Teorema Divergensi, Teorema Stokes, dan Teorema Green

Transkripsi

1 TEOREMA DIVERGENSI, STOKES, DAN GREEN Materi pokok pertemuan ke 13: 1. Teorema divergensi Gauss URAIAN MATERI Untuk memudahkan perhitungan seringkali dibutuhkan penyederhanaan bentuk integral yang berdasarkan pada teorema tertentu. Ada tiga teorema fundamental berkaitan dengan operasi diferensial dan integral yang telah dijelaskan sebelumnya, yaitu: Teorema Gauss, Teorema Stokes, dan Teorema Green Teorema Gauss Pada modul 5, telah dijelaskan bahwa untuk menghitung volume air yang mengalir melewati pipa dapat menggunakan rumus integral permukaan. Namun, ada perhitungan yang lebih mudah untuk menghitung volume air tersebut, yaitu dengan menggunakan teorema Gauss. Sudah dijelaskan sebelumnya pada modul integral permukaan, bahwa volume total per detik dari fluida yang keluar dari permukaan tertutup S adalah Pada modul divergensi, merupakan volume per detik dari fluida yang keluar dari sebuah elemen volume. Oleh karena itu, maka volume total per detik dari fluida yang keluar dari semua elemen volume dalam permukaan tertutup S adalah Jadi, 142

2 Berikut definisi dari Teorema Gauss. Definisi Teorema Gauss Jika V adalah volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup S dan sebuah fungsi vektor dengan turunan-turunan yang kontinu, maka Dari rumus tersebut, integral permukaan dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah permukaan tertutup sama dengan integral dari divergensi dalam volume yang diselubungi oleh permukaan di atas. Jadi, dalam mencari integral permukaan dapat juga digunakan Teorema Gauss. CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1 Hitunglah di mana dan S adalah permukaan kubus yang dibatasi oleh Menurut teorema divergensi Maka, 143

3 Jadi Contoh 2 Hitunglah di mana S adalah suatu permukaan tertutup Menurut teorema divergensi, di mana V adalah volume benda yang dibatasi S. 144

4 LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1 Hitung untuk pada daerah yang dibatasi oleh Gambar daerah yang dimaksud adalah seperti di bawah ini Menurut teorema divergensi Maka 145

5 Latihan 2 Jika S adalah permukaan tertutup sebarang yang menutupi sebuah volume V dan, maka buktikan bahwa. Menurut teorema divergensi Maka, LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Hitunglah di mana F i j dan S adalah 146

6 (a) permukaan balok yang dibatasi oleh (b) permukaan daerah yang dibatasi oleh Latihan 2 Hitung di mana F i j dalam daerah pejal S yang dibatasi oleh tabung parabol. dan bidang-bidang 147

7 Latihan 3 Buktikanlah bahwa untuk suatu permukaan tertutup S. 148

8 Latihan 4 Buktikan 149

9 Latihan 5 Hitung melalui seluruh permukaan S dari daerah yang dibatasi oleh silinder, jika 150

10 Kunci Jawaban Latihan 1 : (a) 30, (b) 351/2 Latihan 2 : 4/3 Latihan 5 : 18 Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah 151

11 Materi pokok pertemuan ke 14: 2. Teorema Stokes URAIAN MATERI Teorema Stokes Coba Anda perhatikan gambar di samping! Apa yang Anda lihat? Pada gambar tampak seorang ibu dan bapak sedang mendorong mobil. Jika mobil yang mereka dorong tersebut bergerak, berarti mereka telah melakukan usaha. Sebelumnya, kita telah mempelajari bahwa untuk menghitung besar usaha dapat kita gunakan perkalian titik atau integral garis tergantung pada bentuk lintasan. Namun ada kalanya kita kesulitan untuk menghitung besar usaha, misalnya pada bidang dimensi-3. Perhitungan untuk mencari besar usaha akan lebih mudah dengan menggunakan teorema Stokes. Berikut definisi Teorema Stokes Teorema Stokes Misalkan S adalah permukaan berarah dalam ruang dengan batas-batasnya adalah kurva C yang tertutup, dan misalkan adalah fungsi vektor kontinu yang mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam domain yang memuat S, maka Dari rumus di atas dapat disimpulkan, integral garis dari sebuah vektor yang mengelilingi sebuah kurva tertutup sederhana C sama dengan integral permukaan dari curl melalui sebarang permukaan S dengan C sebagai batasnya. 152

12 CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1 Hitunglah diketahui permukaan bola dengan menggunakan teorema Stokes jika, dimana S adalah separuh dari bagian atas dan C batasnya. Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan dan persamaan parameternya adalah dimana. Berdasarkan teorema Stokes. Maka berdasarkan teorema Stokes 153

13 Jadi,. Contoh 2 Buktikan Misalkan Maka dalam teorema Stokes, di mana C sebuah vektor konstan. Karena vektor C vektor konstan sebarang maka LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1 Gunakan teorema Stokes untuk menghitung, dimana S adalah permukaan paraboloida yang dibatasi oleh dan C sebagai batasnya dengan 154

14 Batas C dari S adalah suatu lingkaran dengan persamaan dan persamaan parameternya adalah dimana Maka,. Berdasarkan teorema Stokes. Latihan 2 Hitunglah di mana dan C adalah perpotongan bidang dengan silinder Integral garis pada soal ini akan mudah dipecahkan dengan menggunakan teorema Stokes, yaitu. 155

