Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama adalah bilaga bulat Diberika masalah: Berapa ilai bilaga a sehigga a 6? Jawabya adalah 3 Kemudia jika diberika pertayaa, berapa ilai bilaga a sehigga a 7, maka tidak ada bilaga bulat yag memeuhi persamaa tersebut Selajutya perhatika bahwa (3) 6 da (4) 8, da 7 terletak diatara dua bilaga bulat 6 da 8 Dega demikia kita perlu megealka betuk pecaha Betuk pecaha atau bilaga rasioal didefiisika sebagai pasaga terurut dari bilaga bulat, misalya (7,) (otasi lai 7 ) adalah bilaga rasioal Bilaga rasioal ( m, ) da ( p, q) dikataka sama jika bilaga yag seletak dalam pasaga itu berilai sama, yaitu m p da q atau dega kata lai mq p Jumlah da hasil kali dua bilaga rasioal tersebut adalah ( m, ) + ( p, q) ( mq + p, q) da ( m, ) ( p, q) ( mp, q) Megguaka otasi bilaga rasioal, maka bilaga bulat dapat diyataka dega (,) Jadi semua bilaga rasioal dega koordiat keduaya satu merupaka bilaga bulat Pada permasalaha di atas, a 7 dapat dituliska sebagai (,)(m,) (7,), da peyelesaiaaya adalah a ( m, ) (7,) Paradigma seperti di atas selajutya aka diguaka utuk megkostruksi bilaga kompleks Euclid meujukka bahwa tidak ada bilaga rasioal yag memeuhi persamaa x Dega demikia perlu didefiisika bilaga baru, yaitu bilaga real, yag termasuk didalamya bilaga rasioal Pada tigkata selajutya, dihadapka pada permasalaha, berapa ilai x yag memeuhi x Teryata tidak ada bilaga real yag memeuhi persamaa tersebut, sehigga didefiisika bilaga baru, yaitu bilaga
Bab Bilaga kompleks kompleks Bilaga kompleks merupaka pasaga terurut bilaga real ( x, y), seperti halya bilaga rasioal yag merupaka pasaga bilaga bulat Dua bilaga kompleks ( x, y) da ( u, v) dikataka sama jika x u da y v Pejumlaha da perkalia bilaga kompleks, didefiisika sebagai berikut : ( x, y) + ( u, v) ( x + u, y + v) da ( x, y) ( u, v) ( xu yv, xv + yu) Perhatika operasi aritmatika pada bilaga kompleks dega koordiat kedua berilai ol berikut : ( x,0) + ( u,0) ( x + u,0) da ( x,0)( u,0) ( xu,0) Keadaa ii aalog dega keadaa pada bilaga rasioal dega koordiat kedua berilai Notasi Bilaga Kompleks Secara umum, setiap bilaga kompleks diotasika dega ( x, y) da dapat diyataka dega ( x, y) ( x,0) + (0, y) ( x,0) + ( y,0)(0,) x + αy dega α (0,) Utuk dua bilaga kompleks ( x, y) da w ( u, v), diperoleh w ( x + αy)( u + αv) xu + α( xv + yu) + α yv Perhatika bahwa α αα (0,)(0,) (,0), sehigga w ( xu yv) + α ( xv + yu) Dega demikia kita telah medapatka peyelesaia dari persamaa x, yaitu α Catata : Hampir semua orag di seluruh duia, kecuali orag tekik elektro, megguaka otasi i utuk meuliska bilaga kompleks α Jadi bilaga kompleks dapat dituliska dega Pembagia bilaga kompleks, x + iy dega i
