BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Control chart pertama kali dikenalkan oleh Dr. Walter Andrew Shewhart dari

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Pendahuluan Control chart pertama al denalan oleh Dr. Walter Andrew Shewhart dar Bell Telephone Laboratores Amera Serat pada tahun 94. Control chart adalah sebuah gra yang member gambaran tentang perlau sebuah proses. Control chart n dgunaan untu memantau dan memersa proses produs. Sebuah proses yang cuup stabl, tap berjalan d luar batas yang dharapan, harus dperba untu menemuan aar penyebabnya guna mendapatan hasl perbaan yang undamental. Control chart dbag edalam dua elompo sesua dengan araterst data yang dobservas, yatu control chart untu data varabel dan control chart untu data atrbut. Pada peneltan n ous pada dagram ontrol atrbut. Dagram ontrol atrbut n mensyaratan asums normal asmtot, oleh arena tu pada bab n aan dbahas dall lmt pusat, dsampng teor-teor dagram ontrol secara umum. Pada bab n juga aan dbahas hal-hal yang berhubungan dengan dagram ontrol uzzy multnomal yang melput teor-teor mengena dstrbus bnomal dan multnomal, hmpunan uzzy, dagram ontrol atrbut dan dagram uzzy multnomal.. Varabel Aca Dsrt Varbel aca dsrt adalah varabel aca yang tda mengambl seluruh nla yang ada dalam sebuah nterval atau varabel hanya meml nla tertentu.varabel aca dsrt merupaan varabel aca yang nlanya merupaan hasl perhtungan (pencacahan). Nlanya merupaan blangan bulat dan asl, tda berbentu pecahan. 5

2 6 Varabel aca dsrt ja dgambaran pada sebuah gars nterval, aan berupa sederetan tt-tt yang terpsah. Contohnya yatu sebaga berut: a. Banyaya pemunculan ss mua atau anga dalam pelemparan sebuah on (uang logam). b. Jumlah ana dalam sebuah eluarga. Dstrbus Bnomal dan dstrbus Multnomal termasu edalam dstrbus peluang dsrt... Dstrbus Bnomal Dstrbus Bnomal adalah dstrbus probabltas dar banyanya outcome/ejadan suses pada n percobaan Bernoull. Msalnya ta melauan suatu espermen yang hanya menghaslan dua perstwa, sepert perstwa suses (S) dan perstwa gagal (G). Peluang terjadnya perstwa S, P(S), sebesar p dan peluang terjadnya G, P(G), sebesar - p. Kemudan espermen tu dulang sampa n al secara bebas. Dar n al pengulangan tu, perstwa S terjad sebanya x al dan (n - x) al terjad perstwa G. Fungs peluang dar dstrbus bnomal adalah: ( ) ( ) ( ) (.) Dmana, p = peluang cacat dalam setap ategor n = uuran sampel x = banyanya cacat atau ategor yang dperhatan Peubah aca X yang berdstrbus bnomal dataan juga peubah aca bnomal. Penulsan notas dar peubah aca X berdstrbus bnomal adalah B(x; n, p), artnya peubah aca X berdstrbus bnomal dengan banya pengulangan espermen

3 7 sampa n al, peluang terjad perstwa suses sebesar p, dan banya perstwa suses terjad ada x. Menurut Herryanto dan Gantn (009), sebuah espermen dataan mengut dstrbus bnomal, ja espermen tu memenuh sat-sat sebaga berut. a. Espermennya terdr atas dua perstwa, sepert suses dan gagal. b. Espermennya dulang beberapa al dan dtentuan banya pengulangannya. c. Peluang terjadnya perstwa suses dan gagal pada setap pengulangan espermen bersat tetap. d. Setap pengulangan espermen bersat bebas. Rata-rata, varans, dan ungs pembangt momen dar dstrbus bnomal adalah sebaga berut.. ( ). ( ) ( ) 3. ( ) [( ) ].. Dstrbus Multnomal Dstrbus multnomal merupaan perluasan dar dstrbus bnomal. Apabla n percoban berulang dapat menghaslan lebh dar ejadan yang mungn msal x, x...x dengan probabltas masng-masng onstan pada setap percobaan p p... p, maa aan dhaslan dstrbus multnomal. Fungs probabltas varabel aca yang berdstrbus multnomal dengan parameter n dan p p... p,: n! (.) x x x x p( X x, x,..., x ; p, p,..., p ; n) p p p p... x! x... x!

