KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MUKTI RAHAYU G

Transkripsi

1 KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT MUKTI RAHAYU G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 008

2 ABSTRACT MUKTI RAHAYU Cosistey of Estimator for the Itesity Futio of a Periodi Poisso Proess i the Presee of Power Futio Tred Supervised y I WAYAN MANGKU ad I GUSTI PUTU PURNABA I this mausript we disuss osistey of estimator for the itesity futio of a periodi Poisso proess i the presee of power futio tred The ases 0 ad have ee studied i Helmers Magku ad Zitikis (003 ad Helmers ad Magku (007 So i this mausript we oly disuss the ase for i iterval (0 It is assumed that oly a sigle realizatio of the Poisso proess oserved i iterval [0] Aother assumptio is the period of the periodi ompoet is kow ut the periodi ompoet itself is ukow Therefore it is eeded a estimator for estimatig this ompoet There are two ases I the first ase it is assumed that the slope of the power futio tred is kow ad i the seod ase it is ot assumed that the slope of the power futio tred is kow Therefore it is eeded a estimator of this slope I this mausript we disuss overgee i proaility ad overgey of MSE(Mea Square Error of a estimator for the periodi ompoet of the itesity of a Poisso proess i the presee of power futio tred We also disuss weak osistey strog osistey ad asymptoti ormality of a estimator for the slope of the power futio tred

3 ABSTRAK MUKTI RAHAYU Kekosistea Peduga Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik dega Tre Fugsi Pagkat Diimig oleh I WAYAN MANGKU da I GUSTI PUTU PURNABA Pada karya ilmiah ii diahas kekosistea peduga fugsi itesitas dari proses Poisso periodik dega tre fugsi pagkat Pagkat utuk kasus 0 da telah dikaji pada Helmers Magku da Zitikis (003 da Helmers da Magku (007 Sehigga dalam karya ilmiah ii haya diahas kasus pagkat pada iterval (0 Proses Poisso dalam karya ilmiah ii diasumsika diamati pada iterval [0 ] Diasumsika pula ahwa periode dari kompoe periodik adalah diketahui tetapi kompoe periodikya tidak diketahui sehigga diutuhka suatu peduga agi kompoe periodik terseut Terdapat dua kasus dalam megasumsika kemiriga dari tre fugsi pagkat Utuk kasus pertama diasumsika ahwa kemiriga dari tre fugsi pagkat diketahui da utuk kasus kedua tidak diasumsika ahwa kemiriga tre fugsi pagkat adalah diketahui Oleh karea itu utuk kasus yag kedua diutuhka suatu peduga agi kemiriga tre fugsi pagkat terseut Dalam tulisa ii telah diuktika kekovergea dalam peluag da kekovergea dari MSE(Mea Square Error peduga kompoe periodik dari fugsi itesitas proses Poisso periodik dega tre fugsi pagkat Di sampig itu juga telah diuktika kekosistea lemah da kuat serta seara ormal asimtotik dari peduga kemiriga tre fugsi pagkat

4 KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Skripsi Seagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Oleh: MUKTI RAHAYU G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 008

5 Judul : Kekosistea Peduga Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik dega Tre Fugsi Pagkat Nama : Mukti Rahayu NRP : G Meyetujui: Pemimig I Pemimig II Dr Ir I Waya Magku MS Dr Ir I Gusti Putu Puraa DEA NIP NIP Megetahui: Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Dr Drh Hasim DEA NIP Taggal Lulus:

6 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka pada taggal 3 Jui 986 di Bogor Peulis merupaka aak ketiga dari tiga ersaudara aak dari pasaga Budiyoo da Marsiah Pada tahu 00 peulis melajutka pedidika ke jejag pedidika sekolah meegah umum di SMU Negeri 39 Jakarta Pada tahu 004 peulis lulus dari tigkat SMU da melajutka pedidika ke tigkat Pergurua Tiggi di Istitut Pertaia Bogor (IPB Peulis masuk IPB melalui jalur USMI da megamill program studi Matematika Departeme Matematika Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor utuk tigkat Strata (S Selama mejalai pedidika di IPB peulis memperoleh kesempata utuk medapatka easiswa PPA pada tahu Selai itu peulis juga terliat dalam eerapa kegiata atara lai megikuti Program Guru Tamaha tigkat Sekolah Dasar (004/005 aggota Devisi Keputria Himpro GUMATIKA (005/006 Aggota Tim Khusus Matematika Ria (006 megikuti Pelatiha Peyegara Materi (007 Asiste Dose Mata Kuliah Kalkulus III (007 da Asiste Dose Mata Kuliah Pegatar Teori Peluag (007

7 KATA PENGANTAR Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SWT yag telah melimpahka rahmat da karuia-nya sehigga peulis dapat meyelesaika karya ilmiah ii Peyusua karya ilmiah ii tidak terlepas dari atua eragai pihak Oleh karea itu dalam kesempata ii peulis meguapka terimakasih yag seesar-esarya kepada : Dr Ir I Waya Magku MS selaku dose pemimig I (terimakasih atas segala ilmu kesaara motivasi koreksi da imigaya selama ii DrIr I Gusti Putu Puraa DEA selaku dose pemimig II (terimakasih atas ilmu koreksi da imigaya selama ii 3 Ir Reto Budiarti MS selaku dose peguji (terimakasih atas ilmu sara da motivasiya 4 Semua dose Departeme Matematika (terimakasih atas segala ilmu kesaara da motivasiya selama ii 5 Bu Susi Bu Ade Bu Marisi Mas Boo Mas Dei Mas Yoo 6 Keluarga terita: Bapak (terimakasih atas doa dukuga kesaara keperayaa da kasih sayagya Iu (terimakasih atas doa dukuga kesaara keperayaa da kasih sayagya Mas Beu (terimakasih atas doa motivasi da laptopya Ma Mul (terimakasih atas doa da motivasiya Mas Agus (terimakasih atas motivasiya Lek Siem Lek Sisri Om Tri da kepoakaku Kevi (kamu luu aget sih! 7 Sahaat-sahaatku: Feria (terimakasih ya Ri dah mau jadi sahaatku aku ayak elajar dari kamu Jaga lupa ya Ri sama aku Ayo Ri semagat!! Lia Mulyaah (terimakasih atas atua kesaarada dukugaya selama ii Eli Gusdiyati (terimakasih atas sara atua da dukugaya selama ii Maryam HK (terimakasih atas kesaaraya medegarka erita-eritaku sara da dukugaya selama ii 8 Tema-tema satu imiga: Ro fah (terimakasih atas kesaara motivasi da atuaya selama ii da Lia Yuliawati (terimakasih Liay atas atua motivasi da kesempata yag dierika sehigga aku memiliki pegalama mejadi asiste dose 9 Tema-tema se-kost-a: Ramah (terimakasih atas atuaya selama ii Puteri Apry Deka Neeh Gais Jei Nova da Sihol 0 Kakak-kakak kelas Math 40: Ma Mayag (terimakasih atas semua atuaya selama ii Teh Via (terimakasih atas motivasi da iformasiya da Teh Walidah (terimakasih atas iformasi da atuaya Tema-tema Math 4: Nurjaah (terimakasih atas dukuga da atuaya selama ii Ika (terimakasih atas sara dukuga da atuaya selama ii Sifa (terimakasih atas sara da atuaya selama ii Ita (terimakasih atas dukugaya selama ii Ahdiai (terimakasih atas motivasi sara da atuaya Dee-dee Mahar Eva Ei Armi Ayu Ai Tities Tia Fitri Darwisah Edit Sita Nike Rizul Rita Fariz Adji Fredrik Ragga M Mimi Mahur Triyadi Idris Yaya da semua tema- tema Math 4 yag tidak dapat diseutka satu per satu (terima kasih kalia sudah mejadi keaga yag idah dalam hidupku Ma Tati Mahasiswa S Departeme Matematika IPB (terima kasih atas atuaya selama ii 3 Semua pihak yag telah mematu yag tidak dapat peulis seutka satu per satu Semoga karya ilmiah ii ermafaat agi semua pihak khususya agi pihak yag memiliki ketertarika dalam idag Matematika da dapat mejadi ispirasi utuk peelitia-peelitia selajutya Bogor Jauari 008 Mukti Rahayu

