PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR WALIDATUSH SHOLIHAH G

PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR WALIDATUSH SHOLIHAH G54338 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 7

RINGKASAN WALIDATUSH SHOLIHAH Pedugaa Fugsi Itesitas Global dari Proses Poisso Periodik dega Tre Liear Dibimbig oleh I WAYAN MANGKU da RETNO BUDIARTI Proses stokastik bayak kita temuka dalam kehidupa sehari-hari Misalya, proses kedataga pelagga pada suatu atria di pusat servis (bak, kator pos, supermarket, da sebagaiya da proses kedataga peggua lie telepo Salah satu betuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisso periodik Proses ii adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik Proses Poisso periodik atara lai dapat diguaka utuk memodelka proses kedataga pelagga ke suatu pusat servis dega periode satu hari, atau memodelka feomea-feomea serupa Jika laju kedataga pelagga tersebut meigkat seara liear terhadap waktu, maka model yag lebih tepat utuk diguaka adalah proses Poisso periodik dega tre liear Fugsi itesitas dari proses tersebut umumya tidak diketahui Sehigga diperluka suatu metode utuk meduga fugsi tersebut Pada bayak kasus, kita haya tertarik utuk meduga rata-rata dari fugsi itesitas pada proses Poisso periodik pada selag waktu satu periode, yag disebut fugsi itesitas global Karya ilmiah ii membahas suatu metode utuk meduga fugsi itesitas global dari kompoe periodik suatu proses Poisso periodik dega tre liear yag diamati pada iterval [,] Pada tulisa ii, kita asumsika bahwa periodeya diketahui (seperti: satu hari, satu miggu, da lai-lai, tetapi slope pada kompoe liear da kompoe periodik dari fugsi itesitas pada [, keduaya tidak diketahui Sehigga didefiisika peduga bagi θ da a Dari hasil pegkajia yag dilakuka, diperoleh bahwa peduga bagi θ da a keduaya adalah kosiste jika pajag iterval pegamata proses meuju takhigga Mea Square Error (MSE dari kedua peduga di atas juga koverge ke ol jika pajag iterval pegamata proses meuju takhigga Disampig itu, dihasilka juga pedekata asimtotik utuk bias da ragam bagi pedugapeduga yag dikaji Akhirya dirumuska peduga dega bias yag telah dikoreksi utuk θ, serta dihasilka pedekata asimtotik bagi ragam peduga tersebut i

PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR Skripsi Sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Oleh : WALIDATUSH SHOLIHAH G54338 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 7

Judul : Pedugaa Fugsi Itesitas Global dari Proses Poisso Periodik dega Tre Liear Nama : Walidatush Sholihah NRP : G54338 Meyetujui, Pembimbig I Pembimbig II Dr Ir I Waya Magku, MS Ir Reto Budiarti, MS NIP 3 663 NIP 3 84 49 Megetahui, Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Prof Dr Ir Yoy Koesmaryoo, MS NIP 3 473 999 Taggal Lulus :

RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Badug pada taggal Desember 984 sebagai aak sulug dari dua bersaudara, aak dari pasaga Sudarjat (alm da Nurulhuda Tahu 997 peulis lulus dari SDN Sidagbarag 6 Bogor Tahu peulis lulus dari SMPN 4 Bogor Tahu 3 peulis lulus dari SMAN Bogor da pada tahu yag sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujia Sariga Masuk IPB (USMI Peulis memilih Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Selama megikuti perkuliaha, peulis mejadi asiste mata kuliah Kalkulus II pada tahu ajara 5/6 da 6/7 serta asiste mata kuliah Persamaa Diferesial Biasa pada tahu ajara 5/6 Peulis juga aktif pada kegiata kemahasiswaa Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika sebagai ketua Departeme Keputria pada periode 5 6 da staf Biro Kaderisasi Departeme Pegembaga Sumber Daya Mausia (PSDM periode 6 7 iv

KATA PENGANTAR Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SWT atas segala rahmat da karuia-nya sehigga karya ilmiah ii berhasil diselesaika Peyusua karya ilmiah ii juga tidak lepas dari batua berbagai pihak Utuk itu peulis meguapka terima kasih yag sebesar-besarya kepada: Dr Ir I Waya Magku, MS selaku dose pembimbig I (terima kasih atas semua ilmu, kesabara, motivasi, da batuaya selama peulisa skripsi ii Ir Reto Budiarti, M S selaku dose pembimbig II (terima kasih atas semua ilmu, sara, da motivasiya 3 Drs Siswadi, M Si selaku dose peguji (terima kasih atas semua ilmu da saraya 4 Semua dose Departeme Matematika (terima kasih atas semua ilmu yag telah diberika 5 Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Boo, Mas Dei, Mas Yoo 6 Keluargaku terita: bapak (terima kasih atas semua asihat da motivasiya Pese Bapak udah Walidah laksaaka, ibu (terima kasih bayak atas semua doa, dukuga, da kasih sayagya Ibu memag ibu terbaik seduia, ii, mag Iam (makasih udah batui biki presetasi, mag Tata, mag Wada, wa Ipik, mag Kada, mag Asep (makasih atas doaya 7 Tema-tema Math 4: Uli, Yuda, Dwi, Sri, Agatha, Heri, Mayag, Mika, Idah, Iha, Ami, Elis, Nhi, Marli, Ulfa, Mitha, Mukafi, Sawa, Mufti, Ari, Jayu, Demi, Febria, Prima, Dimas, Ali, Beri, Aam, Lili, Yudi, Septi, Ahie, Ifi, Tiwi, Metha, Via, Abay, Ali, Rama, Mato, Rusli, Ato, Berri, Azis da teme-teme Math 4 laiya (selamat berjuag tema-temaku 8 Tema-tema Math 4: LiaY, Diah, Ai, Dia, Armi, Ayu, da laiya (terima kasih atas doaya Ayo epat meyusul Tema-tema Math 4: Hikmah, Ahi, Hapsari, Jae, Lisda, Gita, Rike, Nike, Yui, Nyoma, Ayu, Ages, Mukhtar, Fahri da laiya (makasih buat dukugaya 9 Adik-adik TPB 43: Baby, Elsha, Sadra, Esa, Evie, Rai, Taia, Momo, Yoyo, Marel, Kalia, Dia, Oi, Tasya, Susa, Iez, Novi, Shati, Yei (makasih atas semagat da dukugaya Para Pegajar MSC: K Syam, K Hepy, K Taufik, K Jae, K Idra, Mba Novi, Mba Nuqi, Ria, Dewi, Poppy (makasih atas semagat da motivasiya Tema-tema Forkom Alim SMANSA (terima kasih atas doaya Tedy Bear: Bai (makasih motivasiya, Iri (makasih semagatya, Reto, Ira, Sisi (kalia semua sahabat yag terbaik 3 Tema-tema KSR PMI kota Bogor (makasih atas semagat da doaya 4 K Ari mat 39 (makasih batuaya merapika omor halama, K Irfa (terima kasih atas bimbiga, asihat, sara da motivasiya selama ii Semoga k Ir tetap semagat da sehat selalu Semoga karya ilmiah ii dapat bermafaat bagi duia ilmu pegetahua khususya Matematika da mejadi ispirasi bagi peelitia-peelitia selajutya Bogor, Jauari 7 Walidatush Sholihah v

