PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM. Skripsi

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM. Skripsi"

Transkripsi

1 PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM Skripsi Diajuka utuk Memeuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Matematika Program Studi Matematika Oleh : Skolastika Augustia Sarasvati NIM: 3346 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 7

2 THE PARAMETER ESTIMATION OF RAYLEIGH DISTRIBUTION USING LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD A Thesis Preseted as a Partial Fulfillmet of the Requiremets to Obtai the Degree of Sarjaa Sais Mathematics Study Program Writte by: Skolastika Augustia Sarasvati Studet Number: 3346 MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 7

3 iii

4 iv

5 HALAMAN PERSEMBAHAN Karya ii saya persembahka utuk Tuha Yesus Kristus da Buda Maria yag selalu memberkati da memberika kemudaha lewat orag-orag baik hati yag berada di sekeliligku terutama dalam perjuagaku meyelesaika skripsi ii. Kedua oragtuaku Boavetura Saptoo Arko da Teresia Atik Solikhati Adik-adikku, yaitu Ao, Awgia, Sekal, Zita. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc, selaku dose pembimbig skripsi yag terbaik. Semua orag yag aka membaca skripsi saya. v

6 vi

7 vii

8 ABSTRAK Distribusi Rayleigh dega parameter tuggal memiliki satu parameter yaitu parameter b. Pedugaa parameter distribusi Rayleigh dapat dilakuka dega berbagai metode. Dalam skripsi ii dibahas pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega megguaka dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) da Metode Kemugkia Maksimum (Maximum Likelihood Method). Kosep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah meduga parameter dega memilih garis regresi yag terdekat dega semua data yag memiimumka Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedagka, kosep dari Metode Kemugkia Maksimum adalah meduga parameter distribusi yag memaksimumka fugsi likelihood. Pedugaa parameter distribusi Rayleigh diterapka pada data tiggi gelombag terbesar tahua di Lepas Patai P. Kalukalukuag, Sulawesi Selata. Rata-Rata Kuadrat Galat (Mea Square Error) dipilih sebagai kriteria pembadig kedua metode peduga. Metode yag terbaik dalam meduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yag memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat yag miimum. Dari hasil peerapa pada data tiggi gelombag terbesar tahua di Lepas Patai P. Kalukalukuag meujukka bahwa Metode Kemugkia Maksimum lebih baik dalam meduga parameter distribusi Rayleigh. Kata kuci: distribusi Rayleigh, pedugaa parameter, Metode Kuadrat Terkecil, Metode Kemugkia Maksimum, Rata-Rata Kuadrat Galat. viii

9 ABSTRACT Rayleigh distributio with sigle parameter has a parameter amely parameter b. The parameter of Rayleigh distributio ca be estimated usig several methods. I this fial assigmet, writter will estimated the parameter estimatio of Rayleigh distributio usig two methods which are Least Square Method ad Maximum Likelihood Method. I geeral, Least Square Method estimate the parameter by selectig the regressio lie that best fit amog all data which miimizes the Sum of Square Error. Meawhile the cocept of Maximum Likelihood Method is to estimate the parameter distributio that maximizes the likelihood fuctio. The parameter estimatio of Rayleigh distributio is implemeted o the data of the aual biggest wave s height i Kalukalukuag Islad s offshore, South Sulawesi. Mea Square Error is chose as the comparasm criteria for both methods. Method which has miimum Mea Square Error is the best oe. From our attempts o the aual biggest wave s height data i Kalukalukuag Islad s offshore shows that Maximum Likelihood Method is a better method to estimate the parameter of Rayleigh distributio. Keywords: Rayleigh distributio, parameter estimatio, Least Square Method, Maximum Likelihood Method, Mea Square Error ix

10 KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuha Yag Maha Kuasa atas segala berkat da karuia- Nya sehigga peulis dapat meyelesaika skripsi ii. Skripsi yag berjudul Pedugaa Parameter Distribusi Rayleigh Dega Metode Kuadrat Terkecil Da Kemugkia Maksimum ii diajuka utuk memeuhi salah satu syarat utuk memperoleh gelar sarjaa Matematika pada Fakultas Sais da Tekologi Uiversitas Saata Dharma Yogyakarta. Peulis medapat bayak dukuga da batua dalam proses meyelesaika tugas akhir ii. Oleh karea itu, dega tulus hati peulis igi meyampaika terima kasih kepada:. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dose pembimbig tugas akhir yag dega peuh kesabara telah meluagka waktu, teaga, da pikira serta memberika masuka, araha, bimbiga, da asihat kepada peulis.. Bapak YG. Hartoo, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Program Studi. 3. Ibu M. V. Ay Herawati, S.Si., M.Si., selaku wakil ketua program studi Matematika da Dose Pembimbig Akademik yag selalu memberika araha yag berkaita dega perkuliaha. 4. Bapak Sudi Mugkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selaku deka Fakultas Sais da Tekologi. 5. Romo Prof. Dr. Fras Susilo, S.J., Bapak Dr. rer. at. Herry P. Suryawa, S.Si., M.Si., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., Bapak YG. Hartoo, S.Si., M.Sc., Ph.D., Ibu M. V. Ay Herawati, S.Si., M.Sc., da Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dose program studi matematika yag telah membagika ilmu da pegalama selama masa perkuliaha. 6. Perpustakaa Uiversitas Saata Dharma da staf sekretariat Fakultas Sais da Tekologi yag telah bayak membatu dalam proses admiistrasi. 7. Kedua orag tuaku yag selalu memberika doa, semagat, dukuga, araha, da asihat sampai skripsi ii selesai. x

11 xi

12 DAFTAR ISI HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv HALAMAN PERSEMBAHAN... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... vi LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN... vii ABSTRAK... viii ABSTRACT... ix KATA PENGANTAR... x DAFTAR ISI... xii DAFTAR TABEL... xiv DAFTAR GAMBAR... xv BAB I PENDAHULUAN... A. Latar Belakag... B. Rumusa Masalah... C. Batasa Masalah... 3 D. Tujua Peulisa... 3 E. Mafaat peulisa... 3 F. Metode Peulisa... 4 G. Sistematika Peulisa... 4 BAB II LANDASAN TEORI... 6 A. Distribusi Probabilitas... 6 B. Distribusi Gamma da Sifat-sifatya... 3 C. Mome da Fugsi Pembagkit Mome... 8 D. Pedugaa Parameter... 3 xii

13 E. Selag Kepercayaa... 5 F. Ukura Peduga Yag Baik... 9 G. Metode Kuadrat Terkecil... 3 H. Metode Kemugkia Maksimum I. Uji Kolmogorov-Smirov J. Uji Distribusi Rayleigh megguaka Uji Kolmogorov-Smirov... 4 BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM A. Distribusi Rayleigh B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter C. Pedugaa Parameter Distribusi Rayleigh dega Metode Kuadrat Terkecil.. 49 D. Pedugaa Parameter Distribusi Rayleigh dega Metode Kemugkia Maksimum... 5 E. Fugsi Pembagkit Mome Distribusi Rayleigh Pedugaa Selag Distribusi Rayleigh BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEGH 6 A. Peerapa pedugaa Parameter Distribusi Rayleigh dega Metode Kuadrat Terkecil (Least Squared Method) pada data tiggi gelombag terbesar tahua di Lepas Patai P.Kalukalukuag, Sulawesi Selata B. Pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega megguaka Metode Kemugkia Maksimum C. Uji Distribusi Rayleigh megguaka Uji Kolmogorov-Smirov D. Perbadiga Pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega megguaka Metode Kuadrat Terkecil da Metode Kemugkia Maksimum... 7 BAB V PENUTUP A. Kesimpula B. Sara DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xiii

14 DAFTAR TABEL Tabel. Data Cotoh Tabel. Data Cotoh Tabel.3 Perhituga Uji Kolmogorov Cotoh Tabel 4. Tiggi gelombag sigifika maksimum per arah per tahu di laut... 6 Tabel 4. Perhituga Uji Kolmogorov-Smirov pada data tiggi gelombag laut. 69 xiv

15 DAFTAR GAMBAR Gambar. Grafik Distribusi Gamma... 7 Gambar. Grafik Distribusi Chi-Square... 8 Gambar. 3 Kurva Distribusi Ekspoesial degap(a U b) = Gambar. 4 Grafik peduga Kuadrat Terkecil Gambar. 5 Grafik F (x i ) da F (x i ) Gambar 3. Grafik fugsi distribusi Rayleigh dega ilai b =.5,.8,,.5,, Gambar 3. Grafik fugsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh Gambar 4. Grafik distribusi Rayleigh dega parameter skala b = Gambar 4. Grafik fugsi probabilitas distribusi Rayeligh dega b = Gambar 4. 3 Grafik F (x i ) da F (x i )... 7 xv

16 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Dalam teori probabilitas da statistika, distribusi Rayleigh adalah salah satu distribusi peluag kotiu yag biasa diguaka dalam pemodela data kelagsuga hidup. Distribusi Rayleigh diperkealka oleh Lord Rayleigh pada tahu 88. Distribusi Rayleigh dikeal secara luas di bidag oseaografi da dalam teori komuikasi utuk meggambarka pucak sesaat kekuata siyal radio yag diterima. Distribusi ii juga merupaka distribusi petig dalam statistik da diterapka di beberapa bidag seperti kesehata, pertaia, biologi, da ilmu-ilmu laiya. Variabel acak X dikataka mempuyai distribusi Reyleigh dega satu parameter b bila fugsi desitasya f(x; b) = x b e( x b ), x, b > Pedugaa parameter merupaka salah satu persoala yag petig dalam bidag statistika. Pedugaa adalah bidag dari statistika yag berhubuga dega meduga ilai-ilai karakteristik dari populasi (parameter) berdasarka data yag diukur atau data empiris yag memiliki kompoe acak. Pedugaa parameter adalah suatu metode utuk meduga ilai parameter populasi dega megguaka ilai-ilai dari sampel. Peduga dibagi mejadi dua bagia yaitu peduga titik (poit estimatio) da peduga selag (iterval estimatio).. Peduga titik (Poit Estimatio) Peduga titik adalah peetua suatu ilai tuggal yag dega sebaikbaikya meduga parameter yag sebearya.

