(R.17) ESTIMASI SMOOTHING SPLINE PADA FUNGSI VARIANSI BERDISTRIBUSI GAMMA DALAM PENDEKATAN REGRESI NONPARAMETRIK

Transkripsi

1 PROSIDING ISSN : Semar Nasoal Statsta November Vol, November (R.7) ESIMASI SMOOHING SPLINE PADA FUNGSI VARIANSI BERDISRIBUSI GAMMA DALAM PENDEKAAN REGRESI NONPARAMERIK Sfrya Dose Program Stud Statsta FMIPA Uverstas Mulawarma, Samarda, Idoesa tlp: Emal : Abstra Sple merupaa pedeata yag dguaa utu megestmas urva regres yag tda detahu betuya dalam regres oparametr.sela tu, Sple dapat pula dguaa utu megestmas fugs varas. Pedeata sple ddasara pada ruag sobolev yag dmotvas oleh sfat emulusa (smoothess). Peelta megaj estmator sple utu megestmas fugs varas yag dasumsa berdstrbus gamma. Selajutya megaj metode Ubased Rs (UBR) da metode Geeralzed Cross Valdato (GCV) utu memlh parameter peghalus yag optmal pada fugs varas. Dseld pula performace (ebaa) metode UBR da metode GCV berdasara la MSE terecl dega megguaa data smulas. Berdasara hasl smulas dperoleh utu uura sampel 5 metode UBR lebh ba dbadga dega metode GCV. Sedaga utu uura sampel 5 da dperoleh metode GCV lebh ba dbadga dega metode UBR dalam pemlha parameter peghalus utu fugs varas. Kata Kuc : Fugs Varas, Geeralzed Cross Valdato (GCV), Sple, Ubased Rs (UBR).. PENDAHULUAN Dbera data berpasaga x, z,,,, da hubuga atara x da megut model:,,,,, z g x x () z adalah varabel respo pegamata e-, g x adalah fugs regres, da z adalah error radom pegamata e- yag berdstrbus ormal depede dega mea ol da varas. Estmas fugs g dalam aalss regres dapat dselesaa dalam beberapa metode sesua dega asums yag dmlya, yatu regres parametr, regres oparametr da regres semparametr. Ada beberapa pedeata utu megestmas fugs g x dalam regres oparametr atara la pedeata erel (Hardle, 99), sple (Wahba,99), K-Nearest Negbor (Hardle, 99), Estmator Deret Fourer (Euba, 988), da Hstogram (Gree da Slverma,994). Pedeata regres oparametr yag Jurusa Statsta-FMIPA-Upad 36

2 PROSIDING ISSN : Semar Nasoal Statsta November Vol, November cuup populer adalah sple. Sple merupaa potoga-potoga polomal yag meml sfat tersegme yag otu. Sfat lah yag membera flesbltas yag lebh dar pada polomal basa, sehgga memuga utu meyesuaa dr secara efetf terhadap araterst loal dar suatu fugs. Pada pedeata sple fugs g x dasumsa termuat dalam suatu ruag Sobolev (Euba, 988). Perembaga baru dalam regres, pedeata sple juga dguaa utu megestmas fugs varas. Pada model regres () dasumsa varas homoge yatu peyebara data osta. Pada asus husus serg dtemua model regres dega varas tda osta atau varas model regres berut:,,,,, tda homoge. Kasus tersebut dperlhata pada z g x x x () adalah error radom pegamata e- yag berdstrbus ormal depede dega mea ol da varas. Dar uraa datas, pada peelta aa daj pedeata sple utu megestmas varas yag tda homoge, hususya aa daj fugs varas yag dasumsa berdstrbus gamma. Pemlha parameter peghalus yag optmal merupaa hal yag sagat petg dalam estmator sple utu fugs varas. Hal tersebut dsebaba oleh la yag sagat ecl atau besar aa membera betu fugs peyelesaa yag sagat asar atau sagat mulus (Wahba, 99 da Euba, 988). Dalam peelta aa daj pemlha parameter paghalus dega megguaa metode Ubased Rs (UBR) da metode Geeralzed Cross Valdato (GCV). Beberapa peelta sebelumya utu fugs varas telah dlaua oleh Huag da Pa (), Wag da Guo (4) megguaa estmas sple utu fugs varas yag dhususa utu medetes ge. Cu, Hwag, Qu, Blades da Churchll (5) megguaa metode varas dega permasalaha replas yag ecl pada array esperme. Yua da Wahba (4), Da da Guo (5) melaua peelta yag berosetras pada regres heterosedaststas, mecar estmas fugs varas dega megguaa local polomal smoothers da smoothg sple. Yua da Wahba (4) memlh parameter smoothg pada estmas fugs varas dega megguaa metode Geeralzed Approxmate Cross Valdato (GACV). Jurusa Statsta-FMIPA-Upad 37