4 8 dmana, x p ( x n ( x ( p x x p... x... x... p ) n ); ),,3,..., Rata-rata, varans, dan ungs pembangt momen dar dstrbus multnomal adalah:. E( X ) np,. V X ) np ( p ) ( 3. t t t n M ( t, t,..., t ) ( pe pe..., p e p ).3 Teorema Lmt Pusat Teorema lmt pusat (TLP) merupaan salah satu teorema palng pentng dalam matemata statsta dan probabltas. Teor n dgunaan hampr d semua tempat dmana statst matemata dterapan. Kegunaan teorema n terleta pada esederhanaan densnya. Teorema lmt pusat menyataan bahwa ja beberapa onds tertentu terpenuh, maa dstrbus rata-rata dar sejumlah varabel aca yang ndependen mendeat dstrbus normal dengan uuran sampel mendeat ta terhngga. Teorema lmt pusat (TLP) adalah sebuah teorema yang menyataan bahwa urva dstrbus samplng aan berpusat pada nla parameter populas dan aan meml semua sat-sat dstrbus normal. Msalan X,, X n sampel aca beruuran n dar populas dengan rata-rata μ dan varans σ. Dstrbus dar onvergen e N(0,) untu n. Hal pentng dar teorema lmt pusat adalah eonvergenan dar Z n e dstrbus normal aan terjad apapun bentu dstrbus dar X. Tetap ja dstrbus dar mana sampel aca tersebut dambl buan berdstrbus normal, Dall Lmt Pusat menyataan bahwa, ja X merupaan rata-rata sampel aca beruuran n dar suatu populas

5 9 yang mempunya rata-rata dan varans masng-masng dan, maa Z n X x x mempunya lmt dstrbus (0, ) N..4 Dagram Kontrol Dagram Kontrol pertama al dperenalan oleh Dr. Walter Andrew Shewhart dar Bell Telephone Laboratore Amera Serat pada tahun 94. Dagram Kontrol adalah sebuah gra yang member gambaran tentang perlau sebuah proses. Dagram Kontrol dgunaan untu memaham apaan sebuah proses manuaturng atau proses bsns berjalan dalam onds yang terontrol atau tda. Dagram ontrol Shewhart sebenarnya tda mengendalan apa-apa, tetap pada dasarnya hanya member normas atau petunju-petunju dasar untu mengambl tndaan-tndaan yang dperluan, msalnya untu membawa proses e dalam eadaan terendal. Sebuah proses yang cuup stabl, tap berjalan d luar batas yang dharapan, harus dperba untu menemuan aar penyebabnya guna mendapatan hasl perbaan yang undamental. Dagram Kontrol terdr dar: Tt-tt yang mewal sebuah nla statst (rata-rata, range, propors) dar sebuah araterst sampel yang dambl dar sebuah proses pada watu yang berbeda (data). Rata-rata dar nla statst d atas yang dhtung dar eseluruhan sampel. Gars tengah yang dgambar tepat d anga rata-rata nla statst tersebut. Standar eror dar nla statst yang juga dhtung dar eseluruhan sampel. Batas ontrol atas dan bawah, yang mengndasan batas d mana secara statst sebuah proses bsa dataan menympang, yang secara umum besarnya 3 al standar eror dar gars tengah.

