SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI
|
|
- Hengki Tanuwidjaja
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 009
2 ABSTRAK RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI. Sifat Sifat Statistika Peduga Turua Pertama da Turua Kedua Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik. Dibimbig oleh I WAYAN MANGKU da RETNO BUDIARTI. Pada karya ilmiah ii dibahas pedugaa turua pertama da turua kedua dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik. Diperhatika keadaa terburuk dimaa haya terdapat sebuah realisasi dari suatu proses Poisso periodik yag diamati pada iterval [0,]. Diasumsika bahwa periode dari fugsi itesitas proses tersebut adalah diketahui. Masalah utama yag dikaji adalah perumusa pedekata asimtotik utuk bias da ragam turua pertama da turua kedua yag telah dirumuska. Kemudia, simulasi komputer diselesaika utuk mempelajari perilaku dari pedekata asimtotik dega ukura cotoh terbatas.
3 ABSTRACT RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI. Statistical Properties of Estimators for The First ad Secod Order Derivatives of The Itesity Fuctio of a Periodic Poisso Process. Supervised by I WAYAN MANGKU ad RETNO BUDIARTI. This mauscript is cocered with estimatio of the first ad secod derivatives of itesity fuctio of a periodic Poisso process. It is cosidered the worst coditio if there is oly available oe realizatio of periodic Poisso process observed i iterval [0, ]. It is assumed that the period of this process is kow. The mai problem discussed i this mauscript is the formulatio of asymptotic approximatios to the bias ad variace of the estimators for the first ad secod derivatives of the itesity of the process cosidered. I additio, computer simulatios were carried out to study the behaviour of these asymptotic approximatios for fiite sample size.
4 SIFAT-SIFAT STATISTIKA PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA FUNGSI INTENSITAS PROSES POISSON PERIODIK Skripsi Sebagai salah satu syarat utuk memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Oleh : RATNA GALUH NIKEN PRAMARANI G DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 009
5 Judul Nama NRP : Sifat Sifat Statistika Peduga Turua Pertama da Turua Kedua Fugsi Itesitas Proses Poisso Periodik : Rata Galuh Nike Pramarai : G Meyetujui, Pembimbig I Pembimbig II Dr. Ir. I Waya Magku, M.Sc. Ir. Reto Budiarti, M.S. NIP NIP Megetahui, Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Dr. drh. Hasim, DEA NIP Taggal Lulus :
6 RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Magelag pada taggal 4 Maret 987 sebagai aak kedua dari tiga bersaudara, aak dari pasaga Hartoo da Ei Kustiati. Tahu 999 peulis lulus dari SDN Pucag Secag. Tahu 00 peulis lulus dari SMPN Magelag. Tahu 005 peulis lulus dari SMAN Magelag da pada tahu yag sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Ujia Sariga Masuk IPB (USMI). Peulis memilih Jurusa Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam. Selama megikuti perkuliaha, peulis mejadi asiste mata kuliah Kalkulus II pada tahu ajara 007/008. Peulis juga aktif pada kegiata kemahasiswaa Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai staf Departeme Sosikom pada periode da staf Biro Kesekretariata periode
7 KATA PENGANTAR Puji da syukur peulis pajatka kepada Allah SWT atas segala rahmat da karuia-nya sehigga karya ilmiah ii berhasil diselesaika. Peyusua karya ilmiah ii juga tidak lepas dari batua berbagai pihak. Utuk itu peulis megucapka terima kasih yag sebesar-besarya kepada:. Dr. Ir. I Waya Magku, M.Sc. selaku dose pembimbig I (terima kasih atas semua ilmu, kesabara, motivasi, da batuaya selama peulisa skripsi ii).. Ir. Reto Budiarti, M. S. selaku dose pembimbig II (terima kasih atas semua ilmu, sara, da motivasiya).. Dr. Ir. Hadi Sumaro, MS. selaku dose peguji (terima kasih atas semua ilmu da saraya). 4. Semua dose Departeme Matematika (terima kasih atas semua ilmu yag telah diberika). 5. Bu Susi, Bu Ade, Mas Boo, Mas Dei, Mas Yoo, Mas Heri. 6. Keluargaku tercita: bapak da ibu (terima kasih bayak atas semua doa, dukuga, da kasih sayagya), kakak, ade, kakek da eek (terima kasih atas doaya). 7. Bima (terima kasih atas waktu, doa, dukuga, sara, da segala batuaya). 8. Tema sebimbiga : Vera da Ilyas (makasih atas batuaya). 9. Tema-tema Math 4: Diedie, Erli, Jae, Idha, Eyyi, Oby, Lisda, Achy, Vio, Hapsari, Octa, Ryu, Vita, Luri, Hikmah, Ricke, Ocoy, Nyoma, Ages, Ayu, Fachri, Djawa, Ayeep, Septia, Waro, Sapto, Dedy, Siti, Zil da tema-tema Math 4 laiya (selamat berjuag tema-temaku ). 0. Tema-tema Math 4: Nia, Suci, Supri, Apri, Copy, Lia, Destya, Nee, Vera, Margi, Kabil, Peli, Rizky, Arum, Fitria, Adrew, da tema-tema Math 4 laiya (makasih buat dukuga, batua da doaya).. Adik-adik TPB 45 : Dewi, Tyas, Vita, Erma, Hafiza, Isya, Irma, Icha, Marlia, Dea, Ocha, Mery (makasih atas doa da dukugaya).. Para Pegajar Ellips: K Lia, K Wal, Cici, Irma (makasih atas semagat da motivasiya).. Tema-tema Wisma Ayu : Mb Nidia, Mb Ecah, Mb Zahroh, Mb Titi, Mb Rii, Nita, Rita, Aggi, Ika, Kiki, Mb Wida, Vei, Nur, Nisa, Tyas, Nee, Fatima, Ria, Sita (terima kasih atas doaya). Yu i, teteh (makasih atas doaya). Semoga karya ilmiah ii dapat bermafaat bagi duia ilmu pegetahua khususya Matematika da mejadi ispirasi bagi peelitia-peelitia selajutya. Bogor, Mei 009 Rata Galuh Nike Pramarai
8 DAFTAR ISI Halama DAFTAR ISI... vii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN Latar Belakag... Tujua... LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag... Peubah Acak da Fugsi Sebara... Mome, Nilai Harapa da Ragam... Kekovergea Peubah Acak... Peduga... Proses Stokastik... 4 Proses Poisso... 4 Beberapa Defiisi da Lema Tekis... 5 HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusa Peduga Bagi (s) da Sifat-Sifat Statistikaya... 6 Perumusa Peduga Bagi s da Sifat-Sifat Statistikaya... 8 Perumusa Peduga Bagi s da Sifat-Sifat Statistikaya... 0 Simulasi... Simulasi utuk Bias da Ragam Peduga Turua Pertama... Simulasi utuk Bias da Ragam Peduga Turua Kedua... 5 KESIMPULAN... 8 DAFTAR PUSTAKA... 9 LAMPIRAN... 0
9 DAFTAR GAMBAR Halama. Gambar. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth Gambar. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth Gambar. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth Gambar 4. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth Gambar 5. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth Gambar 6. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth Gambar 7. Grafik (s) pada [0,5] dega badwidth DAFTAR LAMPIRAN Halama Pembuktia Lema... Pembuktia Lema... Program Peetua Gambar (s)... Program Peetua Gambar (s)... 5 Program Peetua Gambar (s)... 6 Program Peetua Nilai Harapa da Ragam Turua Pertama da Kedua... 7
10 PENDAHULUAN Latar Belakag Bayak feomea dalam kehidupa sehari-hari yag dapat dijelaska dega proses stokastik. Model semacam ii megguaka atura-atura peluag utuk meggambarka perilaku suatu sistem yag tidak diketahui dega pasti di masa yag aka datag. Proses stokastik mempuyai peraa yag cukup petig dalam berbagai bidag pada kehidupa sehari-hari. Sebagai cotoh, dalam feomea yata misalya, proses kedataga pelagga ke pusat servis (bak, kator pos, supermarket, da sebagaiya) da proses kedataga peggua lie telepo dapat dimodelka dega proses stokastik. Proses stokastik dibedaka mejadi dua yaitu proses stokastik dega waktu diskret da proses stokastik dega waktu kotiu. Pada karya ilmiah ii pembahasa haya dibatasi pada proses stokastik dega waktu kotiu. Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso periodik. Proses Poisso periodik adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas berupa fugsi periodik. Proses ii atara lai dapat diguaka utuk memodelka proses kedataga pelagga ke pusat servis dega periode satu hari. Pada proses kedataga pelagga tersebut, fugsi itesitas lokal (λ(s)) meyataka laju kedataga pelagga pada waktu s. Dalam bayak peerapa, di sampig diperluka peduga bagi fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik, diperluka juga peduga bagi turua fugsi itesitas tersebut. Pada tulisa ii dipelajari perumusa peduga bagi turua pertama da turua kedua dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik. Kemudia ditetuka sifatsifat statistikaya. Tujua Tujua peulisa karya ilmiah ii adalah utuk : (i) Mempelajari perumusa peduga turua pertama da turua kedua dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodik. (ii) Membuktika perumusa pedekata asimtotik bagi bias utuk peduga turua pertama da turua kedua. (iii) Membuktika perumusa pedekata asimtotik bagi ragam utuk peduga turua pertama da turua kedua. LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tapi kita bisa megetahui semua kemugkia hasil yag mucul disebut percobaa acak. Defiisi (Ruag cotoh) Ruag cotoh adalah himpua semua hasil yag mugki dari suatu percobaa acak, da diotasika dega Ω. (Grimmett ad Stirzaker 99) Defiisi (Kejadia) Kejadia adalah suatu himpua bagia dari ruag cotoh Ω. (Grimmett ad Stirzaker 99) Defiisi (Kejadia lepas) Kejadia A da B disebut salig lepas jika irisa dari keduaya adalah himpua kosog (Ф). (Grimmett ad Stirzaker 99) Defiisi 4 (Meda - σ) Meda σ adalah suatu himpua F yag aggotaya terdiri atas himpua bagia ruag cotoh Ω, yag memeuhi syarat berikut... c. Jika A, maka A.. Jika A, A,..., maka A. i i (Hogg et al. 005)
