Lingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Transkripsi

1 Bab Sumber: Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dalam berbagai situasi. Anda telah mempelajari konsep lingkaran di Kelas VIII. Pada pembahasan konsep lingkaran tersebut telah dibahas mengenai keliling dan luas daerah lingkaran. Pada bab ini, konsep lingkaran akan dikembangkan pada bentuk umum persamaan lingkaran dan persamaan garis singgung lingkaran. Konsep lingkaran sangat penting peranannya dalam ilmu pengetahuan dan teknologi untuk memecahkan suatu masalah seperti berikut. Gedung Parthenon dibangun 0 SM. Gedung tersebut dirancang oleh arsitek Yunani dengan menggunakan perbandingan nisbah emas. Amati gambar berikut. A D E B G C F Pada titik tengah sisi persegi ABCD dibuat busur lingkaran dengan pusat G dan jari-jari GD. tersebut memotong perpanjangan BC di F. Nisbah BF : AB disebut perbandingan nisbah emas. Menurut para ahli, perbandingan nisbah emas merupakan perbandingan yang paling enak dipandang. Jika busur DF memenuhi persamaan x + y 8y = 0, berapa perbandingan nisbah emas gedung Parthenon? A. Persamaan B. Persamaan Garis Singgung 9

2 Diagram Alur Untuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan sebagai berikut. meliputi Persamaan yang Persamaan Garis Singgung dapat Posisi Garis terhadap dapat Pusat O dan Jari-jari r x + y = r Pusat M (a,b) dan jari-jari r (x a) + (y b) = r Persamaan umum x + y + Ax + By + C = 0 Memotong di Satu Titik Memotong di Dua Titik Tidak memotong syarat syarat syarat D = 0 D > 0 D < 0 Melalui Satu Titik pada Melalui Satu Titik di Luar Memiliki Gradien Tertentu Tes Kompetensi Awal Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.. Jelaskan apa yang Anda ketahui Tentang teorema Pythagoras.. Sebutkan langkah-langkah yang Anda lakukan untuk melengkapkan bentuk kuadrat ruas kiri persamaan kuadrat x + x x =.. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat berikut. a. x 7x + 0 b. x +x x 0. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik (,0) dan bergradien.. a. Bagaimana hubungan gradien antara dua garis sejajar? Jelaskan. b. Bagaimana hubungan gradien antara dua garis tegak lurus? Jelaskan. 6. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(,) dan B (,7). 7. Tentukan jarak antara titik A (,) dan B (,). 96 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

3 A. Persamaan Gambar. memperlihatkan irisan kerucut berbentuk lingkaran. Pada gambar itu tampak bahwa bidang datarnya mengiris seluruh bagian dari selimut dan tegak lurus sumbu kerucut. Tentunya, Anda masih ingat definisi lingkaran yang telah dipelajari di SMP. Agar Anda ingat kembali, berikut ini disajikan definisi lingkaran. Definisi. ialah tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai jarak yang sama terhadap satu titik tertentu. Gambar.. Persamaan Berpusat di O (0, 0) dan Berjari-jari r Amati Gambar.. Diketahui, titik P(x, y) adalah titik sebarang pada lingkaran L. Apabila titik P diproyeksikan pada sumbu-x x maka diperoleh titik P' sehingga segitiga OPP' adalah segitiga siku-siku di P'. Pada segitiga OPP' berlaku Teorema Pythagoras sebagai berikut. OP = (OP') + (P'P) r = x + y L dapat dituliskan sebagai berikut. L= xy x y r Pandang titik P (x, y ) pada OP P'. Pada segitiga tersebut berlaku x + y = r. Pandang titik P (x, y ) pada OP P '. Pada segitiga tersebut berlaku x + y = r, dan seterusnya. Secara umum untuk setiap titik P(x, y) pada lingkaran ini berlaku x + y = r. Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari-jari r adalah P (x,y ) y P (x,y ) r r y x x P' O P' P' r Gambar. P(x,y) x + y =r 97

4 Contoh.. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0) dengan panjang jari-jari.. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik (0, 0) dan melalui titik ( 6, 8). Jawab:. Jari-jari r = sehingga r = =. Jadi, persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari adalah x + y =.. Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dengan jari-jari r adalah x + y = r... () Oleh karena lingkaran melalui titik ( 6, 8) maka dengan menyubstitusikan ( 6, 8) pada persamaan (), diperoleh x + y = r ( 6) + ( 8) = r r = = 00 r = 00 = 0 Kemudian, r = 00 substitusikan pada persamaan (), diperoleh x + y = 00. Jadi, persamaan lingkarannya adalah x + y = 00.. Persamaan dengan Pusat T (a, b) dan Berjari-Jari r b y T(a,b) a x r P(x,y) y Q g x Gambar. Diketahui, sebuah lingkaran berpusat di titik T(a,b) dengan jari-jari r seperti diperlihatkan pada Gambar.. Titik P(x(, y) adalah titik sebarang pada lingkaran, garis g adalah garis yang melalui titik pusat T(a, b) dan sejajar dengan sumbu-x. Proyeksi titik P terhadap garis g adalah titik Q sehingga segitiga TPQ siku-siku di Q. Diketahui jarak TQ = (x a) dan jarak PQ = (y b). Pada segitiga TPQ berlaku teorema Pythagoras sebagai berikut. TP = TQ + PQ r = (x x a) + (y b) L dapat dituliskan sebagai berikut: L: {(x, y)(x a) + (y b) = r } Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dan berjari-jari r adalah (x a) + (y b) = r Selanjutnya, persamaan tersebut dinamakan persamaan lingkaran standar (baku). 98 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