8 DAFTAR ISI DAFTAR ISI DAFTAR LAMPIRAN vii viii PENDAHULUAN Latar Belakag Tujua LANDASAN TEORI Ruag Cotoh da Kejadia Peuah Aak da Searaya Kekoverga Mome da Nilai Harapa 3 Peduga Takias da Peduga Kosiste 4 Beerapa Defiisi da Lema Tekis 4 Proses Stokastik da Proses Poisso 6 HASIL DAN PEMBAHASAN 7 Gamara Umum 7 Kasus : Pedugaa agi λ ( dega asumsi a diketahui 7 Kekosistea dari λ ( s 8 Kasus : Pedugaa agi λ ( s dega asumsi tidak diketahui 4 Pedugaa agi a 4 Kekosistee peduga λ 8 a KESIMPULAN 0 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN 3 vii

9 DAFTAR LAMPIRAN Bukti Lema 4 Bukti Lema 3 4 Bukti Lema 4 5 Bukti Lema 5 5 Bukti Lema 6 6 Bukti Lema 7 viii

10 PENDAHULUAN Latar Belakag Proses stokastik merupaka suatu permasalaha yag erhuuga dega perhituga peluag karea perilaku yag aka terjadi tidak dapat diprediksi seara tepat Salah satu etuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisso Dalam kehidupa sehari-hari ayak peristiwa yag dapat dimodelka dega suatu proses Poisso Beerapa otoh peristiwa terseut atara lai: ayakya kedaraa yag melewati jala raya pada suatu selag waktu tertetu proses kedataga tagiha (laim oleh para asaah pada suatu perusahaa asurasi da lai-lai Salah satu etuk khusus dari proses Poisso adalah proses Poisso periodik dega tre fugsi pagkat Seagai otoh proses kedataga pelagga pada suatu atria di pusat servis (ak kator pos da lai-lai dapat dimodelka dega suatu proses Poisso periodik dega periode satu hari Namu jika laju kedataga pelagga terseut meigkat megikuti suatu fugsi pagkat maka model yag sesuai utuk kasus ii adalah proses Poisso periodik dega tre fugsi pagkat Pada tulisa ii diahas kekosistea peduga kerel dari fugsi itesitas proses Poisso periodik dega tre fugsi pagkat Model fugsi itesitas dalam kasus ii dapat diformulasika seagai erikut λ( s λ ( s + as dega λ ( s adalah suatu fugsi periodik dega periode da as adalah kompoe tre fugsi pagkat dega a meyataka kemiriga dari tre terseut Kasus 0 telah dikaji dalam Helmers Magku da Zitikis (003 Sedagka kasus telah dikaji dalam Helmers da Magku (007Oleh karea itu pemahasa dalam karya ilmiah ii diatasi utuk kasus dega pagkat pada iterval (0 Pada kajia ii diasumsika periode dari kompoe λ ( s diketahui yaitu dega > 0 da fugsi itesitas λ teritegralka lokal Karea λ ( s tidak diketahui maka diperluka suatu metode utuk meduga fugsi terseut Salah satu peduga yag dapat diguaka utuk meduga fugsi itesitas terseut adalah peduga tipe kerel Tujua Tujua dari peulisa ii atara lai : i Mempelajari pemetuka peduga kerel agi kompoe periodik fugsi itesitas pada proses Poisso periodik dega tre fugsi pagkat ii Memuktika kekosistea da eerapa jeis kekovergea dari peduga agi λ ( s da a LANDASAN TEORI Ruag Cotoh da Kejadia Defiisi (Peroa Aak Ruag Cotoh da Kejadia Peroaa aak adalah suatu peroaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama yag hasilya tidak dapat diprediksi seara tepat tetapi semua kemugkia hasil yag muul dapat diketahui Himpua semua hasil yag mugki dari suatu peroaa aak diseut ruag otoh da diotasika dega Ω Suatu kejadia A adalah himpua agia dari ruag otoh [Ross 996] Defiisi (σ-field Suatu himpua F yag aggotaya terdiri atas himpua agia dari Ω diseut dega σ-field jika memeuhi kodisi erikut : (i φ F (ii Jika A A F maka F (iii Jika A F maka A i A F [Grimmett da Stirzaker 99] σ-field terkeil yag megadug semua selag eretuk ( r] r R diseut i

11 meda Borel da diotasika B (F; da aggota dari meda Borel diseut himpua Borel Defiisi 3 (Ukura Peluag Ukura peluag P pada (Ω F adalah fugsi P: F [0] yag memeuhi : (i P (φ 0 P(Ω (ii Jika A A adalah himpua salig lepas yag merupaka aggota dari F yaitu A i A j φ utuk setiap i j dega i j maka P( A P( A i Tripel (Ω peluag i i i F P diseut dega ruag [Grimmett da Stirzaker 99] Defiisi 4 (Kejadia Salig Beas Kejadia A da B dikataka salig eas jika P (A B P(AP(B Seara umum himpua kejadia { A i ; i I} dikataka salig eas jika P ( Ai P( A i i J i J utuk setiap himpua agia J dari I [Grimmett da Stirzaker 99] Peuah Aak da Searaya Defiisi 5 (Peuah Aak Peuah aak X adalah fugsi X : Ω R dega { ω Ω: X ( ω x} F utuk setiap x R [Grimmett da Stirzaker 99] Peuah aak diotasika dega huruf kapital seperti X Y da Z Sedagka ilai peuah aak diotasika dega huruf keil seperti x y da z Setiap peuah aak memiliki fugsi seara Defiisi 6 (Fugsi Seara Fugsi seara suatu peuah aak X adalah F : R [0] yag didefiisika oleh X FX ( x P(X x [Grimmett da Stirzaker 99] Defiisi 7 (Peuah Aak Diskret Peuah aak X dikataka diskret jika semua himpua ilai { x x } dari X merupaka himpua teraah [Grimmett da Stirzaker 99] Fugsi kerapata peluag utuk peuah aak diskret didefiisika seagai erikut Defiisi 8 (Fugsi Kerapata Peluag Fugsi kerapata peluag dari peuah aak diskret X adalah fugsi p x : R [0] dega px ( x P( X x [Grimmett da Stirzaker 99] Kekovergea Defiisi 9 (Kekoverea Barisa Bilaga Nyata Barisa { a } diseut memiliki limit L da dapat dituliska lim a L atau a L jika apaila utuk setiap ε > 0 terdapat seuah ilaga M sedemikia rupa sehigga jika > M maka a - L < ε Jika lim a L ada dikataka arisa terseut koverge Jika limitya tidak ada maka dikataka arisa terseut diverge [Stewart 999] Lema (Deret-p Deret (diseut juga deret- p p koverge jika p> da diverge jika p Bukti : Lihat Stewart (999 Defiisi 0 (Koverge dalam Peluag Misalka X X X adalah arisa peuah aak dalam ruag peluag (Ω F P X dikataka koverge dalam peluag ke P X ditulis X X utuk jika utuk setiap ε > 0 erlaku lim P( X X ε 0 [Serflig 980]

12 3 Defiisi (Koverge dalam Rataa ke r Misalka X X X adalah peuah aak dalam ruag peluag (Ω F P X dikataka koverge dalam rataa ke-r ke peuah aak X dega r ditulis r X utuk jika X E X r < utuk semua da r E( X X 0 utuk [Grimmett da Stirzaker 99] Defiisi (Koverge Hampir Pasti Misalka X X X adalah peuah aak dalam ruag peluag (Ω F P Suatu arisa peuah aak X X X dikataka koverge hampir pasti ke peuah aak X as ditulis X X utuk jika utuk setiap ε > 0 P (lim X X < ε Dega kata lai koverge hampir pasti adalah koverge dega peluag satu [Grimmett da Stirzaker 99] Defiisi 3 (Koverge Legkap Misalka X X X adalah peuah aak dalam ruag peluag (Ω F P Suatu arisa peuah aak X X X dikataka koverge legkap ke peuah aak X jika utuk setiap ε > 0 erlaku P( X X > ε < [Grimmett da Stirzaker 99] Defiisi 4 (Koverge dalam Seara Misalka X X X adalah peuah aak dalam ruag peluag (Ω F P Suatu arisa peuah aak X X dikataka koverge dalam seara ke peuah aak X d ditulis X jika X PX ( x PX ( x utuk utuk semua titik x dega fugsi seara F ( x adalah kotiu X Mome da Nilai Harapa [Grimmett da Stirzaker 99] Defiisi 5 (Mome Jika X adalah peuah aak diskret maka mome ke-m dari X didefiisika seagai m m EX [ ] x p ( x i i X i jika jumlahya koverge di maa x i utuk i meyataka semua kumpula ilai X dega p X ( x i > 0 Jika jumlahya diverge maka mome ke-m dari peuah aak X dikataka tidak ada [Taylor da Karli 984] Mome pertama dari peuah aak X yaitu utuk m diseut seagai ilai harapa dari X da diotasika dega E[X] atau μ Defiisi 6 (Mome Pusat Mome pusat ke-m dari peuah aak X didefiisika seagai mome ke-m dari peuah aak ( X EX [ ] [Taylor da Karli 984] Mome pusat pertama adalah ol Ragam dari peuah aak X adalah mome pusat kedua dari peuah aak terseut da diotasika seagai Var( X E[( X E[ X ] ] Lema Jika X adalah peuah aak diskret dega ragam yag erhigga maka utuk searag kostata da d erlaku Var( X + d Var( X [Casela da Berger 990] Bukti: Lihat Lampira Defiisi 7 (Covaria Misalka X da Y adalah peuah aak diskret da misalka pula μ X da μ Y masig-masig meyataka ilai harapa dari X da Y Covaria dari X da Y didefiisika seagai Cov( X Y E(( X μ ( Y μ X [Casela da Berger 990] Y