11 Defiisi 5 (Ukura peluag) Misalka Ω adalah ruag cotoh suatu percobaa da F adalah meda - σ pada Ω. Suatu fugsi P yag memetaka usur-usur F ke himpua bilaga yata R, atau P : disebut ukura peluag jika :. P tak egatif, yaitu utuk setiap A, P(A) 0.. P bersifat aditif tak higga, yaitu jika A, A,... dega A A, j k, maka P A. P berorma satu, yaitu P. Pasaga (Ω, F, P) disebut ruag ukura peluag atau ruag probabilitas. (Hogg et al. 005) Defiisi 6 (Kejadia salig bebas) Kejadia A da B dikataka salig bebas jika: P A B P A P B. Secara umum, himpua kejadia Ai ; i I dikataka salig bebas jika : P Ai P Ai ij ij utuk setiap himpua bagia J dari I. (Grimmett ad Stirzaker 99) Peubah Acak da Fugsi Sebara Defiisi 7 (Peubah acak) Misalka Ω adalah ruag cotoh dari suatu percobaa acak. Fugsi X yag terdefiisi pada Ω yag memetaka setiap usur ke satu da haya satu bilaga real X(ω) = x disebut peubah acak. Ruag dari X adalah himpua bagia x : x X,. bilaga real j k (Hogg et al. 005) Peubah acak diotasika dega huruf kapital, misalya X, Y, Z. Sedagka ilai peubah acak diotasika dega huruf kecil seperti x, y, z. Setiap peubah acak memiliki fugsi sebara. Defiisi 8 (Peubah acak diskret) Peubah acak X dikataka diskret jika semua himpua ilai dari peubah acak tersebut merupaka himpua tercacah. (Hogg et al. 005) P A. Defiisi 9 (Fugsi sebara) Misalka X adalah peubah acak dega ruag. Misalka kejadia A, x, maka peluag dari kejadia A adalah P X x F x. Fugsi F disebut fugsi sebara dari peubah acak X. (Hogg et al. 005) Defiisi 0 (Fugsi massa peluag) Fugsi massa peluag dari peubah acak diskret X adalah fugsi p : 0, yag diberika oleh : p x P X x X X. (Hogg et al. 005) Defiisi (Peubah acak Poisso) Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisso dega parameter, 0 jika fugsi massa peluagya diberika oleh utuk k = 0,, X k, p k e k! (Ross 007) Lema (Jumlah peubah acak Poisso) Misalka X da Y adalah peubah acak yag salig bebas da memiliki sebara Poisso dega parameter berturut-turut da. Maka X + Y memiliki sebara Poisso dega parameter +. (Taylor ad Karli 984) Bukti : lihat Lampira. Mome, Nilai Harapa, da Ragam Defiisi (Nilai harapa) Misalka X adalah peubah acak diskret dega fugsi massa peluag p x. Nilai X harapa dari X, diotasika dega E(X), adalah E X xpx x, jika jumlah di atas koverge mutlak. (Hogg et al. 005) Defiisi (Ragam) Misalka X adalah peubah acak diskret dega fugsi massa peluag p x da X ilai harapa E(X). Maka ragam dari X, diotasika dega Var(X) atau, adalah X
12 X X X x X px x. E E E x (Hogg et al. 005) Defiisi 4 (Mome ke-k) Jika k adalah bilaga bulat positif, maka mome ke-k atau m k dari peubah acak X adalah k mk E X. (Hogg et al. 005) Defiisi 5 (Mome pusat ke-k) Jika k adalah bilaga bulat positif, maka mome pusat ke-k atau dari peubah acak k X adalah k E X m k. (Hogg et al. 005) Nilai harapa dari peubah acak X juga merupaka mome pertama dari X. Nilai harapa dari kuadrat perbedaa atara peubah acak X dega ilai harapaya disebut ragam atau variace dari X. Ragam merupaka mome pusat ke- dari peubah acak X. Defiisi 6 (Fugsi idikator) Misalka A adalah suatu kejadia. Fugsi idikator dari A adalah suatu fugsi I : 0,, yag diberika oleh : A I A, jika A 0, jika A. (Grimmett ad Stirzaker 99) Dega fugsi idikator kita dapat meyataka hal berikut : EI P A. Kekovergea Peubah Acak A Terdapat beberapa cara utuk megiterpretasika peryataa kekovergea barisa peubah acak, X X utuk. Defiisi 7 (Kekovergea dalam peluag) Misalka X, X, X,... adalah barisa peubah acak pada suatu ruag peluag (Ω, F, P). Barisa peubah acak X dikataka koverge p dalam peluag ke X, diotasika X, X jika utuk setiap > 0 berlaku P X X, utuk. 0 Peduga (Grimmett ad Stirzaker 99) Defiisi 8 (Statistik) Statistik adalah suatu fugsi dari satu atau lebih peubah acak yag tidak tergatug pada satu atau beberapa parameter yag ilaiya tidak diketahui. (Hogg et al. 005) Defiisi 9 (Peduga) Misalka X, X,..., X adalah cotoh acak. Suatu statistik U X, X,..., X yag diguaka utuk meduga fugsi parameter g, dikataka sebagai peduga (estimator) bagi g dilambagka dega g. Bilamaa ilai X x, X x,..., X x, maka ilai U X, X,..., X disebut sebagai dugaa (estimate) bagi g. (Hogg et al. 005) Defiisi 0 (Peduga tak bias) (i) Suatu peduga yag ilai harapaya sama dega parameter g, yaitu E U X, X,..., X g disebut peduga tak bias bagi g. Jika sebalikya, peduga di atas disebut berbias. (ii) Jika lim E U X, X,..., X g, maka U X, X,..., X disebut sebagai peduga tak bias asimtotik bagi g. (Hogg et al. 005) Defiisi (Peduga kosiste) Suatu peduga yag koverge dalam peluag ke parameter g, disebut peduga kosiste bagi g. (Hogg et al. 005) Defiisi (MSE suatu peduga) Mea Square Error (MSE) dari suatu peduga U bagi parameter g didefiisika sebagai MSE U EU g. Bias U Var U dega Bias U E U g.. Proses Stokastik
13 Defiisi (Proses stokastik) Proses stokastik X X t, t T adalah suatu himpua dari peubah acak yag memetaka suatu ruag cotoh Ω ke suatu ruag state S. (Ross 007) Jadi utuk setiap t pada himpua ideks T, X(t) adalah suatu peubah acak. Kita serig megiterpretasika t sebagai waktu da X(t) sebagai state (keadaa) dari proses pada waktu t. Defiisi 4 (Proses stokastik waktu kotiu) Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dega waktu kotiu jika T adalah suatu iterval. (Ross 007) Defiisi 5 (Ikreme bebas) Suatu proses stokastik dega waktu kotiu X t, t Tdisebut memiliki ikreme bebas jika utuk semua t0 t t... t, peubah acak X t X t0, X t X t,..., X t X t adalah bebas. (Ross 007) Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme bebas jika proses berubahya ilai pada iterval waktu yag tidak tumpag tidih (tidak overlap) adalah bebas. Defiisi 6 (Ikreme stasioer) Suatu proses stokastik dega waktu kotiu X X t, t T disebut memiliki ikreme stasioer jika X t s X t memiliki sebara yag sama utuk semua ilai t. (Ross 007) Dega kata lai, suatu proses stokastik dega waktu kotiu X disebut memiliki ikreme stasioer jika sebara (distribusi) dari perubaha ilai atara sembarag dua titik haya tergatug pada jarak atara kedua titik tersebut, da tidak tergatug dari lokasi titik-titik tersebut. Proses Poisso Salah satu betuk khusus dari proses stokastik dega waktu kotiu adalah proses Poisso. Pada proses ii, kecuali diyataka secara khusus, diaggap bahwa himpua ideks T adalah iterval bilaga real tak egatif, yaitu 0,. Defiisi 7 (Proses pecacaha) Suatu proses stokastik N t, t 0 disebut proses pecacaha jika N(t) meyataka bayakya kejadia yag telah terjadi sampai waktu t. Dari defiisi tersebut, maka suatu proses pecacaha N(t) harus memeuhi syaratsyarat berikut : (i) N t 0 utuk semua t 0,. (ii) Nilai N(t) adalah iteger. (iii) Jika s t maka N s N t, s, t 0,. (iv) Utuk s t maka N t N s sama dega bayakya kejadia yag terjadi pada selag s, t. (Ross 007) Defiisi 8 (Proses Poisso) Suatu proses pecacaha N t, t 0 disebut proses Poisso dega laju, 0, jika dipeuhi tiga syarat berikut. (i) N t 0. (ii) Proses tersebut memiliki ikreme bebas. (iii) Bayakya kejadia pada sembarag iterval waktu dega pajag t, memiliki sebara (distribusi) Poisso dega ilai harapa t. Jadi utuk semua t, s 0, t k e t P N t s N s k, k! k 0,,... (Ross 007) Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisso memiliki ikreme yag stasioer. Dari syarat ii juga dapat diperoleh: E N t t. Defiisi 9 (Proses Poisso tak homoge) Suatu proses Poisso N t, t 0 disebut proses Poisso tak homoge jika laju λ pada sembarag waktu t merupaka fugsi tak kosta dari t yaitu λ(t). Defiisi 0 (Itesitas lokal) Itesitas lokal dari suatu proses Poisso tak homoge X dega fugsi itesitas λ pada titik s adalah λ(s) yaitu ilai fugsi (s) di s. (Cressie 99) Defiisi (Fugsi periodik) Suatu fugsi λ disebut periodik jika utuk
