Taksiran Interval bagi Rata-rata Parameter Distribusi Poisson Interval Estimate for The Average of Parameter Poisson Distribution

Transkripsi

1 Prosidig Statistika ISSN: Taksira Iterval bagi Rata-rata Parameter Distribusi Poisso Iterval Estimate for The Average of Parameter Poisso Distributio 1 Putri Aggita Nuraei, Teti Sofia Yati, 3 Abdul Kudus 1,,3 Program Studi Statistika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Uiversitas Islam Badug, Jl Tamasari No 1 Badug putaggita@gmailcom Abstract: Poisso distributio is oe of the theoretical distributios for discrete radom variables, which is a radom variable usig a umber of eperimets that occur withi a certai time iterval or i a particular area The most ofte method used to establish the cofidece iterval for parameter Poisso distributio is the iterval Wald, however accordig to Khamkog (01) the method is ot very accurate for Poisso distributio for a small to medium average of parameters, as well as for a small to moderate sample size This research paper will discuss some preparatio methods of the cofidece iterval for the Poisso distributio parameters ad the methods will be applied to the real data ad simulatio Keyword: poisso distributio, cofidece iterval, score cofidece, wald cofidece Abstrak: Distribusi Poisso adalah salah satu distribusi teoritis utuk variabel acak diskrit, yaitu variabel acak yag megguaka bayakya hasil percobaa yag terjadi dalam suatu iterval waktu tertetu atau dalam suatu area tertetu Metode yag palig serig diguaka utuk membetuk selag kepercayaa bagi distribusi parameter Poisso adalah iterval Wald aka tetapi meurut Khamkog(01) metode tersebut tidak terlalu akurat diguaka utuk kasus distribusi Poisso dega parameter rata-rata yag kecil sampai sedag, begitu juga utuk kasus ukura sampel kecil sampai sedag Dalam makalah ii aka dibahas beberapa metode peyusua selag kepercayaa utuk parameter distribusi Poisso da metode tersebut aka diaplikasika pada data riil maupu simulasi Kata kuci : distribusi Poisso, cofidece iterval, score cofidece, wald cofidece 17

2 18 Putri Aggita Nuraei, et al A Pedahulua Statistika iferesial adalah tekik aalisis data yag diguaka utuk meetuka sejauh maa kesamaa atara hasil yag diperoleh dari suatu sampel dega hasil yag aka didapat pada populasi secara keseluruha Jadi statistik iferesial membatu peeliti utuk mecari tahu apakah hasil yag diperoleh dari suatu sampel dapat digeeralisasi pada populasi Melalui sampel yag diambil dari populasi kita berusaha membuat kesimpula tetag populasi yag bersagkuta Caraya adalah dega melakuka percobaa atau peelitia terhadap sampel sehigga diperoleh ukura-ukura sampel (besara statistik) lalu dari statistik kita tarik kesimpula tetag ukura-ukura populasi (besara parameter) Salah satu ukura yag dapat dicari adalah rata-rata Rata-rata sampel ( ) dapat diguaka utuk meaksir rata-rata populasi ( ) Taksira tersebut bisa berupa taksira titik (satu ilai) ataupu taksira iterval (bayak ilai) Taksira iterval rata-rata digambarka dalam suatu selag kepercayaa rata-rata yag merupaka retag perkiraa ilai-ilai yag kemugkia aka mecakup parameter populasi yag tidak diketahui Maki lebar selag taksira, maka derajat kepercayaa yag diperoleh maki tiggi aka tetapi hasilya kurag bisa meduga ilai yag sebearya Dalam praktikya harus dicari iterval taksira yag sempit dega derajat kepercayaa yag tiggi Selag kepercayaa ii bayak diaplikasika pada data yag megacu pada jumlah kejadia pada iterval tertetu seperti jarak, waktu, wilayah atau ruag Beberapa cotoh data tersebut adalah data jumlah korba kecelakaa per miggu, jumlah kedaraa yag masuk tol per hari, da lai-lai Distribusi poisso adalah model stadar da baik utuk megaalisis data cacaha (cout) da tampakya mejadi yag palig umum da serig diguaka Distribusi poisso adalah distribusi peluag acak poisso yag meyataka bayakya sukses yag terjadi dalam suatu selag waktu atau daerah tertetu Bila variabel acak ii ilaiya besar, maka perhituga peluag dari variabel acak ii aka sulit Namu dega adaya teorema limit pusat maka bisa dilakuka pedekata ormal terhadap distribusi poisso Tetapi jika variabel acak ii ilaiya kecil sampai sedag maka pedekata Normal tersebut kurag baik, sehigga dibutuhka koreksi kotiuitas Khamkog (01) mejelaska bahwa bayak metode yag dapat diguaka utuk meetuka selag kepercayaa distribusi Poisso, diataraya adalah Wald Iterval, Score Cofidece iterval (SC), Moved Score Cofidece iterval (MSC), da The Wald iterval with Cotiuity Correctio iterval (WCC) Aka tetapi metode-metode tersebut tidak terlalu akurat diguaka utuk kasus parameter rata-rata yag kecil sampai sedag, begitu juga utuk kasus ukura sampel kecil sampai sedag Oleh karea itu dalam skripsi ii aka dibahas metode baru yag disebut metode Addig the tail probability of the Wald Cofidece iterval (AWC) yag diajuka oleh Khamkog (01) Metode ii mempuyai kierja yag baik utuk kasus dega ukura sampel da ilai parameter rata-rata dari kecil sampai sedag Volume, No, Tahu 016

