Bab 1. Irisan Kerucut

Transkripsi

1 Tahun Ajaran /Genap Bab 1. Irisan Kerucut e=0 e <1 e =1 e >1 A. Lingkaran Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik (0,0) Pada segitiga siku-siku, siku, menurut dalil phytagoras berlaku : c = a + b c b a Sekarang perhatikan segitiga siku-siku siku OAB yang berada pada gambar lingkaran dibawah ini ini. Pada segitiga disamping: y AB = x AB = y A(x, y) r AO = r y O x B x Dalil phytagoras: OB + AB = OA atau x + y = r 1

2 Tahun Ajaran /Genap Persamaan ini disebut persamaan lingkaran. Seluruh titik-titik yang memenuhi persamaan ini akan terletak pada lingkaran yang jari-jarinya r yang berpusat dititik O (0,0). Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik (a,b) y r C (x,y) BC=y - b Perhatikan gambar disamping: AB = x a A(a,b) B(x,b) x AB= x - a BC = y b AC = r Dalil phytagoras: AB + BC = AC atau (x - a) + (y - b) = r Ini adalah persamaan lingkaran yang berpusat di titik (a, b) dan memiliki jari-jari r. atau = = = = 4 + 4, :! = " 4 + 4

3 Tahun Ajaran /Genap Kedudukan titik (x 1, y 1 ) terhadap lingkaran 1. Terletak didalam lingkaran:. Terletak pada lingkaran: 3. Terletak diluar lingkaran: # $ %& + # $ '& <! # $ %& + # $ '& =! # $ %& + # $ '& >! Hubungan Garis Lurus dengan lingkaran 1. Garis memotong lingkaran pada dua titik lingkaran. Garis memotong/menyinggung pada satu titik lingkaran 3. Garis tidak memotong lingkaran lingkaran Garis memotong lingkaran pada dua titiktitik Garis Singgung Lingkaran Garis menyinggung lingkaran Garis tidak memotong lingkaran Garis yang melalui titik (a,b) dan menyinggung lingkaran yang berpusat di titik O P (a, b) O (0, 0) l 3

4 Dari gambar diatas tampak bahwa garis OP dan garis l saling tegak lurus. b misal m 1 adalah gradient garis OP: m1 = a dan m adalah gradient garis l maka m1m = 1 Tahun Ajaran /Genap m 1 = m 1 a m = b Persamaan garis singgungnya: y b = m ( x a) a y b = ( x a) b ax a y b = + b b by b = ax + a ax + by = a + b ax + by = r Dengan cara yang sama seperti cara diatas maka garis singgung melalui titik (x 1, y 1 ) dan menyinggung lingkaran yang berpusat di titik (a, b) ( x a)( x a) + ( y b)( y b) = r 1 1 Apabila diketahui gradien garis singgungnya misalnya m, maka persamaan garis singgung pada lingkaran yang berpusat di (0, 0) dapat dicari sebagai berikut: Persamaan garis singgung: y = mx + n 4

5 Tahun Ajaran /Genap Persamaan lingkaran: x + y = r Substitusikan y = mx + n kedalam x + y = r x + (mx + n) = r x + m x + mnx + n - r = 0 (1+ m )x + mnx + n - r = 0 kasus menyinggung berarti D = 0 b - 4ac = 0 (mn) - 4 (1 + m )(n - r ) = 0 4m n - 4(n - r + m n - m r ) = 0 m n - n + r - m n + m r = 0 -n + r + m r = 0 n = r + m r n = ± r 1+ m Maka persamaan garis singgungnya: y = mx ± r 1+ m Apabila lingkarannya berpusat di (a, b): (x - a) + (y - b) = r maka persamaan garis singgungnya: y b = m( x a) ± r 1+ m Contoh-contoh soal 1. Tunjukkan bahwa titik P (6,-8) terletak pada lingkaran x + y = 100 Jawab Titik P (6,-8) berarti x = 6 dan y = -8 kemudian substitusikan ke x + y 5

