ANALISIS REGRESI PADA DATA OUTLIER DENGAN MENGGUNAKAN LEAST TRIMMED SQUARE (LTS) DAN MM-ESTIMASI. Heru Nurcahyadi

Transkripsi

1 ANALISIS REGRESI PADA DATA OUTLIER DENGAN MENGGUNAKAN LEAST TRIMMED SQUARE (LTS) DAN MM-ESTIMASI Heru Nurcahyad PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA M / 43 H

2 PENGESAHAN UJIAN Srps berjudul Analss Regres pada Data Outler dengan Menggunan Least Trmmed Square (LTS) dan MM-Estmas yang dtuls oleh Heru Nurcahyad, NIM telah duj dan dnyataan lulus dalam sdang Munaqosyah Faultas Sans dan Tenolog Unverstas Islam Neger Syarf Hdayatullah Jaarta pada tanggal 9 Me 9. Srps n telah dterma sebaga salah satu satu syarat untu memperoleh gelar sarjana strata satu (S) Program Stud Matemata. Menyetuju : Penguj, Penguj, Yanne Irene, M.S Gustna Elfyant, M.S NIP NIP Pembmbng, Pembmbng, Summa nna, M.S Bambang Ruswand, M.Stat NIP NIP Mengetahu : Dean Faultas Sans dan Tenolog Ketua Program Stud Matemata, DR. Syopansyah Jaya Putra, M.Ss Yanne Irene, M.S NIP NIP

3 PERSEMBAHAN Srps n au persembahan untu edua orang tuau, eluarga besaru, dan eluarga besar Prod Matemata MOTTO Karena sesungguhnya sesudah esultan tu ada emudahan, dan sesungguhnya sesudah esultan tu ada emudahan. Maa apabla amu telah selesa (dar sesuatu urusan), erjaanlah dengan sungguh-sungguh (urusan) yang lan, dan hanya epada Tuhanmulah amu berharap. (QS. Alam Nasyrah ayat 5-8) pelajarlah lmu Barang sapa mempelajarnya arena ALLAH, tu Taqwa. Menuntutnya, tu Ibadah. Mengulang-ngulangnya, tu Tasbh. Membahasnya, tu Jhad. Mengajarannya epada orang yang tda tahu, tu Sedeah. Memberannya epada ahlnya, tu mendeatan dr epada ALLAH. (Muhammad bn Muhammad al-ghazal).

4 PERNYATAAN DENGAN INI SAYA MENYATAKAN BAHWA SKRIPSI INI BENAR- BENAR HASIL KARYA SENDIRI YANG BELUM PERNAH DIAJUKAN SEBAGAI SKRIPSI ATAU KARYA ILMIAH PADA PERGURUAN TINGGI ATAU LEMBAGA MANAPUN. Jaarta, 5 Desember Heru Nurcahyad 59439

5 ABSTRACT Regresson analyss s a statstcal methodology that descrbes the relatonshp of ndependent varables and the dependent varable. From the relatonshp t establshed a model that can be used to predct the value of the dependent varable usng the dependent varable. The resultng model s derved from the method of least square (LS), whch must satsfy some assumptons. Wth the estence of a data whch s not smlar to most other data, called outlers, then the LS method usng the resultng regresson model dd not meet the assumptons and regresson models dd not ft wth the data. Outler on the -drecton s called leverage can be detected by usng the h-hat matr, whle the y-drecton s called dscrepances can be detected by usng the eternally studentzed resdual, and the nfluence can be detected by usng DFFITS and COOK'SD. method of least trmmed square (LTS) to produce regresson models that ft to the data even though half of the data s outler data, because t has a hgh value of breadown pont that s 5%. Other robust methods that have a breadown pont of 5% s MM-Estmate that use the S-Estmated ntal teraton. LTS model s very good at smple regresson analyss compared wth MM-estmaton seen from the estmated resdual scale. Whle the multple regresson analyss of MM-Estmaton s better when compared wth the LTS seen from the estmated resdual scale. Keywords: least square (LS), outler, leverage, h-hat matr, dscrepances, eternally studentzed resdual, value nfluences, DFFITS, COOK'SD, least trmmed square (LTS), breadown pont, robust method, MM-estmaton, S-estmaton. v

6 ABSTRAK Analss regres adalah metodolog statsta yang menggambaran hubungan atau pengaruh dar varbel ndependen dan varable dependen. Dar hubungan tu dbentu suatu model yang bsa dgunaan untu mempredsan nla varable dependen dengan menggunaan varable dependen. Model yang dhaslan dturunan dar metode least square (LS), yang harus memenuh beberapa asums. Dengan adanya suatu data yang tda sejens dengan sebagan data yang lan, yang dsebut outler, maa penggunaan metode LS model regres yang dhaslan tda memenuh asumsnya dan model regresnya tda ft dengan data. Outler pada arah- dsebut leverage dapat ddetes dengan menggunaan h-hat matr, sedangan pada arah-y dsebut dscrepancy dapat ddetes dengan menggunaan eternally studentzed resdual, dan nla nfluence dapat ddetes dengan menggunaan DFFITS dan COOK SD. metode least trmmed square (LTS) dapat menghaslan model regres yang ft terhadap data walaupun setengah dar datanya merupaan data outler, arena mempunya nla breadown pont yang tngg yatu 5%. Metode robust yang lan yang mempunya breadown pont 5% adalah MM-Estmas yang menggunan teras awal S-Estmas. Model LTS sangat ba pada anals regres sederhana dbandngan MM-estmas dlhat dar estmas sala resdualnya. Sedangan pada analss regres berganda MM-estmas lebh ba ja dbandngan dengan LTS dlhat dar estmas sala resdualnya. Kata unc: least square (LS), Outler, leverage, h-hat matr, dscrepancy, eternally studentzed resdual, DFFITS, COOK SD, least trmmed square (LTS), breadown pont, metode robust, MM-Estmas, S-Estmas. v

7 KATA PENGANTAR بسم هللا اار حمن اار حيم Assalamu alaum Wr. Wb. Puj syuur ehadrat Allah SWT yang telah member rahmat dan aruna- Nya sehngga penuls dapat menyelesaan srps n. Shalawat serta salam ta lupa dsampaan epada Nab Muhammad SAW. Srps n adalah syarat elulusan yang harus dtempuh dalam menyelesaan penddan sarjana strata satu Program Stud Matemata Faultas Sans dan Tenolog Unverstas Islam Neger Syarf Hdayatullah Jaarta. Kam mengucapan terma ash epada para pha yang telah banya membantu dalam penyelesaan srps n, d antaranya :. Dr. Syopansyah Jaya Putra, M.Ss, Dean Faultas Sans dan Tenolog.. Yanne Irene, M.S, sebaga Ketua Program Stud Matemata dan dosen penguj I. 3. Suma nna, M.S, Seretars Program Stud Matemata dan dosen Pembmbng I. 4. Bambang Ruswand, M.Stat, dosen pembmbng II 5. Seluruh dosen Prod Matemata yang telah memberan lmu-lmu yang sangat bermanfaat bag penuls. 6. Seluruh cvtas aadema Faultas Sans dan Tenolog atas bantuannya dalam bdang admnstras. v

