APROKSIMASI DISTRIBUSI WAKTU HIDUP YANG AKAN DATANG (Aproximations of the Future Lifetime Distribution)

Transkripsi

1 Jural Bareeg Vol 5 No Hal 47 5 (2) APROKSIMASI DISRIBUSI WAKU HIDUP YANG AKAN DAANG (Aproimatios of te Future Lifetime Distributio) HOMAS PENURY RUDY WOLER MAAKUPAN 2 LEXY JANZEN SINAY 3 Guru Besar Jurusa Matematia FMIPA UNPAI 23 Staf Jurusa Matematia FMIPA UNPAI Jl Ir M Putuea Kampus Upatti Poa-Ambo tomypetury@yaoocom rwmataupa@yaoocom leyz@gmailcom ABSRAC is paper give a aalitical tecique to approimate future lifetime distributios Approimatios of te future lifetime distributio based o te sifted Jacobi polyomials ad it yielded te sequeces of a epoetials combiatio e results of approimatios of te future lifetime distributio i tis cases study based o Maeam s Law It is very accurate i te case study Keywords: approimatios future lifetime distributio sifted Jacobi polyomials epoetials combiatio Maeam s law PENDAHULUAN Dalam matematia da statistia betu espoesial sagat petig dalam peerapaya Secara usus betu espoesial diguaa dalam membetu fugsi-fugsi usus utu meetua suatu distribusi peluag Sala satu distribusi peluag yag megguaa betu espoesial adala distribusi espoesial Distribusi ii memberia suatu emudaa dalam berbagai pegituga Peulisa ii memberia suatu cara utu megaprosimasi distribusi peluag dari suatu ombiasi espoesial Dega demiia masala yag diemuaa dalam peulisa ii adala megostrusi suatu betu aprosimasi distribusi watu idup yag aa datag (future lifetime) e dalam betu ombiasi espoesial da emudia memperliata eaurata dari asil-asil aprosimasi tersebut secara umeri INJAUAN PUSAKA Pada umumya betu dari ombiasi espoesial merupaa suatu betu ombiasi dari fugsi epadata peluag distribusi espoesial Secara umeri betu ombiasi espoesial tersebut memilii emudaa utu diterapa Hal ii diareaa distribusi espoesial memberia suatu pegituga yag sagat sederaa seigga muda utu dapat diapliasia e berbagai bidag seperti teori resio teori atria teori euaga teori atuaria da lai-lai Sala satu sifat petig dari ombiasi espoesial adala suatu betu yag dese dalam impua distribusi peluag atas Betu ombiasi espoesial dari aprosimasi distribusi peluag dapat dibetu dega berbagai metode Suatu metode aprosimasi distribusi peluag dega megguaa sifat-sifat dari poliomial Jacobi merupaa sesuatu betu yag ostrutif utu megaprosimasi distribusi peluag Hasil yag diperole dari aprosimasi distribusi peluag ii merupaa suatu fugsi distribusi yag terdiri atas barisa-barisa yag berbetu ombiasi espoesial yag maa barisabarisa tersebut merupaa barisa-barisa yag overge (Dufrese 26) Selai ulasa beberapa pustaa megeai peulisa ii pada bagia ii aa diberia beberapa simbol da teori-teori dasar yag aa diguaa dalam pembaasa Beriut ii aa diberia defiisi dari beberapa fugsi usus Sebelumya simbol Pocammer utu suatu bilaga a diotasia dega a didefiisia seperti beriut a a aa a 2 Dega demiia fugsi ipergeometri Gauss yag diotasia dega 2F ; dapat didefiisia seperti beriut

