model. Vektor η dsebut sebaga predktor lner. Salah satu kekurangan dar model lnear semacam n adalah bahwa penduga dar kadangkadang akan berada dluar nterval [0, ]. Agar supaya masalah tersebut tdak terjad, maka basanya akan dgunakan fungs dstrbus kumulatf: x T F( x g x β f( y dy ( Dmana f(y merupakan fungs kepekatan peluang dar varabel acak y. Fungs kepekatan peluang yang bas dgunakan dalam menganalss data bner adalah dstrbus normal, logstk, serta log-log komplementer. Ketga dstrbus n akan dbahas pada sub bagan berkut n.. Model Probt Jka dstrbus normal dgunakan sebaga fungs kepekatan peluang, sehngga bentuk dstrbus peluang kumulatfnya dnyatakan sebaga berkut: x y μ F( x exp σ σ x μ Φ σ dy... (6 Statstka, Vol. 9, No., Me 009

4 58 Nusar Hajarsman dmana Φ menyatakan dstrbus peluang kumulatf untuk normal baku N(0,, sehngga dperoleh: g( Φ ( β0 + βx... (7 dmana g( merupakan fungs penghubungnya, serta β 0 μ / σ dan β / σ. Fungs hubung g adalah nvers fungs peluang normal kumulatf Φ -. Pada saat dstrbus kepekatan peluang yang dgunakan adalah normal, maka model yang relevant untuk masalah n dsebut sebaga model probt. Probt dar peluang ddefnskan untuk setap x,,,..., k sebaga suatu nla dar s sedemkan rupa sehngga s y X exp dy, dmana s σ Φ ( s μ. Model Logt Dstrbus logstk mempunya fungs kepekatan sebaga berkut: βexp( β0 + βy f( y + exp( β0 + βy dan ( β0 + βx ( β β x x exp ( x f( y dy + exp (8... (9 Defns alternatf dar F(x adalah ( x + exp + ( β β x 0 Yang akan menghaslkan bentuk logt sebaga berkut: ( x ( x ln β0 + βx λ... (0... ( Untuk,,..., k, yang selanjutnya drujuk sebaga fungs logstk. Fungs hubung yang bersesuaan yang dberkan oleh fungs logt adalah: ( x ( x g( ln Dar persamaan d atas jelas bahwa odds untuk respons sukses adalah ( x ( x β0 β ( β0 βx e ( e exp + + Secara umum dapat dtulskan bahwa T T xβ β + β x + β x + + βkxk x... (... (3 λ x β... (4 dmana: Pers. (4 dgambarkan sebaga model regres logstk lnear sebab model tersebut sepert model regres basa untuk kasus dmana varabel penjelasnya berbentuk kuanttatf, selan tu Pers. (4 akan sepert model ANOVA jka varbel penjelasnya berbentuk kategork. Dalam hal n serngkal bentuk d atas dsebut sebaga model logt. Statstka, Vol. 9, No., Me 009

