Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih
|
|
|
- Ade Tanuwidjaja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 11, 2011 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
2 Fungsi Dua/Lebih Peubah Fungsi Dua Peubah Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x,y) R 2 dengan sebuah bilangan z R. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
3 Fungsi Dua/Lebih Peubah Fungsi Dua Peubah Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x,y) R 2 dengan sebuah bilangan z R. Notasi: z=f(x,y). x dan y disebut peubah/variabel bebas. z disebut peubah/variabel tak bebas. Contoh: f(x,y)= y x 2 x 2 +(y 1) 2 f (x,y) z f : (x,y) z Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
4 Fungsi Dua/Lebih Peubah Fungsi Dua Peubah Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x,y) R 2 dengan sebuah bilangan z R. Notasi: z=f(x,y). x dan y disebut peubah/variabel bebas. z disebut peubah/variabel tak bebas. Contoh: f(x,y)= y x 2 x 2 +(y 1) 2 (x,y) f f : (x,y) Daerah definisi/domain dari fungsi f, dinotasikan D f, adalah kumpulan semua pasangan (x, y) sehingga f(x, y) terdefinisi/punya nilai. z z Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
5 Fungsi Dua/Lebih Peubah Fungsi Dua Peubah Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x,y) R 2 dengan sebuah bilangan z R. Notasi: z=f(x,y). x dan y disebut peubah/variabel bebas. z disebut peubah/variabel tak bebas. Contoh: f(x,y)= y x 2 x 2 +(y 1) 2 (x,y) f f : (x,y) Daerah definisi/domain dari fungsi f, dinotasikan D f, adalah kumpulan semua pasangan (x, y) sehingga f(x, y) terdefinisi/punya nilai. Daerah Nilai/Range dari fungsi f, R f ={z R z=f(x,y), (x,y) D f }. z z Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
6 Fungsi Dua/Lebih Peubah Fungsi Dua Peubah Fungsi real dengan dua peubah real adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x,y) R 2 dengan sebuah bilangan z R. Notasi: z=f(x,y). x dan y disebut peubah/variabel bebas. z disebut peubah/variabel tak bebas. Contoh: f(x,y)= y x 2 x 2 +(y 1) 2 (x,y) f f : (x,y) Daerah definisi/domain dari fungsi f, dinotasikan D f, adalah kumpulan semua pasangan (x, y) sehingga f(x, y) terdefinisi/punya nilai. Daerah Nilai/Range dari fungsi f, R f ={z R z=f(x,y), (x,y) D f }. z z Latihan: Tentukan daerah definisi dari contoh di atas lalu gambarkan. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
7 Grafik Fungsi Dua Peubah Grafik fungsi dua peubah z = f(x, y) merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping). z f ( x, y) Dari pembahasan gambar-gambar permukaan standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan. ( x, y) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
8 Grafik Fungsi Dua Peubah Grafik fungsi dua peubah z = f(x, y) merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping). z f ( x, y) Dari pembahasan gambar-gambar permukaan standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan. Contoh: Gambarkan grafik z= x 2 4y 2 ( x, y) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
9 Grafik Fungsi Dua Peubah Grafik fungsi dua peubah z = f(x, y) merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping). z f ( x, y) Dari pembahasan gambar-gambar permukaan standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan. Contoh: Gambarkan grafik z= x 2 4y 2 Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk 9x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 36 z 0 ( x, y) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
10 Grafik Fungsi Dua Peubah Grafik fungsi dua peubah z = f(x, y) merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping). z f ( x, y) Dari pembahasan gambar-gambar permukaan standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan. Contoh: Gambarkan grafik z= x 2 4y 2 Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk 9x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 36 z 0 ( x, y) Persaman terakhir adalah persamaan elipsoida. 0.5 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
11 Grafik Fungsi Dua Peubah Grafik fungsi dua peubah z = f(x, y) merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping). z f ( x, y) Dari pembahasan gambar-gambar permukaan standard di ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan fungsi dan mana yang bukan. Contoh: Gambarkan grafik z= x 2 4y 2 Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk 9x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 36 z 0 ( x, y) Persaman terakhir adalah persamaan elipsoida. 0.5 Secara umum menggambar fungsi dua peubah cukup sukar. Cara lain yang lebih mudah untuk menggambarkan fungsi dua peubah adalah dengan membuat kontur/kurva ketinggiannya. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
12 Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur Kurva Ketinggian /Peta Kontur z z=f(x,y) Diberikan sebuah permukaan z=f(x,y). WD2011 x y Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
13 Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur Kurva Ketinggian /Peta Kontur z z=f(x,y) Diberikan sebuah permukaan z=f(x,y). WD2011 z=k x y Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
14 Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur Kurva Ketinggian /Peta Kontur z z=f(x,y) Diberikan sebuah permukaan z=f(x,y). WD2011 z=k x y Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
15 Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur Kurva Ketinggian /Peta Kontur z z=f(x,y) Diberikan sebuah permukaan z=f(x,y). WD2011 z=k x kurva ketinggian f(x,y)=k y Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang. Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
16 Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur Kurva Ketinggian /Peta Kontur z z=f(x,y) WD2011 z=k x kurva ketinggian f(x,y)=k y Diberikan sebuah permukaan z=f(x,y). Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang. Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari z=f(x,y) dengan ketinggian k Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
17 Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur Kurva Ketinggian /Peta Kontur z z=f(x,y) WD2011 z=k x kurva ketinggian f(x,y)=k y Diberikan sebuah permukaan z=f(x,y). Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang. Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari z=f(x,y) dengan ketinggian k Kurva ketinggian dari sebuah fungsi dua peubah z=f(x,y) adalah kumpulan titik-titik pada bidang xoy yang mempunyai nilai fungsi / ketinggian sama. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
18 Fungsi Dua Peubah: Kurva Ketinggkian / Peta Kontur Kurva Ketinggian /Peta Kontur z z=f(x,y) WD2011 z=k x kurva ketinggian f(x,y)=k y Diberikan sebuah permukaan z=f(x,y). Iriskan permukaan tersebut dengan bidang z = k Hasil irisannya berupa sebuah kurva di ruang. Proyeksikan kurva tersebut pada bidang xoy Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari z=f(x,y) dengan ketinggian k Kurva ketinggian dari sebuah fungsi dua peubah z=f(x,y) adalah kumpulan titik-titik pada bidang xoy yang mempunyai nilai fungsi / ketinggian sama. Gambar beberapa kurva ketinggian dengan berbagai k disebut peta kontur. Contoh: Gambarkan peta kontur dari z= x 2 4y 2 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
19 Menggambar Peta Kontur Diskusi: Mungkinkah dua buah kontur dengan k berbeda, berpotongan? Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
20 Menggambar Peta Kontur Diskusi: Mungkinkah dua buah kontur dengan k berbeda, berpotongan? Mungkinkah dua buah kontur yang tidak berpotongan mempunyai nilai k yang sama? Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
21 Menggambar Peta Kontur Diskusi: Mungkinkah dua buah kontur dengan k berbeda, berpotongan? Mungkinkah dua buah kontur yang tidak berpotongan mempunyai nilai k yang sama? Latihan: Gambarkan peta kontur dari: (a) z=xy (b) z=y 2 x 2. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
