Ruang Hasil Kali Dalam
|
|
|
- Veronika Gunardi
- 8 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam dan Norm Wono Setya Budhi KKAG FMIPA ITB v 0.1 Maret 2015 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
2 Pada bab ini kita akan mempelajari geometri dari ruang vektor, yaitu melibatkan sudut dan panjang vektor. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
3 Pada bab ini kita akan mempelajari geometri dari ruang vektor, yaitu melibatkan sudut dan panjang vektor. Misalkan kita mempunyai titik x = (x 1, x 2 ) dan y = (y 1, y 2 ) Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
4 Pada bab ini kita akan mempelajari geometri dari ruang vektor, yaitu melibatkan sudut dan panjang vektor. Misalkan kita mempunyai titik x = (x 1, x 2 ) dan y = (y 1, y 2 ) B(y 1, y 2 ) v A(x 1, x 2 ) Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
5 v B(y 1, y 2 ) A(x 1, x 2 ) Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
6 v B(y 1, y 2 ) A(x 1, x 2 ) Dengan menggunakan rumus kosinus AB 2 = OA 2 + OB 2 2OA OB cos (AOB) Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
7 v B(y 1, y 2 ) A(x 1, x 2 ) Dengan menggunakan rumus kosinus AB 2 = OA 2 + OB 2 2OA OB cos (AOB) (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 = x1 2 + x2 2 + y y x y cos α Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
8 v B(y 1, y 2 ) A(x 1, x 2 ) Dengan menggunakan rumus kosinus AB 2 = OA 2 + OB 2 2OA OB cos (AOB) (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 = x1 2 + x2 2 + y y x y cos α 2 x y cos α = x 1 y 1 + x 2 y 2 = x, y Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
9 Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V V C (x, y) x, y sehingga Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
10 Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah V V C (x, y) x, y sehingga 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x + z, y = x, y + z, y. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
11 Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah sehingga V V C (x, y) x, y 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x + z, y = x, y + z, y. 2 Untuk setiap x, y V dan c C berlaku cx, y = c x, y. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
12 Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah sehingga V V C (x, y) x, y 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x + z, y = x, y + z, y. 2 Untuk setiap x, y V dan c C berlaku cx, y = c x, y. 3 Untuk setiap x, y V berlaku x, y = y, x. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
13 Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah sehingga V V C (x, y) x, y 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x + z, y = x, y + z, y. 2 Untuk setiap x, y V dan c C berlaku cx, y = c x, y. 3 Untuk setiap x, y V berlaku x, y = y, x. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x > 0 untuk x = 0. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
14 Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah sehingga V V C (x, y) x, y 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x + z, y = x, y + z, y. 2 Untuk setiap x, y V dan c C berlaku cx, y = c x, y. 3 Untuk setiap x, y V berlaku x, y = y, x. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x > 0 untuk x = 0. Perhatikan bahwa 0, y = 0 + 0, y = 0, y + 0, y = 2 0, y. Jadi... Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
15 Misalkan V ruang vektor atas C. Suatu hasil kali dalam pada V adalah sehingga V V C (x, y) x, y 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x + z, y = x, y + z, y. 2 Untuk setiap x, y V dan c C berlaku cx, y = c x, y. 3 Untuk setiap x, y V berlaku x, y = y, x. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x > 0 untuk x = 0. Perhatikan bahwa 0, y = 0 + 0, y = 0, y + 0, y = 2 0, y. Jadi... Untuk R, sifat (3) menjadi x, y = y, x. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
16 Example 1 Misalkan x = (a 1,..., a n ) dan y = (b 1,..., b n ) F n, maka x, y = n a i b i i=1 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
17 Example 1 Misalkan x = (a 1,..., a n ) dan y = (b 1,..., b n ) F n, maka x, y = n a i b i i=1 2 Misalkan V = C ([0, 1]) ruang vektor yang memuat semua fungsi kontinu di [0, 1], maka 1 f, g = f (t) g (t) dt 0 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
![ruang vektor yang memuat semua fungsi kontinu di [0, 1], maka 1 f, g =](/docs-images/49/228768/images/page_17.jpg "f (t) g (t) dt 0 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali")
18 Example 1 Misalkan x = (a 1,..., a n ) dan y = (b 1,..., b n ) F n, maka x, y = n a i b i i=1 2 Misalkan V = C ([0, 1]) ruang vektor yang memuat semua fungsi kontinu di [0, 1], maka 1 f, g = f (t) g (t) dt 0 3 Misalkan V = M n n (F) dan definisikan dengan B transpose konjuget. A, B = trace (B A) Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
![semua fungsi kontinu di [0, 1], maka 1 f, g = f (t) g (t) dt 0 3 Misalkan V = M n n (F) dan](/docs-images/49/228768/images/page_18.jpg "definisikan dengan B transpose konjuget.")
