PENGGUNAAN RATA-RATA ARITMETIKA DENGAN APPROKSIMASI CURRAN DALAM MENENTUKAN HARGA OPSI ASIA

Transkripsi

1 Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal ISSN : c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PENGGUNAAN RATA-RATA ARITMETIKA DENGAN APPROKSIMASI CURRAN DALAM MENENTUKAN HARGA OPSI ASIA Steffay Harwella Program Studi Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Adalas, Kampus UNAND Limau Mais Padag, Idoesia, h.steffay@ymail.com Abstrak. Opsi Asia adalah opsi dimaa payoff bergatug pada rata-rata harga aset selama opsi tersebut berlaku. Dalam meetuka harga opsi Asia dapat diguaka ratarata aritmatika. Ketika harga saham berdistribusi logormal, maka rata-rata aritmatika harga sahamya tidak berdistribusi logormal. Hal ii megakibatka dalam meetuka harga opsi Asia tidak dapat megguaka model black-scholes maka perlu dilakuka aproksimasi. Salah satu metode aproksimasi yag bisa dilakuka adalah aproksimasi Curra yag merupaka peetua opsi Asia megguaka rata-rata aritmatika melalui pedekata rata-rata geometrik. Kata Kuci: Opsi Asia, rata-rata Aritmatika, rata-rata geometrik, logormal, Aproksimasi Curra. Pedahulua Dalam duia pasar modal pemilik aset melakuka ivestasi utuk memiimalisir kerugia dalam pejuala atau pembelia sejumlah aset. Salah satu produk ivestasi yag mearik adalah saham. Selai berivestasi dega memiliki secara lagsug saham yag diperdagagka di pasar, ivestor juga dapat berivestasi dega cara membeli turua dari ilai saham yag disebut dega pasar derivatif fiacial derivative. Produk pasar derivatif yag bayak diperjualbelika adalah opsi. Opsi adalah sebuah kotrak atara dua pihak yag memberika kepada pembeli hak, buka kewajiba utuk membeli atau mejual sejumlah saham pada harga tertetu yag ditetuka sekarag utuk trasaksi yag aka terjadi dimasa yag aka datag. Dalam kotrak opsi, pemilik opsi memiliki resiko kerugia yaitu mejual saham dega harga lebih redah atau membeli harga saham lebih tiggi dibadigka dega harga saham pada pasar modal. Oleh karea itu harga opsi ditetuka utuk memiimalisasi kerugia tersebut. Masalah perhituga harga opsi optio pricig adalah meghitug harga yag wajar fair value dimaa opsi bisa dibeli atau dijual. Opsi eksotik merupaka opsi yag memberika keutuga yag lebih besar daripada opsi stadar, salah satu cotohya adalah opsi barrier yag maa payoff -ya selama masa berlaku opsi bergatug pada ilai aset. Selai opsi barrier, 70

