Metode Sensor Sampel dan Fungsi Reliabilitas Dalam Analisis Data Waktu Kerusakan

Transkripsi

1 Metode Sesor Sampel da Fugsi Reliabilitas Dalam Aalisis Data Waktu Kerusaka DISUSUN OLEH: ENDAH BUDIYATI ERNI RIHYANTI JANUARI 017

2 Metode Sesor Sampel da Fugsi Reliabilitas Dalam Aalisis Data Waktu Kerusaka Edah Budiyati, Eri Riyati Uiversitas Guadarma Jala Margoda Raya No 100 Depok, Jawa Barat ABSTRAKSI Aalisis data waktu kerusaka dega data pada umumya adalah dapat ditetapkaya metode sesor sampel dalam aalisis data waktu kerusaka Dalam peerapaya aalisis statistic utuk data waktu kerusaka pada umumya data yag diperoleh dari pegamata / peegujia diasumsika distribusiya Distribusi yag dipakai dalam aalisis data waktu kerusaka adalah distribusi ekspoesial Kata Kuci: Fugsi, Reliabilitas, Aalisis, Data 1

3 BAB I PENDAHULUAN Perbedaa atara aalisis data waktu kerusaka dega data pada umumya adalah diterapka Metode Sesor Sampel dalam aalisis data waktu kerusaka Defiisi data waktu kerusaka adalah data yag diperoleh karea pecatata waktu masa pemakaia suatu barag/kompoe higga rusak Pada prosedur sesor sampel, waktu kerusaka yag sebearya dari sampel yag diambil haya diketahui sebagia saja, sisaya haya diketahui bahwa waktu kerusakaya telah melewati suatu ilai tertetu Dalam hal ii dikataka waktu kerusakaya disesor, sehigga utuk sampel yag disesor waktu kerusaka yag sebearya tak diketahui secara tepat Prosedur yag sebearya tak diketahui secara tepat Prosedur pegujia/pemeriksaa terhadap sampel yag diambil, dapat dilakuka sampai semua sampel yag diuji megalami kerusaka (sampel legkap) atau pegujia dihetika sesudah sampai waktu yag ditetuka (sesor tipe satu) atau pegujia dihetika sesudah mecapai sejumlah kerusaka yag ditetapka (sesor tipe dua) Dua prosedur pegujia yag terakhir diatas disebut dega prosedur sesor sampel Diterapkaya sesor sampel pada data waktu kerusaka adalah utuk tujua praktis da ekoomis yaitu meeka biaya tiggi da meguragi waktu lama dalam pemeriksaaya/pegujiaya

4 BAB II KONSEP DASAR SAMPEL Sesor Tipe 1 Misalka dalam suatu eksperime terdapat item yag aka diuji, suatu keputusa dibuat utuk megakhiri pegujia sesudah mecapai waktu yag ditetuka Prisip peyesora tipe 1 adalah jika item yag diambil sebagai sampel da diuji dega waktu kerusaka yag dicatat adalah t1, t,, t da waktu peyesora yag didapatka adalah l1, l, l3 utuk masig-masig item Dalam hal ii waktu kerusaka masig-masig item yag diamati haya jika ti li Adaya perbedaa waktu peyesora dari item tersebut dalam pegujiaya tidak dimulai pada saat yag sama Disii T diasumsika salig bebas da berdistribusi idetik dega pdf f(t) da dugsi Realibilitas R(t) Waktu kerusaka disajika dega pasaga data (Ti, ai) dimaa Ti = mi (ti, li) da ai ={ 1, t i l i ; pegamata tak disesor 0, t i > l i ; pegamata di sesor ai meujukka apakah ti disesor atau tidak Item 1 + x x -1 + x + 0 batas waktu pegujia + meujukka saat pegujia dimulai meujukka saat item yag megalami kerusaka meujukka item masih survive setelah melewati batas waktu pegujia Sekarag aka dicari fugsi likelihood dari pasaga Ti da ai Dalam hal ii Ti merupaka variabel radom campura dega kompoe diskrit da kotiu Padag utuk Ti utuk ilai Ti = li dapat diperoleh Utuk ilai T i < l i Pr(T i = l i, a i = 0) = Pr(T i > l i ) = R(l i ) 3