5 Pemerksaan Ketepatan Fungs Hubung 59.3 Model Log-log Komplementer Model lannya yang juga dapat dpandang untuk memodelkan data doss-respons adalah model log-log komplementer dan model log-log. Model log-log komplementer kadang-kadang dsebut juga sebaga model nla-ekstrem (Lawal, 003 dan dcrkan oleh dan ( ( f ( y βexp β0 + βy exp β0 + βy ( x ( x exp exp β + β 0 Suatu transformas dalam bentuk [ ] β0 β... (5... (6 ln ln( + x... (7 Akan mentransformaskan (x ke dalam bentuk model lnear. Fungs hubung ln[ ln( ] dsebut juga sebaga fungs log-log komplementer. Menurut Lawal (003 model n basanya lebh banyak dgunakan dbandngkan model probt dan logt untuk yang bernla mendekat 0 atau. 3. Pemerksaan Model untuk Respons Bner Pada bagan n akan dbahas mengena suatu prosedur yang dapat dgunakan untuk menentukan apakah suatu transformas tertentu mampu dengan layak menggambarkan peluang respons sebenarnya. Prosedur n juga dapat dgunakan untuk memberkan suatu ndkas bahwa transformas tertentu merupakan transformas yang palng tepat. Msalkan bahwa suatu fungs hubung tertentu dgunakan dalam memodelkan segugus data bner yang bergantung pada beberapa parameter, dmana suatu nla yang berbeda dar parameter n akan membawa pada fungs hubung yang berbeda pula. Msalkan α0 adalah nla dar parameter tersebut yang dgunakan dalam memodelkan segugus data bner, maka fungs hubung untuk peluang respons ke-,,,..., n, dapat dnyatakan oleh ( ; g α 0 η... (8 dmana η merupakan komponen lnear dar model untuk pengematan ke-. Dmsalkan pula bahwa fungs hubung yang tepat (walaupun pada dasarnya belum dketahu adalah g(, α. Keluarga dar fungs hubung yang dusulkan oleh Aranda-Ordaz (98, dmana g ( α ( α ; log α adalah berguna untuk pemodelan data bner dan bnomal. Pada saat α, maka dperoleh g ; log ( α yang merupakan transformas logstk dar. Kemudan jka α 0, maka α {( } / α log(... (9 sehngga dperoleh g(, α log{ log( } yang merupakan fungs hubung log-log komplementer. Dalam banyak kasus, fungs hubung yang dhpotesskan, g(, α0 adalah fungshubung logt, yatu dalam hal α0. Fungs g(, α dapat ddekat oleh perluasan deret Taylor dar fungs d sektar α0, yatu: g ( ; α g( ; α + ( α α 0 0 g ( ; α α α 0 Model yang tepat kemudan dapat dtentukan melalu model: Statstka, Vol. 9, No., Me 009

6 Nusar Hajarsman g ( ; α η + γz... (0 0 dmana γ α0 - α dan ( α 0 z g ; α / α. Model n menggunakan fungs yang dhpotesskan dan termasuk nla z sebaga varabel penjelas tambahan Z. Sebelum model dalam Pers. (0 dcocokan, maka nla Z harus dtentukan terlebh dahulu. Nla Z n bergantu pada yang dtaksr oleh p, yatu dugaan dar peluang respons untuk pengamatan ke- dan dperoleh melalu pencocokan model dalam Pers. (8 dmana pemlhan fungs hubung awal yang dgunakan. Untuk fungs hubung yang dgunakan dalam Pers. (9, nla dar varabel z adalah log ( p ( p α z α dan dalam kasus khusus dmana α, yatu jka fungs hubung logt adalah yang dhpotesskan, maka persamaan d atas menjad: { log( } z + p p... ( Apabla γ 0, maka α α0 dan fungs hubung yang dhpotesskan adalah benar. Akbatnya, suatu uj hpotess bahwa γ 0 dalam Pers. (0 tdak lan adalah untuk menguj kelayakan fungs hubung. Hpotess n dapat duj dengan cara melhat pengurangan dalam devans dengan menambahkan Z ke dalam model. Apabla pengurangan dalam devans n relatf besar dbandngkan dengan ttk persentase dar dstrbus χ dengan derajat bebas satu, maka kta dapat memutuskan bahwa fungs hubung awal yang dplh tdak tepat. Prosedur n drujuk sebaga uj kecocokan fungs hubung (Collet, 003. Dalam prakteknya, uj kecocokan fungs hubung n mempunya keterbatasan. Salah satunya adalah ketka menghadap suatu gugus data yang besar, maka dperlukan suatu fungs hubung lannya, msalnya fungs hubung probt. 4. Contoh Aplkas Dalam data boassay, varabel responsnya dapat bercaras sesua dengan kovarat yang membentuk suatu doss. Contoh sejens yang melbatkan respons bner dberkan dalam Tabel, dmana R adalah banyaknya serangga yang mat setelah dber obat pembasm hama selama 5 jam dalam berbaga macam konsentras (data dar Dobson, 00. Gambar menunjukkan propors p r/n yang dplot terhadap doss x. Tabel. Data Kematan Serangga Doss x Banyak serangga yang damat, n Banyaknya serangga yang mat, y Data tersebut kemudan akan dmodelkan melalu tga jens fungs penghubung, yatu logt, probt, dan log-log komplementer. Proses pendugaan parameter dlakukan secara teratf dengan menggunakan metode Fsher-Scorng. Hasl analss yang dtamplkan d sn adalah proses teras, nla devans, dugaan untuk propors dan respons, penduga parameter, serta resdu untuk masng-masng dar fungs penghubung yang dgunakan. Untuk model logstk lnear kta mengambl Statstka, Vol. 9, No., Me 009

