Estimasi Densitas Mulus dengan Metode Kernel. (Kernel Method in Smooth Density Estimation)

Transkripsi

1 Supat da Sudago Estmas Destas Mulus dega Metode Keel (Keel Metod Smoot Desty Estmato) Ole Supat 1) da Sudago ) Let X Abstact = 1,,, be depedet obsevato data fom a dstbuto wt a ukow desty fucto f. Te fucto f could be estmated by paametc ad opaametc appoac. I opaametc appoac, te fucto f s assumed to be a smoot fucto o quadatc tegable fucto, so te fucto f could be estmated by keel estmato. Te smootg level of keel estmato depeds to te smootg paamete. Te bg smootg paamete gves a estmato fucto wc ove smoot ad te cotay. Key wods : smoot desty, keel estmato. Dalam aalss data cedeug datka sebaga poses petuga dalam peeapa metode statstka, msalya petuga mea, vaa, koefse eges ataupu petuga jumla kuadat dalam aalsa vaa, segga peaa da keguaa sebeaya mejad seg telupaka. Poses aalss data pada dasaya melput upaya peelusua da pegugkapa fomas yag eleva yag tekadug dalam data sepet peelusua da pegugkapa stuktu da pola data, da peyaja aslya dalam betuk leb gkas da sedeaa, segga pada akya megaa kepada kepelua adaya pejelasa da peafsa. Peelusua 1) Staf Pegaja Ju. Matematka,FMIPA, Udp, Semaag ) Staf Pegaja Ju. Ped. Matematka,IKIP PGRI, Semaag LONTAR, Vol. 0 No.1,Apl 006, ISSN

2 Supat da Sudago stuktu data betujua memeksa apaka suatu data dapat dwakl ole suatu model tetetu, sedagka dalam peelusua pola data betujua utuk memeksa apaka dstbus dataya cedeug megumpul d satu la tetetu atau pada bebeapa la. Jka dbeka data pegamata depede X = 1,,,, utuk meetuka dstbus da X ekvale dega meetuka fugs destasya. Utuk megestmas fugs destas f dapat dlakuka dega dua pedekata yatu pedekata paametk da opaametk. Pedekata paametk dlakuka jka asums betuk f dketau da tegatug pada suatu paamete, segga megestmas f ekvale dega megestmas paameteya, sedagka pedekata opaametk dlakuka jka asums betuk f tdak dketau. Dalam al dasumska bawa fugs f temuat dalam kelas fugs mulus dalam at mempuya tuua kotu atau tetegalka secaa kuadat. Sala satu tekk utuk megestmas fugs mulus adala tekk pemulus keel (Hadle,1990). Tekk pemulus keel pada estmato destas meupaka pegembaga da estmato stogam ( Odge,1997). Dalam tulsa dbaas tetag pecaa estmato keel da destas mulus, sfat-sfat da coto smulasya dega pogam S-Plus fo Wdows. Jka dbeka X = 1,,, data pegamata depede da suatu dstbus detk dega destas f yag tak dketau, maka ada dua caa utuk membuat suatu keputusa tetag destas f yatu dega pedekata paametk da opaametk. Pedekata paametk dlakuka jka asums model dstbus X dketau, msalya data da dstbus omal dega mea da vaa yag tak dketau, maka LONTAR, Vol. 0 No.1,Apl 006, ISSN

3 Supat da Sudago megestmas f ekvale dega megestmas paamete da da data, sedagka pedekata opaametk dlakuka jka asums model dstbus X tak dketau. Bekut metode opaametk utuk megestmas destas f. Estmato stogam Metode klask yag palg popule utuk megetau betuk fugs destas adala metode stogam. Suatu stogam dsusu dega meletakka ttk-ttk data ke dalam suatu b atau klas. Setap b dyataka secaa gafk ole segempat dega leba sama da tgg poposoal dega bayakya ttk-ttk data yag teletak dalam b tekat. B dtetuka dega meml ttk awal x 0 da leba b/pta (bwdt). Utuk sembaag tege l, suatu b memuat teval setega tebuka [x o +l, x o +(l+1)). Nla estmato destas stogam d sembaag ttk x dapat dyataka sebaga f(x) 1 #X dalam b yag sama dega x. Pemla leba b kecl, stogam memuat bayak batag kecl-kecl, sedagka utuk besa stogam memuat sedkt batag besa-besa. Estmato keel Suatu fugs K(.) dsebut fugs keel jka K fugs kotyu, beaga l, smets, tebatas da K(y)dy 1. Jka K suatu keel dega sfat j 1. x K(x) dx 0, utuk j1,,..., 1. x K(x) dx 0 atau, maka K dsebut keel ode. Bebeapa coto fugs keel dataaya:. LONTAR, Vol. 0 No.1,Apl 006, ISSN

