Matematika Teknik Dasar- 7 Silinder Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Definisi dan Persamaan Silinder adalah sebuah permukaan yang didapatkan dari sebuah garis yang hampir paralel pada sebuah garis tetap dan berpotongan pada sebuah kurva yang diberikan. Kurva yang diberikan itu dinamakan kurva pembimbing/ guiding curve pada silinder dan sebarang garis paralel pada garis yang diberikan dan berpotongan pada kurva yan diberikan disebut sebagai pembuat silinder
a Definisi dan Persamaan
Definisi dan Persamaan Untuk menemukan persamaan dari silinder yang mana pembangkitnya adalah paralel terhadap garis. x Dan memotong sebuah kurva l = y m = z n ax + hxy + by + gx + fy + c = 0, z = 0 (1) Diambil (x 1, y 1, z 1 ) adalah titik sebarang pada silinder sehingga persamaan dari pembangkit yang melaluinya adalah x x 1 l = y y 1 = z z 1 m n ()
Definisi dan Persamaan Titik perpotongan dari garis () dengan bidang z=0 adalah Titik akan berada pada kurva (1), jika a x 1 lz 1 n x 1 lz 1 n, y 1 mz 1 n, 0 + h x 1 lz 1 n y 1 mz 1 n + b y 1 mz 1 n + g x 1 lz 1 n + f y 1 mz 1 n + c = 0
Definisi dan Persamaan Atau bisa disederhanakan menjadi a nx 1 lz 1 + h nx 1 lz 1 ny 1 mz 1 + b ny 1 mz 1 + gn nx 1 lz 1 + fn ny 1 mz 1 + cn = 0 Lokus dari titik (x 1, y 1, z 1 ) adalah a nx lz + h nx lz ny mz + b ny mz + gn nx lz + fn ny mz + cn = 0 Dimana rumus tersebut di atas adalah rumus yang diperlukan dari silinder
Contoh - 1 Cari persamaan dari silinder dimana garis pembangkitnya memiliki arah kosinus (l, m, n) dan dimana melewati keliling lingkaran pada sebuah lingkaran tetap x +z =a pada bidang ZOX. Jawaban: Ambil (x 1, y 1, z 1 ) pada titik sebarang pada silinder. Kemudian persamaan pembangkit yang melewati (x 1, y 1, z 1 ) adalah: x x 1 l = y y 1 m = z z 1 n
Contoh - 1 Garis berpotongan dengan lingkaran yang diberikan di: x +z =a, y=0 Dengan memasang y=0 di persamaan pembangkit didapatkan: x = x 1 lz 1 n, z = z 1 ny 1 m Menyubstitusi nilai dari x,z di x +z =a, kita bisa mendapatkan: x 1 ly 1 m + z 1 ny 1 m = a
Contoh - 1 Atau (mx 1 -ly 1 ) +(mz 1 -ny 1 ) =a m Lokus dari (x 1, y 1, z 1 ) berada di permukaan mx 1 -ly 1 ) +(mz 1 -ny 1 ) =a m
Contoh - Cari persamaan silinder yang pembangkitnya adalah paralel dengan garis x = 1 y = 1 z dan kurva pembimbingnya adalah elips di x +y =1, z= Jawaban: Arah perbandingan dari pembangkitan adalah (1, -, ) Persamaan pembangkitan melalui titik-titik (x 1, y 1, z 1 ) pada silinder adalah: x x 1 = y y 1 1 = z z 1 Garis pembangkit ini berpotongan dengan eliptikalnya
Contoh - Dengan meletakkan z= pada persamaan sebelumnya bisa didapatkan x = x 1 + z 1 dan y = y 1 6 z 1 Substitusi nilai berikut pada x +y =1 kita bisa mendapatkan x 1 + z 1 + y 1 6 z 1 = 1 lokus dari (x 1, y 1, z 1 ) adalah x z Atau x +6y +z -xz+6x-4y-18z+4=0 + y 6 z = 1
Silinder Lingkaran yang Tepat Sebuah silinder lingkaran yang tepat adalah sebuah permukaan yang dibangkitkan dari sebuah garis yang berpotongan pada sebuah lingkaran dan tegak lurus bidangnya. Garis normal terhadap bidang dari lingkaran melalui pusatnya disebut sumbu silinder Jarak dari titik pada silinder lingkaran tepat dari sumbunya adalah sama dengan radius pada lingkaran pembimbingnya. Dimana kita dapat menemukan persamaan dari tipe silinder ini dimana kita memberikan (i) persamaan sumbunya dan (ii) radius potongan melintang lingkaran.