6 Tahun Ajaran /Genap 6 + (-8) = = 100 karena hasilnya 100 berarti titik P terletak pada lingkaran. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik A (0, -10) pada lingkaran (x - 3) + (y + 5) = 36 Jawab Titik A (0, -10) berarti x 1 = 1 dan y 1 = 4 Persamaan lingkaran (x - 3) + (y + 5) = 36 Persamaan garis singgungnya: (x - 3) (x 1-3) + (y + 5) (y 1 + 5) = 36 (x - 3) (0-3) + (y + 5) ( ) = 36-3(x - 3) -5(y + 5) = 36-3x + 9-5y = 0 3x + 5y + 4 = 0 3. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik P (, 1) pada lingkaran x + y - x + 4y - 5 = 0 Jawab P (,1) berarti x 1 = dan y 1 = 1 Persamaan lingkaran: x + y - x + 4y - 5 = 0 berarti A = -1, B =, C = -5 Persamaan garis singgung: xx 1 + yy 1 + Ax + Ax 1 + By + By 1 + C = 0 x + y + (-1)x + (-1)() + ()y + ()(1) 5 = 0 x + y x + y + - 5=0 x + 3y 5 = 0 4. Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient - pada lingkaran x + y = 16! 6

7 Tahun Ajaran /Genap Jawab m = -, r = 4 persamaan garis singgung: y = mx ± r 1+ m y = x ± ( ) y = x ± 4 5 Jadi persamaan garis singgung lingkaran: y = x y = x Tentukan persamaan garis singgung dengan gradient 3 pada lingkaran (x + ) + (y - 3) = 5! Jawab m = 3, r = 5, a = -, b = 3 persamaan garis singgung : y b = m( x a) ± r 1+ m y 3 = 3( x + ) ± (3) y = 3x ± y = 3x + 9 ± Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x - 4) + (y + 5) = 36 dan tegak lurus dengan garis ½x y = 10! Jawab Garis ½x y = 10 memiliki gradient m 1 = ½ karena tegak lurus maka 7

8 Tahun Ajaran /Genap m 1 m = -1 1/ m = -1 m = - jadi gradien garis singgung yang kita cari adalah -. a = 4, b = -5, r = 6 y b = m( x a) ± r 1+ m y + 5 = ( x 4) ± ( ) y = x ± 6 5 y = x + 3 ± 6 5 Latihan 1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat dititik O(0,0) yang berjari-jari a. b. 3 c. 5 d. 7. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat dititik O(1, ) yang berjari-jari a. 4 b. 6 c. 8 d Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat dititik O(-3,-) yang berjari-jari 8

9 Tahun Ajaran /Genap a. 4 b. 6 c. 10 d Tentukan titik pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut ini a. (x + 1) + (y - 3) = 9 b. (x - 5) + (y + 4) = 5 c. (x - 7) + (y + 10) = 0 d. (x + 8) + (y - 6) = Tentukan titik pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut ini a. x + y + 4x - 10y + 13 = 0 b. x + y + 4x - 8y - 44 = 0 c. x + y + x - 6y - 15 = 0 d. x + y + 6x + 6y - 18 = 0 e. x + y + 4x - 1y - 8 = 0 f. x + y - x + 6y - 14 = 0 g. 3x + 3y - 18x + 4y = 0 h. x + y - 6x + 4y 18 = 0 i. 4x + 4y - 1x + 16y - 0 = 0 j. 5x + 5y - 10x + 15y - 30 = 0 9

10 Tahun Ajaran /Genap 6. Periksa apakah titik-titik berikut terletak didalan lingkaran, pada lingkaran atau diluar lingkaran jika jari-jari lingkaran 8 dengan titik pusat di (0,0) a. (, 4) b. (5, -3) c. (-7, 5) d. (-3, -6) e. (-, 7) f. (-5, 6) g. (9, 1) h. (4, -4) i. (10,1) j. (8, 7) 7. Tentukan persamaan lingkaran berikut: a. titik pusat (0, 0) melalui titik (3, 4) b. titik pusat (0, 0) melalui titik (7, 1) c. titik pusat (0, 0) melalui titik (8, -6) d. titik pusat (1, -3) melalui titik (4, 0) e. titik pusat (4, 6) melalui titik (11, -6) f. titik pusat (3, -5) melalui titik (10, 7) g. titik pusat (, -6) melalui titik (-6, 8) h. titik pusat (-6, -7 ) melalui titik (, ) i. titik pusat (5, 4) melalui titik (0, 16) j. titik pusat (-7, -10) melalui titik (-5, -1) 10