Bab Bilaga kompleks w x + iy x + iy u + iv u + iv u iv u iv ( xu + yv) + i( yu xv) u + v ( xu + yv) ( yu xv) + i u + v u + v Latiha : Nyataka bilaga kompleks berikut dalam betuk x + iy : + 3i a ( 5i)(3 + i) b c 5 i Tujukka bahwa jika w 0, maka w 0 atau 0 ( + i) 3 Peyajia Bilaga Kompleks Geometri Secara geometri, bilaga kompleks dapat disajika dalam sebuah bidag Bidag ii disebut bidag kompleks, yag megacu pada koordiat kartesius, yag terdiri dari sumbu real (sumbu x) da sumbu imajier ( sumbu y), seperti terlihat pada gambar Sumbu imajier y (x,y) x sumbu real Gambar Secara geometri, terdapat korespodesi satu-satu atara hasil pejumlaha dua bilaga kompleks + w dega diagoal segiempat yag dibetuk oleh da w seperti terlihat pada gambar 3
Bab Bilaga kompleks Gambar Modulus atau ilai mutlak suatu bilaga kompleks x + iy, didefiisika sebagai bilaga real o egatif yag merupaka pajag vektor posisi dari atau jarak dari sumbu koordiat, da diyataka dega + x y Jika x + iy da w u + iv, maka w ( x u) + ( y v) Selajutya dapat ditujukka sifat berikut : w w w w Kojugat (sekawa) dari bilaga kompleks x + iy didefiisika sebagai bilaga kompleks yag diperoleh dari pecermia terhadap sumbu real, da diotasika dega x iy Selajutya silaka tujukka sifat-sifat berikut : + w + w w w + Re da Im Cotoh : Tetuka bagia real, bagia imajier, kojugat, da modulus dari + i 3 + i Dega megguaka sifat di atas diperoleh hubuga 4
Bab Bilaga kompleks + w ( + w)( + w) ( + w)( + w) + ( w + w) + ww + Re( w) + w + w + w + w + w ; ( + w ) yag dikeal sebagai pertidaksamaa segitiga Koordiat Kutub Bilaga kompleks dapat juga diyataka dalam peubah polar, yaitu r da θ da ditulis dega r (cosθ + i siθ ) Notasi r adalah modulus dari, sedagka θ merupaka sudut yag dibetuk oleh dega sumbu real positif yag disebut argume dari, da biasa ditulis θ arg acr y tg Dega demikia setiap bilaga kompleks mempuyai tak higga x argume, yag masig-masig selisihya π Nilai argume yag terletak pada iterval ( π, π ] diamaka argume utama dari Cotoh : Tetuka betuk kutub dari i Bilaga utamaya adalah Dalam hal ii r, sehigga i i atau i 7π 7π (cos + isi ) 4 4 π π (cos + i si ) 4 4 399π 399π (cos + i si ) 4 4 7 π π 399,, π merupaka argume dari i da argume 4 4 4 π 4 5
Bab Bilaga kompleks Hasilkali atara dua bilaga kompleks da w aka meghasilka bilaga kompleks dega modulus merupaka hasilkali kedua modulus bilaga kompleks tersebut da argumeya merupaka jumlah argume kedua bilaga kompleks (Tujukka!) Hal ii diperlihatka dalam gambar 3 Gambar 3 Cotoh : Tetuka betuk kutub da argume dari Selajutya dega memperhatika rumus euler, θ e i cosθ + i siθ, Maka betuk kutub di atas dapat ditulis sebagai + i 3 + i iθ r e Pembaca dipersilahka utuk meujuka sifat-sifat berikut : iθ ξ ( θ + ξ ) e e i e i Arg w arg arg w 3 Pagkat da akar bilaga kompleks Telah kita ketahui bahwa bilaga kompleks dalam betuk kutub adalah r(cos θ + i si θ) Jika r (cos θ + i si θ ) & r (cos θ + i si θ ), maka kita peroleh hasil perkalia keduaya sebagai berikut : [r (cos θ + i si θ )][r (cos θ + i si θ )] r r [(cos θ cos θ - siθ si θ ) + 6