8 7. Kedua orang tuau: H. Ahyad dan Hj. Nurhayat, adu: Herwn Adryan, dan eluargau yang senantasa mendoaan dan memberan semangat selalu pada penuls dalam penyelesaan srps n. 8. Pamanu, Sersan Satu Unang Sunarya dan eluarganya yang telah banya mendorong dan membantu dalam penyelesaan srps n. 9. Muhls, Dede Kurnawan, Syaur, dan Perdy atas persahabatannya selama n, semoga selalu eal hngga ahr watu.. Seluruh teman-teman angatan 4, 5, 6, 7, dan 8 semoga Allah tetap mengealan uhuwah ta. Krt dan saran sangat am harapan dem penyempurnaan srps. Mohon maaf bla ada eurangan. Semoga srps n dapat bermanfaat bag para pembaca, hususnya bag penuls prbad. Wassalamu alaum Wr.Wb. Jaarta, 5 Desember Penuls v

9 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... PENGESAHAN UJIAN.... PERNYATAAN... PERSEMBAHAN DAN MOTTO... ABSTRAK... ABSTRACT... v v v KATA PENGANTAR... v DAFTAR ISI... DAFTAR TABEL... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR LAMPIRAN.... v BAB I. PENDAHULUAN..... Latar Belaang..... Permasalahan Pembatasan Masalah Tujuan Penulsan Manfaat Penulsan... 5 BAB II. LANDASAN TEORI Model Persamaan Regres Lnear 6.. Outler Dalam Regres: Sumber, Jens dandetes Outler.3. Robust Estmas... 6

10 BAB III. ROBUST ESTIMASI PADA REGRESI Least Trmmed Square MM-Estmas BAB IV. APLIKASI MODEL Aplas pada Regres Sederhana Aplas pada Regres Berganda... 6 BAB V. KESIMPULAN DAN SARAN Kesmpulan Saran... 6 REFERENSI LAMPIRAN... 68

11 DAFTAR GAMBAR Gambar. : Model Regres Lnear Sederhana... 7 Gambar. : Gars Least Square... 9 Gambar.3 : Outler pada Arah-y... 4 Gambar.4 : Outler pada Arah Gambar.5 : Outler pada (,y ) Gambar.6 : Fungs Huber... 5 Gambar.7 : Fungs Bsquare... 3 Gambar 4. : Plot Leverage Gambar 4. : Scatterplot dan Gars Least Square Gambar 4.3 : Dstrbus Normal Resdual Data Pensunan Gambar 4.4 : Gars Least Trmmed Square Data Pensunan Gambar 4.5 : Gars MM-Estmas Data Pensunan Gambar 4.6 : Dstrbus Normal Data Table (4.5)... 6

12 DAFTAR TABEL Tabel 3.3.: Efsens Asmptot S-Estmator... 5 Tabel 4. : dana pensunan... 5 Tabel 4. : pemersaan data outler pada arah- dana pensunan Tabel 4.3 : pemersaan data outler pada arah-y dana pensunan Tabel 4.4 : Perbandngan LS, LTS, MM-Estmas Dana Pensunan Tabel 4.5 : Data Survval Tme... 6 Tabel 4.6 : pemersaan data outler pada data table Tabel 4.7 : Perbandngan LS, LTS, MM-Estmas data tabel

13 DAFTAR LAMPIRAN Lampran : Data Dana Pensunan Lampran : Pemersaan Data Outler pada Arah- Dana Pensunan Lampran 3 : Pemersaan Data Outler pada Arah-y Dana Pensunan Lampran 4 : Data Survval Tme... 7 Lampran 5 : Pemersaan Leverage Data Survval Tme... 7 Lampran 6 : Pemersaan Dscrepancy Data Survval Tme... 7 Lampran 7 : Pemersaan Nla Influence Data Survval Tme v

14 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belaang Model matemat dalam statsta merupaan penyederhanaan dar realtas atau permasalahan yang dtelt oleh statstawan. Oleh arena tu, dperluan asums-asums agar model tersebut dapat menggambaran permasalahannya. Selan tu, asums dperluan agar dapat merumusan apa yang statstawan etahu atau tera (conjectures) mengena penganalssan data atau masalah permodelan statst yang dhadapnya, dan pada saat yang bersamaan asums dperluan agar model yang dhaslan dapat memudahan (manageable) dalam sudut pandang teort dan omputasnya. Salah satu asums yang palng banya dtemuan dalam satatst adalah asums enormalan, yang telah ada selama abad, asums enormalan menjad eranga berpr dalam semua metode statst nferens, yatu: Regres, analss varans, analss multvart, model runtun watu dan lan-lan. Bahan terdapat justfas untu asums enormalan dengan argumen teor yatu teorema lmt pusat. Serng al dalam pratenya asums enormalan terpenuh secara aprosmas pada sebagan besar data observas. Bahan, beberapa observas berbeda pola atau bahan tda berpola mengut dstrbus normal. Hal n darenaan observas yang tda normal, observas yang terpsah dar obsevasobservas lannya yang denal dengan data outler. Dengan data outler asums enormalan serngal tda terpenuh, walupun jumlah data cuup besar.

15 Sehngga statstawan emungnan melauan esalahan dalam memodelan suatu fenomena dengan adanya ehadran data outler. Oleh arena tu, dperluan metode yang bsa mengatas masalah tersebut. Dalam mengatas data outler harus dlhat dar sumber munculnya data yang menjad outler tersebut. Outler mungn ada arena adanya data terontamnas, yatu adanya esalahan pada saat melauan pengamblan sampel pada populas. Outler yang dsebaban oleh data terontamnas dapat dhapusan dar data peneltan atau ja memungnan dlauan samplng ulang. Aan tetap, ja setelah melauan beberapa al samplng ulang namun data outler tetap muncul maa data tersebut jangan dhapusan dar data peneltan, arena analss data yang dhaslan aan tda mencermnan populas yang dtelt. Outler pada asus tersebut dgolongan pada asus yang jarang. Untu mengatasnya dperluan metode lan supaya analss data dengan hadrnya data outler tetap tahan (robust) terhadap asums yang dterapan pada penganalssan datanya. Metode tersebut denal dengan Metode Robust. Metode nlah yang aan jad peneltan penuls pada tugas ahr n. Model matemat dalam statsta yang banya dtemuan dalam berbaga bdang adalah model regres. Model regres merupaan suatu model yang menggambaran hubungan dar varabel dependen dengan varabel-varabel ndependen, dengan adanya hubungan tersebut dharapan varabel ndependen dapat mempredsan nla-nla varabel dependen. Model regres mengasumsan bahwa error dar model tersebut harus berdstrbus normal, bervarans onstan, dan salng ndependen antar observas. Dengan adanya

16 outler pada data regres mengabatan model regres tda memenuh asumsnya dan model regres tda coco (ft) terhadap data yang aan dmodelan, arena nla oefsen dar model regres tersebut sangat dpengaruh oleh adanya outler. Oleh arena tu, model yang dhaslan tda dapat dgunaan untu mempredsan. Sehngga, outler pada regres harus datas. Salah satu metode guna mengatas outler pada regres adalah metode robust. Metode robust yang aan dpaa pada tugas ahr n adalah MM- Estmas dan least trmmed square (LTS) merupaan dua metode yang mempunya nla breadown pont yang tngg yatu hampr 5%. MM-estmas merupaan metode robust dengan teras pont estmas dar model regres. Dalam MM-estmas dbutuhan teras awal (ntal) dan teras ahr (fnal). LTS merupaan metode dengan pertama-tama menghtung h, banya data yang menjdan estmas Robust, dengan sebelumnya menyusun resdual uadrat dar yang terecl sampa dengan yang terbesar. Dsampng penanganan outler pada regres, yang lebh pentng adalah pengdentfasan data yang menjad outler. Metode pengdentfasan yang dgunaan pada tugas ahr n adalah dengan melhat leverage, nla dscrepancy, dan nla nfluence-nya. leverage hanya menggambaran asus yang terjad pada varabel ndependen. Untu tap asus, leverage mengnformasan seberapa jauh asus tesebut dar nla mean hmpunan data varabel ndependen. Sedangan dscrepancy merupaan jara antara nla preds dengan nla observas dar varabel dependen (Y), yatu Y Yˆ, yang merupaan nla dar resdual, e. Pada dasarnya, nla yang menjad outler menyebaban nla resdual menjad 3