7 Pemerksaan Ketepatan Fungs Hubung 6 ( β0 + βx ( β β x exp + exp + 0 sehngga fungs penghubungnya adalah logt yang ddefnskan sebaga logartma dar odds (/, yatu: logt( log β0 + βx. Dar (8.3 dketahu fungs log-kemungknannya, yatu: N β0+ βx l r β0 βx n ( e n ( + log + + log r dan skor terhadap β dan β adalah U U l β l 0 β β0+ βx e r n + e β e rx nx + e β0+ βx (r - n 0+ βx β0+ βx x(r - n Dengan cara yang sama akan dperoleh matrks nformas sebaga berkut: I n n x ( n x ( ( ( n x. Gambar. Plot antara doss dan propors kematan serangga Penduga kemungknan maksmum dperoleh melalu penyelesaan persamaan teratf I (m b (m I (m b (m + U (m (dar (4.7 dmana m menyatakan proses teras ke-m dan b [b0 b] T adalah vektor (0 (0 penduganya. Dengan nla awal b b 0 hasl proses etrasnya dtunjukkan dalam Tabel bersama-sama dengan frekuens taksran n, matrks penduga varans-kovarans [I(b] - dan statstk raso log-kemungknan. rˆ ˆ Statstka, Vol. 9, No., Me 009

8 6 Nusar Hajarsman Galat baku penduga b0 -.7 dan b 34.7 masng-masng dberkan oleh (6.80 / 5.8 dan ( /.9. D bawah hpotess nol bahwa model logstk lnear dapat menggambarkan data, maka D mempunya pendekatan dstrbus χ, sebab terdapat N 8 kelompok doss dengan p buah parameter. Tetap dketahu bahwa dar tabel dstrbus dengan taraf kepercayaan 5% adalah.59 yang menunjukkan bahwa model tdak menggambarkan data dengan bak. 6 χ 6 Tabel 3. Nla penduga parameter untuk fungs hubung logt, probt, dan log-log komplementer Model Estmate Standard Error Ch-square p-value Logt B < B < Probt B < B < Clog-log B < B < Dengan menggunakan prosedur GENMOD dalam sstem SAS, model probt Φ(β0 + βx dan model log-log komplementer ( exp( exp(β0 + βx juga dpaka untuk mencocokan data. Hasl-hasl pendugaan model dan nla devans untuk setap fungs hubung masng-masng dsajkan dalam Tabel 3 dan Tabel 4. Sedangkan nla dugaan untuk peluang respons dan dugaan untuk varabel responsnya untuk setap fungs hubung dsajkan dalam Tabel 5. Tabel 4. Nla devans, ch-kuadrat Pearson, dan log-lkelhood untuk model logt, probt, dan log-log komplementer LOGIT PROBIT CLOG-LOG Df value Value/df df value Value/df df value Value/df Devans Pearson Log-lk Dantara model-model tersebut ternyata model logt dengan bentuk lnear tdak cocok terhadap data. Kecocokan model terhadap data n mungkn bsa dtngkatkan dengan cara menambahkan bentuk kuadratk ke dalam model. Akan tetap, dalam contoh n akan dperhatkan apakah kecocokan model yang hanya bers bentuk lnear dapat dtngkatkan dengan cara menggant fungs hubungnya. Persamaan model regres logt dugaan dberkan oleh ( ˆ logt x dmana ˆ adalah dugaan peluang respons dan x adalah doss obat untuk kelompok ke-. Dar Tabel 4 terlhat bahwa devans untuk model n adalah.56 pada derajat bebas sebesar 6. D sn fungs hubung yang dhpotesskan adalah fungs logt, dan untuk mengetahu apakah fungs hubung tersebut cukup tepat untuk menggambarkan peluang responsnya, maka varabel Z dtambahkan ke dalam model, dmana nla ke- dar Z dberkan dalam Pers. (. Pada saat Z dsertakan ke dalam model regres logt, maka dperoleh nla devans sebesar pada derajat bebas 5. Pengurangan devans sebesar setelah dmasukan varabe Z ke dalam model adalah sgnfkan pada taraf sgnfkans sebesar 5%. Hal n mempunya makna bahwa fungs hubung logt tdak tepat dgunakan untuk data tersebut. Statstka, Vol. 9, No., Me 009

