MEREDUKSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY PENUH DENGAN BILANGAN FUZZY TRAPESIUM Tut Susant, Mashad, Sukamto Mahasswa Program S Matematka Dosen Jurusan Matematka Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam Unvertas Rau Kampus Bnawdya Pekanbaru (893) Indonesa *tut.susant@gmal.com ABSTRACT Ths paper dscusses how to solve the equaton of fully fuzzy lnear system A x b wth A as n n fuzzy matrx, x and b as n fuzzy vectors, wth the elements whch s a trapezodal fuzzy number developed from a paper by Kumar et al. [4]. For solvng the equaton of fully fuzzy lnear system by spreadng form A x b nto ( A, N ) ( x, ( b, k), so the equaton of lnear system A x b s obtaned. Next, ths lnear equaton s solved by usng elementary row operatons that gves the soluton of fully fuzzy lnear system. Keywords: Fully fuzzy lnear system, row reduced echelon form, trapezodal fuzzy number. ABSTRAK Kertas kerja n membahas penyelesaan sstem persamaan lnear fuzzy penuh A x b dengan A adalah matrks fuzzy berukuran n x dan b adalah vektor fuzzy berukuran yang unsur-unsurnya merupakan blangan fuzzy trapesum yang dperoleh dar sebuah kertas kerja oleh Kumar et al. []. Penyelesaan sstem persamaan lnear fuzzy penuh n dlakukan dengan mengurakan A x b menjad ( A, N ) ( x, ( b, k), sehngga dperoleh bentuk sstem persamaan lnear A x b. Selanjutnya sstem persamaan lnear n dselesakan dengan menggunakan operas bars elementer yang akan memberkan penyelesaan sstem persamaan lnear fuzzy penuh.
. PENDAHULUAN Konsep blangan fuzzy pertama kal dperkenalkan oleh L.A Zadeh (965). Sstem persamaan lnear dengan sebagan atau seluruh unsur-unsur yang berada pada matrks A, vektor x dan vektor b merupakan blangan fuzzy menjad suatu topk yang sangat menark untuk dbahas, salah satu dantaranya adalah sstem persamaan lnear fuzzy penuh (fully fuzzy lnear system). Menurut Dehghan dan Hashem [] sstem persamaan lnear fuzzy penuh merupakan sstem persamaan lnear dengan unsur-unsur dar matrks dan vektornya berupa blangan fuzzy. Secara umum ada dua macam blangan fuzz yatu blangan fuzzy segtga (trangular fuzzy number) dan blangan fuzzy trapesum ( trapezodal fuzzy number). Dalam tulsan sstem persamaan lnear yang akan dbahas adalah sstem persamaan lnear fuzzy penuh yang setap unsurnya adalah blangan fuzzy trapesum. Bentuk umum sstem persamaan lnear fuzzy penuh adalah A x b dengan A ( a ) adalah matrks fuzzy yang berukuran n n sedangkan ( x ) dan b ( ) adalah vektor fuzzy yang berukuran n. Dubos dan x j b Prade dalam [] telah menjelaskan beberapa rumus untuk operator perhtungan pada sstem persamaan lnear fuzz sehngga sstem persamaan lnear fuzzy penuh A x b dapat dselesakan dengan berbaga metode. Metode yang dgunakan untuk menyelesakan sstem persamaan lnear fuzzy penuh telah banyak dbahas, dantaranya menggunakan dekomposs dar matrks koefsen [3] dan menggunakan metode langsung dan metode Cramer [5]. Dalam metode n seluruh unsur-unsur matrks dan vektornya berupa blangan fuzzy segtga. Dalam tulsan n penuls membahas satu kasus menyelesakan sstem persamaan lnear fuzzy penuh A x b dengan seluruh unsur d dalamnya adalah blangan fuzzy trapesum atau blangan fuzzy dalam bentuk ( m,, ) dengan nterval tolerans [ m, n], lebar sebelah kr dan lebar sebelah kanan. Kajan n merupakan kajan ulang yang mendetalkan kertas kerja kumar et al. pada [4].. BILANGAN DAN MATRIKS FUZZY Pada bagan n dbahas konsep blangan fuzzy trapesum dengan operas aljabarnya serta matrks fuzzy yang mengacu pada [4]. Defns. Blangan fuzzy a ( m,, ) dkatakan blangan fuzzy trapesum dengan nterval tolerans [ m, n], lebar sebelah kr dan kanan jka memlk fungs keanggotaan