19 Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. Proof. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
20 Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. Proof. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
21 Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. 3 Untuk setiap x V berlaku x, 0 = 0, x = 0. Proof. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
22 Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. 3 Untuk setiap x V berlaku x, 0 = 0, x = 0. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x = 0 jika dan hanya jika x = 0. Proof. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
23 Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. 3 Untuk setiap x V berlaku x, 0 = 0, x = 0. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x = 0 jika dan hanya jika x = 0. 5 Jika x, z = 0 untuk setiap z V, maka x = 0. Proof. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
24 Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. 3 Untuk setiap x V berlaku x, 0 = 0, x = 0. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x = 0 jika dan hanya jika x = 0. 5 Jika x, z = 0 untuk setiap z V, maka x = 0. Proof. Kita hanya akan membuktikan no (5). Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
25 Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. 3 Untuk setiap x V berlaku x, 0 = 0, x = 0. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x = 0 jika dan hanya jika x = 0. 5 Jika x, z = 0 untuk setiap z V, maka x = 0. Proof. Kita hanya akan membuktikan no (5). Karena x, z = 0 untuk setiap z V, maka khususnya jika berlaku bagi z = x, atau x, x = 0 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
26 Theorem Misalkan V ruang hasil kali dalam, yaitu ruang vektor yang dilengkapai dengan hasil kali dalam. 1 Untuk setiap x, y, z V berlaku x, y + z = x, y + x, z. 2 Untuk setiap x, y V dan c F berlaku x, cy = c x, y. 3 Untuk setiap x V berlaku x, 0 = 0, x = 0. 4 Untuk setiap x V berlaku x, x = 0 jika dan hanya jika x = 0. 5 Jika x, z = 0 untuk setiap z V, maka x = 0. Proof. Kita hanya akan membuktikan no (5). Karena x, z = 0 untuk setiap z V, maka khususnya jika berlaku bagi z = x, atau x, x = 0 Berdasarkan sifat (4), maka x = 0. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
27 Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Theorem Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
28 Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x V sebagai x = x, x Theorem Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
29 Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x V sebagai x = x, x Theorem Misalkan V ruang hkd Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
30 Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x V sebagai x = x, x Theorem Misalkan V ruang hkd 1 Untuk setiap x V dan c F, maka berlaku cx = c x. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
31 Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x V sebagai x = x, x Theorem Misalkan V ruang hkd 1 Untuk setiap x V dan c F, maka berlaku cx = c x. 2 x = 0 jika hanya jika x = 0. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
32 Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x V sebagai x = x, x Theorem Misalkan V ruang hkd 1 Untuk setiap x V dan c F, maka berlaku cx = c x. 2 x = 0 jika hanya jika x = 0. 3 Pertaksamaan Cauchy-Schwarz x, y x y. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
33 Karena x, x 0, maka kita dapat mendefinisikan hal berikut Misalkan V ruang hkd, definisikan norm atau panjang vektor x V sebagai x = x, x Theorem Misalkan V ruang hkd 1 Untuk setiap x V dan c F, maka berlaku cx = c x. 2 x = 0 jika hanya jika x = 0. 3 Pertaksamaan Cauchy-Schwarz x, y x y. 4 Pertaksamaan segitiga. Untuk setiap x, y V berlaku x + y x + y. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
34 Proof. Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz x, y x y. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
35 Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz x, y x y. Proof. Misalkan x, y V dan α F definisika p (α) = x αy 2 0, maka Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
36 Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz x, y x y. Proof. Misalkan x, y V dan α F definisika p (α) = x αy 2 0, maka untuk setiap α. x αy 2 = x αy, x αy = x, x ᾱ x, y α y, x + α 2 y, y 0 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
37 Bukti Pertaksamaan Cauchy-Schwarz x, y x y. Proof. Misalkan x, y V dan α F definisika p (α) = x αy 2 0, maka untuk setiap α. x αy 2 = x αy, x αy Khususnya jika α = x,y x,x, maka dan CS berlaku = x, x ᾱ x, y α y, x + α 2 y, y 0 0 x, x x, y 2 y, y Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