14 s k s semua s da k. Kostata terkecil τ yag memeuhi persamaa di atas disebut periode dari fugsi λ tersebut. (Browder 996) Defiisi (Proses Poisso periodik) Proses Poisso periodik adalah proses Poisso tak homoge yag fugsi itesitasya adalah fugsi periodik. (Magku 00) Beberapa Defiisi da Lema Tekis Defiisi (Fugsi teritegralka lokal) Fugsi itesitas λ disebut teritegralka lokal jika utuk sembarag himpua Borel terbatas B kita peroleh ( B) ( s) ds. B (Dudley 989) Defiisi 4 (O(.) da o(.)) Simbol-simbol O(.) da o(.) merupaka cara utuk membadigka besarya dua fugsi u(x) da v(x) dega x meuju suatu limit L. (i) Notasi u x O vx, x L, meyataka bahwa u x v x terbatas, utuk. x L. meyataka bahwa u x 0, utuk v x (Serflig 980) Defiisi 5 (Titik Lebesque) Kita kataka s adalah titik Lebesque dari λ jika berlaku h lim s x s dx 0. h0 h (Wheede ad Zygmud 977) Lema (Formula Youg dari Teorema Taylor) Misalka g memiliki turua ke- yag berhigga pada suatu titik x. Maka ( k ) g x k g y g x y x o y x, k! utuk x L y x. h k Bukti : lihat Serflig 980. (Serflig 980) Lema (Pertidaksamaa Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dega ilai harapa µ da ragam, maka utuk setiap k 0, X k P k. (Ross 007) (ii) Notasi,, u x o v x x L Bukti : lihat Lampira
15 HASIL PEMBAHASAN Perumusa Peduga Bagi (s) da Sifat- Sifat Statistikaya Diasumsika bahwa N adalah suatu proses Poisso periodik dega fugsi itesitas yag diamati pada suatu iterval [0, ]. Pembahasa haya dibatasi utuk kasus periode yag diketahui dari fugsi itesitas. Misalka h adalah barisa dari bilaga real positif yag koverge meuju ol, yaitu h 0 jika. Peduga bagi (s) dapat dirumuska sebagai : s N s k h, s k h h k 0,. () Teorema : (Aproksimasi asimtotik utuk ilai harapa λ (s)) Misalka fugsi itesitas adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal jika h. 0 a) Jika λ memiliki turua ketiga berhigga di s da h, maka E s s s h o h 6 () jika. b) Jika λ memiliki turua keempat 4 berhigga di s da h, maka 4 4 E s s s h sh 6 0 jika. () Bukti : Dari persamaa () maka ilai harapaya dapat diyataka sebagai berikut: E, k h s E N s k h s k h o h 0, 4 E E, h s N s k h s k h k h sk h 0, I 0, k sk h x x dx (4) Misalka y x s k x s y k, maka dy dx. Batas itegralya adalah jika x s k h maka y h jika x s k h maka y h Sehigga persamaa (4) mejadi E h (5) Karea periodik (dega periode ) diperoleh bahwa s y k s y (6) Dega mesubstitusi (6) ke (5) maka E h s s y h h k h I s y k 0, dy s y s y k 0, dy h I h k (7) Perhatika bahwa I s y k 0, = O k jika. Dega mesubstitusika (8) ke (7) maka E s O s y dy h E s s y k h h h s s y dy O h jika. k h h h I s y k 0, dy (8) (9)
16 a) Jika λ memiliki turua ketiga berhigga di s da h maka s s s y s y y!! s y o h! (0) Dega mesubstitusika (0) ke (9) diperoleh E h s h s h s s dy y dy h h h h y dy 4h h h h s O oh s s h O oh h 6 jika. h s s h oh y dy b) Jika λ memiliki turua keempat 4 berhigga di s da h, maka 4 s s 4 4 y y oh! 4! () Dega mesubstitusika () ke (9) diperoleh E h s h s 4 h s h s s dy y dy h h y dy 4h h 48h s h h h h h s h y dy O oh s s h h h 40 5 h y dy 4 O oh 4 E s s s h s h o h jika. 4 s s s y s y y!! Teorema : (Aproksimasi asimtotik utuk ragam λ (s)) Misalka fugsi itesitas adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal serta h 0, maka a) Jika memiliki turua ketiga berhigga pada s, maka s s h h Var s o h () jika. b) Jika memiliki turua keempat berhigga pada s, maka Var s jika. s s h h 4 s h h 40 Bukti : Ragam dari λ (s) adalah o 0, () Var s Var N s k h, k h s k h Var s Var N s k h 4, h k 0, s k h (4) Karea utuk sebara Poisso ilai harapa sama dega ragam maka persamaa (4) mejadi E Var s N s k h 4, h k 0, s k h E Var s N s k h, h k h h E s 0, s k h (5) Maka Teorema terbukti.
17 a) Jika memiliki turua ketiga berhigga pada s, dega mesubstitusika persamaa () ke (5), maka Var s s s h h 6 o h s s h h o h jika. b) Jika memiliki turua keempat berhigga pada s, dega mesubstitusika persamaa () ke (5), maka Var s s s h h s h oh 4 s s h s h h 40 h o jika. Maka Teorema terbukti. Perumusa Peduga bagi s da Sifat- Sifat Statistikaya Jika s adalah peduga bagi s, maka peduga bagi s dapat dirumuska sebagai berikut : s (6) Peduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, utuk ilai h > 0 yag cukup kecil, maka s s h s h h s h s h h (7) Teorema : (Aproksimasi asimtotik utuk ilai harapa λ (s)) Misalka fugsi itesitas adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Jika h 0, h utuk da memiliki turua ketiga berhigga pada s, maka E s s s h o h (8) jika. Bukti : Nilai harapa di ruas kiri (8) dapat diyataka sebagai berikut : s h s h E s E h s h s h h E E Kita igat kembali persamaa (), yaitu E s s sh oh 6 maka E s h s h s h h 6 jika da. o h E s h s h s h h 6 o h (9) (0) () jika. Dega megguaka Deret Taylor maka diperoleh bahwa s s s h s h h!! s h o h! s s h s h oh! s s s h s h h!! s h o h! () () (4)
18 s s h s h oh! (5) Dega mesubstitusika persamaa () da () ke persamaa (0) maka didapatka E s h s sh sh sh o h (6) jika. Da dega mesubstitusika persamaa (4) da (5) ke persamaa () maka didapatka E s h s s h s h sh oh (7) jika. Dega mesubstitusika persamaa (6) da (7) ke persamaa (9) maka didapatka E s s s h o h jika. Maka Teorema terbukti. Teorema 4 : (Aproksimasi asimtotik utuk ragam λ (s)) Misalka fugsi itesitas adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. Jika h 0, h utuk, da memiliki turua ketiga berhigga pada s, maka s s Var s o 4h 6h (8) jika. Bukti : Var s dapat ditetuka sebagai berikut. s h s h Var s Var h Var s Var sh Var s h 4h Dari persamaa () yaitu Cov sh, sh s N s k h, s k h h k 0, Sehigga megakibatka:, h (9) s h N s k s k h k da 0,, h s h N s k h s k k 0, Dari h 0 jika maka utuk ilai yag cukup besar selag da s k h, s k s k, s k h tidak salig tumpag tidih (tidak overlap). Sehigga N s k, s k h da N s k h, s k adalah peubah acak bebas. Dega demikia Cov s h, s h 0, sehigga persamaa (9) mejadi Var s Var s h 4h Var s h Igat kembali peryataa (), bahwa jika. Sehigga meyebabka : jika da s s h h Var s o h s h s h h Var s h h. h o s h s h h Var s h h h o (0) ()
19 () jika. dega mesubstitusika () da () ke () maka diperoleh s s s h Var s h h s h h o 6 () jika. dega mesubstitusika (4) da (5) ke () maka diperoleh s h h o 6 (4) jika. dega mesubstitusika () da (4) ke (0) maka s s Var s o 4h 6h jika. Maka Teorema 4 terbukti. Perumusa Peduga Bagi λ (s) da Sifat- Sifat Statistikaya Jika s adalah peduga bagi s, maka peduga bagi s dapat dirumuska sebagai berikut : s h s h s s 4h (5) Peduga di atas diperoleh dari fakta bahwa, utuk ilai h > 0 yag cukup kecil, maka s s s s h Var s h h s h s h h s h s h s s 4h (6) Teorema 5 : (Aproksimasi asimtotik utuk ilai harapa s ) Misalka fugsi itesitas adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. 4 Jika h 0, h utuk, da memiliki turua keempat berhigga pada s, maka jika. (7) Bukti : Nilai harapa di ruas kiri (7) dapat diyataka sebagai berikut : s h s h s E s E 4h E E E s s h s h 4h E s Kita igat kembali persamaa (), yaitu 4 E s s sh sh 6 0 jika. maka E s h s h s h h 6 0 jika da E s s s h o h (8) s h h oh E s h s h s h h 6 0 (9) jika. 4 4 o h s h h oh (40) Dega megguaka Deret Taylor maka diperoleh bahwa
20 s s 4 s s s h s h 4h!! 4 4 8h 6h oh! 4! (4) 4 4 s h s o s s 4 s s (4) (4) s h s h 4h!! 4 4 8h 6h oh! 4! (44) (45) (46) Dega mesubstitusika persamaa (4), (4), da (4) ke persamaa (9) maka didapatka E s h s s h sh s h s h 0 jika. o h 4 (47) Dega mesubstitusika persamaa (44), (45), da (46) ke persamaa (40) maka didapatka E s h s s h s h s h s h 0 jika. o h 4 s 4 s s h s h 4h o h!! s (48) Dega mesubstitusika persamaa (), (47) da (48) ke persamaa (8) maka didapatka 4 s s h s h 4h o h 4 4 s h s o!! jika. Maka Teorema 5 terbukti. Teorema 6 : (Aproksimasi asimtotik utuk ragam s ) Misalka fugsi itesitas adalah periodik (dega periode ) da teritegralka lokal. 4 Jika h 0, h utuk, da memiliki turua keempat berhigga pada s, maka s 4 s s s 5 Var jika h 96h 90h o h (49) Bukti : Var s dapat ditetuka sebagai berikut. s h s h s Var s Var 4h Var s h Var s h 6h 4Var s Cov s h s h Cov s h s, 4, 4Cov s h, s Dari persamaa () yaitu s N s k h, s k h h 0, (50) k Sehigga meyebabka, h s h N s k h s k h k da 0, E s s s h o h 4