DAFTAR ISI Halama DAFTAR ISI vi DAFTAR GAMBAR vii DAFTAR LAMPIRAN vii PENDAHULUAN Latar Belakag Tujua LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Peubah Aak da Fugsi Sebara Mome, Nilai Harapa da Ragam Kekovergea Peubah Aak 3 Peduga 3 Proses Stokastik 4 Proses Poisso 4 Beberapa Defiisi da Lema Tekis 5 HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusa Peduga Bagi θ 6 Pedekata Asimtotik utuk Bias da Ragam dari ˆ θ 8 Reduksi Bias KESIMPULAN 5 DAFTAR PUSTAKA 5 LAMPIRAN 7 vi

DAFTAR GAMBAR Halama Cotoh grafik fugsi itesitas periodik dega tre liear 6 DAFTAR LAMPIRAN Halama Pembuktia Lema 8 Pembuktia Lema 5 9 Pembuktia Lema 6 vii

PENDAHULUAN Latar Belakag Proses stokastik bayak kita temuka dalam kehidupa sehari-hari Misalya, proses kedataga pelagga pada suatu atria di pusat servis (bak, kator pos, supermarket, da sebagaiya Proses kedataga peggua lie telepo juga merupaka suatu proses stokastik Salah satu betuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisso periodik Proses ii adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik Proses Poisso periodik atara lai dapat diguaka utuk memodelka proses kedataga pelagga ke suatu pusat servis dega periode satu hari, atau memodelka feomea-feomea serupa Jika laju kedataga pelagga tersebut meigkat seara liear terhadap waktu, maka model yag lebih tepat utuk diguaka adalah proses Poisso periodik dega tre liear Pada pemodela stokastik dari suatu feomea yag dimodelka dega proses Poisso periodik dega tre liear, fugsi itesitas dari proses tersebut umumya tidak diketahui Sehigga diperluka suatu metode utuk meduga fugsi tersebut Pada bayak kasus, kita haya memerluka iformasi tetag rata-rata dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik Rata-rata dari fugsi itesitas ii pada selag waktu satu periode disebut fugsi itesitas global Pada tulisa ii dikaji suatu metode utuk meduga fugsi itesitas global dari kompoe periodik suatu proses Poisso periodik dega tre liear, yag merupaka rekostruksi dari Magku (5 Tujua Tujua peulisa karya ilmiah ii adalah utuk : (i Mempelajari perumusa peduga itesitas global pada proses Poisso periodik dega tre liear (ii Membuktika kekosistea pedugapeduga yag diperoleh (iii Meetuka pedekata asimtotik dari bias, ragam da MSE dari pedugapeduga yag dikaji (iv Mempelajari perumusa peduga dega bias yag telah dikoreksi utuk itesitas global dari kompoe periodik pada proses Poisso periodik dega tre liear, serta meetuka pedekata asimtotik bagi ragam peduga tersebut LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Suatu perobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi seara tepat tapi kita bisa megetahui semua kemugkia hasil yag muul disebut perobaa aak Defiisi (Ruag Cotoh Ruag otoh adalah himpua semua hasil yag mugki dari suatu perobaa aak, da diotasika dega Ω (Grimmett ad Stirzaker 99 Defiisi (Kejadia Kejadia adalah suatu himpua bagia dari ruag otoh Ω (Grimmett ad Stirzaker 99 Defiisi 3 (Kejadia Lepas Kejadia A da B disebut salig lepas jika irisa dari keduaya adalah himpua kosog (Grimmett ad Stirzaker 99 Defiisi 4 (Meda-σ Meda-σ adalah suatu himpua F yag aggotaya terdiri atas himpua bagia ruag otoh Ω, yag memeuhi syarat berikut: F Jika A F, maka A F 3 Jika A, A, F, maka U Ai F i=

Meda-σ di atas disebut meda Borel jika Ω= (,] da aggotaya disebut himpua Borel (Grimmett ad Stirzaker 99 Defiisi 5 (Ukura Peluag Misalka Ω adalah ruag otoh suatu perobaa da F adalah meda-f pada Ω Suatu fugsi P yag memetaka usur-usur F ke himpua bilaga yata, atau P : F disebut ukura peluag jika: P tak egatif, yaitu utuk setiap A F, P(A P bersifat aditif tak higga, yaitu jika A, A, F dega A j A k =, j k, maka Ρ U A = Ρ( A = = 3 P berorma satu, yaitu P(Ω = Pasaga (Ω, F, P disebut ruag ukura peluag atau ruag probabilitas (Hogg ad Craig 995 Defiisi 6 (Kejadia Salig Bebas Kejadia A da B dikataka salig bebas jika: Ρ( A B =Ρ( A Ρ ( B Seara umum, himpua kejadia {A i ; i I} dikataka salig bebas jika: Ρ I Ai = Ρ( Ai i J i J utuk setiap himpua bagia J dari I (Grimmett ad Stirzaker 99 Peubah Aak da Fugsi Sebara Defiisi 7 (Peubah Aak Misalka Ω adalah ruag otoh dari suatu perobaa aak Fugsi X yag terdefiisi pada Ω yag memetaka setiap usur ω Ω ke satu da haya satu bilaga real X(ω = x disebut peubah aak Ruag dari X adalah himpua bagia bilaga real A = {x : x = X(ω, ω Ω} (Hogg ad Craig 995 Peubah aak diotasika dega huruf kapital, misalya X, Y, Z Sedagka ilai peubah aak diotasika dega huruf keil seperti x, y, z Defiisi 8 (Peubah Aak Diskret Peubah aak X dikataka diskret jika semua himpua ilai dari peubah aak tersebut merupaka himpua teraah (Hogg ad Craig 995 Defiisi 9 (Fugsi Sebara Misalka X adalah peubah aak dega ruag A Misalka kejadia A=(-,x] A, maka peluag dari kejadia A adalah px ( A =Ρ( X x = FX ( x Fugsi F X disebut fugsi sebara dari peubah aak X (Hogg ad Craig 995 Defiisi (Fugsi Kerapata Peluag Fugsi kerapata peluag dari peubah aak diskret X adalah fugsi p : [,] yag diberika oleh: px ( x =Ρ ( X = x (Hogg ad Craig 995 Defiisi (Peubah Aak Poisso Suatu peubah aak X disebut peubah aak Poisso dega parameter λ, λ >, jika fugsi kerapata peluagya diberika oleh k λ λ ( ( px k =Ρ X = k = e, k! utuk k =,, (Ross 3 Lema (Jumlah Peubah Aak Poisso Misalka X da Y adalah peubah aak yag salig bebas da memiliki sebara Poisso dega parameter berturut-turut λ da λ Maka X+Y memiliki sebara Poisso dega parameter λ + λ Bukti: lihat Taylor ad Karli 984 Mome, Nilai Harapa, da Ragam Defiisi (Nilai Harapa Misalka X adalah peubah aak diskret dega fugsi kerapata peluag px ( x =Ρ ( X = x Nilai harapa dari X, diotasika dega E(X, adalah Ε X = xρ X = x = xp x ( ( X (, x jika jumlah di atas koverge mutlak (Hogg ad Craig 995 x