17 besar dan tda jatuh pada gars regres. dan yang terahr nla nfluence merupaan ombnas dar uuran leverage dan dscrepancy yang mengnformasan mengena bagamana perubahan dar persamaan regres ja asus e- dhlangan dar hmpunan data.. Permasalahan. Bagamana pengdentfasan outler dengan menggunaan leverage, nla dscrepancy, dan nla nfluence dar data regres.. Bagamana cara mengestmas nla-nla parameter model regres dengan adanya data outler dengan menggunaan Least trmmed square (LTS) dan MM-Estmas pada data regres tersebut. 3. Bagamana perbandngan model regres yang dhaslan dengan menggunaan Least trmmed square (LTS) dan MM-Estmas..3 Pembatasan Masalah Pada srps n, permasalahan aan dbatas, yatu sebaga berut:. Data outler dasumsan buan berasal dar sumber esalahan samplng, aan tetap data outler tersebut merupaan ejadan yang husus atau jarang.. Pengdentfasan outler menggunaan metode h-matrs untu mengdentfas nla leverage, metode eternally studentzed resdual untu mengdentfas nla dscrepancy, dan metode DFFIT S dan Coo sd untu mengdentfas nal nfluence. 4

18 3. Penanganan data outler pada regres aan dgunaan metode MM- Estmas dan Least Trmmed Square, emudan perbandngannya hanya dengan melhat estmas sala resdualnya. 4. Asums regres yang dpaa hanya asums enormalan..4 Tujuan Penulsan. Mengdentfasan data outler dengan menggunaan leverage, nla dscrepancy, dan nla nfluence dar data regres, sehngga detahu data yang menjad outler dar seumpulan data regres.. Mengetahu cara mengestmas nla-nla model parameter regres dengan adanya data outler dengan menggunaan Least trmmed square (LTS) dan MM-Estmas pada data regres. 3. Membandngan model regres yang dhaslan dengan menggunaan Least trmmed square (LTS) dan MM-Estmas..5 Manfaat Penulsan. Dapat mengetahu cara pengdentfasan outler dengan menggunaan leverage, nla dscrepancy, dan nla nfluence dar data regres.. Dapat mengetahu pengestmasan nla-nla model parameter regres dengan adanya data outler dengan menggunaan Least trmmed square (LTS) dan MM-Estmas pada data regres. 3. Dapat mengetahu perbandngan model regres yang dhaslan dengan menggunaan Least trmmed square (LTS) dan MM- Estmas. 5

19 BAB II LANDASAN TEORI. Model Persamaan Regres Lnear Analss regres merupaan suatu proses pencaran model matemata terba yang coco dengan data yang menghubungan varabel dependen (juga basa dsebut respon) dengan varabel ndependen (predtor). Bentu umum model regres lnear adalah: y y E. Dengan, y = varabel dependen E y = espetas dar y. = random error. Model regres d atas tda mempertmbangan sejumlah varabel ndependen () yang berorelas sangat uat dengan varabel dependen (y), dengan menggunaan varabel ndependen maa eauratan dalam mengestams E y dapat dperoleh. Sehngga y lnear, yatu: E dapat destmas dengan bentu persamaan y E. Dengan model probablst, Persamaan. d atas dtuls dengan: 6

20 y.3 Persamaan.3 d atas dsebut Model Lnear Orde-Pertama atau Model Lnear Sederhana, arena hanya terdapat satu varabel ndependen dengan : y = varabel dependen. = varabel ndependen. y E = = omponen determnst. = ntercept pada sumbu y, tt potong dengan sumbu y. = emrngan dar gars regres, yatu sejumlah enaan (atau penurunan) dar mean y untu setap enaan (atau penurunan) -unt. = omponen random error. y 4 3 y E 3 4 Gambar. Model Regres Lnear Sederhana Ja terdapat varabel ndependen lebh dar satu, maa modelnya dsebut Model Regres Lnear Berganda atau Model Regres Lnear Umum dengan persamaan modelnya sebaga berut : y....4 Pada Persamaan-persamaan d atas (.3 dan.4) terdapat omponen random error ( ). Dstrbus dar menentuan seberapa bagusnya model yang 7

21 menggambaran hubungan sebenarnya antara varabel dependen y dan varabel ndependen. Ada empat asums yang menyangut dstrbus dar, yatu [] :.Mean dstrbus probabltas dar adalah. Artnya rata-rata error pada percobaan yang dlauan secara ta hngga adalah untu setap pengamblan varabel ndependen. Asusms n mengabatan nla mean dar y, untu setap nla yang dberan adalah y E..Varans dstrbus probabltas dar adalah onstan untu setap pengamblan varabel ndependen. 3.Dstrbus probabltas dar berdstrbus normal. 4.Error dar setap dua observas adalah ndependen. Artnya error dar salah satu nla y tda memberan pengaruh terhadap error dar nla y yang lan. Dar persamaan-persamaan d atas nla oefsen yatu dan (untu = sampa dengan ) tda detahu arena merupaan nla parameter. Oleh arena tu, dbutuhan data sampel untu mengestmas oefsen-oefsen tersebut. Msalan Y,...,, Y Y merupaan varabel random berdstrbus normal dengan mean masng-masng E y, dengan =,,...,, dan varans yang tda detahu Msalan aan dcar model regres lnear sederhana. Fungs lelhood dar varabel random Y,...,, Y Y adalah: L,, y ep ep y 8

22 Untu memasmuman fungs L, memnmuman: ln, y L,, ln, harus dplh dan dengan memnmuman:, atau euvalen dengan H, y Karena y y y E merupaan jara vertal dar tt, terhadap gars y Ey. Oleh arena tu, y H, merepresentasan jumlah uadrat tersebut. Dengan memlh dan sedeman hngga jumlah uadrat dar jara tersebut mnmum dengan sepert tu artnya gars lurus y y E mem-fttng data. Oleh arena tu, metode n dsebut Metode Least square []., y y Ey E y Gambar. Gars Least Square Untu memnmuman H,, harus dcar H, dan H,, 9

23 y y y y H ˆ, Jad dar penurunan datas d dapat y ˆ ˆ, notas ˆ merupaan notas estmator untu nla parameter, sedangan untu nla ˆ adalah sebaga berut: y y y y arena y y y y y y y arena y y y H ˆ, Jad dar penurunan d atas nla dar ˆ yang merupaan estmator dar adalah y y ˆ, dengan merupaan jumlah data sampel.