21 , h s h N s k h s k h k 0, Dari h 0, jika maka utuk ilai yag cukup besar selag s k h, s k h, s k h, s k h, da s k h, s k h tidak salig tumpag tidih (tidak overlap). Sehigga N s k h, s k h N s k h, s k h, da N s k h, s k h adalah bebas. Dega demikia Cov s h, s h 0, Cov s h, s 0, da Cov s h, s 0, sehigga (50) mejadi 4 Var s Var s h 6h 4 Var s h Var s Igat kembali peryataa (), bahwa Var s s s h h 4 s h h 40 jika. Sehigga meyebabka: o (5) s h s h h Var s h h jika da. 4 s h h h o 40 (5) s h s h h Var s h h jika. 4 s h h h o 40 (5) dega mesubstitusika (4), (4), da (4) ke (5) maka s s s h Var s h h 4 5 s h s h 6 40 h o (54) dega mesubstitusika (44), (45), da (46) ke (5) maka s s s h Var s h h 4 5 s h s h 6 40 h o (55) dega mesubstitusika (54), (55) da () ke (5) maka s jika. Sehigga Teorema 6 terbukti. 4 s s s 5 Var 5 6h 96h 90h o h
22 Simulasi Utuk megecek kebeara teori yag telah dikaji serta utuk melihat perilaku peduga-peduga yag dikaji utuk ukura sampel yag terbatas, dilakuka simulasi komputer dega megguaka pemrograma-r. Dalam simulasi ii megambil fugsi itesitas lokal s s expcos 5 (56) Data realisasi proses Poisso periodik dibagkitka pada iterval 0,, utuk 000. Grafik fugsi (56) dapat dilihat pada Gambar. memiliki ilai s yag besar. Selai itu, dipilih = 000 da megguaka badwidth h optimal MSEyag sdiperoleh dari miimum. Dega megguaka peduga fugsi itesitas yag didefiisika pada persamaa () da berdasarka Teorema da 4, aproksimasi asimtotik dari bias da ragam pedugaa turua pertama bagi fugsi itesitas adalah sebagai berikut : Bias s s h o h (58) da s 4 6 s Var s o h h jika. sehigga (59) MSE s Bias s Var s s s sh 4h 6h (60) Gambar. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth 0.8 Simulasi utuk Bias da Ragam Peduga Turua Pertama Turua pertama dari fugsi (56) yaitu 4 s s s exp cos si (57) Fugsi itesitas s periodik dega periode 5, maka utuk meduga s pada s 0,, kita cukup memperhatika ilaiilai spada s 0,5. Pada simulasi utuk bias da ragam turua pertama diguaka titik s, yaitu s = 0.8 yag memiliki ilai s yag kecil, s = yag memiliki ilai s yag sedag da s = 4. yag Utuk memperoleh ilai h optimum maka dilakuka miimisasi persamaa (60) terhadap h, kemudia dievaluasi saat turua pertama berilai ol. Sehigga diperoleh s s 4 7 s h h (6) Hasil Simulasi : (i). Utuk s = 0.8, maka s s s s s (4) Dega = 000 da = 5 serta mesubstitusi ke (6) diperoleh h =0.05 sebagai badwidth optimal. Dega megguaka persamaa (58) da (59) diperoleh aproksimasi bias da ragam dari peduga turua pertama, yaitu :
23 s Bias 0.66 da Var s 0.57 Dega pemrograma-r dilakuka simulasi utuk membagkitka M =000 kali proses Poisso periodik yag salig bebas yag diamati pada iterval [0,000] da megguaka persamaa (56) sebagai fugsi itesitas. Hasil yag diperoleh yaitu Bias s da s 0.56 Var Perbadiga hasil aproksimasi asimtotik dega hasil simulasi sebagai berikut : Bias s Bias s Var s Var s 0.00 Dega megguaka pemrograma - R (Lampira 4) dapat dilihat pada Gambar. ragam dari peduga turua pertama, yaitu : Bias s 0.09 da Var s Dega pemrograma-r dilakuka simulasi utuk membagkitka M =000 kali proses Poisso periodik yag salig bebas yag diamati pada iterval [0,000] da megguaka persamaa (56) sebagai fugsi itesitas. Hasil yag diperoleh yaitu Bias s 0.04 da s Var Perbadiga hasil aproksimasi asimtotik dega hasil simulasi sebagai berikut : Bias s Bias s Var s Var s Dega megguaka pemrograma - R (Lampira 4) dapat dilihat pada Gambar. Gambar. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth 0.05 (ii). Utuk s =, maka s s s s s (4).699 Dega = 000 da = 5 serta mesubstitusi ke (6) diperoleh h =0.40 sebagai badwidth optimal. Dega megguaka persamaa (58) da (59) diperoleh aproksimasi bias da Gambar. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth 0.40 (iii). Utuk s = 4., maka s s s s s (4).8978 Dega = 000 da = 5 serta mesubstitusi ke (6) diperoleh h =0.6 sebagai badwidth optimal. Dega megguaka persamaa (58)
24 da (59) diperoleh aproksimasi bias da ragam dari peduga turua pertama, yaitu : Bias s 0.87 da Var s 0. Dega pemrograma-r dilakuka simulasi utuk membagkitka M =000 kali proses Poisso periodik yag salig bebas yag diamati pada iterval [0,000] da megguaka persamaa (56) sebagai fugsi itesitas. Hasil yag diperoleh yaitu Bias s 0.89 da s Var Perbadiga hasil aproksimasi asimtotik dega hasil simulasi sebagai berikut : Bias s Bias s Var s Var s Dega megguaka pemrograma - R (Lampira 4) dapat dilihat pada Gambar 4. Gambar 4. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth 0.6 Dari hasil simulasi di atas, hasil aproksimasi asimtotik utuk bias da ragam peduga turua pertama fugsi itesitas Poisso periodik relatif dekat dega hasil simulasi komputer. Simulasi utuk Bias da Ragam Peduga Turua Kedua Turua kedua dari fugsi (56) yaitu s 8 s s exp cos si s cos 5 (6) Fugsi itesitas s periodik dega periode 5, maka utuk meduga s pada s 0,, kita cukup memperhatika ilaiilai spada s 0,5. Pada simulasi utuk bias da ragam turua kedua diguaka titik s, yaitu s =.9 yag memiliki ilai s yag besar, s = 4.5 yag memiliki ilai s yag sedag da s = 4.9 yag memiliki ilai s yag kecil. Selai itu, dipilih = 000 da megguaka badwidth h optimal yag diperoleh dari MSE s miimum Dega megguaka peduga fugsi itesitas yag didefiisika pada persamaa () da berdasarka Teorema da 4, aproksimasi asimtotik dari bias da ragam pedugaa turua kedua bagi fugsi itesitas adalah sebagai berikut : 4 Bias s s h o h (6) da Var s jika. 4 s s s 5 5 6h 96h 90h o h (64) MSE s Bias s Var s s 5 96h 90 s 4 s h 6h 5 4 s h (65)
25 Utuk memperoleh ilai h optimum maka dilakuka miimisasi persamaa (60) terhadap h, kemudia dievaluasi saat turua pertama berilai ol. Sehigga diperoleh s s 45 s s h h h Hasil Simulasi : (i) Utuk s =.9, maka s s s s s (4).9586 (66) Dega = 000 da = 5 serta mesubstitusi ke (66) diperoleh h =0.065 sebagai badwidth optimal. Dega megguaka persamaa (6) da (64) diperoleh aproksimasi bias da ragam dari peduga turua kedua, yaitu: Bias s.049 da Var Dega pemrograma-r dilakuka simulasi utuk membagkitka M =000 kali proses Poisso periodik yag salig bebas yag diamati pada iterval [0,000] da megguaka persamaa (56) sebagai fugsi itesitas. Hasil yag diperoleh yaitu Bias s da s Var s 0.89 Perbadiga hasil aproksimasi asimtotik dega hasil simulasi sebagai berikut : Bias s Bias s 0.00 Var s Var s 0.07 Dega megguaka pemrograma - R (Lampira 5) dapat dilihat pada Gambar 5. Gambar 5. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth (ii) Utuk s = 4.5, maka s s s Dega = 000 da = 5 serta mesubstitusi ke (66) diperoleh h = sebagai badwidth optimal. Dega megguaka persamaa (6) da (64) diperoleh aproksimasi bias da ragam dari peduga turua kedua, yaitu: Bias s 0.97 da Var s Dega pemrograma-r dilakuka simulasi utuk membagkitka M =000 kali proses Poisso periodik yag salig bebas yag diamati pada iterval [0,000] da megguaka persamaa (56) sebagai fugsi itesitas. Hasil yag diperoleh yaitu Bias s da s Var s s (4).84 Perbadiga hasil aproksimasi asimtotik dega hasil simulasi sebagai berikut : Bias s Bias s Var s Var s 0.00
26 Dega megguaka pemrograma - R (Lampira 5) dapat dilihat pada Gambar 6. Perbadiga hasil aproksimasi asimtotik dega hasil simulasi sebagai berikut: Bias s Bias s 0.76 Var s Var s 0. Dega megguaka pemrograma - R (Lampira 5) dapat dilihat pada Gambar 7. Gambar 6. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth (iii) Utuk s = 4.9, maka s s s s s (4) 8.08 Dega = 000 da = 5 serta mesubstitusi ke (66) diperoleh h =0.747 sebagai badwidth optimal. Dega megguaka persamaa (6) da (64) diperoleh aproksimasi bias da ragam dari peduga turua kedua, yaitu: Bias s.989 da Var s.608 Dega pemrograma-r dilakuka simulasi utuk membagkitka M =000 kali proses Poisso periodik yag salig bebas yag diamati pada iterval [0,000] da megguaka persamaa (56) sebagai fugsi itesitas. Hasil yag diperoleh yaitu Bias s.5786 da s.7489 Var Gambar 7. Grafik (s) da pedugaya pada [0,5] dega badwidth Dari hasil simulasi di atas, hasil aproksimasi asimtotik utuk ragam peduga turua kedua fugsi itesitas Poisso periodik relatif dekat dega hasil simulasi. Namu secara umum hasil aproksimasi asimtotik utuk biasya relatif jauh dega hasil simulasi.
27 KESIMPULAN Pada tulisa ii dikaji suatu metode utuk merumuska peduga turua pertama da turua kedua suatu fugsi itesitas proses Poisso periodik. Utuk tujua ii terlebih dahulu ditetuka peduga bagi fugsi itesitas lokal pada titik s dari proses Poisso periodik dega periode (diketahui) yag diamati pada iterval [0,] yag dirumuska sebagai berikut : s N s k h, s k h h k 0, Dari peduga di atas, kemudia dituruka peduga bagi λ (s) yag dirumuska sebagai: s h s h s h Selajutya dari peduga di atas, dituruka lagi peduga bagi λ (s) yag dirumuska sebagai : s h s h s s 4h Pada ketiga peduga di atas, h disebut badwidth. Pegkajia yag dilakuka mecakup sifat-sifat statistika peduga turua pertama da turua kedua. Dari hasil pegkajia yag dilakuka dapat disimpulka bahwa : (i). Peduga λ (s) merupaka peduga tak bias asimtotik bagi λ (s). (ii). (iii). (iv). Peduga λ (s) merupaka peduga tak bias asimtotik bagi λ (s). (v). (vi). E s s s h o h s s Var s o 4h 6h E s s s h o h s 5 s Var s 5 6h 96h s o 90h h (vii). Hasil aproksimasi asimtotik utuk bias da ragam peduga turua pertama fugsi itesitas Poisso periodik relatif dekat dega hasil simulasi komputer. (viii). Hasil aproksimasi asimtotik utuk ragam peduga turua kedua fugsi itesitas Poisso periodik relatif dekat dega hasil simulasi. Namu secara umum hasil aproksimasi asimtotik utuk biasya relatif jauh dega hasil simulasi. 4 4
28 DAFTAR PUSTAKA Browder A Mathematical Aalysis : A Itroductio. Spriger. New York. Cressie NAC. 99. Statistic for Spatial Data. Revised Editio. Wiley. New York. Dudley RM Real Aalysis ad Probability. Wadsworth & Brooks. Califoria. Durret R Probability : Theory ad Examples. Ed. Ke-. Duxbury Press. New York. Grimmet GR, Stirzaker DR. 99. Probability ad Radom Processes. Ed. ke-. Claredo Press. Oxford. Hogg RV, Graig AT, McKea JW Itroductio to Mathematical Statistics. Ed. Ke-6. Pretice Hall, Eglewood Cliffs. New Jersey. Magku IW. 00. Estimatig the Itesity of a Cyclic Poisso Process (Ph. D. Thesis). Uiversity of Amsterdam, Amsterdam. Ross SM Itroductio to Probability Model. Ed. Ke-9. Academic Press Ic. Orlado, Florida. Serflig RJ Approximatio Theorems of Mathematical Statistic. Joh Wiley & Sos. New York. Taylor HM, Karli S A Itroductio to Stochastic Modellig. Academic Press, Ic. Orlado, Florida. Wheede RL, Zygmud A Measure ad Itegral : A Itroductio to Real Aalysis. Marcel Dekker, Ic. New York.
29 LAMPIRAN
30 Lampira. Pembuktia Lema Lema (Jumlah Peubah Acak Poisso) Misalka X da Y adalah peubah acak yag salig bebas da memiliki sebara Poisso dega parameter berturut-turut λ da λ. Maka X + Y memiliki sebara Poisso dega parameter λ + λ. (Taylor ad Karli 984) Bukti : Dega megguaka atura peluag total (law of total probability), dapat kita yataka k k k0 k! k!( k)! P X Y P X k, Y k k 0 k 0 k 0 P P X k Y k ( X da Y salig bebas) k k e e k 0 k! ( k)! e e! k! k!( k)! k 0 Igat, dega perluasa biomial kita dapat meyataka, utuk setiap iteger positif, k k Sehigga dega mesubstitusika () ke () kita peroleh ruas kaa () adalah e! ( ) k. Betuk () di atas adalah fugsi peluag dari sebara Poisso dega parameter (λ + λ ). () () () Maka Lema terbukti.
31 Lampira. Pembuktia Lema Lema (Pertidaksamaa Chebyshev) Jika X adalah peubah acak dega rataa µ da ragam σ, maka utuk setiap k > 0, P X k k. () (Ross 007) Bukti : Utuk membuktika pertidaksamaa Chebyshev diperluka Pertidaksamaa Markov (Lema 4) berikut : Lema 4 (Pertidaksamaa Markov) Jika X adalah peubah acak dega E(X) terbatas, maka utuk setiap a > 0, P X a E a X. () Bukti : Misalka A X a maka X ai, dega I adalah fugsi idicator dari A, yaitu : I Jika kita tetuka ilai harapaya, maka aka diperoleh A E X E ai, jika X a. 0, jika X a A aei A ap X a. Sehigga diperoleh P Jadi Lema 4 terbukti. X a E a X. Selajutya dega Pertidaksama Markov (Lema 4) maka kita dapat membuktika Lema. P P. X k X k E k X k Jadi Lema terbukti.
32 Lampira. Program Peetua Gambar (s) Radom<-fuctio(,tau) { maxlambda<-5.5 LAB<-(maxlambda)* N<-rpois(,LAB) poits<-ruif(n,0,) lambda<-*exp(cos((*pi*poits)/tau)) p<-lambda/maxlambda p[p<0]< p[p>=]< hold<-rbiom(n,,p)== selected<-poits[hold] retur(selected) } # Membagkitka proses Poisso tak homoge dega = 000 da tau = 5
33 Lampira. (Lajuta) Duga<-fuctio(Data,,titik,bad,tau) { K<-floor((-titik)/tau) vdt<-:k for(k i :K) { pusat<-titik+(k-)*tau bawah<-pusat-bad atas<-pusat+bad sample<-data[data>=bawah&data<=atas] vdt[k]<-legth(sample)/(*bad) } Dugaa<-(sum(vdt)*tau)/ retur(dugaa) } Peduga<-fuctio(Data,,a,b,bad,tau) { x<-seq(a,b,0.) yduga<-seq(a,b,0.) K<-legth(yduga) for(k i :K) { titik<-x[k] yduga[k]<-duga(data,,titik,bad,tau) } retur(yduga) } Gambar<-fuctio(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.) ytrue<-*exp(cos((*pi*x)/tau)) plot(x,ytrue,xlim=c(0,5),ylim=c(0,6),type="l",col=4) par(ew=t) plot(x,yduga,xlim=c(0,5),ylim=c(0,6),type="o",col=6) } # Program meampilka gambar fugsi sebearya vs fugsi dugaa dega a,b adalah batas bawah da batas atas da badwidth 0.8. # Utuk me-ru program: Data<-Radom(,tau) yduga<-peduga(data,,a,b,bad,tau) Gambar<-Gambar(a,b,tau)
34 Lampira 4. Program Peetua Gambar (s) Peduga_tp<-fuctio(Data,,a,b,bad,tau) { x<-seq(a,b,0.) yduga_tp<-seq(a,b,0.) K<-legth(yduga_tp) for(k i :K) { titik<-x[k]+bad titik<-x[k]-bad duga<-duga(data,,titik,bad,tau) duga<-duga(data,,titik,bad,tau) yduga_tp[k]<-((duga-duga)/(*bad)) } retur(yduga_tp) } Grafik<-fuctio(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.) ytrue_tp<-(-4*exp(cos((*pi*x)/tau))*pi*si((*pi*x)/tau))/tau plot(x,ytrue_tp,xlim=c(0,5),ylim=c(-4,4),type="l",col=4) par(ew=t) plot(x,yduga_tp,xlim=c(0,5),ylim=c(-4,4),type="o",col=6) } # Program meampilka gambar fugsi sebearya vs fugsi dugaa dega a,b adalah batas bawah da batas atas da badwidth 0.05, 0.40, da 0.6. # Utuk me-ru program: Data<-Radom(,tau) yduga_tp<-peduga_tp(data,,a,b,bad,tau) Gambar<-Grafik(a,b,tau)
35 Lampira 5. Program Peetua Gambar (s) Peduga_tk<-fuctio(Data,,a,b,bad,tau) { x<-seq(a,b,0.) yduga_tk<-seq(a,b,0.) K<-legth(yduga_tk) for(k i :K) { titik4<-x[k]+(*bad) titik5<-x[k]-(*bad) titik6<-x[k] duga<-duga(data,,titik4,bad,tau) duga4<-duga(data,,titik5,bad,tau) duga5<-duga(data,,titik6,bad,tau) yduga_tk[k]<-((duga+duga4-(*duga5))/(4*(bad)^)) } retur(yduga_tk) } Kurva<-fuctio(a,b,tau) { x<-seq(a,b,0.) ytrue_tk<-((8*pi^* exp(cos((*pi*x)/tau))* si((*pi*x)/tau)^)/(tau^))-( 8*pi^* exp(cos((*pi*x)/tau))* cos((*pi*x)/tau))/(tau^) plot(x,ytrue_tk,xlim=c(0,5),ylim=c(-8,5),type="l",col=4) par(ew=t) plot(x,yduga_tk,xlim=c(0,5),ylim=c(-8,5),type="o",col=6) } # Program meampilka gambar fugsi sebearya vs fugsi dugaa dega a,b adalah batas bawah da batas atas serta badwidth 0.065, , da # Utuk me-ru program: Data<-Radom(,tau) yduga_tk<-peduga_tk(data,,a,b,bad,tau) Gambar<-Kurva(a,b,tau)
36 Lampira 6. Program Peetua Nilai Harapa da Ragam Turua Pertama da Kedua Peduga<-fuctio(,titik,bad,tau,M) { Dugaa<-:M for(m i :M) { Data<-Radom(,tau) Dugaa[m]<-Duga(Data,,titik,bad,tau) } retur(dugaa) } Peduga<-fuctio(,titik,bad,tau,M) { titik<-titik+bad titik<-titik-bad Dugaa_Turua<-:M for(m i :M) { Data<-Rph(,tau) Dugaa<-Duga(Data,,titik,bad,tau) Dugaa<-Duga(Data,,titik,bad,tau) Dugaa_Turua[m]<-((Dugaa-Dugaa)/(*bad)) } retur(dugaa_turua) } Peduga<-fuctio(,titik,bad,tau,M) { titik<-titik+(*bad) titik4<-titik-(*bad) Dugaa_Turua<-:M for(m i :M) { Data<-Rph(,tau) Dugaa<-Duga(Data,,titik,bad,tau) Dugaa<-Duga(Data,,titik,bad,tau) Dugaa4<-Duga(Data,,titik4,bad,tau) Dugaa_Turua[m]<-((Dugaa+Dugaa4-(*Dugaa))/(4*(bad)^)) } retur(dugaa_turua) }
37 # Utuk mecari ilai harapa da ragam turua pertama dega ilai s = 0.8, s = da s = 4. dega ilai badwidth-ya masig-masig. Dugaa_Turua<-Peduga(,titik,bad,tau,M) Nilai_Harapa<-mea(Dugaa_Turua) Ragam<-(sd(Dugaa_Turua))^ # Utuk mecari ilai harapa da ragam turua kedua dega ilai s =.9, s = 4. da s = 4.9 dega ilai badwidth-ya masig-masig. Dugaa_Turua<-Peduga(,titik,bad,tau,M) Nilai_Harapa<-mea(Dugaa_Turua) Ragam<-(sd(Dugaa_Turua))^
LANDASAN TEORI. Secara umum, himpunan kejadian A i ; i I dikatakan saling bebas jika: Ruang Contoh, Kejadian, dan Peluang
2 LANDASAN TEORI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Percobaa acak adalah suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak dapat diprediksi secara tepat tetapi dapat diketahui semua
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Defiisi.1 (Ruag cotoh da kejadia) Suatu percobaa yag dapat diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya tidak bisa diprediksi secara tepat tetapi
Lebih terperinciPENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN PEPI RAMDANI
PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN PEPI RAMDANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciBukti : Dengan menggunakan aturan peluang total (law of total probability), dapat kita nyatakan. e e n. n k
LAMPIRAN Lampiran 1. Pembuktian Lema 1 Lema 1 (Jumlah Peubah Acak Poisson) Misalkan X dan Y adalah peubah acak yang saling bebas dan memiliki sebaran Poisson dengan parameter berturut-turut λ 1 dan λ.