Defiisi 3 (Ragam Misalka X adalah peubah aak diskret dega fugsi kerapata peluag px ( x da ilai harapa E(X Maka ragam dari X, diotasika dega Var ( X atau σ X, adalah σ X =Ε ( X Ε ( X = ( X Ε X px ( x ( ( x (Hogg ad Craig 995 Defiisi 4 (Mome ke-k Jika k adalah bilaga bulat positif, maka mome ke-k atau m k dari peubah aak X adalah mk k ( X =Ε (Hogg ad Craig 995 Defiisi 5 (Mome Pusat ke-k Jika k adalah bilaga bulat positif, maka mome pusat ke-k atau σ k dari peubah aak X adalah k σ k =Ε( ( X m (Hogg ad Craig 995 Nilai harapa dari peubah aak X juga merupaka rataa atau mome pertama dari X Nilai harapa dari kuadrat perbedaa jarak atara peubah aak X dega ilai harapaya disebut ragam atau variae dari X Ragam merupaka mome pusat ke- dari peubah aak X Defiisi 6 (Fugsi Idikator Misalka A adalah suatu kejadia Fugsi idikator dari A adalah suatu fugsi ΙA : Ω [,], yag diberika oleh:, jikaω A Ι A ( ω =, jikaω A (Grimmett ad Stirzaker 99 Dega fugsi idikator kita dapat meyataka hal berikut : ΕΙ =Ρ A A ( Kekovergea Peubah Aak Terdapat beberapa ara utuk megiterpretasika peryataa kekovergea barisa peubah aak, X X utuk Defiisi 7 (Kekovergea Dalam Peluag Misalka X, X,, X adalah barisa peubah aak pada suatu ruag peluag (Ω, F, P Barisa peubah aak X dikataka koverge dalam peluag ke X, diotasika p X X, jika utuk setiap ε > berlaku Ρ( X X > ε, utuk (Grimmett ad Stirzaker 99 Peduga Defiisi 8 (Statistik Statistik adalah suatu fugsi dari satu atau lebih peubah aak yag tidak tergatug pada satu atau beberapa parameter yag ilaiya tidak diketahui (Hogg ad Craig 995 Defiisi 9 (Peduga Misalka X, X,, X adalah otoh aak Suatu statistik U(X, X,, X yag diguaka utuk meduga fugsi parameter g(θ, dikataka sebagai peduga (estimator bagi g(θ, dilambagka oleh ĝ ( θ Bilamaa ilai X = x, X = x,, X = x, maka ilai U(X, X,, X disebut sebagai dugaa (estimate bagi g(θ (Hogg ad Craig 995 Defiisi (Peduga Tak Bias (i Suatu peduga yag ilai harapaya sama dega parameter g(θ, yaitu E[U(X, X,, X ] = g(θ disebut peduga tak bias bagi parameter g(θ Jika sebalikya, peduga di atas disebut berbias (ii Jika lim Ε U( X, X,, X = g( θ K utuk, maka U(X, X,, X disebut sebagai peduga tak bias asimtotik (Hogg ad Craig 995 Defiisi (Peduga Kosiste Suatu peduga yag koverge dalam peluag ke parameter g(θ, disebut peduga kosiste bagi g(θ (Hogg ad Craig 995 Defiisi (MSE suatu Peduga Mea Square Error (MSE dari suatu peduga U bagi parameter g(θ didefiisika sebagai MSE(U = E(U-g(θ 3

