BAB II TINJAUAN PUSTAKA. membahas distribusi normal dan distribusi normal baku, penaksir takbias μ dan σ,

Transkripsi

1 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Pedahulua Dalam peulisa materi poo dari sripsi ii diperlua beberapa teori-teori yag meduug, yag mejadi uraia poo pada bab ii. Uraia dimulai dega membahas distribusi ormal da distribusi ormal bau, peasir tabias μ da σ, outlier, diagram otrol, riteria tida terotrol, average ru legth(arl), diagram otrol variabel, diagram otrol simpaga bau(σ), diagram otrol R, diagram otrol s da diagram otrol simpaga bau robust.. Distribusi Normal da Distribusi Normal Bau..1 Distribusi Normal Distribusi ormal merupaa distribusi probabilitas otiu yag palig petig dalam bidag statistia. Distribusi ormal disebut juga sebagai distribusi Gaussia yag maa hal ii diberia sebagai peghargaa utu ahli matematia jerma Karl Friedrich Gauss ( ) dalam betu fugsi distribusi ormal. Fugsi desitas dari peubah aca X yag berdistibusi ormal dega ratarata μ da varias σ adalah: dimaa : - x ; - µ ; σ > 0 ditulis X~N(μ, σ ) f(x) = 1 σ π e 1 (x μ σ ) (.1) Distribusi ormal memilii urva yag simetris membetu suatu loceg (lihat Gambar.1). Hal ii terjadi etia ilai rata-rata, media, da modus dari data 5

2 6 berilai sama, amu etia odisi ii tida terpeuhi, distribusi data yag terbetu aa mirig aa atau mirig iri. f(x) μ x Gambar.1 Kurva Distribusi Normal.. Distribusi Normal Bau Distribusi ormal bau adalah distribusi ormal yag memilii sifat husus, yaitu distribusi dega : rata-rata(µ) = 0 da simpaga bau(σ) = 1. Distribusi ormal bau mucul sebagai solusi dari adaya masalah dalam peyusua tabel distribusi ormal. Masalah tersebut ialah eyataa bahwa terdapat baya seali macam distribusi ormal dipegaruhi oleh ilai rata-rata da simpaga bau ya. Oleh area itu agar ita tetap dapat mecari probabilitas suatu iterval dega megguaa lagah pratis melalui tabel distribusi ormal daripada perhituga metode itegral yag lebih omples, maa diguaalah apa yag disebut dega distribusi ormal bau. Maa dari itu, seluruh pegamata dega setiap peubah aca ormal X dega rata-rata μ da varias σ dapat ditrasformasia mejadi himpua pegamata baru suatu peubah aca ormal Z dega E(Z)=0 da V(Z)=1. Hal ii dapat dierjaa dega trasformasi sebagai beriut : Z = X μ σ (.) Fugsi desitas ormal bau didasara pada Persamaa (.1) dega meggati μ = 0 da σ = 1 yaitu:

3 7 f(z) 1 1 π e Z, z...(.3) Betu trasformasi di atas memetaa distribusi ormal mejadi distribusi ormal stadard (bau). Trasformasi ii juga mempertahaa luas di bawah urva distribusi ormal ya. Artiya, luas di bawah urva distribusi ormal atara x 1 da x sama dega luas dibawah urva distribusi ormal stadard atara z 1 da z..3 Peasir Tabias μ da σ Misala X 1, X,, X merupaa sampel aca dari distribusi N(μ, σ ) dega μ. Meurut Hogg da Craig (1995) peasir emugia masimum bagi da dari sampel tersebut masig-masig adalah : μ = i=1 X i σ = i=1 (X i X ) (.) (.5) Dapat ditujua bahwa rata-rata peasir μ da σ masig-masig adalah : E(μ ) = μ da E(σ ) = ( 1) Tampa μ merupaa peasir tabias dari μ da σ merupaa peasir bias utu σ. Sehigga peasir tabias bagi σ adalah : σ s = i=1 (X i X ) 1 (.6) Aa tetapi simpaga bau s yaitu aar uadrat dari Persamaa (.6) merupaa peasir bias bagi σ, yaitu: E(s) = c σ da V(s) = σ (1 c ) dimaa, c = ( 1 ) Γ( ) (.7) 1 Γ[ ( 1) ] maa peasir tabiasya adalah: s = s c (.8)