5 Pr(T i = t i T i < l i ) = f(t i ) / (1 R(l i )) Pr(T i = t i T i < l i ) meyataka probabilitas bersyarat dari T i diberika T i < l i Dari Pr(T i = l i, a i = 0) = R(l i ), T i = l i Pr(T i = l i, a i = 1) = Pr(T i = t i a i = 1) Pr(a i = 1) = f(t i ), T i l i dapat digabug mejadi Pr(T i, a i ) = f(t i ) a i, R (l i ) t a i da jika pasaga (T i, a i ) salig bebas maka fugsi kemugkia adalah L = f (t i ) a i, R (l i ) t a i 4 i=t Jika dalam pegujiaya dilakuka dega megaggap semua waktu peyesoraya sama (kasus l i = l) betuk fugsi likelihood-ya aka mirip dega peyesora tipe, tetapi sifat berbeda L =! ( r)! f(t (1)) f(t (m) ) [R(t (m) )] m 4 3 Dalam hal ii t (m) meyataka batas waktu pegujia jika semua item duji pada saat yag sama Sesor Tipe Misalka dalam suatu eksperime diuji sebayak item Suatu keputusa dibuat utuk megakhiri pegujia setelah r item pertama megalami kerusaka (failure) Hal ii dilakuka daripada meeruska pegujia higga semua item rusak tetapi memerluka biaya yag besar da waktu yag cukup lama Prisip peyesora tipe adalah jika r meyataka jumlah item pertama yag rusak dari keseluruha item yag diuji ( item) da t(1), t(),, t() meyataka waktu kerusaka yag sebearya masig-masig item Dalam hal peyesora tipe berlaku T (i) = { t (i) utuk i = 1,, r ; pegamata tak disesor t (i) utuk i = r + 1,, ; pegamata disesor 4

6 Item 1 x x r x -1 0 t(r) (waktu) x meujukka item yag diuji telah rusak pada waktu t Jika T(1), T(), T() meyataka order statistik dari sampel radom waktu kerusaka T1, T, T dega pdf f(t) da fugsi Reliabilitas R(t) Fugsi likelihood dari T(1), T(r) (r ) L =! ( r)! f(t (1)) f(t (r) ) [R(t (r) )] r 4 1 5

7 TAKSIRAN PARAMETER EKSPONENSIAL BAB III DAN FUNGSI RELIABILITAS DALAM DISTRIBUSI Dalam peerapa aalisis statistik utuk data waktu kerusaka pada umumya data yag diperoleh dari pegamata/pegujia diamsusika distribusiya Selajutya dari distribusi yag diasumsika tersebut dapat ditaksir parameterparameter distribusi waktu kerusaka (Failure Time Distributio)-ya Distribusi yag dipakai dalam aalisis data waktu kerusaka, atara lai adalah distribusi ekspoesial dega melibatka metode sesor tipe 1 da, pegguaa metode Taksira Maximum Likelihood (Maximum Likelihood Estimate) utuk meaksir parameter-parameter dari fugsi distribusi serta pemakaia tekhik samplig acak tapa pegembalia (without replacemet) utuk megambil sampelya Distribusi Ekspoesial Distribusi yag palig sederhaa da secara luas diguaka sebagai distribusi waktu kerusaka distribusi ekspoesial dega pdf f(t; θ) = 1 θ exp ( t θ ) ; t > 0, θ > 0 Dalam hal ii parameter θ disebut mea distribusi ekspoesial Distribusi ii dapat diguaka sebagai distribusi waktu kerusaka jika diketahui tigkat kerusakaya (failure rate) adalah kosta Beberapa sifat dari distribusi ekspoesial yaitu 1 Jika suatu item telah hidup t satua waktu maka probabilitas item tersebut aka hidup dega tambaha h satua waktu sama dega probabilitas suatu item baru aka hidup h waktu satua atau Pr(T t + h T t) = Pr (T h) Bukti: Tijau pdf distribusi Ekspoesial f(t; θ) = ( 1 θ ) exp ( t θ ) ; t > 0, θ > 0 Pr(T t + h T t) = ( 1 θ ) exp ( t t+h θ ) dt ( 1 θ ) exp ( t t θ ) dt = exp ( h ) = Pr(T h) θ Jika item diambil sebagai sampel secara radom tapa pegembalia da pegujia dilakuka sehigga semua item yag diuji megalami kerusaka Misalka T(1),, T()) meyataka order statistik dari sampel radom waktu 6