5 . Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (, ) dengan jari-jari.. Tentukan persamaan lingkaran standar dengan pusat T (, ) dan menyinggung garis x x y 9 = 0. Jawab:. Persamaan lingkaran standar (x a) + (x b) = r. Untuk pusat (, ) dengan jari-jari, diperoleh (x ) + (y ( )) = (x ) + (y + ) = 8 Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x ) + (y + ) = 8.. Rumus jarak dari titik T (x, y ) ke garis ax + by + c = 0 adalah d = ax by c a b Jarak dari pusat T (, ) ke garis x y 9 = 0 adalah jarijari lingkaran, yaitu r = Contoh = Jadi, persamaan lingkarannya adalah (x ) + (y + ) =.. Bentuk Umum Persamaan Anda telah mempelajari persamaan lingkaran yang berpusat di titik T (a, b) dengan jari-jari r, yaitu (x a) + (y b) = r. Jika persamaan tersebut diuraikan maka diperoleh x ax + a + y by + b = r x + y ax by + (a + b r ) = 0 x + y + Ax + By + C = 0 dengan A = a; B = b; dan C = (a + b r ); A, B, dan C bilangan real. Jadi, x + y + Ax + By + C = 0 adalah persamaan lingkaran yang berpusat di T(a, b) dengan jari-jari r, A = a, B = b, C = a + b r, A, B, dan C bilangan real. 99

6 Soal Terbuka. Buatlah buah persamaan lingkaran yang berpusat di (0, 0). Berikan hasilnya kepada teman Anda untuk dicek dan beri komentar.. Buatlah buah persamaan lingkaran yang berpusat di (a,b). Berikan hasilnya kepada teman Anda untuk dicek dan beri komentar. Cobalah Anda ubah persamaan lingkaran x + y + Ax + By + C = 0 ke dalam bentuk kuadrat sempurna. Tuliskan langkah-langkahnya di buku tugas Anda, kemudian kumpulkan pada guru Anda. Jika bentuk umum persamaan lingkaran itu diubah dalam bentuk kuadrat sempurna maka diperoleh x + y + Ax + By + C = 0 (x + Ax) + (y + By) = C x Ax A By B y A B C x A x B A B C Dari persamaan tersebut, diperoleh pusat lingkaran A, B dan jari-jari lingkaran r = A B C. Tugas Bersama kelompok belajar Anda, gambarlah pada kertas grafik Anda persamaan lingkaran x + y x x 6 y 6 Kemudian, hasilnya 0 = 0. kumpulkan pada guru Anda. Contoh.. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x + y xx + 6 y = 0.. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x +y x y = 0. Jawab:. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah x + y + Ax + By + C = 0 Dengan demikian, A =, B = 6, dan C =. Pusat M A, B = M (, ) Jari-jari r = A B C =. Ubahlah persamaan pada soal menjadi bentuk umum, seperti berikut. x + y xx y 0 = 0 x + y x x 6 y 0 Dengan demikian, A =, B = 6, dan C = 0. Pusat M A, B = M, = (, ) Jari-jari r = = 0 00 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

7 . Posisi Titik terhadap Bentuk geometris persamaan lingkaran (xx ) + (yy ) = 9 diperlihatkan pada Gambar.. Pada gambar itu tampak bahwa titik P (, ) terletak di dalam lingkaran, titik P (, ) terletak pada lingkaran, sedangkan titik P (6, ) terletak di luar lingkaran. Anda dapat mengetahui posisi titik P(x, y ) terhadap lingkaran yang berpusat di T(a, b) berjari-jari r hanya dengan mengetahui jarak titik P(x, y ) ke pusat lingkaran T(a, b). Jika jarak titik P(x(, y ) ke pusat lingkaran T(a, b) kurang dari jari-jari lingkaran maka titik P(x, y ) berada di dalam lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar.(a). Secara matematis ditulis PT < r x a y b < r (x a) + (y b) < r atau x + y + Ax + By + C < 0 Jika jarak titik P(x, y ) ke pusat lingkaran T(a, b) sama dengan jari-jari lingkaran maka titik P(x, y ) berada pada lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar.(b). Secara matematis, ditulis PT = r x a y b = r (x a) + (y b) = r atau x + y + Ax + By + C = 0 Jika jarak titik P(x, y ) ke pusat lingkaran T(a, b) lebih dari jari-jari lingkaran maka titik P(x, y ) berada di luar lingkaran seperti diperlihatkan pada Gambar.(c). Secara matematis ditulis PT > r x a y b > r (x a) + (y b) > r atau x + y + Ax + By + C > 0 Contoh. Tentukanlah posisi titik A(, ), B(, ), dan C(6, ) terhadap lingkaran dengan persamaan x + y x x + 6y = 0. Jawab: Persamaan lingkaran x + y x + 6y = 0 dapat diubah sebagai berikut. x + y x + 6y = 0 (x x) + (y + 6y) = 0 (x x x + ) + ( y + 6y + 9) = kedua ruas ditambah dan 9 y P (,) r = T(,) Gambar. P(x, y ) PT r T(a, b) PT < r (a) P(x, y ) PT r T(a, b) PT = r (b) P(x, y ) PT r T(a, b) PT > r (c) Gambar. Soal Terbuka P (,) P (6, ) Buatlah sebuah persamaan lingkaran. Kemudian, tentukan titik-titik yang berada di dalam, di luar, dan pada lingkaran (masingmasing buah). x 0

