Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x). Ini setara dengan grafik f yang mempunyai garis singgung tak-tegak di x. Apa konsep yang benar dari keterdiferensialan untuk suatu fungsi dua peubah?
1. Keterdiferensialan Untuk memahami konsep dari keterdiferensialan suatu fungsi dua peubah, perhatikan Perhatikan: - Nilai f identik dengan 0 sepanjang dua sumbu. - Pada sumbu y = x kecuali di (0,0) nilainya ½. - f x (0,0) = f y (0,0) = 0 artinya, grafik ini tidak mempunyai garis singgung di titik asal.
1. Keterdiferensialan Apa peranan derivatif untuk suatu fungsi dua peubah? Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita mulai dengan menghilangkan perbedaan antara titik (x,y) dan x,y. Jadi, kita tuliskan p = (x,y) = x,y dan f (p) = f (x,y).
Ingat kembali bahwa 1. Keterdiferensialan (1) Analogi kelihatannya berupa namun, pembagian oleh vektor h tidak masuk akal.
1. Keterdiferensialan (1) Kemudian, Persamaan 1 dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut: dengan (h) 0 pada h 0. Dari Persamaam 2, definisi f (p) dapat dijabarkan (lihat slide selanjutnya). (2)
1. Keterdiferensialan Definisi Kita katakan bahwa f dapat didiferensialkan di p (terdiferensialkan di p) jika terdapat suatu vektor q sedemikian sehingga dengan (h) 0 pada h 0. Jika vektor q ada, vektor q adalah unik. Vektor q disebut gradien f di p, yang dilambangkan dengan.
1. Keterdiferensialan dengan (h) 0 pada h 0. Beberapa hal yang perlu diperhatikan dari definisi di atas: 1. Derivatif f (x) adalah bilangan, sedangkan gradien adalah vektor. 2. Titik dalam menunjukkan hasil kali titik dari dua vektor. 3. Definisi mempunyai arti pada sebarang dimensi.
1. Keterdiferensialan PERHITUNGAN GRADIEN Teorema A Jika f fungsi dua peubah yang terdiferensialkan di p = (x,y), maka derivatif parsial pertama dari f ada ada di p dan Dengan cara yang sama, jika g fungsi tiga peubah dan terdiferensialkan di p = (x, y, z), maka
1. Keterdiferensialan PERHITUNGAN GRADIEN Untuk menggunakan Teorema A, kita masih perlu mengetahui f dan g dapat didiferensialkan. Bagaimana cara mengetahui f dan g dapat didiferensialkan di p? Teorema B Jika f mempunyai derivatif parsial pertama di suatu lingkungan dari p dan jika derivatif parsial p ini kontinu di p, maka ia dapat didiferensialkan di p.
1. Keterdiferensialan PERHITUNGAN GRADIEN Contoh 1: Perlihatkan bahwa f(x,y) = x e y + x 2 y terdiferensialkan di manamana dan hitung gradiennya. Penyelesaian: Kedua fungsi ini kontinu di mana-mana, sehingga menurut Teorema B, f terdiferensialkan di mana-mana. Lebih lanjut, menurut Teorema A:
1. Keterdiferensialan PERHITUNGAN GRADIEN Contoh 2: Untuk f(x, y, z) = x sin z + x 2 y, cari Penyelesaian: Karena derivatif parsial semua kontinu, maka gradien ada. Selanjutnya, derivatif parsial ini masing-masing adalah: Jadi
1. Keterdiferensialan ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN Dalam banyak hal, gradien berperilaku seperti derivatif. Ingat kembali bahwa D yang dipandang sebagai suatu operator adalah linear. Demikian juga halnya operator, yang seringkali disebut operator del.
1. Keterdiferensialan ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN Teorema C adalah operator linear; yakni (i) (ii) Juga, kita mempunyai aturan hasil kali (iii) Buktikan!
1. Keterdiferensialan ATURAN-ATURAN UNTUK GRADIEN Bukti Kita buktikan menuliskan titik p agar lebih singkat. tanpa
1. Keterdiferensialan KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN Teorema D Jika f terdiferensialkan di p, maka f kontinu di p. Bukti Karena f terdiferensialkan di p. Ingat kembali
1. Keterdiferensialan KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN Bukti Karena f terdiferensialkan di p. Ingat kembali Jadi
1. Keterdiferensialan KEKONTINUAN LAWAN KETERDIFERENSIALAN Bukti (lanjutan) Kedua suku yang belakangan mendekati 0 bila h 0, sehingga Kesamaan yang terakhir ini adalah satu cara formulasi kekontinuan f di p.