a m x ( x) x n 0 m x m, 0 m x n n x n, 0 untuk lannya. Adapun blangan fuzzy trapezum a ( m,, ) pada Gambar. dgambarkan sepert tampak a ( x) 0 m m n n Gambar. Blangan Fuzzy Trapesum. X Berkut n beberapa konsep yang terkat dengan blangan fuzzy trapesum menurut [4]. Defns. Blangan fuzzy trapesum a ( m,, ) dengan a 0 blangan fuzzy trapesum postf jka dan hanya jka m 0. Defns 3. Blangan fuzzy trapesum a ( m,, ) dengan a 0 blangan fuzzy trapesum negatf jka dan hanya jka m 0. dkatakan dkatakan Khusus untuk blangan fuzzy a dkatakan blangan fuzzy nol jka a (0, 0, 0, 0). Dua buah blangan fuzzy trapesum a ( m, n,, ) dan a ( p, q,, ) dkatakan sama jka dan hanya jka m p, n q, dan. Berkut dberkan operas aljabar blangan fuzzy trapesum dalam [4]. Msalkan terdapat blangan fuzzy trapesum a ( m,, ) a ( p, q,, ) maka akan berlaku rumus sebaga berkut: dan. Penjumlahan (addton) a a ( m p, n q,, ). 3
. Lawan untuk blangan fuzzy a ( m,, ) ( m,, ). 3. Perkalan (multplcaton) Jka a 0 dan a 0 maka a a ( mp, nq, m p, n q ). Berkut dberkan defns matrks fuzzy dalam [4]. Defns 4. Matrks A ( ) dkatakan matrks fuzz jka setap unsur dar A merupakan blangan fuzzy. a Matrks A bernla postf dnotaskan dengan A 0 dmana elemenelemen A bernla postf dan sebalknya. Untuk n n matrks fuzzy A ( a nn) maka a ) ( a,,, ) dengan notas baru A ( A, M, N ) dmana ( b A ( a ), B ( b ), M ( ), N ( ). Berkut delaskan mengena defns perkalan matrks fuzzy menurut [4]. Defns 5. Msalkan ( A a ) dan B ( b ) adalah matrks fuzzy yang berukuran m n dan n p. Ddefnskan A B C ( ) adalah matrks m p dengan n c j a k bkj. Matrks fuzzy A ( a ) ( A, N ) yatu matrks fuzzy yang seluruh unsurnya merupakan blangan fuzzy trapesum dapat durakan menjad 4 komponen matrks. Karena matrks fuzzy A ( a ) ( A, N) seluruh unsurnya merupakan blangan fuzzy maka untuk menyelesakan sstem persamaan n dgunakan sstem persamaan lnear fuzzy penuh. c 3. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY PENUH Sstem persamaan lnear fuzzy penuh d dalam [5] ddefnskan sebaga berkut. Defns 6. Suatu sstem persamaan lnear yang terdr dar persamaan lnear dan varabel-varabel yang tdak dketahu mempunya bentuk umum n j a x b, () j dengan,,, n, dapat dnotaskan dengan 4
A x b, () dengan matrks fuzzy A ( a ) berukuran n n dan vektor fuzzy x ( x j ) dan b ( b ) berukuran n. Sstem n dnamakan sstem persamaan lnear fuzzy penuh. Sebelum menyelesakan sstem persamaan lnear fuzzy penu terlebh dahulu mengurakan bentuk sstem persamaan lnear fuzzy penuh A x b menjad empat buah matrks yang unsur-unsur matrksnya adalah blangan real, yatu A ( A, M, N ). Selanjutnya, bentuk sstem persamaan lnear fuzzy penuh pada persamaan () durakan menjad empat buah sstem persamaan lnear. Untuk lebh