5 BAB II LANDASAN TEORI A. Persamaa Diferesial Dari ata persamaa da diferesial, dapat diliat bawa Persamaa Diferesial beraita dega peelesaia suatu betu persamaa ag megadug diferesial. Persamaa diferesial merupaa suatu persamaa ag memuat turua satu atau beberapa dari suatu fugsi ag ta dietaui. Persamaa tersebut laaa disebut persamaa turua area memuat turua aa tetapi istila persamaa diferesial aequatio differetialis ag dieala ole Leibiz pada tau 676 suda umum diguaa seigga utu selajuta dieal dega ama persamaa diferesial. Defiisi :Suatu persamaa ag megadug turua dari satu atau beberapa variabel ta bebas teradap satu atau beberapa variabel bebas, diamaa Persamaa Diferesial PD. Coto : Beriut merupaa beberapa coto betu persamaa diferesial: d d., d d 4 d d. 5, 4 dt dt v v. v, s t 4. u u u z 5
6 B. Klasifiasi Persamaa Diferesial Persamaa diferesial dapat dilasifiasia berdasara tipe, orde da eliearaa.. Klasifiasi berdasara tipe Berdasara tipea, persamaa diferesial di bedaa mejadi dua tipe aitu : a. Persamaa Diferesial Biasa Defiisi : Suatu persamaa diferesial ag aa melibata satu atau beberapa turua dari suatu fugsi ta tetu teradap da mugi fugsi sediri, fugsi tertetu dari, da osta-osta disebut Persamaa Diferesial Biasa. Jia sebua persamaa aa megadug turua biasa dari satu atau beberapa variabel ta bebas teradap satu variabel bebas, maa persamaa diferesial ag bersaguta diamaa Persamaa Diferesial Biasa Ordiar Differetial Equatios, ODE. Coto : Persamaa diferesial: d d e da d d d d 6 merupaa persamaa diferesial biasa.
7 b. Persamaa Diferesial Parsial Sebua persamaa diferesial ag megadug turuaturua parsial dari satu atau beberapa variabel ta bebas teradap dua atau beberapa variabel bebas, diamaa Persamaa Diferesial Parsial Partial Differetial Equatios, PDE. Coto : Beriut merupaa coto persamaa diferesial parsial. u v da u u u t t. Klasifiasi berdasara orde Persamaa diferesial memilii orde da derajat tertetu. Tigat orde persamaa diferesial adala tigat tertiggi turua ag timbul. Sedaga derajat pagat persamaa diferesial ag dapat ditulis sebagai poliomial dalam turua, adala derajat turua tigat tertiggi ag terjadi Ares, 995:. Coto 4: Persamaa - d + 4 d = dapat diataa dalam betu: d 4 d ag terdiri dari diferesial orde pertama, jadi persamaa diferesial tersebut diamaa persamaa diferesial orde pertama.
8 Coto 5: Persamaa diferesial d d 5 4 e d d terdiri atas PD orde edua, atu: d d da diferesial orde pertama d d tetapi secara eselurua persamaa diferesial tersebut diataa persamaa diferesial orde edua, area orde tertiggi dalam persamaa tersebut adala diferesial orde edua. Betu umum persamaa diferesial biasa orde e- serigali ditulisa secara simbolis sebagai beriut: F,,,,..., = Secara umum persamaa diferesial tersebut memilii peelesaia ag berbetu = f,,,,...,. Klasifiasi berdasara elieara Berdasara eliearaa terdapat dua betu persamaa diferesial aitu : a. Persamaa Diferesial Liear Suatu persamaa diferesial = f,,,,..., diataa liear jia f merupaa fugsi liear dari,,,..., -.
