ESTIMASI DAN INFERENSI MODEL REGRESI SEMI-PARAMETRIK PROSES PRODUKSI. Tubagus Pamungkas, Dosen Tetap Pendidikan Matematika FKIP UNRIKA Batam

Transkripsi

1 ABSRAK ESIMASI DAN INFERENSI MODEL REGRESI SEMI-PARAMERIK PROSES PRODUKSI ubagus Pamugas, Dose etap Pedda Matemata FKIP UNRIKA Batam Regres bergada terdapat asus husus dalam sebuah aalsa regres, pada regres bergada terdapat satu varabel ta bebas yag aa dpreds, tetap terdapat dua atau lebh varabel bebas, pemlha model yag terba aa dlaua dega 3 metode, yatu Metode Quadratc Mode Estmator (QME), Metode Symmetrcally rmmed Least Squares (SLS) da Metode Left rucated (L) Data yag dguaa adalah data polus udara yag dsebaba oleh 7 varabel bebas yag melput jumlah edaraa yag melewat, suhu udara, ecepata ag, perbedaa temperatur, ag, jam atf da har atf, Pemotoga atau peyesora dar suatu varabel respo dalam suatu model regres adalah salah satu masalah yag serg mucul dalam baya aplas Berdasara uraa dar pembahasa da smulas, terdapat beberapa hal petg yag dapat dsmpula, dalam pemlha model terba regres semparametr dperoleh model terba adalah dega megguaa metode QME, hal tersebut dapat dlhat dar la RMSE terecl Dalam uj parsal terdapat varabel yag sgfa terhadap varabel depedet yatu varabel yag berupa cars da wdspeed da juga ostata yag berupa tercept Dalam dagostc checg dapat dsmpula uj eormala megguaa Kolmogorov Smrov est teryata data tda berdstrbus ormal, amu area data baya sehgga eormala bsa dabaa, sedaga utu uj autoorelas megguaa Durb Watsoest dapat dsmpula tda ada autoorelas pada resdual, utu uj Homosesdaststas megguaa Breusch Paga est dapat dsmpula resdual bersfat homosedaststas 1 PENDAHULUAN Dalam ehdupa sehar-har terdapat hal-hal yag dapat dselesaa megguaa matemata, statsta adalah salah satu cara dalam megumpula data, megolah, megaalsa da meympula Aalss Regres merupaa salah satu te utu melhat hubuga atara varabel atau lebh da emuda megestmasya mejad sebuah model yag dapat mejad sebuah persamaa yag dapat meghubuga varabel tergatug (depedet varable) terhadap varabelvarabel bebas (depedet varabels) Baya paper meregres estmas oparametr utu efses produs atas varabel-varabel bebas dalam prosedurprosedur tertetu utu mejelasa fator yag mug mempegaruh erja dar varabel tergatugya Model regres yag meaga stuas tersebut memerlua satu set persamaa (satu persamaa tuggal saja tda cuup) yag perlu dselesaa 1

2 secara smulta da model deal sebaga model eoometr lebh dahulu aa d desrpsa suatu data yag laya utu model-model sepert Kta megajua prosedur-prosedur bootstrap tuggal da gada; eduaya memuga feres vald, da prosedur bootstrap gada memperba efses statst dalam regres Kta meguj erja statst estmator-estmator ta dega megguaa metode Metode Quadratc Mode Estmator (QME), Metode Symmetrcally rmmed Least Squares (SLS) da Metode Left rucated (L) Regres bergada terdapat asus husus dalam sebuah aalsa regres, pada regres bergada terdapat satu varabel ta bebas yag aa dpreds, tetap terdapat dua atau lebh varabel bebas, dmaa betu umum dar regres bergada adalah : Y X X X, sehgga ja Y adalah varabel yag aa dramala maa X1, X, X adalah dapat duj pegaruhya terhadap Y, da varabel X1, X, X tersebut dapat dguaa utu meduga la d masa medatag Dmaa model regres secara teor dapat djelasa Y 0 1X1 X X dega 0, 1,, adalah parameter tetap, X1, X, X duur tapa galat, sedaga adalah suatu varabel radom yag duur secara meyebar secara ormal dsetar ol (la tegah ) da mempuya suatu ragam V, sedaga model regres secara prate dapat djelasa Y b0 b1 X1 b X b X e, utu = 1,,3,,N dmaa X1, X, X dasumsa duur tapa galat, b0, b1, b,, b adalah peasr 0, 1,, da semuaya adalah varabel aca, dega sebara bersama yag ormal, sedaga e (=1,,3,,N) adalah suatu baga galat tasra, utu pegamata e- da dasumsa merupaa sampel depede dar suatu sebara ormal Pemecaha oefse sedr dapat djelasa sebga berut Y 0 1X1 X X ba secara esplst maupu mplst prasts tersebut memuat berbaga asums tetag oefse, uura X (bahwa X duur tapa esalaha) da baga esalaha, betu pragmatsya adalah : Y b b X b X b X e da utu setap vetor pegamata, dmaa pegamata e- dotasa sebaga : Y b0 b1 X1 b X b X e dmaa b0 b1 X1 b X b X = Y ˆ, sehgga Y ˆ Y e, sehgga ddapata e Y Yˆ da metode Ordary Least Square (OLS) atau jumlah uadrat ecl mmum dar esalaha tersebut yatu memmuma dmaa ( Y ˆ Y ) ( Y b0 b1 X1 b X ) 1 1 e ˆ 1 ( Y Y) 1 1, Pada pemlha model yag terba aa dlaua dega 3 metode, yatu Metode Quadratc Mode Estmator (QME), Metode Symmetrcally rmmed Least

3 Squares (SLS) da Metode Left rucated (L) data yag dguaa adalah data polus udara yag dsebaba oleh 7 varabel bebas yag melput jumlah edaraa yag melewat, suhu udara, ecepata ag, perbedaa temperatur, ag, jam atf da har atf, emuda dega batua software program R aa dsaja smulas pegolaha data mejad model yag terba dega pegguaa pacage lbrary(boot), lbrary(msctools), lbrary(maxl), lbrary(trucreg), lbrary(trucsp) Hasl smulas model terba dtujua dega RMSE terecl Aalss regres telah lama dembaga utu mempelajar pola da meguur hubuga statst atara dua atau lebh varabel e aalss yag mecoba mejelasa betu hubuga atara dua atau lebh varabel atau lebh hususya hubuga atara peubah-peubah yag megadug sebab abat dsebut Aalss Regres Prosedur aalssya ddasara pada dstrbus probabltas bersama varabel-varabelya Bla hubuga dapat dyataa dalam persamaa matemat, maa dapat dmafaata dalam eperlua sehar-har, msalya utu melaua preds, meramal da sebagaya Persamaa matemat yag memuga melaua peramala la-la suatu varabel ta bebas dar satu atau lebh varabel bebas dsebut persamaa regres Istlah berasal dar hasl pegamata yag dlaua Sr Fracs Galto ( ) yag membadga atara tgg bada aa la-la dega tgg bada bapaya Galto meyataa bahwa tgg bada aa la-la dar bapa yag tgg pada beberapa geeras emuda cederug mudur (regressed) medeat rata-rata populas REGRESI PARAMERIK Uj regres eseluruha ba yag berparamater (regres parametr) da juga regres yag ta asumsa smooth (regres semparametr) terlebh dahulu aa dbahas utu regres parametr utu parameter β1, β,, β yag merupaa eleme β dalam model y = Xβ + ε dalam hal aa megasumsa bahwa y berdstrbus N (Xβ, σ I), dmaa X beruura x (+1) dar ra +1 < x tersebut adalah ostata yag dtetapa MEODE KUADRA ERKECIL Prosedur peara gars regres yag baya deal adalah metode uadrat terecl (ordary least squares) atau yag lebh deal dega stlah OLS Metode memlh suatu gars regres yag membuat jumlah uadrat jara vertal dar tttt yag dlalu gars lurus tersebut seecl mug, dmaa ja model populas regres ler gada adalah Y 0 1X1 X X sedaga model estmas regres ler gada adalah Y b0 b1 X1 b X bx e maa estmas OLS pada regres ler gada adalah : Persamaa regres populas : y X u Resdual (estmas dar galat aca) : û y X ˆ Jumlah Kuadrat Galat (JKG) : uu ˆ' ˆ = ( y X ˆ )'( y X ˆ ) 3