11 Tahun Ajaran /Genap 8. Diketahui lingkaran x + y + px + 10y + 9 = 0 mempunyai jari-jari 5 dan menyinggung sumbu x. Tentukanlah pusat lingkaran tersebut! 9. Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3x - 4y = Tentukanlah jarak titik pusat lingkaran x - 4x + y + 4 = 0 dari sumbu y. 11. Jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran x + y + x - 5y - 1= 0, tentukanlah nilai k. 1. Lingkaran dengan persamaan x + y - 4x + y + c = 0 melalui titik (0,-1). Tentukanlah jari-jari lingkaran tersebut. 13. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x + y + 10x- 1y + 0 = 0 yang melalui titik (-9, 1). 14. Tentukanlah persamaan lingkaran dengan pusat P (3,1) dan menyinggung garis 3x + 4y + 7 = Garis singgung dititik (1,-5) pada lingkaran x + y = 169 menyinggung lingkaran (x - 5) + (y - ) = p. Tentukanlah nilai p. 16. Tentukanlah titik pusat dan jari-jari lingkaran yang melalui titik-titik (5, 0), (0, 5) dan (-1, 0) B. Ellips Unsur Unsur Elips Elips adalah tempat keduduka titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik fokus. Y C ( 0, b ) P ( x, y ) A ( a, 0 ) F 1 (- c, 0 ) O F 1 ( c, 0 ) B ( a, 0 ) X D ( 0, - b ) 11

12 Tahun Ajaran /Genap Dari gambar diatas, titik F 1 dan F dan adalah titik fokus elips dan A, B, C, D adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu : 1. Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu mayor elips adalah AB.. Garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor. Pada gambar, sumbu minor elips adalah CD. Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips. Elips juga didefinisikan sebagaitempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks. Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan : - Pusat elips O(0,0) ; - Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ; - Fokus F 1 (-c,0) dan F (c,0) ; - Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0), panjang sumbu mayor = a - Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b), panjang sumbu minor = b - Eksentrisitas : - Direktriks : e = c a a x = atau e x a = c - Panjang lactus rectum = a b A. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0) dengan fokus pada sumbu-x Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik fokusnya. -. $ = /# + 0& + -. = /# 0& + -. $ + -. = % 1

13 Tahun Ajaran /Genap /# + 0& + + /# 0& + = % /# + 0& + = % /# 0& + 1/# + 0& + = 1% /# 0& + # + 0& + = 4% 4%/# 0& + + # 0& = 4% 4%/# 0& = 4% 4%/# 0& + 0 1%/# 0& + = #% 0& % ## 0& + & = % 3 % % + % 0 + % = % % 0 + % = % 3 % 0 #0 % & + % = % #% 0 & ' + % = % ' atau % + ' = 1 Apabila fokusnya pada sumbu y F 1 (0, c) dan F (0, -c), dengan cara yang sama seperti diatas akan diperoleh: % + ' = % ' atau ' + % = 1 Catatan: c = a b Contoh 1 Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan. Jawab : Fokus di F 1 (-4,0) dan F (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x ) Panjang sumbu mayor = 10, maka a = 10. Sehingga a = 5 b = a c = 5 16 = 9 = 3 Persamaan elipsnya : 13

14 Tahun Ajaran /Genap x a y + b = 1 x 5 + y 3 = 1 x + 5 y 9 = 1 x Jadi persamaan elipnya adalah + y = Contoh x Diketahui persamaan elips + y = 1, tentukan koordinat titik puncak, koordinat titik 16 9 fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum! Jawab : x Dari persamaan elips + y = , diperoleh a = 16, maka a = 4; b = 9, maka b = 3. c = a - b, sehingga c = 16 9 =7, maka c = 7. Dari data diatas diperoleh : - Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0) - Titik fokus ( -c,0) = (- 7,0 ) dan ( c,0)=( 7,0 ) - Panjang sumbu mayor = a =. 4 = 8 - Panjang sumbu minor = b =. 3 = 6 - Eksentrisitas: e = c 7 = a 4 a 4 x = e 7 4 b.9 18 = = a Persamaan direktriks : = = = 7 - Panjang lactus rectum = B. Persamaan elips yang berpusat di P(α, β) 1. Fokus terletak pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x # 7& % + # 8& ' = 1 14

