MINGGU KE-12 TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA TEOREMA LIMIT PUSAT DAN TERAPANNYA Telah dikeal bahwa X 1, X 2...X sampel radom dari distribusi ormal dega mea µ da variasi σ 2, maka x µ σ/ atau xi µ σ secara eksak berdistribusi ormal dega mea 0 da variasi 1. Ada pertayaa yag medasar, bagaimaa bila asumsi ormalitas dihilagka. Jawaba dari pertayaa tersebut dituagka dalam teori besar bahka ada yag meyebutka sebagai revolusi pertama dalam statistika yaitu dega apa yag kita keal sebagai teorema limit pusat atau the cetral limit theorem di bawah.
Teorema Bila X i idepede da berdistribusi idetik dega mea µ da variasi σ 2, maka X µ σ/ d N0, 1 Teorema Limit Pusat mempuyai dua peafsira. I. Betuk x µ σ/ d N0, 1 mempuyai implikasi bahwa kita bisa meghampiri distribusi dari x apapu betuk distribusi dari populasi. Dalam hal ii a µ P a x b P σ / x µ σ / b µ σ / a µ = P σ / z b µ σ / b µ = Φ σ / a µ Φ σ /
II. Karea, x µ σ / = = xi µ σ / xi µ σ maka bila suatu variabel radom bisa ditulis sebagai jumlaha variabel radom yag salig idepede da berdistribusi idetik seperti distribusi biomial yag merupaka jumlaha distribusi Beroulli yag salig idepede, maka distribusi variabel radom tersebut bisa dihampiri dega distribusi ormal. Jadi, bila kita igi meghitug P a x i b, maka besara tersebut bisa dihampiri melalui P a a µ xi µ x i b P b µ σ σ σ b µ a µ Φ Φ σ σ
Cotoh a. Bila x meyataka sampel radom berukura = 15 dari distribusi dega fugsi kepadata probabilitas f x = 3 2 x 2, 1 < x < 1 yag berarti µ = 0 da σ 2 = 3 5, maka P0.03 x 0.15 = P 0.03 0 3/5 / 15 = P0.15 z 0.75 = Φ0.75 Φ0.15 = 0.7734 0.5596 x 0 3/5 / 15 0.15 / 0 3/5 15 b. Misalka X 1, X 2...X 20 meyataka sampel radom ukura 20 dari distribusi seragam U0, 1. Dalam hal ii EX i = 1 2 da VarX i = 1 2, i = 1, 2,...20. Bila y = 20 y i, maka Py 9.1 = P y 20 1 2 20/12 9.1 10 20/12 = Pz 0.697 = Φ 0.697 = 0.2423
Selai itu, P8.5 y 11.7 = P 8.5 10 y 10 5/3 5/3 11.7 10 10 5/3 = P 1.162 z 1.317 = Φ1.317 Φ 1.162 = 0.9061 0.1226 = 0.7835 c. Misalka x meyataka mea sampel ukura 25 dari distribusi dega fugsi kepadata probabilitas f x = x3 4, 0 < x < 2, yag berarti µ = 8 5 = 1, 6 da σ2 = 8 75, maka 1.5 1.6 P1.5 x 1.65 = P / 25 8/75 1.65 1.6 8/75 / 25 = P 1.531 z 0.765 = Φ0.765 Φ 1.531 = 0.7779 0.0629 = 0.7150 x 1.6 8/75 / 25
Pedekata biomial dega distribusi ormal Misalka X biomial, θ, maka X bisa ditulis sebagai jumlaha X i dega X i i.i.d. Berouli 1, θ. Karea X i Beroulli θ, maka Meurut teorema limit pusat Ex i = θ Varx i = θ1 θ X θ θ1 θ d N0, 1 Akibatya, Pa x b P a θ θ1 θ z b θ θ1 θ Karea X variabel radom diskrit, maka perlu adaya koreksi kotiuitas a θ 0.5 b θ + 0.5 Pa x b P z θ1 θ θ1 θ