3 PROSIDING ISSN : Semar Nasoal Statsta November Vol, November Berdasara uraa datas, dalam peelta juga aa daj perbadga performace metode UBR da metode GCV dalam pemlha parameter peghalus yag optmal utu fugs varas.. ESIMAOR SPLINE UNUK MENGESIMASI FUNGSI VARIANSI Dbera fugs varas yag dasumsa megut fugs gamma sebaga berut : y x Gamma, f x e Fugs Dstrbus Peluag utu fugs varas dbera oleh: f y y e f x e y f x e y f x f x ye e (3) Fugs lelhood dbera oleh: l f y log log y f x y e f x (4) m m asumsa bahwa fugs f W f ; f x dx. Estmas utu f dperoleh dega memmuma pealzed lelhood: m l f y f x dx. (5) Utu meyelesaa optmas dapat dguaa pedeata sple. Estmator sple dapat dtuls sebaga berut: m, f x d x c R x x (6) x d x c dega d da c d d d m c c c Jurusa Statsta-FMIPA-Upad 38

4 PROSIDING ISSN : Semar Nasoal Statsta November Vol, November x x,,, m ; R x, x! m x t x t m! m x x, x,, m x da x R x, x, R x, x,, R x, x Dega mesubsttusa persamaa (6) e (5), maa estmas c da d dapat dperoleh dega memmuma persamaa: I c, d l x d x c c Q c (7) dega : x x x Q da S x x x dt,,,,,, R x x R x x R x x R x x R x x R x x R x x R x x R x x,,, x x x x x x x x x m m m Utu megestmas c da d pada (7) dguaa metode Newto-Raphso (Wag, 996). Berut duraa metode Newto-Raphso: I c, d c I c d c c I Q u Q c, Q WQ c, d S WQ c d Q I c d d I d I, c d S u, d c, d d c Newto-Raphso memeuh sstem lear berut: I c, d I c, d I c, d c c c c d c c I d d I c, d c, d I c, d c d d d d S W S Q W S Q W Q Q QW S c c Qu Qc S W Q S W S d d S u persamaa (8), dapat dtulsa sebaga berut: (8) Jurusa Statsta-FMIPA-Upad 39

5 PROSIDING ISSN : Semar Nasoal Statsta November Vol, November Q W Q Q QW S S W Q S W S c c Q u Q c d d S u dar persamaa (9), aa dcar vetor perraa awal. Apabla eleme dar vetor (9) c da d. Vetor c da d adalah vetor c c da dd lebh besar dar la toleras, maa teras ewto raphso dterusa, sampa dperoleh eleme vetor lebh ecl dar la toleras. c c da dd Selajutya estmator sple utu fugs varas dtulsa sebaga berut: x dega ˆ ˆ, ˆ,, ˆ f. x f x f x f x f ˆ Sd Q c () 3. MEODE UNBIASED RISK (UBR) DAN MEODE GENERALIZED CROSS VALIDAION (GCV) UNUK MEMILIH PARAMEER PENGHALUS 3.. Metode Ubased Rs (UBR) Metode UBR merupaa salah satu metode yag dguaa utu memperoleh estmas parameter peghalus utu fugs varas. Metode merupaa hasl estmas ta bas pada fugs reso. Dbera fugs eruga uadrat terbobot sebaga berut: U w f x f x ( ) ( ) Aa dcar la yag memmuma fugs eruga uadrat terbobot U. Dalam permasalaha oparametr dega pedeata sple, la U tda dapat dhtug secara lagsug, area U mash memuat fugs f yag tda detahu. sehgga dbutuha fugs reso terbobot yag merupaa hasl espetas dar U. Duraa sebaga berut: E U E w f x f x ( ) ( ) E W A z - f A z - f trace W I - A f W I - A f A W A W - Jurusa Statsta-FMIPA-Upad 4

6 PROSIDING ISSN : Semar Nasoal Statsta November Vol, November W I - A f + trace A W A W - dar uraa datas, dperoleh fugs reso uadrat terbobot adalah: - R trace W I - A f + A W A W () selajutya, dbutuha suatu estmator ta bas utu () yag dsaja pada eorema berut: eorema. W I - A trace W W z + A A Apabla U - I - A W I - A - trace W Maa U merupaa estmator ta bas utu R. Berdasar eorema, Parameter peghalus optmal dapat dperoleh dega memmuma UBR berut: I A z trace A A UBR W W W I A W I A trace 3.. Metode Geeralzed Cross Valdato (GCV) Metode GCV adalah salah satu metode yag dguaa utu memperoleh estmas parameter peghalus pada fugs varas yag merupaa modfas dar metode Cross Valdato (CV) (Wahba, 99). Dbera tt data (data e- dhlaga) yatu z z, z,, z, z,, z. Msala Weghted Leas Square (PWLS) berut: f m j j j j; j x w z f x f x dx W peyelesaa memmuma Pealzed Cross Valdato (CV) adalah metode utu memlh yag memmuma: CV w z f x Jurusa Statsta-FMIPA-Upad 4

7 PROSIDING ISSN : Semar Nasoal Statsta November Vol, November Apabla data z dgat dega berdasara data baru, maa f x f x da dapat meyelesaa optmas PWLS merupaa peyelesaa. 4. SIMULASI Smulas dalam peelta dlaua utu megevaluas performace (ebaa) metode Ubased Rs (UBR) da metode Geeralzed Cross Valdato (GCV) emuda membadga ebaa atara edua metode tersebut. Realbltas peguura berdasara la MSE terecl yag dhasla pada metode UBR da GCV. Selajutya, utu dapat melasaaa smulas, dguaa data bagta oleh model fugs varas.. Fugs varas yag dguaa dalam smulas adalah f t dbera:. Fugs percobaa I : f t S vt y t 3 utu,,,. Fugs percobaa II : f t t vt cos 6, utu,,, f t e dega fugs dega t ; perubaha v da v 3 ; parameter gamma da 3 ; da uura sampel 5, 5, da. Hasl smulas data dsaja pada lampra, dperoleh bahwa utu fugs percobaa I da fugs percobaa II dega uura sampel 5, la MSE UBR lebh ecl dbadga dega la MSE GCV ba utu v maupu v 3 da juga utu perubaha paramater gamma maupu parameter gamma 3, sehgga utu uura sampel metode UBR mempuya performace lebh ba dbadga metode GCV. Selajutya utu uura sampel 5 da, la MSE GCV lebh ecl dbadga dega la MSE UBR ba utu perubaha v da perubaha parameter gamma sehgga utu uura sampel metode GCV mempuya performace lebh ba dbadga metode UBR. 5. KESIMPULAN Metode yag dguaa utu megestmas fugs varas adalah metode Estmas Masmum Lelhood yag terpealzed (Pealzed lelhood) dega peyelesaa estmas megguaa teratf Newto-Raphso. Hasl estmas sple utu fugs varas dperoleh: Jurusa Statsta-FMIPA-Upad 4

8 PROSIDING ISSN : Semar Nasoal Statsta November Vol, November f Sd Q c ˆ dega c da d merupaa vetor, x x x S. x x x Q, da Pemlha parameter peghalus optmal utu etdasamaa varas megguaa metode Ubased Rs (UBR) da Geeralzed Cross Valdato (GCV) berturutturut dbera oleh: UBR GCV W W W Ι z trace trace Ι Α W Ι Α W da W I A z trace I A Smulas dlaua utu megevaluas performace (ebaa) metode UBR da GCV yag ddasara pada la MSE terecl. Hasl smulas meujua bahwa utu uura sampel 5 ba utu v da v 3 serta parameter gamma da 3 metode UBR lebh ba dbadga dega metode GCV. Sedaga utu uura sampel 5 da ba utu v da v 3 serta parameter gamma da 3 dperoleh metode GCV lebh ba dbadga dega metode UBR dalam pemlha parameter peghalus utu fugs varas. 6. DAFAR PUSAKA Cu, X., Hwag, J.. G., Qu, J., Blades, N. J. Ad Churchll, G. A., (5). Improved statstcal test for dfferetal gee expresso by shrg varace compoets estmates Bostatstcs 6: Da, M. ad Guo, W. (5). Heteroscedastc smoothg sple models Statstca Sca. Euba, R.L. (988). Sple Smoothg ad Noparametrc Regresso, Marcel Deer: New Yor ad Basel. Gree, J.P da Slverma, W.B (995). Noparametrc Regresso ad Geeralzed Lear Models. Chapma & Hal. Hardle, W., (99). Appled Noparametrc Regresso, Cambrge Uversty Press: New Yor. Huag, X. ad Pa, W. (). Comparg three methods for varace estmato wth duplcated hgh desty olgoucleotde arrays Fuct Itegr Geomcs : Lu, A., og,., da Wag, Y. (6). Smoothg Sple Estmato of Varace Fucto Departmet of Statstcs ad Appled Probablty, Uversty of Calfora: Sata Barbara. E-mal: aalu@pstat.uscb.edu & yuedog@pstat.ucsb.edu. Jurusa Statsta-FMIPA-Upad 43

9 PROSIDING ISSN : Semar Nasoal Statsta November Vol, November Wahba, G. (99). Sple Model For Observato Data, SIAM, Pesylvaa. Wag, Y. ad Guo, S. W. (4). Statstcal methods for detectg geomc alteratos through array-based comparatve geomc hybrdzato (CGH). Froters Boscece 9: Wag, Y. ad Ke, C., (). Nolear Noparametrc Regresso Models. Departmet of Statstcs ad Appled Probablty, Uversty of Calfora: Sata Barbara. Wag, Y. (996). GRKPACK : Fttg Smoothg Sple Aova Models For Expoetal Famles Departemet of Bostatstcs, Uverstas of Mchga A Arbor, Mchga 489, USA. Yua, M. ad Wahba, G. (4). Doubly pealzed lelhood estmator heteroscedastc regresso Statstcs ad Probablty Letters 69 : LAMPIRAN Gambar. Plot Fugs percobaa I dega 5, v 3 da Jurusa Statsta-FMIPA-Upad 44