8 P T(a,b) g (x x ) + (y + ) = (x x ) + (y + ) = Titik A (, ) terletak pada lingkaran sebab ( ) + ( + ) =. Titik B (, ) terletak di dalam lingkaran sebab ( ) + ( + ) <. Titik C (6, ) terletak di luar lingkaran sebab (6 ) + ( + ) >. (a) P T(a,b) (b) g P T(a,b) g (c) Gambar.6. Posisi Garis terhadap Diketahui garis g: y = mx + n, dan lingkaran L: x + y + Ax + By + C = 0. Perpotongan garis g dengan lingkaran L adalah x + y + Ax + By + C = 0 x + (mx x + n) + Ax + B (mx + n) + C = 0 x + m x +mnx + n + Ax + Bmx + Bn + C = 0 ( + m )x + (mn + A + Bm)x + n + Bn + C = 0 Nilai diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah D = b ac = (mn + A + Bm) ( + m ) (n + Bn + C) Jika D > 0, diperoleh dua buah akar real yang berlainan. Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x + y + Ax + By + C = 0 di dua titik yang berlainan, seperti pada Gambar.6(a). Jika D = 0, diperoleh dua buah akar real yang sama. Secara geometris, garis g: y = mx + n akan memotong lingkaran x + y + Ax + By + C = 0, di satu titik. Dikatakan garis g menyinggung lingkaran tersebut, seperti diperlihatkan pada Gambar.6(b). Jika D < 0, diperoleh dua buah akar imajiner yang berlainan. Secara geometris, garis g : y = mx + n tidak memotong atau menyinggung lingkaran x + y + Ax + By + C = 0 seperti diperlihatkan pada Gambar.6(c). Contoh. Diketahui garis lurus g dengan persamaan y = mx + dan lingkaran L dengan persamaan x + y =. Agar garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berbeda, tentukan nilai m yang memenuhi. 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

9 Jawab: y = mx + maka y = (mx + ) = m x + m x + x + y = x + m x + mx + = (+ m )x + mx x = 0 Diskriminan D = (m) ( + m ) (0) D = 6m Agar garis g memotong lingkaran L di dua titik maka haruslah D > 0. Dengan demikian, 6m > 0 m > 0 m > 0 Jadi, nilai m yang memenuhi adalah m > 0. Tes Kompetensi Subbab A Tantangan untuk Anda Titik A(,8), B(,), dan C(0,0) terletak pada lingkaran. a. Tunjukkan bahwa segitiga ABC adalah segitiga sikusiku di B. b. Mengapa titik P(7,0) adalah pusat lingkaran? Jelaskan c. Hitunglah jari-jari lingkaran tersebut. d. Carilah persamaan lingkaran tersebut. Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Tentukan persamaan lingkaran dalam bentuk standar (baku) untuk setiap soal berikut. a. Pusat (, ) dan jari-jari. b. Pusat (, ) dan melalui titik (, ). c. Pusat (, ) dan diameter. d. Mempunyai diameter yang ujungnya melalui titik (, ) dan (, ).. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran soalsoal berikut. a. x + y 0x x + 6y + 6 = 0 b. x +y + 8x x 6y + 7 = 0 c. x + y x x + 8y + = 0 d. x +y +x x +y + = 0. Bagaimana posisi titik-titik berikut ini (di dalam, pada, atau di luar lingkaran) terhadap lingkaran yang diketahui? a. P(,6), Q(,), dan R(,) terhadap lingkarann x + y +x x 0 y + = 0. b. K(,), L(,0), dan M (,) terhadap lingkaran x + y x x 6y = 0.. Sebuah ayunan bandul bergerak bolak-balik seperti diperlihatkan pada gambar berikut. P Lintasan ay u n a n bandul (busur AB pada A B gambar) memenuhi persamaan lingkaran x + y 6,8y,9 = 0. a. Berapa panjang ayunan bandul? b. Berapa koordinat titik P?. Nyatakan apakah garis y = x + memotong lingkaran x + y = 9 di satu titik, dua titik, atau tidak memiliki titik potong. 6. Bentuk geometris jendela sebuah gedung terdiri atas persegipanjang dan setengah lingkaran. Jendela tersebut dirancang oleh arsitek menggunakan sistem koordinat seperti diperlihatkan pada gambar berikut. Jika keliling setengah lingkaran dari jendela tersebut memenuhi persamaan x + y y +, = 0, berapa m luas daerah jendela tersebut? (Petunjuk: anggap satuan luasnya m ). y x 0

10 B. Persamaan Garis Singgung. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik pada y Titik P(x(, y ) terletak pada garis g dan lingkaran x + y = r, seperti diperlihatkan pada Gambar.7. Gradien garis yang menghubungkan titik O dan titik P O x r P(x, y ) y g x Q Gambar.7 adalah m OP = y. Garis g menyinggung lingkaran di P, jelas x OP g sehingga m OP m g = atau m g =. Akibatnya, m op gradien garis g adalah m g = = x. m op y Jadi, persamaan garis singgung g adalah y y = m g (x x x ) y y = x y (x x x ) y (y y ) = x (x x x ) x x + y y = x + y... (i) Titik P(x, y ) terletak pada lingkaran x + y = r sehingga x + y = r...(ii) Apabila persamaan (ii) disubstitusikan ke persamaan (i) diperoleh g: x x + y y = r Persamaan tersebut adalah persamaan garis singgung yang melalui titik P(x, y ) dan terletak pada lingkaran L : x + y = r. Anda pun dapat menentukan persamaan garis singung g melalui titik P (x, y ) yang terletak pada lingkaran L : ( x a) + (y b) = r dengan pusat di M(a, b) dan jari-jari r, yaitu g: (x x a) (x a) + (y b) (y b) = r Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut. Kemudian, kemukakan hasilnya di depan kelas (beberapa orang saja). Diketahui titik P(x, y ) terletak pada garis g dan lingkaran L: x + y + Ax + By + C = 0 seperti diperlihatkan pada Gambar.8. Gradien garis yang menghubungkan titik T dan titik P adalah 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

11 m TP = y b. x a Garis g menyinggung lingkaran maka g TP dan m g m MP = sehingga m g = x a y b Jadi, persamaan garis singgung g adalah y y = m g (x x ) y y = x a (x x ) y b (y y ) (y b) = (x a) (x x x ) y y by y + y b = x x + x + ax ax y y by + y b + x x ax + ax = x + y... () Titik P(x, y ) terletak pada lingkaran L sehingga diperoleh x + y + Ax + By + C = 0 x + y = (Ax + By + C)... () Substitusikan () pada (), diperoleh y y by + y b + x x ax + ax = (Ax + By + C)... () Dari uraian sebelumnya, diperoleh A = a, B =... () b Substitusikan () pada () sehingga persamaan () menjadi y y + B y B y + x x + A x A x = Ax By C y y + B y + B y + x x + A x + A x + C = 0 x x + y y + A (x + x ) + B (y + y ) + C = 0 Jadi, persamaan garis singgung yang melalui titik P(x(, y ) dan terletak pada lingkaran L: x + y + Ax + By + C = 0 adalah xx + yy + A (x + x ) + B (y + y ) + C = 0 y g Gambar.8 T(a, b) (x a) P(x, y ) (y b) x Contoh.6. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = di titik (, ).. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran (x x + ) + (y ) = di titik ( 6, ). 0

12 Jawab:. Titik (, ) terletak pada lingkaran sebab + ( ) =. Persamaan garis singgung g: x x + y y = r dengan x = dan y = adalah xx y =.. Titik ( 6, ) terletak pada lingkaran karena ( 6 + ) + ( ) =. Diketahui a = dan b = maka persamaan garis singgung (x a)(x a) + (y b)(y b) = r (x + ) (x x + ) + ( y ) (y ) = Untuk x = 6 dan y = diperoleh ( 6 + ) (x x + ) + ( ) ( y ) = (x x + ) + ( y ) = x x 8 + y = x x + y = Mari, Cari Tahu Buatlah kelompok yang terdiri atas orang. Gradien suatu garis lurus biasanya dilambangkan dengan m. Cari informasi di buku lain atau internet, mengapa huruf m yang digunakan? Selidiki pula adakah huruf lain yang digunakan? Tuliskan laporannya dan presentasikan hasil tersebut di depan kelas.. Persamaan Garis Singgung Melalui Suatu Titik di Luar Diketahui titik P(x, y ) berada di luar lingkaran L: x + y = r () Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui P(x, y ) adalah g: y = y + m(x x ) (). Jika g menyinggung L di titik Q, Anda dapat menyubstitusikan persamaan () ke persamaan () sehingga diperoleh persamaan kuadrat dalam x. Selanjutnya, Anda cari diskriminan (D) persamaan kuadrat tersebut. Oleh karena g menyinggung L maka D = 0 sehingga nilai-nilai m dapat diperoleh. Apabila nilai m diketahui, Anda dapat menentukan persamaan garis singgung g dengan cara menyubstitusikan m ke persamaan garis g tersebut. Untuk lebih jelasnya, pelajari contoh berikut. 06 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

13 Contoh.7. Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = yang dapat ditarik dari titik (7, ).. Tentukan koordinat-koordinat titik singgung.. Tentukan persamaan garis yang menghubungkan titik-titik singgung. Jawab:. Titik P (7, ) terletak di luar lingkaran. Coba Anda buktikan hal ini. Misalkan, persamaan garis singgung yang melalui (7, ) dengan gradien m adalah y + = m(x 7) y = mx 7m... () Substitusi () ke persamaan lingkaran x + y =, diperoleh x + (mx x 7m ) = x² + m²x² ² m²x mx + 9m² + m + = ( + m²)x² (m² + m)x x + (9m² + m ) = 0 Nilai diskriminan, yaitu D = (m² + m)² ( + m²) (9m² + m ) D = 96m + 6m + m² 00m² 6m m m 6m D = 96m 6m + 96 Syarat garis menyinggung lingkaran adalah D = 0 sehingga 96m 6m + 96 = 0 atau m + 7m = 0 m = 7 atau m = 7 Untuk m= substitusikan pada persamaan () diperoleh persamaan garis singgung: y = x 7. = x atau y x x + = 0. Pe embahasan Soal Persamaan garis singgung melalui titik (9, 0) pada lingkaran x + y = 6 adalah... Jawab: Misalkan, persamaan garis singgung y 0 = m(x 9) y = mx 9m maka x + (mx 9) = 6 x + mx 8mx + 8 = 6 ( + m)x 8mx + = 0 syarat menyinggung: (8m) ( + m)() = 0 m 80m 80 = 0 m = 80 m = m =± y = y = (x 9) y 9 (x 9) y 9 Soal Ebtanas 998 Untuk m = substitusikan pada persamaan () diperoleh persamaan garis singgung: y = x + 7. = atau y + y x = 0. Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x + y = di titik (7, ) adalah l: y x x + = 0 dan g: y +x x = 0.. Misalkan, titik A adalah titik singgung garis l: y x x + = 0 dengan lingkaran. 07

14 Tantangan untuk Anda. Tunjukkan bahwa persamaan garis y + x x + 0 = 0 adalah garis singgung lingkaran x + y 8x +y 0 = 0. kemudian, tentukan titik singgungnya.. Carilah bilangan p yang mungkin sehingga garis x + y + p = 0 adalah garis singgung lingkaran x + y = 8. l: y x + = 0 atau l: y = x. Substitusi garis l ke persamaan lingkaran x + y = diperoleh x + x = x x x = x x = x 0x + = 0 x 6x x + 9 = 0 (x x ) = 0 x =. Coba Anda substitusikan x = pada persamaan garis singgung y = x Apakah Anda memperoleh titik singgung A (, )? Misalkan, titik B adalah titik singgung garis g: y + xx = 0 dengan lingkaran g: y +x x = 0 atau g: y =. Substitusi garis g ke persamaan lingkaran x + y = diperoleh x + = x x x = x x = x 00x x + 00 = 0 x 8x + 6 = 0 (x ) = 0 x = Coba Anda substitusikan x = pada persamaan garis singgung y = Apakah Anda memperoleh titik singgung B(, )? Jadi, koordinat titik singgung adalah A(, ) dan B(, ).. Persamaan garis yang melalui titik A(, ) dan B(, ) diperoleh dengan menggunakan rumus persamaan garis y y x x y y x x sehingga x 7y 8 = x x + 7y = Persamaan garis yang menghubungkan titik singgung A dan B adalah x + 7y =. 08 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

15 . Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu Diketahui, persamaan garis dengan gradien m adalah g: y = mx + n. Jika titik P terletak pada g dan lingkaran x + y = r maka x + (mx + n) = r x + m x + mnx + n r = 0 (m + )x +mnx x + ( n r ) = 0 Syarat nilai diskriminan adalah D = 0 karena garis y = mx + n menyinggung lingkaran. Dengan demikian, (mn) (m + ) (n r ) = 0 m n m n + m r n + r = 0 m r n + r = 0 n = m r +r n = (m + )r n = r m atau n = r m Substitusikan nilai n ke persamaan garis y = mx + n, diperoleh y = mx ± r m. Persamaan garis singgung lingkaran L: x + y = r dengan gradien m adalah y = mx ± r m Anda pun dapat menentukan persamaan garis singgung lingkaran L: (x x a) + (y b) = r untuk gradien m dengan titik pusat lingkaran T(a, b) dan jari-jari r, yaitu (y b) = m (x a) ± r m Bersama teman sebangku, buktikan persamaan tersebut, hasilnya tuliskan dan jelaskan di depan kelas (beberapa siswa saja). Contoh.8 Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = dengan gradien m =. Jawab: Persamaan garis untuk gradien m = adalah y = ( ) x + n atau y = x + n. Substitusi persamaan garis ini ke persamaan lingkaran, diperoleh x + ( x + n) = x + x nx x + n = x nx + (n ) = 0 09

16 Nilai diskriminan untuk D = 0 adalah D = n 8(n ) 0 = n + n = 8 n = atau n = Jadi, persamaan garis singgung lingkaran adalah g : y = x + dan g : y = x. Coba Anda buat sketsa untuk soal ini. Contoh.9 Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran (xx ) + (y ) = 8 dengan gradien m =. Jawab: Persamaan lingkaran (xx ) + (yy ) = 8 mempunyai jari-jari. Persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut adalah y b = m (x a) ± r m y = ( )(x ) ± y = xx + ± y = x x + ± Jadi, persamaan garis singgungnya adalah g : y = x x + 9 dan g : y = x x +. Contoh.0 Garis g menghubungkan titik A(, 0) dan titik B(0 cos θ, 0 sin θ). Titik P terletak pada AB sehingga AP : PB = :. Jika θ berubah dari 0 sampai maka titik P bergerak menelusuri suatu lingkaran. Tentukan persamaan lingkaran tersebut. Jawab: Langkah ke- Menuliskan apa yang diketahui dan apa yang ditanyakan soal. Diketahui : garis g menghubungkan A(, 0) dan B(0 cos θ, 0 sin θ) AP : PB = : Ditanyakan : Persamaan kurva. Langkah ke- Menentukan konsep yang akan digunakan dalam menjawab soal. Pada soal ini, konsep yang digunakan adalah konsep perbandingan, konsep trigonometri, dan konsep persamaan umum lingkaran. Langkah ke- Menentukan persamaan lingkaran dengan strategi yang telah diketahui. 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

17 A(, 0) dan B(0 cos θ, 0 sin θ). Titik P pada AB sehingga AP : PB = : Amati gambar berikut. Y OP = OA + AB B = OA + (OB OA) = OA + OB Persamaan parameter titik P adalah x = cos θ = + cos θ: 0 θ P X A Hal Penting garis singgung y = sin θ = sin θ. Dengan demikian, x = + cos θ cos θ = x y = sin θ sin θ = y ( cos θ) + ( sin θ) = (xx ) + y 6 (cos θ + sin θ ) = x 6x x y x + y 6x x = 7 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x + y 6x x = 7. Tes Kompetensi Subbab B Kerjakanlah pada buku latihan Anda.. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran a. x + y = di titik (, ) b. x + y x + 8y = di titik (, 0) c. x + y = melalui titik (7, ) d. (x x ) + (y ) di titik (, ) e. x + y x + 6y = 0 dengan gradien. Tentukan gradien garis singgung dengan ketentuan berikut. a. Sejajar garis x y + = 0. b. Tegak lurus garis x x y = 0. c. Sejajar dengan garis yang melalui (,) dan (,). d. Tegak lurus garis yang melalui (,) dan (, ). e. Tegak lurus garis yang melalui sumbu koordinat dan membentuk sudut terhadap sumbu-x.. Tentukan persamaan garis singgung di titik (,) terhadap lingkaran x + y =.. Carilah persamaan lingkaran yang menyinggung sumbu-x dan sumbu-y, dan pusatnya terletak pada garis x x + y =.. Carilah persamaan lingkaran yang menyinggung garis x +y = 0 pada titik (, ) dan pusatnya terletak pada garis x + y =. 6. Carilah persamaan lingkaran yang melalui titik-titik A (, ) dan B (, ) serta menyinggung garis x + y =. 7. Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = dengan gradien m=. 8. Diketahui persamaan lingkaran (x ) + (y + 0) = 8. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran tersebut dengan gradien m =.

18 Rangkuman Persamaan sebuah lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan berjari jari r adalah x + y = r. Persamaan sebuah lingkaran yang berpusat di M (a, b) dan berjari-jari r adalah (x a) + (y b) = r. Persamaan umum lingkaran adalah x + y + Ax + By + C = 0 Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas. Refleksi Setelah Anda mempelajari Bab,. Anda tuliskan materi-materi yang telah dipahami,. tuliskan pula materi yang Anda anggap sulit. Tes Kompetensi Bab A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.. Persamaan lingkaran dengan pusat (,) dan menyinggung x y + = 0 adalah... a. (x ) + (y ) = b. (x ) + (y ) = 9 c. (x ) + (y ) = 9 d. (x + ) (y + ) = 9 e. (x ) (y ) =. Diketahui lingkaran L dengan persamaan x + y = dan P(, ) maka letak titik P adalah... a. di dalam lingkaran L b. di luar lingkaran L c. pada lingkaran L d. sejauh satuan dari pusat lingkaran L e. sejauh satuan dari pusat lingkaran L. Diketahui lingkaran x + y + 6x x 8y + = 0. Jika M adalah pusat lingkaran dan R adalah jari-jari lingkaran tersebut, koordinat titik M dan panjang R berturutturut adalah... a. (, ) dan d. (, ) dan b. (, ) dan e. (, ) dan c. (, ) dan. Persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = 00 di titik (8, 6) menyinggung lingkaran dengan pusat (, 8) dan jari-jari R. Nilai R adalah... a. d. b. e. 6 c.. x + y +x +y = p akan menyinggung sumbu-x x dan sumbu-y jika p sama dengan... a. 8 d. b. e. 8 c x + y +px = 0 dengan p bilangan real konstan, selalu menyinggung... a. sumbu-x x saja b. sumbu-y saja c. sumbu-x x dan sumbu-y d. garis x = a dan garis x = a e. garis y = a dan garis y = a 7. Persamaan lingkaran dengan pusat (, ) dan melalui (, ) adalah... a. x + y 6x x y = 0 b. x +y x x y = 0 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