= (Bias(U + Var(U, dega Bias(U = EU - g(θ Proses Stokastik Defiisi 3 (Proses Stokastik Proses stokastik X = {X(t, t T} adalah suatu himpua dari peubah aak yag memetaka suatu ruag otoh Ω ke suatu ruag state S (Ross 3 Jadi, utuk setiap t pada himpua ideks T, X(t adalah suatu peubah aak Kita serig megiterpretasika t sebagai waktu da X(t sebagai state (keadaa dari proses pada waktu t Defiisi 4 (Proses Stokastik Waktu Kotiu Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dega waktu kotiu jika T adalah suatu iterval (Ross 3 Defiisi 5 (Ikreme Bebas Suatu proses stokastik dega waktu kotiu {X(t, t T} disebut memiliki ikreme bebas jika utuk semua t < t < t < < t, peubah aak X(t X(t, X(t X(t,, X(t X(t - adalah bebas (Ross 3 Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme bebas jika proses berubahya ilai pada iterval waktu yag tidak tumpag tidih (tidak overlap adalah bebas Defiisi 6 (Ikreme Stasioer Suatu proses stokastik dega waktu kotiu {X(t, t T} disebut memiliki ikreme stasioer jika X(t+s X(t memiliki sebara yag sama utuk semua ilai t (Ross 3 Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme stasioer jika sebara (distribusi dari perubaha ilai atara sembarag dua titik haya tergatug pada jarak atara kedua titik tersebut, da tidak tergatug dari lokasi titik-titik tersebut Proses Poisso Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso Pada proses ii, keuali diyataka seara khusus, diaggap bahwa gugus ideks T adalah iterval bilaga real tak egatif, yaitu [, Defiisi 7 (Proses Peaaha Suatu proses stokastik {N(t, t } disebut proses peaaha jika N(t meyataka bayakya kejadia yag telah terjadi sampai waktu t Dari defiisi tersebut, maka suatu proses peaaha N(t harus memeuhi syaratsyarat berikut: (i N(t utuk semua t [, (ii Nilai N(t adalah iteger (iii Jika s < t maka N(s N(t, s, t [, (iv Utuk s < t maka N(t N(s, sama dega bayakya kejadia yag terjadi pada selag (s,t] (Ross 3 Defiisi 8 (Proses Poisso Suatu proses peaaha {N(t, t } disebut proses Poisso dega laju λ, λ>, jika dipeuhi tiga syarat berikut (i N( = (ii Proses tersebut memiliki ikreme bebas (iii Bayakya kejadia pada sembarag iterval waktu dega pajag t, memiliki sebara (distribusi Poisso dega rataa λt Jadi utuk semua t, s >, t k e ( ( ( ( λ λt Ρ Nt+ s Ns= k=,k =,, k! (Ross 3 Dari syarat (iii dapat dilihat bahwa proses Poisso memiliki ikreme yag stasioer Dari syarat ii juga dapat diperoleh : E (N(t = λt Defiisi 9 (Proses Poisso Tak Homoge Suatu proses Poisso {N(t, t } disebut proses Poisso tak homoge jika laju λ pada sembarag waktu t merupaka fugsi tak kosta dari t yaitu λ(t Selajutya λ(t disebut fugsi itesitas dari proses tersebut (Ross 3 4

Defiisi 3 (Fugsi Periodik Suatu fugsi λ disebut periodik jika λ s + k = λ s ( ( utuk semua s da k Kostata terkeil yag memeuhi persamaa di atas disebut periode dari fugsi λ tersebut (Browder 996 Defiisi 3 (Proses Poisso Periodik Proses Poisso periodik adalah proses Poisso tak homoge yag fugsi itesitasya adalah fugsi periodik (Magku Defiisi 3 (Fugsi Itesitas Global Misalka N( [, ] adalah proses Poisso pada iterval [,] Fugsi itesitas global θ dari proses Poisso ii didefiisika sebagai ΕN ([, ] θ = lim jika limit di atas ada Lema (Fugsi Itesitas Global Jika N([,] adalah proses Poisso periodik dega fugsi itesitas λ, maka limit di atas ada da θ = λ ( s ds Bukti: lihat Lampira Beberapa Defiisi da Lema Tekis Defiisi 33 (Fugsi Teritegralka Lokal Fugsi itesitas λ adalah teritegralka lokal, jika utuk sembarag himpua Borel terbatas B kita peroleh µ ( B = λ( s ds < B (Dudley 989 Defiisi 34 (O( da o( Simbol-simbol ii merupaka ara utuk membadigka besarya dua fugsi u(x da v(x dega x meuju suatu limit L (i Notasi u( x = O( v( x, x L, meyataka bahwa u ( x v( x terbatas, utuk x L (ii Notasi u( x = o( v( x, x L, meyataka bahwa u ( x v ( x x L (Serflig 98 Lema 3 (Teorema Fubii Misalka (X, A, µ da (Y, B, µ adalah dua ruag ukura σ-fiit Jika f atau f dµ < maka f x, y µ dy µ = f dµ ( ( ( XY = f ( x, y µ ( µ ( dy Y X Bukti: lihat Durret 996 Lema 4 (Pertaksamaa Chebyshev Jika X adalah peubah aak dega rataa µ da ragam σ, maka utuk setiap k >, σ Ρ{ X µ k} k Bukti: lihat Lampira Lema 5 (Pertaksamaa Cauhy-Shwarz Utuk setiap X da Y berlaku Ε( XY Ε( X Ε ( Y Bukti: lihat lampira 3 XxY 5

HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusa Peduga Bagi θ Misalka N adalah proses Poisso pada iterval [, dega rataa µ yag kotiu mutlak, da fugsi itesitas λ yag teritegralka lokal Sehigga, utuk setiap himpua Borel terbatas B maka: µ ( B =Ε N( B = λ( s ds < Fugsi λ diasumsika terdiri atas dua kompoe yaitu kompoe periodik λ, dega periode > (diketahui da kompoe tre liear as, dega slope a tidak diketahui Dega kata lai, utuk setiap s [,, fugsi itesitas λ dapat dituliska sebagai berikut: λ( s = λ ( s + as ( dega λ ( s adalah fugsi periodik dega periode Dalam tulisa ii, kita asumsika λ adalah periodik sehigga persamaa λ( s + k = λ( s ( berlaku utuk setiap s [, da k, dega adalah himpua bilaga bulat Cotoh fugsi itesitas yag memeuhi persamaa ( adalah π s λ( s = 4expos + s 5, yag grafikya dapat dilihat pada gambar berikut 3 5 5 5 B 5 5 Gambar Cotoh grafik fugsi itesitas periodik dega tre liear Di sii kita perhatika proses Poisso titik pada [, karea λ harus memeuhi ( da harus tak-egatif Dega alasa yag sama, kita haya perhatika utuk kasus a> Misalka utuk suatu ω Ω, ada sebuah realisasi N( ω dari proses Poisso N yag didefiisika pada ruag peluag (Ω,F,P dega fugsi itesitas λ seperti pada (, yag diamati pada iterval terbatas [,] Tujua kita dalam pembahasa ii adalah utuk mempelajari peyusua peduga kosiste bagi itesitas global θ = µ ([, ] λ ( s ds = (3 dari kompoe periodik λ dari fugsi itesitas λ pada ( Pada tulisa ii, kita asumsika bahwa periode diketahui (seperti: satu hari, satu miggu, da lai-lai, tetapi slope a da fugsi λ pada [, keduaya tidak diketahui Pada situasi ii kita defiisika peduga a da θ sebagai berikut N( [, ] aˆ = (4 da ˆ N([ k,( k + ] [, ] θ = l / k ( k = aˆ + l ( / Peduga a yaitu a ˆ diperoleh dari: ([ ] Ε N, = ( λ ( s + as ds = λ ( s ds + as = λ ( s ds + a (5 Bila kedua ruas dibagi dega maka persamaa di atas mejadi ([ ] λ ( sds ΕN, = + a Bagia pertama dapat ditulis sebagai λ( s ds λ( s ds = λ ( s ds Perhatika bahwa merupaka rata-rata λ ( s pada iterval [,] yag 6