15 Tahun Ajaran /Genap Dengan : - Pusat (α, β) - Titik fokus di F 1 (α-c, β) & F (α+c, β) - Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β) - Panjang sumbu mayor = a - Panjang sumbu minor = b a - Persamaan direktriks x = α ± c. Fokus terletak pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y Dengan : - Pusat (α, β) # 7& + ' - Titik fokus di F 1 (α, β-c) & F (α,β+c) - Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a) - Panjang sumbu mayor=a - Panjang sumbu minor=b # 8& % = 1 - Persamaan direktriks y = β ± a c Contoh 1 Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan elips 4x + 9y + 16x 18y 11 = 0 Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku ( x α ) ( y β ) a + = 1 b 4x + 9y + 16x 18y 11 = 0 15

16 Tahun Ajaran /Genap 4x + 16x + 9y 18y = 11 ( x x) ( y y) = 11 {( x ) } ( y ) { } = 11 {( x ) } {( y ) } = 11 ( x ) ( y ) = 11 ( x ) ( y ) = ( x ) ( y ) = 36 ( x ) ( y 1) + = Dari persamaan diatas diperoleh : α =, β = 1, a = 9 maka a = 3, b = 4 maka a =, c a b = = = = Pusat ( α, β ) = (,1 ) - Titik fokus di F 1 ( α - c, β ) = ( - 5, 1 ) & F ( α + c, β ) = ( + 5, 1 ) - Titik puncak ( α-a, β ) =( - 3, 1 ) = ( -1, 1 ) & ( α + a, β ) = ( + 3, 1 ) = ( 5, 1 ) - Panjang sumbu mayor = a = 3 = 6 - Panjang sumbu minor = b = = 4 Latihan 1. Tentukan persamaan elips yang berpusat di O (0, 0) dengan a. fokus (-4, 0) dan (4, 0) dan sumbu mayor 10 b. fokus (-6, 0) dan (6, 0) dan sumbu mayor 16 c. fokus (-8, 0) dan (8, 0) dan sumbu mayor 0 d. fokus (-10, 0) dan (10, 0) dan sumbu mayor 6 16

17 Tahun Ajaran /Genap. Tentukanlah persamaan ellips yang berpusat di (0, 0) dengan panjang sumbu mayor dan sumbu minor berturut-turut a. 8 dan 6 b. 1 dan 8 c. 16 dan 10 d. 0 dan 1 3. Tentukanlah persamaan ellips yang titik apinya terletak pada sumbu x dan simetri terhadap titik O (0, 0) a. sumbu panjangnya 10 dan eksentrisitasnya e = 3/5 b. sumbu panjangnya 16 dan eksentrisitasnya e = 3/4 c. sumbu panjangnya 0 dan eksentrisitasnya e = /5 d. sumbu panjangnya 30 dan eksentrisitasnya e = 1/3 4. Tentukanlah persamaan ellips yang a. berpusat di titik (3, -), sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut 6 dan 4 b. berpusat di titik (-1, 5), sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut 8 dan 4 c. berpusat di titik (, -1), sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut 10 dan 6 d. berpusat di titik (-6, 9), sumbu panjang dan sumbu pendek berturut-turut 1 dan 8 5. Tentukan koordinat titik puncak, koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum pada ellips-ellips berikut ini % = 1 ' = = 1 ; = 1 6. Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan elips 17

18 Tahun Ajaran /Genap # 3& # + 1& %. + = # + & # 3& '. + = # + 5& # + 4& 0. + = # 6& # + & ;. + = Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan elips a. 4x + 8y - 8x + 3y + 4 = 0 b. 4x + 7y + 16x -4y + 51 = 0 c. 3x + 6y + 6x - 4y + 9 = 0 d. 6x + 10y - 48x + 60y + 16 = 0 8. Buatlah sketsa ellips 9x + 5y - 36x + 50y = 0 9. Tentukanlah persamaan ellips yang memiliki eksentrisitas e = /3 dan salah satu titik apinya F (6, 0). 10. Carilah persamaan garis singgung pada ellips # + & + 0 # + 3& 5 = 1 Pada titik yang ordinatnya -. 18

19 Tahun Ajaran /Genap C. Parabola Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik dan suatu garis tertentu y Q (-p, y) A P(x, y) x S O F (p, 0) B g = -p Garis g disebut direktrik Titik F(p,0) disebut titik fokus Titik O(0,0) disebut titik puncak FS disebut sumbu simetri (y = 0) FS = p = parameter Garis AB disebut latus rectum tegak lurus dengan sumbu simetri dan melalui titik F. Panjang latus rectum= 4p Persamaan Parabola Dengan sumbu x sebagai sumbu simetri PF = PQ /#?& + = +? 1/#?& + = # +?& 19