13 4 Lema 3 Misalka X da Y adalah peuah aak diskret da misalka pula da d adalah dua uah kostata searag maka Var( X + dy Var( X + d V ar( Y + dcov( X Y Jika X da Y peuah aak salig eas maka Var( X + dy Var( X + d V ar( Y Bukti: Lihat Lampira [Casela da Berger 990] Peduga Tak Bias da Peduga Kosiste Defiisi 8 (Statistik Statistik merupaka suatu fugsi dari satu atau leih peuah aak yag tidak tergatug pada parameter (yag tidak diketahui [Hogg da Craig 995] Defiisi 9 (Peduga Misalka X X X adalah otoh aak Suatu statistik U U( X X X U( X yag diguaka utuk meduga fugsi parameter g( θ dikataka seagai peduga agi g( θ Nilai amata U( X X X dari U dega ilai amata X x X x X x diseut seagai dugaa agi g( θ [Hogg da Craig 995] Defiisi 0 (Peduga Tak-ias U( X diseut peduga tak ias agi g( θ ila E[U( X ] g( θ Bila E[U( X ]- g( θ ( θ maka ( θ diseut ias dari peduga Bila lim EU [ ( X] gθ ( maka U( X diseut seagai peduga tak ias asimtotik agi g( θ [Hogg da Craig 995] Defiisi (Peduga Kosiste (i Suatu statistik U( X X X yag koverge dalam peluag ke parameter g( θ yaitu p U( X X X g( θ utuk diseut peduga kosiste agi g( θ as (ii Jika U( X X X g( θ utuk maka U( X X X diseut peduga kosiste kuat agi g( θ r (iii Jika U( X X X g( θ utuk maka U( X X X diseut peduga kosiste dalam rataa ke-r agi g( θ [Grimmett da Stirzaker 99] Defiisi (Mea Square Error Mea Square Error (MSE dari peduga ˆ θ utuk parameter θ adalah fugsi dari θ yag didefiisika oleh E ( ˆ θ θ θ [Casela da Berger 990] Dega kata lai MSE adalah ilai harapa kuadrat dari selisih atara peduga ˆ θ da parameter θ Dari sii diperoleh ˆ ˆ ˆ Eθ( θ θ Var( θ + ( Eθ ( θ θ Var( ˆ θ + ( Bias( ˆ θ Beerapa Defiisi da Lema Tekis Defiisi 3 (O( da o( Simol-simol ii adalah ara utuk memadigka esarya dua fugsi u(x da v(x dega x meuju suatu limit L ux ( Oux ( x L (i Notasi ( (ii meyataka ahwa ux ( vx ( teratas utuk x L Notasi ux ( oux ( x L meyataka ahwa utuk x L ( ux ( 0 vx ( [ Serflig 980] Defiisi 4 (Mome Kedua Teratas Peuah aak X diseut mempuyai mome kedua teratas jika E( X teratas [Helms 996]

14 5 Defiisi 5 (Fugsi Idikator Fugsi Idikator dari suatu himpua A serig ditulis I A ( x didefiisika seagai ( { jika x A IA x 0 jika x A [Casela da Berger 990] Lema 4 (Ketaksamaa Markov Jika X adalah peuah aak dega E(X teratas da t > 0 maka E[ X ] P( X t t [Helms 996] Bukti: Lihat Lampira 3 Lema 5 (Ketaksamaa Cheyshev Jika X adalah peuah aak dega ilai harapa μ da ragam teratas σ maka σ P( X μ δ δ utuk setiapδ 0 [Helms 996] Bukti: Lihat Lampira 4 Lema 6 (Ketaksamaa Cauhy-Shwarz Jika X da Y adalah peuah aak dega mome kedua teratas maka ( EXY [ ] EX [ ] EY [ ] da aka erilai sama dega jika da haya jika P(X 0 atau P(Y ax utuk suatu kostata a [Helms 996] Bukti: Lihat Lampira 5 Lema 7 (Lema Borel-Cotelli (i Misalka { A } adalah searag kejadia Jika PA { } < maka P( A terjadi seayak tak higga kali0 (ii Misalka { A } adalah searag kejadia yag salig eas Jika PA { } maka P( A terjadi seayak tak higga kali Bukti: Lihat Durret (996 Lema 8 (Teorema Limit Pusat Misalka X X X adalah suatu arisa peuah aak yag eas da searaya idetik dega ilai harapa fiite μ da ragam tak ol σ < Jika X + X + + X μ Z maka Z σ koverge ke seara ormal aku da ditulis d Z Normal (0 utuk atau y x lim PZ ( x e dy π Bukti: Lihat Ghahramai (005 Lema 9 (Teorema Deret Taylor Suatu fugsi f diseut memiliki represetasi deret Taylor di a (atau di sekitar a atau yag erpusat di a jika memeuhi persamaa ( f ( a f ( x ( x a 0! ' f ( a f ( a + ( x a! '' f ( a ( + x a +! [Stewart 999] Lema 0 (Teorema Fuii Jika f 0 atau f dμ < maka f( x y μ ( dy μ ( dx fdμ XY μ μ YX f ( x y ( dx ( dy Bukti: Lihat Durret (996 XxY Defiisi 6 (Teritegralka Lokal Fugsi itesitas λ diseut teritegralka lokal jika utuk searag himpua Borel teratas B kita peroleh μ ( B λ ( sds< B [Dudley 989] Defiisi 7 (Titik Leesgue Suatu titik s diseut titik Leesgue dari suatu fugsi λ jika h lim λ( u + s λ( s du 0 h 0 h h [Wheede da Zygmud 977]

15 6 Proses Stokastik da Proses Poisso Defiisi 8 (Proses Stokastik Proses stokastik {N(t t T} adalah suatu himpua dari peuah aak yag memetaka suatu ruag otoh Ω ke ruag state S [Ross 996] Utuk setiap t pada himpua ideks T N(t adalah suatu peuah aak Ideks t serig diiterpretasika seagai waktu (meskipu dalam eragai peerapaya t tidak selalu meyataka waktu da N(t kita seut seagai state dari proses pada waktu t Ruag state S mugki erupa: (i SZ (himpua ilaga ulat atau himpua agiaya (ii SR (himpua ilaga yata atau himpua agiaya Suatu proses stokastik N diseut proses stokastik dega waktu diskret jika himpua ideks T adalah himpua teraah sedagka N diseut proses stokastik dega waktu kotiu jika T adalah suatu iterval Defiisi 9 (Proses Peaaha Suatu proses stokastik {N(t t 0} diseut proses peaaha jika N(t meyataka ayakya kejadia yag telah terjadi sampai waktu t [Ross 996] Defiisi 30 (Proses Poisso Suatu proses peaaha {N(t t 0} diseut dega proses Poisso dega laju λ λ > 0 jika dipeuhi tiga syarat: (i N(0 0 (ii Proses terseut memiliki ikreme eas (iii Bayakya kejadia pada searag iterval waktu dega pajag t memiliki seara (distriusi Poisso dega ilai harapa λt Jadi utuk semua t s > 0 λt k e ( λt PNs ( ( + t Ns ( k k0 k! [Ross996] Dari syarat (iii dapat diketahui ahwa proses Poisso memiliki ikreme stasioer Dari syarat ii juga dapat diperoleh ahwa E(N(t λt Proses Poisso dega laju λ yag merupaka kostata utuk semua waktu t diseut proses Poisso homoge Jika laju λ uka kostata tetapi merupaka fugsi dari waktu λ(t maka diseut proses Poisso takhomoge Utuk kasus ii λ(t diseut fugsi itesitas dari proses Poisso terseut Fugsi itesitas λ(t harus memeuhi syarat λ(t 0 utuk t 0 Lema Misalka X da Y adalah peuah aak salig Kadagkala proses peaaha {N(t t 0} eas memiliki seara Poisso dega ditulis N([0t] yag meyataka ayakya parameter erturut-turut u da v Maka X + Y kejadia yag terjadi pada selag waktu [0t] memiliki seara Poisso dega parameter Proses peaaha N(t harus memeuhi u+v syarat-syarat seagai erikut: [Taylor da Karli 984] (i N(t 0 utuk semua t [0 (ii Nilai N(t adalah ilaga ulat Bukti: Lihat Lampira 6 (iii Jika s < t maka N(s N(t s t [0 (iv Utuk s< t maka N(t-N(s sama dega Defiisi 3 (Fugsi Periodik ayakya kejadia yag terjadi pada Suatu fugsi λ diseut periodik jika selag (st] λ (s+k λ(s Suatu proses peaaha diseut memiki utuk semua s R da k Z Kostata ikreme eas jika ayakya kejadia yag terkeil yag memeuhi persamaa di atas terjadi pada searag dua selag waktu yag diseut periode dari fugsi λ terseut tidak tumpag tidih (tidak overlap adalah eas Sedagka suatu proses peaaha [Browder 996] diseut memiliki ikreme stasioer jika seara (distriusi dari ayakya kejadia yag terjadi pada searag selag waktu haya tergatug dari pajag selag terseut Salah satu proses peaaha yag petig adalah proses Poisso yag merupaka proses stokastik dega waktu kotiu Defiisi 3 (Proses Poisso Periodik Proses Poisso periodik adalah proses Poisso dega fugsi itesitas λ adalah siklik (periodik [Magku00]