4 8. Outlier Outlier serig ali ditemua dalam seumpula data, bai data hasil peelitia melalui esperime maupu survey. Outlier merupaa pegamata yag meyimpag jauh dari pegamata laiya. Outlier ii meimbula ecurigaa bahwa pegamata tersebut dihasila dari elompo yag berbeda Dari pemerisaa sampel yag megadug outlier, aa meimbula arateristi yag berbeda atara pegamata outlier tersebut dega pegamata-pegamata bua outlier (Hawi, 1980). Barett da Lewis (199) meyataa bahwa outlier adalah pegamata atau sebagia pegamata yag tampa tida osiste dega himpua data sisaya. Outlier dapat berasal dari distribusi yag sama dega elompo data yag laiya atau berasal dari distribusi lai (otamia). Salah satu metode utu medetesi outlier adalah dega megguaa box plot. Boxplot merupaa rigasa distribusi sampel yag disajia secara grafis yag bisa meggambara betu distribusi data (sewess), uura tedesi setral da uura peyebara (eragama) data pegamata. Terdapat uura statisti yag bisa ita baca dari boxplot yaitu ilai miimum, uartil pertama, media, uartil etiga, ilai masimum, pagar dalam (ier fece), pagar luar (outer fece) da boxplot juga dapat meujua ada tidaya ilai outlier da ilai estrim dari data pegamata. Nilai pagar dalam (ier fece) da pagar luar (outer fece) yag dihitug sebagai beriut: ier fece: H H L U - (1.5 H - spread) (1.5 H - spread) (.9) outer fece: H H L U - (3 H - spread) (3 H - spread) (.10)

5 9 dimaa, H L = uartil e 1 H U = uartil e 3 H spread = H U H L Secara umum betu dari boxplot terlihat pada Gambar.. Gambar. Box Plot Suatu pegamata disebut sebagai outlier jia suatu pegamata terleta diluar ier fece da diataa estrim jia suatu pegamata terleta diluar outer fece..5 Diagram Kotrol Diagram otrol merupaa suatu tei yag dieal sebagai metode grafi yag di guaa utu megevaluasi apaah suatu proses berada dalam pegedalia ualitas secara statisti atau tida sehigga dapat memecaha masalah da meghasila perbaia ualitas. Metode ii dapat membatu perusahaa dalam megotrol proses produsiya dega memberia iformasi dalam betu grafi. Tujua dari peracaga program apliasi diagram otrol ii adalah utu melihat sejauh maa tigat eberhasila suatu proses produsi sehigga bisa dijadia pedoma dalam megaraha perusahaa earah pemeuha spesifiasi osume. Diagram otrol merupaa alat SPC yag palig petig yag diguaa utu medetesi etia proses dalam eadaa tida teredali (out of cotrol). Diagram otrol pertama ali dipereala oleh DR. Walter Adrew Shewart dari

6 10 Bell Telephoe Laboratories, Ameria Seriat, tahu 19 dega masud utu meghilaga variasi tida ormal melalui pemisaha variasi yag disebaba oleh peyebab husus (special-causes variatio) dari variasi yag disebaba oleh sebab umum (commo-causes variatio). Pada dasarya, semua proses meampila variasi, amu proses produsi harus diedalia dega cara meghilaga variasi peyebab husus dari proses tersebut, sehigga variasi yag ada pada proses haya disebaba oleh variasi peyebab umum. Diagram otrol adalah gambar sederhaa dega tiga garis, yaitu garis pusat (ceter lie), garis batas otrol atas (BKA) da garis batas otrol bawah (BKB). Diagram otrol merupaa suatu alat dalam megedalia proses, yag bertujua utu meetua suatu proses berada dalam pegedalia statisti, mematau proses terus-meerus sepajag watu agar proses tetap stabil secara statisti da haya megadug variasi peyebab umum, serta meetua emampua proses (process capability). Pada Gambar.3 merupaa cotoh gambara diagram otrol yag diguaa dalam pegedalia ualitas secara umum. Gambar.3 Cotoh Diagram Kotrol Batas edali biasaya berjara ±3σ dari garis tegah, tetapi boleh juga memilih ±σ atau ±σ tergatug dari resio statisti da esuara mecari peyebab esalaha. Tetapi umumya baya diguaa ±3σ area lebih mudah

7 11 dalam perhituga da tabel ya sudah baya tersedia. Gambar. merupaa cotoh diagram otrol utu 3σ atau σ Gambar. Diagram Kotrol dega 3σ atau σ.5.1 Kriteria Tida Terotrol Batas-batas otrol ii dipilih sedemiia sehigga apabila proses teredali, hampir semua titi-titi sampel aa jatuh di atara edua garis itu. Mesipu semua titi-titi terleta di dalam batas edali, belum tetu proses tersebut teredali. Utu meetua riteria tida teredali ii, diagram otrol dibagi mejadi 3 zoa yag diuur dalam satua simpaga bau(σ) atara garis tegah dega batas otrol sebagai beriut: Gambar.5 Pembagia Zoa Diagram Kotrol 3σ Meurut Kiemele d (000) ada 7 gejala-gejala diagram otrol diataa tida terotrol, yaitu: 1. Terdapat 1 atau lebih titi yag berada di luar batas otrol.. 7 titi berturut-turut berada di sisi yag sama dari garis tegah.