8 kerusaka T1,, T yag berdistribusi Ekspoesial dega mea θ maka (Z1, Z,, Z) adalah sampel radom baru yag salig bebas da berdistribusi idetik (i i d) dega g(z; θ) = ( 1 ) exp ( z ) ; z > 0, θ > 0 di maa θ θ Z 1 = T 1 Z i = ( i + 1) {T (i) T (i 1) } ; i =,, Bukti: Pegujia dimulai pada waktu t = 0, sistem dijalaka sehigga terjadi kerusaka item pertama pada T1 = t1, kerusaka kedua pada T = t Proses ii dijalaka sampai semua item ( item) rusak jumlah item yag diuji pada: T1 = t1 adalah (-1) item Tk = tk adalah (-k) item Pdf bersama (T(1),, T()) g(t (1),, t () ; θ) = (! ) exp( t (i)/θ) Misalka Z1 = t (1) Zk = ( k + 1)(t (k) t (k 1) ); k =,, ; θ θ ( 1) ( 1) θ (z 1, z,,z ) = θ ( ) θ (t (1), t (),,t () ) θ θ = ( 1) ( ) 1 =! Trasformasi Jacobia = 1 da diperoleh! z i = t (i) g (z 1, z,, z ; θ) = f(t (1), t (), t () ; θ) J = (! ) exp ( z i/θ) 1/! θ θ = ( 1 θ ) exp( z i θ ) 7

9 Taksira utuk sampel legkap Adaika dalam suatu ekspeime diambil sebayak item sebagai sampel lalu diuji/diperiksa waktu kerusakaya da suatu keputusa dibuat utuk megakhiri pegujia sesudah semua item yag diambil sebagai sampel megalami kerusaka Misalka T(1),, T()) meyataka order statistik sampel radom dari waktu kerusaka yag diasumsika waktu kerusakaya berdistribusi ekspoesial dega pdf f(t; θ) = ( 1 θ ) exp ( t θ ) ; t > 0, θ > 0 dimaa θ meyataka meaya, dari pdf distribusi ekspoesial dapat diperoleh fugsi likelihood L(θ; t (1), t (),, t () ) =! f(t (i) ; θ) = (!) ( 1 θ ) exp [ (t (i) θ ) ] I L(θ) = C + I ( 1 θ ) (t (i) ) θ dega melaluka proses diferesiasi terhadap (*) dapet diperoleh d I L(θ) dθ Taksira maximum likelihood dari θ adalah = ( θ ) + (t (i)/θ ) θ = ( t (i) ) 3 1 Satua dari θ sama seperti satua dari t, yaitu jam, hari atau putara (cycle) Meskipu salah satu sifat taksira kemugkia maksimum (MLE) adalah taksira yag diperoleh belum tetu tak bias (ubiased), tetapi dalam hal diatas θ merupaka taksira yag tak bias Sehigga diperoleh da E(θ ) = θ Var (θ ) = θ / Lagkah-lagkah yag dilakuka utuk mecari taksira iterval kepercayaa parameter utuk sampel legkap dapat dilakuka sebagai berikut Melalui sifat dari distribusi Ekspoesial da trasformasi y = ( z θ ), aka ditujukka bahwa variabel radom Y berdistribusi Gamma-1 atau r(1) Jika pdf distribusi Ekspoesial 8

10 Maka pdf dari variabel radom Y adalah Dari pdf distribusi Gamma f(z) = ( 1 θ ) exp ( z θ ), z > 0, θ > 0 f(x) = g(y) = f(z) dz/dy = ( 1 θ ) exp ( yθ θ )θ = exp( y) 1 r(α)β α exp ( x β ) xα 1 ; x > 0 Dimaa α > 0 da β > 0 Dega megambil α = 1 da β = 1 aka diperoleh pdf distribusi Gamma-1 atau r(1) Karea zi juga salig bebas, jika W= ( T (i) ) = θ ( Z (i) ) maka variabel radom W aka berdistribusi Gamma dega α = θ da β = 1 Jika α = ( r ) da β = maka berdistribusi Gamma dipadag sebagai distribusi khi-kuadrat dega derajat bebas (degree of freedom) r, dimaa r merupaka bilaga bulat positif Utuk r = aka ditujukka dega W berdistribusi khi-kuadrat dega derajat bebas dega memasukka harga r = pada pdf distribusi khi-kuadrat da trasformasi w = 1 x diperoleh h(w) = f(x) dx/dw 1 = exp( w ) r () w 1 1 ; w > 0 = exp( w) w 1 ; w > r () Jadi jika variabel W berdistribusi r() maka variabel radom W berdistribusi x () Sehigga 100γ% iterval kepercayaa dari θ adalah 1 Pr (x (), 1 γ x (), 1 γ W x (), 1+γ ) = γ t (i) /θ t (i) θ X (),(1+γ)/ x (), 1+γ t (i) X 1 γ (), Taksira fugsi reliabilitas t = t θ utuk sampel legkap dega diasumsika waktu kerusakaya berdistribusi ekspoesial adalah 9