merupaka suatu kostata Semetara koverge ke jika Maka ΕN( [, ] = a Dega kata lai ΕN( [, ] a = Sehigga diperoleh peduga seperti pada (4 Selajutya, kita uraika ide utuk megkostruksi peduga dari θ yaitu ˆ θ sebagai berikut: ( k + θ = λ ( s ds (6 k Misalka L = Ι ( k [, ], maka k = k dega (6 diperoleh: θ = θ Ι( k [, ] L k k = ( k + = λ (( s s [, ] ds L k = k Ι k Dega megguaka persamaa ( maka kuatitas di atas sama dega ( k + θ = ( λ( s as Ι( s [, ] ds L k k = k = k = k ( k + = λ(( s Ι s [, ] ds L k k ( k + ( as Ι( s [, ] ds L k k Dega perubaha batas itegral pada suku kedua ruas kaa persamaa di atas, maka diperoleh ( k + θ = λ(( s Ι s [, ] ds L k k = a ( s k ( s k [, ] ds L k k + Ι + = Ε X ([ k,( k + ] [, ] = L k k = a s ( s k [, ] ds L Ι + k k = k = k a Ι ( s+ k [, ] ds L (7 Perhatika bahwa Ι ( s + k [, ] = L + O ( L k = k (8 (lihat Tithmarsh 96 da sds= a Bagia kedua pada (7 adalah Misalka ζ = ( x k [, ] Ι + k = (9 Perhatika bahwa ζ utuk setiap Bagia ketigaya mejadi a a ( s k [, ] ds L Ι + = + ζ k = L a aζ = + L L a L ( dimaa ζ utuk setiap Sehigga (7 mejadi Ε N( [ k,( k + ] [, ] θ L k = k a + L ( Dari ( da L l dega diperoleh: Ε N( [ k,( k + ] [, ] θ l / k ( k = a + l / ( ( Dega megambil padaa stokastik dari bagia pertama, maka diperoleh persamaa (5 da juga meggati a dega a (karea belum diketahui ˆ 7

Pedekata Asimtotik utuk Bias da Ragam dari ˆ θ Lema 6: Misalka fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegralka lokal, maka θ Ε ( aˆ = a+ + O (3 da a Var( aˆ = + O 3 (4 dega Sehigga a ˆ merupaka peduga a yag kosiste Mea Squared Error (MSE-ya diberika oleh MSE( aˆ ( ˆ ( ˆ = bias a + Var a Dari (3 θ Bias( aˆ ˆ =Εa a = + O, jika Dari (4 diperoleh a Var( aˆ = + O 3 sehigga 4θ a MSE( aˆ = + + O 3 ( = (4θ + a + O 3 jika Bukti dari lema ii dapat dilihat pada jural Helmers da Magku (5 Teorema : (Kekosistea ˆ θ Misalka fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegralka lokal, maka ˆ P θ θ jika (5 Dega kata lai, ˆ θ merupaka peduga yag kosiste bagi θ MSE dari ˆ θ koverge ke jika Bukti: Teorema aka dibuktika setelah bukti Teorema Teorema : (Pedekata Asimtotik utuk Bias da Ragam dari ˆ θ Misalka fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegralka lokal, maka ˆ ( γθ ( γ/ + ζ a Ε ( θ = θ + o l l ( (6 jika Dega γ =,577 adalah kostata Euler Serta θ a π + a ( γ 6 ( ˆ a Var θ = + l ( / ( l ( / + o ( l (7 Bukti: Pertama, aka dibuktika (6 Nilai harapa dari persamaa ( adalah ˆ Ε N( [ k,( k + ] [, ] Ε θ = k = k l + Εaˆ l (8 Bagia pertama pada (8 sama dega Ε N( [ k,( k+ ] [, ] k = k l k+ = λ( x Ι( x [, ] k = k l k Dega perubaha batas itegral, maka persamaa di atas mejadi = λ( x + k Ι ( x+ k [, ] k = k l Dega persamaa ( diperoleh = λ ( x+ k + a( x+ k k k = l Ι ( x+ k [, ] = λ ( x + k Ι ( x+ k [, ] k = k l + axι ( x + k [, ] k = k l + akι ( x + k [, ] k = k l 8

Dega persamaa (, persamaa di atas mejadi = λ ( x ( x k [, ] l / Ι + k ( ( ( k = k = k = a + x ( x k [, ] l / Ι + k a + Ι ( x+ k [, ] l / (9 Diketahui bahwa Ι ( x + k [, ] = l + γ + o ( k = k, ( x, jika da seragam pada [ ] (Lihat Tithmarsh 96 Dega mesubstitusi ( pada bagia pertama (9, maka λ ( x Ι ( x+ k [, ] k = k l = λ ( x l γ o( + + l γ = λ( x λ( x + l + λ ( x ( o( l θγ = θ + + o l l ( Dega ara yag sama, bagia kedua pada (9 mejadi a x Ι ( x+ k [, ] k = k l a [, ] = x l γ o( + + l a aγ o( a = x x x + + l l Karea x=, maka persamaa di atas mejadi a aγ + + o l l a aγ = + + o, l l ( jika Perhatika bahwa Ι ( x+ k [, ] = + ζ k = (lihat Tithmarsh 96 (3 Sehigga bagia ketiga pada (9 mejadi a Ι ( x + k [, ] k = l a = + ζ l a aζ = + l l a aζ = + (4 l l Dega mesubstitusika (3 ke bagia persamaa (8, maka + Εaˆ l θ = + a O + + l a θ a = O l θ O l l a a θ = + O l l jika (5 9

Dega meggabugka (, (, (4 da (5, maka persamaa (6 terbukti sebagai berikut ˆ θγ a Ε ( θ = θ + + o + l ( / l aγ a + + o + l ( / l l ( / aζ a a + l / l / ( ( θ O + l / ( θγ + ( aγ / + aζ θ = θ + + o l / l ( γ ( ( γθ + ζ a = θ + o l / l ( jika Selajutya aka dibuktika persamaa (7 Telah didefiisika peduga bagi θ yaitu ˆ θ pada persamaa (5 Misalka didefiisika N([ k,( k + ] [, ] A = k = k l (6 da B ˆ = a + l ( / (7 Sehigga kita dapat meuliska ˆ θ = A B (8 Kemudia kita dapat meghitug ragam dari ˆ θ sebagai berikut Var( ˆ θ = Var( A + Var( B Cov( A, B (9 Catata, utuk setiap j k, j, k =,,, maka ([ j,( j ] [, ] ([ k,( k ] [, ] + da + tidak salig tumpag tidih (tidak overlap Sehigga N j,( j [, ] N k,( k+ [, ] ([ + ] da ([ ] adalah bebas, utuk k j Sehigga Var( A dapat dihitug sebagai berikut Var( A = Var( N([ k,( k + ] [, ] ( l( / k= k = λ( x+ k( Ι x+ k [, ] ( l( / k= k Dega megguaka persamaa (, maka Var ( A = λ( ( ( [, ] x+ k + ax+ k Ι x+ k k= k ( l ( / = λ( ( [, ] x+ kι x+ k k= k ( l ( / + ( ( [, ] ax+ k Ι x+ k k= k ( l ( / Kemudia, dega persamaa ( diperoleh Var( A = ( ( [, ] λ x Ι x+ k k = k ( l ( / a + x Ι ( x+ k [, ] k = k ( l ( / a + Ι ( x+ k [, ] k = k ( l ( / (3 Perhatika bahwa π Ι ( x + k [, ] = + o ( k = k 6 (3 x, (Lihat jika, seragam pada [ ] Tithmarsh 96 Dega megguaka persamaa (3, bagia pertama dari persamaa (3 mejadi λ ( x Ι ( x + k [, ] ( l ( / k = k π = ( ( λ x + o l ( / 6 ( π = o( θ + 6 ( l ( / θ π 6, = + o ( l ( / l ( jika (3

Bagia keduaya mejadi a x Ι ( x+ k [, ] l / k = k ( ( a π = x o( + 6 ( l ( / a π = o( + 6 ( l ( / a π 6 = + o, ( l ( / l ( (33 jika Dega megguaka persamaa (, bagia ketigaya mejadi a Ι ( x + k [, ] k = k l a = l γ o( + + l a = l γ o( + + l a aγ = + + o l l ( l (34 jika Dega meggabugka persamaa (3, (33 da (34, diperoleh θ a π a a + + γ 6 Var( A = + l / l / ( ( ( + o ( l (35 Selajutya, dega megguaka persamaa (4 Var( B mejadi Var( B = Var aˆ + l ( = Var( aˆ Var + l ( a = + O 3 + l ( / a = + O, ( l ( / l ( / jika (36 Kemudia, aka kita hitug Cov( A, B sebagai berikut: Cov( A, B = + l ( / l ( / Cov( N ([ k,( k + ] [, ], N ([, ] k= k Karea N( [ k,( k + ] [, ] adalah himpua bagia dari N [, ], maka ( Cov(A,B dapat ditulis sebagai berikut Cov( A, B = + ( l ( / l ( / Var ( N ([ k,( k + ] [, ] k= k Karea N adalah peubah aak Poisso, maka Var( N = Ε N Sehigga kita peroleh Cov( A, B = + ( l ( / l ( / ( λ ( x + ax ( x k [, ] Ι + k= k + + ( l ( / l ( / (37 Substitusi persamaa ( ke bagia pertama persamaa (37 aka kita peroleh O, jika l ( Lalu dega mesubstitusi persamaa (3 ke bagia kedua persamaa (37 aka diperoleh a + O, jika l l ( Maka a Cov( A, B = + O ( l ( / l ( / Sehigga bagia ketiga persamaa (9 mejadi

4a Cov( A, B = + O, jika Maka Teorema terbukti ( l ( / l ( / Bukti Teorema : Dega megguaka persamaa (6, diperoleh lim Ε( ˆ θ γ ( ( γθ + ζ a = lim θ + o l( / l = θ Atau dapat ditulis sebagai Ε ( ˆ θ = θ + o(, jika (38 Sedagka persamaa (7 megakibatka lim Var( ˆ θ θ a π + a ( γ a 6 = lim + + θ ( l l l = Dapat ditulis juga sebagai Var( ˆ θ = o(, jika (39 Selajutya, aka dibuktika bahwa ˆ θ adalah peduga kosiste bagi θ, yaitu bahwa utuk setiap ε > berlaku Ρ ˆ θ θ > ε, jika ( Ruas kiri persamaa di atas dapat ditulis sebagai berikut Ρ ˆ θ θ > ε =Ρ ˆ θ Ε ˆ θ +Ε ˆ θ θ > ε ( ( (4 Dega ketaksamaa segitiga maka persamaa (4 mejadi Ρ ˆ θ Ε ˆ θ +Εˆ θ θ > ε ( ( θ θ ε θ θ =Ρ ˆ Ε ˆ > Εˆ (4 Berdasarka persamaa (38, maka ada o sehigga ˆ ε Εθ θ, (4 utuk setiap > o Dega mesubstitusika persamaa (4 ke persamaa (4, maka ruas kaa persamaa (4 mejadi ˆ ˆ ε =Ρθ Ε θ > Kemudia diperoleh ( ˆ ˆ ˆ ε Ρ θ θ > ε Ρ θ θ Ε > Dega megguaka pertaksamaa Chebyshev, maka 4 ( ˆ ˆ ˆ ε Var θ Ρθ Ε θ > ε (43 Dega (39, maka ruas kaa persamaa (43 koverge ke jika Mea Squared Error-ya adalah ˆ MSE( θ = Bias ( ˆ θ + Var( ˆ θ Dari persamaa (38, diperoleh Bias( ˆ θ = Ε ˆ θ θ = o(, jika, sehigga Bias ( θ = o(, jika Dari persamaa (39, diperoleh Var( ˆ θ = o(, jika ˆ Jadi, MSE( ˆ θ = o(, jika, dega kata lai MSE( ˆ θ, jika Maka Teorema terbukti Reduksi Bias Utuk megevaluasi bias dari ˆ θ, kita perhatika suatu kasus khusus, yaitu proses Poisso dega fugsi itesitas λ( s = λ ( s + as π s = Aexp ρos + φ + as Kita pilih ρ =, = 5, φ = da a = 5 Dega parameter tersebut, fugsi itesitas mejadi π s λ( s = Aexp os + 5s 5 (44 Kita pertimbagka tiga ilai θ yaitu θ=66 (A =, θ = 53 (A = da θ=5644 (A = 4 Utuk A =, kita peroleh 5 π s θ = exp os ds 66 5 = 5 Kita guaka iterval pegamata [,]

Cotoh : Pada otoh ii kita pelajari perilaku dari θ (dalam Teorema, dega fugsi ˆ itesitas λ(s diberika oleh (44 Pedekata asimtotik bagi bias da ragam pada Teorema aka dibadigka dega suatu hasil simulasi yag diambil dari Magku (5 (i Utuk θ = 66, dega persamaa (6 da (7 diperoleh peduga asimtotik utuk bias da ragam dari ˆ θ sebagai berikut: Bias ( ˆ θ =Εˆ θ θ 5778 ( 5778(66 (55 = l(/5 = 3734 66 5 π + 5( 5778 ˆ 5 5 6 Var ( θ = + l l 5 5 = 3 Dari simulasi, dega megguaka M=, realisasi yag bebas dari proses N yag diobservasi pada iterval [,], diperoleh Bias ˆ ( ˆ θ = 3793 da Var ˆ ( ˆ θ =, dimaa Bias ˆ ( ˆ θ adalah rata-rata otoh (yag diperoleh dari simulasi dikuragi ilai θ yag sebearya da Var ˆ ( ˆ θ adalah ragam otoh Jadi, Bias( ˆ θ Bias ˆ ( ˆ θ = 3734 ( 3793 = 59 Var( ˆ θ Var ˆ ( ˆ θ = 3 = (ii Utuk θ=53, dega (6 da (7, da dari simulasi (M= diperoleh Bias( ˆ θ Bias ˆ ( ˆ θ = 737 ( 733 = 66 da Var( ˆ θ Var ˆ ( ˆ θ = 38 364 = 7 (iii Utuk θ=5644, dega (6 da (7 da simulasi (M= diperoleh Bias( ˆ θ Bias ˆ ( ˆ θ = 3938 ( 4 = 7 da Var( ˆ θ Var ˆ ( ˆ θ = 677 634 = 43 Dari Cotoh, kita lihat bahwa peduga asimtotik utuk bias da ragam pada (6 da (7 sudah ukup baik utuk memperkiraka bias da ragam dari peduga ˆ θ dega ukura otoh yag terbatas Tetapi bias dari ˆ θ masih ukup besar Kita dapat mereduksi bias ii dega meambahka peduga dari bagia kedua pada persamaa (6 ke dalam ˆ θ Dega demikia, kita peroleh peduga dega bias yag telah dikoreksi utuk θ sebagai berikut ˆ γ ( γ θ ˆ + ζ a ˆ ˆ θ = θ + b, l (45 Teorema 3: (Pedekata Asimtotik utuk Bias da Ragam dari ˆ θ b, Misalka fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegralka lokal, maka ˆ Ε θ = θ + o b, l (46 jika, da θ a π + a( γ ˆ a 6 + Var( θ = + b, l ( / l / jika + o, (l ( ( (47 Bukti: Pertama, aka dibuktika persamaa (46 Utuk membuktikaya, kita tulis kembali peduga ˆ θ b, pada (45 sebagai berikut ˆ ( γ ˆ ( γ /+ ζ θ = aˆ b, + θ l( / l( / (48 Dega (6, ilai harapa bagia pertama pada (48 mejadi 3

( γ = ˆ + Εθ l( / ( ( ( γ ( γθ γ/ + ζ a = + θ + o l( / l l γ + ζ a = θ + + o, l l (49 jika Dega (3, ilai harapa bagia kedua pada (48 mejadi ( γ /+ ζ = Ε aˆ l( / ( γ /+ ζ θ = a + + O l( / ( γ /+ ζ a = + o, l ( / l (5 Jika Kemudia, dega meggabugka (49 da (5, kita peroleh persamaa (46 Selajutya, aka dibuktika persamaa (47 Dega megguaka (48, Var( ˆ θ dapat dihitug sebagai berikut b, Var( ˆ θ b, γ + ζ ( γ ˆ = Var( θ + + Var( aˆ l / l / ( ( ( γ + ζ ( γ + Cov( ˆ θ, aˆ l ( / l ( / (5 Dega (7, bagia pertama persamaa (5 sama dega θ a π + a( γ a 6 a + + l ( / l / l / + o ( l ( ( ( ( θ a π + + a( γ a 6 = + + o, l ( / ( l ( / ( l (5 jika Dega (4, bagia kedua pada (5 adalah O yag mejadi o (l (l jika Kemudia dega pertaksamaa Cauhy-Shwarz, bagia ketiga (5 mejadi o jika Sehigga, (l diperoleh (47 Teorema 3 terbukti Cotoh : Pada otoh ii, kita pelajari perilaku dari peduga ˆ θ, b pada persamaa (45 dega fugsi itesitas λ(s pada (44 Hasil simulasi yag diguaka sebagai pembadig diambil dari Magku (5 (i Utuk θ = 66, dari simulasi (M= da dega (47, diperoleh peduga asimtotik utuk bias da ragam dari ˆ θ sebagai berikut: b, Bias ˆ ( ˆ θ b, = 9 da Var ( ˆ θb, 5 (66/5 + 5/( π /6 + 5( 5778 = + l 5 l 5 = 83 Var ( ˆ θ Var ˆ ( ˆ θ = 83 354= 7 b, b, (ii Utuk θ=53, dari simulasi (M= da dega (47, diperoleh Bias ˆ ( ˆ θ = 56 b, Var( ˆ θ Var ˆ ( ˆ θ = 43 578 b, b, = 47 (iii Utuk θ=5644, dari simulasi (M= da dega (47, diperoleh Bias ˆ ( ˆ θ = 3993 b, Var( ˆ θ Var ˆ ( ˆ θ = 78 5 b, b, = 33 Jelas bahwa bias dari ˆ θ, b jauh lebih keil dari bias ˆ θ Jadi, reduksi bias pada (45 berhasil 4