8 titi berturut-turut membetu tre meigat atau meuru.. dari 3 titi secara berturut-turut jatuh di zoa A atau lebih, di sisi yag sama dari garis tegah. 5. dari 5 titi secara berturut-turut jatuh di zoa B atau lebih, di sisi yag sama dari garis tegah titi berturut-turut ai da turu secara bergatia titi berturut-turut jatuh di zoa C Jia diagram otrol proses tida meujua etujuh gejala diatas, atau membetu pola tida aca laiya, ita dapat megataa bahwa proses terotrol. Diagram otrol ii bai diguaa utu pergesera diatas 1.5σ. Kemampua utu medetesi pergesera yag ecil atau urag dari 1.5σ, dapat di laua dega megguaa diagram otrol yag meyertaa iformasi dari sampel sebelumya. Kierja dari diagram otrol ditetua oleh ARL seperti yag aa dijelasa beriutya..5. Average Ru Legth (ARL) Kriteria yag diguaa utu dapat membadiga ierja diagram otrol adalah dega meguur seberapa cepat diagram otrol tersebut membagita siyal out of cotrol. Diagram otrol yag lebih cepat medetesi siyal out of cotrol disebut lebih sesitif terhadap perubaha proses. Salah satu cara utu meguur ierja diagram otrol adalah dega megguaa Average Ru Legth (ARL). ARL adalah rata-rata ru (observasi) yag harus dilaua sampai ditemuaya out of cotrol yag pertama. Apabila proses dalam eadaa i cotrol maa diguaa otasi ARL0. Dega demiia ARL0 aa berilai besar da ARL1 aa berilai ecil etia proses dalam eadaa out of cotrol. Secara umum persamaa utu perhituga ilai ARL adalah:

9 13 ARL = 1 dega p = probabilitas suatu titi eluar dari batas-batas diagram otrol. p Utu ARL0, p=α= probabilitas esalaha/error tipe I (meyataa eadaa tida terotrol padahal eadaa terotrol) atau probabilitas suatu titi rata-rata sampel jatuh dari luar batas otrol pada saat proses terotrol, α disebut juga sebagai probabilitas false alarm, sedaga utu ARL1 ilai p=1-β=probabilitas esalaha/error tipe II (meyataa eadaa terotrol padahal eadaa tida terotrol) atau probabilitas suatu titi rata-rata sampel jatuh di dalam batas otrol pada saat proses tida terotrol. Secara umum performa bai dari sebuah diagram otrol jia mempuyai ARL0 sebesar mugi da ARL1 seecil mugi. (Motgomery, 01).6 Diagram Kotrol Variabel Data variabel merupaa peubah aca otiyu. Data ii diuur dalam satua-satua uatitatif, sebagai cotoh: Cycle time yag dibutuha utu melaua satu proses, Diameter poros, Tiggi bada 100 orag operator, da lai-lai. Ketia ita mempuyai data variabel terdapat dua uura yag diotrol yaitu loasi da dispersi dari distribusi. Utu data distribusi ormal, parameter loasi diotrol oleh X da dispersi oleh s da R. Pada bagia selajutya haya aa dibahas diagram otrol dispersi dega megguaa simpaga bau(σ). Utu megotrol simpaga bau, diperlua sampel yag diambil dalam beberapa periode. Adaia uura sampelya da bayaya periode pegamata sebaya. Secara umum data hasil pegamata X sebagai arateristi mutu yag diuur dapat disajia seperti pada Tabel.1.

10 1 Tabel.1. Data Pegamata utu Karateristi Mutu Variabel Pegamata Periode X R S S x 11 x 1... x 1 x 1 R1 s 1 s 1 x 1 x... x x R s s s s 3 3 x 31 x 3... x 3 x 3 R x 1 x... x x R s s Jumlah Rata-rata i1 x i R i i1 s i i1 x i Ri s i x 1 i R 1 i s s i i1 1 i ~ 1 1 s s i i1.7 Diagram Kotrol Simpaga Bau (σ) Adaia X adalah arateristi mutu yag mejadi perhatia, berdistribusi ormal dega rata-rata μ da variasya σ atau ditulis X~N(μ, σ ). Dispersi proses yag aa diotrol diwaili oleh simpaga bau (σ) dega cara megambil sampel beruura yaitu X 1, X,, X, pada masig-masig periode. Secara umum batas-batas otrol Shewhart 3σ dega megguaa statisti Y (fugsi dari sampel aca) adalah sebagai beriut: BKA E( Y ) 3 Pusat E( Y ) BKB E( Y ) 3 Var( Y ) Var( Y ) (.11) Dalam pratiya utu megotrol simpaga bau (σ) Y dapat berupa simpaga bau sampel (s) atau retag (R). Utu diagram otrol R da s aa dibahas pada subbab beriutya.