4 Supat da Sudago 1. Seagam (Ufom) 1/, K(x) = 0,. Segtga utuk x 1 utuk x yag la 1 x, utuk x 1 K(x) = 0, utuk x yag la 3. Epaeckov 3/4(1-x K(x) = ), utuk x 1 0, utuk x yag la 4. Gauss K(x) = 1 e x /, utuk x < JkaX Estmato destas keel meupaka pegembaga da estmato stogam. = 1,,, data pegamata depede da suatu dstbus dega destas f (tak dketau), maka estmato destas keel f dega keel K da leba jedela ddefska sebaga fˆ (x) 1 1 K x - X Dalam estmato keel, tgkat kemulusa fˆ dtetuka ole fugs keel K da leba jedela yag dsebut paamete pemulus, tetap pegau keel K tdak sedoma paamete pemulus. Nla yag kecl membeka gafk yag kuag mulus sedagka la yag besa membeka gafk yag sagat mulus. Ole kaea tu, pelu dpl la optmal utuk medapatka gafk optmal. Sala LONTAR, Vol. 0 No.1,Apl 006, ISSN

5 Supat da Sudago satu caa meml paamete pemulus optmal meuut Hadle (1990), dega memmalka IMSE da fˆ. Bekut besa IMSE da estmato destas keel. Lema Jka dbeka pegamata {X} =1,,..., da vaabel adom bedstbus detk da depede dega destas f, K suatu keel ode da f mempuya devatf ()) palg sedkt tgkat, maka E( fˆ (x) ) - f(x) ) = f (x) s K(s)ds! utuk 0. Bukt : E( f(x) ) - f(x) ) = E( 1 1 K x X ) - f(x) = 1 1 E(K x X ) -f(x) = 1 1 E(K x z ) -f(x) = 1 E(K x z ) -f(x), kaea X d. = 1 K x z f(z)dz -f(x) = 1 K( s)f(x s)ds -f(x) s K(s) f(x) sf'(x) f''(x)... s () f (x) o( ) ds = - f(x) = f(x) K(s)ds f'(x) sk(s)ds f''(x) s K(s)ds... LONTAR, Vol. 0 No.1,Apl 006, ISSN

6 Supat da Sudago! ()) f (x) s K(s)ds o( ) - f(x) = f(x) +! ()) f (x) s K(s)ds o( ) - f(x) ()) = f (x) s K(s)ds. Tebukt.! Da lema d atas, dapat dsmpulka bawa estmato destas keel LONTAR, Vol. 0 No.1,Apl 006, ISSN (x) fˆ meupaka estmato yag tak bas secaa asmtots da f(x). Dega megguaka sfat tak bas asmtots da (f (x)) IMSE (f (x)). va( (f (x)) = va( 1 1 K x X ) = () va(k x X 1 = va(k x X 1 ), aka dtug va( (f (x)) ) = { K ( x u f(u)du K x u 1 f(u)du } = 1 1 { K (u)f(x u)du}, utuk 0 = 1 1 K (u)du f(x), utuk 0. Kaea va( f 1 1 (x)) = K (u)du f(x) da bas ( f (x)) = ()) f (x) s K(s)ds)!, maka, MSE (f (x)) da

7 Supat da Sudago MSE ( f 1 1 (x)) = K (u)du f(x) +! ()) f (x) s K(s)ds) = 1 1 K (u)du f(x) + (!) ()) (f (x)) k dega k = s K(s)ds. IMSE ( f (x) ) = MSE ( f (x))dx + = 1 1 K (u)du f(x)dx (!) ()) (f (x)) dx k = 1 1 K (u)du + (!) ()) k (f (x)) dx. Akbat Jka keel K mempuya ode da f C maka MSE( fˆ (x) ) () -1 f(x)c K + ¼ 4 [f (x)] d K, IMSE( (x) fˆ ) {() -1 c K + 1/4 [ 4 d K [f (x)] ] dx Dega caa memmalka IMSE (( fˆ (x) ) dpeole opt -1/5 da IMSE opt -4/5. Jka fc, maka opt -1/(+1) da IMSE opt -/(+1). Coto smulas estmas destas keel Dbeka 100 data X, yatu X, = 1,,...,100 yag dbagktka da blaga adom omal dega mea 10, sd = 4, maka estmas destas opaametk da X dega megguaka keel Gauss dtujukka pada gamba LONTAR, Vol. 0 No.1,Apl 006, ISSN

8 Supat da Sudago 1 bekut. Da tampla gamba d bawa, telat bawa semak besa, semak mulus estmas destasya. Pada = 9 telat bawa estmas destasya medekat destas data sebeaya. Kesmpula Gb.1. Estmas destas dega keel Gauss... : destas sebeaya ( Nomal mea = 10, sd = 4) : estmas destas da X Da uaa d atas, dapat dsmpulka bawa utuk megestmas fugs destas f, jka fomas model dstbus X tak dketau maka f dapat destmas dega megguaka pedekata opaametk. Sala satu pedekata opaametk dega megguaka tekk pemulus keel. Tgkat kemulusa LONTAR, Vol. 0 No.1,Apl 006, ISSN

9 Supat da Sudago fugs estmas dtetuka ole paamete pemulus. Semak besa paamete pemulusya semak mulus fugs estmasya da sebalkya. DAFTAR PUSTAKA Hadle,W Smootg Tecques Wt Implemetato S, Spge-Velag. New Yok. Hadle,W Smootg Tecques Wt Implemetato S, Spge-Velag. New Yok Odge, R.T Essetal Wavelets fo Statstcal Applcatos ad Data Aalys., Bkause. Bosto. LONTAR, Vol. 0 No.1,Apl 006, ISSN