2 Bareeg Vol 5 No Hal 47 5 (2) 2F a b c; z dega c b c b a b a b z c! z RecReb cb zt t t dt Beriut aa diberia ulasa sigat tetag distribusi watu idup yag didasara atas uum Maeam Misal X adala variabel radom otiu yag megiuti usia idup seseorag (dari elaira sampai ematia) Utu usia idup diberia percepata mortalitas yag didasara atas uum Maeam seperti beriut A Bc Betu ii serig disebut sebagai azard rate atau failure rate Kemudia berdasara uum Maeam maa dapat diperole fugsi survival dari distribusi Maeam seperti beriut y ep S ep y dy A Bc dy HASIL DAN PEMBAHASAN Distribusi Watu Hidup Yag Aa Datag Misal variabel radom X memilii distribusi watu idup Dega demiia adala usia idup dari seseorag yag diotasia dega Watu idup yag aa datag (future lifetime) dari adala X yag diotasia dega atau atau utu lebi simpel cuup ditulis dega otasi ; merupaa variabel radom yag bergatug pada diberia cdf dari yaitu F t P t t Beriut aa Betu cdf dari yag diberia pada persamaa (2) merupaa peluag meiggal dalam aga watu t tau Betu ii serig diotasia dega t q Dega demiia peluag utu idup selama t tau adala y c ep Ay B log c c ep A B log c B ep A mc dega m () log c p q P t t t t (2) 48 Karea t q adala suatu cdf utu variabel radom maa t p merupaa ccdf dari yag dapat ditulis sebagai F t Peratia bawa F t merupaa peluag dapat idup mecapai t tau seigga dapat diperole ubuga atara fugsi survival F t seperti beriut: F t t P P X t X P X t X t S S utu setiap t S da ccdf 2 Kombiasi Espoesial dari Aprosimasi Distribusi Peluag a Kombiasi Espoesial Beriut ii aa diberia betu umum dari suatu ombiasi epoesial dega medefiisia sebua fugsi yag berbetu t t f t a e dimaa a adala osta Fugsi ii adala fugsi desitas peluag (pdf) ia (a) a ; (b) utu setiap ; (c) f utu setiap Kodisi (a) da (b) meyataa bawa fugsi teritegral utu atas f amu tida utu odisi (c) Jia a utu semua maa persamaa (4) disebut sebua miture of epoetials atau disebut uga sebagai distribusi iper-espoesial eorema memperliata eovergea dari barisa variabel radom yag maa pdf dari variabel radom tersebut merupaa suatu ombiasi espoesial Buti dari eorema dapat di liat di Siay (2) eorema (a) Misal variabel radom o egatif Maa terdapat suatu barisa variabel radom masig-masig dega suatu pdf yag diberia ole suatu ombiasi espoesial da sedemiia seigga overge dalam distribusi e (b) Jia distribusi tida mempuyai atom maa t lim sup F t F t (3) (4) Petury Mataupa Siay

3 Bareeg Vol 5 No Hal 47 5 (2) b Poliomial Jacobi eralia Pada umumya betu poliomial Jacobi dapat didefiisia seperti beriut P 2F ;! 2 utu da Dietaui uga bawa poliomial Jacobi ortogoal atas iterval utu fugsi bobot Kemudia betu poliomial Jacobi teralia (sifted Jacobia polyomials) dapat diturua seperti beriut: R P 2! 2F ; dimaa 2 F adala fugsi ipergeometri Gauss da!! Dega demiia poliomial Jacobi teralia ortogoal atas dega fugsi bobotya adala w Sifat-sifat dari poliomial Jacobi teralia dapat diberia utu suatu fugsi yag terdefiisi atas (termasu semua fugsi otiu da terbatas) sedemia seiga c w R d 2 2! R d c Aprosimasi Distribusi Watu Hidup Yag Aa Datag Berdasara teori sifted Jacobi polyomials yag diberia pada bagia sebelumya maa teori tersebut dapat diterapa e dalam suatu distribusi peluag atas dega cara seperti beriut ii Misal Ft adala cdf da misal F t F t P t Ft merupaa ccdf (ompleme cdf) Ft serig disebut uga sebagai fugsi survival Jia F da F utu t Misal meyataa watu sampai ematia dari usia idup maa F t t p Dietaui bawa r 49 g F log r g Pemetaa yag teradi dari betu ii merupaa yag maa t pemetaa pada berorespodesi dega da t berorespodesi dega Dietaui uga bawa F maa dapat diperole sedemiia rupa g seigga Misal parameter-parameter p da b dietaui sedemiia seigga dega meerapa sifted Jacobi polyomials dapat diperole Euivale dega F t g e rt p g b R prt e b e rt prt b e Betu di atas memilii esamaa dega betu (4) ia pr utu 2 Jia p suatu ombiasi espoesial dapat diperole dega cara pemotoga umlaa dari deret di atas Berdasara betu dari deret yag diberia di atas maa ostata b dapat ditemua seperti beriut: p b g R d r p rt rt rt e e R e F tdt Dega demiia betu (5) merupaa ombiasi dari betu p rt rt e e F tdt Jia maa dapat diperole st st st e F t dt F t d e e E s dega s Hal ii berarti ostata b dapat diperole dega megguaa trasformasi Laplace dari distribusi eorema beriut ii merupaa oseuesi lagsug dari sifted Jacobia polyomials eorema 2 Misal da diberia fugsi beriu ii prt e s F otiu atas F t (5) Petury Mataupa Siay