24 . Outler Dalam Regres: Sumber, Jens dan Detes Outler.. Sumber Outler Outler adalah satu atau lebh data yang tda basa, yang tda coco dar sebagan data lannya (one or more atypcal data ponts that do not ft wth the rest of the data). Outler mungn dsebaban arena dalam melauan observas melauan beberapa esalahan, hal n yang basa dsebut observas terontamnas, juga bsa outler merepresentasan observas yang aurat dar asus yang jarang. Apapun sumber outler, dalam beberapa asus menyebaban dampa yang sangat besar dalam mengestmas oefsen regres, standar error, dan estmas eseluruhan varabel predtor, R.[] Outler muncul arena data terontamnas dalam beberapa cara. Observas yang terontamnas dapat dan harus dmnmalsr dengan prosedur peneltan dan pengolahan data yang hat-hat. Observas yang terontamnas dsebaban []:. Kesalahan pelasanaan prosedur peneltan; msalnya: ntervewer salah baca dalam beberapa pertanyaan, atau espermenter melauan yang salah atau perlauan yang urang sempurna.. Ketdaauratan dalam penguuran varabel dependen; msalnya peralatan mengalam erusaan sehngga penguuran varabel dependen tda aurat. 3. Kesalahan penulsan atau pengetan data. 4. Kesalahan perhtungan dar penguuran; mslnya penelt urang tepat menghtung sejumlah varabel ndependen atau membuat esalahan dalam perhtungan dar uuran

25 5. Partspan yang urang perhatan. Msal dala asus tertentu, partspan sedang dalam eadaan lelah, sat atau mabu, dan tda mampu merespon dengan ba terhadap mater percobaan. Tap statst dagnost yang aan dbahas nant, secara potensal dapat menolong dalam pendeetsan data yang terontamnas. Keta penelt mendetes outler, perlauan pertamanya adalah melhat emungnan bahwa outler merupaan data yang terontamnas. Data dan perhtungan harus dpersa eaurasannya. Ja dapat dverfas bahwa outler merupaan data yang terontamnas, maa data tersebut tda harus dmasuan dalam penganalssan data. Ja memungnan, penelt bsa menggant data yang terontamnas n dengan data yang benar dar asus yang dteltnya, atau menghapusnya dar hmpunan data yang dtelt. Untu asus yang lan, outler dapat juga merepresentasan data yang vald, tda terontamnas, aan tetap outler tersebut merupaan asus yang jarang dalam populas. Keta outler yang ddetes buan data yang terontamnas, maa outler dapat dperlauan dengan dua peneanan dalam mengatas outler. Pertama, mengelmnas pengaruh dar asus jarang tersebut. Kedua, outler mungn merepresentasan sgnal yang halus dar suatu fenomena yang sangat pentng atau etda-tepatan dar penentuan model regres yang telah dujan, dan peneltan berusaha untu memaham asus yang jarang n sebaga sesuatu yang membawa e bentu yang sangat pentng dalam peneltan lmah.

26 .. Jens Outler Analss regres memberan suatu model yang menggambaran hubungan dar beberapa varabel ndependen ( X, =,, n) dengan varabel dependen ( Y,,,..., n ). Model regres tersebut ddapatan dengan menggunan metode estmas uadrat terecl (least square estmate). Metode LS ddasaran pada asums bahwa error dar model yang dhaslan harus berdstrbus normal. Karena dengan error berdstrbus normal metode LS memberan estmas parameter yang optmal bag model regres tersebut [3]. Aan tetap, dengan adanya data outler asums enormalan model regres tersebut aan tda terpenuh [5]. Sepert detahu pada analss regres, terdapat satu varabel dependen yang dgambaran pada scatterplot sebaga arah y, dan beberapa varabel ndependen pada scatterplot dgambaran sebaga arah. Oleh arena tu, eberadaan data outler mungn teredapat pada arah-y atau pada arah atau d eduanya. Data outler pada arah-y aan memberan nla resdual r yang sangat besar (postf atau negatf). Hal n dsebaban arena data yang menjad outler mempunya jara yang sangat besar terhadap gars LS. Sepert yang dtunjuan gambar (.3.a) yang merupaan scatterplot dan gars LS dar enam tt,,,...,, y y, yang hampr terleta pada suatu gars lurus (gars LS). Oleh 6 6 arena tu, penyelesaan LS ecocoannya sangat bagus untu e-6 data tersebut. Aan tetap, andaan dengan data yang sama, tetap data e-4 merupaan data outler, yatu y 4 yang dsebaban arena ada suatu esalahan, maa tt, y mungn aan jauh dar gars deal (gars LS). Hal n dgambaran pada gambar 4 4 3

27 (.3.b). tt data yang e-4 bergeser e atas dan jauh dar poss asalnya (dtunjuan dengan bulatan), dan tt e-4 tu memberan pengaruh yang besar pada gars LS, yang sangat berbeda dar gars LS pada gambar (.3.a) yatu gars LS tda memberan ecocoan terhadap e-6 data tersebut. Gambar.3 (a). Enam data asl dan gars LS-nya. (b). Data yang sama dengan data pada (a), tetap dengan outler dalam arah-y, yatu y 4. Sedangan data outler pada arah-, memberan pengaruh yang sangat besar pada estmator metode LS arena outler pada arah- aan membalan gars LS. oleh arena tu, outler pada arah- dsebut sebaga tt leverage [3]. Sepert dtunjuan pada gambar (.4.a) yang merupaan scatterplot dan gars LS dar lma tt data,,...,, y y yang hampr terleta pada suatu gars lurus 5 5 (gars LS). Msalan dengan data yang sama aan tetap tt adalah outler yang dsebaban arena suatu esalahan. Maa, gars LS aan berbal dar eadaan yang dgambaran pada gambar (.4.a), sepert yang dtunjuan pada gambar(.4.b). Hal n dapat djelasan sebaga berut: arena terleta jauh, maa resdual r dar gars asal (sepert yang dtunjuan pada gambar.4.a) 4

28 menjad sangat besar (negatf), berontrbus terhadap besarnya jumlah 5 r untu gars tersebut. Oleh arena tu, gars asal tda dapat dplh dar prespetf LS, dan tentunya gars pada gambar (.4.b) mempunya nla 5 r yang terecl, arena tu gars asal dbalan menjad gars pada gambar (.4.b) untu mengurang besarnya nla sedt dnaan [3]. r, bahan ja eempat bentu lannya, r, r, r, r, Gambar.4 (a). Data asal dengan lma tt dan gars LS-nya. (b). Data yang sama dengan data (a), tetap dengan satu data outler pada arah-, yatu. Secara umum, suatu observas, y dataan suatu tt leverage eta terleta jauh dar sebagan besar data observas dalam sampel. Sebaga catatan, bahwa suatu tt leverage tda memasuan nla y e dalam perhtungan, jad tt, y tda harus perlu menjad outler pada regres. Keta, y deat terhadap gars regres yang dtentuan dengan sebagan besar data, maa hal tu dapat dperraan sebaga tt leverage yang bagus sepert dtunjuan pada gambar (.5). Oleh arena tu, untu mengataan bahwa, y adalah suatu tt leverage hanya meruju pada epotensalannya 5

29 mempengaruh secara uat terhadap oefsen-oefsen regres (dsebaban eterpenclannya omponen saja). Tt, y tda harus dpandang menyebaban pengaruh yang besar terhadap oefsen-oefsen regres, arena mungn saja tt, y tepat pada gars yang dtentuan ecendrungannya dengan sebagan besar hmpunan data lannya [3]. Gambar.5 Tt, y merupaan tt leverage arena terpencl. Aan tetap,, y buan outler regres arena coco dengan pola elneran sebagan hmpunan tt data lannya. Dalam regres berganda,,..., p terleta pada suatu ruang berdmens p. Suatu tt leverage tetap ddefnsan sebaga suatu tt,...,, p y d mana,..., p merupaan tt-tt yang terpsah dar hmpunan data,..., p. Sepert sebelumnya, suatu tt leverage yang berpotensal berpengaruh besar pada oefsen regres LS, bergantung pada nla atual dar y. aan tetap pada stuas n, aan sangat susah mengdentfas tt-tt leverage, arena dmensnya yang tngg [3]. 6