6 0 Gambar. Dagram Kontrol Shewhart Menurut Muchls (00), penggunaan dagram ontrol Shewhart meml beberapa euntungan, dantaranya:. Untu menelt melalu dagram ontrol Shewhart, uuran sampel yang dambl dalam setap pengamatan tda perlu terlalu banya.. Dapat mengetahu varas yang bersat aca, eadaan n dlhat ja pencaran tt bersat aca (tda memperlhatan pola tertentu). 3. Dapat menunjuan varas yang dsebaban oleh erusaan alat-alat yang menyebaban adanya pengaruh onds yang lebh buru. Penyebabpenyabab n basanya dapat detahu dan pada proses selanjutnya dapat dores dengan jalan memperba mesn atau mengubah materal. Karaterst mutu yang damat dgambaran sebaga tt-tt pada dagram endal Shewhart, dmana dar pencaran tt yang dgambaran dapat dlhat apaah proses produs beroperas sebagamana mestnya atau tda. Sehngga dar pencaran tt nlah dapat detahu bahwa proses produs beroperas sebagamana mestnya apabla pencaran tt yang dgambaran terleta dalam batas-batas endal atau batas-batas spesas dan berpencar secara aca. Oleh arena tu ja ada satu tt atau lebh jatuh d luar batas-batas endal dapat dsmpulan bahwa proses tda terendal. Proses dataan tda normal bla ada data (tt) eluar dar batas lmt

7 ontrol. Walaupun semua data mash berada d dalam batas lmt ontrol, tetap ja susunan data tersebut membentu pola-pola tertentu, hal n juga dapat danggap sebaga etdanormalan proses. Bentu-bentu pola tertentu (gejala tda aca) yang dmasud adalah runs, trend, perod, dan huggng dar gars ontrol. Dagram ontrol dbag edalam dua elompo sesua dengan araterst data yang dobservas, yatu: a. Dagram ontrol untu data varabel Pengendalan ualtas secara varabel dapat dtempuh apabla dcatat mengena araterst ualtas hasl penguuran. Oleh arena tu pengendalan dengan cara n, hanya dapat dgunaan untu mengendalan satu jens araterst ualtas. Bla jens uuran ualtas yang ada atau yang aan dumpulan bersat varabel artnya ualtas produ dapat dnyataan dalam satuan uuran tertentu sepert panjang, berat, volume dll yang bsa dnyataan dalam cm, g, lter dll. Ten-ten Pengendalan ualtas statsta yang termasu dalam ategor data varabel adalah dagram ontrol varabel yang terdr antara lan: dagram ontrol dan R dan dagram ontrol dan S. Dagram ontrol rata-rata memvsualsasan lutuas rata-rata emudan aan menunjuan bagamana penympangan rata-rata sampel dar rataratanya. Penympangan n aan memberan gambaran bagamana onsstens proses. Seman deat rata-rata sampel e nla rata-ratanya maa proses cenderung stabl, sebalnya maa proses cenderung tda stabl. Rentang merupaan uuran penympangan yang palng sederhana, menguur beda nla terendah dan tertngg. Dagram ontrol rentang dgunaan untu member gambaran mengena varabltas proses. Dagram ontrol lannya

8 yang basa dgunaan untu memberan gambaran varabltas proses yatu dagram ontrol smpangan bau. Dalam pratenya untu mengamat proses produs, penggunaan dagram ontrol selalu berpasangan, dagram ontrol rata-rata dengan dagram ontrol rentang atau dagram ontrol rata-rata dengan dagram ontrol smpangan bau. b. Dagram ontrol untu data atrbut Indes Kapabltas Proses dapat dterapan pada araterst data observas yang bersat atrbut sebaga uuran ualtas. Masud dar araterst data bersat atrbut adalah data yang bersat dsrt. Basanya uuran ualtas yang dnyataan dalam bentu dsrt adalah uuran ualtas yang tda dapat dnyataan dalam bentu satuan uuran tertentu. Data atrbut bersat dsrt (dscrete dstrbuton). Data n umumnya duur dengan cara dhtung menggunaan datar pencacahan atau tally untu eperluan pencatatan dan analss, sebaga contoh: jumlah cacat dalam satu batch produ, jens elamn (la-la/perempuan), jens warna cat (merah, gold, slver, htam), dan lan-lan. Ten-ten Pengendalan ualtas statsta untu ategor data atrbut dbedaan menjad dua tpe, yatu Yes/No atau Ya/Tda, dan terhtung. Tpe data Ya/Tda atau Yes/No hanya membedaan antara cacat atau tda cacat. Ten Pengendalan ualtas statsta yang termasu dalam elompo n adalah: p chart (sampel onstan dan sampel varabel) dan np chart. Data terhtung bla data yang dobeservas lebh rumt atau dehenda analss yang lebh mendalam, maa p chart dan np chart urang memada. Oleh arena tu dgunaan: c chart dan u chart.