4 Bareeg Vol 5 No Hal 47 5 (2) yag memilii sebua limit yag berigga utu t meuu ta igga utu beberapa p (al ii selalu bear di maa p ) Maa berlau Utu setiap t setiap iterval Buti liat Siay (2) prt rt F t e b R e da overge seragam atas a b utu a b (6) 5 Dega demiia tigat etelitia pada saat N 8 cuup bai (liat abel ) ida semua distribusi terodisi dalam eorema 2 Hasil dalam teorema beriut tida membutua asumsi ii eorema 3 Misal da utu beberapa p da r (ii selalu bear ia lim N 2 prt rt 2 e e F t dt p ) Maa 2 N prt F t e br e Buti liat Siay (2) 2 rt 2prt rt e e dt Pemotoga umlaa dari deret yag diperole dega megguaa metode ii buala fugsi distribusi yag sebearya Ii merupaa suatu aprosimasi dari betu ccdf distribusi Fugsi yag diperole dari metode ii bisa lebi ecil dari atau lebi besar dari atau fugsi tersebut mugi saa turu pada beberapa iterval 3 Implemetasi Numeri Hasil-asil yag diperole pada bagia ii didasara atas uum Maeam seperti yag diberia pada persamaa () dega megguaa asumsi parameter-parameter seperti beriut: 5 4 A 7 ; B 5 ; c yag megiuti Bowers et al (997) a Aprosimasi Distribusi Watu Hidup Yag Aa Datag Hasil aprosimasi yag diperole pada bagia ii megguaa persamaa (6) dega megguaa parameter-parameter beriut = = p = 2 r = 8 Berdasara persamaa (3) maa dapat diperole S t Ft S t 7 t e dega t Hasil ii dapat diterapa pada persamaa (6) utu usia idup = 3 da = 65 dega N 8 Hasil secara visual dapat diliat pada Gambar Gambar Distribusi watu idup yag aa datag Dari Gambar dapat diliat bawa aprosimasi yag diguaa utu megaprosimasi distribusi watu idup yag aa datag sagat aurat Dega demiia asil aprosimasi sagat aurat utu diterapa Utu meliat tigat etelitia dari asil aprosimasi dari distribusi watu idup yag aa datag utu beberapa N yag berbeda dapat diliat pada abel dimaa tigat etelitia semai bai utu usia idup 65 tau da utu ilai yag semai besar abel Estimasi tigat etelitia ( ) ( ) KESIMPULAN Berdasara asil-asil peelitia yag diberia dalam peulisa ii maa dapat disimpula bawa Betu aprosimasi ccdf (fugsi survival) dari distribusi watu idup yag aa datag adala prt rt F t e b R e yaitu dega melaua pemotoga teradap umlaa dari deret tersebut Misal pemotoga deret di atas dalam Petury Mataupa Siay

5 Bareeg Vol 5 No Hal 47 5 (2) 5 N bagia maa asil dari aprosimasi tersebut dapat diyataa dalam betu dega F t N t c e p r N Dega demiia betu aprosimasi yag diasila adala suatu betu ombiasi espoesial igat etelitiaya semai membai ia N semai meigat Hasil-asil yag diberia dalam peulisa ii dapat diguaa utu pegituga ilai-ilai auitas idup otiu (betu esa) maupu auitas idup stoasti Hal ii diareaa ole asil yag didapat secara umeri sagat aurat DAFAR PUSAKA Bowers N L Jr Gerber H U Hicma J C Joes D A da Nesbitt C J 997 Actuarial Matematics edisi edua Society of Actuaries Scaumburg IL Dufrese D 26 Fittig Combiatios of Epoetials to Probability Distributios o Appear i Applied Stocastic Models i Busiess ad Idustry Dufrese D 27 Stocastic Life Auities Nort America Actuarial Joural Siay L J 2 Auitas Hidup yag didasara atas Kombiasi Espoesial dari Aprosimasi Distribusi Watu Hidup Yag Aa Datag esis pada Program Studi S2 Matematia Faultas MIPA Uiversitas Gada Mada Yogyaarta Petury Mataupa Siay