30 ..3 Detes outler Data outler dapat denal dengan pemerasaan vsual dar data mentahnya (raw) atau dar dagram pencar dar varabel ndependen dan varabel dependen. Dalam asus eta terdapat lebh dar dua varabel ndependen, beberapa outler mungn aan sangat sult ddetes dengan pemersaan vsual. Oleh arena tu, dbutuhan alat bantu pada pemersaan vsual dengan menggunaan uj statst tertentu yang denal dengan regres dagnost yang dapat membantu dalam pendetesan outler. Regres dagnost merupaan asus statst, artnya mungn aan terdapat satu nla dar tap dagnost statst dar tap n-asus dalam hmpunan data. Suatu sampel dengan 5 asus aan menghaslan 5 nla dar tap dagnost statstnya, salah satunya merepresentasan tap asus dalam hmpunan data tersebut. Regres dagnost statst dgunaan untu memersa tga araterst yang secara potensal merupaan data outler. Pertama adalah leverage: yang menggambaran seberapa tda basanya asus tersebut dalam bentu varabel ndependnya?. Kedua adalah dscrepancy (jara) antara nla preds dan nla observas pada varabel hasl (Y). Ketga adalah nfluence, yang menggambaran besaran dar perubahan oefsen regres ja outler dhlangan dar hmpunan data. Secara onseptual, nfluence merepresentasan peralan dar leverage dan dscepancy. Tap araterst n harus dpersa, arena etganya mengdentfas aspe-aspe yang berbeda dar data outler. 7

31 . Leverage Leverage hanya menggambaran asus yang terjad pada varabel ndependen. Untu tap asus, leverage mengnformasan seberapa jauh asus tesebut dar nla mean hmpunan data varabel ndependen. Ja hanya terdapat satu varabel ndependen, leverage dapat dtentuan sebaga []: leverage = h n X M X.5 dengan h adalah leverage asus e-, n banyanya data, X adalah nla untu asus e-, M X adalah mean dar X, dan merupaan jumlah uadrat n asus dar smpangan X dar meannya. Ja asus e- bernla M X, maa bentu edua dar persamaan d atas aan dan h aan meml nla emungnan yang mnmum, n. Msalan asus e- sor pada X menjad jauh dan jauh dar M X, maa aan menaan h. Nla masmum dar h adalah nla mean dar leverage untu n-asus dalam suatu sampel adalah merupaan jumlah varabel ndependen. M n, dengan Perhtungan leverage d atas untu asus dengan satu varabel ndependen, dapat dgeneralsas untu asus dengan varabel ndependen lebh dar satu. Untu asus dengan banya varabel ndependen, yang menjad menar adalah seberapa jauh nla-nla untu tap varabel untu asus e-, X, X 3,..., X, dar centrod varabel ndependen, centrod merupaan mean dar data, M, M,..., M. Penghtungan nla h untu asus n dengan menggunaan persamaan [4]: h 8

32 ' ' H X X X X.6 dengan H merupaan matr nn dan X merupaan matr n. Dengan n merupaan banyanya data, dan merupaan jumlah oefsen varabel ndependen dtambah sebaga nla onstanta. Dagonal dar H bers nlanla leverage. Jad, leverage untu asus e-, h, merupaan nla dar bars e- dan olom e- dara H. Penentuan nla yang meml leverage yang besar ddasaran pada nla cutoff. Nla h yang melebh nla cutoff ddetes sebaga outler. Adapun nla cutoff yang telah dtentuan dar [], adalah nuntu data yang banya n 5, sedangan untu data yang sedt n 5 n n 3. dgunaan cutoff. Dengan n merupaan banyanya data, dan merupaan jumlah oefsen varabel ndependen dtambah sebaga nla onstanta.. Dscrepancy Dagnost statst untu data outler yang edua adalah dscrepancy atau jara antara nla preds dengan nla observas dar varabel dependen (Y), yatu Y Yˆ, yang merupaan nla dar resdual, e. Pada dasarnya, nla yang menjad outler menyebaban nla resdual menjad besar dan tda jatuh pada gars regres. Nla dscrepancy penghtungannya dengan menggunaan dua metode yatu Internally Studentzed Resduals dan Eternally Studentzed Resduals. 9

33 Internally studentzed resduals menunjuan satu dar dua hal yang menyangut resdual mentah (raw). Espetas dar varans resdual untu asus e- despresan sebaga []: h varans e MSresdual.7 Dengan MS resdual merupaan estmas dar eseluruhan varans dar resdual. h merupaan leverage dar setar gars regres = R y n asus e-. standar devas dar resdualdar asus e- adalah sd MS h.8 e resdual Internally studentzed resduals merupaan raso dar besaran nla resdual dar asus e- dengan standar devas dar resdual asus e- [], yatu: Internally studentzed resduals e sd.9 e Besar dar Internally studentzed resduals berjara antara dan n. Sungguh tda menguntungan, Internally studentzed resduals tda mengut dstrbus standar statst, arena persamaan (.9) penyebut dan pemblangnya tda salng bebas. Jad Internally studentzed resduals tda bsa dnterpretas menggunaan urva normal atau t tabel. Dengan deman, ebanyaan yang lebh dsua dalam menghtung dscrepancy adalah dengan menggunaan Eternally Studentzed Resduals. Eternally Studentzed Resduals merupaan su yang edua dalam perhtungan data yang merupaan outler. Eternally Studentzed Resduals menunjuan su n dengan memsalan apa yang terjad ja asus yang

34 danggap outler dhapusan dar hmpunan data. Msalan Y nla pereds asus e-, tetap asus e- dhapusan dar hmpunan data. Outler berontrbus secara substansal terhadap estmas varans resdual setar gars regres, MS MS resdual. Sedangan resdual untu varans resdual dengan asus e- yang merupaan outler dhapusan dar data. Msalan d sebaga perbedaan antara data asl observas, Y, dengan nla preds untu asus e- yang berasal dar hmpunan data dengan asus e- dhapusan, yatu: d Y Yˆ. Eternally studentzed resduals untu asus e-, t, dhtung sebaga berut []: t d SE. d Paralel dengan Persamaan (.9), pemblang dar persamaan (.) merupaan resdual yang mana untu asus e- dhapusan dan penyebut merupaan standar error dengan asus e- dahapusan. Resdual yang dhapusan, d, dapat dhtung dengan menggunaan resdual awal, e, yatu dengan d e. h dan nla standar resdual juga dapat dhtung dengan: SE d MS h resdual. ja persamaan-persamaan d atas dmasuan e (.), maa t menjad:

35 t MS e resdual h.3 Penentuan nla outler berdasaran nla Eternally studentzed resduals lebh banya dgunaan. Karena ja model regres coco dengan data, maa Eternally studentzed resduals aan mengut dstrbus t dengan df n []. Penentuan nla cutoff nya berdasran dstrbus t, ja nla t lebh besar dar nla ttabel dengan derajat epercayaan, maa data tersebut meml nla dscrepancy yang besar dan dategoran sebaga outler. 3. Nla Influence Metode yang etga dalam dagnost statst untu mendetes adanya outler adalah dengan penentuan nla nfluence. Uuran dar nfluence merupaan ombnas dar uuran leverage dan dscrepancy yang mengnformasan mengena bagamana perubahan dar persamaan regres ja asus e- dhlangan dar hmpunan data. Dua jens penguuran nflunece yang basa dgunaan, pertama adalah uuran e-nfluence-an global, yatu DFFITS dan Coo sd, yang memberan nformas mengena bagamana asus e- mempengaruh eseluruhan rarterst dar persamaan regres. jens yang edua adalah uuran e-nflunece-an husus, yatu DFBETAS, yang mengnformasan mengena bagamana asus e- mempengaruh tap-tap oefsen regres. umumnya, eduanya dalam penguuran e-nfluence-an harus dpersa. Untu menguur e-nfluence-an global dgunaan statst DFFITS (ependean dar dfference n ft standardzed), dan Coo sd, sepert eternally studentzed resduals, eduanya merupaan aspe yang membandngan