9 Pemerksaan Ketepatan Fungs Hubung 63 Tabel 5. Nla dugaan peluang respons dan dugaan varabel respons No. x n y LOGIT PROBIT CLOG-LOG ph Yhat ph yhat ph yhat Koefsen z dalam model n, ˆ γ, adalah,.3, sehngga parameter dalam fungs hubung yang umum yang dberkan dalam Pers. (9 dduga oleh: ˆ α ˆ γ 0.3 Yang tdak berbeda dengan nol. Hal n mempunya makna bahwa model dengan fungs hubung log-log komplementer relatf lebh bak darpada model logt. Namun demkan, hasl d atas mash belum memuaskan karena belum dbandngkan dengan fungs hubung lannya, sepert fungs hubung probt. 5. Kesmpulan Setdaknya ada dua alasan pentng mengapa model regres logstk lebh banyak penggunaannya dbandngkan model probt dan model log-log komplementer untuk analss data bner. Pertama, model logstk mempunya nterpretas yang jelas dalam bentuk logartma dar odds raso. Interpretas sepert n akan sangat bermanfaat untuk analss data dalam stud epdemolog ataupun percobaan-percobaan klns. Kedua, model yang berdasarkan pada transformas logstk cukup tepat dgunakan untuk analss data yang dkumpulkan secara retrospektf sebagamana dalam stud kasus-kontrol (case-control study. Namun demkan, tdak semua data mampu dcocokan dengan tepat melalu model logt n. Oleh karena tu, pemerksaan secara seksama terhadap model yang sedang dcocokan perlu dlakukan. Berbaga metode untuk pemerksaan dalam analss data bner atau bnomal telah banyak dbahas oleh Collet (003. Namun dalam makalah n hanya dtunjukkan pada pemerksaan ketepatan fungs hubung dalam analss data bner. Lebh khusus lag, pemerksaan ketepatan fungs hubung n hanya dlakukan untuk fungs hubung logt dan log-log komplementer. Perlu kranya untuk mengembangkan metode n pada kasus yang lebh umum, dmana semua fungs hubung lannya (sepert fungs hubung denttas atau probt dapat dtangan. Daftar Pustaka []. Agrest, A. (990. Categorcal Data Analyss. New York: John Wley and Sons. []. Atkn, M., D. Anderson, B. Francs, and J. Hnde. (989. Statstcal Modellng n GLIM. Oxford: Clorendeon Press. [3]. Baker, R.J., and J.A. Nelder. (978. Generalzed Lnear Interactve Modelng (GLIM. Release 3. Oxford: Numercal Algorthms Group. [4]. Collet, D. (003. Modelng Bnary Data. Second Edton. London: Chapman and Hall. [5]. Cox, D.R. (970. The Analyss of Bnary Data. London: Methuen. [6]. Cox, D.R. and Oakes, D. (984. Analyss of Survval Data. London: Chapman and Hall. [7]. Dodson, A. (00 An Introducton to Generalzed Lnear Models. Second Edton. London: Chapman and Hall. [8]. Draper, N.R., and H. Smth. (98. Appled Regresson Analyss. nd Ed. New York: John Wley and Sons. [9]. Hosmer, D.W. and S. Lemeshow (989. Appled Logstc Regresson. New York: John Wley and Sons. [0]. Klenbaum, D.G., (994. Logstc Regresson: A Self-Learnng Text, New York: Sprnger- Verlag. []. Lawal, B. (003 Categorcal Data Analyss Wth SAS And SPSS Applcatons. London: Lawrence Erlbaum Assocates. Statstka, Vol. 9, No., Me 009

10 64 Nusar Hajarsman []. McCullagh, P., and J.A. Nelder (983. Generalzed Lnear Models. Second Edton. New York: Chapman and Hall. [3]. Myers, R.H. (990. Classcal and Modern Regresson Wth Applcatons. Boston: PWS-KENT Publshng Company. [4]. Nelder, J.A., and R.W.M. Wedderbun. (97. Generalzed Lnear Models. Journal of Royal Statstcal Socety, Seres A 53: [5]. Santner, T.J., and D.E. Duffy. (989. The Statstcal Analyss of Dscrete Data. New York: Sprnger-Verlag. Statstka, Vol. 9, No., Me 009