16 HASIL DAN PEMBAHASAN Gamara Umum Misalka N adalah proses Poisso ohomoge pada iterval [0 dega fugsi itesitas λ (s Fugsi ii diasumsika teritegralka lokal da terdiri dari kompoe yaitu kompoe periodik atau kompoe siklik dega periode yag diketahui > 0 da seuah tre fugsi pagkat Dega kata lai utuk semarag s [0 kita dapat meuliska fugsi itesitas λ seagai erikut : λ( s λ ( s + as ( dega λ ( s adalah seuah fugsi periodik dega periode da a adalah kemiriga dari tre pagkat Utuk kasus 0 fugsi itesitas λ( s λ ( s + a masih merupaka fugsi periodik Kasus ii telah dikaji dalam jural Helmers Magku da Zitikis (003 Sedagka utuk kasus maka fugsi itesitasya adalah λ( s λ ( s + as kasus ii juga telah dikaji dalam jural Helmers da Magku (007 Sehigga dalam karya ilmiah ii aka diahas utuk kasus pagkat pada iterval (0 Dalam tulisa ii kita megasumsika λ adalah fugsi periodik dega persamaa λ ( s + k λ( s ( erlaku utuk semua s [0 da k Z dega Z adalah himpua ilaga ulat Karea λ periodik dega periode maka utuk meduga λ utuk s [0 ukup diduga ilai λ pada s [0 Asumsi laiya yag diguaka dalam tulisa ii adalah haya terdapat seuah realisasi N(ω dari proses Poisso N yag terdefiisi dalam ruag peluag (Ω F P dega etuk fugsi itesitas dalam persamaa ( da ω Ω Oleh karea itu pemetuka peduga kosiste agi λ pada s [0 haya megguaka seuah realisasi N(ω dari proses Poisso yag diamati pada iterval [0] Selai itu diasumsika juga ahwa ilai a > 0 karea fugsi itesitas λ (s harus memeuhi ( da tak-egatif Terdapat kasus dalam megasumsika ilai a Kasus pertama diasumsika ilai a diketahui Sedagka utuk kasus kedua ilai a tidak diketahui sehigga diutuhka peduga agi a utuk memetuk peduga agi λ (s Utuk kasus kedua diperluka asumsi ahwa kita megetahui θ λ ( s ds yaitu fugsi itesitas gloal 0 dari kompoe periodik λ Selai itu pada kedua kasus kita asumsika ahwa periode diketahui tetapi fugsi λ tidak diketahui sehigga diutuhka peduga agi λ utuk memetuk peduga agi λ (s Kasus : Pedugaa agi λ ( s dega asumsi a diketahui Utuk kasus pertama yaitu peduga agi λ di titik s [0 dega asumsi a da periode diketahui dapat diformulasika seagai erikut : N([ s+ k h s+ k + h] λ L k h k a ( s k L k + (3 k dega L da h k k adalah arisa ilaga real positif yag koverge meuju 0 h 0 (4 utuk Berikut aka diuraika proses pemetuka peduga agi λ yaitu λ Perlu diigat ahwa haya ada seuah realisasi dari proses Poisso N yag diamati pada iterval [0] Dari ( da ( utuk semarag titik s da k Z maka λ( s λ( s+ k (5 Berdasarka (5 kita dapat meuliska λ( s λ( s+ k L k k k + + L k ( λ( s k a( s k

17 8 a λ ( s+ k ( s+ k L k L k k k Utuk memperoleh pedekata suku pertama persamaa di atas diutuhka asumsi ahwa s adalah titik Leasgue dari λ da asumsi (4 dipeuhi sehigga diperoleh λ( udu L k h k [ s+ k h s+ k+ h ] a ( s + k L k k Karea [ s+ k h s+ k+ h ] (6 λ( udu adalah ilai harapa dari N([ s+ k h s+ k + h] maka persamaa (6 dapat dituliska EN ([ s + k h s + k + h] L k h k a ( s k L k + (7 Perilaku k N([ s+ k h s+ k + h] yag merupaka padaa stokastikya sehigga persamaa (7 dapat ditulis N([ s+ k h s+ k + h] L k h k EN ([ s + k h s + k + h ] a ( s + k (8 L k k yag merupaka peduga agi λ ( s dega periode a kemiriga dari tre pagkat yag diasumsika diketahui da tre pagkat dega pagkat (0 Jika a diasumsika tidak diketahui maka kita gati a pada persamaa (8 dega peduga agi a yaitu aˆ yag aka diahas pada kasus Kekosistea dari λ Lema (Ketakiasa Asimtotik Misalka fugsi itesitas λ seperti pada persamaa ( da teritegralka lokal Jika asumsi (4 erlaku maka Eλ ( s λ ( s (9 utuk asalka s adalah titik Leesgue dari λ Dega kata lai λ adalah peduga tak ias asimtotik agi λ ( s Bukti : Utuk memuktika persamaa (9 erarti aka ditujukka ahwa Lim Eλ ( s λ( s (0 Perhatika dahulu ruas kiri dari persamaa (0 yaitu ilai harapa dari λ Misalka suku pertama dari ruas kaa persamaa (3 adalah X da suku keduaya adalah X maka Eλ ( ( s E X X ( Suku pertama ruas kaa persamaa ( dapat diuraika seagai erikut : E( X E L k k N([ s+ k h s+ k + h] h EN ([ s + k h s + k + h] L h k k ( Nilai harapa dari kejadia proses Poisso dega parameter λ yag terjadi pada iterval [ s + k h s+ k + h ] adalah s+ k + h λ( udu Oleh karea itu ruas kaa s+ k h persamaa ( mejadi s+ k + h t ( udu L h k λ k s+ k h Dega megguaka peggatia variael x u s k sehigga u x+ s+ k da du dx maka persamaa di atas dapat dituliska h λ( x + s+ k dx L h k k h Dari persamaa ( diperoleh ahwa λ( x + s + k λ ( ( x + s + k + a x+ s + k sehigga persamaa di atas dapat dituliska h [ λ ( x + s+ k L h k k h + ax ( + s+ k ] dx (3