36 persamaan regres eta asus e- dmasuan dan tda dmasuan dalam perhtungan hmpunan data. Uuran pertama dalam menguur e-nfluence-an adalah DFFITS, yang ddefnsan sebaga berut []: DFFITS Yˆ ˆ Y.4 MS h resdual dengan Yˆ merupaan nla preds eta asus e- dmasuan e dalam hmpunan data, Y ˆ merupaan nla preds eta asus e- dhapusan dar hmpunan data, MS resdual merupaan nla varans dar resdual eta asus e- dhapusan dar hmpunan data dan h merupaan nla leverage sepert yang ddefnsan pada (.5 dan.6). Pemblang pada (.4) dsebut DFFIT, yang mengnformasan seberapa besar nla preds asus e- aan berubah dalam unt data observas Y ja asus e- dhapusan dar data. Penyebut pada (.4) memberan standardsas DFFIT sehngga DFFITS mengestmas nla dar standar devas d mana Y ˆ, nla preds untu asus e-, aan berubah ja asus e- dhapusan dar data. Sepert telah dsebutan d atas uuran e-nfluence-an merupaan peralan dar leverage dan dscrepancy. Oleh arena tu, DFFITS dapat despresan dengan []: DFFITS t h h.5 3

37 secara aljabar euvalen dengan (.4). Dengan t merupaan eternally studentzed resduals yang ddefnsan pada (.3) dan h merupaan leverage yang ddefnsan pada (.5 dan.6). Ja nla t dan h eduanya na, maa besar dar DFFITS juga aan ut na hal n menunjuan asus tersebut mempunya pengaruh yang besar pada hasl analss redres. DFFITS = eta asus e- perss terleta pada gars regres sehngga Yˆ tda mengalam perubahan eta asus dhapusan. Ja terleta pada centrod data sampel mash tetap memberan beberapa pengaruh (nfluence), arena nla mnmum dar h adalah. Tanda dar DFFITS aan postf ja n Yˆ Yˆ dan negatf eta Yˆ Yˆ. Uuran edua untu menguur e-nfluence-an global pada hasl model regres arena asus e- adalah Coo sd, yang ddefnsan sebaga dengan []: Coo ' sd Yˆ Yˆ MS resdual.6 dengan Yˆ merupaan nla preds eta asus e- dmasuan e dalam hmpunan data, Y ˆ merupaan nla preds eta asus e- dhapusan dar hmpunan data, merupaan jumlah oefsen model regres, dan MS resdual merupaan nla varans dar resdual. Jad, Coo sd membandngan nla preds dar Y dengan asus dmasuan dan dhapusan dar data. Penyebut 4

38 pada persamaan (.6) d atas memberan nla yang dstandardsas. Tda sepert DFFITS, Coo sd aan selalu, tda bsa negatf. DFFITS dan Coo sd dua uuran yang berhubugan. Oleh arena tu, DFFITS dan Coo sd mempunya persamaan matemat sebaga berut []: Coo ' sd DFFITS MS resdual MS resdual.7 DFFITS dan Coo sd merupaan statst dapat salng dpertuaran, eduanya dapat dgunaan untu memberan nformas mengena e-nfluencean dar asus yang merupaan outler. Penentuan asus sebaga outler berdasaran cutoff masng-masng. Untu DFFITS, nla DFFITS (dengan mengabaan tandanya) yang besarnya untu data uuran ecl n 5 dan sedang ddetes sebaga outler. Sedangan untu data yang uuran besar, nla DFFITS merupaan data outler. Untu Coo sd dgunaan nla n cutoff. atau dengan nla rt dar dstrbus F dengan.5 dan df, n, ja nla Coo sd melebh nla rt dar dstrbus F ddetes sebaga outler []. BFBETAS j merupaan jens edua dar e-nfluence-an statst yang pentng ja penelt ngn memfousan pada oefsen regres tertentu dalam persamaannya. BFBETAS j merupaan perbandngan oefsen-oefsen regres eta asus e- dmasuan versus tda dmasuan pada data. BFBETAS j untu asus e- ddefnsan sebaga berut []: 5

39 DFBETAS j j j.8 SE j pada persamaan d atas, pemblang merupaan perbedaan dar oefsen dengan seluruh data dmasuan,, dengan oefsen ja asus e- dhlangan, j. Penyebut, j j SE, merupaan standar error dar j setelah data e- dhapusan. Pembagan dengan SE j memberan nla yang telah dstandardsas, gunanya untu mengntrepretas secara umum pengaruh dar asus e- untu semua oefsen regres. Tap asus data aan meml ( + ) BFBETAS j yang berorepodens dengan tap oefsen regres dalam persamaannya termasu ntercept. Penentuan asus yang meml e-nfluence-an yang merupaan outler berdasaran BFBETAS j adalah asus yang meml DFBETAS untu uuran sampel yang ecl dan sedang, sedangan untu uuran sampel yang besar j dtentuan dengan cutoff.3 Robust Estmas.3. M-Estmas DFBETAS j []. n Suatu estmator yang hampr ba (varans ecl) untu berbaga jens dstrbus, tda perlu yang terba untu sebarang dar salah satunya., dsebut suatu Robust Estmator. yatu suatu estmator yang dhubungan dengan solus dar persamaan: n.9 6

40 Persamaan (.9) d atas serng dsebut robust M-estmator (dnotasan dengan ˆ ) arena persamaan (.9) tersebut dapat danggap sebaga masmum lelhood estmator. Jad dalam menemuan suatu robust M-estmator harus dplh suatu fungs yang aan memberan suatu estmator yang ba untu tap dstrbus pada hmpunan ruang lngupnya. Fungs yang telah denal adalah fungs Huber yang merupaan ombnas yang dhubungan dengan dstrbus normal dan dstrbus esponensal ganda, yatu [5]:,,,,,. yang dturunan dar fungs, dengan fungs adalah sebaga berut [5]: ja ja. Fungs berbentu quadrat pada pusatnya, tetap na secara lnear e taterhngga sepert dapat dlhat pada gambar (.6). M-estmas yang berorespodens dengan asus lmt dan merupaan mean dan medan. Nla yang dplh adalah yang membawa e asymptot varans (eefesensan yang dberan) pada dstrbus normal. Persamaan (.) d atas mempunya fungs bobot: w ja ja 7

41 Gambar.6 Fungs Huber dan Fungs Dengan fungs Huber masalah lan muncul, yatu ja dgandaan tap X, X,..., X, estmator sepert X dan medan juga aan ganda. Salah satu cara n dalam mengatas esultan n adalah dengan pemecahan yang lan, tetap sama haslnya, yaut dengan memecahan persamaan: n d. dengan d merupaan suatu estmas sala yang robust. Nla d yang serng dgunaan adalah [6]: medan medan d pembag.675 dmasuan e dalam defns Persamaan (.3) adalah arena d merupaan suatu estmas yang onssten dar ja data sampel munsul dar dstrbus normal [6]. Jad, dapat d aprosmas dengan d d bawah asums dstrbus normal. 8