3 Taksira Iterval bagi Rata-rata Parameter 19 B Ladasa Teori Distribusi Poisso Distribusi Poisso adalah distribusi teoritis yag memakai variabel acak diskrit, yaitu bayakya hasil percobaa yag terjadi dalam suatu iterval waktu tertetu atau dalam suatu area tertetu Ciri-ciri dari distribusi Poisso adalah: 1 Bayakya hasil percobaa yag satu tidak tergatug dari bayakya hasil percobaa yag lai Probabilitas hasil percobaa sebadig dega pajag iterval waktu atau luas area tertetu, 3 Probabilitas lebih dari satu hasil percobaa yag terjadi dalam iterval waktu yag sigkat atau dalam area yag kecil dapat diabaika Distribusi poisso diguaka dalam : 1 Meghitug probabilitas terjadiya peristiwa meurut satua waktu, ruag atau isi, luas, pajag seperti : Bayakya pegguaa telepo per meit, bayakya kesalaha ketik per halama sebuah buku, bayakya mobil yag lewat selama 5 meit di suatu ruas jala, dsb Meghitug distribusi biomial apabila besar ( 30) da p relatif kecil ( p 01) Fugsi massa peuag dari distribusi poisso adalah : P( e ) f ( )! (1) Dega rata-rata da variaya masig-masig adalah ) ) 0 ) 0 1 ) e da V ( ) e! e ( ) ( 1)! V ( ) 1 e ( 1)! 1 V ( ) 1 1 ( 1)! ) ( ) ) Misalka 1,,, adalah suatu sampel acak berukura dari distribusi Poisso dega parameter λ Peaksir kemugkia maksimum utuk λ dari distribusi Poisso adalah ˆ 1 () i 1 The Wald Cofidece Iterval Iterval wald merupaka metode yag palig sederhaa da palig bayak diguaka utuk meetuka selag kepercayaa bagi distribusi poisso Metode ii dilakuka dega cara pedekata pada distribusi ormal dari distribusi poisso Statistika, Gelombag, Tahu Akademik

4 0 Putri Aggita Nuraei, et al Dari distribusi poisso(λ) ditarik sampel acak berukura yaki { 1,,, } Pedekata ormal baku utuk selag kepercayaa rata-rata poisso dibetuk berdasarka teori limit pusat Wald Iterval utuk rara-rata diberika oleh : dimaa Z, / i, da Z / adalah kuatil (1 ) perse dari distribusi ormal baku Selag Wald kemudia dikoreksi dega The Wald iterval with cotiuity correctio iterval (WCC) didefiisika sebagai 0,5 Z / Score Cofidece Iterval Score iterval yag dikemukaka oleh Rao 1973 Barker ( 00) memperbaiki metode tersebut da dia memberika batas-batas score iterval utuk distribusi poisso adalah sebagai berikut, Z / Z / Z 4 (4) / Moved Score Cofidece Iterval Moved Score Iterval sebearya hampir sama dega Score Iterval, aka tetapi metode ii lebih baik utuk kasus dega parameter rata-rata berilai sedag Moved Score Iterval utuk rata-rata μ didefiisika sebagai : Z 0,46Z 4 (5) Addig the tail probability of the Wald Cofidece iterval Iterval Wald dapat ditigkatka kierjaya melalui peambaha peluag ekor utuk ukura sampel kecil dega faktor peyesuaia sebesar z / c (3) Misalka 1,,, adalah salig bebas da didistribusika idetik variabel acak berukura z dipilih dari distribusi Poisso dega rata-rata da / c Lalu E c c da V c 1, da melalui teori limit pusat didapat D N0,1 dimaa Selag kepercayaa utuk rata-rata Poisso yag diamaka addig the tail probability of the Wald iterval (AWC) sebagai berikut : z / z (6) / Volume, No, Tahu 016