2 Pegguaa Aproksimasi Curra Dalam Meetuka Harga Opsi Asia 7 opsi eksotik laiya adalah lookback opsi da opsi Asia. Opsi Asia adalah opsi yag payoff -ya bergatug pada rata-rata harga aset selama masa berlaku opsi. Perhituga harga opsi Asia dapat megguaka rata-rata geometrik da ratarata aritmatika. Ketika harga saham berdistribusi logormal, maka rata-rata geometrik harga sahamya juga harus berdistribusi logormal, sedagka distribusi pada rata-rata aritmatika harga sahamya tidak diketahui. Hal ii megakibatka rata-rata aritmatika tidak memeuhi salah satu asumsi dari model Black-Scholes yaitu harga aset berdistribusi logormal. Akibatya, perlu dilakuka aproksimasi distribusi rata-rata artimatika. Beberapa metode yag dapat diguaka utuk megaproksimasi distribusi rata-rata aritmatika tersebut ialah aproksimasi Turbull da Wakema, aproksimasi Levy, aproksimasi Curra, da Mote Carlo valuatio. Metode yag diguaka dalam paper ii adalah aproksimasi Curra yaitu pegguaa rata-rata aritmatika dega pedekata rata-rata geometrik.. Kosep Dasar Opsi saham adalah suatu opsi dega aset yag medasariya adalah saham. Berdasarka hak yag diberika kepada pemilik opsi, opsi dibedaka mejadi dua, yaitu opsi call adalah suatu opsi yag memberi hak kepada pemegagya utuk membeli sejumlah tertetu saham pada harga tertetu setiap waktu sampai suatu taggal jatuh tempo atau berakhirya kotrak opsi, da opsi put adalah suatu opsi yag memberika hak kepada pemegagya utuk mejual sejumlah tertetu saham pada harga tertetu setiap waktu sampai taggal jatuh tempo atau berakhirya kotrak opsi. Tigkat pegembalia retur yag diharapka adalah laba yag aka diterima oleh pemodal atas ivestasiya dalam waktu yag aka datag. Retur dihitug dega rasio harga saham pada waktu t + dega harga saham pada waktu t. Logaritma atural sampel retur pada t higga t + dapat diyataka sebagai: ˆR t = l S t+ S t ; t =,, 3,, dimaa adalah bayakya hari perdagaga saham da S t adalah harga saham pada waktu ke-t. Dalam meetuka Opsi Asia diguaka rata-rata aritmatika da rata-rata geometrik, dimaa A G dega A adalah rata-rata aritmatika da G adalah ratarata geomterik. Jika A da G peubah acak kotiu salig bebas, maka ilai harapa bersyaratya mejadi: EG a = EG da EA g = EA.. 3. Model Harga Saham Perubaha harga saham terjadi secara acak meurut waktu sehigga dapat diasumsika sebagai suatu proses stokastik. Misalka Xt megikuti proses Wieer, maka Xt dapat dikembagka mejadi persamaa pada proses Ito. Proses Wieer merupaka proses stokastik dimaa harga saat ii berpegaruh utuk memprediksi

3 7 Steffay Harwella harga yag aka datag. Harga saham dilambagka dega S da waktu dilambagka dega t. Maka perubaha harga saham dapat ditulis sebagai: dst = µstdt + σstdw t. 3. Selajutya persamaa diferesial stokastik bagi fugsi Xt dapat diyataka dalam betuk dxt = µst f s + f t + σ St f s dt + σst f dw t. 3. s Salah satu asumsi Black-scholes yaitu harga aset yag medasari megikuti proses Wieer yag mempuyai distribusi logormal dega parameter mea da varia yag diketahui da kosta. Logaritma harga saham pada saat jatuh tempo mem- puyai sebara ormal dega µ = l S0 + r σ T da V ar = σ T. 4. Karakteristik Rata-rata Aritmatika da Karakteristik Rata-rata Geometrik dari Harga Saham Ketika harga saham berdistribusi logormal, maka rata-rata aritmatika harga sahamya tidak terdistribusi logormal. Namu, rata-rata geometrik harga saham berdistribusi logormal yag dapat ditulis sebagai: l St i i N l S0 + ˆµ ˆσ T, ˆσ T 4. Oleh karea itu, peghituga opsi Asia megguaka rata-rata aritmatika dapat dilakuka dega pedekata rata-rata geometrik. 5. Pembetuka Model Opsi Call Asia da Opsi Put Asia Megguaka Aproksimasi Curra Metode Curra merupaka salah satu aproksimasi megguaka rata-rata aritmatika dega melakuka pedekata rata-rata geometrik. Sehigga Persamaa opsi call da opsi putya dapat ditulis mejadi: ] C e rt Ẽ [Ẽ[maxA K, 0 G], da ] P e rt Ẽ [Ẽ[maxK A, 0 G] dimaa C : Harga opsi call Asia, P : Harga opsi put Asia, Ẽ : Taksira ekspektasi, r : Tigkat suku buga bebas resiko, T : Waktu jatuh tempo, A : Rata-rata aritmatika dari harga saham, G : Rata-rata geomterik dari harga saham, K : Harga pelaksaaa. Pada jural ii haya dijelaska tetag pembetuka model opsi call Asia. Selajutya megguaka defiisi ekpektasi, persamaa opsi call Asia diatas dapat ditulis mejadi: C e rt Ẽ[maxa K, 0 g]pgdg 5. 0