17 . Peduga Selag (Iterval Estimatio) Peduga selag adalah suatu peetua selag ilai yag memiliki peluag yag besar aka memuat parameter sebearya. Dalam skripsi ii, pedugaa parameter distribusi Rayleigh dilakuka dega megguaka dua metode yaitu Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) da Metode Kemugkia Maksimum (Maximum Likelihood Method). Kosep dari Metode Kuadrat Terkecil adalah meduga parameter dega memilih garis regresi yag terdekat dega semua data yag memiimumka Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Sedagka, kosep dari Metode Kemugkia Maksimum adalah meduga parameter distribusi yag memaksimumka fugsi likelihood. Selai itu, dalam skripsi ii juga aka dilakuka perbadiga Metode Kuadrat Terkecil da Metode Kemugkia Maksimum utuk meduga parameter distribusi Rayleigh. Utuk meetuka metode maa yag lebih baik dalam pedugaa parameter distribusi Rayleigh peulis aka megguaka Rata- Rata Kuadrat Galat (Mea Square Error) sebagai kriteria pembadig. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukura keakurata dari peduga. Peduga (estimator) adalah suatu atura, yag diyataka dalam betuk rumus yag memberitahuka bagaimaa cara meghitug ilai suatu peduga berdasarka pegukura yag termuat di dalam sampel. Metode yag terbaik dalam meduga parameter distribusi Rayleigh adalah metode yag memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat miimum. B. Rumusa Masalah Masalah yag aka dibicaraka pada skripsi ii adalah:. Bagaimaa sifat-sifat distribusi Rayleigh?. Bagaimaa pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega Metode Kuadrat Terkecil?

18 3 3. Bagaimaa pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega Metode Kemugkia Maksimum? 4. Bagaimaa memilih metode terbaik dalam pedugaa parameter distribusi Rayleigh? C. Batasa Masalah Skripsi ii dibatasi pada masalah-masalah sebagai berikut:. Dalam pedugaa parameter distribusi, peulis haya aka membahas peduga titik da peduga selag distribusi Rayleigh dega satu parameter.. Dalam pedugaa parameter distribusi, peulis haya aka membahas pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega Metode Kuadrat Terkecil da Metode Kemugkia Maksimum. 3. Peulis tidak membahas perluasa dari distribusi Rayleigh. D. Tujua Peulisa Tujua dari peulisa skripsi ii adalah dapat meduga parameter distribusi Rayleigh satu parameter dega megguaka Metode Kuadrat Terkecil da Metode Kemugkia Maksimum. E. Mafaat peulisa Mafaat yag dapat diperoleh dari peulisa skripsi ii adalah:. Dapat mempelajari metode utuk pedugaa parameter distribusi Rayleigh yaitu dega Metode Kuadrat Terkecil da Metode Kemugkia Maksimum.. Dapat megetahui seberapa baik Metode Kuadrat Terkecil da Metode Kemugkia Maksimum dalam pedugaa parameter distribusi Rayleigh dega satu parameter.

19 4 F. Metode Peulisa Metode yag diguaka peulis dalam peulisa skripsi ii adalah metode studi pustaka, yaitu dega membaca da mempelajari buku-buku atau juraljural yag berkaita dega distribusi Rayleigh da metode-metode yag diguaka dalam pedugaa parameter. G. Sistematika Peulisa BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag B. Rumusa Masalah C. Batasa Masalah D. Tujua Peulisa E. Mafaat Peulisa F. Metode Peulisa G. Sistematika Peulisa BAB II LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas B. Distribusi Gamma da Sifat-sifatya C. Mome da Fugsi Pembagkit Momet D. Peduga Parameter E. Selag Kepercayaa F. Ukura Peduga Yag Baik G. Metode Kuadrat Terkecil H. Metode Kemugkia Maksimum I. Uji Kolmogorov-Smirov J. Uji Distribusi Rayleigh megguaka Uji Kolmogorov-Smirov BAB III ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN ME- TODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM A. Distribusi Rayleigh

20 5 B. Sifat-Sifat Distribusi Rayleigh C. Pedugaa Paramater Distribusi Rayleigh dega Metode Kuadrat Terkecil D. Pedugaa Paramater Distribusi Rayleigh dega Metode Kemugkia Maksimum BAB IV PENERAPAN PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH BAB V PENUTUP A. Kesimpula B. Sara DAFTAR PUSTAKA

21 BAB II LANDASAN TEORI Dalam proses pembuata skripsi ii diperluka beberapa kosep da teori yag medukug dalam ilmu statistika. Berikut aka dijelaska beberapa teori yag berkaita dega pedugaa parameter, atara lai distribusi probabilitas, distribusi Gamma da sifat-sifatya, mome da fugsi pembagkit mome, pedugaa parameter, selag kepercayaa da sebagaiya. A. Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas berkaita erat dega variabel radom, jeis distribusi probabilitas, fugsi distribusi kumulatif da karakteristik distribusi probabilitas yag aka dijelaska pada subbab ii.. Variabel Radom Defiisi. Variabel radom adalah fugsi yag berilai real yag domaiya adalah ruag sampel. Huruf kapital, misalya X, adalah otasi utuk variabel radom da huruf kecil x, meyataka ilaiya. Defiisi. Variabel X dikataka diskrit jika ilai-ilaiya berhigga atau tak berhigga terbilag. Jika tidak memeuhi hal tersebut maka variabel acak X dikataka kotiu. Cotoh: a. Bayakya mahasiswa matematika setiap tahu mulai dari tahu. b. Bayakya kecelakaa mobil di Kabupate Magelag setiap bula selama satu tahu. 6

22 7. Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit yag dilambagka dega p(x) da distribusi probabilitas kotiu (fugsi desitas) yag dilambagka dega f(x). a. Distribusi Probabilitas Diskrit Defiisi.3 Himpua pasaga terurut (x, p(x)) adalah distribusi probabilitas dari variabel radom diskrit X jika ) p(x) utuk setiap x ) p(x) = x Cotoh. Distribusi Geometrik p(x) = p( p) x, x =,, 3,... Aka ditujukka bahwa distribusi Geometrik memeuhi defiisi.3 ) Diketahui p(x) = p( p) x utuk x =,, 3,.. maka diperoleh p(x) positif utuk setiap x. Jadi terbukti p(x) utuk setiap x. ) Jumlah deret tak higga suatu deret geometri dega a merupaka suku pertama da r merupaka rasio atar suku adalah S = megguaka jumlah deret tak higga dari deret geometri S = diperoleh a = p da r = p sehigga p(x) = x p ( p) =. a r. Dega a r maka b. Distribusi Probabilitas Kotiu Dalam beberapa literatur istilah distribusi probabilitas kotiu disebut juga fugsi desitas (desity fuctio).

23 8 Defiisi.4 Fugsi f(x) adalah distribusi probabilitas utuk variabel radom kotiu X, jika ) f(x),utuk setiap x R ) f(x) dx = Cotoh. a) Distribusi Normal f(x) = σ π exp [ ( σ ) ((x μ) )], < x < Aka ditujukka bahwa distribusi Normal memeuhi defiisi.4 ) Utuk setiap x R, terbukti bahwa f(x). ) σ π Misalka m = x μ σ misalka Q = Q = ( = exp [ ( σ ) ((x μ) )] dx = dx, dm = σ, σ dm = dx, σ π e ( )m σ dm π e ( )m dm ) ( π e ( )(m + ) dm d θ π, r m = r cosθ, Q = π = r siθ σ π e (x μ π e ( ) d π e ( )(r cos θ+ r si θ) J dr dθ m J = θ θ m r r si θ cos θ = r cos θ si θ r = ( r si θ)(si θ) (r cos θ)(cos θ) ) σ ) dx =.

24 9 Q = = r si θ r cos θ = r si θ + cos θ = r π π e ( )r (cos θ+ si θ) r dr dθ = π π e ( )r r dr dθ Misal w = r, dw = r dr, Jadi, π dw = [ e ( )w dw ] dθ π π = π e w dθ = π = = π ( )dθ π π ( )dθ π π dθ = π θ π = π (π ) = Q = Q = b) Distribusi Ekspoesial = r dr σ π e ( )m σ dm =. f(x) = λe λ x, λ >, x Aka ditujukka bahwa distribusi Ekspoesial memeuhi defiisi.4 ) utuk setiap x R, terbukti bahwa f(x). ) f(x) dx = λe λ x dx = λe λ x ( λ ) = ( e λ x ) = ( ) =.

25 3. Fugsi Ditribusi Kumulatif Defiisi.5 Fugsi distribusi kumulatif (cumulative distributio fuctio) dari sebuah variabel radom diskrit da kotiu X didefiisika sebagai berikut F(x) = P(X x) = { p(x) X x x f(t)dt, jika X diskrit, jika X kotiu 4. Karakteristik Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas dicirika oleh adaya kostata mea da variasi yag merupaka karakteristikya. a. Mea Defiisi.6 Mea atau ilai harapa (expected value) dari suatu variabel radom X diotasika sebagai μ atau E(X) didefiisika sebagai E(X) = { xp(x) x xf(x) dx,jika X diskrit, jika X kotiu b. Variasi Defiisi.7 Jika X adalah variabel radom, maka variasi dari X ditulis V(X) didefiisika sebagai V(X) = E[(X E(X)) ]. Teorema. V(X) = E(X ) (E(X))

26 Bukti: V(X) = E[(X E(X)) ] = E(X XE(X) + (E(X)) = E(X ) E(X)E(X) + (E(X)) V(X) = E(X ) (E(X)) Cotoh.3 a) Jika x berdistribusi Geometrik p(x) = p( p) x, x =,, 3,... Berdasarka defiisi.6, aka ditujukka mea dari distribusi Geometrik E(X) = xp(x) = x p( p) x = p x( p) x x x= x= E(X) = p[ + ( p) + 3( p) + 4( p) ] ( p)e(x) = p[( p) + ( p) + 3( p) 3 + 4( p) ] E(X)( ( p)) = p[ + ( p) + ( p) + ( p) 3 + ( p) ]. Jumlah deret tak higga suatu deret geometri dega a merupaka suku pertama da r merupaka rasio atar suku adalah S = a r. Dega megguaka deret geometri tersebut diperoleh a = p da r = p sehigga jumlah deret tak higga dari p[ + ( p) + ( p) + ( p) 3 + ( p) ] dapat ditulis kembali mejadi Jadi, E(X) = p. E(X)p = E(X)p =. p ( p) Berdasarka Teorema., aka ditujukka variasi dari distribusi Geometrik V(X) = E(X ) [E(X)]