Persamaan Silinder Lingkaran yang Tepat Untuk menemukan persamaan dari silinder ini yang mana radius r dan sumbu adalah garis x α y β z γ = = (1) l m n Diambil P(x,y,z) adalah titik sebarang dari silinder Kemudian jarak tegak lurus P dari sumbu (1) adalah sama dengan radius r Kuadrat dari jarak tegak lurus P dari garis (1) adalah x α + y β + z γ l x α + m y β + n z γ l + m + n
Persamaan Silinder Lingkaran yang Tepat Dikalikan dengan r maka kita bisa mendapatkan persamaan sebagai berikut: x α + y β + z γ l x α + m y β + n z γ l + m + n = r Korelasi: persamaan dari silinder lingkaran yang tepat dimana sumbunya di sumbu Z dan radius r adalah: x + y = r
Contoh - Tunjukkan bahwa koordinat dari kaki tegak lurus dari titik P (,, ) pada garis x=y=-z adalah 1 α + β γ, 1 α + β γ, 1 α + β γ Simpulkan persamaan silinder lingkaran yang tepat dengan radiusnya adalah sebesar garis yang diberikan di atas. Jawaban: Diambil x 1 = y 1 = z 1 = r
Contoh - Koordinat pada titik sebarang Q pada garis adalah (r, r, -r) Arah rasio PQ adalah r α, r β, r γ Jika Q adalah kaki dari tegak lurus yang bermula dari P ke garis yang diberikan maka.. r α + r β + r + γ = 0 r = 1 α + β γ
Contoh - Koordinat Q adalah 1 α + β γ, 1 α + β γ, 1 α + β γ Sekarang diambil P (,, ) adalah titik pada silinder lingkaran yang tepat memiliki garis x=y=-z pada sumbunya. Tegak lurus PQ dari P menuju ke sumbunya adalah sama dengan radisu a. α 1 α + β γ + β 1 α + β γ + γ + 1 α + β γ = a Atau α + β + γ αβ + βγ + γα = a
Contoh - Lokus dari P (,, ) adalah persamaan dari silinder x + y + z xy + yz + zx = a
Contoh - 4 Temukan persamaan dari silinder lingkaran yang tepat dari radius dimana sumbunya melewati (,,4) dan memiliki arah kosinus proporsional dengan, 1, - Jawaban: Sumbu silinder adalah tepat di garis Atau x x = y = z 4 1 = y 1 = z 4 (1)
Contoh - 4 Diambil P (x 1,y 1,z 1 ) adalah titik sebarang dari silinder Kuadrat dari jarak sebarang titik (x 1,y 1,z 1 ) dari garis (1) adalah x 1 + y 1 + z 1 4 x 1 + 1 y 1 z 1 4 Menyelsaikan persamaan ini dengan kuadrat dari radiusnya maka didapatkan: x 1 + y 1 + z 1 4 1 9 x 1 + y 1 z 1 + 1 = 9
Contoh - 4 Maka lokus dari P adalah 9 x + y + z 4 x + y z + 1 = 81 adalah persamaan silinder yang dibutuhkan. Jika disederhanakan akan menjadi 5x + 8y + 5z 4xy + 4yz + 8xz 40x 56y 68z + 179 = 0