KESIMPULAN Pada tulisa ii dikaji suatu metode utuk meduga fugsi itesitas global dari kompoe periodik suatu proses Poisso periodik dega tre liear Kita guaka ˆ N ([ k,( k + ] [, ] θ = l ( / k = k aˆ + l ( / da peduga dega bias yag telah dikoreksi ˆ θ sebagai peduga fugsi b, N [ ] itesitas global θ da (, aˆ = sebagai peduga bagi a, dega a adalah slope dari kompoe liear proses yag dikaji Dari hasil pegkajia yag dilakuka, dapat disimpulka bahwa: (i Kuatitas ˆ θ merupaka peduga kosiste bagi θ, serta MSE( ˆ θ, jika (ii Bias dari ˆ θ adalah (iii Bias( ˆ θ ( γθ ( γ/ + ζ a = + o, l ( / l jika Ragam dari ˆ θ adalah ( θ / + /( π a( γ ˆ a a /6 Var( θ = + l ( / ( l ( / + o, ( l jika (iv Bias dari ˆ θ b, adalah o l, jika (v Ragam dari ˆ θ, b adalah + o ( l jika ( θ / + a/( π /6 + a( γ ˆ a Var ( θb, = + l ( / l /, ( ( DAFTAR PUSTAKA Browder, A 996 Mathematial Aalysis : A Itrodutio Spriger New York Damiri, S D 3 Metode utuk Meduga Fugsi Itesitas Global pada Proses Poisso Periodik Departeme Matematika Istitut Pertaia Bogor Bogor Dudley, R M 989 Real Aalysis ad Probability Wadsworth & Brooks Califoria Durret, R 996 Probability : Theory ad Examples Ed ke- Duxbury Press New York Grimmett, G R da D R Stirzaker 99 Probability ad Radom Proesses Ed ke- Claredo Press Oxford Ghahramai, S 5 Fudametals of Probability with Stohasti Proesses Ed ke-3 Pearso Pretie Hall New Jersey Helmers, R da I W Magku 5 Estimatig the Itesity of a Cyli Poisso Proesses i the Presee of Liear Tred CWI, Amsterdam Hogg, R V da A T Craig 995 Itrodutio to Mathematial Statistis Ed ke-5 Pretie Hall, Eglewood Cliffs New Jersey Magku, I W Estimatig the Itesity of a Cyli Poisso Proess (PhDThesis Uiversity of Amsterdam Amsterdam Magku, I W 5 A Note o Estimatio of The Global Itesity of a Cyli Poisso Proess i The Presee of Liear Tred Joural of 5

Mathematis ad Its Appliatios Vol 4 No Ross, S M 3 Itrodutio to Probability Model Ed ke-8 Aademi Press I Orlado, Florida Serflig, R J 98 Approximatio Theorems of Mathematial Statistis Joh Wiley & Sos New York Taylor, H M ad S Karli 984 A Itrodutio to Stohasti Modelig Aademi Press, I Orlado, Florida Tithmarsh, E C 96 The Theory of Futios Oxford Uiversity Press Lodo Wheede, R L ad A Zygmud 977 Measure ad Itegral : A Itrodutio to Real Aalysis Marel Dekker, I New York 6

L A M P I R A N 7

Lampira Pembuktia Lema Lema (Fugsi Itesitas Global Jika N([,] adalah proses Poisso periodik dega fugsi itesitas λ, maka pada defiisi (3 ada da θ = λ ( s ds ΕN lim ([, ] Bukti: Berdasarka defiisi proses Poisso, diketahui bahwa ([, ] parameter µ ([, ] = λ ( s ds, sehigga ([ ] Ε, = λ ( s ds N memiliki sebara Poisso dega Oleh karea itu, maka ΕN( [, ] lim = lim ( s ds λ (53 Misalka = da r = Maka r < Sehigga ruas kaa (53 sama dega lim λ ( s ds λ ( s ds lim λ ( s ds lim λ ( s ds + = + (54 Perhatika bahwa limit pada suku kedua pada (54 berilai ol Maka tiggal meujukka bahwa λ s ds = lim ( λ ( s ds (55 Utuk memperoleh hal di atas, kita tulis ruas kiri (55 sebagai berikut lim λ ( s ds (56 Perhatika bahwa ( s ds ( s ds ( s ds λ = λ = λ Maka limit pada (56 dapat dihitug sebagai berikut λ s ds = r ( lim λ( s ds lim Jadi, utuk kasus ([, ] periodik dega periode, maka Lema terbukti r = λ ( s ds lim = λ ( s ds N adalah proses Poisso periodik dega fugsi itesitas λ yag θ = λ ( s ds 8

Lampira Pembuktia Lema 4 Lema 4 (Pertaksamaa Chebyshev Jika X adalah peubah aak dega rataa µ da ragam σ, maka utuk setiap k >, σ Ρ{ X µ k} k (Ross 3 Bukti : Utuk membuktika pertaksamaa Chebyshev diperluka Pertaksamaa Markov (Lema 7 berikut: Lema 7 (Pertaksamaa Markov Jika X adalah peubah aak yag takegatif, maka utuk setiap a >, Ε( X Ρ{ X a} a Bukti : Jika X kotiu dega fugsi kepekata peluag f, maka Ε ( X = x f( x a = x f( x + x f( x a = a xf( x af( x a a f( x a = aρ{ X a} Utuk kasus X diskret, dapat dibuktika dega ara serupa, yaitu dega meggati itegral dega otasi pejumlaha serta fugsi kepekata peluag dega fugsi kerapata peluag Jadi Ε( X aρ{ X a} Ε X Sehigga dapat ditulis Ρ( X a a Jadi Lema 7 terbukti Selajutya dega Pertaksamaa Markov (Lema 7, maka kita dapat membuktika Lema 4 Ρ X µ k =Ρ X µ k Jadi Lema 4 terbukti ( ( ( Ε σ = k ( X µ k 9

Lampira 3 Pembuktia Lema 5 Lema 5 (Pertaksamaa Cauhy-Shwarz Utuk setiap peubah aak X da Y berlaku Ε( XY Ε( X Ε ( Y (Ghahramai 5 Bukti: Utuk setiap bilaga real a, ( X ay Sehigga X axy + Y Karea peubah aak takegatif memiliki ilai harapa takegatif, maka Ε( X axy + a Y Ε( X aε ( XY + a Ε( Y Misalka A =Ε ( Y, B = Ε ( XY,da C =Ε ( X Perhatika bahwa jika poliom derajat dua memiliki palig bayak sebuah akar real maka diskrimiaya takpositif Sehigga B 4AC [ ] 4 Ε( XY 4 Ε( X Ε( Y [ ] Ε( XY 4 Ε( X Ε( Y Kemudia jika kedua ruas diakarka maka Ε( XY Ε( X Ε( Y Jadi, Lema 5 terbukti Ε( XY Ε( X Ε( Y