27 Telah ditujukka pada cotoh di atas berdasarka defiisi.6 bahwa E(X) = p, maka utuk mecari V (X) yag perlu dihitug terlebih dahulu adalah E(X ) = x p(x) = x p( p) x = p x ( p) x x x= x= Misalka q = p, p = q, x (q) x = x= x= + q ( q) 3 = p x (q) x + q + p = p ( ( q) 3) = p ( p 3 ) = p p. Jadi, variasi distribusi Geometrik adalah V(X) = E(X ) [E(X)] = p p ( p ) = p p p = p p. b) Jika x berdistribusi Normal f(x) = σ π exp [ ( σ ) ((x μ) )], < x < Berdasarka defiisi.6, aka ditujukka mea dari distribusi Normal E(X) = xf(x) dx = σ π x e = σ π x e σ (x μ) dx Misalka y = x μ, dy = dx, x = y + μ E(X) = σ π (y + μ) e = μ + σ π y e σ (y) dy σ (y) dy = μ. (x μ σ ) dx Berdasarka Teorema., aka ditujukka variasi dari distribusi Normal V(X) = E[(x μ) ] = (x μ)f(x) dx

28 3 = σ π (x μ)e ( σ )((x μ) ) dx Misalka y = x μ, dy = dx, x = y + μ, = σ π (y )e ( σ )((y) ) dy Misal u = y, du = dy, dv = ye ( σ )((y)) dy, v = σ e ( σ )((y) ) = σ π y ( σ e ( = + σ. = σ. σ )((y) ) ) σ π σ e ( Jadi, variasi dari distribusi Normal adalah V(X) = σ. σ )(y ) dy B. Distribusi Gamma da Sifat-sifatya Defiisi.8 Fugsi Gamma didefiisika sebagai Γ(α) = x α e x dx Fugsi Gamma adalah salah satu fugsi yag petig dalam statistika karea dapat diguaka utuk meyelesaika itegral yag rumit dalam mecari fugsi pembagkit mome, variasi, rata-rata da mome. Teorema. Fugsi Gamma memiliki sifat. Γ(α) = (α )Γ(α ) utuk setiap α > Bukti: Berdasarka defiisi.8 Γ(α) = x α e x dx, misalka u = x α maka du = (α )x α da dv = e x maka v = e x

29 4 Γ(α) = uv v du = lim [ x α e x ] b (α )x α e x dx b = lim [ x α e x ] b + (α ) x α e x dx b = lim [ x α e x ] b + (α ) x (α ) e x dx b = lim b ( bα ) + (α )Γ(α ) eb exp ((α ) l b) = lim [ b e b ] + (α )Γ(α ) = lim b [exp ((α ) l b b)] + (α )Γ(α ) l b) = lim {exp [(α )b ( )]} + (α )Γ(α ) b b = (α )Γ(α ).. Γ() = ( )! Dega bilaga bulat positif. Bukti: Berdasarka sifat Gamma sehigga diperoleh Γ() = ( )Γ( ) = ( )( )Γ( ) Γ(α) = (α )Γ(α ), = ( )( )( 3)Γ( 3) = ( )( )( 3)( 4) (3)()()Γ() (.) Berdasarka defiisi.8 maka diperoleh Γ() = x e x dx

30 5 p = lim e x dx p = lim p [ e x ] p = Persamaa (.) mejadi Γ() = ( )( )( 3)( 4) (3)()()Γ() = ( )!. 3. Γ ( ) = π Bukti: Aka dibuktika bahwa Γ ( ) = π Berdasarka defiisi.8 misalka x = u, dx = u du Γ(α) = u α e u u du = u α e u u du = u α e u du ketika α = maka α =, sehigga diperoleh Γ ( ) = e u du [Γ ( )] = [Γ ( )] [Γ ( )] = ( e u du Γ(α) = x α e x dx, ) ( e v dv = 4 e (u +v ) du dv. )

31 6 Itegral tersebut dapat diselesaika dega megubah itegral kartesius mejadi itegral polar. Misalka u = r cos θ, v = r si θ maka u + v = r cos θ + r si θ = r (cos θ + si θ) = r π [Γ ( )] = 4 e r du dv π = 4 e r rdr dv π = 4 ( dθ misalka s = r, ds = r dr ) ( e r rdr = 4 ( π ) ( lim b e s ds) = π lim b [ e s ] b = π( ) = π. Defiisi.9 b ) Sebuah variabel radom X dikataka berdistribusi Gamma dega parameter α > da β > jika da haya jika fugsi desitas X adalah dega Γ(α) = x α e x β f(x) = { β α, Γ(α) x >, α >, β >, selaiya x α e x dx.

32 ß=,a= ß=,a= ß=3,a= ß=5,a= ß=9,a=.5 ß=7.5,a= ß=.5,a= f(x) x Gambar. Grafik Distribusi Gamma Grafik tersebut diproduksi dega program R pada lampira A. Defiisi. Misal v adalah sebuah bilaga bulat positif. Sebuah variabel radom X dikataka berdistribusi Chi-Square dega derajat bebas v jika da haya jika X merupaka variabel radom yag berdistribusi Gamma dega parameter α = v da β =. Fugsi desitasya adalah x v e x f(x) = α Γ ( v ), x > {, selaiya

33 8.5.4 v= v= v=3 v=4 v=6 v=9.3 f(x) x Gambar. Grafik Distribusi Chi-Square Grafik diatas diproduksi dega program R pada lampira A. C. Mome da Fugsi Pembagkit Mome Defiisi. Mome ke k dari variabel radom X di sekitar titik asal didefiisika sebagai E(X k ) da diotasika dega μ k. Cotoh.4 Tetuka mome saat k= da saat k=. Jawab:

34 9 Utuk k=, E(X) = μ = μ. Utuk k=, E(X ) = μ. Hal ii dapat bergua saat mecari variasi, berdasarka Teorema. V(X) = E(X ) (E(X)) = μ μ. Defiisi. Fugsi pembagkit mome m(t) utuk variabel radom X didefiisika sebagai m(t) = E(e tx ). Fugsi pembagkit mome dikataka ada jika ada sebuah kostata positif b berhigga utuk t b. Defiisi.3 Fugsi Pembagkit Mome dari variabel radom X adalah E(e tx ) da diyataka dega m x (t). Sehigga m x (t) = { e tx f(x), x e tx f(x), jika X diskrit jika X kotiu Cotoh.5. Fugsi Pembagkit Mome distribusi Normal m x (t) = e tx f(x) = e t(x μ) misalka u = x μ = e tu = σ π e (x μ) σ σ π e (u) σ σ π etu e (u) σ dx dx dx

35 = σ π (u) etu σ = σ π = σ π etσ = e tσ dx u tu e σ +σ σ dx e σ (u σ tu) σ π dx e σ (u σ tu) dx = σ π etσ e t σ e = σ π etσ e = e t σ = e t σ = e t σ σ (u σ tu) σ (u σ tu+σ 4 t ) e σ (u σ tu+σ 4 t ) σ π e σ π (u σ t) σ Jadi, fugsi pembagkit mome distribusi Normal adalah m x (t) = e tσ. dx dx dx dx. Fugsi Pembagkit Mome distribusi Gamma m x (t) = e tx f(x) = e tx x β α Γ(α) xα e β dx = β α Γ(α) xα e tx e = β α Γ(α) xα e tx x β x β dx dx

36 = β α Γ(α) xα e x β +tx dx = β α Γ(α) xα e x( β t) dx misalka s = β t = β α Γ(α) xα e x( s ) dx = β α Γ(α) [Γ(α)s(α)] = sα β α Igat s = β s β = β βt β βt β t =, maka s = β βt = β βt β = βt Jadi, fugsi pembagkit mome distribusi Gamma adalah m x (t) = sα β α = (s β ) α α = ( βt ) = ( βt) α. Teorema.3 Sifat-sifat Fugsi Pembagkit Mome. Jika X adalah variabel radom da c adalah sebuah kostata, maka m cx (t) = m X (ct).. Jika X adalah variabel radom da c adalah sebuah kostata, maka m X+c (t) = e ct m x (t). 3. Jika X adalah variabel radom da a & b adalah dua buah kostata, maka m (X+a) (t) = e at b m x ( t b b ).

37 Bukti:. m cx (t) = E(e (cx)t ) = E(e (ct)x ) = m X (ct).. m X+c (t) = E(e (X+c)t ) = E(e (tx) e (ct) ) = e ct m x (t). 3. m(x+a) b (t) = E (e ((X+a) b )t ) = E (e ((Xt+at)) ) = E (e ((Xt) b b ) e ((at) b ) ) = e at b m x ( t ). b Teorema.4 Teorema Ketuggala Misalka m x (t) da m y (t) adalah fugsi pembagkit mome dari variabel acak X da Y. Jika kedua fugsi pembagkit mome ada da m x (t) = m y (t) utuk semua ilai dari t, maka X da Y mempuyai distribusi probabilitas yag sama. Bukti: Julie, H. (999). Teorema Limit Pusat Lideberg da Terapaya. Skripsi. Pada skripsi tersebut, teorema ketuggala dibuktika secara umum dega megguaka defiisi fugsi karakteristik yaitu φ x (t) = E(e itx ), dega i adalah bilaga kompleks. Perhatika bahwa fugsi pembagkit mome (FPM) adalah betuk khusus dari fugsi karakteristik, bukti dilakuka dega meujuka bahwa bila F da G adalah fugsi distribusi kumulatif dega fugsi karakteristik yag sama, yaitu e itx df(x) maka F(x) = G(x). (Skripsi halama 54). = e itx dg(x) t R, Berdasarka teorema ketuggala terdapat korespodesi satu-satu atara fugsi pembagkit mome dega fugsi probabilitas

38 3 Teorema.5 Misalka X, X,, X adalah variabel acak yag salig bebas dega fugsi pembagkit mome m X (t), m X (t),, m X (t). Jika U = X + X + + X, maka m U (t) = m X (t) m X (t) m X (t). Bukti: m U (t) = E(e tu ) = E(e t(x +X + +X ) ) = E(e tx e tx e tx ) = E(e tx ) E(e tx ) E(e tx ) = m X (t) m X (t) m X (t) D. Pedugaa Parameter Pedugaa parameter adalah bidag dari statistika yag berhubuga dega meduga ilai-ilai parameter berdasarka data yag diukur atau data empiris yag memiliki kompoe radom. Pedugaa parameter adalah suatu metode utuk meduga ilai parameter populasi dega megguaka ilai-ilai dari sampel. Defiisi.5 Parameter adalah suatu kostata yag meggambarka (merupaka karakteristik) populasi. Sebuah keluarga parametrik fugsi desitas adalah kumpula fugsi desitas yag diideks oleh suatu kuatitas yag disebut parameter.