2. Derivatif Berarah dan Gradien Perhatikan lagi fungsi dua peubah f(x,y). Derivatif f x (x,y) dan f y (x,y) mengukur laju perubahan dan kemiringan garis singgung pada arah sejajar sumbu x dan y. Sasaran kita sekarang adalah mempelajari laju perubahan f pada sebarang arah. Ini menuju derivatif berarah, yang kemudian dihubungkan dengan gradien. Akan sangat menguntungkan untuk menggunakan cara penulisan vektor.
2. Derivatif Berarah dan Gradien Andaikan p = (x,y) dan i dan j adalah vektor-vektor satuan pada arah x dan y positif. Maka dua derivatif berarah di p dapat dituliskan sebagai berikut: Untuk memperoleh konsep yang kita tuju, yang kita kerjakan hanyalah menggantikan i dan j dengan suatu vektor satuan sebarang u.
2. Derivatif Berarah dan Gradien Definisi Untuk tiap vektor satuan u, andaikan Limit ini, jika ia ada, disebut derivatif berarah f di p pada arah u. Jadi, D i f(p) = f x (p) dan D j f(p) = f y (p). Karena p = (x,y), kita gunakan juga cara penulisan D u f(x,y).
2. Derivatif Berarah dan Gradien Gambar di samping memberikan taksiran geometrik dari D u f(x 0,y 0 ). Vektor u menentukan suatu garis L di bidang xy yang melalui (x 0,y 0 ). Bidang yang melalui L tegak lurus bidang xy memotong permukaan z = f(x,y) menurut suatu kurva C. Garis singgungnya di titik (x 0, y 0, f(x 0,y 0 )) mempunyai Kemiringan D u f(x 0,y 0 ).
2. Derivatif Berarah dan Gradien KAITAN DENGAN GRADIEN Ingat kembali pengertian gradien bahwa f(p) diberikan oleh Teorema A Andaikan f mempunyai derivatif parsial kontinu di p. Maka f mempunyai derivatif berarah di p pada arah vektor satuan u = u 1 i + u 2 j dan yakni
2. Derivatif Berarah dan Gradien KAITAN DENGAN GRADIEN Contoh 1: Jika f(x,y) = 4x 2 xy + 3y 2, tentukan derivatif berarah f di (2,-1) pada arah vektor a = 4i + 3j. Penyelesaian: Vektor satuan u pada arah a adalah Kemudian,
2. Derivatif Berarah dan Gradien KAITAN DENGAN GRADIEN Contoh 1(lanjutan penyelesaian):
2. Derivatif Berarah dan Gradien KAITAN DENGAN GRADIEN Contoh 1(lanjutan penyelesaian):
2. Derivatif Berarah dan Gradien KAITAN DENGAN GRADIEN Contoh 2: Cari derivatif berarah dari fungsi f(x, y, z) = xy sin z di titik (1, 2, Π/2) pada arah vektor a = i + 2j + 2k. Penyelesaian: Vektor satuan u pada arah a adalah Kemudian,
2. Derivatif Berarah dan Gradien KAITAN DENGAN GRADIEN Contoh 2 (lanjutan penyelesaian):
2. Derivatif Berarah dan Gradien LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM Pertanyaan: Untuk suatu fungsi yang diberikan f di suatu titik yang diberikan p, pada arah mana fungsi berubah paling cepat? Jawab: Pada arah dimana D u f(p) yang terbesar dengan θ sudut antara u dan f(p). Jadi, D u f(p) dimaksimumkan pada waktu θ = 0 dan diminimumkan pada waktu θ = Π.
2. Derivatif Berarah dan Gradien LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM Teorema B Suatu fungsi bertambah secara paling cepat di p pada arah gradien (dengan laju ) dan berkurang secara paling cepat pada arah berlawanan dengan laju.
2. Derivatif Berarah dan Gradien LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM Contoh 3: Misalkan seekor binatang kecil diketemukan pada parabolik hiperbol z = y 2 x 2 di titik (1,1,0), seperti pada di bawah. Pada arah mana ia sebaiknya bergerak untuk panjatan yang paling curam dan berapa kemiringan pada waktu ia memulai?
2. Derivatif Berarah dan Gradien LAJU PERUBAHAN MAKSIMUM Penyelesaian: Jadi binatang kecil itu seharusnya bergerak dari (1,1,0) pada arah -2i + 2j dengan kemiringan sebesar
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Kurva ketinggian dari permukaan z = f(x,y) adalah proyeksi ke bidang xy dari kurva-kurva perpotongan permukaan dengan bidang z = k yang sejajar bidang xy. Nilai fungsi di semua titik pada kurva ketinggian yang sama adalah konstan (Gambar di bawah).