22 Fungsi Tiga Peubah Fungsi Tiga Peubah Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f(x, y, z). Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
23 Fungsi Tiga Peubah Fungsi Tiga Peubah Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f(x, y, z). Contoh: (a) u=f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (b) v=g(x,y,z) = x+y 2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x,y,z)=z x 2 y 2. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
24 Fungsi Tiga Peubah Fungsi Tiga Peubah Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f(x, y, z). Contoh: (a) u=f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (b) v=g(x,y,z) = x+y 2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x,y,z)=z x 2 y 2. Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa? Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
25 Fungsi Tiga Peubah Fungsi Tiga Peubah Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f(x, y, z). Contoh: (a) u=f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (b) v=g(x,y,z) = x+y 2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x,y,z)=z x 2 y 2. Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa? Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f(x, y, z) = k. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
26 Fungsi Tiga Peubah Fungsi Tiga Peubah Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f(x, y, z). Contoh: (a) u=f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (b) v=g(x,y,z) = x+y 2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x,y,z)=z x 2 y 2. Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa? Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f(x, y, z) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x,y,z)=z x 2 y 2. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
27 Fungsi Tiga Peubah Fungsi Tiga Peubah Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f(x, y, z). Contoh: (a) u=f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (b) v=g(x,y,z) = x+y 2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x,y,z)=z x 2 y 2. Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa? Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f(x, y, z) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x,y,z)=z x 2 y 2. Persamaan kurva ketinggiannya: Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
28 Fungsi Tiga Peubah Fungsi Tiga Peubah Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f(x, y, z). Contoh: (a) u=f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (b) v=g(x,y,z) = x+y 2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x,y,z)=z x 2 y 2. Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa? Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f(x, y, z) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x,y,z)=z x 2 y 2. Persamaan kurva ketinggiannya: z x 2 y 2 = k Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
29 Fungsi Tiga Peubah Fungsi Tiga Peubah Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f(x, y, z). Contoh: (a) u=f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (b) v=g(x,y,z) = x+y 2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x,y,z)=z x 2 y 2. Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa? Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f(x, y, z) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x,y,z)=z x 2 y 2. Persamaan kurva ketinggiannya: z x 2 y 2 = k z=x 2 + y 2 + k Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
30 Fungsi Tiga Peubah Fungsi Tiga Peubah Fungsi real dengan tiga peubah adalah fungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, z) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = f(x, y, z). Contoh: (a) u=f(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 (b) v=g(x,y,z) = x+y 2 (c) Temperatur setiap titik dalam suatu ruang T(x,y,z)=z x 2 y 2. Grafik fungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa? Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan f(x, y, z) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x,y,z)=z x 2 y 2. Persamaan kurva ketinggiannya: z x 2 y 2 = k z=x 2 + y 2 + k Peta kontur berupa kumpulan paraboloida. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
31 Turunan Parsial Turunan Parsial Turunan parsial dari fungsi dua peubah bertujuan untuk menghitung gradien/tanjakan/laju perubahan ketinggian dari kurva yang merupakan perpotongan permukaan z = f(x, y) dengan bidang yang sejajar dengan bidang xoz atau bidang yoz. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
32 Turunan Parsial Turunan Parsial Turunan parsial dari fungsi dua peubah bertujuan untuk menghitung gradien/tanjakan/laju perubahan ketinggian dari kurva yang merupakan perpotongan permukaan z = f(x, y) dengan bidang yang sejajar dengan bidang xoz atau bidang yoz. Untuk itu dikenal ada dua macam turunan parsial, yaitu: a. Turunan parsial terhadap variabel x b. Turunan parsial terhadap variabel y Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
33 Turunan Parsial Turunan Parsial Turunan parsial dari fungsi dua peubah bertujuan untuk menghitung gradien/tanjakan/laju perubahan ketinggian dari kurva yang merupakan perpotongan permukaan z = f(x, y) dengan bidang yang sejajar dengan bidang xoz atau bidang yoz. Untuk itu dikenal ada dua macam turunan parsial, yaitu: a. Turunan parsial terhadap variabel x b. Turunan parsial terhadap variabel y Cara menentukan turunan parsial sebuah fungsi dua peubah sama saja dengan cara menentukan turunan fungsi satu peubah. Untuk jelasnya ikutilah contoh berikut ini. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
34 Turunan Parsial Turunan Parsial Turunan parsial dari fungsi dua peubah bertujuan untuk menghitung gradien/tanjakan/laju perubahan ketinggian dari kurva yang merupakan perpotongan permukaan z = f(x, y) dengan bidang yang sejajar dengan bidang xoz atau bidang yoz. Untuk itu dikenal ada dua macam turunan parsial, yaitu: a. Turunan parsial terhadap variabel x b. Turunan parsial terhadap variabel y Cara menentukan turunan parsial sebuah fungsi dua peubah sama saja dengan cara menentukan turunan fungsi satu peubah. Untuk jelasnya ikutilah contoh berikut ini. Contoh: Tentukan semua turunan parsial pertama dari f(x,y)=x 2 y 3 + e x2y. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
35 Turunan Parsial Kedua Turunan Parsial Kedua Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f(x, y) akan menghasilkan dua buah fungsi baru f x (x,y) dan f y (x,y). Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
36 Turunan Parsial Kedua Turunan Parsial Kedua Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f(x, y) akan menghasilkan dua buah fungsi baru f x (x,y) dan f y (x,y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
37 Turunan Parsial Kedua Turunan Parsial Kedua Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f(x, y) akan menghasilkan dua buah fungsi baru f x (x,y) dan f y (x,y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua. Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
38 Turunan Parsial Kedua Turunan Parsial Kedua Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f(x, y) akan menghasilkan dua buah fungsi baru f x (x,y) dan f y (x,y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua. Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua. f xx (x,y)= ( ) f x x = 2 f f (x,y)= lim x (x+ x,y) f x (x,y) x 2 x 0 x Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