39 4 Cotoh.6:. Populasi berdistribusi Normal dega fugsi desitasya adalah f(x) = σ π exp [ ( σ ) ((x μ) )], < x < memiliki parameter μ da σ, dega μ merupaka rata-rata populasi da σ merupaka variasi populasi.. Populasi berdistribusi Ekspoesial fugsi desitasya adalah f(x; λ) = λe λx, dega λ >. Maka utuk setiap λ >, f(x; λ) adalah fugsi desitas. Kumpula dari f(x; λ) adalah keluarga parametrik dari fugsi desitas. Defiisi.6 Peduga (estimator) adalah suatu atura, yag diyataka dalam suatu rumus yag diguaka utuk meghitug ilai dari pedugaa yag didasarka atas pegukura di dalam sampel. Peduga dibagi mejadi dua bagia yaitu peduga titik (poit estimatio) da peduga selag (iterval estimatio). Defiisi.7 Peduga Titik (Poit Estimatio) Peduga titik adalah peetua suatu ilai tuggal yag dega sebaik-baikya meduga parameter yag sebearya. Cotoh.7 Rata-rata sampel yag diyataka dalam suatu rumus x = x i merupaka salah satu peduga titik dari rata-rata populasi μ.

40 5 Defiisi.8 Peduga Selag (Iterval Estimatio) Peduga selag adalah suatu peetua selag ilai yag memiliki peluag yag besar aka memuat parameter sebearya. E. Selag Kepercayaa Peduga selag adalah metode yag diguaka utuk meghitug ilai yag aka membetuk titik-titik batas iterval. Idealya hasil dari iterval aka memiliki sifat. Pertama ia aka memuat parameter θ, kedua, itervalya aka relatif sempit. Kedua titik batas dari iterval merupaka fugsi dari pegukura sampel yag aka bervariasi secara acak dari sampel yag satu dega sampel yag lai. Jadi, pajag da letak dari iterval bersifat radom. Kita tidak dapat secara pasti megetahui letak dari parameter θ, tapi kita tahu bahwa letakya di dalam selag tersebut. Jadi tujua kita adalah igi meetuka iterval yag relatif sempit tetapi mempuyai peluag yag besar utuk memuat parameter θ. Peduga selag serig disebut dega Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval). Titik batas atas da titik batas bawah dari selag kepercayaa disebut juga batas atas da batas bawah kepercayaa. Peluag bahwa selag kepercayaa aka memuat parameter θ disebut koefisie kepercayaa. Dari sudut padag praktis, koefisie kepercayaa megidetifikasi berapakah i dalam samplig berulag, selag yag terbetuk aka memuat parameter θ yag mejadi sasara. Cotoh, misal koefisie kepercayaya 95%, artiya jika ada samplig sebayak kali maka 95 selag yag terbetuk aka memuat θ. Jika diketahui bahwa koefisie kepercayaa yag terkait dega peduga itu tiggi, maka dapat dipercaya bahwa setiap selag kepercayaa yag dibagu dega megguaka hasil dari sampel tuggal aka memuat parameter θ. Misalka θ L da θ U secara berturut-turut merupaka batas atas da batas bawah selag kepercayaa radom utuk parameter θ.

41 6 Maka, jika P (θ L θ θ U) = α, peluag ( α) adalah koefisie kepercayaa. Iterval radom yag didefiisika dega [θ L, θ U] disebut selag kepercayaa dua sisi. Memugkika juga utuk membetuk selag kepercayaa satu sisi batas bawah yaitu P (θ L θ) = α, selag kepercayaaya adalah [θ L, ). Dega cara yag sama, dapat dibetuk selag kepercayaa satu sisi batas atas yaitu P (θ θ U) = α, selag kepercayaaya adalah (, θ U]. Metode yag serig diguaka utuk mecari selag kepercayaa disebut metode Pivot. Metode Pivot bergatug pada suatu ilai yag disebut kuatitas Pivot. Kuatitas Pivot memiliki ciri:. Merupaka fugsi dari pegukura sampel da parameter θ, dega θ adalah kuatitas yag tidak diketahui.. Distribusi probabilitas dari kuatitas Pivot tidak bergatug pada parameter θ. Jika distribusi probabilitas dari kuatitas Pivot diketahui, maka logika berikut dapat diguaka utuk betuk peduga selag. Jika Y merupaka variabel radom, c > adalah kosta, da P(a Y b) =.7; maka jelas bahwa P(ca cy cb) =.7. Dega cara yag sama utuk setiap kosta d, P(a + d Y + d b + d) =.7. Peluag kejadia P(a Y b) tidak dipegaruhi dega perubaha skala atau traslasi dari Y. Cotoh.8 Diberika suatu populasi, dega variabel radom Y, memiliki distribusi Ekspoesial dega mea θ. Dega megguaka Y, buatlah selag kepercayaa bagi θ dega koefisie kepercayaa.9.

42 7 Jawab: Fugsi desitas utuk Y adalah sebagai berikut f(y) = { ( θ ) y e θ, y, selaiya Dega megguaka metode Pivot, aka ditujukka bahwa U = Y θ memeuhi syarat sebagai kuatitas Pivot. F u (u) = P(U u) = P ( Y θ u) = P(Y θu) = F Y(θu) (.) F Y (y) = y y f(t)dt = e t θdt = e y θ (.3) θ Dari (.) da (.3) diperoleh F Y (θu) = e uθ θ = e u θ f u (u) = F u (u) = F Y (θu) = e u U = Y θ adalah kuatitas Pivot, karea. U merupaka fugsi dari pegukura sampel da parameter θ yag tidak diketahui.. f u (u) tidak bergatug pada θ. Karea aka dibuat peduga selag dega koefisie kepercayaa sama dega.9, aka dicari a da b utuk P(a U b) =.9

43 8 f(u) Gambar. 3 Kurva Distribusi Ekspoesial dega P(a U b) =.9 a P(U < a) = e u du =.5 da P(U > b) = e u b du =.5 Maka, e a =.5 e b =.5 e a =.5 l(e b ) = l(.5) e a =.95 b = l(e a ) = l(.95) b = a =.5 a =.5 Diperoleh a =.5 da b = sehigga P(a U b) =.9 mejadi a b P(.5 U.99573) =.9 P (.5 Y.99573) =.9 θ P (.5 Y Y P ( θ ) =.9 Y.5 θ Y ) =.9 Y Y P ( θ ) =.9 u

44 9 Jadi, selag kepercayaa bagi θ dega koefisie kepercayaa.9 adalah Y P ( θ Y.5 ) =.9. F. Ukura Peduga Yag Baik Peduga yag baik adalah peduga yag medekati ilai parameter yag sebearya. Ciri-ciri peduga yag baik adalah peduga yag tak bias atau memiliki bias yag sekecil mugki. Bias da Rata-rata Galat dari Peduga Titik Defiisi.9 Misalka θ adalah peduga titik dari parameter θ, maka θ adalah peduga tak bias jika E(θ ) = θ. Jika E(θ ) θ, maka θ disebut bias. Defiisi. Bias dari peduga titik θ didefiisika sebagai B(θ ) = E(θ ) θ. Cotoh.9 Diberika y, y, y 3,, y merupaka sampel radom dari populasi memiliki fugsi desitas sebagai berikut f(y) = { ( θ + ) e y (θ+), y >, θ >, selaiya Tetuka peduga yag tak bias bagi θ. Apakah Y merupaka peduga yag tak bias bagi θ? Jawab: Aka dicoba Y sebagai peduga θ.

45 3 E(Y ) = E ( Jadi Y bias. Y i ) = E ( Y i Biasya dari Y adalah, maka E(Y ) = θ + E(Y ) = θ Jadi, Y adalah peduga tak bias dari θ. ) = E(Y i) = (θ + ) = θ +. Defiisi. Rata-rata Kuadrat Galat (Mea Square Error) dari peduga titik θ adalah MSE(θ ) = E [(θ θ ) ]. Rata-rata Kuadrat Galat dari sebuah peduga θ adalah fugsi dari variasi da biasya. Teorema.6 MSE(θ ) = V(θ ) + [B(θ ) ] Bukti: MSE(θ ) = E [(θ θ) ] = E [(θ E (θ )) + (E(θ ) θ) ] = E [(θ E (θ )) + (θ E (θ )) (E(θ ) θ) + (E(θ ) θ) ] = E [(θ E (θ )) ] + E [ (θ E (θ )) (E(θ ) θ)] + E [(E(θ ) θ) ] = V(θ ) + E [(θ E (θ )) B(θ )] + [B(θ )] = V(θ ) + B(θ )E [(θ E (θ ))] + [B(θ )] = V(θ ) + B(θ )E (θ ) E[E(θ )] + [B(θ )]

46 3 = V(θ ) + + [B(θ )] = V(θ ) + [B(θ )] G. Metode Kuadrat Terkecil Regresi liear adalah metode statistika yag diguaka utuk megetahui hubuga atara variabel terikat (depede;y) dega satu atau lebih variabel bebas (idepede;x). Defiisi. Model regresi liear sederhaa didefiisika sebagai Y i = β + β X i + u i, i =,,3,, dega Y i = pegamata ke- i variabel depede Y X i = pegamata ke- i variabel idepede x β = itersep (kostata) β = parameter regresi u i = galat (error) dari pegamata ke-i Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) merupaka salah satu metode yag serig diguaka utuk medapatka ilai-ilai peduga parameter model regresi. Misalka (x i, y i ) pasaga sampel radom berukura pegamata dari suatu populasi, berdasarka defiisi. maka persamaa garis regresiya adalah Y i = β + β X i + u i. Metode Kuadrat Terkecil bertujua utuk meetuka peduga dari β da β, yaitu β da β. Dega asumsi E(u i ) = persamaa regresi aka diduga dega Y i = β + β X i. Tujua dari Metode Kuadrat Terkecil adalah meemuka dari β da β yag memiimumka Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE).

47 3 Defiisi.3 Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error;SSE) didefiisika sebagai berikut SSE = (y i y ) i = [y i ( β + β x i )]. Jumlah Kuadrat Galat (SSE) aka memiliki ilai miimum jika ilai β da β memeuhi persamaa SSE β = da SSE β parsial terhadap β da β, maka diperoleh SSE β = ( [y i ( β β + β x i )] = [y i ( β + β x i )] = ( y i ( β + β x i ) = ( y i β β x i y i = β + β x i da SSE β = ( [y i ( β β + β x i )] =. Dega megguaka turua = = ) = ) = = = [y i ( β + β x i )]x i = = ( x i y i β x i β x i ) = = ( x i y i β x i β x i ) = x i y i = β x i + β x i (.4) (.5)

48 33 Persamaa (.4) da (.5) dapat diselesaika dega metode Elimiasi maka aka diperoleh β da β sebagai berikut β = x i y i x i y i x i = ( x i) (Y i Y ) (x i x ) (x i x ) (.6) = x i y i x i + x i y i β = x i ( x i ) x i y i x i y i x i x i ( x i ) = y i ( x i ( x i) ) ( x i y i x i y i ) ( x i x i ( x i) = ) x i y i ( y i( x i ) ) x i y i x i + ( y i( x i x i ( x i ) = y i x i y i x i y i x i ( ( x i) x i) = y β x (.7) Peduga β da β pada persamaa (.6) da (.7) adalah peduga yag memiliki jumlah kuadrat galat yag palig miimum, maka β da β adalah titik miimum. ) ) Cotoh. Tetuka koefisie dari garis lurus dega model y i = β + β x i utuk = 5 titik data yag diberika dalam tabel di bawah ii dega megguaka Metode Kuadrat Terkecil.