4 Memmuma JKG : Estmator OLS : y ' y ˆ ' X ' y ˆ ' X ' X ˆ ( uu ˆ' ˆ) X ' y X ' X ˆ 0 ˆ ˆ 1 ( X ' X ) X ' y ESIMASI REGRESI LINIER Perraa regres ler dbuat utu megata etelta dega megguaa varabel tambaha x yag berorelas dega y Bla hubuga atara x da y duj, mug dtemua bahwa walaupu hubugaya medeat ler, garsya tda melalu tt org Hasl meyaraa suatu perraa yag ddasara pada regres ler dar y pada x lebh ba darpada raso dua varabel Msala bahwa y da x masg-masg dperoleh utu setap ut dalam sampel rata-rata populas X da x detahu Perraa regres ler Y, rata-rata populas y adalah ylr y ( X x) Dmaa otas lr meyataa regres ler da adalah suatu oefse perraa dar perubaha dalam y bla x megat Alasa utama dar perraa adalah ja x dbawah rata-rata, harus megra y juga dbawah rata-rata dar suatu jumlah ( X x) area regres dar y pada x utu suatu perraa jumlah populas Y, ta ambl Y ˆ lr Nylr Watso (1937) megguaa suatu regres dar luas dau utu memperraa rata-rata luasya pada suatu pabr Prosedurya adalah dega membag seluruh dau-dau pada pabr Utu sebuah sampel ecl dar dau, luas da berat masg-masg dau telah dtetapa Rata-rata regres pada berat dau, t dar aplasya adalah bahwa berat dau dapat dtemua dega cepat tetap peetuaya meyta baya watu Perraa regres, y ( X x) memperba rata-rata sampel dar peguura sebearya dega perraa regres yag cepat dar peguura sebearya Perraa yag cepat tda bebas dar bas Bla x y = D, sehgga perraa cepat adalah sempura ecual utu satu bas osta D, emuda dega = 1 perraa regres mejad y ( X x) X ( y x) = (rata-rata populas dar perraa cepat) + (peyesuaa utu bas) Ja tda ada model regres ler yag dumpamaa, pegetahua tetag sfat perraa regres adalah dar caupa yag sama sepert pegetahua tetag perraa raso Perraa regres adalah osste, dalam pegerta sederhaa bla sampel terdr dar seluruh ut populas, x X da perraa regres megurag Y 4

5 Sebagamaa aa dperlhata, perraa regres secara umum adalah bas, tetap raso basya utu esalaha bau mejad ecl bla sampel besar Dega suatu pemlha yag sesua, perraa regres termasu sepert asus-asus husus dar rata-rata per ut maupu perraa raso, bla dambl sama dega ol, y lr megurag y bla = y/ x, y = y ( X x) lr = y y / x( X x) = y / x( X ) = Y ˆR 3 REGRESI SEMI-PARAMERIK Pemotoga atau peyesora dar suatu varabel respo dalam suatu model regres adalah salah satu masalah yag serg mucul dalam baya aplas Pemotoga terjad, sebaga cotoh, pada saat megamat la dar erusaa frastrutur yag dasurasa, dalam suatu ebaara, pecura, atau ejadaejada laya yag serupa, area ehlaga-ehlaga yag laya lebh ecl dar yag bsa durag tda aa bsa dlapora pada perusahaa asuras Proses peyesora serg terjad pada saat meelt duras, msalya pegaggura dalam eoom perburuha, watu bertaha dalam percobaa bdag edotera, da watu egagala ompoe dalam proses-proses dustr Dalam hal, dguaa model regres sepert berut: y m( x ), =1,, dega y merupaa varabel respo late, x merupaa varabel pejelas, m(x) merupaa la yag tda detahu yag laya p+1 (p 1) al serta merupaa fugs yag bsa dturua (d-dferesala), da ε adalah esalaha aca yag terdstrbus secara depede da merata dega rata-rata ol da varas terbatas pada la-la tertetu Metode Symmetrcally rmmed Least Squares (SLS) Estmator uadrat terecl yag terpotog secara smetrs (Powell, 1986) bsa dguaa utu meaga pemotoga atau peyesora dalam pegatura model regres (sem)-parametrs, ya pada saat mx ( ) dalam (1) bsa ddesrpsa secara parametrs, sebaga cotoh dega polomal m( x ) 0 1x px p Pemotoga (atau peyesora) dar varabel respo megeala suatu etdasmetrsa dalam suatu dstrbus Estmator SLS da SCLS secara smetrs memotog da meyesor, secara beruruta, varabel respo dalam raga utu megembala esmetrsa dstrbus pada 0 1 x x p Pada cara, p estmator uadrat terecl bersfat osste da tega lurus secara asmptots, dalam 5