18 9 Karea λ ( s merupaka fugsi periodik dega periode maka λ ( x + s+ k λ ( x+ s sehigga persamaa (3 dapat ditulis: h h k k h λ ( x + sdx + L L h ( + + h k k h ax s k dx (4 Suku pertama dari persamaa (4 dapat diuraika seagai erikut : L h k k h h λ ( x + sdx h λ ( s L k h + k h [ λ( x + s λ( s] dx h L λ ( s dx+ L L h L h h h h [ λ ( x + s λ ( s] d h λ ( s dx + h h h h h x [ λ ( x + s λ ( s] d x (5 Karea s adalah titik Leesgue dari λ maka h h h [ λ ( x + s λ ( s] dx o( Sehigga persamaa (5 mejadi h λ ( s dx + o ( h h h λ ( s dx + o( h h λ ( s + o ( (6 utuk Suku kedua dari persama (4 dapat diuraika seagai erikut : a h ( x + s+ k dx (7 L k h k h Berdasarka Teorema Deret Taylor maka x ( x+ s+ k ( s+ k + ( s+ k! k x + ( ( s+ k +! ( s + k + O ( h (8 Sehigga persamaa (7 dapat ditulis: a h [( s + k + O( h ] dx L k h h k a h ( s + k dx+ L k h h L a k k h h h Oh ( dx h a ( s+ k dx + L k k h h k h a Oh ( k h L k h dx a ( s+ k + Oh ( (9 L k utuk da Oh ( 0 Dega mesustitusika persamaa (6 da (9 ke dalam persamaa ( maka diperoleh : Eλ ( s λ( s + o( + a ( s+ k a ( s+ k L k L k k k λ ( s + o ( utuk maka persamaa (0 terukti sehigga persamaa (9 juga terukti Lema 3 (Kekovergea Ragam Misalka fugsi itesitas λ seperti ( da teritegralka lokal Jika asumsi (4 erlaku da h (0 utuk dipeuhi maka Var ( λ ( s 0 ( utuk asalka λ teratas di sekitar s Bukti: Misalka suku pertama dari persamaa (3 adalah X da suku keduaya adalah X Karea suku kedua pada persamaa (3 adalah determiistik maka suku kedua persamaa (3 merupaka suatu kostata Oleh karea itu utuk meetuka Var ( λ ( s pada

19 0 kasus kita ukup meetuka Var ( X Berikut Var Var ( ( s ( ( s λ : merupaka proses meetuka λ Var ( X N([ s+ k h s+ k+ h] L k h k Var ( Utuk yag esar maka selag [ s + k h s+ k + h ] da [ s + j h s+ j + h ] utuk k j tidak salig tumpag tidih (tidak overlap Sehigga N([ s + k h s+ k + h da N([ s + j h s+ j + h ] salig eas utuk k j Maka ruas kaa persamaa ( dapat dituliska: ( L ( k k h ] Var( N ([ s + k h s+ k + h ] (3 ( Perhatika ahwa L + O( (4 utuk Seelum meguraika persamaa (3 kita uraika dahulu Berdasarka persamaa (4 maka L ( ( + O( + O ( ( ( + O L Dega megguaka deret geometri utuk suku maka persamaa di atas + O dapat dituliska ( ( O ( + ( ( O ( (5 Berdasarka persamaa (5 da karea N adalah Proses Poisso maka erlaku Var(N E(N sehigga utuk semarag ilai k persamaa (3 dapat dituliska : ( O ( k k ( + h ( ([ ] E N s+ k h s+ k + h Nilai harapa dari kejadia proses Poisso dega parameter λ yag terjadi pada iterval [ s + k h s+ k + h ] adalah s+ k + h s+ k h λ( udu Oleh karea itu persamaa di atas mejadi ( ( O ( + 4h s+ k + h s+ k h λ( udu 3 3 k k Dega megguaka peggatia variael x u s k sehigga u x+ s+ k da du dx maka persamaa terseut mejadi ( ( O ( h k k x dx h λ( + s+ k h Dari persamaa ( diperoleh ahwa λ( x + s + k λ ( x + s + k + a( x+ s + k sehigga persamaa di atas dapat dituliska ( ( O ( h k k

20 h [ λ ( x++ s k + a( x+ s+ k ] dx h ( O ( k k ( + h h λ ( x++ s k dx+ h O ( ( ( k h h k h ax ( + s+ k dx (6 Perhatika suku pertama persamaa (6 Karea λ merupaka fugsi periodik dega periode maka erlaku λ( x+ s+ k λ ( x + s Sehigga suku pertama persamaa (6 dapat dituliska: ( ( O ( h k k h λ ( x + sdx h ( O ( 3 3 k ( + h k h λ ( x + sdx h h (7 Dega megasumsika λ teratas di sekitar s maka λ ( x+ s λ 0 dega λ 0 merupaka kostata semarag Dega h demikia λ ( ( h x+ s dx O h Sehigga persamaa (7 mejadi ( ( O O ( h k k (8 Sedagka ilai dari dapat k k diedaka ke dalam tiga kasus yaitu: (i Kasus pertama utuk 0 < < / maka ( + O( utuk k k sehigga persamaa (8 mejadi ( O h + O + O + h h 3 3 h ( ( O O ( h + O( O O h (9 utuk (ii Kasus kedua utuk / maka l + O( utuk sehigga k k persamaa (8 mejadi (/ + O O (l + 3/ h O( Dega megalika masig-masig suku kemudia dijumlahka maka diperoleh O l h O ( / l h (30 utuk (iii Kasus ketiga utuk / < < maka O( utuk sehigga k k persamaa (8 dapat dituliska: ( ( O O O( ( h O ( h (3 utuk Utuk memperoleh suku pertama dari persamaa (6 maka kita pilih ilai yag

21 teresar dari persamaa (9 (30 da (3 yaitu O (3 ( h utuk Suku kedua persamaa (6 dapat diuraika dega megguaka Teorema Deret Taylor Berdasarka Teorema Deret Taylor da (8 maka diperoleh ( x + s+ k ( s + k + O ( h Sehigga suku kedua persamaa (6 dapat diyataka seagai erikut : a ( ( O h ( h [( s + k + O( h ] dx (33 k k h h Seelumya kita uraika dahulu suku h [( s + k + O( h ] dx k k h dari h persamaa (33 yaitu ( s k + O ( h k k k k + ( s+ k + O ( k k sehigga persamaa (33 mejadi a h k ( ( ( + O 3 3 ( s+ k + O ( k Perhatika s s+ k + k k k k (34 ahwa ( k (35 Dega megguaka deret Taylor maka diperoleh s + k k + O k + k s + k k k s + ( 4 + k k Sehigga persamaa (35 mejadi s + O k + k k k k k + ( / ( O( k + k k k + + O( + O( ( (36 Dega mesustitusika persamaa (36 ke persamaa (34 maka persamaa (34 mejadi a h ( + ( O ( O( + O ( ( Dega megalika masig-masig suku pada persamaa di atas maka diperoleh a h ( O ( + h (37 Dega meggaugka persamaa (3 da persamaa (37 maka diperoleh ( λ( a ( Var s O h ( + h Dega megeluarka faktor kedua persamaa di atas maka diperoleh a h ( + O h ( dari suku Karea o( utuk maka diperoleh Var ( λ( s a ( + o h h ( utuk Karea h utuk maka diperoleh ahwa Var ( ( s meuju ol Lema 3 terukti λ koverge Teorema (Kekovergea dalam Peluag Misalka fugsi itesitas λ seperti ( da teritegralka lokal Jika asumsi (4 da (0 dipeuhi maka

22 3 λ ( s λ ( s (38 utuk asalka s adalah titik Leesgue dari P λ Dega kata lai λ ( s adalah peduga kosiste agi λ ( s Bukti: Utuk memuktika persamaa (38 erdasarka Defiisi 0 erarti aka ditujukka ahwa utuk setiap ε > 0 lim P λ ( s λ ( s > ε 0 (39 ( Seelumya kita uraika dahulu P( λ ( s λ( s >ε dari persamaa (39 yaitu P( λ ( s λ( s >ε (40 ( P ( λ( s Eλ( s ( E λ ( s λ ( s + >ε (4 Berdasarka ketaksamaa segitiga kita peroleh λ ( s λ ( s λ ( s Eλ ( s + Eλ ( s λ( s sehigga persamaa (4 mejadi P λ ( s Eλ ( s + ( E λ ( s λ( s > ε ( λ s Eλ P ( ( s > ε E λ ( λ( s (4 Berdasarka Lema diperoleh lim Eλ ( s λ ( s 0 (43 sehigga utuk ε > 0 ada N agar E ( s ( s ε λ λ < (44 utuk N Berdasarka persamaa (43 da (44 diperoleh ahwa persamaa (4 mejadi ε P λ ( s Eλ ( s > ε ε P λ ( s Eλ ( s > (45 Sehigga dari (40 da (45 diperoleh ahwa ( λ ( λ( ε P s s > ε P λ ( s Eλ ( s > Jadi utuk memuktika persamaa (39 ukup ditujukka ε lim P λ ( s Eλ ( s > 0 Dega Ketaksamaa Cheyshev dapat diperoleh ε P λ ( s Eλ ( s > ( λ s 4 Var ( ε Jadi kita tiggal memuktika ahwa ( λ s 4 Var ( lim 0 (46 ε Berdasarka Lema 3 maka persamaa (46 terukti Jadi Teorema terukti Teorema (Kekovergea MSE Misalka fugsi itesitas λ seperti ( da teritegralka lokal Jika asumsi (4 da (0 dipeuhi maka MSE( λ ( s 0 (47 utuk asalka s adalah titik Leesgue dari λ Dega kata lai λ koverge dalam rataa kuadrat agi λ ( s yaitu r λ ( s λ( s utuk Bukti: Utuk memuktika persamaa (47 erdasarka Defiisi erarti aka diuktika ahwa Var [ Bias( λ ] + ( λ 0 (48 utuk Pertama aka dihitug [ Bias( λ ] yaitu ( λ λ s [ Bias( λ ( s ] E ( s ( Berdasarka Lema diperoleh ahwa Bias( λ ( s koverge meuju ol sehigga [ Bias( λ ( ] juga koverge meuju ol Sedagka utuk meghitug suku kedua ruas kiri persamaa (48 maka diguaka Lema 3 Berdasarka Lema 3 diperoleh ahwa Var( λ koverge meuju ol Karea [ Bias( λ ( ] da Var( λ koverge meuju ol maka persamaa (48 terukti Dega demikia