20 Tahun Ajaran /Genap? +? + = +? +? = 4? Apabila p>0 maka parabola akan terbuka ke kanan dan p < 0 parabola akan terbuka ke kiri. Dengan sumbu y sebagai sumbu simetri = 4? Apabila p > 0 parabola akan terbuka ke atas dan p < 0 parabola akan terbuka ke kebawah. Parabola dengan puncak (a,b) # '& = 4?# %& Titik fokus: F (a + p, b) Sumbu simetri: y = b Garis dielektrik: g = a - p Parabola dengan puncak (a,b) # %& = 4?# '& Titik fokus: F(a, b + p) Sumbu simetri: x = a Garis dierektrik: g = b - p Latihan 1. Tentukan persamaan parabola jika a. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 4, 0 ) b. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 8, 0 ) c. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 10, 0 ) d. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 16, 0 ) 0

21 Tahun Ajaran /Genap e. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( -4, 0 ) f. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( -8, 0 ) g. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( -1, 0 ) h. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( -10, 0 ). Tentukan persamaan parabola jika a. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0, 8 ) b. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0, 10 ) c. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0, 1 ) d. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0, 6 ) e. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0, -5 ) f. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0, -7 ) g. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0, -9 ) h. titik puncaknya di (0, 0) dan titik fokusnya ( 0, -11 ) 3. Tentukan persamaan parabola jika a. titik puncaknya (, 3) dan titik fokusnya ( 6, 3 ) b. titik puncaknya ( 1, 4) dan titik fokusnya ( 7, 4 ) c. titik puncaknya ( -, ) dan titik fokusnya ( 4, ) d. titik puncaknya ( 3, -5) dan titik fokusnya ( 8, -5 ) e. titik puncaknya ( -1, -1) dan titik fokusnya ( -1, 5 ) f. titik puncaknya ( -4, ) dan titik fokusnya ( -4, 8 ) g. titik puncaknya ( -, -3) dan titik fokusnya ( -, -11 ) h. titik puncaknya ( 5, -6) dan titik fokusnya ( 5, 0 ) 4. Tentukan koordinat fokus dan koordinat titik puncak, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum dari persamaan parabola a. y = 4x b. y = -10x c. 3y = 15x d. y = - ½ x 1

22 Tahun Ajaran /Genap 5. Tentukan koordinat fokus dan koordinat titik puncak, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum dari persamaan parabola a. x = 8y b. 1/3x = -4y c. /3x = -8y d. 3/10x = - ½ y 6. Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum dari persamaan parabola a. (y - ) = 4(x - 1) b. (y + 5) = 6(x - ) c. (y - 4) = -8(x + 3) d. (y + 9) = -10(x 1/) 7. Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum dari persamaan parabola a. (x - 4) = 1(y - 1) b. (x + 3) = -16(y - ) c. (x - 4) = 0(y + 3) d. (x + 5) = -18(y 1/3) 8. Tentukan koordinat titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum dari persamaan parabola a. y 6y 6x + 15 = 0 b. y + 10y 10x + 55 = 0 c. x - 4x - 8y + 6 = 0 d. x + 8x + 1y + 4 = 0

23 Tahun Ajaran /Genap D. Hiperbola Hiperbola adalah tempat kedudukan titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap harganya. Dua titik tersebut disebut fokus hiperbola. Q P (x, y) F A B G (-c,0) (-a,0) O (a,0) (c,0) Titik F (-c, 0) dan G (c, 0) adalah titik fokus hiperbola yang jaraknya c. Titik O (0, 0) disebut pusat parabola Titik A(-a,0) dan B(a,0) disebut puncak parabola. Harga c/a disebut eksentrisitas hiperbola. PF - PG = QG - QF = a (tetap) Persamaan hiperbola dengan pusat (0, 0) -. = /# + 0& + -@ = /# 0& @ = % /# + 0& + /# 0& + = % /# + 0& + = % + /# 0& + 3

24 Tahun Ajaran /Genap /# + 0& + = 1% + /# 0& + # + 0& + = 4% + 4%/# 0& + + # 0& = 4% + 4%/# 0& = 4% + 4%/# 0& = 4% + 4%/# 0& + 0 = % + %/# 0& + 0 % = %/# 0& + #0 % & = 1%/# 0& + 0 % 0 + % 3 = % ## 0& + & 0 % 0 + % 3 = % # & 0 % 0 + % 3 = % % 0 + % 0 + % 0 % % = % 0 % 3 #0 % & % = % #0 % & ' % = % ' % ' = 1 Persamaan hiperbola dengan pusat (α, β) # 7& % # β& ' = 1 4