4 Pegguaa Aproksimasi Curra Dalam Meetuka Harga Opsi Asia 73 dega pg adalah fugsi kepekata peluag dari variabel radom G, yag dapat ditulis: [ pg = gˆσ πt exp l g l S0 ˆµ ˆσ T ] ˆσ T Berdasarka pertidaksamaa rata-rata aritmatika da rata-rata geometrik yag meyataka bahwa A G utuk semua kemugkia harga saham, maka ilai G berada pada iterval K G < da 0 G K. Jika A G da G K, maka A G K, da dapat disimpulka bahwa A K sehigga ilai payoff ya dapat dicari. Jika A G, maka aka meghasilka dua kemugkia yaitu A K atau A K, da opsi mugki aka berakhir pada posisi out of the moey. Hal ii meyebabka kerugia karea holder membeli saham dega harga di atas harga pasar. Oleh karea itu, persamaa 5. mejadi: C e rt Ẽ[maxa K, 0 g]pgdg k = e rt k = e rt k Ẽ[a g] Ẽ[K g] pgdg Ẽ[a g] K pgdg 5. Misalka X i = l St i, dimaa X i Nµ i, σi dega i =,,, da X = l G dimaa G adalah rata-rata geometrik harga saham, maka: Ẽ[St i G] = E[St i ] = exp ˆµ i + ˆσ i da ekpektasi bersyarat diatas dapat ditulis: [ ] i Ẽ[St i G] = exp µ i + x µ x, σi σ x i / 5.3 Selajutya misalka X = l G, maka diperoleh gdx = dg, sehigga persamaa 5. mejadi: C e Ẽ[a X rt = x] K fxdx 5.4 l K dimaa fx adalah fugsi kepekata peluag dari variabel radom x. Jika A = i St i, maka persamaa dapat ditulis mejadi : [ ] C e rt Ẽ St i X = x K fxdx l K = e rt Ẽ[St i X = x] Kfxdx = e rt lk lk Ẽ[St i X = x]fxdx lk Kfxdx 5.5

5 74 Steffay Harwella Misalka I = I = lk lk Ẽ[St i X = x]fxdx Kfxdx Lagkah pertama adalah meghitug I Subtitusi persamaa 5.3 kedalam persamaa I,maka I = [ ] i exp µ i + lk x µ x σi σ x i / fxdx 5.6 Subtitusi persamaa betuk fx kedalam persamaa 5.6, maka diperoleh I = [ ] i exp µ i + lk x µ x σi σ x i / π [ exp ] x µx dx i exp x i µ x σ x i x µx dx 5.7 Selajutya misalka juga da Q = exp = exp i x i µ x σ x i x µ x i q = x µ x i dq = dx x µx 5.8 Dega megguaka persamaa 5.8 da dx = dq, maka persamaa dapat ditulis mejadi: I = exp µ i + σ i exp π q dq l K µx i Berdasarka sifat kesimetrisa distribusi Normal, maka I = l K µx exp µ i + σ i i exp π = exp µ i + σ i N [ l K µx + i q dq ]

6 Pegguaa Aproksimasi Curra Dalam Meetuka Harga Opsi Asia 75 Lagkah kedua meghitug I Dega cara yag sama dega meghitug I, maka Misalka, I = = lk lk Kfxdx K π exp r = x µ x dx = dr [ ] x µx dx 5. maka diperoleh, lk µx I = K exp π r dr l K µx = KN Setelah diperoleh ilai I da I, maka diperoleh ilai opsi call asia megguaka rata-rata aritmatika melalui pedekata rata-rata geometrik yaitu: C e rt exp µ i + σ i l K µx N + σ x i l K µx KN Da utuk Opsi put diperoleh betuk model opsi yaitu: lk P e KN rt µx exp µ i + σ i l K µx i N 6. Peerapa Model Harga Opsi Call da Opsi Put utuk Saham Tipe Asia Dalam peerapa model harga opsi Asia ii, data yag diguaka adalah data harga peutupa haria saham Yahoo!.Ic YHOO pada taggal 9 Agustus 03 sampai 9 Agustus 04 yag diakses lagsug dari Faktor yag diperluka dalam perhituga model yaitu, volatisitas retur saham yaitu σ = t ˆR t R ˆR = dega R = t ˆR t = da ˆR = = Harga saham awal S0 :38.5, waktu sekarag t : 0 September 04, waktu jatuh tempo : 0 September 04, yag berarti T = = Tigkat suku buga bebas resiko r : 0.05, da Harga pelaksaaa K: 5.00, 30.00, 35.00, 40.00, 45.00, Perhituga harga opsi call da opsi put dega megguaka aproksimasi Curra utuk harga pelaksaaa Nilai = σ ++ 6 = , ilai µ x = σ + r σ + = , σ i = T = , µ i = l S0 +