38 Proof. Bukti Pertaksamaan segitiga Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
39 Proof. Bukti Pertaksamaan segitiga Misalkan x, y V, maka x + y 2 = x + y, x + y = x, x + y, x + x, y + y, y Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
40 Proof. Bukti Pertaksamaan segitiga Misalkan x, y V, maka Selanjutnya x + y 2 = x + y, x + y = x, x + y, x + x, y + y, y x + y 2 = x Re x, y + y 2 x x y + y 2 = ( x + y ) 2 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
41 Proof. Bukti Pertaksamaan segitiga Misalkan x, y V, maka Selanjutnya x + y 2 = x + y, x + y = x, x + y, x + x, y + y, y x + y 2 = x Re x, y + y 2 Jadi pertaksamaan segitiga berlaku. x x y + y 2 = ( x + y ) 2 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
42 Di F n, untuk x = (a 1,..., a n ) dan y = (b 1,..., b n ) Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
43 Di F n, untuk x = (a 1,..., a n ) dan y = (b 1,..., b n ) Pertaksamaan CS x, y x y mempunyai bentuk n a i b i i=1 [ n ] 1/2 [ n a i 2 i=1 i=1 b i 2 ] 1/2 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
44 Di F n, untuk x = (a 1,..., a n ) dan y = (b 1,..., b n ) Pertaksamaan CS x, y x y mempunyai bentuk n a i b i i=1 [ n ] 1/2 [ n a i 2 i=1 i=1 b i 2 ] 1/2 Pertaksamaan segitiga x + y x + y mempunyai bentuk [ n ] 1/2 a i + b i 2 i=1 [ n ] 1/2 [ n a i 2 i=1 i=1 b i 2 ] 1/2 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
45 Misalkan V ruang hasil kali dalam. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
46 Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika x, y = 0. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
47 Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika x, y = 0. Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x, y S dengan x = y dua vektor tersebut saling orthogonal. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
48 Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika x, y = 0. Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x, y S dengan x = y dua vektor tersebut saling orthogonal. Misalkan V ruang hasil kali dalam. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
49 Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika x, y = 0. Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x, y S dengan x = y dua vektor tersebut saling orthogonal. Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jika x = 1 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
50 Misalkan V ruang hasil kali dalam. Dua vektor x, y disebut orthogonal jika x, y = 0. Himpunan S disebut himpunan orthonormal jika x, y S dengan x = y dua vektor tersebut saling orthogonal. Misalkan V ruang hasil kali dalam. Vektor x disebut unit jika x = 1 Himpunan S disebut orthonormal jika S himpunan orthogonal dan setiap anggota di S merupakan vektor unit. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
51 Himpunan S = { 1 2 (1, 1, 0), 1 3 (1, 1, 1), } 1 ( 1, 1, 2) 6 merupakan himpunan orthonormal! Ujilah! Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
52 Himpunan S = { 1 2 (1, 1, 0), 1 3 (1, 1, 1), } 1 ( 1, 1, 2) 6 merupakan himpunan orthonormal! Ujilah! H kumpulan semua fungsi kontinu di [0, 2π]. Perhatikan bahwa {sin nx : x [0, 2π]} memenuhi 2π 2π ( 1 sin nx sin mxdx = cos (mx nx) 1 ) cos (mx + nx) 2 = 0 jika m = n dx Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
53 Himpunan S = { 1 2 (1, 1, 0), 1 3 (1, 1, 1), } 1 ( 1, 1, 2) 6 merupakan himpunan orthonormal! Ujilah! H kumpulan semua fungsi kontinu di [0, 2π]. Perhatikan bahwa {sin nx : x [0, 2π]} memenuhi 2π 2π ( 1 sin nx sin mxdx = cos (mx nx) 1 ) cos (mx + nx) 2 = 0 jika m = n dan 2π 0 sin 2 nxdx = π dx Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
54 Himpunan S = { 1 2 (1, 1, 0), 1 3 (1, 1, 1), } 1 ( 1, 1, 2) 6 merupakan himpunan orthonormal! Ujilah! H kumpulan semua fungsi kontinu di [0, 2π]. Perhatikan bahwa {sin nx : x [0, 2π]} memenuhi 2π 2π ( 1 sin nx sin mxdx = cos (mx nx) 1 ) cos (mx + nx) 2 = 0 jika m = n dan 2π { } Himpunan S = π 1 sin nx : n N 0 sin 2 nxdx = π dx merupakan himpunan orthonormal. Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret / 12
Ruang Hasil Kali Dalam
Ruang Hasil Kali Dalam (Gram Schmidt) Wono Setya Budhi KKAG FMIPA ITB v 0.1 Maret 2015 Wono Setya Budhi (KKAG FMIPA ITB) Ruang Hasil Kali Dalam v 0.1 Maret 2015 1 / 13 Misalkan S subhimpunan di V, kita
Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Permukaan. Persamaan Codazzi dan Persamaan Gauss. Wono Setya Budhi Februari, 2014 KK Analisis Geometri, FMIPA-ITB.