25 Tahun Ajaran /Genap BM y x = α F A (α, β) B G y = β O(0, 0) x Asymptot, direktrik dan eksentisitet Asymptot Asymptot Q P (x, y) F A O B G Asymptot: = ± ' % direktik f g 5

26 Tahun Ajaran /Genap B = % 0 C = % 0 Eksentrisitas: D = 0 % > 1 Latihan 1. Tentukan persamaan hiperbola jika a. titik puncak (-, 0) dan (, 0), titik fokus (-4, 0) dan (4, 0) b. titik puncak (-3, 0) dan (3, 0), titik fokus (-6, 0) dan (6, 0) c. titik puncak (-3, 0) dan (3, 0), titik fokus (-5, 0) dan (5, 0) d. titik puncak (-4, 0) dan (4, 0), titik fokus (6, 0) dan (6, 0). Tentukan persamaan hiperbola jika a. titik puncak (0, -3) dan (0, 3), titik fokus (0, -5) dan (4, 5) b. titik puncak (0, -) dan (0, ), titik fokus (0, -6) dan (0, 6) c. titik puncak (0, -4) dan (0, 4), titik fokus (0, -7) dan (0, 7) d. titik puncak (-4, 0) dan (4, 0), titik fokus (6, 0) dan (6, 0) 3. Tentukanlah koordinat titik puncak, koordinat titik fokus, persamaan asimtot, persamaan direktriks dan panjang latus rectum dari persamaan hiperbola berikut ini % = 1 '. 1 8 = = 1 ; = 1 4. Tentukanlah koordinat titik puncak, koordinat titik fokus, persamaan asimtot, persamaan direktriks dan panjang latus rectum dari persamaan hiperbola berikut ini 6

27 Tahun Ajaran /Genap % = 1 ' = = 1 ; = 1 5. Tentukanlah koordinat titik puncak, koordinat titik fokus, persamaan asimtot, persamaan direktriks dan panjang latus rectum dari persamaan hiperbola berikut ini # + 1& # & %. = # 3& # + 5& '. = # + 7& # + 4& 0. = 1 18 # + & # 4& ;. = Tentukanlah koordinat titik puncak, koordinat titik hiperbola, persamaan asimtot, persamaan direktriks dan panjang latus rectum dari persamaan hiperbola berikut ini # 5& # + 1& %. = # 3& # & '. = # + 4& # + 3& 0. = 1 30 # + 6& # & ;. = Tentukanlah koordinat titik puncak, koordinat titik hiperbola, persamaan asimtot, persamaan direktriks dan panjang latus rectum dari persamaan hiperbola berikut ini a. 4x - 9y + 8x - 18y - 41 = 0 b. 6x - 10y + 1x + 40y - 94 = 0 c. 4y - 16x - 16y + 3x - 64 = 0 d. 8y - 16x + 48y + 10x - 34 = 0 7

28 Tahun Ajaran /Genap Soal-Soal Latihan Tambahan 1. Lingkaran yang berpusat di titik O (0, 0) dengan jari jari 3 adalah : a. x + y = 3 d. x + y = 6 b. x + y = 3 e. x + y = 9 c. x + y = 6. Pusat dan jari jari lingkaran dengan persamaan x + y 10 y = 0 berturut turut adalah : a. (10, ) dan 10 d. (-5, -1) dan 6 b. (5, 1) dan 6 e. (5, 1) dan 6 c. (-5, 1) dan 6 3. Persamaan lingkaran yang berjari jari 3 dan menyinggung sumbu x di (3, 0) menyinggung sumbu y di titik (0, 3) adalah : a. (x 3) + (y 3) = 3 d. (x 3) + (y + 3) = 9 b. (x + 3) + (y 3) = 3 e. (x 3) + (y 3) = 9 c. (x + 3) + (y 3) = 9 4. Persamaan garis singgung lingkaran x + y = 9 di titik (1, ) adalah : a. x + y = 5 d. x + y = 5 b. x + y = - 5 e. x + y = - 5 c. x + y 5 = 0 5. Persamaan garis singgung lingkaran x + y + 5x 6y + 33 = 0 yang melalui titik (1, -3) adalah : a. 7x - 1y 43 = 0 d. 6x - 7y + 34 = 0 8