19 c. x + y x x y = 0 d. x + y x y = 0 e. x + y x x y + = 0 8. Jika titik P(0, ) terletak pada lingkaran x + y = 9, persamaan garis singgung pada lingkaran di titik P adalah... a. y = x d. x = 0 b. y = x e. x = c. y = 9. Diketahui lingkaran L dengan persamaan x + y x x y = 0 dan garis g dengan persamaan y x = 0 maka... a. g tidak memotong L b. g memotong L di satu titik c. g memotong L di dua titik d. g melalui titik pusat L e. g memotong L dan melalui titik pusat 0. Persamaan garis singgung lingkaran x + y x x y = 0 di titik (0, ) adalah... a. y = x + d. y = x + b. y = x x e. y = c. y = x x. Persamaan lingkaran x +y mx x+ 7 y+ = 0 menyinggung sumbu-x maka nilai m adalah... a. 6 d. atau b. e. 6 c. atau. Diketahui lingkaran x + y = p dan garis x + y z = 0. Supaya garis dan lingkaran ini berpotongan di dua titik yang berbeda maka p harus sama dengan... a. d. b. e. c.. Diketahui lingkaran L dengan persamaan x + y x 6 y + = 0. Pernyataan berikut yang benar adalah... a. jari-jari r = b. titik pusat lingkaran P(,) c. lingkaran menyinggung sumbu-y d. lingkaran menyinggung sumbu-x e. lingkaran melalui titik (0,0). Supaya persamaan x + y + xx + 6y c = 0 menyatakan suatu persamaan lingkaran maka c harus memenuhi... a. c > d. c > b. c < e. c < c. c >. Persamaan garis singgung lingkaran x + y x x 0y + 7 = 0 di titik (, ) adalah... a. x = d. y = b. x = e. y = x c. y = 6. Jika garis g: x y = memotong lingkaran x + y x + 8y + 0 = 0 di titik A dan B, luas segitiga yang dibentuk oleh A, B, dan pusat lingkaran adalah... a. 0 d. b. e. c Persamaan lingkaran pada gambar berikut adalah... y O x a. x + y + 8x + 6y + = 0 b. x + y + 8x + 6y = 0 c. x + y + 8x 6y + = 0 d. x + y 8x + 6y + = 0 e. x + y 8x x 6y + = 0 8. Diketahui lingkaran dengan persamaan x + y + Ax + By + C = 0. ini akan menyinggung sumbu-x x di titik (0,0) jika dipenuhi... a. A = 0 dan B = b. A = 0 dan B = 0 c. A = 0 dan C = 0 d. A = 0 dan C = e. A = 0 dan C =

20 9. Persamaan lingkaran yang melalui titik-titik sudut persegi ABCD berikut adalah... D x y = C x + y = A x y = 0 x + y = B a. x + y x x y + = 0 b. x + y x x + y + = 0 c. x + y + x y = 0 d. x + y x x + y + = 0 e. x + y + x + y + = 0 0. Supaya titik (, ) terletak pada lingkaran x + y px + y + = 0, nilai p harus sama dengan... a. d. b. e. c. B. Jawablah dengan singkat, tepat dan jelas. Carilah persamaan lingkaran yang melalui titik (7, 8) dan (0, 9) dan pusatnya terletak pada garis x y =.. Gedung Parthenon dibangun 0 SM. Gedung tersebut dirancang oleh arsitek Yunani menggunakan perbandingan nisbah emas. Perhatikan gambar berikut. A D E B G Pada titik tengah sisi persegi ABCD dibuat busur lingkaran dengan pusat G dan jari-jari GD. tersebut memotong perpanjangan BC di F. Nisbah C F BF : AB disebut perbandingan nisbah emas. Jika diketahui busur DF memenuhi persamaan x + y 8y = 0, berapa perbandingan nisbah emas gedung Parthenon? (Petunjuk: perhitungan dibulatkan sampai satu desimal). Carilah persamaan garis singgung pada lingkaran x + y = yang dapat ditarik dari titik (7, ).. Carilah persamaan lingkaran yang melalui (0, 0), jari-jari dan pusatnya terletak pada garis x y =.. Berapakah jarak terdekat dari titik ( 7, ) ke lingkaran dengan persamaan x + y + 0x x + y = 0? Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