Lebih terperinciPENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR WALIDATUSH SHOLIHAH G
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLOBAL DARI PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR WALIDATUSH SHOLIHAH G54338 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Lebih terperinciBAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA
BAB III PERUMUSAN PENDUGA DAN SIFAT SIFAT STATISTIKNYA 3. Perumusa Peduga Misalka N adala proses Poisso o omoge pada iterval [, dega fugsi itesitas yag tidak diketaui. Fugsi ii diasumsika teritegralka
Lebih terperinciSEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN KEDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODIK ZAENAL ARIFIN
SEBARAN ASIMTOTI PENDUGA TURUNAN PERTAMA DAN TURUNAN EDUA DARI FUNGSI INTENSITAS SUATU PROSES POISSON PERIODI ZAENAL ARIFIN SEOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 008 PERNYATAAN MENGENAI TESIS
Lebih terperinciDistribusi Pendekatan (Limiting Distributions)
Distribusi Pedekata (Limitig Distributios) Ada 3 tekik utuk meetuka distribusi pedekata: 1. Tekik Fugsi Distribusi Cotoh 2. Tekik Fugsi Pembagkit Mome Cotoh 3. Tekik Teorema Limit Pusat Cotoh Fitriai Agustia,
Lebih terperinciSEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN CASMAN
SEBARAN ASIMTOTIK PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN KUADRATIK PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN CASMAN SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 77-85, Agustus 2003, ISSN : DISTRIBUSI WAKTU BERHENTI PADA PROSES PEMBAHARUAN
JURAL MATEMATKA DA KOMPUTER Vol. 6. o., 77-85, Agustus 003, SS : 40-858 DSTRBUS WAKTU BERHET PADA PROSES PEMBAHARUA Sudaro Jurusa Matematika FMPA UDP Abstrak Dalam proses stokhastik yag maa kejadia dapat
Lebih terperinciBeberapa Definisi Ruang Contoh Kejadian dan Peluang Definisi L.1 (Ruang contoh dan kejadian) . Definisi L.2 (Kejadian lepas )
33 LAMPIRAN 34 35 Beberapa Defiisi Ruag Cooh Kejadia da Peluag Suau percobaa yag dapa diulag dalam kodisi yag sama, yag hasilya idak dapa diprediksi dega epa eapi kia bisa megeahui semua kemugkia hasil
Lebih terperinciPENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN PENDAHULUAN
PENDUGAAN KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK FUNGSI PERIODIK KALI TREN LINEAR SUATU PROSES POISSON NON-HOMOGEN W. ISMAYULIA, I W. MANGKU, SISWANDI Abstrat I tis mausript, estimatio of te periodi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dibahas tentang teori-teori dasar yang. digunakan untuk dalam mengestimasi parameter model.
BAB II LANDASAN TEORI Pada bagia ii aka dibahas tetag teori-teori dasar yag diguaka utuk dalam megestimasi parameter model.. MATRIKS DAN VEKTOR Defiisi : Trace dari matriks bujur sagkar A a adalah pejumlaha
Lebih terperinciHUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN
Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 0 6 ISSN : 2303 290 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND HUBUNGAN ANTARA KONVERGEN HAMPIR PASTI, KONVERGEN DALAM PELUANG, DAN KONVERGEN DALAM SEBARAN VIRA AGUSTA, DODI
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang. Universitas Sumatera Utara
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Salah satu pera da fugsi statistik dalam ilmu pegetahua adalah sebagai. alat aalisis da iterpretasi data kuatitatif ilmu pegetahua, sehigga didapatka suatu kesimpula
Lebih terperinciKEKONSISTENAN PENDUGA KOMPONEN PERIODIK FUNGSI INTENSITAS BERBENTUK PERKALIAN FUNGSI PERIODIK DENGAN TREN KUADRATIK PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN
EONSISTENAN PENDUGA OMPONEN PERIODI FUNGSI INTENSITAS BERBENTU PERALIAN FUNGSI PERIODI DENGAN TREN UADRATI PADA PROSES POISSON NON HOMOGEN TASLIM SEOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 0 PERNYATAAN
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Nurdinintya Athari (NDT)
BARISAN DAN DERET Nurdiitya Athari (NDT) BARISAN Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) = a Fugsi tersebut dikeal sebagai barisa bilaga
Lebih terperinciProgram Perkuliahan Dasar Umum Sekolah Tinggi Teknologi Telkom. Barisan dan Deret
Program Perkuliaha Dasar Umum Sekolah Tiggi Tekologi Telkom Barisa da Deret Barisa Defiisi Barisa bilaga didefiisika sebagai fugsi dega daerah asal merupaka bilaga asli. Notasi: f: N R f( ) a Fugsi tersebut
Lebih terperinciLIMIT. = δ. A R, jika dan hanya jika ada barisan. , sedemikian hingga Lim( a n
LIMIT 4.. FUNGSI LIMIT Defiisi 4.. A R Titik c R adalah titik limit dari A, jika utuk setiap δ > 0 ada palig sedikit satu titik di A, c sedemikia sehigga c < δ. Defiisi diatas dapat disimpulka dega cara
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai penaksiran besarnya
5 BAB II LANDASAN TEORI Dalam tugas akhir ii aka dibahas megeai peaksira besarya koefisie korelasi atara dua variabel radom kotiu jika data yag teramati berupa data kategorik yag terbetuk dari kedua variabel
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakag Masalah Itegral adalah salah satu kosep petig dalam Matematika yag dikemukaka pertama kali oleh Isac Newto da Gottfried Wilhelm Leibiz pada akhir abad ke-17. Selajutya
Lebih terperinciPENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN METODE BAYES
Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. 4 Hal. 52 59 ISSN : 233 29 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PENDUGAAN PARAMETER DARI DISTRIBUSI POISSON DENGAN MENGGUNAKAN METODE MAXIMUM LIKEHOOD ESTIMATION (MLE) DAN
Lebih terperinciI. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT
I. DERET TAKHINGGA, DERET PANGKAT. Pedahulua Pembahasa tetag deret takhigga sebagai betuk pejumlaha suku-suku takhigga memegag peraa petig dalam fisika. Pada bab ii aka dibahas megeai pegertia deret da
Lebih terperinciPEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI KARAKTERISTIK
Jural Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 71 75 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND PEMBUKTIAN TEOREMA HUKUM LEMAH BILANGAN BESAR DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI KARAKTERISTIK SUCI SARI WAHYUNI,
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Matematika merupakan suatu ilmu yang mempunyai obyek kajian
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakag Masalah Matematika merupaka suatu ilmu yag mempuyai obyek kajia abstrak, uiversal, medasari perkembaga tekologi moder, da mempuyai pera petig dalam berbagai disipli,
Lebih terperinciHendra Gunawan. 12 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 82 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Didalam melakuka kegiata suatu alat atau mesi yag bekerja, kita megeal adaya waktu hidup atau life time. Waktu hidup adalah lamaya waktu hidup suatu kompoe atau uit pada
Lebih terperinciLampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis
DAFTAR PUSTAKA Browder, A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. Springer. New York. Dudley, R.M. 1989. Real Analysis and Probability. Wadsworth & Brooks. California. Durret, R. 1996. Probability
Lebih terperinci9 Departemen Statistika FMIPA IPB
Supleme Resposi Pertemua ANALISIS DATA KATEGORIK (STK351 9 Departeme Statistika FMIPA IPB Pokok Bahasa Sub Pokok Bahasa Referesi Waktu Pegatar Aalisis utuk Data Respo Kategorik Data respo kategorik Sebara
Lebih terperinciBAB III RUANG HAUSDORFF. Pada bab ini akan dibahas mengenai ruang Hausdorff, kekompakan pada
8 BAB III RUANG HAUSDORFF Pada bab ii aka dibahas megeai ruag Hausdorff, kekompaka pada ruag Hausdorff da ruag regular legkap. Pembahasa diawali dega medefiisika Ruag Hausdorff da beberapa sifatya kemudia
Lebih terperinciSecara umum, suatu barisan dapat dinyatakan sebagai susunan terurut dari bilangan-bilangan real:
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, suatu barisa dapat diyataka sebagai susua terurut dari bilaga-bilaga real: u 1, u 2, u 3, Barisa tak higga merupaka suatu fugsi dega domai berupa himpua bilaga bulat positif
Lebih terperinciBarisan. Barisan Tak Hingga Kekonvergenan barisan tak hingga Sifat sifat barisan Barisan Monoton. 19/02/2016 Matematika 2 1
Barisa Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 9/0/06 Matematika Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka susua dari bilaga bilaga yag urutaya berdasarka bilaga
Lebih terperincimempunyai sebaran yang mendekati sebaran normal. Dalam hal ini adalah PKM (penduga kemungkinan maksimum) bagi, ˆ ˆ adalah simpangan baku dari.
Selag Kepercayaa Cotoh Besar Jika ukura cotoh (sample size) besar, maka meurut Teorema Limit Pusat, bayak statistik megikuti/mempuyai sebara yag medekati ormal (dapat diaggap ormal). Artiya jika adalah
Lebih terperinci,n N. Jelas barisan ini terbatas pada dengan batas M =: 1, dan. barisan ini kovergen ke 0.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNMUH PONOROGO SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER GENAP TA 03/04 Mata Ujia : Aalisis Real Tipe Soal : REGULER Dose : Dr. Jula HERNADI Waktu : 90 meit Hari, Taggal : Selasa,
Lebih terperinciII LANDASAN TEORI. Sebuah bilangan kompleks dapat dinyatakan dalam bentuk. z = x jy. (2.4)
3 II LANDASAN TEORI 2.1 Peubah Kompleks da Fugsi Kompleks Sebuah bilaga kompleks dapat diyataka dalam betuk z = x + jy, (2.1) dega x da y adalah bilaga-bilaga real da j = 1. Bilaga x disebut bagia real
Lebih terperinciSelang Kepercayaan (Confidence Interval) Pengantar Penduga titik (point estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumnya. Walau statistikawan
Selag Kepercayaa (Cofidece Iterval) Pegatar Peduga titik (poit estimator) telah dibahas pada kuliah-kuliah sebelumya. Walau statistikawa telah berusaha memperoleh peduga titik yag baik, amu hampir bisa
Lebih terperinciStatistika dibagi menjadi dua, yaitu: 1. Statistika Deskriftif 2. Statistik Inferensial Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:
Peaksira Parameter Statistika dibagi mejadi dua yaitu:. Statistika Deskriftif 2. Statistik Iferesial Pearika kesimpula dapat dilakuka dega dua cara yaitu:. Peaksira Parameter 2. Pegujia Hipotesis Peaksira
Lebih terperinciDefinisi Integral Tentu
Defiisi Itegral Tetu Bila kita megedarai kedaraa bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dega kecepata 50 km / jam, berapa jarak yag ditempuh? Tetu saja jawabya sagat mudah yaitu 50 x 4 = 200 km.
Lebih terperinciIII PEMBAHASAN. λ = 0. Ly = 0, maka solusi umum dari persamaan diferensial (3.3) adalah
III PEMBAHASAN Pada bagia ii aka diformulasika masalah yag aka dibahas. Solusi masalah aka diselesaika dega Metode Dekomposisi Adomia. Selajutya metode ii aka diguaka utuk meyelesaika model yag diyataka
Lebih terperinci2 BARISAN BILANGAN REAL
2 BARISAN BILANGAN REAL Di sekolah meegah barisa diperkealka sebagai kumpula bilaga yag disusu meurut "pola" tertetu, misalya barisa aritmatika da barisa geometri. Biasaya barisa da deret merupaka satu
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. 2. P bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan. 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
II. LANDASAN TEORI 2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Dalam suatu percobaan sering kali diperlukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul akan
Lebih terperinciKalkulus Rekayasa Hayati DERET
Kalkulus Rekayasa Hayati DERET 1 Isi Bab Pedahulua Barisa tak-higga Deret tak-higga Deret Positif : Uji kekovergea Deret Gati Tada Deret Pagkat Deret Taylor da Maclauri 2 Kompetesi Dasar Setelah megikuti
Lebih terperinciStatistika Matematika. Soal dan Pembahasan. M. Samy Baladram
Statistika Matematika Soal da embahasa M Samy Baladram Bab 4 Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios Ubiasedess, Cosistecy, ad Limitig istributios 41 Ekspektasi Fugsi Key oits Ṫeorema 411 Jika T
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB ENDAHULUAN. Latar Belakag Masalah Dalam kehidupa yata, hampir seluruh feomea alam megadug ketidak pastia atau bersifat probabilistik, misalya pergeraka lempega bumi yag meyebabka gempa, aik turuya
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA Pengertian
TINJAUAN PUSTAKA Pegertia Racaga peelitia kasus-kotrol di bidag epidemiologi didefiisika sebagai racaga epidemiologi yag mempelajari hubuga atara faktor peelitia dega peyakit, dega cara membadigka kelompok
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT
Jural Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 12 22 ISSN : 2303 2910 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT FUNGSI EKSPONENSIAL BERBASIS BILANGAN NATURAL YANG DIDEFINISIKAN SEBAGAI LIMIT ENIVA RAMADANI
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN II. LANDASAN TEORI
I PENDAHULUAN 1 Latar belakag Model pertumbuha Solow-Swa (the Solow-Swa growth model) atau disebut juga model eoklasik (the eo-classical model) pertama kali dikembagka pada tahu 195 oleh Robert Solow da
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Secara umum apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat = +, 0 <
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Keterbagia Secara umum apabila a bilaga bulat da b bilaga bulat positif, maka ada tepat satu bilaga bulat q da r sedemikia sehigga : = +, 0 < dalam hal ii b disebut hasil bagi
Lebih terperinciPENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN
PENGGGUNAAN ALGORITMA GAUSS-NEWTON UNTUK MENENTUKAN SIFAT-SIFAT PENAKSIR PARAMETER DAN DALAM SUATU MODEL NON-LINIER Abstrak Nur ei 1 1, Jurusa Matematika FMIPA Uiversitas Tadulako Jl. Sukaro-Hatta Palu,
Lebih terperinciHimpunan/Selang Kekonvergenan
oki eswa (fmipa-itb) Deret Pagkat Kita aka mempelajari beberapa tehik utuk meyajika suatu fugsi f (x) dalam betuk deret pagkat (power series), yaitu meetuka derat pagkat c (x a) sehigga f (x) = c (x a)
Lebih terperinciPendugaan Selang: Metode Pivotal Langkah-langkahnya 1. Andaikan X1, X
Pedugaa Selag: Metode Pivotal Lagkah-lagkahya 1. Adaika X1, X,..., X adalah cotoh acak dari populasi dega fugsi kepekata f( x; ), da parameter yag tidak diketahui ilaiya. Adaika T adalah peduga titik bagi..
Lebih terperinciBAB 3 METODE PENELITIAN
Sedagka itegrasi ruas kaa utuk ersamaa (3b) diperoleh ds / = S... (36) Dega demikia pesamaa yag harus dipecahka adalah l 1 1 u u = S (37) Dari ersamaa (37) diperoleh persamaa utuk u u S = exp S 1exp S...
Lebih terperinciPENDUGA RASIO UNTUK RATA-RATA POPULASI MENGGUNAKAN KUARTIL VARIABEL BANTU PADA PENGAMBILAN SAMPEL ACAK SEDERHANA DAN PENGATURAN PERINGKAT MEDIAN
PEDUGA RASIO UTUK RATA-RATA POPULASI MEGGUAKA KUARTIL VARIABEL BATU PADA PEGAMBILA SAMPEL ACAK SEDERHAA DA PEGATURA PERIGKAT MEDIA ur Khasaah, Etik Zukhroah, da Dewi Reto Sari S. Prodi Matematika Fakultas
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. 05/12/2016 Matematika Teknik 1 1
BARISAN DAN DERET 05//06 Matematika Tekik BARISAN Barisa Tak Higga Kekovergea barisa tak higga Sifat sifat barisa Barisa Mooto 05//06 Matematika Tekik Barisa Tak Higga Secara sederhaa, barisa merupaka
Lebih terperinciMA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan
MA1201 MATEMATIKA 2A Hedra Guawa Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017 Bab Sebelumya 8. Betuk Tak Tetu da Itegral Tak Wajar 8.1 Betuk Tak Tetu 0/0 8.2 Betuk Tak Tetu Laiya 8.3 Itegral Tak Wajar dg Batas
Lebih terperinciDeret Fourier. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Deret Fourier Prof. Dr. Bambag Soedijoo P PENDAHULUAN ada modul ii dibahas masalah ekspasi deret Fourier Sius osius utuk suatu fugsi periodik ataupu yag diaggap periodik, da dibahas pula trasformasi
Lebih terperinciPENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Lebih terperinciStatistika Inferensia: Pendugaan Parameter. Dr. Kusman Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 2015
Statistika Iferesia: Pedugaa Parameter Dr. Kusma Sadik, M.Si Dept. Statistika IPB, 05 Populasi : Parameter Sampel : Statistik Statistik merupaka PENDUGA bagi parameter populasi Pegetahua megeai distribusi
Lebih terperinciTEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL
Jural UJMC, Volume 3, Nomor, Hal. - 6 pissn : 460-3333 eissn : 579-907X TEOREMA WEYL UNTUK OPERATOR HYPONORMAL Guawa Uiversitas Muhammadiyah Purwokerto, gu.oge@gmail.com Abstract This paper aims at describig
Lebih terperinciJURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, , Agustus 2003, ISSN : METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT
Vol. 6. No., 97-09, Agustus 003, ISSN : 40-858 METODE PENENTUAN BENTUK PERSAMAAN RUANG KEADAAN WAKTU DISKRIT Robertus Heri Jurusa Matematika FMIPA UNDIP Abstrak Tulisa ii membahas peetua persamaa ruag
Lebih terperinciDistribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir
BAB 1 Distribusi Sampel, Likelihood da Peaksir 1.1 Sampel Acak Misalka X 1, X 2,..., X sampel acak berukura (radom sample of size ). Fugsi peluag -variat ya adalah f X1,X 2,,X (x 1, x 2,..., x ) = f Xi
Lebih terperinciBAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS
BAB VIII KONSEP DASAR PROBABILITAS 1.1. Pedahulua Dalam pertemua ii Ada aka mempelajari beberapa padaga tetag permutasi da kombiasi, fugsi da metode perhituga probabilitas, da meghitug probabilitas. Pada
Lebih terperinciPENAKSIR RANTAI RASIO DAN RANTAI PRODUK YANG EFISIEN UNTUK MENAKSIR RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA
PENAKSIR RANTAI RASIO DAN RANTAI PRODUK YANG EFISIEN UNTUK MENAKSIR RATA-RATA POPULASI PADA SAMPLING ACAK SEDERHANA V. M. Vidya *, Bustami, R. Efedi Mahasiswa Program S Matematika Dose Jurusa Matematika
Lebih terperinciPENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR
PENERAPAN TEOREMA TITIK TETAP UNTUK MENUNJUKKAN ADANYA PENYELESAIAN PADA SISTEM PERSAMAAN LINEAR Nur Aei Prodi Matematika, FST-UINAM uraeiatullah@gmail.com Ifo: Jural MSA Vol. 3 No. 2 Edisi: Juli Desember
Lebih terperinci1 n MODUL 5. Peubah Acak Diskret Khusus
ODUL 5 Peubah Acak Diskret Khusus Terdapat beberapa peubah acak diskret khusus yag serig mucul dalam aplikasi. Peubah Acak Seragam ( Uiform) Bila X suatu peubah acak diskret dimaa setiap eleme dari X mempuyai
Lebih terperinci6. Pencacahan Lanjut. Relasi Rekurensi. Pemodelan dengan Relasi Rekurensi
6. Pecacaha Lajut Relasi Rekuresi Relasi rekuresi utuk dereta {a } adalah persamaa yag meyataka a kedalam satu atau lebih suku sebelumya, yaitu a 0, a,, a -, utuk seluruh bilaga bulat, dega 0, dimaa 0
Lebih terperinciPENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN PELUANG GAMMA. Oleh: MERYALDI G
PENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN PELUANG GAMMA Oleh: MERYALDI G5400 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 006 PENDUGA KEPEKATAN KERNEL
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa istilah, definisi serta konsep-konsep yang
II. LANDASAN TEORI Pada bab ii aka diberika beberapa istilah, defiisi serta kosep-kosep yag medukug dalam peelitia ii. 2.1 Kosep Dasar Teori Graf Berikut ii aka diberika kosep dasar teori graf yag bersumber
Lebih terperinciPENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT
Prosidig Semiar Nasioal Matematika da Terapaya 06 p-issn : 0-0384; e-issn : 0-039 PENENTUAN SOLUSI RELASI REKUREN DARI BILANGAN FIBONACCI DAN BILANGAN LUCAS DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI PEMBANGKIT Liatus
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI.1 Distribusi Ekspoesial Fugsi ekspoesial adalah salah satu fugsi yag palig petig dalam matematika. Biasaya, fugsi ii ditulis dega otasi exp(x) atau e x, di maa e adalah basis logaritma
Lebih terperincib. Penyajian data kelompok Contoh: Berat badan 30 orang siswa tercatat sebagai berikut:
Statistik da Peluag A. Statistik Statistik adalah metode ilmiah yag mempelajari cara pegumpula, peyusua, pegolaha, da aalisis data, serta cara pegambila kesimpula berdasarka data-data tersebut. Data ialah
Lebih terperinciB a b 1 I s y a r a t
34 TKE 315 ISYARAT DAN SISTEM B a b 1 I s y a r a t (bagia 3) Idah Susilawati, S.T., M.Eg. Program Studi Tekik Elektro Fakultas Tekik da Ilmu Komputer Uiversitas Mercu Buaa Yogyakarta 29 35 1.5.2. Isyarat
Lebih terperincioleh hasil kali Jika dan keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
Itegral etu Jika fugsi kotiu yag didefiisika utuk, kita bagi selag mejadi selag bagia berlebar sama Misalka berupa titik ujug selag bagia ii da pilih titik sampel di dalam selag bagia ii, sehigga terletak
Lebih terperinciKEKONVERGENAN MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA. Fitriani Agustina, Math, UPI
KEKONVERGENAN MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA Fitriai Agustia, Math, UPI 1 Fiacial Derivative Opsi Mafaat Opsi Opsi Eropa Peetua Harga Opsi Kekovergea Model Biomial Fitriai Agustia, Math,
Lebih terperinciPENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart
Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 2 Jui 2012 PENGGUNAAN METODE BAYESIAN OBYEKTIF DALAM PEMBUATAN GRAFIK PENGENDALI p-chart Adi Setiawa
Lebih terperinciREPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA
Jural Matematika UNAND Vol. 3 No. Hal. 7 34 ISSN : 33 9 c Jurusa Matematika FMIPA UNAND REPRESENTASI KANONIK UNTUK FUNGSI KARAKTERISTIK DARI SEBARAN TERBAGI TAK HINGGA EKA RAHMI KAHAR, DODI DEVIANTO Program
Lebih terperinciHALAMAN Dengan definisi limit barisan buktikan limit berikut ini : = 0. a. lim PENYELESAIAN : jadi terbukti bahwa lim = 0 = 5. b.
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim =
Lebih terperinciBAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET
BAB VII RANDOM VARIATE DISTRIBUSI DISKRET Diskret radom variabel dapat diguaka utuk berbagai radom umber yag diambil dalam betuk iteger. Pola kebutuha ivetori (persediaa) merupaka cotoh yag serig diguaka
Lebih terperinciFungsi Kompleks. (Pertemuan XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Fugsi Kompleks (Pertemua XXVII - XXX) Dr. AZ Jurusa Tekik Sipil Fakultas Tekik Uiversitas Brawijaya Pedahulua Persamaa x + 1 = 0 tidak memiliki akar dalam himpua bilaga real. Pertayaaya,
Lebih terperinciBAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP. Permasalahan dalam tugas akhir ini dibatasi hanya pada penaksiran
BAB III TAKSIRAN KOEFISIEN KORELASI POLYCHORIC DUA TAHAP Permasalaha dalam tugas akhir ii dibatasi haya pada peaksira besarya koefisie korelasi polychoric da tidak dilakuka peguia terhadap koefisie korelasi
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Model Pertumbuha Betuk ugsi pertumbuha satu jeis spesies pada umumya megguaka otasi ugsi aalitik yag diyataka dalam satu persamaa. Secara umum ugsi pertumbuha meyataka hubuga
Lebih terperinciBAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI
BAB 3 ENTROPI DARI BEBERAPA DISTRIBUSI Utuk lebih memahami megeai etropi, pada bab ii aka diberika perhituga etropi utuk beberapa distribusi diskrit da kotiu. 3. Distribusi Diskrit Pada sub bab ii dibahas
Lebih terperinciBARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA
BARIAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA Bajar/Barisa Tak Higga Barisa tak higga { } adalah suatu fugsi dari dimaa daerah domaiya adalah himpua bilaga bulat positif (bilaga asli). Cotoh: Bila.. maka fugsi
Lebih terperinciTUGAS ANALISIS REAL LANJUT. a b < a + A. b + B < A B.
TUGAS ANALISIS REAL LANJUT NOVEMBER 207 () (a) Jika b > 0, B > 0, da a b < A, buktika ab < ba. Kemudia buktika B a b < a + A b + B < A B. (b) Buktika [ 2 (a + b)] 2 2 (a2 + b 2 ). Kemudia tujukka bahwa
Lebih terperinciDISTRIBUSI KHUSUS YANG DIKENAL
0 DISTRIBUSI KHUSUS YANG DIKENAL Kita sudah membahas fugsi peluag atau fugsi desitas, baik defiisiya maupu sifatya. Fugsi peluag atau fugsi desitas ii merupaka ciri dari sebuah distribusi, artiya fugsi
Lebih terperinciModul Kuliah statistika
Modul Kuliah statistika Dose: Abdul Jamil, S.Kom., MM SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER MUHAMMADIYAH JAKARTA Bab 2 Populasi da Sampel 2.1 Populasi Populasi merupaka keseluruha pegamata
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Statistika iferesi merupaka salah satu cabag statistika yag bergua utuk meaksir parameter. Peaksira dapat diartika sebagai dugaa atau perkiraa atas sesuatu yag aka terjadi
Lebih terperinciMata Kuliah : Matematika Diskrit Program Studi : Teknik Informatika Minggu ke : 4
Program Studi : Tekik Iformatika Miggu ke : 4 INDUKSI MATEMATIKA Hampir semua rumus da hukum yag berlaku tidak tercipta dega begitu saja sehigga diraguka kebearaya. Biasaya, rumus-rumus dapat dibuktika
Lebih terperinciISIAN SINGKAT! 1. Diberikan hasil kali digit digit dari n harus sama dengan 25
head office : Kompleks Sawaga Permai Blok A5 No.1A, Sawaga, Depok 16511 Telp.01-951 1160. cotact perso : 0-878787-1-8585 / 081-8691-10 Bidag Studi Kode Berkas Waktu : Matematika : MA-L01 (solusi) : 90
Lebih terperinciPendugaan Parameter. Debrina Puspita Andriani /
Pedugaa Parameter 7 Debria Puspita Adriai E-mail : debria.ub@gmail.com / debria@ub.ac.id Outlie Pedahulua Pedugaa Titik Pedugaa Iterval Pedugaa Parameter: Kasus Sampel Rataa Populasi Pedugaa Parameter:
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum
BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme
Lebih terperinciPERTEMUAN 13. VEKTOR dalam R 3
PERTEMUAN VEKTOR dalam R Pegertia Ruag Vektor Defiisi R Jika adalah sebuah bilaga bulat positif, maka tupel - - terorde (ordered--tuple) adalah sebuah uruta bilaga riil ( a ),a,..., a. Semua tupel - -terorde
Lebih terperinciTEORI ANTRIAN. Gambar 1 Proses antrian pada suatu sistem antrian
TEORI ANTRIAN Teori atria merupaka studi matematis megeai atria atau waitig lies yag di dalamya disediaka beberapa alteratif model matematika yag dapat diguaka utuk meetuka beberapa karakteristik da optimasi
Lebih terperinciKEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH
KEKONSISTENAN PENDUGA FUNGSI SEBARAN DAN FUNGSI KEPEKATAN PELUANG WAKTU TUNGGU PROSES POISSON PERIODIK DENGAN TREN LINEAR TITA ROBIAH AL ADAWIYAH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciPENAKSIR BAYES UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN FUNGSI KERUGIAN ENTROPI
PENAKSIR BAYES UNTUK PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL BERDASARKAN FUNGSI KERUGIAN KUADRATIK DAN FUNGSI KERUGIAN ENTROPI Nadya Zulfa Negsih, Bustami Mahasiswa Program Studi S Matematika Dose Jurusa Matematika
Lebih terperinciterurut dari bilangan bulat, misalnya (7,2) (notasi lain 2
Bab Bilaga kompleks BAB BILANGAN KOMPLEKS Defiisi Bilaga Kompleks Sebelum medefiisika bilaga kompleks, pembaca diigatka kembali pada permasalah dalam sistem bilaga yag telah dikeal sebelumya Yag pertama
Lebih terperinciSolusi Numerik Persamaan Transport
Solusi Numerik Persamaa Trasport M. Jamhuri December 16, 2013 Diberika persamaa Trasport u t + 2u x = 0 1) Diberika persamaa Trasport u t + 2u x = 0 1) Diskretka persamaa trasport 1) dega megguaka persamaa
Lebih terperinciDistribusi Sampel & Statistitik Terurut
Distribusi Sampel & Statistitik Terurut Sampel Acak, Rataa sampel, X-bar, Variasi sampel, S, Teorema Limit Pusat, Distribusi t,, F Statistik Terurut MA 3181 Teori Peluag 11 November 014 Utriwei Mukhaiyar
Lebih terperinciBab 3 Metode Interpolasi
Baha Kuliah 03 Bab 3 Metode Iterpolasi Pedahulua Iterpolasi serig diartika sebagai mecari ilai variabel tergatug tertetu, misalya y, pada ilai variabel bebas, misalya, diatara dua atau lebih ilai yag diketahui
Lebih terperinciMETODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA. Jonas Lodewyk H 1, Zulkarnain 2 ABSTRACT
METODE SIMPSON TERMODIFIKASI UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA LINEAR JENIS KEDUA Joas Lodewyk H 1, Zulkarai 1 Mahasiswa Program Studi S1 Matematika Dose Jurusa Matematika Fakultas Matematika
Lebih terperinci