9 Ii berarti bawa suatu persamaa diataa liear jia dapat ditulisa dalam betu: d d d d a a a a a g d d d d Dari persamaa tersebut dapat diliat adaa tiga arateristi persamaa diferesial liear, aitu: Variabel teriat da semua turuaa merupaa diferesial berderajat satu. Masig-masig oefisie aa bergatug pada variabel bebas. Tida megadug betu peralia atara sebua variabel teriat dega variabel teriat laia. Coto 6 : Persamaa diferesial: d 4d PD Liear orde satu PD Liear orde dua d d 4 6 d d e PD Liear orde tiga b. Persamaa Diferesial No Liear Defiisi : Persamaa Diferesial No Liear adala persamaa diferesial ag bua persamaa diferesial liear.
Coto 7: Persamaa diferesial beriut: d d d si d 4 d 4 d e PD No Liear orde satu. PD No Liear orde dua. PD No Liear orde empat. Dega demiia persamaa diferesial F,,..., = adala persamaa diferesial o-liear, jia sala satu dari beriut dipeui ole F : F tida berbetu poliom dalam,,..., F tida berbetu poliom berpagat lebi dari dalam,,..., Coto 8: Persamaa + = adala persamaa diferesial o liear area F,,, = + poliom berpagat dua dalam,,. d d Persamaa si cos adala o liear, area F d d d d tida berbetu poliom dalam,,. d d d d Persamaa 5 6 merupaa persamaa diferesial d d o liear area variabel bergatug pada 6 ag berderajat dua.
d d 4 Persamaa 5 6 d d merupaa persamaa diferesial o liear area ada fugsi d 5, ag maa d melibata derajat tiga pada turua pertama. 5 Persamaa Riccati a b c. C. Peelesaia Persamaa Diferesial Terdapat dua peelesaia persamaa diferesial aitu peelesaia umum PD da peelesaia usus PD.. Peelesaia Umum Persamaa Diferesial Defiisi 4:Peelesaia umum persamaa diferesial adala suatu fugsi f persamaa atau eluarga fugsi f ag memeui diferesial, aitu jia f disubstitusia utu dalam suatu Persamaa Diferesial maa aa megasila perataa ag bear. Baaa parameter dalam peelesaia umum sama dega orde persamaaa diferesiala. Zuair9: Coto 9: Diberia persamaa diferesial : d d Tetua peelesaia umuma!
Jawab: Persamaa dibawa e betu : d d d d d d C l l l C, C l C l l C C C Jadi peelesaia umuma adala C. Peelesaia Kusus Persamaa Diferesial Defiisi 5 : Peelesaia usus persamaa diferesial liear adala fugsi ag merupaa aggota dari eluarga fugsi peelesaia umum persamaa diferesiala. Peelesaia usus diperole dega mesubstitusia parameter pada peelesaia umum ole suatu ostata. Pada asus ag palig sederaa, biasaa peelesaia persamaa diferesial dapat diselesaia dega megguaa atura sederaa. Zuair 9:
Masala Nilai Awal Betu umum persamaa diferesial orde satu sebagai beriut: f, dari persamaa diferesial tersebut aa dietaui edudua pada saat, aitu jia = persamaa mempuai peelesaia ag memeui sarat. Sarat disebut sarat awal dari persamaa bersama dega sarat disebut Masala Nilai Awal MNA. Dalam persamaa adala edudua pada saat awal. Coto : Carila peelesaia usus dari persamaa diferesial beriut: + d d = dega sarat awal =, =. 4 Jawab : + d d = d d 5 Persamaa 5 diitegrlaa d d c l l c
4 l l c l c diperole peelesaia umum PD = A dimaa c A e A peelesaia usus diperole dega mesubstitusia persamaa 4 diperole: A A A A A A 4 Jadi peelesaia ususa adala : 4