49 34 Tabel. Data Cotoh. No Roe (x i ) Gaji (y i ) Sumber data: Wooldridge, Jeffrey M. (9). Itroductio Ecoometrics (4 th Editio). South-Wester: Cegage Learig. Halama: 37. Jawab: Dega megguaka persamaa kuadrat terkecil yag dimiliki, maka diperoleh hasil β = x i y i x i y i x i = 5 (33.8)(6338) ( x i) (33.8) = β = y β x = 89. ( ) = Jadi, peyelesaiaya adalah y = x.

50 35 Y X Gambar.4 Grafik peduga Kuadrat Terkecil Peyelesaia cotoh. da Grafik diproduksi dega program R dapat dilihat pada lampira A.3. H. Metode Kemugkia Maksimum Dasar pemikira dari Metode Kemugkia Maksimum diilustrasika dalam suatu cotoh berikut. Misalka terdapat sebuah kotak yag memuat tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola mugki berwara merah atau putih, tetapi tidak diketahui bayakya bola utuk setiap wara. Dipilih sampel secara radom dua bola tapa pegembalia. Jika sampel radom meghasilka dua bola merah, dapat disimpulka bahwa jumlah bola merah pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat ol atau satu bola merah pada kotak, maka tidak mugki utuk memperoleh dua bola merah ketika megambil sampel tapa pegembalia). Jika terdapat dua bola merah da satu bola putih pada kotak, peluag terpilihya dua bola merah secara radom adalah

51 36 ( )( ) ( 3 ) = 3 Jika terdapat tiga bola merah di dalam kotak, peluag terpilihya tiga bola merah secara radom adalah ( 3 ) ( 3 ) = Oleh karea itu dipilih tiga sebagai perkiraa jumlah bola merah di dalam kotak, karea perkiraa ii memaksimumka peluag dari sampel yag diamati. Tetu saja, ada kemugkia bahwa kotak haya berisi dua bola merah, tetapi hasil yag diamati memberika kepercayaa lebih bahwa ada tiga bola merah di dalam kotak. Cotoh ii megilustrasika suatu metode utuk meemuka suatu peduga yag dapat diaplikasika di berbagai situasi. Metode ii disebut Metode Kemugkia Maksimum (Maximum Likelihood Method). Defiisi.4 Misalka x, x,..., x adalah variabel radom kotiu berukura dega fugsi desitas f(x; θ) da θ adalah parameter yag tidak diketahui. Fugsi likelihood dari sampel radom adalah fugsi desitas bersama dari variabel radom da merupaka fugsi dari parameter yag tidak diketahui. Fugsi likelihood diotasika dega L (x θ) da didefiisika sebagai L (x θ) = f(x i ; θ), dega f(x i ; θ) adalah otasi fugsi probabilitas dari x i dega parameter θ. Defiisi.5 Bila fugsi kemugkia L (θ) bergatug pada k buah parameter yaitu θ, θ,..., θ k maka tujua dari Metode Kemugkia Maksimum adalah meetuka peduga dari θ yag memaksimumka L (x θ) =

52 37 L (x, x,..., x θ, θ,..., θ k ) atau ekuivale dega memaksimumka fugsi log-likelihood l(x θ) dega l = l L (x θ). Nilai parameter θ dapat diperoleh dega memaksimumka fugsi loglikelihood. Hal tersebut dapat diperoleh dega mecari turua parsial pertama dari fugsi log-likelihood-ya terhadap setiap parameterya. Sehigga, MLE θ merupaka peyelesaia persamaa L = θ. Misalka terdapat k parameter yag θ tidak diketahui, maka pedugaa θ i dega Metode Kemugkia Maksimum L θ i = dega l = l(θ, θ,..., θ k ) da i =,,3,, k. Cotoh. Misalka x, x,..., x adalah sampel radom berdistribusi Normal dega ratarata μ da variasi σ. Tetuka μ da σ dega megguaka Metode Kemugkia Maksimum. Jawab: x, x,..., x adalah variabel radom kotiu berdistribusi Normal dega ratarata μ da variasi σ maka fugsi probabilitas desitasya didefiisika sebagai berikut f(x) = exp [ ( σ π σ ) ((x μ) )], Berdasarka defiisi.4 maka diperoleh L (μ σ ) = f(x i ; μ, σ ) = f(x, x,..., x ; μ, σ ) = f(x μ, σ ) f(x μ, σ ) f(x μ, σ ) = [ σ π exp ( ( σ ) ((x μ) ))] exp ( ( σ π σ ) ((x μ) )) < x <

53 38 = ( σ π ) exp [ ( σ ) (x i μ) ] Fugsi log-likelihood dari persamaa di atas adalah l[l (μ σ )] = l {( σ π ) exp [ ( σ ) (x i μ) ]} = [l ( σ π )] σ (x i μ) = l σ l π σ (x i μ) Peduga Kemugkia Maksimum dari μ da σ adalah peduga yag memaksimumka l[l (μ σ )], dega mecari ilai turua parsial terhadap μ da σ, maka diperoleh l[l (μ σ )] = μ σ (x i μ) l[l (μ σ )] σ = σ + σ 4 (x i μ) Jika persamaa (.6) diselesaika maka aka diperoleh σ (x i μ) = (x i μ) = x i μ = μ = x i = x (.6) (.7)

54 39 da jika persamaa (.7) diselesaika maka aka diperoleh σ + σ 4 (x i μ) σ 4 (x i μ) σ (x i μ) = = σ = σ = (x i μ) Dega substitusi hasil dari persamaa (.6) yaitu μ = x maka hasil dari persamaa (.7) mejadi σ = (x i x ). Jadi, peduga kemugkia maksimum utuk μ da σ adalah μ = x da σ = (x i x ). I. Uji Kolmogorov-Smirov Hal yag sagat petig dalam prosedur statistik adalah meetuka distribusi yag medasari suatu kumpula data. Uji kecocoka (goodess of fit test) biasaya megkaji sebuah variabel radom dari beberapa distribusi yag tidak diketahui, yaitu suatu fugsi tertetu. Pada dasarya uji ii mecakup perhituga distribusi frekuesi kumulatif yag aka terjadi dibawah distribusi teoritisya. Misalka variabel radom x, x,, x berasal dari distribusi yag tidak diketahui F(x), da dimisalka x () < x () <.. < x () adalah statistik terurut, aka diuji hipotesis bahwa F(x) adalah sama dega suatu distribusi tertetu F (x).

55 4 Defiisi.6 Misalka x, x,, x adalah variabel radom. Fugsi distribusi empiris F (x) didefiisika sebagai F (x) = (x i x) Cotoh. Diberika sampel radom yag memuat x =.6, x =.53, x 3 =.3, x 4 =.477, x 5 =.7, x 6 =.58, x 7 =.39, x 8 =.48, x 9 =.554, x =.38. Berdasarka defiisi.6 fugsi distribusi empirisya adalah F (x (i) ) = (x i x (i) ) Dega x (i) adalah statistik terurut dari x i,,,3,4,5,6,7,8,9,. Maka aka diperoleh x (i) F (x (i) ) Defiisi.7 Statistik Uji Kolmogorov-Smirov D didefiisika sebagai D = maks (D +, D ) D + = maks (F (x) F (x (i) )) D = maks (F (x (i) ) F (x i )) Dega i =,,,. Hipotesis uji Kolmogorov-Smirov adalah H : F(x) = F (x)

56 4 Utuk setiap x dega F (x) adalah fugsi distribusi kumulatif yag diketahui, da H : F(x) F (x) Jika D D α () yag diberika oleh tabel Kolmogorov-Smirov, maka H ditolak pada tigkat sigifikasi α. D α () adalah ilai kritis Kolmogorov-Smirov pada tigkat α da ukura sampel. Tabel D α () dapat dilihat pada lampira A.4. J. Uji Distribusi Rayleigh megguaka Uji Kolmogorov-Smirov Uji Kolmogorov-Smirov dapat juga diguaka utuk meguji apakah data berdistribusi Rayleigh atau tidak. Uji distribusi Rayleigh dega Kolmogorov- Smirov dilakuka setelah pedugaa parameter distribusi Rayleigh. Lagkah-lagkah uji Kolmogorov-Smirov utuk distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut. H = data berdistribusi Rayleigh. H = data tidak berdistribusi Rayleigh 3. Tetuka tigkat sigifikasi α 4. Statistik Uji: D = max(d +, D ) 5. Wilayah kritis H ditolak jika D D α () 6. a) Data diurutka dari yag terkecil sampai yag terbesar b) Hituglah F (x) berdasarka fugsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh c) Berdasarka defiisi.6 hituglah fugsi distribusi empiris F (x) d) Berdasarka defiisi.7 hituglah ilai D + da D da tetuka maksimum dari D = max(d +, D ) 7. Kesimpula

57 4 Cotoh.3 Ujilah apakah data berikut berdistribusi Rayleigh dega parameter skala b = Tabel. Data Cotoh.3 No x i No x i Jawab:. H = data berdistribusi Rayleigh dega parameter skala b =. H = data tidak berdistribusi Rayleigh 3. Tigkat sigifikasi α =.5 4. Statistik Uji: D = max(d +, D ) 5. Wilayah kritis H ditolak jika D D α () = a) Data diurutka dari yag terkecil sampai yag terbesar b) Aka dihitug F (x) berdasarka defiisi fugsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh, yaitu F(x) = exp ( ( x b )) c) Aka dihitug fugsi distribusi empiris F (x) berdasarka defiisi.6 d) Aka dihitug ilai D + da D berdasarka defiisi.7 da meetuka maksimum dari D = max(d +, D ) Tabel.3 Perhituga Uji Kolmogorov Cotoh.3 i x (i) F (x (i) ) F (x (i) ) F (x (i) ) D + D

58 Maksimum D = max(d +, D ) =.74 F(xi) F(xi) F Xi Gambar.5 Grafik F (x (i) ) da F (x (i) ) Grafik tersebut diproduksi dega program R pada lampira A Kesimpula H diterima sebab D = D α () =.948, maka data di atas berdistribusi Rayleigh dega parameter skala b =.