39 Turunan Parsial Kedua Turunan Parsial Kedua Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f(x, y) akan menghasilkan dua buah fungsi baru f x (x,y) dan f y (x,y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua. Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua. f xx (x,y)= f xy (x,y)= ( ) f x x ( ) f x y = 2 f f (x,y)= lim x (x+ x,y) f x (x,y) x 2 x 0 x = 2 f f y x (x,y)= lim x (x,y+ y) f x (x,y) y 0 y Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
40 Turunan Parsial Kedua Turunan Parsial Kedua Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f(x, y) akan menghasilkan dua buah fungsi baru f x (x,y) dan f y (x,y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua. Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua. f xx (x,y)= f xy (x,y)= f yx (x,y)= ( ) f x x ( ) f x y ( ) f y x = 2 f f (x,y)= lim x (x+ x,y) f x (x,y) x 2 x 0 x = 2 f f y x (x,y)= lim x (x,y+ y) f x (x,y) y 0 y = 2 f f x y (x,y)= lim x (x+ x,y) f x (x,y) x 0 x Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
41 Turunan Parsial Kedua Turunan Parsial Kedua Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f(x, y) akan menghasilkan dua buah fungsi baru f x (x,y) dan f y (x,y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua. Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua. f xx (x,y)= f xy (x,y)= f yx (x,y)= f yy (x,y)= ( ) f x x ( ) f x y ( ) f y x ( ) f y y = 2 f f (x,y)= lim x (x+ x,y) f x (x,y) x 2 x 0 x = 2 f f y x (x,y)= lim x (x,y+ y) f x (x,y) y 0 y = 2 f f x y (x,y)= lim x (x+ x,y) f x (x,y) x 0 x = 2 f f (x,y)= lim y (y,y+ y) f y (x,y) y 2 y 0 y Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
42 Turunan Parsial Kedua Turunan Parsial Kedua Turunan parsial pertama dari fungsi dua peubah z = f(x, y) akan menghasilkan dua buah fungsi baru f x (x,y) dan f y (x,y). Bila kedua fungsi ini diturunkan lagi terhadap variabel x dan y, hasilnya disebut turunan parsial kedua. Berikut disajikan notasi dan definisi turunan parsial kedua. f xx (x,y)= f xy (x,y)= f yx (x,y)= f yy (x,y)= ( ) f x x ( ) f x y ( ) f y x ( ) f y y = 2 f f (x,y)= lim x (x+ x,y) f x (x,y) x 2 x 0 x = 2 f f y x (x,y)= lim x (x,y+ y) f x (x,y) y 0 y = 2 f f x y (x,y)= lim x (x+ x,y) f x (x,y) x 0 x = 2 f f (x,y)= lim y (y,y+ y) f y (x,y) y 2 y 0 y Latihan: Tentukan semua turunan parsial kedua dari f(x,y)= x 2 y 3 + e x2y. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
43 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1 Limit Fungsi 2 Peubah Misalkan z=f(x,y) fungsi dua peubah dan (a,b) R 2. Kita akan mengamati kecendrungan nilai f(x, y) bila(x, y) mendekati titik(a, b). Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
44 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1 Limit Fungsi 2 Peubah Misalkan z=f(x,y) fungsi dua peubah dan (a,b) R 2. Kita akan mengamati kecendrungan nilai f(x, y) bila(x, y) mendekati titik(a, b). Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)= x2 y 2 x 2 +y 2 berikut ini: Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
45 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1 Limit Fungsi 2 Peubah Misalkan z=f(x,y) fungsi dua peubah dan (a,b) R 2. Kita akan mengamati kecendrungan nilai f(x, y) bila(x, y) mendekati titik(a, b). Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)= x2 y 2 x 2 +y 2 berikut ini: x z y Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
46 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1 Limit Fungsi 2 Peubah Misalkan z=f(x,y) fungsi dua peubah dan (a,b) R 2. Kita akan mengamati kecendrungan nilai f(x, y) bila(x, y) mendekati titik(a, b). Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)= x2 y 2 x 2 +y 2 berikut ini: x z y y=x Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
47 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1 Limit Fungsi 2 Peubah Misalkan z=f(x,y) fungsi dua peubah dan (a,b) R 2. Kita akan mengamati kecendrungan nilai f(x, y) bila(x, y) mendekati titik(a, b). Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)= x2 y 2 x 2 +y 2 berikut ini: x z y y=x Perbesaran gambar 2, kali -1 0 y=x Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
48 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1 Limit Fungsi 2 Peubah Misalkan z=f(x,y) fungsi dua peubah dan (a,b) R 2. Kita akan mengamati kecendrungan nilai f(x, y) bila(x, y) mendekati titik(a, b). Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)= x2 y 2 x 2 +y 2 berikut ini: x z y Bila(x, y) (0, 0) sepanjang sumbu x, nilai f(x, y) -1 0 y=x Perbesaran gambar 2, kali -1 0 y=x Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
49 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1 Limit Fungsi 2 Peubah Misalkan z=f(x,y) fungsi dua peubah dan (a,b) R 2. Kita akan mengamati kecendrungan nilai f(x, y) bila(x, y) mendekati titik(a, b). Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)= x2 y 2 x 2 +y 2 berikut ini: x z y Bila(x,y) (0,0) sepanjang sumbu x, nilai f(x,y) y=x Perbesaran gambar 2, kali -1 0 y=x Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
50 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1 Limit Fungsi 2 Peubah Misalkan z=f(x,y) fungsi dua peubah dan (a,b) R 2. Kita akan mengamati kecendrungan nilai f(x, y) bila(x, y) mendekati titik(a, b). Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)= x2 y 2 x 2 +y 2 berikut ini: x z y Bila(x,y) (0,0) sepanjang sumbu x, nilai f(x,y) 1 Bila(x,y) (0,0) sepanjang sumbu y, f(x,y) -1 0 y=x Perbesaran gambar 2, kali -1 0 y=x Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
51 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1 Limit Fungsi 2 Peubah Misalkan z=f(x,y) fungsi dua peubah dan (a,b) R 2. Kita akan mengamati kecendrungan nilai f(x, y) bila(x, y) mendekati titik(a, b). Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)= x2 y 2 x 2 +y 2 berikut ini: x z y Bila(x,y) (0,0) sepanjang sumbu x, nilai f(x,y) 1 Bila(x,y) (0,0) sepanjang sumbu y, f(x,y) y=x Perbesaran gambar 2, kali -1 0 y=x Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
52 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 1 Limit Fungsi 2 Peubah Misalkan z=f(x,y) fungsi dua peubah dan (a,b) R 2. Kita akan mengamati kecendrungan nilai f(x, y) bila(x, y) mendekati titik(a, b). Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)= x2 y 2 x 2 +y 2 berikut ini: x z y Bila(x,y) (0,0) sepanjang sumbu x, nilai f(x,y) 1 Bila(x,y) (0,0) sepanjang sumbu y, f(x,y) 1 Bila(x,y) (0,0) sepanjang garis y=x, f(x,y) y=x Perbesaran gambar 2, kali -1 0 y=x Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
53 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 2 Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)=x 2 + y 2 berikut ini: Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
54 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 2 Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)=x 2 + y 2 berikut ini: Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
55 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 2 Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)=x 2 + y 2 berikut ini: Perhatikan peta kontur paling kanan. (bila kurang jelas, perbesarlah tampilannya) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
56 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 2 Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)=x 2 + y 2 berikut ini: Perhatikan peta kontur paling kanan. (bila kurang jelas, perbesarlah tampilannya) Kurva biru menunjukkan jalur-jalur yang semuanya menuju titik asal Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
57 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 2 Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)=x 2 + y 2 berikut ini: Perhatikan peta kontur paling kanan. (bila kurang jelas, perbesarlah tampilannya) Kurva biru menunjukkan jalur-jalur yang semuanya menuju titik asal. Pada tiap jalur, amatilah kecendrungan nilai f(x,y) bila(x,y) (0,0) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