5 Coto : Tetua iterval dimaa persamaa diferesial beriut 6 dega sarat awal, mempuai solusi tuggal! Jawab : Utu meemua peelesaia pertama ataa persamaa 6 dalam betu d d d = d, 7 peelesaia diperole dega megitegrala persamaa 7 d d diperole = + c, c 8 substitusi = utu = diperole, c, c c = dega mesubstitusia c = e persamaa 8 diperole
6,, 9 Peelesaia seperti pada persamaa 9 mejadi taterigga utu area peelesaia tersebut ada pada iterval < < da pada iterval < < peelesaia terbatas area jia = maa asila ta terdefiisi. Jia ilai awal digati dega =, maa ostata c dalam persamaa 8 mejadi c =, seigga peelesaiaa mejadi
7 peelesaiaa mejadi taterigga jia, seigga iterval eberadaa peelesaiaa mejadi < < jia > da < < jia <. Walua 6 D. Peelesaia Persamaa Diferesial Secara Numeri Metode secara umeri dapat diguaa utu meelesaia persamaa diferesial dega megguaa batua omputer sebagai alat itug, etia metode aaliti sulit diguaa. Pada beberapa betu persamaa diferesial, ususa pada diferesial o-liier, peelesaia aaliti sulit seali dilaua seigga metode secara umeri dapat mejadi metode peelesaia ag disaraa. Pemaaia metode-metode pedeata dega metode umeri mejadi suatu alteratif ag dapat diguaa.. Metode Numeri Defiisi 6 : Metode umeri adala tei ag diguaa utu memformulasia persoala matemati seigga dapat dipecaa dega operasi perituga / aritmetia biasa tamba, urag, ali da bagi. Metode artia cara, sedaga umeri artia aga. Jadi metode umeri secara arfia berarti cara beritug dega megguaa aga-aga. Perbedaa atara metode umeri dega metode aaliti terleta pada dua al. Pertama, peelesaia dega metode umeri selalu
8 berbetu aga. Sedaga dega metode aaliti megasila peelesaia dalam betu fugsi matemati emudia dievaluasi utu megasila ilai dalam betu aga. Kedua, dega metode umeri diperole peelesaia berupa ampira atau medeati peelesaia sejati solusi tepat seigga peelesaia umeri diamaa juga peelesaia ampira approimatio atau solusi pedeata, peelesaia ampira jelas tida tepat sama dega peelesaia sejati solusi tepat seigga ada selisi atara eduaa. Selisi tersebut ag disebut dega galat error.. Metode Deret Talor Defiisi 7 : Diberia fugsi f da semua turuaa, f, f, f,..., f di dalam selag [a, b]. Misala [a, b], maa utu ilaiilai di seitar da [a, b], f dapat diperluas diespasi e dalam deret Talor: f f f f f!!! Misala =, maa : f f f f f!!! Muir, Defiisi 8 : Metode Talor adala suatu metode pedeata ag megguaa deret Talor sebagai betu perbaia ilai
9 utu ilai fugsi secara eselurua pada peelesaia persamaa diferesial. Deret Talor diguaa utu memperole suatu ampira pada ilai peelesaia dari suatu MNA pada ilai-ilai dari tertetu. Diberia MNA b f,, =, 4 aa diperole barisa i i i, ag terleta deat pada urva peelesaia selag [, b]. Deret Talor dari di seitar berbetu! 5 dega megambil = i = +, di perole i = +!!!!!!, f Secara umum jia deret Talor diampiri ole,! ampira tersebut merupaa ampira Talor orde. Fiizio, 988:67
Coto : Tetua ampira dari fugsi f = si e dalam deret Talor di seitar =! Jawab : f = si f = cos f = si f = cos f 4 = si dst. f = si da = disubstitusia e dalam betu deret Talor f f f f f!!! diperole : si si cos!! 4 si 4! Jia =, maa : si! cos si 4 si cos si cos si!!! 4! 4 si cos si cos si 6 4 4.845.54.47.9.5 Kasus usus: jia =, maa dereta diamaa deret Maclauri, ag merupaa deret Talor bau. f f f f f!!!