59 BAB III PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI RAYLEIGH DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN KEMUNGKINAN MAKSIMUM A. Distribusi Rayleigh Defiisi 3. Variabel radom X dikataka mempuyai distribusi Rayleigh dega satu parameter bila fugsi probabilitasya x f(x; b)= { b e( x b ), x, b >, selaiya dega b adalah parameter skala (scale parameter). Berdasarka defiisi.4, aka ditujukka bahwa fugsi probabilitas distribusi Rayleigh merupaka fugsi desitas. ) f(x, b),utuk setiap x R Jelas bahwa f(x) utuk setiap x R. ) f(x, b) dx = Selajutya aka ditujukka bahwa Misalka u = ( x b ) maka du = b x dx f(x) dx = x b x e ( b ) = lim e u du c c dx = lim c e c + e =. = lim c e u c Terbukti bahwa f(x) adalah fugsi desitas. f(x) dx = 44

60 45 Grafik fugsi probabilitas distribusi Rayleigh adalah sebagai berikut.4.. b=.5 b=.8 b= b=.5 b= b=3 f(x) x Gambar 3. Grafik fugsi distribusi Rayleigh dega ilai b =.5,.8,,.5,, 3. Grafik tersebut diproduksi dega program R pada lampira A.6 Defiisi 3.3 Jika diketahui bahwa fugsi probabilitas dari distribusi Rayleigh seperti yag diberika pada defiisi 3., maka fugsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh dapat ditetuka. Berdasarka defiisi.5 maka diperoleh x F (x) = f(t) = t dt x t b e ( b ) dt Misalka u = ( t b ) maka du = t dt b

61 46 F (x) = t x t b e ( b ) x = e u du x = exp( u) du = exp ( u) x dt x = exp ( ( x b )) = exp ( ( x b )). Jadi fugsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh adalah exp ( ( x b ))...8 F(x) b=.5 b=.8 b= b=.5 b= b= x Gambar 3. Grafik fugsi distribusi kumulatif distribusi Rayleigh Grafik tersebut diproduksi dega program R pada lampira A.7

62 47 B. Karakteristik Distribusi Rayleigh Satu Parameter Karakteristik distribusi Rayleigh dicirika dega adaya kostata rata-rata (mea) da variasi. a. Rata-rata (Mea) Berdasarka defiisi.6, E(X) = x. f(x) dx c = lim x x c b e ( = x b ) b lim x. x e ( c c dx x b ) = x [x x e ( b ) dx b = b [ ( b lim e ( c = lim e ( c = πb πb c c x b ) dx dx c x lim c e ( b ) dx ] lim e ( c x b ) dx ] c x b ) dx Dega megigat cotoh. bahwa σ π e (x μ σ ) dx =, atau σ π e (x μ σ ) dx = σ π (σ π) =, maka x ( e b ) dx aka memiliki peyelesaia πb, sehigga = πb πb = b π. πb

63 48 = b π. Jadi, rata-rata distribusi Rayleigh adalah E(X) = b π, dega π = 3,4. b. Variasi Berdasarka teorema., V (X) = E(X ) [E(X)], diketahui E(X) = b π, maka utuk mecari V (X) aka dihitug terlebih dahulu E(X ) = x. f(x) dx c = lim x x c b e ( c c = x lim x b ) dx x x b e ( b ) dx = x ( b (b ) e ( x b ) = ( lim x e ( c = ( b ) = ( b ) = b sehigga diperoleh c x e ( b ) c lim x x c b e ( x b ) dx c ) lim x c b (b )e ( x x b ) dx ) b ) dx V (X) = E(X ) [E(X)] = b (b π ) = b b π = b ( π ). Jadi, variasi distribusi Rayleigh adalah V (X) = b ( π ), dega π = 3,4.

64 49 C. Pedugaa Parameter Distribusi Rayleigh dega Metode Kuadrat Terkecil Pedugaa parameter distribusi Rayleigh yaitu meduga parameter skala b, pedugaa parameter dapat dilakuka dega berbagai metode, salah satuya adalah Metode Kuadrat Terkecil. Metode Kuadrat Terkecil adalah metode utuk meduga parameter dari sebuah model liear. Diketahui fugsi kumulatif distribusi Rayleigh adalah F(x) = exp ( ( x b )). Fugsi distribusi kumulatif dari distribusi Rayleigh merupaka fugsi oliear. Agar Metode Kuadrat Terkecil dapat diguaka utuk meduga parameter distribusi Rayleigh maka persamaa tersebut harus diubah mejadi persamaa liear dega megguaka trasformasi logaritma sebagai berikut F(x i ) = exp ( ( x b )) exp ( ( x b )) = F(x i) l (exp ( ( x b ))) = l( F(x i)) ( x b ) = l( F(x i)) x = b l( F(x i )) x i = b l( F(x i )) (3.).

65 5 Persamaa 3. tersebut dapat diubah mejadi persamaa Y i = β + β X i dega Y i = x i, β =, β = b, da X i = l( F(x i )), dega i =,,,. Dalam skripsi ii peulis haya meduga satu parameter saja maka berdasarka persamaa.4 da persamaa.5 yaitu y i = β + β x i x i y i = β x i + β x i da diketahui utuk β yag merupaka peduga dari β = maka β tidak aka dihitug, sehigga diperoleh persamaa berikut x i y i = x i + β x i x i y i = + β x i β = x iy i x i (3.) Karea β merupaka peduga dari β = b, maka β = b kemudia ilai Y i = x i, β =, β = b, da X i = l( F(x i )) disubstitusika ke persamaa (3.)

66 5 b = ( l( F(x i ))) x i ( l( F(x i ))) = ( l( F(x i ))) x i ( l( F(x i ))) (3.3) F(x i ) pada persamaa (3.3) tidak diketahui maka aka diduga dega F (x i ). Karea F(x i ) > maka F(x i ) < dega demikia F(x i ) diduga dega i F (x i ) =, buka dega (x + i x) sebagaimaa defiisi.6. D. Pedugaa Parameter Distribusi Rayleigh dega Metode Kemugkia Maksimum Metode Kemugkia Maksimum merupaka salah satu metode yag diguaka utuk meduga paramater. Prisip dasar metode ii adalah meetuka peduga parameter θ, yag memaksimumka fugsi likelihood. Pedugaa parameter distribusi Rayleigh adalah meduga parameter skala b. Meurut defiisi 3., fugsi distribusi probabilitas distribusi Rayleigh satu parameter adalah x f(x; b)= { b e( x b ), x, b >, selaiya Meurut defiisi.4, fugsi likelihood adalah L (x θ) = f(x i ; θ) Oleh karea itu, fugsi likelihood utuk distribusi Rayleigh adalah L (x, x,..., x b ) = f (x i ; b ) Utuk selajutya L (x, x,..., x b ) aka ditulis dega L. Misalka x, x,..., x merupaka sampel radom dari observasi dari populasi Rayleigh, maka fugsi kemugkia maksimum utuk sampel tersebut yaitu

67 5 L = x i = b e ( x i xi b e b ) = b x i x xi i b e b (3.3) Peduga parameter b dapat diperoleh dega memaksimumka fugsi loglikelihood-ya. Utuk meduga b aka dilakuka pedugaa terhadap b terlebih dahulu, yaitu b. Hal tersebut dapat diperoleh dega mecari turua parsial pertama dari fugsi log-likelihood-ya. Sebelum dicari turua parsial pertamaya, guaka logaritma pada kedua ruas agar persamaa (3.3) tersebut mejadi persamaa liear l L = l ( xi b e b x i ) l L = l(b ) + l (e x i b ) + l ( x i ) l L = l b + x i b + l x i l L = l b x i b + l x i (3.4) Setelah diperoleh persamaa liearya, kemudia persamaa 3.4 aka dicari turua parsial pertamaya terhadap b da ilai dari turuaya disama degaka ol, maka aka diperoleh d(l L) db = d db ( l b x i b + l x i) = = d db ( l b ) + = b + x i d db ( x i b ) + d db ( l x i) = b 4 = (3.5) Persamaa 3.5 tersebut mempuyai peyelesaia

68 53 b + x i b 4 = b = x i b 4 b = x i b 4 b = x i Karea b merupaka peduga dari b = x i, maka peduga bagi b adalah b = x i. (3.6) E. Fugsi Pembagkit Mome Distribusi Rayleigh Aka dicari fugsi pembagkit mome dari distribusi Rayleigh karea aka bergua utuk mecari fugsi desitas dari b. Berdasarka defiisi.3, maka diperoleh m x (t) = e tx = e tx x c c = lim f(x)dx e x b b dx b x etx e x b = b lim x c etx = b lim x e c = b lim x ( c e x Misalka w = b t c c c x b x b +tx dx dx dx b t) dx

69 54 = b lim x ( c e x c w ) Misalka u = x, x = u, du = xdx, dx = du x = du u = b lim u e u( c = b lim c w ) dx c c e u( w ) du = b Γ()w w = b du u Igat w = b t = b t b, sehigga, w = b b t. w b = b b t b = b b t b = b t = ( b t) Jadi, fugsi pembagkit mome dari distribusi Rayleigh adalah m x (t) = ( b t) (3.7) Teorema 3. Distribusi probabilitas atau fugsi desitas dari b adalah sebagai berikut f(b ) = b (b ) e b ( b ) ( )! b { b < Bukti: Aka dicari fugsi pembagkit momet dari b = x i. Terlebih dahulu aka dicari fugsi pembagkit mome dari X i, dega X i merupaka sampel radom dari distribusi Rayleigh. Jika X i diasumsika idepede, maka m Xi (t) dapat dicari berdasarka teorema.4 yaitu fugsi pembagkit mome dari

70 55 jumlaha variabel radom yag idepede sama dega perkalia fugsi pembagit mome dari masig-masig suku jumlah, m U (t) = m X (t) m X (t) m X (t). Dari persamaa (3.7) diketahui fugsi pembagkit mome dari X i yag merupaka sampel radom distribusi Rayleigh yaitu maka m x (t) = ( b t) m Xi (t) = m X (t) m X (t) m X (t) = ( b t) ( b t) ( b t) = ( b θ) Dega megguaka teorema.3 sifat dari fugsi pembagkit mome, yaitu m cg(x) (t) = m g(x) (ct) dega g(x) merupaka fugsi dari x da c adalah sebuah kostata, akhirya diperoleh fugsi pembagkit mome dari b = x i sebagai berikut (t) = m xi (t) m b = m xi ( t ) = ( b t ) Berdasarka fugsi pembagkit mome dari b di atas dapat diidetifikasi bahwa itu adalah fugsi pembagkit mome dari distribusi Gamma dega ilai tertetu. Aka dicari ilai tertetu dari distribusi Gamma yag aka meghasilka fugsi pembagkit mome yag idetik dega fugsi pembagkit mome dari b. Pertama berdasarka defiisi.9 fugsi desitas dari distribusi Gamma adalah x f(x) = { xα e β β α x Γ(α) x <