7 76 Steffay Harwella µx σ x T = Selajutya aka dilakuka perhituga dega megguaka software microsoft excel dega peritah NORMSDIST. Sehigga diperoleh, C 3.6 da P 3.6 = 0. Selajutya dega cara yag sama diperoleh harga opsi call da opsi put utuk harga pelaksaaa yag berbeda yaitu: No Harga Opsi Call Harga Opsi Call Harga Opsi Put Harga Opsi Put Hitug Curra di Pasar Saham Hitug Curra di Pasar Saham Perbadiga harga opsi yag dihitug megguaka aproksimasi Curra dega harga opsi dipasar saham dapat mejadi acua utuk para ivestor. Utuk semua harga pelaksaaa, sebaikya ivestor tidak membeli opsi call karea harga opsi call yag dihitug dega aproksimasi Curra lebih tiggi daripada harga opsi call dipasara. Sedagka utuk opsi put, pada harga pelaksaaa da dolar sebaikya ivestor tidak mejual opsi put pada harga tersebut, karea harga opsi di pasara lebih redah dibadigka harga opsi put yag dihitug dega aproksimasi Curra. Sebalikya pada harga pelaksaaa 5.00, 30.00, 35.00, dolar. 7. Peutup Opsi Asia adalah opsi dimaa payoff bergatug pada rata-rata harga aset selama opsi tersebut berlaku. Dalam meetuka harga opsi Asia megguaka rata-rata aritmatika tidak dapat dilakuka dega model Black-Scholes karea karakteristik dari rata-rata aritmatika tidak berdistribusi logormal. Oleh karea itu dilakuka aproksimasi Curra yaitu pedekata rata-rata geometrik dega l St i N i l S0 + ˆµ ˆσ T, ˆσ T sehigga diperoleh model aproksimasi Curra sebagai berikut: C e rt exp µ i + σ i l K µx N lk P e KN rt µx exp µ i + σ i + i N KN l K µx l K µx i

8 Pegguaa Aproksimasi Curra Dalam Meetuka Harga Opsi Asia 77 dega, µ i = l S0 + µ x σ x T σ i = σ xt µ x = σ + r σ + = σ i = ii + i + Model aproksimasi Curra harga opsi Asia diterapka pada saham Yahoo!.Ic. Perhituga harga opsi ii bisa diguaka sebagai acua oleh para ivestor dalam pelaksaaa opsi, agar bisa memiimalisir kerugia dalam megelola aset. 8. Ucapa Terima kasih Peulis megucapka terima kasih kepada Bapak Dr. Dodi Deviato, Ibu Izzati Rahmi HG, M.Si, Ibu Hazmira Yozza, M.Si, Bapak Yudiatri Asdi, M.Sc yag telah memberika masuka da sara sehigga paper ii dapat diselesaika dega baik. Daftar Pustaka [] Adams, A Ivestmet Mathematics. Caada:Joh Wiley ad Sos Ltd. [] Ato,H. 99. Aljabar Liier Elemeter Edisi 8, Jilid. Erlagga, Jakarta. [3] Bai, Lee J ad Max.E. 99. Itroductio To Probability ad Mathematical Statistics Secod Editio. Califoria: Duxbury Press. [4] Walpole, RE Pegatar Statistika. Edisi ke-3. Jakarta:PT Gramedia Pustaka Utama. [5] Closig price. 03. Available from: [diakses pada September 04]. [6] Uchida, Y A Sample proof of the geometric-arithmetic mea iequality. Japa: Okayama Pref. [7] Schlaifer, R, Johm W.Pratt, Howard.R Statistical Desicio Theory. Lodo:The Mil Press. [8] Lueberger, D.G.998.Ivestmet Sciece. Oxford Uiversity Press. New York.