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Nyatakan L, kurva ketinggian dari f(x,y) yang melalui titik pilihan sebarang P(x 0, y 0 ) di wilayah daerah asal f. Tetapkan vektor satuan u adalah tegak lurus terhadap L di P. Karena nilai f sama di semua titik pada kurva ketinggian L, derivatif berarahnya D u f(x 0,y 0 ), yang berupa laju perubahan f(x,y) pada arah u, adalah nol pada waktu u menyinggung L.
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Akibatnya, sehingga dan juga (sudut antara u dan ) harus berupa sudut siku-siku.
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Teorema C Gradien f di titik P adalah tegak lurus terhadap kurva ketinggian f yang melalui P.
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 4: Untuk paraboloid Tentukan persamaan kurva ketinggiannya yang melalui titik P (2,1) dan berikan sketsanya. Tentukan vektor gradien dari paraboloid di P dan gambar gradien dengan titik awalnya di P. Penyelesaian: Kurva ketinggian dari paraboloid yang berhubungan dengan bidang z = k, mempunyai persamaan
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 4 (lanjutan penyelesaian): Kurva ketinggian dari paraboloid yang berhubungan dengan bidang z = k, mempunyai persamaan Nilai k? Untuk mencari nilai k, kita substitusikan (2,1) untuk (x,y)
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 4 (lanjutan penyelesaian): Jadi, persamaan kurva ketinggian yang melalui titik P(2,1) adalah ellips
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 4 (lanjutan penyelesaian): Persamaan kurva ketinggian yang melalui titik P(2,1): Sketsa
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 4 (lanjutan penyelesaian): Vektor gradiennya?
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 4 (lanjutan penyelesaian): Sehingga gradien di P (2,1) adalah Kurva ketinggian dan gradien di P
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Konsep ketinggian dua peubah digeneralisasikan ke permukaan ketinggian untuk fungsi tiga peubah. Jika f suatu fungsi tiga peubah, permukaan f(x, y, z) = k dengan k konstanta k disebut permukaan ketinggian di f. Di semua titik pada suatu permukaan ketinggian: 1. Nilai fungsi adalah sama 2. Vektor gradien untuk f (x, y, z) di suatu titik P(x, y, z) dalam wilayahnya akan normal terhadap permukaan ketinggian dari f melalui P.
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Dalam masalah hantaran kalor dalam benda homogen dengan w = f(x, y, z) menyatakan suhu pada titik (x, y, z), permukaan ketinggian f(x, y, z) = k dinamakan permukaan isoterm. Permukaan isoterm: permukaan yang semua titik padanya memiliki suhu sama k. Pada tiap titik benda tersebut, kalor mengalir: 1. dalam arah yang berlawanan dengan gradiennya (yakni, dalam arah penurunan terbesar pada suhu) 2. tegak lurus terhadap permukaan isoterm melalui titik itu.
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Jika w = f(x, y, z) memberikan potensial elektrostatik (voltase) pada suatu titik sebarang dalam suatu medan potensial listrik, permukaan ketinggiannya dinamakan permukaan ekuipotensial. Semua titik pada suatu permukaan ekuipotensial memiliki potensial elektrostatik yang sama, dan arah arus listrik adalah searah dengan negatif gradiennya, yaitu dalam arah penurunan terbesar pada potensial.
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 5: Jika suhu pada sebarang titik dalam suatu benda homogen diberikan sebagai Kemana arah yang memberikan penurunan suhu terbesar di titik (1,-1,2)? Penyelesaian: Penurunan terbesar pada suhu di (1,-1,2) adalah dalam arah negatif gradien di titik tersebut.
2. Derivatif Berarah dan Gradien KURVA KETINGGIAN DAN PERMUKAAN Contoh 5 (lanjutan penyelesaian): di titik (1, -1, 2) adalah Jadi pada titik (1, -1, 2) adalah
3. Aturan Rantai Aturan rantai untuk fungsi-fungsi komposit satu peubah adalah Jika y = f (x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi yang terdiferensialkan, maka
3. Aturan Rantai VERSI PERTAMA Jika z = f(x,y), dengan x dan y adalah fungsi t, maka masuk akal menanyakan dz/dt. Teorema A (Aturan Rantai). Andaikan x = x(t) dan y = y(t) terdiferensialkan di t dan andaikan z = f(x,y) terdiferensialkan di (x(t), y(t)). Maka z = f(x(t), y(t)) terdiferensialkan di t dan
3. Aturan Rantai VERSI PERTAMA Bukti Kita tirukan bukti satu peubah dari Apendiks A.1 Teorema B (Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell & Dale Varberg). Untuk penyederhanaan cara penulisan, andaikan
3. Aturan Rantai VERSI PERTAMA Bukti (lanjutan) Maka, karena f dapat didiferensialkan, Dengan jika. Bila kita membagi kedua ruas dengan, kita peroleh
3. Aturan Rantai VERSI PERTAMA Bukti (lanjutan) Sekarang Dan yang belakang mendekati jika
VERSI PERTAMA Bukti (lanjutan) 3. Aturan Rantai Pada waktu, dan keduanya mendekati 0 (ingat bahwa x(t) dan y(t) kontinu, terdiferensialkan). Ini menyimpulkan.