jelasnya, berkut akan delaskan proses mengurakan bentuk sstem persamaan lnear fuzzy penuh A x b. Matrks fuzzy A ( a ) nn dmana (a ) ( a, b,, ). Selanjutnya dasumskan A ( A, M, N ) sedemkan hngga ddapat notas baru A ( a ), B ( b ), M ( ), N ( ), kemudan dasumskan vektor fuzzy x ( x, dan b ( b, k) sehngga bentuk A x b dapat dtuls dalam bentuk persamaan sebaga berkut. ( A, N ) ( x, ( b, k). (3) Dengan menggunakan operas perkalan dua buah blangan fuzzy trapesum maka persamaan (3) dapat dtuls menjad ( Ax, B Az Mx, Bw Ny) ( b, k). (4) Dengan menggunakan kesamaan dua buah matrks fuzzy trapesum maka persamaan (4) dapat dtuls menjad bentuk persamaan berkut. Ax b By g. Az Mx h Bw Ny k (5) Selanjutnya delaskan langkah-langkah untuk menyelesakan sstem persamaan lnear fuzzy penuh dalam matrks bentuk eselon bars tereduks dengan menggunakan operas bars elementer. Langkah. Setelah mengurakan sstem persamaan lnear fuzzy penuh menjad empat buah sstem persamaan lnear, selanjutnya sstem persamaan lnear n akan dkembangkan menjad matrks yang dperbesar. Matrks yang dperbesar tersebut terdr dar ( A,, (, ( A, h - Mx), ( k - Ny). 5
Langkah. Dar matrks yang dperbesar ( A,, (, ( A, h - Mx), ( k - Ny) akan dcar matrks eselon bars tereduks. Untuk mencar matrks eselon bars tereduks gunakan operas bars elementer. Ada atau tdaknya penyelesaan dar sstem persamaan lnear n dapat dtentukan oleh rank dar matrks. Dalam hal n ada 3 kasus, yatu: Kasus. Jka rank (A) rank ( A, atau rank (B) rank ( maka sstem persamaan lnear fuzzy penuh tdak konssten artnya tdak ada penyelesaan postf. Kasus. Jka rank (A) = rank ( A, dan rank (B) = rank ( tap ada palng sedkt satu anggota negatf pada kolom ke- ( n ) dar matrks eselon bars tereduks, maka sstem persamaan lnear fuzzy penuh tdak konssten artnya tdak ada penyelesaan postf. Kasus 3. Jka rank ( A) = rank ( A, dan rank (B) = rank ( dan semua anggota pada kolom ke- ( n ) dar matrks eselon bars tereduks postf, maka sstem persamaan lnear fuzzy penuh konssten artnya ada penyelesaan postf. Dalam hal n ada dua kasus: Kasus 3.a. Jka rank (A) = rank ( A, n atau rank (B) = rank ( n maka sstem persamaan lnear fuzzy penuh mempunya tak-hngga banyaknya penyelesaan dan penyelesaannya postf. Kasus 3.b. Jka rank (A) = rank ( A, n dan rank (B) = rank ( n maka sstem persamaan lnear fuzzy penuh mempunya satu penyelesaan dan penyelesaannya postf. Jka pada langkah terdapat kasus 3 maka dapat dlanjutkan ke langkah 3. Langkah 3. Dar matrks eselon bars tereduks dperoleh nla ( x, y, z, w ). Penyelesaan dar sstem persamaan lnear fuzzy penuh dapat dnyatakan dengan x ( x, y, z, w ) untuk setap,,, n. 4. CONTOH NUMERIS Dberkan sstem persamaan lnear fuzzy penuh sebaga berkut. (3, 6,, ) x (4, 6,, ) x (4, 5,,) x (5, 8,, ) x (7, 66, 6, 58). (35, 70, 5, 55) (6) Akan dtentukan penyelesaan sstem persamaan lnear fuzzy penuh dalam bentuk matrks fuzzy trapesum pada (6). 6