Persamaan Codazzi dan Persamaan Gauss Wono Setya Budhi Februari, 2014 KK Analisis Geometri, FMIPA-ITB 1 / 16 Persamaan Codazzi dan Gauss 1 Pada bagian ini kita akan mencari nilai x u u, x uv dan x vv dinyatakan
1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... D E
1. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari adalah... A. 3-3 + 21-7 21-21 + 7 2. Persamaan (2m - 4)x² + 5x + 2 = 0 mempunyai akar-akar real berkebalikan, maka nilai m adalah... A. -3-3 6 Kunci
18. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a = 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
8. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a. Komponen dan panjang vektor: a = a a a = a = a
Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab
BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B
TRY OUT MATEMATIKA PAKET 3B TAHUN 2010
. Perhatikan argumen berikut ini. p q. q r. r ~ s TRY OUT MATEMATIKA PAKET B TAHUN 00 Negasi kesimpulan yang sah dari argumen di atas adalah... A. p ~s B. p s C. p ~s D. p ~s E. p s. Diketahui npersamaan
UN SMA IPA 2014 Pre Matematika
UN SMA IPA 04 Pre Matematika Kode Soal Doc. Name: UNSMAIPA04PREMAT999 Doc. Version : 04-0 halaman 0. Diketahui premis-premis berikut: Premis : Jika harga turun, maka penjualan naik. Premis : Jika permintaan
Geometri di Bidang Euclid
Modul 1 Geometri di Bidang Euclid Dr. Wono Setya Budhi G PENDAHULUAN eometri merupakan ilmu pengetahuan yang sudah lama, mulai dari ribuan tahun yang lalu. Berpikir secara geometris dari satu bentuk ke
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua)
Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu II) Outline 1 Penyajian Secara Geometris
1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E.
1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6-2 -4 Kunci : E -6-8 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan Nilai 6x 0.y 0 =... A. 1 Kunci : C 6 36 3. Absis titik
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,
19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =
19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =
x y xy x y 2 E. 9 8 C. m > 1 8 D. m > 3 E. m < x : MATEMATIKA Mata Pelajaran
Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/ Program : XII IPA Waktu : 0 menit *Pilihlah satu jawaban yang benar * Tidak diperkenankan menggunakan kalkulator atau alat hitung lainnya.. Diketahui premis - premis:
PR ONLINE MATA UJIAN : MATEMATIKA XII IPA (KODE: A01) 5b Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari 5 2
PR ONLINE MATA UJIAN : MATEMATIKA XII IPA (KODE: A0).. a bc Bentuk sederhana dari 9. a b c c a b. (C) ab c a b c a c b ac b. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari. (C). (E).. (D). 7 9 log.
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 483
Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode 8 Oleh Tutur Widodo. Di dalam kotak terdapat bola biru, 6 bola merah dan bola putih. Jika diambil 8 bola tanpa pengembalian,
VEKTOR. maka a c a c b d b d. , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus. maka panjang vector
VEKTOR Bab a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. OA a ; OB b maka OA AB OB AB OB OA AB b a a u b dan c v d maka a c a c u v b d b d Contoh : Tentukan nilai x dan y dari x y + y = 8 Jawab : x + 8 + y =
SOLUSI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) DINAS PENDIDIKAN KOTA BEKASI TAHUN PELAJARAN 2013/ a 16. definit positif adalah...
SOLUSI UJIAN SEKOLAH SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) DINAS PENDIDIKAN KOTA BEKASI TAHUN PELAJARAN /. Nilai a yang menyebabkan fungsi kuadrat f x a x ax a a a a a a Solusi: [Jawaban D] a a a. () D a a a a a
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
MATEMATIKA. Sesi VEKTOR 2 CONTOH SOAL A. DEFINISI PERKALIAN TITIK
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI PERKALIAN TITIK Misal a a a a dan b b b b dua vektor di R. Perkalian titik dari a dan b, dinotasikan a badalah a b ab + ab + ab
5. TRIGONOMETRI II. A. Jumlah dan Selisih Dua Sudut 1) sin (A B) = sin A cos B cos A sin B 2) cos (A B) = cos A cos B sin A sin B.