Cotoh a. Misalka = 200, θ = 0.5 da kita igi meetuka hampira P[95 x 105]. 95 0.5 1000.5 P[95 x 105] = P[ 2000.50.5 105 + 0.5 2000.5 z 2000.50.5 5.5 = P z 5.5 50 50 = P 0.7778 z 0.7778 = 2Φ0.77781 1 = 0.56331 b. Misalka X biomial 500; 1 10 da kita igi meetuka hampira dari P50 x 55. 50 0.5 5000.1 P50 x 55 = P 2000.50.5 z 55 + 0.5 5000.1 5000.10.9 = P 0.5 45 z 5.5 45 = 0.32756
Pedekata distribusi Poisso dega distribusi ormal Misalka X Poisso, maka X bisa ditulis sebagai X = dega X i i.i.d. Poisso 1. Karea X i i.i.d. Poisso 1, maka EX i = 1 da VarXi = 1. Meurut teorema limit pusat X d N0, 1 X i Sehigga Pa x b = P a z b Dega megguaka koreksi kotiuitas a 0.5 Pa x b P = Φ b + 0.5 Φ z b + 0.5 a 0.5
Pedekata distribusi khi-kuadrat dega distribusi ormal Misalka X X 2, maka X bisa ditulis sebagai X = X i dega X i i.i.d. X X 2 1, maka Ex i = 1 da VarX i = 2. Meurut teorema limit pusat X 2 d N0, 1 Akibatya, a Pa x b P z b 2 2 b a = Φ Φ 2 2 Kita sudah megeal bila X mempuyai distribusi f x maka kita bisa meetuka distribusi dari y = gx. Sekarag, aka kita lihat aalogiya utuk betuk asimtotis yag diyataka dalam usefull theorem, di bawah. Teorema Misalka x θ d N0, σ 2 da gx fugsi dega g x ada da kotiu sekitar θ, maka gx gθ d N0, [g θ] 2 σ 2
Cotoh X 1, X 2,... i.i.d. dega fugsi kepadata probabilitas f x µ = xµ 1 e x Γµ, x > 0, 0 < µ <, maka x µ d x N0, 1. Cotoh Misalka X 1, X 2,... salig idepede da berdistribusi idetik dega mea µ, variasi σ 2, da µ 4 = EX 1 µ 4 = α 4 σ 4 dega α 4 > 1. Bila S 1 2 = Xi X 2 aka kita buktika. 1 S 2 1 σ 2 d N 0, α4 1 σ 4 Misalka y i = x i µ 2, i = 1, 2, 3... maka y i salig idepede, berdistribusi idetik dega Ey i = σ 2 da Vary i = α 4 1σ 4. Bila x i µ 2 S 2 = maka meurut teorema limit pusat S 2 σ 2 d N 0, α4 1 σ 4
Sekarag, kita hitug S 2 σ 2 x i x 2 σ 2 = S 2 x i x 2 = x µ 2 = 1 4 x µ 2 Karea 1 4 x µ = σ 1 2, da x µ σ x µ 1 σ = σ x µ 4 1 σ, σ 0 utuk 4 1 4 d N0, 1, maka meurut lemma Slutsky S 2 σ 2 S 2 σ 2 P 0 Sekarag kita aka mecari limit distribusi dari S 1 yag merupaka estimator dari σ. Bila kita melakuka trasformasi gx = x, maka g x = 1 2 x da g x 2 = 1 4x Megguaka teorema di atas kita aka medapatka g S 2 1 g σ 2 d N 0, g σ 2 2 α4 1 σ 4
atau S 2 1 σ 2 d N 0, 1 4σ 2 α 4 1 σ 4 = N 0, α 4 1 σ2 4 Utuk kejadia khusus, X i idepede da berdistribusi idetik Nµ, σ 2 didapat S 1 σ d N 0, σ2. 2