Dar proses penguraan sstem persamaan lnear fuzzy penu dasumskan bahwa A ( A, M, N ) dengan A ( a ), B ( b ), M ( ), N ( ) dan x ( x, dan b ( b, k). Sehngga bentuk soal pada (6) menjad (3, 6,, ) ( x,penyelesaan w ) (4, 6,, ) ( x, y, z, w ) (7, 66, 6, 58). (4, 5,, ) ( x, w ) (5, 8,, ) ( x, y, z, w ) (35, 70, 5, 55) dar sstem persamaan lnear fuzzy penuh n adalah Dar (6) dperoleh x x ( x, y, z, w ) ( x, y (3, 6,, ) A (4, 5,,), z, w ). (4, 6,, (5, 8,, Karena A ( A, M, N ), maka dperoleh matrks 3 4 6 6 A, B, M, N 4 5 5 8 ). ) 7 66 6 58 dan vektor b, g, h, k. 35 70 5 55 Dar matrks A ( A, M, N ) dan vektor b ( b, k), maka Langkah. Membuat matrks yang dperbesar. 3 4 7 6 6 66 ( A,, (, 4 5 35 5 8 70 3 4 3 6 6 36 ( A, h Mx), ( k Ny). 4 5 7 5 8 39 Langkah. Mencar matrks eselon bars tereduks. 3 4 7 ( A,. 4 5 35 Dar matrks yang dperbesar ( A,, tereduks dperoleh matrks eselon bars 7
0 0 5, 3 sehngga dperoleh x 5, x 3. Selanjutnya mencar matrks eselon bars tereduks dar matrks yang dperbesar 6 6 66 (. 5 8 70 Dar matrks yang dperbesar (, tereduks dperoleh matrks eselon bars 0 0 6, 5 sehngga dperoleh y 6, y 5. Selanjutnya mencar matrks eselon bars tereduks dar matrks yang dperbesar 3 4 3 ( A, h Mx). 4 5 7 Dar matrks yang dperbesar ( A, h Mx) dperoleh matrks eselon bars tereduks 0 0 3, sehngga dperoleh z 3, z. Terakhr, mencar matrks eselon bars tereduks dar matrks yang dperbesar 6 6 36 ( k Ny). 5 8 39 Dar matrks yang dperbesar ( k Ny) dperoleh matrks eselon bars tereduks 0 0 3, 3 sehngga dperoleh w 3, w 3. 8
Dar matrks A dperoleh rank ( A), rank dar matrks ( A, dan rank dar matrks B, rank dar matrks ( dan semua anggota pada kolom ketga dar matrks eselon bars tereduks postf. Maka berdasarkan kasus 3.b sstem persamaan lnear fuzzy penuh n konsste mempunya satu penyelesaan dan penyelesaannya postf. Sehngga dperoleh penyelesaan dar sstem persamaan lnear fuzzy penuh pada persamaan (6) adalah 5 6 3 x, y, z, 3 5 3 w 3 atau x 5, x 3, y 6, y 5, z 3, z, w 3 dan w 3. Langkah 3. Karena x ( x, maka dperoleh penyelesaan sstem persamaan lnear fuzzy penuh sebaga berkut. x (5, 6, 3, 3) dan x (3, 5,, 3). 5. KESIMPULAN Dar artkel n dapat dsmpulkan bahwa sstem persamaan lnear fuzzy penuh A x b yang unsur-unsurnya merupakan blangan fuzzy trapesum, dselesakan dengan mengurakan bentuk sstem persamaan lnear fuzzy penuh menjad ( A, N ) ( x, ( b, k), sehngga dperoleh empat buah sstem persamaan lnear sepert pada persamaan (5). Selanjutnya ada tga langkah dalam menyelesakan sstem persamaan lnear n. Penyelesaan sstem persamaan lnear n ada jka rank (A) = rank ( A, dan semua anggota pada kolom ke- ( n ) dar matrks eselon bars tereduks postf. DAFTAR PUSTAKA [] Dehgha M & B. Hashem. 006. Soluton of the Fully Fuzzy Lnear Systems Usng the Decomposton Procedure. Appled Mathematcs and Computaton. 8: 568-580. [] Dubos, D & H. Prade. 980. Fuzzy Sets & Systems: Theory and Applcaton. Academc Press, New York. [3] Handaya E. 0. Menyelesakan Sstem Persamaan Lnear Fuzzy Penuh dengan Menggunakan Dekomposs dar Matrks Koefsen. SKRIPSI Jurusan Matematka FMIPA Unverstas Rau. Pekanbaru. [4] Kumar, A., Neetu & A. Bansal. 00. A New Method to Solve Fully Fuzzy Lnear Systems wth Trapezodal Fuzzy Numbers. Canadan Journal on Scence and Engneerng Mathematcs. (3): 45-56. 9
[5] Samsur, M. 00. Menentukan Penyelesaan Fuzzy yang Postf dan Memenuh Sstem Persamaan Lnear Fuzzy Penuh dengan Menggunakan Metode Langsung dan Metode Cramer. SKRIPSI Jurusan Matematka FMIPA Unverstas Rau. Pekanbaru. 0