42 Sema pemlhan d juga memberan suatu petunju dalam pemlhan nla. arena ja data sampel muncul dar dstrbus normal, maa dapat dharapan ebanyaan nla-nla,,..., n memenuh pertdasamaan [6]:.4 d emudan [6]: d d.5 Sebaga lustras, ja seluruh nla-nla yang memenuh pertdasamaan (.4), maa Persamaan (.) menjad: n n d d.6 Persamaan (..6) mempunya pemecahan, yang tentu saja yang lebh dngnan arena bersesuaan dengan dstrbus normal. Karena d mengaprosmas, nla-nla popular dar yang dgunaan adalah.5 dan. [6], arena dengan pemlhan tersebut ebanyaan varable basanya aan memenuh Pertdasamaan (.4). Selan hal d atas, suatu proses teras harus selalu dgunaan untu memecahan Persamaan (.). salah satu sema yang aan dgambaran adalah Metode Newton. Msal ˆ merupaan estmas awal dar, sepert ˆ medan. Aprosmas bagan sebelah r persamaan (.) dengan edua awal espans deret Taylor dar ˆ untu ddapatan: 9

43 ˆ n ˆ ' ˆ, d d d n.7 hasl dar (.4) memberan estmas yag edua dar, d n ˆ ˆ, n ˆ ' ˆ d d.8 Persamaan (.8) dsebut langah pertama dar M-estmas dar, ja dgunaan ˆ pada tempat ˆ, ddapatan ˆ, langah edua M-estams dar. Proses n dapat berlangsun sampa mendapatan sebarang tngat auras yang dngnan. Dengan fungs, penyebut pada bentu edua Persamaan (.8), yatu: n ˆ ', d hususnya secara mudah dhtung arena ',, dan nol ja lannya. Jad penyebut tersebut merupaan penjumlahan sedehana blanganblangan,,..., n sedeman hngga ˆ. d Selan fungs dan Huber, suatu fungs lan yang serng dgunaan juga adalah fungs dan Bsquare, yang ddefnsan sebaga [5]: 3 ja ja.9 dengan fungs Bsquare sebaga berut: 3

44 ja ja.3 berut: Fungs pada Persamaan (.9) dan (.3) dgambaran pada gambar.7 Gambar.7 Fungs Estmas dan Bsquare Dsampng fungs estmas Bsquare yang telah ddefnsan pada Persamaan (.9) dan (.3) d atas, salah satu fungs yang sermg dgunaan juga adalah fungs optmal, yang ddefnsan [5]: 3.5 ja h h h3 h4 ja 3 ja.3 Dan fungs optmal ddefnsan dengan: 3

45 ja g g g3 g4 ja 3 ja.3 Dengan g.944, g.78, g.3, g 3 3.6, 4 g h g h 4 g3 h 6 g4 h 8.3. Trmmed Mean Pendeatan lan selan M-estmas dalam mengestmas loas pada data yang mengandung outler adalah Trmmed Mean. Dengan Trmmed Mean dalam data yang mengandung outler seolah-olah membuang bagan data yang terbesar dan tereclnya. Secara jelasnya, msalan, dan m n dengan [.] menunujuan bagan bulatnya, dan -Trmmed Mean ddefnsan sebaga [5]: nm () n.33 m m dengan merupaan statst terurut. 3

46 Trmmed Mean secara sepntas sepert menean atau memadatan data observas. aan tetap, tda deman. Karena haslnya pada ahrnya merupaan fungs untu seluruh data observas. Kasus husus untu dan.5 merupaan mean sampel dan medan sampel..3.3 Uuran e-robust-an Tujuan dar metode robust secara asar dapat dataan adalah untu mengembangan estmas yang mempunya suatu elauan yang ba dalam suatu lngungan model. Dantara uuran yang menguur e-robust-an adalah:. Influence Functon (IF) Sebelum mendefnsan IF terlebh dahulu aan ddefnsan dulu urva senstve (senstve curve (SC)), yatu: msal suatu outler yang dtambahan edalam hmpunan data, maa SC dar suatu estmas ˆ untu tt sampel,..., n adalah perbedaan dar ˆ yang merupaan fungs loas outler,...,, ˆ,..., n, Fungs nfluence dar suatu estmator merupaan suatu jens asmptot dar SC yang mengaprosmas elauan dar ˆ eta data sampel yang terdapat bagan ecl dar outler, yang secara matemat ddefnsan sebaga [5]: F ˆ F ˆ IF ˆ,F lm.34 n 33

47 ˆ F. dengan merupaan tt massa pada, yatu dstrbus yang sedeman hngga P dan merupaan tanda yang menyataan lmt dar anan. Ja terdr dar p parameter-parameter yang ta detahu, maa ˆ merupaan vetor p-dmens dan begtu halnya dengan IF-nya. Kuanttas ˆ F adalah nla asmptot dar estmas eta dstrbus yang membangunnya adalah F dan bagan dar outler sama dengan. Jad ja ecl uanttas tersebut dapat daprosmas dengan [5]: F ˆ F IF, F ˆ.35 ˆ dan bas ˆ F ˆ F daprosmas dengan IF, F ˆ IF dapat danggap sebaga asus husus dar urva senstf, dalam pengertan berut: eta dtambahan observas yang baru terhadap sampel bagan yang terontamnas adalah n,, n yang dstandardsas, yatu sebaga berut:, dan juga ddefnsan SC ˆ,,, ˆ,, n n n n n SC n, n ˆ,,, ˆ,, n n n n.36 yang serupa dengan Persamaan (.34) dengan n yang dharapan adalah ja nya..d dengan dstrbus F, maa F SC IF, untu n yang besar dapat dbuat tepat. Msal untu tap, 34

48 SC merupaan varabel random, dan ja ˆ merupaan M-estmas loas dengan mempunya batas dan fungs- yang ontnu, atau merupaan trmmed mean, maa untu tap [5] F SC IF,.36 n a. s. ˆ dengan a.s. merupaan eonvergenan dengan probabltas ( almost sure convergen). Hasl n dperluas untu M-estamas loas ˆ yatu: IF, F E ˆ ' dan untu M-estmas sala ˆ adalah: IF, F ˆ ˆ,.37 ˆ ˆ ˆ ˆ..38 ˆ ' E. Breadown pont (BP) Breadown pont suatu tt estmas ˆ dar parameter adalah uanttas terbesar dar eterontamnasan (propors dar outler) yang terdapat dalam data sedeman hngga ˆ tetap memberan nformas mengena, mengena dstrbus dar tt-tt yang buan outler dalam hmpunan data tersebut. Msal merentang atas suatu hmpunan. Kelayaan dar estmas ˆ untu memberan nformas mengena yang terontamnas harusnya tda dapat mengantaran e ta terhnggaan atau terhadap batas dar, ja tda osong. Sebaga contoh, untu sala atau sebaran parameter ddapatan 35

49 ,, dan estmas harus tetap terbatas, dan juga terbatas jauh dar, dalam pengertan bahwa jara antara ˆ dan harus lebh besar dar suatu nla postf. Menurut [5] suatu asmptot ontamnas BP dar suatu estmas ˆ pada F, dnotasan F * ˆ,, adalah nla *, sedeman hngga untu *, ˆ F G sebaga suatu fungs dar G yang tetap terbatas, dan juga terbatas dar batas. Defns tersebut bermasud bahwa terdapat suatu batas dan hmpunan yang tertutup K sedeman hngga K (dengan merupaan batas dar ) sedeman hngga * ˆ F G K dan G

50 BAB III ROBUST ESTIMASI PADA REGRESI 3. Least trmmed square (LTS) Sebelum membahas mengena least trmmed square (LTS), aan detengahan dahulu sfat-sfat e-equvarant- an yang harus dml oleh suatu estmator ( penggunaan ata equvarant dalam statstc meruju pada transformas sebagamana mestnya, dan ata lawannya yatu nvarant meruju pada uanttas yang tetap tda berubah), yatu: regres equvarant, sala equvarant, dan affne equvarant. Suatu estmator T dsebut sebaga regres equvarant ja memenuh: T, y v ;,..., n T, y ;,..., n v, 3. dengan v merupaan sebarang vetor olom. Suatu estmator T dsebut sebaga sala equvarant ja memenuh: T, cy ;,..., n ct, y ;,..., n, 3. untu sebarang onstanta c. sala equvarant menyebaban bahwa ecocoan secara esensal ndependen dar pemlhan satuan penguuran pada varabel respons y. Sedangaan, suatu estmator T adalah affne equvarant ja memenuh: T A, y ;,..., n A T, y ;,..., n, 3.3 untu sebarang matr perseg A yang nonsngular. dengan ata-ata, affne equvarant berart bahwa suatu transformas lnear dar yang harus 37