5 Taksira Iterval bagi Rata-rata Parameter 1 Selag kepercayaa utuk rata-rata dega tigkat kepercayaa omial 1 100% mempuyai peluag cakupa bagi ilai tetap sebesar CP i e (7) ( i! I L i ) U ( i ) i0 dimaa I merupaka fugsi idikator Demikia pula lebar yag diharapka dari setiap selag kepercayaa adalah EW U ( i) L( i) e i i0 i! (8) Utuk persamaa (7) da (8) aka diguaka pada proses simulasi mote carlo utuk meetuka metode terbaik C Hasil da Pembahasa Hasil Simulasi Selag Kepercayaa Rata-rata Distribusi Poisso Dilakuka simulasi utuk meetuka selag kepercayaa rata-rata distribusi Poisso yag dilakuka dalam 0 skeario yaitu dega ukura sampel,, sebesar 15, 5, 50, 100 da parameter λ= 1, 15, 3, 5, 10 Dega batua software R maka didapat hasil seperti pada tabel 31 Pada tabel 31 dipilih ilai CP (Coverage Probability) yag medekati ilai maksimum 95% atau ilai EW (Estimatio Width) yag palig kecil Metode yag memeuhi kriteria tersebut dikataka metode terpilih utuk membetuk selag kepercayaa rata-rata distribusi Poisso Tabel 31 Tabel Hasil Simulasi N CP EW λ WCC SC MSC AWC WCC SC MSC AWC 1 0,9783 0,9968 0, , ,3489, , ,0036 1,5 0,9768 0,9941 0, , ,4673, , , , , ,664 0, ,8899 3, , , , ,9991 0, ,93484, , ,16008, ,9508 0,9994 0,6861 0,9438 3, , , , , , , ,9049 0, , , , ,5 0,9734 0,9975 0,6630 0,987 1, , , , , , , ,9363 1,46484, , , , ,9991 0,6874 0, , , , , , ,9997 0,686 0,94658, , ,66749, ,9854 0, , ,990 0, , , , ,5 0,9737 0,999 0,6773 0, , , , , , , ,6844 0,9476 1, , , , ,9587 0, ,6815 0,947 1,99588, , , , ,9997 0, , , , , , , ,999 0,66 0,944 0, , , , ,5 0, ,9995 0, ,9484 0, , , , ,969 0, ,6856 0,9455 0, ,3341 0, , , , , ,9476 0, , , , , ,9998 0, ,949 1,70094, , ,39471 Statistika, Gelombag, Tahu Akademik

6 Putri Aggita Nuraei, et al Dari tabel 31 terlihat meurut kriteria CP (Coperage Probability) dega hasil medekati ilai maksimum 95% da berdasarka kriteria EW(estimatio width)dega hasil ilai yag palig kecil utuk kasus parameter rata-rata yag kecil sampai sedag, begitu juga utuk kasus ukura sampel kecil sampai sedag diperoleh melalui metode AWC da MSC Meetuka Selag Kepercayaa Rata-rata Utuk Data Riil Berdasarka hasil dari simulasi metode yag baik diguaka berdasarka hasil dari CP da EW adalah metode AWC da MSC Jadi utuk meetuka selag kepercayaa rata-rata bagi data Frekuesi klaim kedaraa bermotor di Idoesia tahu 011 aka ditetuka melalui kedua metode tersebut Utuk lagkah awal didapat rata-rata dati frekuesi klaim 9 0, dega 5% Z 1,96 maka / Berdasarka persamaa (5) da (6) selag kepercayaa rata-rata bagi data frekuesi klaim kedaraa bermotor di Idoesia tahu 011 diperoleh hasil sebagaimaa terlihat pada tabel 43 Tabel 43Selag Kepercayaa Rata-rata Frekuesi Klaim Kedaraa Bermotor Di Idoesia Tahu 011 Berdasarka MSC da AWC METODE MSC METODE AWC Batas Atas 0, , Batas Bawah 0, , EW 0, , Dari hasil diatas diketahui bahwa utuk data frekuesi klaim kedaraa bermotor di Idoesia tahu 011 metode yag medapatka hasil yag palig baik diperoleh melalui metode Moved Score Cofidece iterval (MSC) D Kesimpula Dalam makalah ii selag kepercayaa rata-rata distribusi Poisso dibetuk melalui proses simulasi juga dega data riil Hasil simulasi meujuka bahwa utuk kasus kasus parameter rata-rata yag kecil sampai sedag, begitu juga utuk kasus ukura sampel kecil sampai sedag hasil yag palig baik diperoleh melalui metode Addig the tail probability of the Wald Cofidece iterval (AWC) da Moved Score Cofidece iterval (MSC) yag dilihat berdasarka CP da EW Utuk data frekuesi klaim kedaraa bermotor di Idoesia tahu 011 hasil yag palig baik diperoleh melalui metode MSC dega EW=0,01466 Volume, No, Tahu 016

7 Taksira Iterval bagi Rata-rata Parameter 3 Daftar Pustaka Khamkog, Maad (01), Approimate Cofidece Iterval for the Mea of Poisso Distributio, America Ope Joural of Statistics,, T T Cai (005), Oe-Sided Cofidece Itervals i Discrete Distributios, Joural of Statistical Plaig ad Iferece, 131, Y Gua (001), Moved Score Cofidece Itervals for Meas of Discrete Distributios, America Ope Joural Statistics, 1, L A Barker (00), Compariso of Nie Cofidece Itervals for a Poisso Parameter Whe the Epected Number of Evets Is 5, The America Statisticia, 56, Statistika, Gelombag, Tahu Akademik