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma

Lebih terperinci

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions)

Distribusi Pendekatan (Limiting Distributions) Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,

Lebih terperinci

Distribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir

Distribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir BAB 1 Distribusi Sampel, Likelihood da Peaksir 1.1 Sampel Acak Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak berukura (radom sample of size ). Fugsi peluag -variat ya adalah f X1,X 2,,X (x 1, x 2,..., x ) = f Xi

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang

LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang 2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula

Lebih terperinci

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT

I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Didalam melakuka kegiata suatu alat atau mesi yag bekerja, kita megeal adaya waktu hidup atau life time. Waktu hidup adalah lamaya waktu hidup suatu kompoe atau uit pada

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya 5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag bergua utuk meaksir parameter. Peaksira dapat diartika sebagai dugaa atau perkiraa atas sesuatu yag aka terjadi

Lebih terperinci

BAB 4. METODE ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WAKTU KERUSAKAN

BAB 4. METODE ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WAKTU KERUSAKAN BAB 4 METODE ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WAKTU KERUSAKAN Estimasi reliabilitas membutuhka pegetahua distribusi waktu kerusaka yag medasari dari kompoe atau sistem yag dimodelka Utuk memprediksi

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian

BAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,

Lebih terperinci

Statistika dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriftif 2. Statistik Inferensial Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

Statistika dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriftif 2. Statistik Inferensial Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu: Peaksira Parameter Statistika dibagi mejadi dua yaitu:. Statistika Deskriftif 2. Statistik Iferesial Pearika kesimpula dapat dilakuka dega dua cara yaitu:. Peaksira Parameter 2. Pegujia Hipotesis Peaksira

Lebih terperinci

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X

Pendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..

Lebih terperinci

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan

REGRESI LINIER DAN KORELASI. Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yang mudah didapat atau tersedia. Dapat dinyatakan REGRESI LINIER DAN KORELASI Variabel dibedaka dalam dua jeis dalam aalisis regresi: Variabel bebas atau variabel prediktor -> variabel yag mudah didapat atau tersedia. Dapat diyataka dega X 1, X,, X k

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.

BAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model. BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha

Lebih terperinci

B a b 1 I s y a r a t

B a b 1 I s y a r a t 34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat

Lebih terperinci

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan

Selang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa

Lebih terperinci

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP

STATISTICS. Hanung N. Prasetyo Week 11 TELKOM POLTECH/HANUNG NP STATISTICS Haug N. Prasetyo Week 11 PENDAHULUAN Regresi da korelasi diguaka utuk megetahui hubuga dua atau lebih kejadia (variabel) yag dapat diukur secara matematis. Ada dua hal yag diukur atau diaalisis,

Lebih terperinci

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI

BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas

Lebih terperinci

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Fungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,

Lebih terperinci

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret

Program Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut

Lebih terperinci

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)

II LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4) 3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real

Lebih terperinci

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2

terurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2 Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah

III PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka

Lebih terperinci

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:

Secara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real: BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif

Lebih terperinci

9 Departemen Statistika FMIPA IPB

9 Departemen Statistika FMIPA IPB Supleme Resposi Pertemua ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351 9 Departeme Statistika FMIPA IPB Pokok Bahasa Sub Pokok Bahasa Referesi Waktu Pegatar Aalisis utuk Data Respo Kategorik Data respo kategorik Sebara

Lebih terperinci

BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET

BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET Diskret radom variabel dapat diguaka utuk berbagai radom umber yag diambil dalam betuk iteger. Pola kebutuha ivetori (persediaa) merupaka cotoh yag serig diguaka

Lebih terperinci

STATISTIKA ANALISIS REGRESI DAN KORELASI LINIER SEDERHANA

STATISTIKA ANALISIS REGRESI DAN KORELASI LINIER SEDERHANA STATISTIKA ANALISIS REGRESI DAN KORELASI LINIER SEDERHANA OUTLINE LANJUTAN Peetua garis duga regresi dega Metode OLS kostata a da koefisie b Aalisis Varias komposisi variasi sekitar garis r da r Stadard

Lebih terperinci

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN

Deret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi

Lebih terperinci

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)

BARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT) BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Pertemuan Ke-11. Teknik Analisis Komparasi (t-test)_m. Jainuri, M.Pd

Pertemuan Ke-11. Teknik Analisis Komparasi (t-test)_m. Jainuri, M.Pd Pertemua Ke- Komparasi berasal dari kata compariso (Eg) yag mempuyai arti perbadiga atau pembadiga. Tekik aalisis komparasi yaitu salah satu tekik aalisis kuatitatif yag diguaka utuk meguji hipotesis tetag

Lebih terperinci

BAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL

BAB VIII MASALAH ESTIMASI SATU DAN DUA SAMPEL BAB VIII MASAAH ESTIMASI SAT DAN DA SAMPE 8.1 Statistik iferesial Statistik iferesial suatu metode megambil kesimpula dari suatu populasi. Ada dua pedekata yag diguaka dalam statistik iferesial. Pertama,

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas.

BAB 1 PENDAHULUAN. dimana f(x) adalah fungsi tujuan dan h(x) adalah fungsi pembatas. BAB 1 PENDAHUUAN 1.1 atar Belakag Pada dasarya masalah optimisasi adalah suatu masalah utuk membuat ilai fugsi tujua mejadi maksimum atau miimum dega memperhatika pembatas pembatas yag ada. Dalam aplikasi

Lebih terperinci

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram

Statistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T

Lebih terperinci

PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN METODE BAYES

PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN METODE BAYES Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 52 59 ISSN : 233 29 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB LANDASAN TEORI.1 Aalisis Regresi Istilah regresi pertama kali diperkealka oleh seorag ahli yag berama Facis Galto pada tahu 1886. Meurut Galto, aalisis regresi berkeaa dega studi ketergatuga dari suatu

Lebih terperinci

MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA

MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA Telah dikeal bahwa X 1, X 2...X sampel radom dari distribusi ormal dega mea µ da variasi σ 2, maka x µ σ/ atau xi µ σ

Lebih terperinci

BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (2)

BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (2) Bab 6: Estimasi Parameter () BAB 6: ESTIMASI PARAMETER (). ESTIMASI PROPORSI POPULASI Proporsi merupaka perbadiga atara terjadiya suatu peristiwa dega semua kemugkiaa peritiwa yag bisa terjadi. Besara

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu:

BAB II LANDASAN TEORI. matematika secara numerik dan menggunakan alat bantu komputer, yaitu: 4 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Model matematis da tahapa matematis Secara umum tahapa yag harus ditempuh dalam meyelesaika masalah matematika secara umerik da megguaka alat batu komputer, yaitu: 2.1.1 Tahap

Lebih terperinci

TRANSFORMASI BOX-COX PADA ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA

TRANSFORMASI BOX-COX PADA ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 115 122 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND TRANSFORMASI BOX-COX PADA ANALISIS REGRESI LINIER SEDERHANA ELVI YATI, DODI DEVIANTO, YUDIANTRI ASDI Program

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian

TINJAUAN PUSTAKA Pengertian TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 SUKU BANYAK A Pegertia: f(x) x + a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a 2 +a 1 adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a 1, a 2,.,a 2, a 1, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL

BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL BAB I KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL Defiisi Persamaa diferesial adalah persamaa yag melibatka variabelvariabel tak bebas da derivatif-derivatifya terhadap variabel-variabel bebas. Berikut ii adalah

Lebih terperinci

2 BARISAN BILANGAN REAL

2 BARISAN BILANGAN REAL 2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu

Lebih terperinci

PEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI KARAKTERISTIK

PEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI KARAKTERISTIK Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 71 75 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI KARAKTERISTIK SUCI SARI WAHYUNI,

Lebih terperinci

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR

PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember

Lebih terperinci

Pengantar Statistika Matematika II

Pengantar Statistika Matematika II Pegatar Statistika Matematika II Metode Evaluasi Atia Ahdika, S.Si., M.Si. Prodi Statistika FMIPA Uiversitas Islam Idoesia April 11, 2017 atiaahdika.com Pegguaa metode estimasi yag berbeda dapat meghasilka

Lebih terperinci

Definisi Integral Tentu

Definisi Integral Tentu Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.

Lebih terperinci

Pengenalan Pola. Regresi Linier

Pengenalan Pola. Regresi Linier Pegeala Pola Regresi Liier PTIIK - 014 Course Cotets 1 Defiisi Regresi Liier Model Regresi Liear 3 Estimasi Regresi Liear 4 Studi Kasus da Latiha Defiisi Regresi Liier Regresi adalah membagu model utuk

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi

Lebih terperinci

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT

PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber

Lebih terperinci

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3

PERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3 PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde

Lebih terperinci

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga

BAB V. INTEGRAL. Lambang anti-turunan (integral tak-tentu) oleh Leibniz adalah... dx, sehingga BAB V. INTEGRAL 5.. Ati Turua (Itegral Tak-tetu) Defiisi: F suatu ati-turua f pada selag I jika da haya jika D F() = f() pada I, yaki F () = f() utuk semua dalam I. (Jika suatu titik ujug I, F () haya

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang

BAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya

Lebih terperinci

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n

LIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara

Lebih terperinci

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i

Gambar 1. Partisi P dari empat persegi panjang R = [a, b] x [c, d] adalah dua himpunan i i INTEGAL LIPAT. Itegral Lipat Dua dalam Koordiat Kartesius Pada bagia ii, dipelajari itegral lipat dua dalam. Misalka diketahui dua iterval tertutup [a, b] da [c, d]. Hasil kali kartesius dari kedua iterval

Lebih terperinci

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN

HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI

Lebih terperinci

PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN

PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN DALAM SUATU MODEL NON-LINIER Abstrak Nur ei 1 1, Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Tadulako Jl. Sukaro-Hatta Palu,

Lebih terperinci

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014

Hendra Gunawan. 12 Februari 2014 MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg

Lebih terperinci

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3

An = an. An 1 = An. h + an 1 An 2 = An 1. h + an 2... A2 = A3. h + a2 A1 = A2. h + a1 A0 = A1. h + a0. x + a 0. x = h a n. f(x) = 4x 3 + 2x 2 + x - 3 BAB XII. SUKU BANYAK A = a Pegertia: f(x) = a x + a x + a x + + a x +a adalah suku bayak (poliom) dega : - a, a, a,.,a, a, a 0 adalah koefisiekoefisie suku bayak yag merupaka kostata real dega a 0 - a