23 4 persamaa (47 terukti sehigga Teorema terukti Kasus : Pedugaa agi λ ( s dega asumsi a tidak diketahui Pedugaa agi a Pada kasus kedua diasumsika ahwa ilai a tidak diketahui tetapi θ diketahui sehigga diutuhka suatu peduga agi a utuk memetuk peduga agi λ ( s Peduga agi a dapat diformulasika seagai erikut ( + N [0 ] ( θ a + (49 ˆ ( + Peduga agi λ ( s utuk kasus yag kedua dapat diformulasika seperti pada persamaa (3 dega meggati ilai a pada persamaa terseut dega peduga agi a yaitu aˆ Berikut aka diuraika proses pemetuka peduga agi a Seelumya utuk memetuk peduga agi a diutuhka lema erikut Lema 4 Jika fugsi itesitas λ adalah periodik (dega periode da teritegralka lokal maka ( λ sds θ utuk dega 0 θ λ ( s ds 0 [Damiri 003] Bukti: Lihat Damiri (003 Pertama perhatika ahwa EN ( [0 ] λ( sds 0 ( λ ( s + as ds 0 λ ( s ds + as ds ( Perhatika suku pertama persamaa (50 Berdasarka Lema 4 maka diperoleh λ ( sds θ 0 Sedagka suku kedua persamaa (50 adalah a ( + as ds + 0 Dega meggati E( N[0 ] dega padaa stokastikya yaitu N[0 ] maka diperoleh a ( + N[0 ] θ Kedua ruas dikalika dega ( sehigga ( + ( + N[0 ] θ + a ( + ( + ( + N [0 ] ( + θ ( + a + Akhirya diperoleh peduga agi adalah ( + N [0 ] ( + θ a ˆ ( + Utuk memetuk kekosistea peduga agi λ ( s maka diperluka kekosistea peduga agi a dega suatu laju tertetu Lema 5 Misalka fugsi itesitas λ dierika pada persamaa ( da teritegralka lokal Maka Ea ( ˆ a+ O + (5 da ( + a Var( a ˆ + + O + (5 utuk dega θ λ ( s ds Akiatya a ˆ 0 a merupaka peduga kosiste agi a dega Mea Square Error-ya adalah ( + a MSE( a ˆ + + O + (53 utuk Bukti: Berdasarka persamaa (49 maka ilai harapa dari aˆ dapat diuraika seagai arikut: ( + N [0 ] ( + θ Ea ( ˆ E ( + ( + ( + θ ( + EN ( [0 ] (54 utuk Suku pertama persamaa (54 dapat diuraika seagai erikut:

24 5 ( + λ( sds ( + 0 ( + ( + ( λ ( s + as ds 0 ( + + ( + θ + a + O( + θ ( + + a+ O + (55 Dega mesutitusika persamaa (55 ke persamaa (54 maka diperoleh Ea ( ˆ a+ O + (56 utuk Utuk memperoleh ragam dari a diguaka ara yag serupa sehigga ˆ Var( aˆ ( + N [0 ] ( + θ Var ( + ( + (+ Var( N[0 ] Karea N merupaka proses Poisso maka Var(N E(N sehigga persamaa di atas mejadi ( + E( N[0 ] ( + ( + λ( sds (+ 0 ( + (+ 0 ( + (+ ( λ ( s + as ds ( + (+ O ( + a + λ ( s ds+ as ds ( + a + + O + (57 utuk MSE( aˆ ˆ ˆ Var( a + ( Bias( a ( a O a + ( ˆ ( Bias( aˆ E( a a + O + (58 Berdasarka persamaa (57 da (58 maka diperoleh MSE ( ( a + a ˆ O utuk Lema 5 terukti Teorema 3 (Kekosistea a Peduga aˆ agi a yaitu utuk ˆ merupaka peduga kosiste aˆ P a (59 Bukti: Utuk memuktika persamaa (59 erdasarka Defiisi 0 erarti aka ditujukka ahwa utuk setiap ε > 0 lim P aˆ a > ε 0 (60 ( Berdasarka ketaksamaa segitiga maka ( aˆ ˆ ˆ Ea + ( Ea a ( aˆ ˆ ˆ Ea + ( Ea a sehigga dapat diperoleh ahwa P( aˆ a > ε P( ( aˆ ˆ ˆ Ea + ( Ea a > ε P( ( aˆ ˆ ˆ Ea + ( Ea a > ε (6 Sedagka erdasarka Lema 5 diperoleh ahwa lim Eaˆ a 0 sehigga utuk ε > 0 ada N agar ε Eaˆ a < utuk N Sehigga pertidaksamaa (6 dapat diyataka ε P( ( aˆ ˆ Ea > ε ε P( ( aˆ ˆ Ea > Jadi ε P( aˆ ( ( ˆ ˆ a > ε P a Ea > Sehigga utuk memuktika persamaa (60 ukup diuktika ahwa ε lim P( ( aˆ ˆ Ea > 0 Dega ketaksamaa Cheyshev diperoleh ahwa ε 4 Var( aˆ P( ( aˆ ˆ Ea > ε maka tiggal diuktika ahwa 4 Var( aˆ lim 0 (6 ε

25 6 Berdasarka Lema 5 Var a ˆ ( koverge meuju 0 utuk sehigga persamaa (6 terukti Jadi Teorema 3 terukti Teorema 4 (Kekovergea Legkap agi a ˆ Peduga aˆ adalah koverge legkap ke a yaitu aˆ a utuk Bukti: Berdasarka Defiisi 3 utuk memuktika ahwa aˆ merupaka peduga yag koverge legkap agi a erarti aka ditujukka ahwa utuk setiap ε > 0 P( aˆ a > ε < (63 Seelumya kita uraika dahulu kompoe P( aˆ a > ε Berdasarka ketaksamaa segitiga diperoleh ( aˆ ˆ ˆ Ea + ( Ea a ( aˆ ˆ ˆ Ea + ( Ea a da dega uraia yag sama dega ukti Teorema maka diperoleh ε P( aˆ ( ( ˆ ˆ a > ε P a Ea > Dega ketaksamaa Cheyshev diperoleh ahwa ε 4 Var( aˆ P( ( aˆ ˆ Ea > ε Dega mejumlahka kedua ruas pada persamaa di atas maka ε 4 Var( aˆ P( ( aˆ ˆ Ea > ε Sehigga utuk memuktika persamaa (63 ukup diuktika ahwa 4 Var( aˆ < ε Berdasarka Lema 5 da Lema diperoleh 4 Var( aˆ ( + a O ε + + < + Jadi persamaa (63 terukti sehigga Teorema 4 terukti Akiat (Kekosistea Kuat agi a ˆ Peduga aˆ adalah peduga kosiste kuat agi a yaitu as aˆ a utuk Bukti: Berdasarka Defiisi utuk memuktika a ˆ adalah peduga kosiste kuat agi a maka setara dega memuktika ahwa P(lim aˆ a < ε atau P(lim aˆ a ε 0 Dari Teorema 4 diketahui ahwa P( aˆ a > ε < Berdasarka agia (i Lema Borel-Catelli (Lema 7 jika P( aˆ a > ε < maka kejadia { ˆ a a > ε } haya terjadi seayak terhigga yag erimplikasi ahwa P(lim aˆ a ε 0 Sehigga Akiat terukti Laju kekovergea dari dilihat dari teorema erikut aˆ dapat Teorema 5 (Kekovergea dalam Seara dari a ˆ ( + ( + ( aˆ a adalah koverge dalam seara ke Normal (0 a utuk Bukti: Utuk memuktika Teorema 5 maka kita uraika dahulu persamaa erikut ( + ( + ˆ ˆ ( a a ( a ( + ( + ( + Eaˆ ˆ + ( Ea a ( + Sehigga utuk memuktka Teorema 5 ukup diuktika ahwa

