Modul. Geometri Analitik Ruang. Jero Budi Darmayasa

Transkripsi

1 Modul Geometri Analitik Ruang Pada perkuliahan Geometri Analitik Ruang, diawali dengan diskusi tentang sistek koordinat tegak lurus pada ruang. Untuk pembicaraan saat ini, terdapat beberapa kajian yaitu sistem koordinat tegak lurus yang membagi ruang menjadi 8 bagian (Oktan), jarak antara dua titik pada ruang, serta koordinat titik yang membagi garis dengan perbandingan tertentu. Jero Budi Darmayasa 9/3/01

2 A. PENDAHULUAN Tujuan Perkuliahan Petunjuk Belajar : Setelah mendiskusikan topik ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan koordinat suatu titik pada ruang. Menghitung jarak antara dua titik pada ruang : 1. Pelajari ringkasan materi. Pahami penyelesaian latihan soal langkah demi langkah 3. Kerjakan tes formatif tanpa melihat kembali ringkasan materi 4. Rancang masalah yang berkaitan dengan topic yang didiskusikan, kemudian sajikan penyelesaiannya 5. Lihat kunci jawaban dan ukur tingkat penguasaan materi anda B. KEGIATAN BELAJAR (KB) 1.1 Sistem Koordinat Tegak Lurus Sebagaimana layaknya titik pada bidang, letak suatu titik pada ruang juga dapat dinyatakan dalam urutan bilangan-bilangan tertentu yang lebih dikenal dengan istilah sistem koordinat. Suatu system koordinat tegak lurus di dalam ruang ditentukan dengan memilih suatu satuan panjang serta tiga buah garis lurus yang masing-masing saling tegak lurus dan berpotongan di suatu titik, dan ditentukan pula oleh himpunan semua tripel-tripel terurut dari bilangan-bilang nyata. Dengan melukis sebarang dua garis X OX dan Y OY yang saling tegak lurus, maka akan tertentu sebuah bidang XOY. Melalui titik O kemudian dilukis sebuah garis Z OZ yang tegak lurus bidang XOY sedemikian sehingga ketiga garis tersebut masing-masing saling tegak lurus. Ketiga garis X OX, Y OY, dan Z OZ disebut sebagai sumbu-sumbu koordinat tegak lurus. Selanjutnya disingkat sebagai sumbu X, Y, dan Z.

3 Ketiga sumbu diambil sepasang-sepasang, menentukan tiga buah bidang XOY, XOZ, dan ZOX atau secara singkat ditulis bidang XY, XZ, dan YZ. Masingmasing disebut bidang-bidang koordinat tegak lurus. Z R Q S O P C Y X A B Jika diambil salah satu titik sudut dari balok di atas, misalkan titik P. Titik P merupakan sebarang titik pada ruang. Melalui P dapat dilukis tiga buah bidang yang masing-masing sejajar dengan bidang koordinat dan tentu akan tegak lurus dengan sumbu-sumbu koordinat. Misalkan memotong sumbu-x di A, sehingga OA = x, memotong sumbu-y di C sehingga OC=y, dan memotong sumbu-z di R, sehingga OR = z. Ketiga bilangan x, y, dan z dengan urutan (x,y,z) disebut koordinat dari titip P dan dapat dituliskan P(x,y,z) dengan x disebut absis, y disebut ordinat, dan z disebut aplikat. Oleh karena itu, setiap titik pada ruang dapat diwakili oleh satu dan hanya satu bilangan-bilangan nyata (x,y,z), begitu juga sebaliknya setiap tripel terut bilangan-bilangan nyata (x,y,z) memiliki satu dan hanya satu titik di dalam ruang. Masing-masing satuan x, y, dan z dapat bernilai positif atau negative tergantung arah pengukurannya. Diterapkannya sistem tegak lurus mengakibatkan ruang akan terbagi menjadi 8 bagian (Oktan) dan diberi nomor menurut aturan: Oktan I berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z > 0 3

4 Oktan II berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan z > 0 Oktan III berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z > 0 Oktan IV berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z > 0 Oktan V berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z < 0 Oktan VI berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan < 0 Oktan VII berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z < 0 Oktan VIII berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z < 0 1. Jarak Antara Dua Titik di Ruang Jika diketahui sebarang dua titik pada ruang, misalkan titik K(x 1, y 1, z 1 ) dan titik Q(x, y, z ) maka jarak antara kedua titik dapat ditentukan. Perhatikan gambar balok pada ruang berikut: O R P Q Perhatikan bahwa: LM = x -x 1 K N L M KL = y -y 1 MQ = z -z 1 Sehingga, menurut aturan Phytagoras akan diperoleh: KM = LM + KL = x -x 1 + y -y 1 KQ = KM + MQ = x -x 1 + y -y 1 + z -z 1 Dengan demikian, diperoleh: KQ = x x1 y y1 z z1 Jika titik K merupakan titik asal O (0, 0, 0), maka jarak antara titik K dan Q ditentukan oleh rumus: KQ = x y z 4

5 Contoh: 1. Tentukan jarak antara dua titik P(7, 3, 0) dan Q(5, 1, -1) Penyelesaian; Jarak antara titik P dan Q, yaitu: PQ (5 7) C. RANGKUMAN a. Sistem koordinat tegak lurus pada ruang terbagi menjadi 8 bagian (Oktan) dan diberi nomor menurut aturan: Oktan I berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z > 0 Oktan II berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan z > 0 Oktan III berisi titik-titik dengan x < 0, y < 0, dan z > 0 Oktan IV berisi titik-titik dengan x > 0, y < 0, dan z > 0 Oktan V berisi titik-titik dengan x > 0, y > 0, dan z < 0 Oktan VI berisi titik-titik dengan x < 0, y > 0, dan < 0 D. TES FORMATIF 1. Perhatikan titik di bawah ini, kemudian tuliskan titik tersebut terletak di oktan mana! b. A (,3,4) c. B (-,-,1) d. C (4,-1,-1). Tulislah koordinat sebuah titik yang masing-masing terletak pada oktan I, oktan IV, dan oktan V! (cat: absis, ordinat, dan aplikat tidak boleh 0) 3. Hitunglah jarak antara titik K(1, 0, 0) dan R(5, 3, 0) pada ruang! 5

6 4. Diketahui titik A(-5,0,) dan B(-1,0, x). Jika jarak AB 5 satuan, hitung nilai x! 5. Tentukan titik P pada oktan I dan titik Q pada oktan III sedemikian sehingga jarak PQ adalah 7 satuan! (catatan: absis, ordinat, dan aplikat tidak boleh 0) E. KUNCI JAWABAN TES FORMATIF (Gunakan rubric) <<<Selamat Belajar dan Berkarya> 6