58 Limit Fungsi Dua Peubah: Pendekatan Intuitif 2 Perhatikan grafik dan peta kontur dari f(x,y)=x 2 + y 2 berikut ini: Perhatikan peta kontur paling kanan. (bila kurang jelas, perbesarlah tampilannya) Kurva biru menunjukkan jalur-jalur yang semuanya menuju titik asal. Pada tiap jalur, amatilah kecendrungan nilai f(x,y) bila(x,y) (0,0). Apakah tiap jalur memberikan kecendrungan nilai f(x,y) yang sama? Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
59 Limit Fungsi Dua Peubah: Definisi Limit Fungsi Dua peubah Limit dari fungsi dua peubah f(x, y) untuk (x, y) mendekati (a, b) disebut L, ditulis f(x,y)= L artinya untuk setiap ε > 0, selalu dapat dicari δ > 0 lim (x,y) (a,b) sehingga 0< (x,y) (a,b) < δ f(x,y) L <ε. Catatan: (x,y) (a,b) = (x a) 2 +(y b) 2 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
60 Limit Fungsi Dua Peubah: Definisi Limit Fungsi Dua peubah Limit dari fungsi dua peubah f(x, y) untuk (x, y) mendekati (a, b) disebut L, ditulis f(x,y)= L artinya untuk setiap ε > 0, selalu dapat dicari δ > 0 lim (x,y) (a,b) sehingga 0< (x,y) (a,b) < δ f(x,y) L <ε. Catatan: (x,y) (a,b) = (x a) 2 +(y b) 2 Fungsi f tidak perlu terdefinisi pada titik (a, b). Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
61 Limit Fungsi Dua Peubah: Definisi Limit Fungsi Dua peubah Limit dari fungsi dua peubah f(x, y) untuk (x, y) mendekati (a, b) disebut L, ditulis f(x,y)= L artinya untuk setiap ε > 0, selalu dapat dicari δ > 0 lim (x,y) (a,b) sehingga 0< (x,y) (a,b) < δ f(x,y) L <ε. Catatan: (x,y) (a,b) = (x a) 2 +(y b) 2 Fungsi f tidak perlu terdefinisi pada titik (a, b). Nilai limit f(x, y) tidak boleh bergantung pada arah (x, y) mendekati (a, b). (Pada fungsi dua peubah tidak ada konsep limit kiri atau limit kanan). Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
62 Limit Fungsi Dua Peubah Soal-soal Latihan Limit Fungsi Dua Peubah x 1. Periksa lim 2 y 2 (x,y) (2,2) x y 3 x 2. Periksa lim 2 xy (x,y) (0,0) x 2 +y 2 3. Periksa lim 4. Periksa lim x 2 +y 2 (x,y) (0,0) x 4 y 4 xy (x,y) (0,0) (x 2 +y 2 ) 2 5. Periksa lim x 2 y (x,y) (0,0) x 4 +y 2 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
63 Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah z = f(x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila memenuhi f(x,y)= f(a,b) lim (x,y) (a,b) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
64 Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah z = f(x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila memenuhi f(x,y)= f(a,b) Sifat-sifat: lim (x,y) (a,b) Misalkan f(x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka f + g, f g, fg, dan f/g kontinu di(a,b). Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
65 Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah z = f(x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila memenuhi f(x,y)= f(a,b) Sifat-sifat: lim (x,y) (a,b) Misalkan f(x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka f + g, f g, fg, dan f/g kontinu di(a,b). Polinom dua peubah, p(x,y)=a+bx+cy+dx 2 + exy+fy 2 + kontinu dir 2 Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
66 Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah z = f(x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila memenuhi f(x,y)= f(a,b) Sifat-sifat: lim (x,y) (a,b) Misalkan f(x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka f + g, f g, fg, dan f/g kontinu di(a,b). Polinom dua peubah, p(x,y)=a+bx+cy+dx 2 + exy+fy 2 + kontinu dir 2 fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
67 Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah z = f(x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila memenuhi f(x,y)= f(a,b) Sifat-sifat: lim (x,y) (a,b) Misalkan f(x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka f + g, f g, fg, dan f/g kontinu di(a,b). Polinom dua peubah, p(x,y)=a+bx+cy+dx 2 + exy+fy 2 + kontinu dir 2 fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya. Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f(x) kontinu di g(a, b), maka(f g)(x,y)=f(g(x,y)) kontinu di (a,b). Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
68 Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah z = f(x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila memenuhi f(x,y)= f(a,b) Sifat-sifat: lim (x,y) (a,b) Misalkan f(x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka f + g, f g, fg, dan f/g kontinu di(a,b). Polinom dua peubah, p(x,y)=a+bx+cy+dx 2 + exy+fy 2 + kontinu dir 2 fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya. Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f(x) kontinu di g(a, b), maka(f g)(x,y)=f(g(x,y)) kontinu di (a,b). Contoh: Jelaskan kekontinuan fungsi f(x,y)=cos(x 3 4xy+y 2 ) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
69 Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah z = f(x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila memenuhi f(x,y)= f(a,b) Sifat-sifat: lim (x,y) (a,b) Misalkan f(x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka f + g, f g, fg, dan f/g kontinu di(a,b). Polinom dua peubah, p(x,y)=a+bx+cy+dx 2 + exy+fy 2 + kontinu dir 2 fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya. Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f(x) kontinu di g(a, b), maka(f g)(x,y)=f(g(x,y)) kontinu di (a,b). Contoh: Jelaskan kekontinuan fungsi f(x,y)=cos(x 3 4xy+y 2 ) Jawab: Nyatakan f(x,y)=(g h)(x,y) dengan h(x,y)=x 3 4xy+y 2 dan g(x)=cosx. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
70 Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Definisi: Fungsi dua peubah z = f(x, y) disebut kontinu di titik (a, b) bila memenuhi f(x,y)= f(a,b) Sifat-sifat: lim (x,y) (a,b) Misalkan f(x, y) dan g(x, y) kontinu di (a, b) maka f + g, f g, fg, dan f/g kontinu di(a,b). Polinom dua peubah, p(x,y)=a+bx+cy+dx 2 + exy+fy 2 + kontinu dir 2 fungsi rasional dua peubah kontinu di seluruh daerah definisinya. Fungsi komposisi. Misalkan g(x, y) kontinu di (a, b) dan f(x) kontinu di g(a, b), maka(f g)(x,y)=f(g(x,y)) kontinu di (a,b). Contoh: Jelaskan kekontinuan fungsi f(x,y)=cos(x 3 4xy+y 2 ) Jawab: Nyatakan f(x,y)=(g h)(x,y) dengan h(x,y)=x 3 4xy+y 2 dan g(x)=cosx. Fungsi h kontinu di sebarang titik(x,y) R 2, dan fungsi g kontinu diseluruhr, maka fungsi f kontinu di setiap titik padar 2. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
71 Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Kekontinuan Fungsi Dua Peubah di Himpunan Fungsi dua peubah z = f(x,y) disebut kontinu di S R 2 bila f kontinu pada setiap titik pada S. Bila S memiliki batas, maka proses limit hanya dilakukan sepanjang jalur yang berada dalam S saja. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
72 Kekontinuan Fungsi Dua Peubah Kekontinuan Fungsi Dua Peubah di Himpunan Fungsi dua peubah z = f(x,y) disebut kontinu di S R 2 bila f kontinu pada setiap titik pada S. Bila S memiliki batas, maka proses limit hanya dilakukan sepanjang jalur yang berada dalam S saja. Sifat: Misalkan f(x, y) fungsi dua peubah. Bila f xy dan f yx kontinu pada himpunan buka S, maka f xy = f yx. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
73 Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan Diferensial Fungsi Dua Peubah Pemahaman diferensial fungsi dua peubah memerlukan kajian teoritis yang agak mendalam. Untuk keperluan kuliah ini, pembahasan hanya akan dilakukan secara garis besarnya saja. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
74 Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan Diferensial Fungsi Dua Peubah Pemahaman diferensial fungsi dua peubah memerlukan kajian teoritis yang agak mendalam. Untuk keperluan kuliah ini, pembahasan hanya akan dilakukan secara garis besarnya saja. Definisi: Fungsi dua peubah z=f(x,y) dikatakan locally linear di P(a,b) bila f(a+h 1,b+h 2 )=f(p)+h 1 f x (P)+h 2 f y (P)+h 1 ε 1 (h 1,h 2 )+h 2 ε 2 (h 1,h 2 ) dengan ε 1 (h 1,h 2 ) 0 dan ε 2 (h 1,h 2 ) 0 bila (h 1,h 2 ) (0,0) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
75 Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan Diferensial Fungsi Dua Peubah Pemahaman diferensial fungsi dua peubah memerlukan kajian teoritis yang agak mendalam. Untuk keperluan kuliah ini, pembahasan hanya akan dilakukan secara garis besarnya saja. Definisi: Fungsi dua peubah z=f(x,y) dikatakan locally linear di P(a,b) bila f(a+h 1,b+h 2 )=f(p)+h 1 f x (P)+h 2 f y (P)+h 1 ε 1 (h 1,h 2 )+h 2 ε 2 (h 1,h 2 ) dengan ε 1 (h 1,h 2 ) 0 dan ε 2 (h 1,h 2 ) 0 bila (h 1,h 2 ) (0,0) Secara geometri, definisi di atas menggambarkan bahwa di sekitar titik P permukaan x = f(x, y) dapat kita hampiri dengan sebuah bidang datar. Berikut disajikan visualisasi dari konsep tersebut: Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
76 Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan Diferensial Fungsi Dua Peubah Pemahaman diferensial fungsi dua peubah memerlukan kajian teoritis yang agak mendalam. Untuk keperluan kuliah ini, pembahasan hanya akan dilakukan secara garis besarnya saja. Definisi: Fungsi dua peubah z=f(x,y) dikatakan locally linear di P(a,b) bila f(a+h 1,b+h 2 )=f(p)+h 1 f x (P)+h 2 f y (P)+h 1 ε 1 (h 1,h 2 )+h 2 ε 2 (h 1,h 2 ) dengan ε 1 (h 1,h 2 ) 0 dan ε 2 (h 1,h 2 ) 0 bila (h 1,h 2 ) (0,0) Secara geometri, definisi di atas menggambarkan bahwa di sekitar titik P permukaan x = f(x, y) dapat kita hampiri dengan sebuah bidang datar. Berikut disajikan visualisasi dari konsep tersebut: Fungsi z = f(x, y) disebut terdiferensialkan di titik P(a, b), bila fungsi tersebut bersifat Locally linear di P. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
77 Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai: f( P+ h)=f( P)+ f( P) h+ ε( h) h, dengan h=<h 1,h 2 >, ε =<ε 1,ε 2 >, dan f( P)=<f x ( P),f y ( P)> disebut gradien dari f di titik P. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
78 Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai: f( P+ h)=f( P)+ f( P) h+ ε( h) h, dengan h=<h 1,h 2 >, ε =<ε 1,ε 2 >, dan f( P)=<f x ( P),f y ( P)> disebut gradien dari f di titik P. Vektor gradien f(x,y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan fungsi satu peubah: [f( p)+g( p)]= f( p)+ g( p) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
79 Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai: f( P+ h)=f( P)+ f( P) h+ ε( h) h, dengan h=<h 1,h 2 >, ε =<ε 1,ε 2 >, dan f( P)=<f x ( P),f y ( P)> disebut gradien dari f di titik P. Vektor gradien f(x,y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan fungsi satu peubah: [f( p)+g( p)]= f( p)+ g( p) [αf( p)]=α f( p) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
80 Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai: f( P+ h)=f( P)+ f( P) h+ ε( h) h, dengan h=<h 1,h 2 >, ε =<ε 1,ε 2 >, dan f( P)=<f x ( P),f y ( P)> disebut gradien dari f di titik P. Vektor gradien f(x,y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan fungsi satu peubah: [f( p)+g( p)]= f( p)+ g( p) [αf( p)]=α f( p) [f( p) g( p)]= f( p) g( p)+f( p) g( p) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
81 Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai: f( P+ h)=f( P)+ f( P) h+ ε( h) h, dengan h=<h 1,h 2 >, ε =<ε 1,ε 2 >, dan f( P)=<f x ( P),f y ( P)> disebut gradien dari f di titik P. Vektor gradien f(x,y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan fungsi satu peubah: [f( p)+g( p)]= f( p)+ g( p) [αf( p)]=α f( p) [f( p) g( p)]= f( p) g( p)+f( p) g( p) Sifat: Bila f x (x,y) dan f y (x,y) kontinu di lingkungan sekitar(a,b) maka f(x, y) terdiferensialkan di(a, b). Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
82 Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai: f( P+ h)=f( P)+ f( P) h+ ε( h) h, dengan h=<h 1,h 2 >, ε =<ε 1,ε 2 >, dan f( P)=<f x ( P),f y ( P)> disebut gradien dari f di titik P. Vektor gradien f(x,y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan fungsi satu peubah: [f( p)+g( p)]= f( p)+ g( p) [αf( p)]=α f( p) [f( p) g( p)]= f( p) g( p)+f( p) g( p) Sifat: Bila f x (x,y) dan f y (x,y) kontinu di lingkungan sekitar(a,b) maka f(x, y) terdiferensialkan di(a, b). Contoh: Tunjukkan f(x,y)=xe y + x 2 y terdiferensialkan di mana-mana. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
83 Fungsi Dua/Lebih Peubah: Keterdiferensialan Dengan notasi vektor, fungsi yang terdiferensialkan di P dapat ditulis sebagai: f( P+ h)=f( P)+ f( P) h+ ε( h) h, dengan h=<h 1,h 2 >, ε =<ε 1,ε 2 >, dan f( P)=<f x ( P),f y ( P)> disebut gradien dari f di titik P. Vektor gradien f(x,y) mempunyai sifat-sifat seperti pada turunan fungsi satu peubah: [f( p)+g( p)]= f( p)+ g( p) [αf( p)]=α f( p) [f( p) g( p)]= f( p) g( p)+f( p) g( p) Sifat: Bila f x (x,y) dan f y (x,y) kontinu di lingkungan sekitar(a,b) maka f(x, y) terdiferensialkan di(a, b). Contoh: Tunjukkan f(x,y)=xe y + x 2 y terdiferensialkan di mana-mana. Sifat: Jika fungsi f(x,y) terdiferensial di P maka f(x,y) kontinu di P. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
84 Turunan Berarah Turunan Berarah Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
85 Turunan Berarah Turunan Berarah Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu. Animasi turunan berarah. Contoh pada masalah sehari-hari. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
86 Turunan Berarah Turunan Berarah Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu. Animasi turunan berarah. Contoh pada masalah sehari-hari. Perhatikan permukaan z=f(x,y) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
87 Turunan Berarah Turunan Berarah Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu. Animasi turunan berarah. Contoh pada masalah sehari-hari. Perhatikan permukaan z=f(x,y) P(a, b) titik pada daerah definisi f Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
88 Turunan Berarah Turunan Berarah Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu. Animasi turunan berarah. Contoh pada masalah sehari-hari. Perhatikan permukaan z=f(x,y) P(a, b) titik pada daerah definisi f u vektor satuan yang berpangkal di P Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
89 Turunan Berarah Turunan Berarah Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu. Animasi turunan berarah. Contoh pada masalah sehari-hari. Perhatikan permukaan z=f(x,y) P(a, b) titik pada daerah definisi f u vektor satuan yang berpangkal di P Iriskan permukaan tersebut dengan bidang tegak yang melalui P dan searah dengan u. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
90 Turunan Berarah Turunan Berarah Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu. Animasi turunan berarah. Contoh pada masalah sehari-hari. Perhatikan permukaan z=f(x,y) P(a, b) titik pada daerah definisi f u vektor satuan yang berpangkal di P Iriskan permukaan tersebut dengan bidang tegak yang melalui P dan searah dengan u. Hasilnya berupa sebuah kurva. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
91 Turunan Berarah Turunan Berarah Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu. Animasi turunan berarah. Contoh pada masalah sehari-hari. Perhatikan permukaan z=f(x,y) P(a, b) titik pada daerah definisi f u vektor satuan yang berpangkal di P Iriskan permukaan tersebut dengan bidang tegak yang melalui P dan searah dengan u. Hasilnya berupa sebuah kurva. Buat garis singgung di titik (a, b, f(a, b)). Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
92 Turunan Berarah Turunan Berarah Konsep turunan berarah bertujuan untuk mengetahui laju perubahan nilai fungsi dua peubah/lebih di suatu titik pada arah tertentu. Animasi turunan berarah. Contoh pada masalah sehari-hari. Perhatikan permukaan z=f(x,y) P(a, b) titik pada daerah definisi f u vektor satuan yang berpangkal di P Iriskan permukaan tersebut dengan bidang tegak yang melalui P dan searah dengan u. Hasilnya berupa sebuah kurva. Buat garis singgung di titik (a, b, f(a, b)). Akan dihitung gradien/tanjakan dari garis singgung tersebut. Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
93 Turunan Berarah Turunan berarah dari z = f(x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan u: f u (P)=D f( P+h u) f( P) u f(p)= lim h 0 h dengan P=<a,b> Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
94 Turunan Berarah Turunan berarah dari z = f(x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan u: f u (P)=D f( P+h u) f( P) u f(p)= lim h 0 h dengan P=<a,b> u= Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
95 Turunan Berarah Turunan berarah dari z = f(x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan u: f u (P)=D f( P+h u) f( P) u f(p)= lim h 0 h dengan P=<a,b> u= <0,1> f u (P)= Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
96 Turunan Berarah Turunan berarah dari z = f(x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan u: f u (P)=D f( P+h u) f( P) u f(p)= lim h 0 h dengan P=<a,b> u= <0,1> f f (P)= u x (P) Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
97 Turunan Berarah Turunan berarah dari z = f(x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan u: f u (P)=D f( P+h u) f( P) u f(p)= lim h 0 h dengan P=<a,b> u= <0,1> f f (P)= u x (P) u= Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
98 Turunan Berarah Turunan berarah dari z = f(x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan u: f u (P)=D f( P+h u) f( P) u f(p)= lim h 0 h dengan P=<a,b> u= <0,1> f f (P)= u x (P) u= <1,0> f u (P)= Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
99 Turunan Berarah Turunan berarah dari z = f(x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan u: f u (P)=D f( P+h u) f( P) u f(p)= lim h 0 h dengan P=<a,b> u= <0,1> f f (P)= u x (P) u= <1,0> f f (P)= u y (P) u= Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
100 Turunan Berarah Turunan berarah dari z = f(x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan u: f u (P)=D f( P+h u) f( P) u f(p)= lim h 0 h dengan P=<a,b> u= <0,1> f f (P)= u x (P) u= <1,0> f f (P)= u y (P) u= <u 1,u 2 > f u (P)= Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
101 Turunan Berarah Turunan berarah dari z = f(x, y) di titik P(a, b) pada arah vektor satuan u: f u (P)=D f( P+h u) f( P) u f(p)= lim h 0 h dengan P=<a,b> u= <0,1> f f (P)= u x (P) u= <1,0> f f (P)= u y (P) u= <u 1,u 2 > f u (P)= Teorema: Misalkan z = f(x, y) terdiferensial di sekitar titik P, dan u vektor arah satuan maka f u (P)= F(P) u Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
102 Soal-soal latihan: Turunan Berarah 1 Misalkan f(x,y)= 4x 2 xy+3y 2, tentukan D u f di titik (2, 1) (a.) pada arah a = 4, 3 (b.) pada arah menuju titik (5, 3). 2 Misalkan z=f(x,y), pada arah manakah D u f( p) maksimum? 3 Diberikan temperatur sebuah keping pada setiap titik (x, y) adalah T(x,y)= 4x 2 xy+3y 2. Seekor kutu berada di posisi (1,2). Pada arah manakah dia harus bergerak agar mengalami penurunan temperatur terbesar. 4 Alief sedang berada pada lereng gunung Bromo. Bila Dia bergerak ke utara, laju perubahan ketinggiannya adalah 0,7 meter/detik, sedangkan bila bergerak ke arah barat laju perubahan ketinggiannya 0,5 meter/detik. Tentukan laju perubahan ketinggian gunung bila dia bergerak ke arah timur laut. Petunjuk: gambarkan arah mata angin dengan arah timur dan utara masing-masing menggambarkan sumbu x positif dan y positif Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
103 Turunan Berarah vs Vektor Gradien Turunan Berarah vs Vektor Gradien: Perhatikan kurva ketinggian dengan level l dari fungsi z=f(x,y). l Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
104 Turunan Berarah vs Vektor Gradien Turunan Berarah vs Vektor Gradien: P Perhatikan kurva ketinggian dengan level l dari fungsi z=f(x,y). Titik P(a,b) berada pada kurva tersebut. l Kalkulus 2 / MA-ITB / W.D. / 2011 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 11, / 34
Open Source. Not For Commercial Use
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1 Limit dan Kekontinuan Misalkan z = f(, y) fungsi dua peubah dan (a, b) R 2. Seperti pada limit fungsi satu peubah, limit fungsi dua peubah bertujuan untuk mengamati
Permukaan Standard di Ruang
Permukaan Standard di Ruang Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB February 19, 011 Kalkulus / MA-ITB / W.D. / 011 (ITB) Permukaan Standard di Ruang February 19, 011 1 / 13 Permukaan di Ruang: Bidang
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 15 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
Kalkulus II. Diferensial dalam ruang berdimensi n
Kalkulus II Diferensial dalam ruang berdimensi n Minggu ke-9 DIFERENSIAL DALAM RUANG BERDIMENSI-n 1. Fungsi Dua Peubah atau Lebih 2. Diferensial Parsial 3. Limit dan Kekontinuan 1. Fungsi Dua Peubah atau
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia
KALKULUS BAB II FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA Universitas Indonesia BAB II. FUNGSI, LIMIT, DAN KEKONTINUAN Fungsi dan Operasi pada Fungsi Beberapa Fungsi Khusus Limit dan Limit
Pertemuan Minggu ke Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai
Pertemuan Minggu ke-10 1. Keterdiferensialan 2. Derivatif berarah dan gradien 3. Aturan rantai 1. Keterdiferensialan Pada fungsi satu peubah, keterdiferensialan f di x berarti keujudan derivatif f (x).
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
LIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Kalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah
Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom Fungsi Dua Peubah [MA114] Sistem Koordinat Kuadran II Kuadran I P(,) z P(,,z) Kuadran III Kuadran IV R (Bidang) Oktan 1 R 3 (Ruang) 7/6/007
Kuliah 3: TURUNAN. Indah Yanti
Kuliah 3: TURUNAN Indah Yanti Turunan Parsial DEFINISI Misalkan fungsi f: A R, dengan A R n adalah himpunan buka. Untuk setiap x = (x 1,..., x n ) A dan setiap j = 1,..., n limit f x j x 1,, x n f x 1,,
Nilai mutlak pada definisi tersebut di interpretasikan untuk mengukur jarak dua
II. LANDASAN TEORI 2.1 Limit Fungsi Definisi 2.1.1(Edwin J, 1987) Misalkan I interval terbuka pada R dan f: I R fungsi bernilai real. Secara matematis ditulis lim f(x) = l untuk suatu a I, yaitu nilai
1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih
] 1 Pada Bab 1 ini akan dibahas antara lain sebagai berikut. 1.1 Fungsi Dua Peubah Atau Lebih 1.2 Turunan Parsial Fungsi Dua Peubah atau Lebih Tema sentral dari bab ini adalah kalkulus dari fungsi peubah
Kalkulus Multivariabel I
Keterdiferensialan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Fungsi y = f (x) terdiferensialkan di titik x 0 jika f (x 0 + h) f (x 0 ) lim = f (x 0 ) h 0 ( h ) f (x0 + h) f (x 0 ) lim f (x 0 ) = 0 h
Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1
Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real Turunan Parsial dan Turunan Wono Setya Budhi KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB Variabel Banyak Bernilai Real 1 / 1 Turunan Parsial dan Turunan Usaha pertama untuk
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. November 19, 2007 Secara geometris, f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus
Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada,
Lecture 4. Limit B A. Continuity Definisi 4.1 Fungsi f dikatakan kontinu di titik a (continuous at a) jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi: (1) f(a) ada, (2) lim f(x) ada, (3) lim f(x) =
Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran. January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
Kalkulus Peubah Banyak Modul Pembelajaran January UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. A l f i a n i A t h m a P u t r i R
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange
Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange 1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 1, 2007 Diberikan sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5. Kalkulus Diferensial 5.1 Konsep Turunan Beberapa Definisi yang Setara Kekontinuan dan Keterdiferensialan secara Kontinu 5.2 Sifat-Sifat
MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II. ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd
MODUL PEMBELAJARAN KALKULUS II ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd IDENTITAS MAHASISWA NAMA : KLS/NIM :. KELOMPOK:. Daftar Isi Kata Pengantar Peta Konsep Materi. BAB I Analisis Vektor a. Vektor Pada Bidang.6
BAB I INTEGRAL TAK TENTU
BAB I INTEGRAL TAK TENTU TUJUAN PEMBELAJARAN: 1. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menentukan pengertian integral sebagai anti turunan. 2. Setelah mempelajari materi ini mahasiswa dapat menyelesaikan
= + atau = - 2. TURUNAN 2.1 Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi yang nilainya di setiap bilangan sebarang c di dalam D f diberikan oleh
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA-UPI BANDUNG HAND OUT TURUNAN DAN DIFERENSIASI OLEH: FIRDAUS-UPI 0716 1. GARIS SINGGUNG 1.1 Definisi Misalkan fungsi f kontinu di c. Garis singgung ( tangent line )
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana. Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ( + ) ( ) ( )=
Zulfaneti Yulia Haryono Rina F ebriana Berbasis Penemuan Terbimbing = = D(sec x)= sec x tan x, ()= (+) () Penyusun Zulfaneti Yulia Haryono Rina Febriana Nama NIm : : Untuk ilmu yang bermanfaat Untuk Harapan
Catatan Kuliah KALKULUS II BAB V. INTEGRAL
BAB V. INTEGRAL Anti-turunan dan Integral TakTentu Persamaan Diferensial Sederhana Notasi Sigma dan Luas Daerah di Bawah Kurva Integral Tentu Teorema Dasar Kalkulus Sifat-sifat Integral Tentu Lebih Lanjut
Catatan Kuliah MA1123 KALKULUS ELEMENTER I BAB III. TURUNAN
BAB III. TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Turunan dan Hubungannya dengan Kekontinuan Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
ANALISIS REAL. (Semester I Tahun ) Hendra Gunawan. October 10, Dosen FMIPA - ITB
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. October 10, 2011 Pemahaman yang baik tentang fungsi kontinu merupakan hal yang penting dalam analisis. Dalam optimisasi,
II. TINJAUAN PUSTAKA. Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada ( ) ( ) ( )
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Turunan Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah asalkan limit ini ada. Jika limit ini memang ada, maka dikatakan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017 Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1
TIM MATEMATIKA DASAR I
MATEMATIKA DASAR I DIKTAT KULIAH DISUSUN OLEH TIM MATEMATIKA DASAR I FAKULTAS SAIN DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS JAMBI 2013 KATA PENGANTAR Mata kuliah Matematika Dasar merupakan mata kuliah dasar yang diwajibkan
Linear Lokal = Mempunyai Turunan
oki neswan FMIPA-ITB Linear Lokal = Mempunyai Turunan De nisi turunan fungsi untuk dua peubah tampak sangat berbeda dari turunan untuk fungsi satu peubah De nition 1 Fungsi f : A! R; A R; dikatakan mempunyai
Matematika I: APLIKASI TURUNAN. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 70
Matematika I: APLIKASI TURUNAN Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 70 Outline 1 Maksimum dan Minimum Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 70 Outline
BAGIAN KEDUA. Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan
BAGIAN KEDUA Fungsi, Limit dan Kekontinuan, Turunan 51 52 Hendra Gunawan Pengantar Analisis Real 53 6. FUNGSI 6.1 Fungsi dan Grafiknya Konsep fungsi telah dipelajari oleh Gottfried Wilhelm von Leibniz
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA
10. TEOREMA NILAI RATA-RATA 10.1 Maksimum dan Minimum Lokal Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka (a, b) dan c (a, b). Kita katakan bahwa f mencapai nilai maksimum lokal di c apabila f(x)
SILABUS MATAKULIAH. Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September Indikator Pokok Bahasan/Materi Strategi Pembelajaran
SILABUS MATAKULIAH Revisi : 2 Tanggal Berlaku : September 2014 A. Identitas 1. Nama Matakuliah : A11. 54101 / Kalkulus I 2. Program Studi : Teknik Informatika-S1 3. Fakultas : Ilmu Komputer 4. Bobot sks
asimtot.wordpress.com BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Kalkulus Differensial dan Integral sangat luas penggunaannya dalam berbagai bidang seperti penentuan maksimum dan minimum. Suatu fungsi yang sering digunakan mahasiswa
Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I
DIKTAT KALKULUS MULTIVARIABEL I Oleh Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si (Program Studi Statistika) FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 214/215
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
KALKULUS MULTIVARIABEL II
KALKULUS MULTIVARIABEL II Integral Garis Medan Vektor dan (Minggu ke-8) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia 1 Integral Garis Medan Vektor 2 Terkait Lintasan Teorema Fundamental untuk
FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI
2 FUNGSI DAN LIMIT FUNGSI 2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Sebuah fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan setiap x anggota A dengan tepat satu y anggota B. A disebut
TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS
PREVIEW KALKULUS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Mahasiswa mampu: menyebutkan konsep-konsep utama dalam kalkulus dan contoh masalah-masalah yang memotivasi konsep tersebut; menjelaskan menyebutkan konsep-konsep
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS)
11. FUNGSI MONOTON (DAN FUNGSI KONVEKS) 11.1 Definisi dan Limit Fungsi Monoton Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila untuk setiap x, y H dengan x < y berlaku
Menggunakan Kurva Ketinggian Memahami Mengapa Fungsi Tidak Memiliki Limit di (0,0)
oki neswan FMIPA-ITB Menggunakan Kurva Ketinggian Memahami Mengapa Fungsi Tidak Memiliki Limit di (0,0) Contoh 1 Salah satu fungsi digunakan berbagai buku kalkulus sebagai contoh fungsi yang tidak mempunyai
BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN. Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia
BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Departemen Teknik Kimia Universitas Indonesia BAB IV. PENGGUNAAN TURUNAN Maksimum dan Minimum Kemonotonan dan Kecekungan Maksimum dan Minimum Lokal Masalah Maksimum dan Minimum
Hendra Gunawan. 13 September 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 13 September 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) sin t 1. Menggunakan fakta bahwa lim 1, t0 hitunglah: t 2 sin( 2 ) a. limsin t.cot 2t b. lim t 0 0
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO. Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan. Hadi Sutrisno/P.Matematika/STKIP PGRI Bangkalan
KALKULUS 1 HADI SUTRISNO 1 Pendidikan Matematika STKIP PGRI Bangkalan BAB I PENDAHULUAN A. Sistem Bilangan Real Untuk mempelajari kalkulus kita terlebih dahulu perlu memahami bahasan tentang sistem bilangan
Bagian 2 Matriks dan Determinan
Bagian Matriks dan Determinan Materi mengenai fungsi, limit, dan kontinuitas akan kita pelajari dalam Bagian Fungsi dan Limit. Pada bagian Fungsi akan mempelajari tentang jenis-jenis fungsi dalam matematika
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
FUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
FUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)
FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan dari f (derivative of f).
Lecture 5. Derivatives C A. Turunan (derivatives) Sebagai Fungsi Definisi. Turunan (derivative) suatu fungsi f di sebarang titik x adalah f ()() (x) = lim. f merupakan fungsi baru yang disebut turunan
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS
BEBERAPA FUNGSI KHUSUS ). Fungsi Konstan ). Fungsi Identitas 3). Fungsi Modulus 4). Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Fungsi genap jika f(x) = f(x), dan Fungsi ganjil jika f(x) = f(x) 5). Fungsi Tangga dan
Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada
5 TURUNAN JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan menggunakan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi : 5.1 Pendahuluan Ide awal adanya
SATUAN ACARA PERKULIAHAN
SATUAN ACARA PERKULIAHAN 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/KODE/SEMESTER : Kalkulus I 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS : S1/3 SKS 5. LOMPOK MATA KULIAH : MPK / MPB / MKK/ MKB/ MBB
Hendra Gunawan. 11 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan emester II, 2013/2014 11 April 2014 Kuliah ang Lalu 12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limitdan Kekontinuan 12.4 Turunan fungsi dua peubah
Fungsi Analitik (Bagian Kedua)
Fungsi Analitik (Bagian Kedua) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 5528, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu V) Outline Limit Menuju Tak Hingga 2 Fungsi Kontinu
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
DASAR-DASAR ANALISIS MATEMATIKA
(Bekal untuk Para Sarjana dan Magister Matematika) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. December 11, 2007 Misalkan f terdefinisi pada suatu himpunan H. Kita katakan bahwa f naik pada H apabila
4 DIFERENSIAL. 4.1 Pengertian derivatif
Diferensial merupakan topik yang cukup 'baru' dalam matematika. Dimulai sekitar tahun 1630 an oleh Fermat ketika menghadapi masalah menentukan garis singgung kurva, dan juga masalah menentukan maksimum
KALKULUS MULTIVARIABEL II
Pada Bidang Bentuk Vektor dari KALKULUS MULTIVARIABEL II (Minggu ke-9) Andradi Jurusan Matematika FMIPA UGM Yogyakarta, Indonesia Pada Bidang Bentuk Vektor dari 1 Definisi Daerah Sederhana x 2 Pada Bidang
MA1101 MATEMATIKA 1A Kurikulum Institut Teknologi Bandung
MA1101 MATEMATIKA 1A Kurikulum 2013-2018 Institut Teknologi Bandung Buku Teks : CALCULUS, Varberg, Purcell, Rigdon, 9 th ed. Copyright 2013 - WD - Prodi Matematika FMIPA ITB - Slide 0-1 Untuk dipakai di
RENCANA PROGRAM KEGIATAN PERKULIAHAN SEMESTER (RPKPS)
RENCANA PROGRAM KEGIATAN PERKULIAHAN SEMESTER (RPKPS) Kode / Nama Mata Kuliah : A11.54101/ Kalkulus 1 Revisi 2 Satuan Kredit Semester : 4 SKS Tgl revisi : Agustus 2014 Jml Jam kuliah dalam seminggu : 4
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM
TURUNAN, EKSTRIM, BELOK, MINIMUM DAN MAKSIMUM Fungsi f dikatakan mencapai maksimum mutlak di c jika f c f x untuk setiap x I. Di sini f c dinamakan nilai maksimum mutlak. Dan c, f c dinamakan titik maksimum
MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Bab 7 Limit dan Kekontinuan 2 Isaac Newton (1643-1727) Isaac Newton adalah seorang fisikawan & matematikawan Inggris yang
Nilai Ekstrim. (Extreme Values)
TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Pendahuluan Jika terdapat suatu hasil pengukuran seperti pada Gambar 1, dimana pengukuran
TKS 4003 Matematika II. Nilai Ekstrim. (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4003 Matematika II Nilai Ekstrim (Extreme Values) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Fungsi Dua Peubah Bila untuk setiap pasangan (x,y) dari harga harga dua peubah bebas
SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM KOMPETENSI GANDA DEPAG S1 KEDUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
SATUAN ACARA PERKULIAHAN PROGRAM GANDA DEPAG S1 DUA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA 1. PROGRAM STUDI : Pendidikan Matematika 2. MATA KULIAH/SEMESTER : Kalkulus/2 3. PRASYARAT : -- 4. JENJANG / SKS
BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR)
BAB II TEOREMA NILAI RATA-RATA (TNR) Teorema nilai rata-rata menghubungkan nilai suatu fungsi dengan nilai derivatifnya (turunannya), dimana TNR merupakan salah satu bagian penting dalam kuliah analisis
Mata Pelajaran Wajib. Disusun Oleh: Ngapiningsih
Mata Pelajaran Wajib Disusun Oleh: Ngapiningsih Disklaimer Daftar isi Disklaimer Powerpoint pembelajaran ini dibuat sebagai alternatif guna membantu Bapak/Ibu Guru melaksanakan pembelajaran. Materi powerpoint
Fungsi dan Limit Fungsi 23. Contoh 5. lim. Buktikan, jika c > 0, maka
Contoh 5 Buktikan jika c > 0 maka c c Analisis Pendahuluan Akan dicari bilangan δ > 0 sedemikian sehingga apabila c < ε untuk setiap ε > 0. 0 < c < δ berlaku Perhatikan: c ( c)( c) c c c c c c c Dapat
SILABUS PENGALAMAN BELAJAR ALOKASI WAKTU
SILABUS Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Ungguan BPPT Darus Sholah Jember kelas : XII IPA Semester : Ganjil Jumlah Pertemuan : 44 x 35 menit (22 pertemuan) STANDAR 1. Menggunakan konsep
MA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Hendra Gunawan. 2 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 2 Oktober 2013 Apa yang Telah Dipelajari pada Bab 2 2.1 Dua Masalah Satu Tema 2.2 Turunan 2.3 Aturan Turunan 2.4 Turunan Fungsi Trigonometri 2.5Aturan
II. TINJUAN PUSTAKA. lim f(x) = L berarti bahwa bilamana x dekat tetapi sebelah kiri c 0 maka f(x)
II. TINJUAN PUSTAKA 2.1. Limit Definisi lim f(x) = L, dan mengatakan limit f (x) ketika x mendekati a sama dengan L, jika dapat dibuat nilai f (x) sebarang yang dekat dengan L dengan cara mengambil nilai
Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian
Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam
(b) M merupakan nilai minimum (mutlak) f apabila M f(x) x I..
3. Aplikasi Turunan a. Nilai ekstrim Bagian ini dimulai dengan pengertian nilai ekstrim suatu fungsi yang mencakup nilai ekstrim maksimum dan nilai ekstrim minimum. Definisi 3. Diberikan fungsi f: I R,
Silabus. 1 Sistem Bilangan Real. 2 Fungsi Real. 3 Limit dan Kekontinuan. Kalkulus 1. Arrival Rince Putri. Sistem Bilangan Real.
Silabus 1 2 3 Referensi E. J. Purcell, D. Varberg, and S. E. Rigdon, Kalkulus, Jilid 1 Edisi Kedelapan, Erlangga, 2003. Penilaian 1 Ujian Tengah Semester (UTS) : 30 2 Ujian Akhir Semester (UAS) : 20 3
Bab 2 Fungsi Analitik
Bab 2 Fungsi Analitik Bab 2 ini direncanakan akan disampaikan dalam 4 kali pertemuan, dengan perincian sebagai berikut: () Pertemuan I: Fungsi Kompleks dan Pemetaan. (2) Pertemuan II: Limit Fungsi, Kekontiuan,
Matematika I: Turunan. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 61
Matematika I: Turunan Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 61 Outline 1 Garis Singgung Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 2 / 61 Outline 1 Garis Singgung
BAB I DERIVATIF (TURUNAN)
BAB I DERIVATIF (TURUNAN) Pada bab ini akan dipaparkan pengertian derivatif suatu fungsi, beberapa sifat aljabar derivatif, aturan rantai, dan derifativ fungsi invers. A. Pengertian Derivatif Pengertian
f (a) = laju perubahan y = f(x) pada x = a = turunan pertama y=f(x) pada x = a
LEMBAR AKTIVITAS SISWA DIFFERENSIAL (TURUNAN) Nama Siswa : y f(a h) f(a) x (a h) a Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.21 Memahami konsep turunan dengan menggunakan konteks matematik atau konteks
Ayundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga
Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang
BAB II DASAR TEORI. Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada
BAB II DASAR TEORI Di dalam BAB II ini akan dibahas materi yang menjadi dasar teori pada pembahasan BAB III, mulai dari definisi sampai sifat-sifat yang merupakan konsep dasar untuk mempelajari Fungsi
MODUL MATEMATIKA. Turunan UNIVERSITAS NEGERI MANADO
MODUL MATEMATIKA Turunan UNIVERSITAS NEGERI MANADO FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA 2008 1 KATA PENGANTAR Modul pembelajaran ini di rancang untuk membimbing peserta didik
INTISARI KALKULUS 2. Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Open Source. Not For Commercial Use
INTISARI KALKULUS 2 Penyusun: Drs. Warsoma Djohan M.Si. Program Studi Matematika - FMIPA Institut Teknologi Bandung Januari 200 Pengantar Kalkulus & 2 merupakan matakuliah wajib tingkat pertama bagi semua
Matematika I : Limit. Dadang Amir Hamzah. Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I / 79
Matematika I : Limit Dadang Amir Hamzah 2015 Dadang Amir Hamzah Matematika I Semester I 2015 1 / 79 Outline 1 limit Introduction to Limit Rigorous Study of Limits Limit Theorem Limit Involving Trigonometric
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Purcell, hal atau lebih:
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : KALKULUS III (3 SKS) KODE: MT315 Mg Ke- Pokok & Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum (TIU) Tujuan Instruksional Khusus (TIK) Materi & Pendekatan Media Tes
TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi
TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain