Prosdg SPMIP. pp. 4-46, 6 ISBN : 979.74.47. PERKEMBNGN ESTIMTOR DENSITS NON PRMETRIK DN PLIKSINY Hasb Yas, Supart Staf PS Statsta, urusa Matemata, FMIP, UNDIP l. Prof. Sudarto, Kampus UNDIP Tembalag, Semarag bstra: a X =,,, data pegamata depede dar suatu dtrbus yag ta detahu fugs destasya maa fugs destas f dapat destmas dega pedeata parametr da o parametr. Pedeata parametr dlaua a asums betu f detahu, sedaga pedeata o parametr dlaua a asums betu f ta detahu. Dalam pedeata o parametr, fugs f dasumsa merupaa fugs mulus atau tertegrala secara uadrat. Beberapa pedeata o parametr dataraya dega metode hstogram, metode erel, metode Fourer da metode wavelet. Suatu uura ebaa dar estmator dapat dlhat dar tgat peurua IMSE ya (Itegral dar rata-rata umlah uadrat). Estmator wavelet mempuya IMSE optmal yag lebh cepat meuu ol dar estmator Fourer tetap sama cepatya dega estmator erel. Mespu mempuya IMSE yag sama cepat dega metode erel amu metode wavelet mempuya euggula dalam megestmas fugs ba yag bersfat mulus maupu tda mulus. Kata Kuc: estmator destas, o parametr PENDHULUN a dbera data pegamata depede X =,,,, utu meetua dstrbus dar X evale dega meetua fugs destasya. Utu megestmas fugs destas f dapat dlaua dega dua pedeata yatu pedeata parametr da o parametr. Pedeata parametr dlaua a asums betu f detahu da tergatug pada suatu parameter, sehgga megestmas f evale dega megestmas parameterya, sedaga pedeata o parametr dlaua a asums betu f tda detahu. Dalam hal dasumsa bahwa fugs f termuat dalam elas fugs mulus dalam art mempuya turua otu atau tertegrala secara uadrat. Dalam tulsa dbahas tetag perembaga estmator destas o parametr, sfat-sfat da cotoh aplasya dega program S-Plus for Wdows. PEMBHSN Estmator Hstogram Metode las yag palg populer utu megetahu betu fugs destas adalah metode hstogram. Suatu hstogram dsusu dega meletaa tt-tt data e dalam suatu b atau elas. Setap b dyataa secara graf oleh seg empat dega lebar sama da tgg proporsoal dega bayaya tt-tt data yag terleta dalam b terat. B dtetua dega memlh tt awal x da lebar b (bwdth) h. Utu sembarag teger l, suatu b memuat terval setegah terbua [x o +lh, x o +(l+)h). Nla estmator destas hstogram d sembarag tt x dapat dyataa sebaga f(x) h #X dalam b yag sama dega x. () Pemlha lebar b h ecl, hstogram memuat baya batag ecl-ecl, sedaga utu h besar hstogram memuat sedt batag besar-besar. Pada estmator hstogram, fugs estmasya bersfat otu sepotog-sepotog. Estmator Kerel 4
Suatu fugs K(.) dsebut fugs erel a K fugs otu, berharga rl, smetrs, terbatas da K(y)dy. a K suatu erel dega sfat. x K(x)dx, utu,,...,r. r. x K(x)dx atau, maa K dsebut erel order r. Estmator destas erel merupaa pegembaga dar estmator hstogram. a X =,,, data pegamata depede dar suatu dstrbus dega destas f (ta detahu), maa estmator destas erel f dega erel K da lebar edela h ddefsa sebaga Lema [4]. Dbera X dasumsa fc (R), c K = x - X fˆ h (x) K () h =,,, data pegamata depede dar suatu dstrbus dega destas f da K (u)du, d K = u K (u)du ( fˆh (x) ) = (h /)f (x)d K +o(h ) da Var( fˆh (x) ) = (h) - c K f(x) +o((h) - ).. a, h da h maa Bas bat. MSE( fˆh (x) ) (h) - f(x)c K + ¼ h 4 [f (x)] d K, IMSE( fˆh (x) ) {(h) - c K + /4 [h 4 d K [f (x)] ] dx Dalam estmator erel, tgat emulusa fˆ h dtetua oleh fugs erel K da lebar edela h yag dsebut parameter pemulus, tetap pegaruh erel K tda sedoma parameter pemulus h. Nla h yag ecl membera graf yag urag mulus sedaga la h yag besar membera graf yag sagat mulus. Oleh area tu, perlu dplh la h optmal utu medapata graf optmal. Salah satu cara memlh parameter pemulus h optmal meurut Hardle (99), dega memmala IMSE asmtots dar fˆ h. Dega cara ddapat h opt -/5 da IMSE opt -4/5. a fc r, maa h opt -/(r+) da IMSE opt - r/(r+). Estmator Deret Ortogoal Dasumsa f L (R) dega L (R) ruag fugs yag uadratya tertegrala, dega ata la L (R) = {f : f(x) dx perala salar da orma yag ddefsa sebaga }. Meurut Vetterl da Kovacecc (995), L (R) merupaa ruag Hlbert dega f, g f(x)g(x)dx da f f, f f(x) dx. Karea L (R) merupaa ruag Hlbert dega sedrya merupaa ruag vetor (berdmes ta hgga). a { } =,,... sstem ortoormal legap dar L (R), maa sembarag fl (R) dapat dyataa sebaga f dettas Parseval dega suatu salar yag dtetua dega rumus = f, da memeuh f. Karea f(x) dx. Oleh area tu, f dapat ddeat oleh f, berabat <, sehgga, utu, utu suatu blaga bulat cuup besar. 4
a X =,,, data pegamata depede dar suatu dstrbus dega fugs destas f ta detahu, maa estmator dar f adalah fˆ dega ˆ (X L [,], maa f dapat ddeat oleh deret Fourer, ) f (x) = a o a cos(x) b s(x). Khususya a f, (3) dega oefse Fourer a = / <f,cos(.)>, =,,,..., da b = /<f,s(.)>, =,,3,...,. Estmator deret Fourer dar destas f adalah â cos(x) bˆ s(x) fˆ (x) âo, (4) dega estmator oefse Fourer â cos(x ), =,,,..., da bˆ s(x ), =,,3,...,. Secara sama, a X =,,, data observas depede, X [a,b] da f fugs destas tda detahu, maa estmator deret Fourer dar f adalah X dega â cos( ) (b - a) b a ^ f (x) â o â cos( x) bˆ s(x), (5) X, =,,,..., da bˆ s( ), =,,3,...,. (b - a) b a Sfat smtots Estmator Deret Fourer Estmator oefse deret Fourer E ( â ) = a da E( bˆ ) = b. Besar IMSE fˆ ) utu, (Supart, 999). â da bˆ merupaa estmator ta bas dar a da b, sebab ( = fˆ ) E(f dx = ) dx E(f fˆ, Tgat emulusa estmator deret Fourer fˆ dtetua oleh pemlha parameter pemulus. Sema ecl parameter pemulus, sema mulus estmasya. Dega ata la sema besar parameter pemulus, sema urag mulus estmas dar f. Oleh area tu, perlu dplh optmal utu medapata estmas yag optmal. Pemlha optmal dapat dtetua berdasara IMSE asmtots mmal dar Dega memmala IMSE asmtots -/. Pada estmator erel maupu Fourer, fugs estmasya bersfat mulus. fˆ., utu, dperoleh opt / da IMSE opt Estmator Wavelet Fugs wavelet pertama al dpereala oleh Haar tahu 9. es wavelet dbedaa mead yatu wavelet du da wavelet bapa yag eduaya melahra seluruh eluarga wavelet, (x)=(p ) / (p x-) da, (x) = (p ) / (p x - ) utu suatu salar p>, da tapa megurag eumuma dapat dambl p =, sehgga, (x) = / ( x-) da, (x) = / ( x ). Kemuda Daubeches (99) megembaga wavelet Haar mead wavelet Daubeches, wavelet smetrs da coflet. Hall da Patl (995,996) serta Odge (997) medeomposs sembarag fugs fl (R) e dalam bass wavelet ortoormal, dega c o, = <f, o, > = R f(x) c o, o, o f(x) (x)dx da d, = <f,, >= f(x) (x)dx R o, d,, (6). o, 4
Deret wavelet (6) dapat ddeat oleh dega c o, = <f, o, >, d, = <f,, > da besar. Deret wavelet (7) evale dega f(x) c o, o, merupaa parameter pemulus da damaa level resolus. o d,, (7) f(x) c,, dega c, = <f,, >. (8) Estmator Destas dega Wavelet Haar Wavelet Haar merupaa wavelet yag palg sederhaa da mempuya rumus :, x / ( x),/ x da, x yag la ( x), x, x (9) yag Sfat osta sepotog-sepotog pada hstogram merupaa sfat dasar sstem Haar. Secara husus estmator hstogram dapat dsusu dega megguaa bass Haar. a dbera X =,,, seumpula data pegamata depede dar suatu dstrbus dega destas f yag ta detahu, maa dega megguaa wavelet Haar,bayaya tt data yag terleta dalam terval [p - -, p - - (+)) adalah p -/ -/, la. (X ). Padahal utu sembarag xr, Z, berlau p - - [p x] < x < p - - ([p x]+), sehgga bayaya tt data yag terleta dalam terval p - - [ x] < x < p - - ([ x]+) adalah p -/ -/ (X,[p x] ) = lebar b p - - dapat dtuls sebaga / / fˆ (x) p (p X [p x]) (X,[p x] ) = dega ĉ,, (X ). Selautya estmator destas wavelet f pada level adalah dega. ad estmator destas hstogram dega tt awal da ĉ,, (x), () f (x) c,, (x), () Z ~ c, f,,, (X ) Estmator merupaa estmator terba dar destas f pada level resolus. Dega megguaa algortma deomposs (7) maa estmator destas f pada level dega megguaa wavelet Haar dapat dyataa sebaga f (x) dega ĉ = Z c (x) (X ) da dˆ, (x), (), dˆ, =, (X ). Estmator Destas dega Wavelet Mulus 43
Estmas fugs destas dega megguaa wavelet mulus dapat deraa dega cara yag sama pada estmas destas dega wavelet Haar, yatu dega meggat fugs wavelet Haar dega wavelet mulus yag bersesuaa sepert wavelet smetrs, wavelet coflet, dll.. Teorema [3]. Dbera data pegamata depede {X } =,,..., dar suatu dstrbus dega destas f (ta detahu), fc r (,) dega r blaga bulat postp terbesar sehgga x (x)dx, a r K, a r. a, p da fˆ estmator destas pada level r maa IMSE( fˆ ) = ( o())( p p ), dega = (- -r ) - (x)dx. (f (r) (x)) dx da = r! Dar teorema d atas meuua bahwa utu, p IMSE ( fˆ ). Karea tgat emulusa estmator wavelet fˆ dtetua oleh parameter pemulus p, dega p ecl membera estmas fugs yag sagat mulus da p besar membera estmas fugs yag urag mulus, maa dega memmala IMSE ( fˆ ) aa ddapata p optmal. Dega memmala IMSE ( fˆ ) dperoleh p opt /(r+) da IMSE opt -r/(r+). Selautya a p tetap (p = ), maa parameter pemulus opt dapat dcar dega meggat /(r+), sehgga dperoleh opt log da IMSE opt -r/(r+). IMSE opt sama dega IMSE opt r pada estmator erel. ad dapat dsmpula bahwa dalam estmator wavelet mempuya tgat peurua IMSE yag sama dega estmator erel, tetap lebh cepat meuu ol dar pada estmator deret Fourer. Kelebha estmator wavelet, fugs estmasya dapat bersfat mulus maupu tda mulus. x r Cotoh plas Estmas Destas No Parametr Berut data peguura gluosa (duur dalam mllgram per declter) dar wata berumur tahu e atas, berasal dar suu Idaa Pma da tggal d deat Phoex, rzoa. yag terea dabetes. Dataya sebaga berut : 95,97,8,37,89,9,43,49,64,4,,5,76,7,99,54,67,84,39,34,3,58,, 8, 68,44,7,5,5,5,5,4,48,7,8,4,3,4,,48,45,5,44,87,9,67, 8, 77, 5,98,88,68,97,58,3,5,5,94, 84, 95,,38,, 75,33,8, 9,55, 48, 78,97,66,8,9,,9,,7,8,9,,36,,6, 6,88,7,73,7,56, 5,63, 4, 79,9,8,9,9,96,9,85,6,34,8,79, 9, 84,3,55,,6, 9,7, 46,44, 6,8,4,55,9,5,,,5,96, 89, 73,6,5,93,36,7,73,44,9,5, 8,95, 89, 8,4,58,35,5,84,63,45,8,9,86,87,76,,8,74,38,,97,79, 36,55, 45,,6,4,69,93,9,87,73,74,,47,87,8,8,7 (http://www.e.wpeda.org/w/ llustratoof-desty). Data destmas fugs destasya megguaa metode hstogram, metode erel, metode deret Fourer da metode wavelet dega batua software S+for Wdows. Gambar da masg-masg merupaa hasl estmas dega hstogram da erel Gauss dega beberapa lebar b berbeda, sedaga gambar 3 da 4 merupaa hasl estmas dega metode Forer da wavelet dega level resolus berbeda. Pada estmator hstogram, lebar b yag dguaa h =,5; 5; ; ; 35 da 5, sedaga pada estmator erel, lebar b yag dguaa h = ; 5; 3; 35; 4 da 45. Pada estmator Fourer level resolus yag dguaa = ; ; 3; 4; 5 da 6 sedaga pada estmator wavelet level resolus yag dguaa = -; -; -3; -4 da -5. Dar hasl estmas terlhat bahwa estmator hstogram da erel sema lebar bya sema mulus fugs estmasya da sema ecl lebar bya sema urag mulus fugs estmasya. Sedaga dalam estmator Fourer da wavelet sema besar level resolusya sema urag mulus fugs estmasya da sema ecl level resolusya sema mulus fugs estmasya. 44
Gambar : Estmas destas hstogram Gambar. Estmas destas erel Gauss Gambar 3. Etmas Destas Fourer Gambar 4. Estmas destas wavelet KESIMPULN Dar uraa d atas, dapat dsmpula bahwa utu megestmas fugs destas f, a formas model dstrbus X ta detahu maa f dapat destmas dega megguaa pedeata o parametr. Pedeata o parametr dapat dlaua dega estmator hstogram yag selautya berembag mead estmator erel, estmator deret Fourer da estmator wavelet. Dtau dar peurua IMSE asmtotsya, IMSE estmator wavelet lebh cepat meuu ol dar IMSE estmator deret Fourer, tetap sama cepatya dega IMSE estmator erel. Tetap estmator wavelet mempuya elebha dapat megestmas ba fugs mulus maupu tda mulus. DFTR PUSTK []. Daubeches, I., Te Lectures o Wavelets,Captal Cty Press, Phladelpa, 99. []. Hall,P. ad Patl,P., O Wavelet Methods for Estmatg Smooth Fuctos, Beroull (/), 4-58, 995. 45
[3]. Hall,P. ad Patl,P., O the Choce of Smoothg Parameter, Threshold ad Trucato No parametr Regresso by o-ler Wavelet Methods,.R.Statst.Soc.B (996) 58, No., 36-377, 996. [4]. Hardle,W., Smoothg Techques Wth Implemetato S, Sprger-Verlag, New Yor, 99. [5]. Http://www.e.wpeda.org/w/ llustrato-of-desty. [6]. Odge, R.T., Essetal Wavelets for Statstcal pplcatos ad Data alyss, Brhauser, Bosto, 997. [7]. Supart, Estmas Fugs Mulus dega Metode Wavelet, Tess S-, UGM,Yogyaarta, 999. [8]. Vetterl,M. ad Kovacevc,.,Wavelets ad Subbad Codg, Pretce Hall PTR, New ersey, 995. 46