11 Jika R (t θ ) = exp ( t θ θ ) A(t) = t (i) x (),(1+γ)/ da B(t) = t (i) x (),(1 γ)/ Maka 100γ% iterval kepercayaa utuk R(t) pada waktu t = t θ adalah exp ( t θ A(t) ) R(t θ ) exp ( t θ B(t) ) Taksira utuk sampel tersesor Pada bagia ii aka dibahas taksira parameter utuk sampel tersesor tipe 1 da tipe 1 Taksira utuk sampel tersesor tipe Taksira utuk sampel tersesor tipe ii sebearya merupaka betuk umum dari taksira sampel legkap Misalka sejumlah item yag diambil sebagai sampel Setelah sejumlah kerusaka yag diigika ditetapka (misalka ditetapka sebayak r item yag pertama) kemudia dilakuka pegujia terhadap item tersebut Pegujia diakhiri bilamaa telah diperoleh sejumlah kerusaka yag diigika (sebayak r) Adaika t(1) < t() < t(r) meyataka ilai-ilai sampai radom waktu kerusaka dari r item yag pertama da sebayak (-r) item masih bertaha setelah melewati waktu t(r) Fugsi likelihood utuk sampel tersesor tipe dega diasumsika waktu kerusakaya berdistribusi ekspoesial dapat diperoleh dari (4)! L(θ; t (1), t (),, t () ) = ( r)! f(t (i); θ) R(t (r) ; θ) r =! ( r)! ( 1 θ r r) exp [ ( t (i) + ( r)t (r) )] θ Taksira maximum likelihood dari θ dapat diperoleh 10

12 θ = ( t (i) + ( r)t (r) ) r Padag fugsi likelihood Dega trasformasi! L(θ) = ( r)! f(t (i); θ) R(t (r) ; θ) r Z1 = t (1) Zk = ( i + 1)(t (i) t (i 1) ); k =,3,, r t (i) + ( r)t (r) = z (i) Aalog sifat dari distribusi ekspoesial maka diperoleh g(z 1, z,, z r ; θ) = f(t (1), t (),, t (r) ; θ) r = ( 1 θ ) exp( z i θ ) Aalog utuk taksira iterval kepercayaa utuk θ dari sampel legkap Karea r z i utuk i = 1,, r salig bebas, jika W = Z i berdistribusi Gamma r (r) maka W aka berdistribusi khi-kuadrat x (r) 100γ% iterval kepercayaa utuk θ adalah Pr (x (r), 1 γ x (), 1 γ W x (r), 1+γ ) = γ ( z (i) )/θ r z (i) θ X (r),(1+γ)/ x (r), 1+γ r z (i) X 1 γ (r), J Taksira fugsi reliabilitas pada t = t θ utuk sampel tersesor tipe dega diasumsika waktu kerusakaya berdistribusi ekspoesial adalah Jika R (t θ ) = exp ( t θ θ )

13 da A(t) = B(t) = r z (i) x (r),(1+γ)/ r z (i) x (r),(1 γ)/ 100γ% iterval kepercayaa utuk R(t) pada t = t θ adalah exp ( t θ A(t) ) R(t θ ) exp ( t θ B(t) ) Taksira utuk sampel tersesor tipe 1 Misalka dalam populasi diambil sampel secara radom da setelah dilakuka pegujia terhadap item diatas, dicatatat waktu kerusaka adalah t 1, t,, t Tetapi dalam hal ii masig-masig t 1, t,, t dihubugka dega waktu peyesora l 1, l,, l Pegamata terhadap waktu kerusaka t i dilakuka jika t i l i da setiap dataya diyataka dega pasaga (T i, a i ), i = 1,, dimaa T i = mi(t i, l i ) da a i = { 1, t i l i 0, t i > l i Dalam kasus l i = l utuk setiap i = 1,,, betuk fugsi likelihood sampel tersesor tipe 1 aka sama seperti betuk sampel tersesor tipe dega meggati t(r) = t(m), dimaa t(m) meyataka akhir waktu pegujia Betuk umum fugsi likelihood dari sampel tersesor tipe satu (1) adalah L(θ) = f(t (i) ; θ) a i R(l i, θ) 1 a i = [ 1 θ exp( t ai i θ )] [exp ( l i θ )] 1 ai = ( 1 θ r) exp [ ( a i t i + (1 a) i l i )] θ dimaa r = a i meyataka jumlah item yag waktu kerusaka diamati Taksira maximum likelihood dari θ adalah θ = a i t i + (1 a) i l i r Prosedur utuk memperoleh taksira iterval kepercayaa θ dari betuk umum dapat dilakuka sebagai berikut Padag fugsi likelihood dibawah ii 1