26 7 ( + d ( aˆ ˆ Ea N(0 a ( + da ( + Eaˆ (64 ( a 0 (65 ( + Pertama kita memuktika (64 yag dapat diuraika seagai erikut ( + ( + ( ( + N ([0 ] ( + θ + ( + N ([0 ] ( + θ E + ( + ( + N ([0 ] ( + θ ( ( + ( + θ EN ([0 ] + ( + ( + + ( + ( + ( + ( N([0 ] EN([0 ] Var( N ([0 ] N([0 ] EN([0 ] Var( N ([0 ] Berdasarka Teorema Limit Pusat maka diperoleh N([0 ] EN([0 ] d N (0 (66 Var( N ([0 ] jika Maka utuk memuktika (64 tiggal diuktika ( + ( + Karea Var( N ([0 ] N([0 ] a (67 merupaka peuah aak Poisso maka Var( N ([0 ] EN ([0 ] sehigga diperoleh ( + ( + ( + ( + Var( N ([0 ] E( N([0 ] + ( + a θ + + O( ( ( + a θ O( a+ O (68 utuk Perhatika ahwa O koverge ke ol utuk sehigga O o( Oleh karea itu persamaa (68 dapat dituliska mejadi a o( + Misalka x a+ o( f ( x x Berdasrka Teorema Deret Taylor maka f '( a f '( a f ( x f( a + ( x a +!! ( x a + a + ( o( ( o( a 3 4 a + a + O(( o( + o( a + o( utuk Jadi persamaa (67 terukti Berdasarka persamaa (66 da (67 maka (64 terukti Utuk memuktika (65 maka diguaka Lema 5 sehigga ( + ( + ( Eaˆ a ( + ( + a+ O a + ( + ( + O + O ( + utuk Karea O ( + koverge meuju ol utuk maka diperoleh ahwa ( + Eaˆ ( a 0 jika Jadi ( + (65 terukti Berdasarka (64 da (65 maka Teorema 5 terukti

27 8 Kekosistea peduga ˆ λ ( s Pada kasus kedua formulasi peduga ˆ λ ( s tidak ereda jauh dega peduga λ ( s pada kasus pertama Utuk kasus ii peduga ˆ λ ( s dapat diformulasika sama dega kasus pertama tetapi dega meggati ilai a pada kasus pertama dega peduga agi a yaitu aˆ Sehigga peduga ˆ λ ( s pada kasus kedua dapat diformulasika seagai erikut N([ s + k h ] ˆ s + k + h λ L k h dega k ˆ a ( s k L k k + (69 L k k da adalah arisa ilaga real positif yag koverge meuju 0 h utuk serta aˆ merupaka peduga agi a Lagkah-lagkah pemetuka peduga ˆ λ ( s pada kasus kedua sama dega pemetuka peduga λ ( s pada kasus 0 h pertama Peredaaya haya terletak pada peduga agi a Pada kasus pertama telah dikaji ahwa peduga λ ( s merupaka peduga yag kosiste agi λ ( s Utuk kasus yag kedua dega asumsi ilai a tidak diketahui maka kita perlu megkaji ulag kekosistea peduga ˆ λ ( s Berikut aka diuraika kekosistea peduga ˆ λ ( s utuk kasus yag kedua Lema 6 (Ketakiasa Asimtotik agi peduga ˆ λ ( s Misalka fugsi itesitas λ seperti pada persamaa ( da teritegralka lokal Jika asumsi (4 erlaku maka E ˆ λ ( s λ ( s (70 utuk asalka s adalah titik Leesgue dari λ Dega kata lai ˆ λ ( s adalah peduga tak ias asmtotik agi λ ( s Bukti: Misalka suku pertama dari persamaa (69 adalah Y da suku keduaya adalah Y maka E( ˆ λ ( s EY ( EY ( (7 Utuk EY ( telah dikaji pada kasus pertama da diperoleh a ( s+ k EY ( λ ( s + o( + (7 L k k Karea EY ( telah dikaji dalam kasus pertama maka utuk kasus ii kita tiggal meguraika EY ( yaitu aˆ EY ( E ( s+ k L k k Ea ( ˆ ( s + k L k k Berdasarka Lema 5 maka persamaa di atas mejadi a+ O ( s k + + L k a L k k ( s + k + O k k + ( s + k (73 L k Dega mesustitusika persamaa (7 da (73 ke dalam persamaa (7 maka diperoleh ˆ a ( s+ k E( λ ( s λ( s + o( + L k k L k a ( s + k + O k k + L ( s + k k λ ( s o( O + L k k + ( s + k (74 Berdasarka persamaa (4 diperoleh ahwa

28 9 L k k ( ( + O da karea ( s + k O ( maka persamaa (74 mejadi ( λ ( s + o( O ( O + + O ( λ ( s + o( + O (75 utuk Perhatika ahwa O pada persamaa (75 koverge ke ol utuk sehigga O o( Jadi E( ˆ λ ( s λ ( s + o( utuk sehigga persamaa (70 terukti Lema 7 (Kekovergea Ragam Misalka fugsi itesitas λ seperti ( da teritegralka lokal Jika asumsi (4 da (0 erlaku maka Var ˆ λ ( s 0 (76 ( utuk asalka λ teratas di sekitar s Bukti: Misalka suku pertama dari persamaa (69 adalah Y da suku keduaya adalah Y maka varia dari ˆ λ ( s adalah Var ˆ λ ( s Var + Var + ( ( Y ( Y ( Pertama kita hitug dulu suku pertama persamaa (77 yaitu Dalam kasus Cov Y Y (77 Var ( Y Var ( Y da yag pertama telah dihitug diperoleh a ( Var ( Y o h ( + h (78 utuk Sekarag kita tiggal meghitug suku kedua da ketiga dari persamaa (77 Suku kedua persamaa (77 dapat diuraika seagai erikut: aˆ Var ( Y Var ( s+ k L k k Var ( aˆ ( s + k L k k Berdasarka Lema 5 maka persamaa di atas dapat dituliska a( + + O ( s k L k k da erdasarka persamaa (5 serta k ( s+ k k O ( maka diperoleh ( a( + ( + O ( O O( 3 3 Dega megalika masig-masig suku pada persamaa di atas maka diperoleh O (79 utuk Dari persamaa (78 (79 da Ketaksamaa Chauy-Shwarz maka suku ketiga dari persamaa (77 tidak aka meleihi a ( o O h ( + h O + o ( ( h h O h O O ( h h h o( Var ( λ o ( h o (80 h utuk Dega meggaugka persamaa (78 (79 da (80 kita peroleh

29 0 utuk Karea h maka kita peroleh persamaa (76 Terukti Teorema 6 (Kekovergea dalam Peluag Misalka fugsi itesitas λ seperti ( da teritegralka lokal Jika asumsi (4 da (0 dipeuhi maka ˆ P λ s λ ( s (8 utuk asalka s adalah titik Leesgue dari λ Dega kata lai peduga kosiste agi ( Bukti: Lagkah-lagkah pemuktia Teorema 6 serupa dega pemuktia pada Teorema Sehigga pemuktia Teorema 6 dapat dilihat pada pemuktia Teorema Teorema 7 (Kekovergea MSE Misalka fugsi itesitas λ seperti ( da teritegralka lokal Jika asumsi (4 da (0 dipeuhi maka MSE( ˆ λ ( s 0 (8 utuk asalka s adalah titik Leesgue dari λ Dega kata lai ˆ λ ( s koverge dalam rataa kuadrat ke λ ( s yaitu ˆ ( r λ s λ ( s utuk Bukti: Lagkah-lagkah pemuktia Teorema 7 serupa dega pemuktia pada Teorema Sehigga pemuktia Teorema 7 dapat dilihat pada pemuktia Teorema KESIMPULAN Tulisa ii memahas kekosistea peduga kerel dari fugsi itesitas pada proses Poisso periodik dega tre fugsi pagkat Pagkat dalam kasus ii diatasi pada iterval (0 Model fugsi itesitas dalam kasus ii dapat diformulasika seagai erikut λ( s λ ( s + as dega λ ( s adalah suatu fugsi periodik dega periode da as adalah kompoe tre fugsi pagkat dega a meyataka kemiriga dari tre terseut Utuk kasus 0 fugsi itesitas λ( s λ ( s + a masih merupaka fugsi periodik Kasus ii telah dikaji dalam jural Helmers Magku da Zitikis (003 Sedagka utuk kasus maka fugsi itesitasya adalah λ( s λ ( s + as kasus ii juga telah dikaji dalam jural Helmers da Magku (007 Sehigga pagkat dalam karya ilmiah ii diatasi pada iterval (0 Terdapat dua kasus dalam megasumsika ilai a Pertama diasumsika ahwa ilai a diketahui Pada kasus pertama peduga kompoe periodik λ ( s dari proses Poisso yag dikaji dapat diformulaska seagai erikut N([ s + k h s + k + h] λ L k k h a ( s + k L k k dega L da h k k adalah arisa ilaga real positif yag koverge meuju ol h 0 utuk Sedagka kasus kedua diasumsika ahwa ilai a tidak diketahui sehigga diutuhka suatu peduga agi a Utuk kasus kedua diperluka juga asumsi ahwa kita megetahui θ λ ( s ds yaitu fugsi 0 itesitas gloal dari kompoe periodik λ Peduga agi a dapat diformulasika seagai erikut ( + N [0 ] ( + θ a ˆ ( + Utuk kasus dega asumsi ilai a tidak diketahui maka formulasi peduga agi λ ( s yaitu ˆ λ ( s serupa dega kasus a ˆ pertama tiggal meggati dega a

30 Dari hasil kajia kasus diperoleh eerapa kesimpula megeai peduga λ ( s atara lai: a Peduga λ ( s merupaka peduga takias asimtotik agi λ ( s utuk Ragam dari peduga λ ( s koverge meuju ke ol utuk Peduga λ ( s merupaka peduga kosiste agi λ ( s utuk e MSE( λ ( s koverge meuju ol utuk Sedagka dari hasil kajia kasus diperoleh eerapa kesimpula megeai peduga da λ atara lai : a ˆ ˆ a Peduga aˆ merupaka peduga kosiste agi a utuk Peduga aˆ adalah koverge legkap ke a utuk Peduga a adalah peduga kosiste a ˆ kuat agi utuk ( + ( + d ( aˆ a adalah koverge dalam seara ke Normal (0 a utuk e Peduga ˆ λ ( s merupaka peduga takias asimtotik agi λ ( s utuk f Ragam dari peduga ˆ λ ( s koverge meuju ke ol utuk g Peduga ˆ λ ( s merupaka peduga kosiste agi λ ( s utuk h MSE( ˆ λ ( s koverge meuju ol utuk

31 DAFTAR PUSTAKA Browder A 996 Mathematial Aalysis: a Itrodutio Spiger New York Casella G da RL Berger 990 Statistial Iferee Ed Ke- Wadsworth & Brooks/Cole Pasifi Grove Califoria Damiri SD003 Metode Utuk Meduga Fugsi Itesitas Gloal pada Proses Poisso Periodik [Skripsi] Bogor: Istitut Pertaia Bogor Dudley RM 989 Real Aalysis ad Proaility Wadsworth & Brooks Califoria Durret R996 Proaility: Theory ad Examples Ed ke- Duxury Press New York Gahramai S 005 Fudametal of Proaility Ed ke- Pretie Hall New Jersey Grimmet G R da D R Stirzaker99 Proailiy ad radom Proesses Ed Ke- laredo Press Oxford Helmers R da I W Magku 007 Estimatig the Itesity of a Cyli Poisso Proess i the Presee of Liear Tred Aepted y Aals Istitute of Statistial Mathematis Helmers R I W Magku da R Zitikis 003 Cosistet Estimatio of the Itesity Futio of a Cyli Poisso Proess Joural of Multivariate Aalysis Helms L L 996 Itrodutio to Proaility Theory: With Cotemporary Appliatio W H Freema & Compay New York Hogg R V da A T Craig 995 Itroutio to Mathematial Statistis Ed Ke-5 Pretie Hall Eglewood Clifs New Jersey Purell E J da D Varerg998 Kalkulus da Geometri Aalisis Jilid Ed Ke-5 Peerit Erlagga Jakarta Ross R M 996 Stohasti Proesses Ed ke- Joh Wiley & Sos New York Serflig R J 980 Aproximatio theorems of Mathematial Statistis Joh Wiley & Sos New York Stewart J 999 Kalkulus Jilid Ed Ke-4 Peerit Erlagga Jakarta Taylor H M da S Karli 984 A Itrodutio to Stohastis Modellig Aademi Press I Orlado Florida Wheede R L da A Zygmud 977 Measure ad Itegral: A Itrodutio to Real Aalysis Marel Dekker New York

32 LAMPIRAN

33 4 Lampira (Pemuktia Lema Lema Jika X adalah peuah aak diskret dega ragam yag erhigga maka utuk searag kostata da d Var( X + d Var( X Bukti: Dari defiisi ragam ahwa Jadi Lema terukti Var( X + d E(( X + d E( X + d EX ( EX E( X EX Var( X Lampira (Pemuktia Lema 3 Lema 3 Misalka X da Y adalah peuah aak diskret da misalka pula da d adalah dua uah kostata searag maka Var( X + dy Var( X + d V ar( Y + dcov( X Y Jika X da Y peuah aak salig eas maka Var( X + dy Var( X + d V ar( Y Bukti: Nilai harapa X + dy E( X + dy EX + dey μ X + dμy dega μ X EX da μ Y EY sehigga Var( X + dy E(( X + dy E( X + dy (( dy ( μ X μy ( ( μx + dy ( μy μ X d μy μx E X + + d EX E ( ( X + ( Y + d( X ( Y μ VarX ( + dvary ( + dcovxy ( Jika X da Y adalah peuah aak salig eas maka Cov( X Y 0 Jadi Lema 3 terukti Y

34 5 Lampira 3 (Pemuktia Lema 4 Lema 4 (Ketaksamaa Markov Jika X adalah peuah aak dega E(X teratas da t > 0 maka E[ X ] P( X t t Bukti: Misalka A {[ X] t} maka [ X ] ti A dega I A adalah fugsi idikator dari A yaitu: Jika ditetuka ilai harapaya maka diperoleh EX [ ] EtI ( Jadi Lema 4 terukti I A tei jika X t 0 jika X < t A A ( t tp X EX P X t ( t Lampira 4 (Pemuktia Lema 5 Lema 5 (Ketaksamaa Cheyshev Jika X adalah peuah aak dega ilai harapa μ da ragam teratas σ maka utuk setiap δ 0 σ P( X μ δ δ Bukti: Berdasarka Ketaksamaa Markov P X μ δ P ( X μ δ Jadi Lema 5 terukti ( ( E ( X μ δ σ δ

35 6 Lampira 5 (Pemuktia Lema 6 Lema 6 (Ketaksamaa Cauhy-Shwarz Jika X da Y adalah peuah aak dega mome kedua teratas maka ( EXY [ ] EX [ ] EY [ ] da aka erilai sama dega jika da haya jika P(X 0 atau P(Y ax utuk semua kostata a Bukti: Utuk semua ilaga real a Sehigga ( X ay 0 X XYa a Y + 0 Karea peuah aak oegatif maka ilai harapaya juga oegatif yaitu E( X XYa+ a Y 0 E( X E( XY a+ a E( Y 0 Dega meuliska dalam persamaa polyomial derajat maka EY ( a E( XY a + E( X 0 Misalaka A Ε ( Y B Ε ( XYda C Ε ( X Perhatika ahwa poliomial erderajat yag memiliki palig ayak seuah akar real maka diskrimiaya tak positif Sehigga Jadi Lema 6 terukti [ ] 4AC 0 4 Ε( XY 4 Ε( X Ε( Y 0 B [ ] Ε( XY Ε( X Ε ( Y

36 7 Lampira 6 (Pemuktia Lema Lema Misalka X da Y adalah peuah aak salig eas memiliki seara Poisso dega parameter erturut-turut u da v Maka X + Y memiliki seara Poisso dega parameter u+v Bukti: Berdasarka Hukum Pejumlaha Peluag P{ X + Y } P{ X k Y k} k 0 k 0 P{ X k} P{ Y k} k u k v u e v e k 0 k! ( k! ( u+ v e! k k uv! k 0 k!( k! Perluasa iomial dari ( u + v adalah! k k ( u + v u v k 0 k!( k! Sehigga diperoleh ( u+ v e ( u + v P{ X + Y } 0! Merupaka etuk seara Poisso Jadi Lema terukti