9 3 Karena yang dgunaan dalam maalah n adalah dagram ontrol untu data atrbut husus propors maa yang aan dbahas lebh lanjut hanya dagram ontrol propors saja..5 Dagram Kontrol Propors (p) Dagram ontrol propors (p) adalah jens dagram ontrol yang dgunaan d duna ndustr atau bsns untu memontor propors dar etdasesuaan dalam sebuah sampel, dmana propors etdasesuaan dtentuan sebaga raso unt yang meml etdasesuaan dbandngan dengan jumlah sampel. Dagram ontrol p hanya mengaomodr nspes dengan dua eputusan, "OK / Gagal", "Bagus / Jele". Propors atau ras yang tda sesua (cacat) dalam suatu populas ddensan sebaga raso jumlah unt tda sesua dalam populas dengan jumlah eseluruhan unt dalam populas yang dnotasan dengan p. Unt yang dategoran tda sesua mungn saja meml satu atau lebh araterst mutu yang dpersa secara bersamaan. Ja palng tda salah satu cr tda memenuh standar, tem tersebut dlasasan sebaga tda sesua atau cacat. Dasar untu menggunaan dagram ontrol p adalah, bahwa data berasal dar dstrbus bnomal (Montgomery, 005), dengan asums bahwa: Probabltas etdasesuaan p untu setap unt adalah sama. Tap-tap unt tda meml etergantungan dengan unt sebelum dan sesudahnya. Setap unt d nspes dengan cara yang sama. Batas-batas ontrol dagram ontrol p adalah sebaga berut:

10 4 BKA p 3 Pusat p p( p) n (.3) BKB p 3 p( p) n Dmana adalah estmas rata-rata propors dhtung dengan rumus. Ja nla batas ontrol bawah lebh ecl atau sama denga nol maa batas ontrol bawah danggap nol..6 Dens Fuzzy.6. Hmpunan Fuzzy Pada hmpunan tegas (crsp), nla eanggotaan suatu tem x dalam suatu hmpunan A, yang serng dtuls dengan μ A [x], meml emungnan, yatu: Satu (), yang berart bahwa suatu tem menjad anggota dalam suatu hmpunan, atau Nol (0), yang berart bahwa suatu tem tda menjad anggota dalam suatu hmpunan. Kalau pada hmpunan crsp, nla eanggotaan hanya ada emungnan, yatu 0 atau, pada hmpunan uzzy nla eanggotaannya terleta pada rentang 0 sampa. Apabla x meml nla eanggotaan uzzy μ A [x]=0 berart x tda menjad anggota hmpunan A, deman pula apabla x meml nla eanggotaan uzzy μ A [x]= berart x menjad anggota penuh pada hmpunan A. Teradang emrpan antara eanggotaan uzzy dengan probabltas menmbulann erancuan. Keduanya meml nla pada nterval [0,], namun nterpretas nlanya sangat berbeda antara edua asus tersebut. Keanggotaan uzzy memberan suatu uuran terhadap pendapat atau eputusan, sedangan probabltas mengndas propors

11 5 terhadap eserngan suatu hasl bernla benar dalam janga panjang. Hmpunan uzzy meml atrbut, yatu: a. Lngust, yatu penamaan suatu grup yang mewal suatu eadaan atau onds tertentu dengan menggunaan bahasa alam, sepert : muda, parobaya, tua. b. Numers, yatu suatu nla (anga) yang menunjuan uuran dar suatu varabel sepert : 40,5,50, dan sebaganya. Ada beberapa hal yang perlu detahu dalam memaham sstem uzzy, yatu: a. Varabel uzzy Varabel uzzy merupaan varabel yang henda dbahas dalam suatu sstem uzzy. Contoh : umur, temperatur, permntaan, dsb. b. Hmpunan uzzy Hmpunan uzzy merupaan suatu grup yang mewal suatu onds atau eadaan tertentu dalam suatu varabel uzzy. Contoh : varabel temperatur terbag menjad 5 hmpunan uzzy, yatu : dngn, seju, normal, hangat, dan panas. (Gambar.) Gambar. Hmpunan Fuzzy pada Varabel Temperatur.

12 6 c. Semesta pembcaraan Semesta pembcaraan adalah eseluruhan nla yang dperbolehan untu doperasan dalam suatu varabel uzzy. Semesta pembcaraan merupaan hmpunan blangan real yang senantasa na (bertambah) secara monoton dar r e anan. Nla semesta pembcaraan dapat berupa blangan post maupun negat. Ada alanya nla semesta pembcaraan n tda dbatas batas atasnya. Contoh : Semesta pembcaraan untu varabel umur : [0 + ) Semesta pembcaraan untu varabel temperature; [0 40] d. Doman Doman hmpunan uzzy adalah eseluruhan nla yang djnan dalam semesta pembcaraan dan boleh doperasan dalam suatu hmpunan uzzy. Sepert halnya semesta pembcaraan, doman merupaan hmpunan blangan real yang senantasa na (bertambah) secara monoton dar r e anan. Nla doman dapat berupa blangan post maupun negat..6. Fungs Keanggotaan Fuzzy Fungs eanggotaan (membershp uncton) adalah suatu urva yang menujuan pemetaan tt-tt nput data e dalam nla eanggotaanya (serng juga dsebut dengan derajat eanggotaan) yang meml nterval antara 0 sampa. Salah satu cara yang dapat dgunaan untu mendapatan nla eanggotaan adalah melalu pendeatan ungs. Ada beberapa ungs yang bsa dgunaan yatu, representa lnear, urva segtga, urva trapezum, urva bentu bahu, urva bentu lonceng, dan oordnat eanggotaan.

13 7 Dalam ranga mempertahanan ormat standar dagram ontrol dan untu memasltas merencanaan pengamatan pada tabel, maa perlu untu mengubah uzzy set yang berhubungan dengan nla-nla lngust menjad salar, yang aan dsebut nla-nla representat (Wang dan Raz 990). ~.6.3 Nla Representat Fuzzy ( L ( l ) ) Msal terdapat varabel lngust dnotasan dengan L. Contohnya, tngat penddan, tngat penghaslan, tngat mutu produs, dan lan-lan. Data lngust buan berupa numer, msalnya:. Tngat penddan : SD, SMP, SMA, D3, S, S, dan S3.. Tngat penghaslan : tngg, sedang, rendah. 3. Tngat mutu produ : perect (sempurna), good (ba), um (sedang), poor (urang ba), dan bad (buru). Dantara dua ategor, terdapat data yang dsebut nla uzzy (abur). Jad, untu asus n ta dhadapan dengan hmpunan uzzy yang dsmbolan dengan F dar berbaga varabel dasar numer. Varabel dasar mungn langsung teruur sepert tngat penddan, tngat penghaslan, dan tngat mutu produ. Atau mungn ddasaran pada beberapa nla ualtat, sepert yang dsajan dalam sala yang berbentu selang. Msal dalam selang bentu [0,]. Hmpunan bagan uzzy dtanda dengan ungs ( ) yang mengatan sebuah blangan dalam nterval [0,] e masng-masng nla dasar. Nla representat dar hmpunan bagan uzzy dapat dtentuan dalam berbaga cara, selama haslnya adalah representat dar varabel dasar termasu dalam hmpunan uzzy. Empat cara, yang mrp dalam statst desrpt yatu, uzzy modus, uzzy mdrange, uzzy an, dan uzzy average. Adapun penjelasannya sebaga berut:

14 8 a. Metode Modus Fuzzy Fuzzy Modus, mod adalah nla dar varabel dasar dmana ungs eanggotaan sama dengan. Hal n dnyataan sebaga berut: mod x x X (.4) F Artnya, nla dar X yatu x mempunya nla eanggotaan yatu sama dengan. Ja ungs eanggotaan unmodal, modus uzzy nya tunggal. Dmana, F : hmpunan bagan uzzy. x : varabel dasar ( ) : ungs eanggotaan. Berut contoh untu menentuan nla representat menggunaan metode Modus Fuzzy (x) perect x 0 ;0 x 0,5 ;0,5 x perect x x 0 ( x) x Dengan menggunaan ungs eanggotaan ( x) x dperoleh nla perect representat = 0, nla tersebut selanjutnya yang aan dgunaan pada perhtungan propors yang dbobot. b. Metode Mdrange Fuzzy Mdrange uzzy bertara α, ( ) adalah rata-rata tt ahr pada pemotongan bertara α. menunjuan pemotongan F bertara α merupaan hmpunan bagan non uzzy dar varabel dasar x yang mengandung semua nla dengan nla ungs eanggotaan lebh besar atau sama dengan α, maa