5. TRIGONOMETRI II A. Jumlah dan Selisih Dua Sudut ) sin (A B) = sin A cos B cos A sin B ) cos (A B) = cos A cos B sin A sin B tan A tan B ) tan (A B) = tan A tan B. UN 00 Nilai sin 5º cos 5º + cos 5º
Vektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
DINAS PENDIDIKAN KOTA BEKASI TAHUN PELAJARAN 2013/2014 LEMBAR SOAL
DINAS PENDIDIKAN KOTA BEKASI TAHUN PELAJARAN 0/0 LEMBAR SOAL Mata Pelajaran : Matematika Jenjang : SMA/MA Program Studi : IPA Hari/Tanggal : Jam : PETUNJUK UMUM. Isilah lembar jawaban tes uji coba Ujian
D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27
1. Nilai dari untuk x = 4 dan y = 27 adalah... A. (1 + 2 ) 9 B. (1 + 2 ) 9 C. (1 + 2 ) 18 D. (1 + 2 ) 27 E. (1 + 2 ) 27 2. Persamaan 2x² + qx + (q - 1) = 0, mempunyai akar-akar x 1 dan x 2. Jika x 1 2
PEMERINTAH KOTA MAKASSAR DINAS PENDIDIKAN SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) NEGERI 11 MAKASSAR
1 PEMERINTAH KOTA MAKASSAR DINAS PENDIDIKAN SEKOLAH MENENGAH ATAS (SMA) NEGERI 11 MAKASSAR Alamat : Jalan Letjen. Pol. Mappa Oudang Nomor 66 Telepon/Fax (0411) 851262 Makassar 90223 PREDIKSI SOAL UJIAN
VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
PAKET 4 LATIHAN UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN 2009 MATA PELAJARAN MATEMATIKA
Kumpulan Soal - Soal Latihan UN Matematika IPA SMA dan MA 009. (Suprayitno) 49 PAKET 4 LATIHAN UJIAN NASIONAL SMA/MA TAHUN 009 MATA PELAJARAN MATEMATIKA PETUNJUK UMUM. Kerjakan semua soal - soal ini menurut
Matematika EBTANAS Tahun 1991
Matematika EBTANAS Tahun 99 EBT-SMA-9-0 Persamaan sumbu simetri dari parabola y = 8 x x x = 4 x = x = x = x = EBT-SMA-9-0 Salah satu akar persamaan kuadrat mx 3x + = 0 dua kali akar yang lain, maka nilai
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Hasil Kali Titik. Dua Operasi Vektor. Sifat-sifat Hasil Kali Titik. oki neswan (fmipa-itb)
oki neswan (fmipa-itb) Da Operasi Vektor Hasil Kali Titik Misalkan OAB adalah sebah segitiga, O (0; 0) ; A (a 1 ; a ) ; dan B (b 1 ; b ) : Maka panjang sisi OA; OB; dan AB maing-masing adalah q joaj =
PREDIKSI UAN MATEMATIKA SESUAI KISI-KISI PEMERINTAH
PREDIKSI UAN MATEMATIKA SESUAI KISI-KISI PEMERINTAH. Apabila P dan q kalimat pernyataan, di mana ~p q kalimat bernilai salah, maka kalimat yang benar berikut ini, kecuali (d) p q (~p ~q) (~p ~q) ~ (~p
b c a b a c 1. Bentuk sederhanaa dari
7 a b c. Bentuk sederhanaa dari 6 6a b c c A. a b b B. a c C. b a c bc D. a E. 7 7 c a b. Dalam kantong kantong diambil dua kelereng sekaligus, maka peluang mendapatkan kelereng satu berwarna merah dan
ISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA
PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan
f(-1) = = -7 f (4) = = 3 Dari ketiga fungsi yang didapat ternyata yang terkecil -7 dan terbesar 11. Rf = {y -7 y 11, y R}
1. Persamaan (m - 1)x 2-8x - 8m = 0 mempunyai akar-akar real, maka nilai m adalah... -2 m -1-2 m 1-1 m 2 Kunci : C D 0 b 2-4ac 0 (-8)² - 4(m - 1) 8m 0 64-32m² + 32m 0 m² - m - 2 0 (m - 2)(m + 1) 0 m -1
Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
"We are the first of the fastest online solution of mathematics" 009 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2.
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 6 Oleh : Fendi Alfi Fauzi. lim x 0 cos x x tan x + π )... a) b) 0 c) d) e) Jawaban : C Pembahasan: lim x 0
SKL 1 Soal logika matematika dalam pemecahan masalah Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk
SKL Soal 0-0 No. KOMPETENSI INDIKATOR 0. M e n g g u n a k a n Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis logika matematika dalam pemecahan masalah Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan
Soal UN 2009 Materi KISI UN 2010 Prediksi UN 2010
PREDIKSI UN 00 SMA IPA BAG. (Berdasar buku terbitan Istiyanto: Bank Soal Matematika-Gagas Media) Logika Matematika Soal UN 009 Materi KISI UN 00 Prediksi UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh
LINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran
LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
UN SMA IPA 2011 Matematika
UN SMA IPA 0 Matematika Kode Soal Doc. Name: UNSMAIPA0MAT999 Doc. Version : 0- halaman 0. Suku ke- dan ke-9 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 0 dan 50. Suku ke- 0 barisan aritmetika tersebut
Antiremed Kelas 12 Matematika
Antiremed Kelas Matematika Persiapan UAS Doc. Name: ARMAT0UAS Doc. Version : 06-08 halaman 0. Jika f(x)= (x x 5)dx dan f()=0, maka f(x) =... x + x - 5x - 6 4x - x + 5x - 4 5 5 x x x x - x + 5x - 5 x +
KALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 2015
SOAL PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA IPA 0 Paket Pilihlah jawaban yang paling tepat!. Diberikan premis-premis berikut!. Jika pengguna kendaraan bermotor bertambah banyak maka kemacetan di ruas jalan
TRY OUT MATEMATIKA PAKET 2A TAHUN 2010
TRY OUT MATEMATIKA PAKET A TAHUN 00. Diketahui premis premis () Jika hari hujan terus menerus maka masyarakat kawasan Kaligawe gelisah atau mudah sakit. () Hujan terus menerus. Ingkaran kesimpulan premis
Soal-Soal dan Pembahasan Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran 2010/2011 Program Studi IPA
Soal-Soal dan Pembahasan Ujian Nasional Matematika Tahun Pelajaran 010/011 Program Studi IPA 1. Akar-akar persamaan 3x -1x + = 0 adalah α dan β. Persamaan Kuadrat baru yang akar-akarnya (α +) dan (β +)
Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h
( )( ) ISTIYANTO.COM. Pembahasan: Nomor 2 Bentuk sederhana dari A. B. C. D. E. 5 a b. Pembahasan: Nomor 3. Bentuk sederhana dari
ISTIYANTO.COM Pembahasan: Nomor (a b Bentuk sederhana dari (a b A. a b a b a b ab 9 a b 8 adalah Pembahasan: Soal UN Matematika IPA Dapatkan Buku Bank Soal Matematika SMA karangan Istiyanto untuk memudahkan
b = dan a b= 22. Jika sudut antara a dan b adalah a, maka
1. Jika vektor p = i + 4j + 9k, q = 2i + 5 j 3k, p = 3i + j 2k dan, a = p 2q + 3r maka panjang vektor a =... 2. Diketahui vektor a 4i 5 j 3k = + dan titik ( 2, 1,3) P. Jika panjang PQ sama dengan panjang
Vektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
UNIVERSITAS GUNADARMA
SMA/MA MATEMATIKA Program Studi IPA Kerjasama UNIVERSITAS GUNADARMA dengan Dinas Pendidikan Provinsi DKI Jakarta, Kota/Kabupaten BODETABEK, Tangerang Selatan, Karawang, Serang, Pandeglang, dan Cilegon
C. Ø D. S. Gambar di atas adalah kubus ABCD.EFGH dan salah satu jaring-jaringnya, maka titik E menempati nomor... A.(I) C.(III) B.
1. Amir, Adi, dan Budi selalu berbelanja ke Toko "Anda", Amir tiap 3 hari sekali. Adi tiap 4 hari sekali, Budi tiap 6 hari sekali. Bila ketiganya mulai berbelanja sama-sama pertama kali tanggal 20 Mei
UJIAN NASIONAL SMA/MA
Soal UNAS MATEMATIKA (IPA) SMA 0 UJIAN NASIONAL SMA/MA Tahun Pelajaran 00/0 Mata Pelajaran Program Studi : MATEMATIKA (D0) : IPA MATA PELAJARAN Hari/Tanggal : Selasa, 9 April 0 Jam : 0.00 0.00 WAKTU PELAKSANAAN
Latihan 5: Inner Product Space
Latihan 5: Inner Product Space Diketahui vektor u v w ϵ R di mana u = v = Hitunglah : a b c d e f Diketahui vektor u v ϵ R di mana u = dan v = Carilah
A. 3 B. 1 C. 1 D. 2 E. 5 B. 320 C. 240 D. 200 E x Fungsi invers dari f x ( 1. adalah.
. Diketahui premis premis : () Jika Badu rajin belajar dan, maka Ayah membelikan bola basket () Ayah tidak membelikan bola basket Kesimpulan yang sah A. Badu rajin belajar dan Badu patuh pada orang tua
BAB 3 TRIGONOMETRI. Gambar 3.1
Standar Kompetensi BAB TRIGONOMETRI Menurunkan rumus trigonometri dan penggunaannya. Kompetensi Dasar. Menggunakan rumus sinus dan kosinus jumlah dua sudut, selisih dua sudut, dan sudut ganda untuk menghitung
m, selalu di atas sumbu x, batas batas nilai m yang memenuhi grafik fungsi tersebut adalah.
. Di berikan premis sebagai berikut : Premis : Jika terjadi hujan lebat atau mendapat air kiriman maka Jakarta banjir Premis : Jalan menjadi macet dan aktivitas kerja terhambat jika Jakarta banjir Kesimpulan
1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l B. 2 < p < 3 C.