Lebih terperinci

ANALISIS REGRESI TERPOTONG (TRUNCATED) ATAS BAWAH DAN PENERAPANNYA SKRIPSI

ANALISIS REGRESI TERPOTONG (TRUNCATED) ATAS BAWAH DAN PENERAPANNYA SKRIPSI ANALISIS REGRESI TERPOTONG (TRUNCATED) ATAS BAWAH DAN PENERAPANNYA SKRIPSI Diajuka kepada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Uiversitas Negeri Yogyakarta utuk memeuhi sebagia persyarata gua memperoleh

Lebih terperinci

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN

JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat

Lebih terperinci

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran

BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi

Lebih terperinci

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.

mempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari. Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah

Lebih terperinci

PENAKSIR BAYES UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN FUNGSI KERUGIAN ENTROPI

PENAKSIR BAYES UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN FUNGSI KERUGIAN ENTROPI PENAKSIR BAYES UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN FUNGSI KERUGIAN ENTROPI Nadya Zulfa Negsih, Bustami Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika

Lebih terperinci

SEBARAN t dan SEBARAN F

SEBARAN t dan SEBARAN F SEBARAN t da SEBARAN F 1 Tabel uji t disebut juga tabel t studet. Sebara t pertama kali diperkealka oleh W.S. Gosset pada tahu 1908. Saat itu, Gosset bekerja pada perusahaa bir Irladia yag melarag peerbita

Lebih terperinci

DISTRIBUSI KHUSUS YANG DIKENAL

DISTRIBUSI KHUSUS YANG DIKENAL 0 DISTRIBUSI KHUSUS YANG DIKENAL Kita sudah membahas fugsi peluag atau fugsi desitas, baik defiisiya maupu sifatya. Fugsi peluag atau fugsi desitas ii merupaka ciri dari sebuah distribusi, artiya fugsi

Lebih terperinci

PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak:

PENGUJIAN HIPOTESIS. Atau. Pengujian hipotesis uji dua pihak: PENGUJIAN HIPOTESIS A. Lagkah-lagkah pegujia hipotesis Hipotesis adalah asumsi atau dugaa megeai sesuatu. Jika hipotesis tersebut tetag ilai-ilai parameter maka hipotesis itu disebut hipotesis statistik.

Lebih terperinci

Bab 3 Metode Interpolasi

Bab 3 Metode Interpolasi Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui

Lebih terperinci

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA

REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program

Lebih terperinci

Pendugaan Parameter. Debrina Puspita Andriani /

Pendugaan Parameter. Debrina Puspita Andriani    / Pedugaa Parameter 7 Debria Puspita Adriai E-mail : debria.ub@gmail.com / debria@ub.ac.id Outlie Pedahulua Pedugaa Titik Pedugaa Iterval Pedugaa Parameter: Kasus Sampel Rataa Populasi Pedugaa Parameter:

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya.

BAB 1 PENDAHULUAN. Analisis regresi menjadi salah satu bagian statistika yang paling banyak aplikasinya. BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Aalisis regresi mejadi salah satu bagia statistika yag palig bayak aplikasiya. Aalisis regresi memberika keleluasaa kepada peeliti utuk meyusu model hubuga atau pegaruh

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. dihitung. Nilai setiap statistik sampel akan bervariasi antar sampel.

II. LANDASAN TEORI. dihitung. Nilai setiap statistik sampel akan bervariasi antar sampel. II. LANDASAN TEORI Defiisi 2.1 Distribusi Samplig Distribusi samplig adalah distribusi probibilitas dari suatu statistik. Distribusi tergatug dari ukura populasi, ukura sampel da metode memilih sampel.

Lebih terperinci

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi

6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi 6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0

Lebih terperinci

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1

Barisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1 Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Bicriteria Liear Programmig (BLP) Pesoala optimisasi dega beberapa fugsi tujua memperhitugka beberapa tujua yag koflik secara simulta, secara umum Multi objective programmig (MOP)

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. dengan asumsi bahwa telah diketahui bentuk fungsi regresinya. atau dalam bentuk matriks dapat ditulis dengan:

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. dengan asumsi bahwa telah diketahui bentuk fungsi regresinya. atau dalam bentuk matriks dapat ditulis dengan: BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Regresi Parametrik Regresi parametrik merupaka metode statistika yag diguaka utuk megetahui pola hubuga atara variabel prediktor dega variabel respo, dega asumsi bahwa telah

Lebih terperinci

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET

Kalkulus Rekayasa Hayati DERET Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti

Lebih terperinci

PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI DENGAN KONDISI ADANYA PENCILAN

PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI DENGAN KONDISI ADANYA PENCILAN PENDUGAAN SELANG KEPERCAYAAN RATA-RATA POPULASI DENGAN KONDISI ADANYA PENCILAN Skripsi Diajuka utuk Memeuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Sais Program Studi Matematika Oleh : Petroela Yui Iswari

Lebih terperinci

BAB III PENGGUNAAN METODE EMPIRICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTION (EBLUP) PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL

BAB III PENGGUNAAN METODE EMPIRICAL BEST LINEAR UNBIASED PREDICTION (EBLUP) PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL BAB III PENGGUNAAN MEODE EMPIRICAL BES LINEAR UNBIASED PREDICION (EBLUP PADA GENERAL LINEAR MIXED MODEL Pada Bab III ii aka dibahas megeai taksira parameter pada Geeral Liear Mixed Model berdasarka asumsi

Lebih terperinci

ESTIMASI. (PENDUGAAN STATISTIK) Ir. Tito Adi Dewanto. Statistika

ESTIMASI. (PENDUGAAN STATISTIK) Ir. Tito Adi Dewanto. Statistika Wed 6/0/3 ETIMAI (PENDUGAAN TATITIK) Ir. Tito Adi Dewato tatistika Deskriptif Iferesi Estimasi Uji Hipotesis Titik Retag Estimasi da Uji Hipotesis Dilakuka setelah peelitia dalam tahap pegambila suatu

Lebih terperinci

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi

Lebih terperinci

PENAKSIR RANTAI RASIO DAN RANTAI PRODUK YANG EFISIEN UNTUK MENAKSIR RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA

PENAKSIR RANTAI RASIO DAN RANTAI PRODUK YANG EFISIEN UNTUK MENAKSIR RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA PENAKSIR RANTAI RASIO DAN RANTAI PRODUK YANG EFISIEN UNTUK MENAKSIR RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA V. M. Vidya *, Bustami, R. Efedi Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika

Lebih terperinci

REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA

REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA REGRESI DAN KORELASI SEDERHANA Apa yag disebut Regresi? Korelasi? Aalisa regresi da korelasi sederhaa membahas tetag keterkaita atara sebuah variabel (variabel terikat/depede) dega (sebuah) variabel lai

Lebih terperinci

Modul Kuliah statistika

Modul Kuliah statistika Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata

Lebih terperinci

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI

I. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI I PENDAHULUAN 1 Latar belakag Model pertumbuha Solow-Swa (the Solow-Swa growth model) atau disebut juga model eoklasik (the eo-classical model) pertama kali dikembagka pada tahu 195 oleh Robert Solow da

Lebih terperinci

III. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur

III. METODOLOGI PENELITIAN. Penelitian ini dilakukan di SMA Negeri 1 Way Jepara Kabupaten Lampung Timur 0 III. METODOLOGI PENELITIAN A. Lokasi da Waktu Peelitia Peelitia ii dilakuka di SMA Negeri Way Jepara Kabupate Lampug Timur pada bula Desember 0 sampai Mei 03. B. Populasi da Sampel Populasi dalam peelitia

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Maajeme risiko merupaka salah satu eleme petig dalam mejalaka bisis perusahaa karea semaki berkembagya duia perusahaa serta meigkatya kompleksitas aktivitas perusahaa

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4

Mata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4 Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika

Lebih terperinci

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:

b. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut: Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah

Lebih terperinci

PERCOBAAN 4 VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI PROBABILITASNYA

PERCOBAAN 4 VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI PROBABILITASNYA PERCOBAAN 4 VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI PROBABILITASNYA 4.. Tujua : Setelah melaksaaka praktikum ii mahasiswa diharapka mampu : Membedaka data berdasarka jeis variabelya Mapatka mea da varias dari distribusi

Lebih terperinci

STATISTIKA MATEMATIKA

STATISTIKA MATEMATIKA Praktikum STATISTIKA MATEMATIKA Adi Setiawa Uiversitas Kriste Satya Wacaa Salatiga 2006 i Cotets : Statistik Cukup 2 Latiha Soal Statistik Cukup 6 3 : Estimasi Titik 7 4 Latiha Soal Estimasi Titik 37 5

Lebih terperinci

TEORI ANTRIAN. Gambar 1 Proses antrian pada suatu sistem antrian

TEORI ANTRIAN. Gambar 1 Proses antrian pada suatu sistem antrian TEORI ANTRIAN Teori atria merupaka studi matematis megeai atria atau waitig lies yag di dalamya disediaka beberapa alteratif model matematika yag dapat diguaka utuk meetuka beberapa karakteristik da optimasi

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy BAB III PEMBAHASAN Pada BAB III ii aka dibahas megeai betuk program liear fuzzy dega koefisie tekis kedala berbetuk bilaga fuzzy da pembahasa peyelesaia masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelag

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

JENIS PENDUGAAN STATISTIK

JENIS PENDUGAAN STATISTIK ENDUGAAN STATISTIK ENDAHULUAN Kosep pedugaa statistik diperluka utuk membuat dugaa dari gambara populasi. ada pedugaa statistik dibutuhka pegambila sampel utuk diaalisis (statistik sampel) yag ati diguaka

Lebih terperinci

Perbandingan Power of Test dari Uji Normalitas Metode Bayesian, Uji Shapiro-Wilk, Uji Cramer-von Mises, dan Uji Anderson-Darling

Perbandingan Power of Test dari Uji Normalitas Metode Bayesian, Uji Shapiro-Wilk, Uji Cramer-von Mises, dan Uji Anderson-Darling Jural Gradie Vol No Juli 5 : -5 Perbadiga Power of Test dari Uji Normalitas Metode Bayesia, Uji Shapiro-Wilk, Uji Cramer-vo Mises, da Uji Aderso-Darlig Dyah Setyo Rii, Fachri Faisal Jurusa Matematika,

Lebih terperinci

PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart

PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 2 Jui 2012 PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart Adi Setiawa

Lebih terperinci