29 Tahun Ajaran /Genap b. 7x + 1y 43 = 0 e. 1x + 7y 4 = 0 c. -7x - 1y + 1 = 0 6. Koordinat titik fokus parabola y = -1x adalah : a. (-1, 0) d. (0, -3) b. (-4, 0) e. (0, -4) c. (-3, 0) 7. Koordinat tititk puncak parabola y + x 6y + 11 = 0 a. (-1, 3) d. (, -3) b. (1, -3) e. (-, 6) c. (, -6) 8. Persamaan parabola yang berpuncak di titik (4, -), mempunyai sumbu simetri garis x = 4 dan panjang lactus rectum 8 adalah : a. (y + ) = 8(x 4 ) d. (y + ) = - 8(x + ) b. (y - ) = 8(x 4 ) e. (y + ) = - 8(x ) c. (y + 1) = 8(x + 4 ) 9. Persamaan garis singgung parabola y = 3x yang melalui titik (, 8) adalah :.. a. y = 3x + 64 d. y = x + 4 b. y = 16x + e. y = x + c. y = 8x Persamaan garis singgung parabola (y - 3) = 8(x + 5 ) yang tegak lurus dengan garis x y 4 = 0 a. x + y 4 = 0 d. x - y = 0 b. x + y + = 0 e. x - 8y 5 = 0 c. x + y + 8 = 0 9

30 Tahun Ajaran /Genap 11. Panjang sumbu mayor dari persamaan elips 0x + 36y = 70 adalah : a. 5 d. 0 b. 6 e. 36 c Koordinat titik fokus dari persamaan elips 9x + 5y + 18x 100y = 116 adalah : a. (5, ) dan (-3, ) d. (-1, 6) dan (5, 3) b. (-3, -) dan (1, 3) e. (5, ) dan (-3, 5) c. (3, ) dan (5, ) 13. Persamaan elips dengan pusat O (0, 0).Puncak (10, 0) dan (-10, 0) serta salah satu fokusnya (-6, 0) adalah : a. 10x + 6y = 60 d. 9x + 16y = 144 b. 36x + 16y = 400 e. 9x + 5y = 5 c. 16x + 9y = Persamaan garis singgung elips 5x + 0y =100 pada titik (4, 1) adalah : a. x - y + 5 = 0 d. x + y = -5 b. x + y + 5 = 0 e. -x - y = 5 c. x + y = Persamaan garis singgung elips + y = ) adalah : a. 3x - 6 y = 9 d. 6x - 6 y = 1 b. 3x - 6 y = 3 e. x - 6 y = 1 c. 3x y = Persamaan garis singgung elips 5x + y = 5 yang melalui titik A(-, 1) adalah : 30

31 Tahun Ajaran /Genap a. x + 3y + 7 = 0 d. x - y - 3 = 0 b. x - 3y + 5 = 0 e. x - y - 5 = 0 c. 3x + y + 9 = Salah satu asimtot dari hiperbola 9x + 16y - 54x 64y - 17 = 0 adalah a. 4x - 3y - 18 = 0 d. 3x - 4y 17 = 0 b. 4x - 3y - 6 = 0 e. 3x - 4y 1 = 0 c. 4x - 3y - 1 = Koordinat titik puncak hiperbola x - 4y - x + 4y - 39 = 0 adalah : a. (1, ) dan (-1, ) d. (1, 0) dan (1, 4) b. (3, ) dan (-1, ) e. (1, -) dan (1, -4) c. (1, 3) dan (-1, 3) 19. Persamaan garis singgung hiperbola 4x - y - 40x - 4y + 48 = 0 di titik (9, ) adalah : a. 4x - y + 1 = 0 d. 9x - y - 34 = 0 b. 4x - y - 34 = 0 e. 9x - y + 1 = 0 c. 4x - y - 8 = 0 0. Persamaan garis singgung hiperbola 4x - y + 1 = 0 di titik (1, 4) adalah : a. 19x + 11y = 63 dan x y = -3 b. 19x + 11y = -63 dan x y = 3 c. 19x - 11y = 63 dan x + y = -3 d. 19x - 11y = -16 dan x + y = 3 e. -19x + 11y = 16 dan -x + y = -3 31