1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah... A. p > l 2 < p < 3 p > 3 1 < p < 2 p < 1 atau p > 2 Kunci : C Persamaan fungsi : F(x)
BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG NORM-n STANDAR. Shelvi Ekariani KK Analisis dan Geometri FMIPA ITB
JMP : Volume 4 Nomor, Juni 0, hal. 69-77 TEOREMA TITIK TETAP PADA RUANG NORM-n STANDAR Shelvi Ekariani KK Analisis dan Geometri FMIPA ITB shelvi_ekariani@students.itb.ac.id Hendra Gunawan KK Analisis dan
Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Blog:
PREDIKSI UAN MATEMATIKA 2008 Oleh: Heribertus Heri Istiyanto, S.Si Email: sebelasseptember@yahoo.com Blog: http://istiyanto.com Berikut soal-soal yang dapat Anda gunakan untuk latihan dalam menghadapi
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 214 Salah satu jenis generalisasi integral tentu b f (x)dx diperoleh dengan menggantikan himpunan [a, b] yang kita integralkan menjadi himpunan berdimensi dua
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6 4 ). ( -1 4 ) E. ( 5 4 ) B. ( 6 4) D. ( 1 4 ) BAB
MATA PELAJARAN PELAKSANAAN PETUNJUK UMUM
MATA PELAJARAN Mata Pelajaran Jenjang Program Studi : MATEMATIKA : SMA/MA : IPA PELAKSANAAN Hari/Tanggal Jam : Isi sesuai waktu anda latihan : Isi sesuai waktu anda latihan PETUNJUK UMUM. Isikan identitas
MA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Matematika EBTANAS Tahun 2003
Matematika EBTANAS Tahun EBT-SMA-- Persamaan kuadrat (k + )x (k ) x + k = mempunyai akar-akar nyata dan sama. Jumlah kedua akar persamaan tersebut adalah EBT-SMA-- Jika akar-akar persamaan kuadrat x +
Jikax (2 x) = 57, maka jumlah semua bilangan bulat x yang memenuhi adalah A. -5 B. -1 C. 0 D. 1 E. 5
Soal Babak Penyisihan OMITS 011 BAGIAN I. PILIHAN GANDA 1. Hasil kali sebarang bilangan rasional dengan sebarang bilangan irasional selalu merupakan anggota dari himpunan bilangan A. Bulat B. Asli C. Rasional
Pembahasan SNMPTN 2011 Matematika IPA Kode 576
Pembahasan SNMPTN 011 Matematika IPA Kode 576 Oleh Tutur Widodo Juni 011 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... a. 1 b. 0 c. 1 d. e.
Sistem Bilangan Kompleks
Modul Sistem Bilangan Kompleks Drs. Hidayat Sardi, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan membahas bilangan kompleks, sistemnya dan arti geometri dari bilangan kompleks. Untuk itu Anda dianggap telah paham
Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis. Modus Ponens Modus Tollens Silogisme
Indikator : Menentukan penarikan kesimpulan dari beberapa premis Modus Ponens Modus Tollens Silogisme p q p q p q p ~q q r q ~p p r Bentuk ekuivalen : p q ~q ~p p q ~p q Soal 1 : Diketahui premis : Premis
Persamaan Di erensial Orde-2
oki neswan FMIPA-ITB Persamaan Di erensial Orde- Persamaan diferensial orde-n adalah persamaan yang melibatkan x; y; dan turunan-turunan y; dengan yang paling tinggi adalah turunan ke-n: F x; y; y ; y
1, x E R} d. { x/x , x E R} 1, x E R} 1, x E R} e. { x/x Nilai dari 2 log 16 3 log log 1 adalah. a. -1 d. 2 b. 0 e. 3 c.
. Nilai dari log 6 log 7 + log adalah. a. - d. b. 0 e. c.. Jika x = 9 dan y = 6 maka nilai 6 x = a. ½ d. b. 8 e. 7 c..y. Agar mendapat untung %, sebuah rumah harus dijual dengan harga Rp. 0.000.000,00.
Solusi: [Jawaban E] Solusi: [Jawaban D]
![Solusi: [Jawaban E] Solusi: [Jawaban D]](/thumbs/56/38103387.jpg "Solusi: [Jawaban E] Solusi: [Jawaban D]")
SOLUSI SMA/MA MATEMATIKA Program Studi IPA Kerjasama UNIVERSITAS GUNADARMA dengan Dinas Pendidikan Provinsi DKI Jakarta, Kota/Kabupaten BODETABEK, Tangerang Selatan, Karawang, Serang, Pandeglang, dan Cilegon
Ujian Nasional. Tahun Pelajaran 2010/2011 IPA MATEMATIKA (D10) UTAMA. SMA / MA Program Studi
Ujian Nasional Tahun Pelajaran 00/0 UTAMA SMA / MA Program Studi IPA MATEMATIKA (D0) c Fendi Alfi Fauzi alfysta@yahoo.com Ujian Nasional Tahun Pelajaran 00/0 (Pelajaran Matematika) Tulisan ini bebas dibaca
Interpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan
Jurnal Sains Matematika dan Statistika Vol No Juli 5 ISSN 46-454 Interpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan Riska Yeni Syamsudhuha M D H Gamal 3 Jurusan Matematika Fakultas Mipa Universitas Riau Jl HR
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011 Tanggal Ujian: 01 Juni 2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u = (a, -, -) dan v = (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A.
