ELLIPTIC CURVE CRYPTOGRAPHY. Disarikan oleh: Dinisfu Sya ban ( )

Transkripsi

1 ELLIPTIC CURVE CRYPTOGRAPHY Disarikan oleh: Dinisfu Sya ban ( ) SEKOLAH TINGGI SANDI NEGARA BOGOR 007

2 A. Fungsi Elliptic Curves 1. Definisi Elliptic Curves Definisi 1. : Misalkan k merupakan field dengan karakteristik, 3, dengan k dapat merupakan field bilangan real R, field bilangan rational Q, field bilangan complex C atau finite field F q dengan q = p r elemen. Misalkan x 3 + ax + b (dimana a, b k), dimana 4a 3 + 7b 0, dengan D E (discriminant E) = -16 (4a 3 + 7b ) dan invariant kurva didefinisikan sebagai j(e)= a 3 /(4a 3 + 7b ) merupakan polynomial pangkat tiga tanpa mempunyai akar perkalian. Elliptic curves dalam k merupakan himpunan titik-titik (x, y) dengan x, y k memenuhi persamaan y = x 3 + ax + b (1) dengan sebuah elemen tunggal yang dinotasikan dengan O E yang disebut point at infinity. a) Jika k merupakan field dengan karakteristik, maka elliptic curves dalam k adalah himpunan titik-titik yang memenuhi persamaan sebagai berikut : y + cy = x 3 + ax + b (a) atau memenuhi y + xy = x 3 + ax + b (b) dengan sebuah point at infinity O E (tidak perduli persamaan kubik di kanan mempunyai akar perkalian atau tidak).

3 b) Jika k merupakan field dengan karakteristik 3, maka elliptic curves dalam k adalah himpunan titik-titik yang memenuhi persamaan sebagai berikut : y = x 3 + ax + bx + c (3) dengan sebuah point at infinity O E (dimana persamaan kubik di kanan tidak mempunyai akar perkalian). Selain persamaan di atas, terdapat persamaan umum yang dapat digunakan pada sebarang field yaitu : y + a 1 xy + a 3 y = x 3 + a x + a 4 x + a 6. Persamaan di atas dapat ditranformasikan dalam bentuk y = x 3 + ax + bx + c jika karakteristik k dan menjadi y = x 3 + bx + c untuk karakteristik k > 3. Jika dimisalkan F(x, y) = 0, maka suatu titik pada elliptic curves dikatakan non singular jika setidaknya turunan partial dari F/ x, F/ y bernilai tidak sama dengan nol pada titik tersebut. Atau dengan perkataan lain syarat persamaan kubik pada bagian kanan persamaan (1) dan (3) tidak mempunyai akar perkalian akan sama dengan semua titik yang terdapat pada kurva merupakan titik non singular.. Persamaan Elliptic curves yang Terdefinisi dalam Bilangan Real Misalkan E merupakan elliptic curves yang terdefinisi dalam bilangan real dan misalkan P dan Q titik-titik pada elliptic curves. Aturan-aturan dalam elliptic curves dapat dijelaskan sebagai berikut : 1) Jika P merupakan point at infinity O E, maka dapat didefinisikan

4 P = O E dan P + Q = O E ; O E berperan sebagai identitas penjumlahan ( elemen nol ) dari group yang dibentuk titik-titik pada elliptic curves. Selanjutnya dimisalkan P dan Q O E. ) Negatif P merupakan titik yang mempunyai koordinat x yang sama dengan P tetapi koordinat y pada titik tersebut negatif, dapat dinotasikan sebagai P = (x, y), P = (x,y) = (x, y). Dari persamaan (1) jelas terlihat (x, y) terdapat pada kurva jika (x,y) juga terdapat pada kurva. 3) Jika P dan Q mempunyai koordinat x yang berbeda, maka sebuah garis l = PQ yang melalui P dan Q memotong kurva tepat hanya satu titik yaitu pada titik R. Begitu pula jika garis tersebut merupakan garis tangent pada kurva di titik P, untuk kasus R = P, atau di Q, jika R = Q. Maka dapat didefinisikan P + Q adalah R yaitu merupakan pencerminan terhadap koordinat x dari titik potong garis l pada kurva. 4) Jika Q = P, dengan pengertian Q seperti ), maka didefinisikan P + Q = O E. 5) Kemungkinan terakhir yang didapat jika P = Q. Misalkan l merupakan garis tangent terhadap kurva di P, misalkan R merupakan satu-satunya titik potong l terhadap kurva, maka dapat didefinisikan P + Q = R. Sebagai ilustrasi untuk memperjelas definisi di atas maka diberikan contoh sebagai berikut :

5 Misalkan elliptic curves dengan persamaan y = x 3 x pada koordinat xy. Untuk mencari nilai P + Q, gambar garis melalui P dan Q, nilai P + Q merupakan titik yang simetris (terhadap koordinat x) terhadap titik ketiga di mana garis yang melalui P dan Q memotong kurva tersebut. Jika P dan Q sama dan dicari nilai P, maka gambar garis tangent di P terhadap kurva, nilai P merupakan titik yang simetris terhadap titik ketiga di mana garis tangent memotong kurva. Operasi Penjumlahan dan Perkalian pada Elliptic curves Operasi penjumlahan pada elliptic curves disebut tangent and chord method. Operasi tersebut dapat dijabarkan sebagai berikut misalkan (x 1, y 1 ), (x, y ), dan (x 3, y 3 ) melambangkan koordinat P, Q dan P + Q. (x 3, y 3 ) akan dinotasikan dalam x 1, y 1, x, y. Pada kasus 3) definisi P + Q, misalkan y = x + β merupakan persamaan garis yang melalui P dan Q dan bukan merupakan garis vertikal pada kasus 3. maka didapatkan = (y y 1 )/( x x 1 ), dan β = y 1 x 1. Suatu titik pada l, yaitu (x, x + β), terletak pada kurva jika dan hanya jika ( x + β) = x 3 + ax + b. Maka hanya akan terdapat satu titik potong untuk setiap akar persamaan kubik x 3 + ( x + β) + ax + b. Telah diketahui terdapat dua akar yaitu x 1 dan x, karena (x 1, x 1 + β) dan (x, x + β) merupakan titik P dan Q pada kurva seperti yang telah dimisalkan di awal. Karena jumlah dari akar polynomial monik sama dengan negatif koefisien dari pangkat kedua tertinggi, maka dapat disimpulkan x 3 = x 1 x. Sehingga didapat persamaan untuk P + Q = (x 3, ( x 3 + β)), yang jika dinotasikan dalam x 1, y 1, x, y sebagai berikut :

6 y x 3 = x y x 1 1 x 1 x ; (4) y 3 = y 1 + y x y x 1 1 ( x1 x 3 ) Pada kasus 5) di mana P = Q, persamaan yang didapatkan hampir mirip dy hanya saja diganti dengan turunan di P. Turunan dari persamaan (1) y = x 3 dx + ax + b didapatkan formula α = 3x 1 + a. Perhitungannya adalah sebagai y1 berikut : y = x 3 + ax + b dy y = 3x dy dy + a + 0; dx dx dx Dari perhitungan di atas didapatkan nilai α sehingga formula untuk mencari nilai P adalah sebagai berikut : 3x + a x 3 = x 1 x ; y (5) y 3 = y1 + 3x + y a ( x1 x 3 ) Contoh perhitungan untuk memperjelas ilustrasi di atas adalah sebagai berikut : Misalkan pada persamaan elliptic curves y = x 3 36x, P = ( 3, 9) dan Q = (, 8) merupakan titik-titik yang terdapat dalam persamaan tersebut. Akan dicari P + Q dan P, proses yang dilakukan :

7 a) P + Q Substitusikan x 1 = 3, y 1 = 9, x =, y = 8 pada persamaan (4) menghasilkan x 3 = 6. Sedangkan persamaan kedua didapat y 3 = x 3 = ( 3) ( 3) ( ); x 3 = 6; y 3 = 9 + y 3 = ( 3) ( 3 6) Jadi nilai P + Q = (6, 0). b) P Substitusikan x 1 = 3, y 1 = 9, a = 36 pada persamaan (5) yang menghasilkan x 3 = 4 5 dan y3 = ( 3) + ( 36) x 3 = (9) ( 3); x 3 = 4 5 ; 3( 3) + ( 36) 5 y 3 = 9 + (9) ( 3 ) 4 y 3 = Jadi didapatkan nilai P = (, ). 4 8

8 Perkalian dalam elliptic curves dinotasikan sebagai np, yang didefinisikan sama seperti group abelian lain, yaitu menambahkan P sebanyak n kali pada titik itu sendiri jika n positif atau menambahkan P pada dirinya sendiri sebanyak n kali jika n negatif. Point at Infinity (Titik di Tak Terhingga) Point at infinity, seperti yang telah dijelaskan pada definisi 1) merupakan elemen identitas untuk operasi penjumlahan dalam group yang dibentuk oleh titiktitik yang terletak pada kurva. Titik ini dilambangkan dengan O E. Titik ini merupakan titik perpotongan sebarang garis vertikal dengan kurva, yaitu garis vertikal yang melalui (x 1, y 1 ) dan (x 1, y 1 ). Gambar 4 Elliptic curves dan operasi penjumlahan P 1 + P (P 1 P ) 5 5

9 3. Persamaan Elliptic curves yang Terdefinisi dalam Finite Field Misalkan k merupakan finite field F q dengan q = p r anggota atau q merupakan bilangan prima, E merupakan persamaan elliptic curves yang terdefinisi dalam F q, P dan Q titik-titik pada elliptic curves. Persamaan elliptic curves yang terdefinisi dalam finite field juga memenuhi persyaratan 4a 3 + 7b (mod q) 0. Titik-titik pada elliptic curves ini membentuk group modulus q, dengan q merupakan pangkat bilangan prima atau bilangan prima. Jumlah titik yang terdapat pada persamaan elliptic curves yang terdefinisi dalam finite field harus memenuhi Teorema Hasse. Teorema. (Hasse 6 ) : Misalkan N merupakan jumlah titik pada elliptic curves yang terdefinisi dalam F q, maka : N ( q+ 1) q atau dapat ditulis dalam bentuk lain sebagai berikut: q+ 1 q N q+ 1+ q {Pembuktian dari teorema di atas dapat dilihat di lampiran.} Menghitung Jumlah Titik pada Elliptic curves Perhitungan titik pada elliptic curves dengan persamaaan y = x 3 + ax + b secara sederhana dapat dijelaskan sebagai berikut : a. Untuk setiap x di mana 0 x < N, hitung nilai x 3 + ax + b (mod N). 6 N. Koblitz, A Course in Number Theory and Cryptography, Second Edition, Springer Verlag, New York, 1994, hal 174.

10 b. Setiap hasil yang didapat dari langkah selanjutnya, periksa apakah hasil tersebut mempunyai akar kuadrat modulo N. Jika tidak terdapat hasil tersebut maka tidak ada titik dengan nilai x pada E N. Sebaliknya jika ada, maka akan ada dua nilai y yang memenuhi persamaan tersebut (kecuali nilai y yang tunggal yaitu 0). Titik (x, y) tersebut merupakan titik pada persamaan elliptic curves. ELLIPTIC CURVE EL GAMAL CRYPTOSYSTEM (ECELG) Algoritma Pembangkit Kunci Untuk ECELG : 1. Generate bilangan prima besar p dan α dari grup perkalian Z p dari bilangan integer modulo p.. Pilih sebuah bilangan acak integer a dimana 1 a p- dan hitung β = aα mod p 3. Kunci publik (p, α, aα). Kunci privat : a. Algoritma Penyandian : 1. Diketahui public key (p, α, aα).. Ubah pesan m ke dalam titik-titik dalam elliptic curve dengan range {0, 1,..., p-1}. 3. Pilih bilangan integer secara acak k, dimana 1 k p-. 4. Operasi Enkripsi : e K (m,k) = (γ, δ) = (kα, m+kβ), dimana : γ = kα mod p

11 δ = (m+kβ) mod p Algoritma Pembukaan : 1. Diketahui public key (p, α, aα).. Operasi Dekripsi : d K (γ, δ) = (δ - aγ) mod p. MENEZES-VANSTONE ELLIPTIC CURVE CRYPTOSYSTEM E : elliptic curve yang didefinisikan pada Z p (p>3, prima) E berisi sebuah cyclic subgrup H dimana masalah discrete logaritmanya sulit dipecahkan. = Z x * * p Z p C = E x Z x * * p Z p K = {(E, α, a, β) : β = aα}, dimana α E. Kunci publik : α, β. Kunci privat : a. K = (E, α, a, β), pilih bilangan random secret k Z H, dan untuk m = (m 1, * * m ) Z x, dimana m bukan titik di E, definisikan : p Z p e K (m,k) = (y 0, y 1, y ), dimana : y 0 = kα (c 1, c ) = kβ y 1 = c 1 x 1 mod p y = c x mod p Dekripsi :

12 y = (y 0, y 1, y ), definisikan : d K (y) = (y 1 c 1-1 mod p, y c -1 mod p), dimana ay 0 = (c 1, c ).