VERSI PERTAMA Bukti (lanjutan) 3. Aturan Rantai Sebagai konsekuensi, pada waktu, kita peroleh Teorema A
VERSI PERTAMA 3. Aturan Rantai Contoh 1: Misalkan dengan dan. Tentukan. Penyelesaian:
VERSI PERTAMA 3. Aturan Rantai Contoh 2: Misalkan bahwa sebuah tabung lingkaran tegak pejal dipanasi, radiusnya bertambah pada laju 0,2 cm/jam dan tingginya bertambah pada laju 0,5 cm/jam. Tentukan laju pertambahan luas permukaan terhadap waktu pada saat radius sama dengan 10 cm dan tinggi sama dengan 100 cm. Penyelesaian: Rumus total luas permukaan sebuah tabung adalah Jadi,
VERSI PERTAMA Contoh 2 (lanjutan penyelesaian): 3. Aturan Rantai Pada r = 10 dan h = 100, cm 2 /jam Bagaimana Teorema A diaplikaiskan untuk fungsi tiga peubah?
VERSI PERTAMA 3. Aturan Rantai Contoh 3: Andaikan, dengan,, dan. Tentukan dan hitung nilainya di. Penyelesaian:
VERSI PERTAMA Contoh 3 (lanjutan penyelesaian): 3. Aturan Rantai Pada,
VERSI KEDUA 3. Aturan Rantai Teorema B (Aturan Rantai). Misalkan x = x(s,t) dan y = y(s,t) mempunyai derivatif pertama di (s,t) dan misalkan z = f(x,y) terdiferensialkan di (x(s,t), y(s,t)). Maka z = f(x(s,t), y(s,t)) mempunyai derivatif parsial pertama yang diberikan oleh (i) (ii)
VERSI KEDUA 3. Aturan Rantai Contoh 4: Jika z = 3x 2 y 2 dengan x = 2s + 7t dan y = 5st, Tentukan z/ t, dan ungkapkan ia dalam bentuk s dan t. Penyelesaian: Bagaimana pada fungsi tiga peubah?
VERSI KEDUA Contoh 5: Jika w = x 2 + y 2 + z 2 + xy, Tentukan w/ t. Penyelesaian: 3. Aturan Rantai dengan x = st y = s t z = s + 2t
FUNGSI IMPLISIT 3. Aturan Rantai Misalkan bahwa F(x,y) = 0 mendefinisikan secara implisit y sebagai suatu fungsi x, misalnya y = g(x), tetapi fungsi g sukar atau tidak mungkin ditentukan. Kita masih tetap dapat mencari dy/dx. Satu metode untuk melakukan ini, yakni penurunan implisit (dibahas di Pasal 3.8). (Buku Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edwin J.Purcell Dale Varberg) Metode lain dengan menggunakan Aturan Rantai.
FUNGSI IMPLISIT 3. Aturan Rantai Derivatif kedua ruas F(x,y) = 0 terhadap x dengan menggunakan Aturan Rantai, dijelaskan sebagai berikut: Dengan menyelesaikan dy/dx, dihasilkan rumus:
FUNGSI IMPLISIT 3. Aturan Rantai Contoh 6: Tentukan dy/dx jika x 3 + x 2 y 10y 4 = 0. Penyelesaian: Andaikan F(x,y) = x 3 + x 2 y -10y 4. Maka Bandingkan dengan Contoh 3 dari Pasal 3.8 Buku Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edwin J.Purcell Dale Varberg Aplikasi pada fungsi implisit 3 variabel?
FUNGSI IMPLISIT 3. Aturan Rantai Jika z suatu fungsi implisit dai x dan y yang didefinisikan oleh persamaan F(x, y, z) = 0, maka diferensial kedua ruas terhadap x dengan mempertahankan y tetap, menghasilkan Jika kita selesaikan untuk z/ x dan dengan mencatat bahwa y/ x = 0, maka kita peroleh rumus Perhitungan yang serupa dengan mempertahankan x tetap dan mendiferensialkan terhadap y, di dapat
3. Aturan Rantai FUNGSI IMPLISIT Contoh 7: Jika mendefinisikan z secara implisit sebagai suatu fungsi x dan y, tentukan z/ x. Penyelesain:
TERIMAKASIH