15 9 F x F( x) (.5) c. Metode Medan Fuzzy Metode an uzzy, adalah tt yang membag daerah d bawah ungs eanggotaan e dalam dua daerah yang sama besar yang memenuh persamaan berut: x) dx F( x) dx a c c F ( F( x) dx (.6) a Dmana a dan c (a < c) adalah batas dar varabel dasar hmpunan uzzy F. Berut beberapa contoh untu menentuan nla representat menggunaan metode uzzy an: F( x) dx F( x) dx F( x) dx a a 0; c 0 ( x) dx ( x x ) 0 c ( ( ) 0,5 0 0,5 ( x) dx x x ) 0,5 0 () 0,5 0 (0,5 0,5 0,5 4(.0,5) 0,5 0,707 0,707 0, ,707 0,4645 c a ) 0

16 0 Maa x yang dgunaan adalah x=0,645 d. Metode Average Fuzzy Metode average uzzy, ddensan oleh Zadeh (975) sebaga berut: avg x0 Av( x; F) xf x0 F x x dx dx (.7).7 Dagram Kontrol Fuzzy Multnomal Sala lngust umumya dgunaan dalam ndustr untu mengespresan sat atau araterst dar produ. Sebaga contoh, pada proses produs tutup botol (mungn meml emungnan penlaan berut (Franceschn dan Romano, 999): reject qualty' ja gabus tda beerja; poor qualty' ja gabus beerja namun meml beberapa cacat; um qualty' ja gabus beerja dan tda meml cacat, tetap meml beberapa elemahan bentu esteta; good qualty' ja gabus beerja, tda meml cacat dan hanya eurangan sedt pada bentu esteta; excellent qualty' ja gabus beerja, tda meml cacat dan tda ada eurangan esteta apapun. Oleh arena tu, ta tda dapat menggunaan dstrbus bnomal dan multnomal, yang ddasaran pada hpotess yang uat bahwa daerah tunggal salng eslus. Ketdajelasan hadr dalam varabel lngust dapat datas dengan bantuan teor hmpunan uzzy (Zadeh 975a, 975b, 976, Yager dan Flev 994, Lavolette et al. 995).

17 Msal ~ ~ l, Ll, l, Ll ~,, l, L ~ L merupaan varabel lngust. l Andaan proses produs dalam eadaan stabl dengan p adalah probabltas sebuah tem yatu l ;,,3,...,. Asumsan sebuah sampel aca dar produ yang dplh. Msal, X merupaan banyanya tem yang berupa l. Maa X, X,..., X berdstrbus multnomal dengan parameter n dan p,...,, p p. Dstrbus marjnal dar X adalah bnomal dengan mean np dan varansnya np p ) ; =,,,. ( Derajat eanggotaan/nla representat masng-masng tem untu ategor adalah L ~ l yang dperoleh dengan menggunaan Persamaan.4 untu metode modus uzzy dan Persamaan.6 untu an uzzy. Sedangan rata-rata propors yang dbobot L ~ j adalah sebaga berut: ~ L j X L ~ j ( l ) X X j n L ~ ( l ) Dmana, = banyanya ategor (,,,) (.8) j = sampel/perode (,,,6) Batas-batas ontrol dar dagram multnomal uzzy sebaga berut: BKA E( L ~ ) ~ Pusat E( L ) BKB E( L ~ ) var( L ~ ) var( L ~ ) (.9) Dmana (basanya=3) merupaan jara antara batas-batas ontrol dar tt pusat. ~ ~ E (L ) dan var(l ) dtentuan menggunaan persamaan berut: E( L ~ ) Var( L ~ ) ~ p L( l ) ~ p ( p ) L ( l ) j j n ~ p p L( l ) L ~ ( l ) j j (.0)