14 L(θ) = ( 1 θ r) exp [ ( a i t i + (1 a) i l i )] θ d (I L) dθ d (I L) dθ = ( r θ ) + ( 1 θ ) a i t i + (1 a) i l i = ( r θ ) + ( θ 3) a i t i + (1 a) i l i Melalui sifat fugsi likelihood dega pedekata sampel besar, dapat diperoleh Iformasi Fisher Padag pasaga mata (T i, a i ) Pr(a i = 0) = exp ( l i θ ) = R(l i) Pr(a i = 1) = 1 Pr(a i = 0) = 1 R(l i ) I (θ) = E ( d (I L) dθ ) E(T i a i = 0) = E(T i T i > l i ) = l i E(T i a i = 1) = E(T i T i l i ) = x (1 θ ) exp( x l i θ ) 1 exp ( l dx θ i θ ) Jika r = a i meyataka jumlah item yag waktu kerusakaya diamati E(r) = E( a (i) ) = E(a i ) = (1 exp ( 1 i )) θ Prosedur yag diguaka utuk mecari taksira iterval kepercayaa θ, melalui pedekata Utuk meghitug I (θ ) diperluka waktu peyesora l i utuk setiap item Tetapi serigkali tak setiap l i itu ada, oleh karea itu waktu peyesora yag sebearya dari setiap item tak diketahui semuaya Sebagai alteratif dari perhituga I(θ) diguaka pedekata Taksira fugsi reliabilitas pada t = t θ utuk sampel tersesor tipe 1 betuk umum dega diasumsika distribusi ekspoesial adalah 13

15 KESIMPULAN BAB IV 1 Aalisis statistik dega peguaa metode peyesora, baik tipe 1 atau, ditujuka utuk aalisis kumpula data idividu da tidak berlaku utuk data yag disajika dalam betuk kumpula iterval kelas Pada umumya taksira parameter da fugsi parameter (dalam hal ii fugsi relilabilitas) dalam aalisis statistik data waktu kerusaka dilakuka dega pedekata Metode Kemugkia Maksimum utuk sampel besar 3 Dega adaya sifat ivaria dari taksira parameter yag diperoleh dega Metode Kemugkia Maksimum, aka mempermudah utuk memperoleh taksira fugsi reliabilitas setalah taksira utuk parameterya telah ditemuka 4 Dega dapat diketahui fugsi reliabilitas dari kompoe-kompoe elektrik da mekaik melalui suatu uji waktu kerusaka, aka dapat membatu produse dalam mejaga kualitas produksi agar sesuai dega stadar yag diigika da meetuka garasi yag harus diberika pada kosume 14

16 DAFTAR PUSTAKA Balagurusamy, E 1984 Reliability Egieerig New Delhi: Tata McGraw-Hill, Ic Grat, EL da RS Leaveworth 1980 Statistical Quality Cotrol Edisi ke-6 New York: McGraw-Hill, Ic Hogg, RV da AT Craig 1978 Itroductio to Mathematical Statistics Edisi ke-4 New York: Macmilla Publishi Co Kakiay, T 1989 Distribusi Probabilitas Weibull utuk Aalisis Kerusaka Peralata Matematika da Komputer, No 4/V, Lawless, JF 198 Statistical Models ad Methods for Lifetime Data New York: Joh Wiley & Sos Ma, NR, RE Schafer da ND Sigpurwalla 1974 Methods for Statistical Aalysis of Reliability ad Life Data New York: Joh Wiley & Sos Nelso, W 198 Applied Life Data Aalysis New York: Joh Wiley & Sos Norusis, MJ 1988 SPPS/PC+ Ver 310 Chicago, IL: SPPS Ic Siha, SK da BK Kale 1980 Life Testig ad Reliability Estimatio New Delhi: Wiley Easter Limited Spiegel, MR 1981 Theory ad Problem of Statistic New York: McGraw-Hill, Ic 15