Bab Bilaga kompleks i (si θ cos θ + cos θ si θ )] r r [cos (θ + θ ) + i si (θ + θ )] Dari hasil perkalia tersebut diperoleh: arg( ) θ + θ arg + arg Pertayaa : Bagaimaakah jika kita perkalika da c? Jika diketahui: r (cos θ + i si θ ) r (cos θ + i si θ ) r (cos θ + i si θ ), utuk asli, maka secara iduksi matematika, diperoleh rumus perkalia r r r [cos (θ + θ +c+θ ) + i si (θ + θ +c+θ )] Perhatika perkalia dua bilaga kompleks da w dalam betuk kutub Selajutya jika w, secara iduksi utuk sejumlah bilaga kompleks diperoleh ( cos θ + i si θ ) r Da utuk r, diperoleh rumus D Moivre, yaitu ( cos θ + i siθ ) cos θ + i si θ Sedagka pembagia da adalah sebagai berikut: r (cosθ + i siθ) r (cosθ + i siθ ) Setelah pembilag da peyebut dikalika dega sekawa peyebut, yaitu r (cos θ - i si θ ), maka diperoleh : r r [cos (θ - θ ) + i si (θ - θ )] 7
Bab Bilaga kompleks Dari rumus di atas diperoleh: arg θ -θ arg arg Akibat lai jika r(cos θ + i si θ), maka: cos( θ ) + i si( θ ) r r cos θ + i si θ ( ) ( ) Setelah pembilag da peyebut dikalika sekawa peyebut, maka didapat : r ( cos( θ ) + i si( θ )) Diperoleh Dalil De-Moivre berlaku utuk semua bilaga bulat Cotoh: Hituglah : r ( 3 i) 6 cos( θ ) + i si( θ ) Jawab : Misalka 3 i, maka r 3 + taθ 3 karea di kuadra IV, maka dipilih o θ 30 jadi o o 3 i cos 30 + i si 30 ( ) 6 6 o o ( 3 i) ( cos 80 + i si 80 ) 6 ( + 0) 6 8
Bab Bilaga kompleks Bilaga kompleks adalah akar pagkat dari bilaga kompleks w, jika w, da ditulis w Jika ρ(cosφ +i siφ) akar pagkat dari bilaga kompleks w r (cosθ+i siθ), maka dari w diperoleh: ρ (cosφ +i siφ) r(cosθ+i siθ), sehigga ρ r da φ θ+kπ, k bulat Akibatya ρ r da θ + kπ φ Jadi, akar pagkat dari bilaga kompleks w r(cosθ+i siθ) adalah: θ + kπ θ + kπ r [cos( ) + i si ( )], k bulat da bilaga asli Dari persamaa w, ada buah akar berbeda yag memeuhi persamaa itu Ke- buah akar tersebut terletak pada sebuah ligkara dega pusat titik asal da jari-jari r yag membetuk suatu poligo beratura dega buah sisi Utuk mempermudah dipilih k 0,,,3,,(-); θ + kπ 0 < π, sehigga diperoleh,, 3,, sebagai akar ke- dari Cotoh : Hituglah (-8) /4 Jawab : Misalka (-8) /4, berarti harus dicari peyelesaia persamaa 4-8 Tulis ρ(cosφ +i siφ) da 8 8(cos80 0 +i si80 0 ), sehigga ρ 4 (cos4φ +i si4φ) 8(cos80 0 +i si80 0 ), 9
Bab Bilaga kompleks diperoleh ρ 4 8, atau ρ 3 da π + kπ φ 4 π + kπ π + kπ Jadi k 3[cos ( ) + i si( )] 4 4 Keempat akar yag dicari dapat diperoleh dega mesubstitusi k 0,,,3 ke persamaa terakhir Cotoh : Tetuka akar pagkat 3 dari Latiha : Nyataka dalam betuk kutub a i b + i c d 3 + 3i + i e 3i f g h ( + i) ( + i 3 ) i + i 3 Tetuka bagia real, bagia imajier, modulus, da argume dari + i 3 + i 3 Buktika bahwa jika da w bilaga kompleks,maka w + + w + w 4 Diberika + i, maka a Nyataka dalam koordiat kutub, b Tetuka akar pagkat tiga dari, da c Gambarka akar-akar tersebut di bidag kompleks 5 Tetuka semua sedemikia sehigga a 4 6i b 3 c 6 8 0