BAB 1 Distribusi Sampel, Likelihood da Peaksir 1.1 Sampel Acak Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak berukura (radom sample of size ). Fugsi peluag -variat ya adalah f X1,X 2,,X (x 1, x 2,..., x ) = f Xi (x i ) i=1 1. Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak dari distribusi Ekspoesial dega parameter θ. Fugsi peluag -variatya adalah... 2. Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak dari distribusi Uiform pada selag (a, b). Fugsi peluag -variatya adalah... 1.2 Likelihood Misalka fugsi peluag -variat bergatug pada parameter yag tidak diketahui θ. Fugsi peluag tersebut ditulis sebagai atau f X1,X 2,...,X (x 1,..., x θ 1,..., θ k ) f X (x θ) 1
1. Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ). Fugsi peluag -variat yag bergatug pada parameterya ditulis sebagai... Defiisi Fugsi likelihood adalah ukura yag meyataka sebarapa serig ilai θ, diberika bahwa x telah terobservasi. Fugsi likelihood BUKAN suatu peluag. Fugsi likelihood diperoleh dega (i) meukar pera θ da x dalam fugsi peluag -variat, da (ii) membuag suku yag tidak bergatug pada θ. Notasi: L(θ) = L(θ x) f X (x θ) 1. Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak dari distribusi Ekspoesial dega parameter θ. Fugsi likelihoodya adalah... fuctio likefuctio; % this fuctio calculates the likelihood fuctio of distributio % % created by K Syuhada, 14/3/2011 clear clc = iput( = ); % size of radom sample % data x = exprd(0.5,,1); sumx = sum(x); % parameter of expoetial distributio lambda = 0.5:0.05:5; for i = 1:legth(lambda) L(i) = (lambda(i)^)*exp(-lambda(i)*sumx); ed plot(lambda,l) MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.
2. Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak dari distribusi Uiform pada selag (π, b). Fugsi likelihoodya adalah... Prisip Likelihood Jika dua percobaa, yag melibatka model dega parameter θ, memberika likelihood yag sama, maka iferesi terhadap θ haruslah sama. Ilustrasi Padag percobaa 1 dimaa sebuah koi dilatuka sebayak kali secara bebas. Misalka p adalah peluag mucul MUKA da X peubah acak yag meyataka bayakya MUKA yag mucul. Fugsi peluag dari X da fugsi likelihoodya adalah... Padag percobaa 2 dimaa sebuah koi dilatuka higga diperoleh MUKA sebayak 6 kali secara bebas. Misalka Y peubah acak yag meyataka bayakya latua yag dibutuhka agar diperoleh eam MUKA. Fugsi peluag dari X da fugsi likelihoodya adalah... Dari 2 percobaa diatas, misalka kita igi melakuka uji hipotesis: H 0 : p = 0.5 versus H 0 : p < 0.5 Nilai sigfikasiya atau p-value adalah... Peaksir Likelihood Maksimum Misalka L(θ) adalah fugsi likelihood (fugsi dari parameter θ). Kita dapat meetuka ilai θ yag memaksimumka L(θ). Peaksir utuk θ, yaitu ˆθ disebut Peaksir Likelihood Maksimum (maximum likelihood estimator, MLE). Peaksir suatu parameter adalah fugsi dari peubah acak. 1. Diketahui sampel acak berukura dari distribusi Beroulli (p). Fugsi likelihoodya: L(θ) = θ x i (1 θ) x i, 0 < θ < 1. Utuk meetuka ilai θ yag memaksimumka L(θ), trasformasika L(θ) mejadi log L(θ): l(θ) = log L(θ) = x i log(θ) + ( x i ) log(1 θ), kemudia hitug turua pertama l(θ) terhadap θ: dl(θ) dθ = xi θ x i. 1 θ MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.