f f f f f 6!!! Coto : Tetua ampira fugsi f = si pada deret Maclauri! Jawab : f = si f = cos f = si f = cos f 4 = si dst. dari turua tersebut disubstitusia pada persamaa 6 si si cos!! 4 si 4! si! cos 4 si!!! 4! si! Suu-suu deret Talor ta terigga baaa, maautu alasa pratis deret Talor dipotog sampai suu orde tertetu. DeretTalor ag dipotog sampai suu orde e-m diamaa deret Talor terpotog da diataa ole :
f f f!! f R! f 7 R f c, c 8! Persamaa 8 merupaa galat/residu/sisa utu turua tertetu. Deret Talor terpotog di seitar = disebut deret Maclauri terpotog. Coto 4: Hitug ampira ilai f = si, dega deret maclauri terpotog sampai turua e -5! Jawab: 5 si R5 9! 5! 5 R5 5! 6 f 6! 6 c f 5 c c Utu f = si, disubstitusia e dalam persamaa 9, si,, 6, 5,,45+,5 =,955
. Metode Trasformasi Diferesial Metode trasformasi diferesial merupaa suatu peelesaia persamaa diferesial secara umeri ag berladasa pada deret Talor. Otma : 6-64 mejelasa beberapa defiisi megeai trasformasi diferesial sebagai beriut: a. Trasformasi Diferesial Dimesi Satu Defiisi 9: Sebua Trasformasi Diferesial Differetial TrasformatioDT orde dari fugsi =f terdefiisi jia =, berbetu: d Y! d dimaa aggota impua bilaga bulat ta-egatif ag disebut K-domai. Defiisi : Fugsi dapat diataa dalam trasformasi diferesial Differetial Trasformatio, Y sebagai beriut: Y Dega mesubstitusia persamaa e persamaa, diperole: d! d ag merupaa ragaia deret Talor 5 utu fugsi jia =.
4 Biazar meebuta bawa jia di ambil = emudia fugsi diataa ole seragaia terbatas, maa persamaa dapat ditulis sebagai beriut: Y 4 Utu meetua suatu trasformasi diferesial dapat megguaa tabel beriut: No Tabel : Betu Trasformasi Diferesial Betu Fugsi Betu Trasformasi Diferesial Y. f g F G. g G. d g d + G + 4. d g! G d! d 5. g r r F r F r d r 6.,, 7. ep 8. si si! 9. cos cos! G. g d, dimaa!
5. d g r r r H r g, dimaa r. f g r r G r F. f f f m F F F...... 4. g + a, G a utu 5., a a g G a a a,utu 6. = + b! b b b Y b. Trasformasi Diferesial Dimesi Dua Metode ii diguaa utu meelesaia persamaa diferesial parsial o liear. Dega cara ag sama, dipertimbaga suatu fugsi dari dua variabel w, aaliti pada daera K-domai da memisala, =,. Betu trasformasi diferesiala adala sebagai beriut:,,!!, w W 5 dimaa w, adala fugsi awal da W, adala fugsi trasformasi. Ivers dari trasformasi diferesial W, didefiisia sebagai beriut:,, W w 6
6 Dari persamaa 5 da 6 diperole: w, {!! w, }, 7 Ketia, =, diterapa pada persamaa 6 maa persamaa aa seperti beriut: w, M N W, 8 Dari edua betu trasformasi tersebut diatas ag diguaa utu meelesaia persamaa diferesial o liear adala metode trasformasi diferesial dimesi satu. 4. Trasformasi Diferesial Umum Y + = Metode trasformasi diferesial umum merupaa sala satu metode utu meelesaia persamaa diferesial o liear orde. Teorema.: Trasformasi Diferesial Umum utu persamaa diferesial o liear m dega betu e diberia ole:! +! Y! Y 5. Adomia Deomposisi Laplace Metode Adomia Deomposisi Laplace merupaa sala satu alteratif selesaia utu persamaa diferesial o liear da metode 9
7 tersebut merupaa gabuga dari apliasi trasformasi Laplace da poliomial Adomia. Defiisi : Trasformasi Laplace Spiegel, 999: Diberia F suatu fugsi dari ag tertetu utu >. Maa trasformasi Laplace dari F ag diataa ole L[F] didefiisia sebagai : Poliomial Adomia L[F] = fs = e Fd Suatu betu fugsi o liear f dideomposisi mejadi betu sebagai beriut: f = A dimaa A = A,,,, merupaa poliomial Adomia, dega A = F A = F A = F +! F A = F + F +! F NN,7