21 A. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.. Rataan hitung dari data berikut adalah Jika terdapat 9 orang yang akan menduduki 9 kursi, banyaknya susunan yang Nilai dapat terjadi adalah... Frekuensi a ! d. 8. 7! b.! 8! e ! c. 9. 8! a., d. 6 b.,0 e. 6, c.,. Jika sebuah dadu dan sekeping uang logam ditos satu kali maka peluang tidak muncul angka dan mata dadu bukan adalah... a. d. b. e. c. 7. Di suatu kelas terdapat laki-laki dan perempuan. Jika tiga orang dipilih secara acak, peluang yang terpilih semuanya lakilaki adalah... a. d. b. e. 8 c. 0!.!!! =... a. 00 d. 000 b. 00 e. 00 c Tes Kompetensi Semester n! n! a. n(n ) b. n² c. n(n + ) d. n(n + )(n + ) e. (n )n(n + ) 7. C =... a. 79 d. 8 b. 80 e. 6 c Tabel berikut memperlihatkan suatu pengukuran. Jika rata-rata tersebut sama dengan maka harga p adalah... 0 x i f i p a. d. 8 b. e. 9 c Simpangan baku dari data,,,, 6,,,,, adalah... a.,6 d., b.,9 e., c., 0. Jika sebuah dadu dan sekeping mata uang dilempar undi satu kali secara bersamaan, peluang untuk memperoleh GAMBAR pada mata uang dan bilangan ganjil pada dadu adalah... a. d. b. e. 6 c.. sin cos =... a. + d. b. c. + e. Tes Kompetensi Semester

22 . Jika sin A = dikuadran II maka cos A = tan0 tan 70 - tan0 tan 70 =... a. d. a. 6 6 b. 6 6 c. 6 d. 6 e.. Jika cot θ = cos θ =... a. b. c., θ di kuadran II maka d. e.. Amplitudo fungsi cos x adalah... a. d. b. + e. c.. Jika tan θ = dan θ di kuadran II, nilai cos θ sin (90º + θ) adalah... a. 7 7 d. b. 7 e. 7 c Jika cos = p maka cos 8 =... a. p p d. p p b. p + e. p c. p b. c. e. 8. cos 0 sin 0 =... a. cos 00 d. b. sin 00 e. c Himpunan penyelesaian dari sin θ cos θ = dengan 0 θ 60º adalah... a. {0, 0 } b. {0, 0, 0, 0 } c. {, 7} d. {, 7, 9, } e. {60, 00 } 0. Dalam sebuah kantong terdapat kelereng merah dan 7 kelereng putih. Dua kelereng diambil sekaligus secara acak. Peluang terambilnya dua kelereng merah adalah... a. b. c. 8 6 d. e Berikut ini adalah tabel distribusi frekuensi dari berat badan sekelompok siswa SMA. Median dari data ini adalah... Berat Badan Frekuensi 6 6 a.,0 kg d.,0 kg b.,0 kg e.,0 kg c.,0 kg 6 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam

23 . Simpangan baku dari data, 7,,, 6, 8,, adalah... a. d., b., e. c.. Empat buah buku disusun dalam satu rak buku. Banyaknya cara untuk menyusun keempat buku tersebut agar salah satu buku selalu diletakkan paling tepi ada... cara. a. d. b. 6 e. c. 8. Sebuah kantong berisi bola yang terdiri atas bola kuning dan 6 bola hijau. Jika diambil bola sekaligus, peluang terambilnya bola berwarna hijau adalah... 6 a. d. b. c.. Simpangan kuartil dari data berikut adalah... Nilai e. Frekuensi 7 7 a., d.,8 b., e.,9 c., 6. Diketahui empat angka,, 6, dan 7. Banyaknya cara untuk menyusun bilanganbilangan yang terdiri atas empat angka dengan syarat bahwa bilangan-bilangan itu tidak mempunyai angka yang sama adalah... cara. a. 8 d. 8 b. e. c Dua buah dadu bermata enam ditos satu kali secara bersamaan. Peluang munculnya jumlah mata dadu atau mata dadu 0 adalah... 8 a. d b. e c Modus dari berat badan pada tabel berikut adalah... Berat Badan Frekuensi 7 0 a., kg d.,9 kg b.,9 kg e., kg c.,7 kg 9. Simpangan kuartil dari data, 8,, 7, 7, 0,, 9,,,, 6,, 7,, 7 adalah... a., d., b. e. c. 0. Ada jalan yang menghubungkan kota A dengan kota B dan ada 6 jalan yang menghubungkan kota B dengan kota C. Banyaknya perjalanan yang dapat ditempuh dari kota A ke kota C melalui B adalah... a. 0 d. 0 b. 0 e. 6 c. Tes Kompetensi Semester 7

24 B. Jawablah dengan singkat, tepat dan jelas.. Hitunglah mean, modus, dan median dari data-data berikut. a., 6, 7,,,, 6, 8,, b. 6,,,,, 7, 0 c., 70, 6, 6, 0, 6,, 78 d., ;, ;, ; 7, ; 6, 6; 9,. Hitung n dari persamaan berikut. a. p(n, ) = p(n +,) b. p(n, ) = 8 p(n,) c. c(n, ) = c(n, ). Sebuah kantong berisi 9 kelereng biru, 6 kelereng kuning, dan kelereng merah. Sebuah kelereng diambil secara acak dari kantong. Tentukan peluang terambil kelereng biru atau kuning.. Diketahui x = cos p + sin p dan y = cos p sin p a. Tentukan x + y. b. Tunjukkan bahwa x y = sin p.. Diketaui persamaan lingkaran x + y x +y + c = 0 melalui titik A(, ). a. Tentukan jari-jari lingkaran. b. Tentukan pusat lingkaran. 8 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alam