Normalisasi dari turua pertama tersebut memberika ilai xi θ =, yag maa sebagai peaksir ditulis sebagai berikut: ˆθ = Xi = X. (Pr: Tujukka bahwa θ ii memaksimumka L(θ) dega meghitug turua kedua). 2. Misalka X 1,..., X sampel acak berdistribusi U(0, θ). Tetuka θ yag memaksimumka L(0, θ). Dega kata lai, tetuka peaksir ˆθ utuk θ. Sifat Peaksir Setelah kita medapatka peaksir ˆθ, kita dapat meetuka sifat baik peaksir. Salah satuya adalah sifat TAK BIAS. Peaksir ˆθ dikataka tak bias apabila E(ˆθ) = θ. Utuk cotoh sampel acak Beroulli, ( ) X1 + + X E(ˆθ) = E = 1 E(X 1 + + X ) = 1 ( ) E(X 1 ) + + E(X ) = 1 (θ + + θ) = θ Jadi, peaksir ˆθ = X adalah peaksir tak bias utuk θ. Catata: Jika suatu peaksir ˆθ bersifat bias maka selisih ilai ekspektasi da ilai θ tidak ol, atau E(ˆθ θ) 0. MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.
1.3 Statistic Cukup Defiisi -1 Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP atau sufficiet utuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA da HANYA JIKA fugsi likelihoodya bergatug terhadap X haya melalui T: L(θ) = h(t(x), θ) Defiisi -2 Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP utuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA da HANYA JIKA distribusi bersyarat dari X TIDAK BERGAN- TUNG pada θ: f X T (x t, θ) = h(x) Defiisi -3 Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP utuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA da HANYA JIKA fugsi peluagya dapat difaktorka sebagai: f X (x θ) = g(t(x) θ) h(x) 1. Misalka X i utuk i = 1,..., salig bebas da berdistribusi idetik Beroulli(p). Tujukka bahwa Y = i=1 X i adalah statistik cukup. 2. Misalka X 1,..., X sampel acak berdistribusi Poisso dega parameter λ. Tujukka bahwa T = i=1 X i adalah statistik cukup. 3. Misalka X i utuk i = 1,..., salig bebas da berdistribusi idetik N(µ, 1). Tujukka bahwa Y = X adalah statistik cukup. 4. Misalka X 1,..., X sampel acak berdistribusi Gamma dega parameter (α, λ). Tujukka bahwa T = i=1 l(x i) adalah statistik cukup. 5. Padag sampel acak berukura dari U(a, b), dega a diketahui. Tujukka bahwa T = X () adalah statistik cukup. 6. Padag sampel acak berukura dari N(µ, σ 2 ), dega µ, σ 2 tidak diketahui. Tujukka bahwa statistik T berikut adalah cukup: ( ) S 2 T = X X MA3081 Stat.Mat. 5 K. Syuhada, PhD.
1.4 Distribusi Sampel Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak berukura dari distribusi Poisso dega parameter λ. Peubah acak X i, i = 1,..., salig bebas da berdistribusi idetik dega fugsi peluag -variat: P (X = x) = i=1 e λ λ x i x i! = e λ λ y i=1 x i!, dega y = x i. Dapat ditujukka juga Y = X i cukup. Distribusi sampel dari Y adalah f Y (y θ) = e λ (λ) y. y! Misalka X i U(0, θ). Peubah acak-peubah acak X i tersebut salig bebas da berdistribusi idetik, dega fugsi peluag: f X (x θ) = Statistik T = X () cukup da memiliki fugsi distribusi: P (X () x) = da fugsi peluag: f(x) = 1.5 Statistik Terurut Misalka X 1,..., X sampel acak berukura dari suatu populasi yag berdistribusi tertetu, dega fugsi peluag f X da fugsi distribusi F X. Padag X (k), statistik terurut ke-k. Utuk meetuka f X(k) (x), pertama partisika I 1 = (, x]; I 2 = (x, x + dx]; I 3 = (x + dx, ). Fugsi peluag f X(k) (x) adalah peluag megamati sejumlah k 1 dari X di I 1, tepat sebuah X di I 2, da sejumlah k dari X di I 3 : ( ) (FX f X(k) (x) (x) ) k 1 ( fx (x)dx ) 1 ( 1 FX (x) ) k k 1, 1, k MA3081 Stat.Mat. 6 K. Syuhada, PhD.
yag dega metode diferesial maka kita peroleh ( ) (FX f X(k) (x) = (x) ) k 1 ( 1 FX (x) ) k fx (x) k 1, 1, k 1. Fugsi peluag dari statistik terutur terkecil/terbesar adalah... 2. Statistik terurut ke-k pada distribusi U(0, 1) memiliki fugsi peluag... 1.6 Mome dari Mea da Proporsi Sampel 1.7 Teorema Limit Pusat MA3081 Stat.Mat. 7 K. Syuhada, PhD.