11 Diagram Kotrol R Dapat ditujua bahwa rata-rata da varias dari R masig-masig sebagai beriut: E(R) = d σ V(R) = d 3 σ dimaa ilai d da d 3 utu berbagai terdapat pada Lampira 3. Oleh area itu, batas-batas otrol R dega megguaa Persamaa (.11) adalah: BKA d 3 BKB d 3 Pusat d d d 3 3 (.1) Dalam hal σ tida dietahui gati σ oleh peasir tabiasya. Utu meetuaya ambil sampel beruura sebaya periode yag data pegamataya seperti pada Tabel.1. Dari sampel-sampel tersebut aa meghasila peasir tabias bagi σ yaitu R. Sehigga batas-batas otrol pada d Persamaa (.1) mejadi: BKA R 3d Pusat R 3 R d D R (.13) BKB R 3d 3 R d D 3 R dimaa, R = i=1 R i R i = mas(x ij ) mi(x ij ) ; i=1,,, da j=1,,, D 3 = 1 3 d 3 d da D = d 3 d Lampira 3., ilai-ilaiya utu berbagai terdapat pada

12 16.7. Diagram Kotrol s Rata-rata da varias dari s masig-masig adalah: E(s) = c σ V(s) = σ (1 c ) dimaa c seperti Persamaa (.7), ilai-ilaiya utu berbagai terdapat di Lampira 3. Oleh area itu, batas-batas otrol s dega megguaa Persamaa (.11) adalah: BKA c 3 1 c Pusat c BKB c 3 1 c (.1) Dalam hal σ tida dietahui gati σ oleh peasir tabiasya. Dari sampelsampel pada Tabel.1 aa meghasila peasir tabias bagi σ yaitu s c. Sehigga batas-batas otrol pada Persamaa (.1) mejadi: BKA s 3 Pusat s BKA s 3 s c s c 1 c 1 c B s B s 3 (.15) dimaa, s seperti pada Tabel.1, s i adalah aar uadrat dari Persamaa (.6) da c seperti pada Persamaa (.7) sedaga B 3 = 1 3 C 1 c da B = C 1 c, ilai-ilaiya utu berbagai terdapat pada Lampira 3. Walaupu s c da R d adalah peasir tabias bagi aa tetapi meurut Mahmoud d (010) bahwa peasir yag didasara pada s (lihat Tabel.1) lebih efisie (varias miimum) daripada yag didasara pada s da R etia distribusi ormal dipeuhi. Peasir tabias dari dega didasara pada s yaitu:

13 17 σ = s c (m) (.16) dega: s = ( 1 s i=1 i ) 1 (.17) dimaa si adalah aar uadrat dari Persamaa (.6) da c (m) = ( 1 ) Γ( m ) m 1 dega m = (-1) + 1 Γ[ (m 1) ] Persamaa (.13) da Persamaa (.15) utu megotrol simpaga bau (σ) ditulis secara umum sebagai beriut: BKA U ˆ BKB L ˆ (.18) Persamaa (.18) aa diguaa utu pegotrola proses pada fase I. Pada fase I, seumpula data diumpula da diaalisis dalam aalisis retrospetif, yaitu meciptaa batas otrol percobaa utu meetua apaah proses tetap berada dalam otrol selama selag watu di maa data diumpula. Lalu utu melihat apaah batas otrol tersebut laya da dapat diguaa utu mematau produsi selajutya. Telah disiggug bahwa apabila terjadi outlier aa meyebaba ierja diagram otrol R da s meuru dega ditadai oleh megecilya ilai ARL0 da atau membesarya ilai ARL1, area R da s bua peasir robust bagi σ. Utu meaggulagi edua hal tersebut maa diguaa peasir robust dari. Terdapat beberapa metode peasir robust utu simpaga bau. Tetapi pada peelitia ii haya fous pada peasir robust adaptive trimmer yaitu s i M D, MD da i s M D,. Meurut Schoohove da Does (01) i M D, s yag memberia ierja terbai..8 Diagram Kotrol Simpaga Bau Robust Secara umum batas-batas diagram-diagram otrol simpaga bau robust batas-batasya ditulis seperti pada Persamaa (.19) dega meggati σ dega