6 ods-ods atura tertetu, termasu asums esalaha yag terdstrbus secara smetrs Pada asus pemotoga sebelah r (pata t=0), da utu model polom, estmator parametrs SLS bsa ddefsa sebaga: 1 h x y y x ( 0) arg m ( max(, )), 1 dega x1 (1, x1,, x p ) da ( 0,, ) p Oleh area tu, perlu ddefsa estmator SLS loal utu mx ( 0) dalam (1) dega varabel respo yag terpotog d sebelah r pada t=0 oleh m( x ) e ( x ) dega e=(1,0,,0) da 0 h 0 x x 1 ˆ ( 0 0 ) arg m max, h x K y y z, 1 h dega p z (1,( x x0 ),,( x x0 ) ), ( 0, 1,, p) da K merupaa fugs erel utu =1,, r-1 da dega ordo r, yag memeuh K( u) du 1, u K( u) du 0 u K( u) du 0 Plha-plha alteratf yag umum utu K() adalah fugs destas probabltas (pdf) Gaussa atau fugs trcube sebagamaa djelasa pada persamaa berut Quadratc Mode Estmator (QME) da SLS Metode QME, metode SLS da metode Left rucated aa daplasa pada data produs polus udara yag dlaua peara sampel sebaya 460 respode, dmaa formas data dsaja dalam tabel 41 abel 41 Partpolu s Mobl suh u Kecudar a Perbsuh u Sudutag ja m har

7 Data selegapya bsa d lhat d lampra 41 Ddapata model terba sebaga berut : Dar la resdual setap model d dapata "Root Mea Square Error" QME SLS Lt Pemlha Model regres erpotog terba berdasara la RMSE terecl RMSE terecl = maa Model regres terpotog terba utu data adalah "Quadratc Mode Estmator (QME)" dega rgasa model regres terpotog Call: qme(formula = PM10 ~ cars + temp + wdspeed + tempdff + wddr + hour + day, data = data, pot = pot, drecto = arah, beta = metode, covar = RUE, Cval = metode, level = 1 alpha 7

8 Berdasara uraa dar pembahasa da smulas, terdapat beberapa hal petg yag dapat dsmpula, dalam pemlha model terba regres semparametr dperoleh model terba adalah dega megguaa metode QME, Dega model sebaga berut : Y ( x) X X m( t) 1 ˆ 1 hal tersebut dapat dlhat dar la RMSE terecl Dalam uj parsal terdapat varabel yag sgfa terhadap varabel depedet yatu Dmaa X1 utu varabel depede Cars da X utu varabel depede Wd Speed Sedaga mt ˆ () adalah berupa plot smoothg fugto (gambar 4) Dalam dagostc checg dapat dsmpula uj eormala megguaa Kolmogorov Smrov est teryata data tda berdstrbus ormal, amu area data baya sehgga eormala bsa dabaa, sedaga utu uj autoorelas megguaa Durb Watsoest dapat dsmpula tda ada autoorelas pada resdual, utu uj Homosesdaststas megguaa Breusch Paga est dapat dsmpula resdual bersfat homosedaststas Gambar 4 8

9 DAFAR PUSAKA Ba,LJ ad Egelhardt, M, 199, Itroducto to probablty ad mathematcal statstcs, ed, Duxbury Press, Calfora Blaxter, L Hughes, C ad hght, M, 001, How o Research, Ides Grameda, Jaarta Cochra, W G, 1977, Samplg techques, 3 ed, Joh Wley ad Sos, Ic, New Yor Efro, B ad bshra, RJ,,1993, A troducto to the bootstrap, Chapma ad Hall, New Yor Evertt, Bra, 004, A R ad S-Plus Compao to multvarate aalyss, Sprger, Amera Hardle, W, 1990, Smoothg techques wth mplemetato S, Sprger Verlag, Hardle, W, Lag, H ad Gao, J, 000, Partally lear models, Sprger Verlag, Berl Haryatm, Sr, 1988, Metode Statsta Multvarat, Uverstas erbua, Karua, Jaarta Gbbos, J, 1971, Noparametrc Statstcal Iferece, McGraw Hll Jhoso, Rchard ad Wcher, Dea, 00, Appled Multvarat Statstcal Aalyss, Pearso Educatoal Iteratoal, Amera Recher, Alv, 000, Lear Model Statstcs, Wley seres probablty ad Statstcs, Caada Rosad, Ded, 011, Aalss Eoometra da Rutu Watu erapa, Peerbt Ad, Yogyaarta Rorres, Ato, 004, Aljabar Lear Elemeter, peerbt Erlagga Jaarta Royde, HL, 1989, Real Aalyss, Macmla Publshg, New Yor Searle, SR, 1971, Lear Models, Wley Publshers, New Yor Sembrg, RK, 1995, Aalss Regres, Peerbt IB, Badug Sumodgrat, Guawa, 007, Eoometra Pegatar, BPFE UGM, Yogyaarta 9