51 ˆ A A. Hal n mentransformasan estmator T, arena y T T memperbolehan penggunaan system oordnat lan dar varabel esplanator, dengan tanpa mempengaruh pengestmasan y ˆ. Dar [3] dnyataan suatu teorema yang menyataan bahwa: Teorema 3.. Sebarang regres equvarant dar estmator T memenuh: pada seluruh sampel Z. * T, Z n n p n Menurut [3] least trmmed square ddefnssan sebaga: mn ˆ h r 3.4 n : dengan sebelumnya menyusun resdual uadrat dar yang terecl sampa dengan yang terbesar, yatu: r r... r : n : n n: n emudan menambahan hanya bentu h yang pertama dar bentu-bentu n. Dengan hn dengan, sehngga LTS aan meml breadown pont yang sama n p n [Rousseeuw] dengan p merupaan jumlah varabel ndependen dan notas [] menyataan bagan blangan bulat terbesar yang urang dar atau sama dengan blangan bulat tersebut. Selan tu, untu h n p LTS yang mungn mencapa nla masmum dar 38

52 teorema 3. d atas. Sebelum memerasa sfat-sfat e-robust-an dar LTS, aan djelasan dahulu e-equvarant-an dar LTS, yatu sebaga berut: Lemma 3. Suatu estmator LTS merupaan regres, sala, dan affne equvarant. But. Regres equvarant sepert yang telah dnyataan pada (3.-3.3), maa untu LTS regres equvarant berdasaran esamaan sebaga berut: h h y v v θ y θ : n : n untu sebarang vetor olom v. Untu sala dan affne equvarant dbutan sama sepert d atas. Sfat e-robust-an dar LTS ddasaran pada breadown pont-nya, yang ddefnsan [3]: Nla breadown pont dar metode LTS yang ddefnsan pada (3.4), dengan h n p sama dengan: * T, Z n n p n. 3.5 But. Dalam usaha membutannya dasumsan bahwa semua observas dengan,, p dhapusan dan observas-observasnya merupaan dalam edaan umum. Yang dmasud dengan edaan umum adalah ja sebarang p dar varabel ndependen menentuan θ secara un Langah pertama adalah dengan menunjuan bahwa, arena sampel * n T Z n p n n tt dalam onds yang umum, hal n aan memenuh: Z, y ;,..., n terdr dar 39

53 yang merupaan selalu postf, dengan V adalah hmpunan dar semua dengan jara terhadap V tda lebh dar, Andaan θ memnmuman (3.4) untu Z, dan dnotasan dengan H yang berorespodens dengan hyperplane yang dberan dengan persamaan y θ. dberan M ma r, dengan r y θ. searang aan donstrusan sebarang sampel terontamnas Z, y ;,..., n ' ' ' nf ;terdapat suatu p dmens subruang dar V y,sedeman hngga V melput seurang-urangnya p dar dengan menympan n n p n p observas-observas dar Z dan dengan menggantan yang lannya dengan nlanla yang berubah-rubah. Hal n cuup untu membutan bahwa ' θ - θ terbatas, dengan ' θ berorepodens terhadap ' Z yang dnotasan dengan H, jad hyperpalne H yang berorespodens merupaan hal yang berbeda dar H. tanpa ehlangan eumumannya dasumsan bahwa teorema dmens dar aljabar lnear, rsan dar ' θ H θ, arena tu, ' H H. Dengan ' H mempunya dmens p. ja H H ' pr merupaan proyes vertcal dar H y, ' H terhadap berdasaran hal tu, palng banya p dar yang bagus (buan outler) dapat ' terleta pada pr H H. Searang ddefnsan A sebaga hmpunan observas-observas bagus yang terssa. Searang msalan sebarang, a ya termasu d A, dan ra ya aθ dan r ' ' a ya a. θ onstrusan vertal plane -dmens P a melalu a, ya dan tega lurus terhadap ' pr H H. sebelumnya 4

54 aan donstrusan nla resdual pada P a yatu sebaga berut [3]: θ θ dengan r y y θ tan, dengan merupaan sudut dalam, yang dbentu antara H dengan gars horzontal pada P a. Oleh arena tu, merupaan sudut antara gars tega lurus terhadap H dan,, arena tu: dan ahrnya ddapat ' θ θ,, arccos arccos,, θ tan θ. Berdasaran hal tu, maa: ' ' ' a a a a tan ' tan r r θ θ tan tan ' θ θ, arena ' ' ' ' θ -θ θ θ θ θ θ θ θ θ berdasaran pertdasamaan d atas ddapat: ' a ' r r θ -θ θ, a dengan r a dan ' r a adalah resdual yang berhubungan dengan H dan H berorespodens dengan tt, y. Searang jumlah dar h resdual uadrat a a pertama dar sampel baru Z yang berhubungan dengan θ yang terdahulu, dengan seurang-urangnya n p h dar resdual-resdual n menjad sama 4

55 sepert sebelumnya, yatu urang dar atau sama dengan berorespodens dengan Z berdasaran hal tu juga ddapatan ja searang dasumsan bahwa maa, untu semua a d A memenuh ' a h y ' ' ' θ hm. n : ' θ -θ θ M h, ' θ θ θ r r M h, a hm. arena ' θ jad ' ' a a a a r r r r M h M M h. ' ', y dar Searang perhatan bahwa n A h. oleh arena tu, hmpunan h harus terdr seurang-urangnya satu dar,, a ya jad h ' ' θ a ' ' y r hm n : suatu ontrads. In menyebaban bahwa untu semua sampel ' Z. ' θ θ θ M h Langah edua adalah mendapatan Pertdasamaan sebalnya yatu * T, Z n n p n yang segera ddapatan berdasaran teorema 3. dan lemma 3., 4

56 Cara lan mengnterpretasan Persamaan (3.5) adalah dengan mengataan bahwa T aan tetap terbatas ja lebh dar n p observas tda terontamnas. Nla dar h menghaslan nla yang masmum dar breadown pont. D lan ss, jumlah observas yang jele n A harus tetap urang dar h dan A p harus seurang-urangnya h. nla yang terba dar h adalah emudan dperoleh dengan memnmuman A atas h yang terleta pada A n h dan A h p, yang menghaslan h n p. pada umumnya, h mungn bergantung pada beberapa propors trmmng, umpanya dengan h n p atau h n. Maa dengan * breadown pont n sama dengan propors n. Untu mendeat 5%, maa aan ddapatan LTS estmator, sedangan untu mendeat %, maa aan ddapatan LS estmator [3]. Suatu LTS estmator juga aan memenuh sfat ecocoan yang tepat, yang dnyataan sebaga berut[3]: n p Ja terdapat beberapa θ sedeman hngga cenedrung (strctly) lebh dar dar suatu observas yang memenuh y θ secara tepat dan dalam poss yang umum, maa penyelesaan LTS sama dengan θ apapun bentu observasnya. LTS mempunya eonvergenan n, dengan efesens easmptotan terhadap dstrbus normal sepert M-estmator yang ddefnsan dengan [3]: 43