14 18 peasir robust yag dipilih. Sebagaimaa yag telah disiggug sebelumya disii aa diemuaa peasir simpaga bau robust dega meggabuga metode MD s da MD i (adaptive trimmer) yag disebut MD i,s. Oleh area itu uraiaya diawali dega membahas metode peasir MD s emudia MD i da dilajuta dega prosedur gabugaya yaitu MD i,s. Prosedurya aa dijelasa sebagai beriut:.8.1 Prosedur Peasir MD s 1. Tetua deviasi dari media utu masig-masig subgrup Keteraga: MD i = j=1 x ij M i Mi = media subgrup e-i xij = subgrup e-i sampel e-j = uura subgrup. Hitug rata-rata MDi dimaa, = bayaya subgrup, i=1,,.., (.19) MD = 1 MD i=1 i (.0) 3. Peasir tabias dari adalah MD dimaa t t () () = E [ MD ]. σ Nilai E[MD] sulit utu dihitug. Riaz da Saghir (009) telah meghitug ilai t () dega megguaa simulasi yag ditampilas seperti dalam Lampira. Peasir robust dari diotasia oleh MD s, yaitu: MD s = MD t () (.1). Batas-batas otrol peasir MD s seperti pada Persamaa (.18) dega meggati σ dega Persamaa (.1).

15 19 5. Pada fase I, jia ada pegamata yag tida terotrol maa pegamata tersebut dieluara da perhituga diulag sampai semua pegamata yag tersisa dalam eadaa terotrol..8. Prosedur Peasir MD i 1. Hitug residu dega meguraga media subgrup dega dataya, yaitu: e ij = x ij M i (.) Hal ii dilaua utu mejami bahwa variabilitas diuur withi bua betwee.. Buat diagram otrol idividu utu e ij dari Lagah 1, dega batas-batas diagram otrol adalah: BKA U MD BKB L MD dega ilai U da L diperlihata pada Lampira 1. Nilai (.3) M D diperoleh dega megguaa Persamaa (.0). 3. Jia ada residu, e ij, yag jatuh diluar batas otrol pada Persamaa (.3), maa residu tersebut dibuag. Kemudia, Lagah diulag sampai semua e ij berada dalam batas-bats otrol.. Setelah semua residu i-cotrol, emudia dari data yag tersisa, dihitug: MD i i = j=1 x ij M i i (.) dimaa, i adalah bayaya pegamata yag tersisa dari subgrup e-i. 5. Peasir robust dari diotasia oleh i M D, yaitu MD i = 1 MD i=1 i i (.5) 6. Batas-batas otrol residu adalah sama seperti pada Persamaa (.18) haya saja σ digati dega peasir MD i dari Persamaa (.5).

16 0 7. Jia ada residu yag diluar batas otrol maa residu tersebut dibuag, maa Lagah -6 diulag sampai residu berada dalam batas-batas otrol..8.3 Prosedur Peasir MD i,s 1. Peasir awal ditetua oleh MD seperti pada Persamaa (.0).. Peasir σ dari Lagah 1 diguaa utu membuat batas-batas otrol simpaga bau sehigga data subgrup dapat disarig. 3. Nilai IQR d IQR () diplota pada diagram otrol dega batas-batas otrol: BKA U BKB L MD t ( ) MD t ( ) (.6) Nilai U da L terdapat pada Lampira 1. Sedaga utu ilai IQR didapat dega meghitug: IQR = Q 3 Q 1 (.7) Sebagai cotoh, jia = 5 maa ilai IQR = x () x (). Schoohove da Does (01) telah memberia ilai d IQR () utu =,5 da 9 yaitu d ( IQR ) 0.59, d ( IQR 5) da d ( IQR 9) Lagah 3 diulagi higga semua subgrup dalam eadaa terotrol. 5. Lagah beriutya adalah pembuata diagram otrol idividu dari subgrup yag sudah terotrol dega batas-batasya adalah: BKA U MD BKB L MD (.8) dega Lampira 1. M D seperti pada Persamaa (.0) ilai U da L tercatum pada

17 1 6. Jia miimal ada satu residual dari suatu subgrup berada diluar batas-batas otrol, maa subgrup tersebut dibuag. Kemudia Lagah 5 diulag sampai semua residu berada dalam batas-batas otrol. 7. Peasir robust dari diotasia oleh MD i,s yaitu dimaa MD i,s = MD t (5) M D merupaa rata-rata deviasi dari media pada Lagah 6.