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 26, 2007 Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Apakah masuk akal untuk membahas luas daerah
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 2013
Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA IPA Tahun 013 LOGIKA MATEMATIKA p siswa rajin belajar ; q mendapat nilai yang baik r siswa tidak mengikuti kegiatan remedial ~ r siswa mengikut kegiatan remedial Premis
SISTEM KOORDINAT VEKTOR. Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM
SISTEM KOORDINAT VEKTOR Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM Tujuan Pembelajaran Mahasiswa dapat memahami koordinat vektor Mahasiswa dapat menggunakan sistem koordinat vektor untuk menyelesaikan
Buku Pendalaman Konsep. Trigonometri. Tingkat SMA Doddy Feryanto
Buku Pendalaman Konsep Trigonometri Tingkat SMA Doddy Feryanto Kata Pengantar Trigonometri merupakan salah satu jenis fungsi yang sangat banyak berguna di berbagai bidang. Di bidang matematika sendiri,
Fungsi Analitik (Bagian Ketiga)
Fungsi Analitik (Bagian Ketiga) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu VI) Outline 1 Persamaan Cauchy-Riemann 2 Persamaan
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 2010/2011
Soal-Soal dan Pembahasan SNMPTN Matematika IPA Tahun Pelajaran 00/0 Tanggal Ujian: 0 Juni 0. Diketahui vektor u (a, -, -) dan v (a, a, -). Jika vektor u tegak lurus pada v, maka nilai a adalah... A. -
OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional)
ocsz Pembahasan Soal OSN Guru 2012 OLIMPIADE SAINS NASIONAL KHUSUS GURU MATEMATIKA SMA OSN Guru Matematika SMA (Olimpiade Sains Nasional) Disusun oleh: Pak Anang Halaman 2 dari 26 PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE
SOLUSI PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA IPA, KELOMPOK 2, TEBO
SOLUSI PREDIKSI UJIAN NASIONAL MATEMATIKA SMA/MA IPA, KELOMPOK, TEBO. Perhatikan premis-premis berikut. Premis : Jika bilangan genap maka 7 tidak habis dibagi Premis : Jika 7 tidak habis dibagi maka bilangan
SOAL UTN MATEMATIKA PPG SM-3T 2013
SOAL UTN MATEMATIKA PPG SM-3T 03 PERHATIAN:. UTN adalah Ujian Tulis Nasional yang dilaksanakan secara online. Soal ini diketik berdasarkan ingatan sehingga dimungkinkan terjadi kesalahan namun tingkat
BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Hasil Kali Dalam 2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam 3.Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4.Perubahan
2009 ACADEMY QU IDMATHCIREBON
NASKAH UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2008/2009 Jenjang Sekolah : SMA/MA Hari/Tanggal : Rabu/22 April 2009 Program Studi : IPA Waktu : 08.00 10.00 Petunjuk: Pilihlah satu jawababan yang tepat! 1. Perhatikan
SOAL PM MATEMATIKA SMA NEGERI 29 JAKARTA
SOAL PM MATEMATIKA SMA NEGERI 9 JAKARTA. Dengan merasionalkan penyebut, bentuk sederhana dari 5 5 + 5 4 5 5 e. + 5 6 + 5 adalah. Persamaan x (m + ) x = 0 mempunyai akar-akar yang berlawanan, maka nilai
FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
INDIKATOR 10 : Menyelesaikan masalah program linear 1. Pertidaksamaan yang memenuhi pada gambar di bawah ini adalah... Y
INDIKATOR : Menyelesaikan masalah program linear. Pertidaksamaan yang memenuhi pada gambar di bawah ini adalah... Y 8 8 X x + y 8; x + y ; x + y x + y 8; x + y ; x + y x + y 8; x + y ; x + y x + y 8; x
PAKET TRY OUT UN MATEMATIKA IPA
PAKET TRY OUT UN MATEMATIKA IPA Berilah tanda silang (x) pada huruf A, B, C, D atau E di depan jawaban yang benar!. Kesimpulan dari pernyataan: "Jika bencana alam tsunami terjadi, maka setiap orang ketakutan"
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 4 Vektor di Bidang dan di Ruang Vektor di Bidang dan Ruang Sub Pokok Bahasan Notasi dan Operasi Vektor Perkalian titik Perkalian silang Beberapa Aplikasi Proses
TRYOUT UN SMA/MA 2014/2015 MATEMATIKA IPA
TRYOUT UN SM/M 04/0 MTMTIK IP. iketahui premis-premis berikut : Premis : Jika kita tidak menjaga kebersihan, maka kita akan terserang penyakit. Premis : Jika kita terserang penyakit, maka aktivitas kita
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit