MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

Transkripsi

1 MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan

2 5. Kalkulus Diferensial 5.1 Konsep Turunan Beberapa Definisi yang Setara Kekontinuan dan Keterdiferensialan secara Kontinu 5.2 Sifat-Sifat Turunan Sifat Lokal Teorema Nilai Antara dan Teorema Nilai Rata-rata Sifat Global 5.3 Kalkulus Turunan 5.4 Turunan Tingkat Tinggi dan Teorema Taylor (c) Hendra Gunawan (2015) 2

3 5.1 Konsep Turunan Dua Tujuan: Memahami fondasi kalkulus diferensial. Mendalami beberapa konsep dalam satu peubah (untuk memahami perumumannya dalam banyak peubah kelak). (c) Hendra Gunawan (2015) 3

4 Kecepatan Sesaat Misalkan sebuah partikel bergerak sepanjang garis lurus menurut persamaan x = x(t), dengan x(t) menyatakan posisi benda tersebut pd saat t. Kecepatan rata-rata-nya dari t = a s/d t = b adalah v[a,b] = [x(b) x(a)]/(b a). Kecepatan sesaat pada t = a adalah x( b) x( a) v( a) = lim. b a b a 10/30/2015 (c) Hendra Gunawan 4 Dicuplik dari MA1101

5 y Gradien Garis Singgung Misalkan kita mempunyai fungsi y = f(x) yang grafiknya cukup mulus, khususnya di sekitar x = a, sehingga mempunyai garis singgung di titik P(a,f(a)) --- lihat gambar. P a Q b x Gradien garis yg melalui titik P(a,f(a)) dan Q(b,f(b)) adalah m = [f(b) f(a)] (b a). Gradien garis singgung pada grafik y = f(x) di P(a,f(a)) adalah f ( b) f ( a) ma = lim. b a b a 10/30/2015 (c) Hendra Gunawan 5 Dicuplik dari MA1101

6 Turunan Def.: Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada suatu lingkungan dari x 0. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan di x 0 dengan turunan sama dengan bilangan f (x 0 ) apabila f( x) f( x0 ) lim = f '( x0 ), x x0 x x0 yakni, untuk setiap m terdapat n sedemikian shg untuk x x 0 dengan x x 0 < 1/n berlaku f( x) f( x0 ) 1 f '( x0 ). x x m 0 (c) Hendra Gunawan (2015) 6

7 Turunan sebagai Hampiran Linear Kalikan kedua ruas ketaksamaan terakhir dengan x x 0, kita peroleh 1 f( x) f( x0) f '( x0)( x x0) x x0, m untuk x x 0 < 1/n. Di sini kita mengamati selisih antara f(x) dan g(x) := f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) menuju 0 lebih cepat daripada x x 0. Dapat dibuktikan bahwa fungsi g(x) merupakan hampiran linear terbaik yg melalui (x 0, f(x 0 )). (c) Hendra Gunawan (2015) 7

8 Orde O besar dan o kecil Def. Misalkan f dan g fungsi yang terdefinisi di sekitar x 0. Kita tuliskan f(x) = O(g(x)) untuk x x 0 apabila terdapat n dan konstanta c sedemikian shg f(x) c g(x) untuk x x 0 < 1/n. Kita tuliskan f(x) = o(g(x)) untuk x x 0 apabila untuk setiap m terdapat n sedemikian shg f(x) < g(x) /m untuk x x 0 < 1/n. Perhatikan bhw o(g(x)) lebih kuat daripada O(g(x)). (c) Hendra Gunawan (2015) 8

9 Hampiran Linear Terbaik di Sekitar x 0 Jika f mempunyai turunan di x 0 dan g(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ), maka f(x) g(x) = o( x x 0 ). (c) Hendra Gunawan (2015) 9

10 Kekontinuan dan Keterdiferensialan (1) Proposisi. Jika f mempunyai turunan di x 0, maka f kontinu di x 0. Bukti. Untuk x di sekitar x 0, kita mempunyai f(x) f(x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) + x x 0 = (1 + f (x 0 ) ) x x 0, sehingga f(x) f(x 0 ) untuk x x 0. [QED] Catatan. Ketaksamaan di atas merupakan kondisi Lipschitz lokal. Jika f (x) terbatas pada suatu interval, maka f memenuhi kondisi Lipschitz pada interval tsb, sehingga f kontinu seragam pada interval tsb. (c) Hendra Gunawan (2015) 10

11 Kekontinuan dan Keterdiferensialan (2) Fungsi yang kontinu belum tentu mempunyai turunan. Sebagai contoh, f(x) = x kontinu di 0 (bahkan memenuhi kondisi Lipschitz), tetapi f tidak mempunyai turunan di 0. (c) Hendra Gunawan (2015) 11

12 Kekontinuan Turunan Jika f mempunyai turunan pada suatu interval, apakah turunannya kontinu pada interval tsb? Jawaban: Belum tentu. [Fungsi yang turunannya kontinu disebut fungsi kelas C 1.] Sebagai contoh, 2 1 x sin 2, x 0, x f( x) = 0, x = 0. mempunyai turunan di setiap titik, termasuk di 0, tetapi turunannya tidak kontinu di 0. Fungsi ini bukan fungsi C 1. (c) Hendra Gunawan (2015) 12

13 Grafik Fungsi yang Terdiferensialkan Grafik fungsi kontinu pada suatu interval konon dapat digambar tanpa mengangkat ujung pena. Selanjutnya, fungsi yang terdiferensialkan konon mempunyai grafik yang mulus (tidak patah). Bagaimana dengan fungsi f pada halaman sebelumnya? Ia kontinu pada [-1,1], tetapi cobalah gambar grafiknya! Selanjutnya, tengok g(x) = x 1/3. Ia mempunyai grafik yang mulus pada [-1,1], tetapi tidak mempunyai turunan di 0. (c) Hendra Gunawan (2015) 13

14 Latihan 1. Buktikan jika f(x) = O( x- x 0 2 ) untuk x x 0, maka f(x) = o( x x 0 ) untuk x x Untuk bilangan asli m dan n berapakah fungsi m 1 x sin n, x 0, x f( x) = 0, x = 0. mempunyai turunan yang kontinu di setiap titik x 0 ϵ R? 3. Berikan sebuah contoh fungsi yang hanya mempunyai turunan di satu titik. (c) Hendra Gunawan (2015) 14