15 Misalkan S adalah permukaan yang dibatasi oleh kurva C tersebut, maka permukaan S terlihat pada gambar berikut yaitu suatu permukaan dengan persamaan dan dibatasi oleh silinder Vektor satuan normal n pada permukaan S adalah 156

16 Jadi... Latihan 3 Gunakan Teorema Stokes untuk menghitung dengan danc berupa kurva segitiga pada gambar berikut z (0,0,2) C (0,1,0) y (1,0,0) x Misalkan S berupa kurva dengan C sebagai batas terarahnya, yaitu. Vektor satuan normal n pada permukaan S adalah 157

17 Jadi LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Misalkan S bagian dari permukaan bola di bawah bidang, dan misalkan. Gunakan teorema Stokes untuk menghitung 158

18 Latihan 2 Periksa kebenaran Teorema Stokes untuk jika S adalah paraboloid dengan lingkaran sebagai batasnya. 159

19 Latihan 3 Periksa kebenaran teorema Stokes untuk di mana S adalah permukaan kubus bidang di atas 160

20 Latihan 4 Periksalah kebenaran teorema Stokes untuk adalah permukaan daerah yang dibatasi oleh yang termasuk dalam bidang. di mana S 161

21 162

22 Kunci Jawaban Latihan 1: - Latihan 2 : Latihan 3 : - 4 Latihan 4 : 32/3 Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah 163

23 Materi pokok pertemuan ke 15: 3. Teorema Green URAIAN MATERI TEOREMA GREEN Pada materi sebelumnya, kita telah mengenal teorema Stokes. Teorema Stokes berlaku untuk permukaan-permukaan S dalam ruang yang memiliki kurva C sebagai batasnya. Sedangkan, teorema Green berlaku pada daerah tertutup dalam bidang xy yang dibatasi oleh kurva tertutup C. Istilahnya, teorema Green dalam bidang adalah hal khusus dari teorema Stokes. Jadi, tambah satu cara lagi untuk mencari besar usaha. Yaitu, dengan menggunakan teorema Green dalam bidang. Nah, berikut definisi Teorema Green. Definisi Teorema Green Jika R adalah suatu daerah tertutup dalam bidang yang dibatasi oleh sebuah kurva tertutup sederhana C, M dan N adalah fungsi-fungsi kontinu dari dan yang memiliki turunan-turunan kontinu dalam R, maka Jika menyatakan medan gaya yang bekerja pada sebuah partikel dimana, maka adalah usaha yang dilakukan dalam menggerakkan partikel tersebut mengelilingi suatu lintasan tertutup C. Yaitu Dengan menggunakan teorema Green, maka usaha yang dilakukan adalah 164

24 Jadi, selain perhitungan dengan menggunakan integral garis, menentukan besar usaha yang dilakukan juga dapat dihitung dengan menggunakan teorema Green. CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini! Contoh 1 Buktikanlah teorema Green dalam bidang jika C adalah sebuah kurva tertutup yang memiliki sifat bahwa setiap garis lurus yang sejajar sumbu koordinat memotong C paling banyak pada dua titik Misalkan persamaan kurva AEB dan AFB berturut-turut adalah dan Jika R adalah daerah yang dibatasi oleh C, diperoleh Sehingga diperoleh 165

25 Dengan cara yang sama, misalkan persamaan-persamaan kurva EAF dan EBF berturut-turut adalah dan Maka Sehingga diperoleh Jumlahkan (1) dan (2) maka didapat Contoh 2 Periksa teorema Green pada bidang untuk dimana C adalah kurva tertutup dari daerah yang dibatasi oleh dan Kurva-kurva bidang tersebut berpotongan di (0, 0) dan (1,1). Arah positif dalam menjalani C ditunjukkan pada gambar 166

26 Sepanjang integral garisnya sama dengan Sepanjang integral garisnya sama dengan Maka integral garis yang diinginkan = 7/6 17/15 = 1/30 Dengan menggunakan teorema Green Dengan demikian selesailah pemeriksaan teorema Green. Contoh 3 Perlihatkan bahwa jika suatu daerah S pada bidang mempunyai batas C, dengan C adalah kurva tertutup sederhana, maka luas S diberikan oleh Misalkan dan terapkan teorema Green 167

27 LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong! Latihan 1 Hitunglah di mana C adalah suatu bujur sangkar dengan titik sudut (0, 0), (0,2), (2,2), (2,0) Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut (0,2) (2,2) (0,0) (2,0) Berdasarkan teorema Green Maka Jadi, 168

28 Latihan 2 Gunakan hasil contoh 3 untuk mencari luas yang dilingkupi oleh elips dengan persamaan parameter Latihan 3 Hitunglah di sekeliling suatu segitiga pada bidang dengan titik sudut (0,0), (3,0), (3,2) yang dijalani berlawanan arah dengan jarum jam. Gambar daerah yang dimaksud adalah sebagai berikut y x Berdasarkan teorema Green Maka 169

29 Jadi, LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia! Latihan 1 Hitunglah integral garis pada soal latihan 3(terbimbing) di sekeliling suatu lingkaran berjari-jari 4 dan berpusat di (0,0) 170

30 Latihan 2 Hitunglah mengelilingi batas daerah yang didefinisikan oleh dan (a) secara langsung, (b) menggunakan teorema Green 171

31 Latihan 3 Hitunglah sepanjang jajar genjang yang memiliki titik-titik sudut di (0,0), (2,0), (3,1), dan (1,1). 172

32 Kunci Jawaban Latihan 1 : 64 Latihan 2 :128/5 Latihan 3 : -6 Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah 173