PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLBAL DARI PRSES PISSN PERIDIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT LIA YULIAWATI G5444 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUN ALAM INSTITUT PERTANIAN BGR BGR 8
ABSTRACT LIA YULIAWATI Estimatio of Gloal Itesity Futio of a Periodi Poisso Proess i the Presee of a Power Futio Tred Supervised y I WAYAN MANGKU ad RETN BUDIARTI This mausript disusses a method for estimatig gloal itesity futio θ of the periodi ompoet of a periodi Poisso proess i the presee of a power futio tred, whih is oserved at iterval [,] We assumed that the period of the periodi ompoet is ow (suh as: oe day, oe wee, et, the oeffiiet of the power futio tred is also assumed to e ow ut the periodi ompoet of the itesity futio is uow So, it is eeded a estimator for θ From the researh that has ee doe, it has ee prove that our estimator for θ is osistet if the legth of iterval oservatio of the proess goes to ifiity It is also has ee formulated asymptoti approximatios to the ias, variae, ad Mea Square Error (MSE of the estimator Fially, it is also give the asymptoti ormality of the estimator whe properly ormalized
ABSTRAK LIA YULIAWATI Pedugaa Fugsi Itesitas Gloal dari Proses Poisso Periodi dega Tre Fugsi Pagat Diimig oleh I WAYAN MANGKU da RETN BUDIARTI Pada arya ilmiah ii diahas suatu metode utu meduga fugsi itesitas gloal θ dari ompoe periodi suatu proses Poisso periodi dega tre fugsi pagat yag diamati pada iterval [,] Kita asumsia ahwa periode dari ompoe periodi terseut adalah dietahui (seperti: satu hari, satu miggu, da lai-lai, oefisie pada tre fugsi pagat juga diasumsia dietahui tetapi ita tida megetahui ompoe periodi dari fugsi itesitas terseut Sehigga diperlua suatu peduga agi θ Dari hasil pegajia yag dilaua, telah diutia ahwa peduga agi θ yag diaji adalah osiste jia pajag iterval pegamata proses meuju tahigga Selai itu juga dihasila pedeata asimtoti utu ias, ragam da Mea Square Error (MSE dari peduga Ahirya juga diahas seara ormal asimtoti agi peduga yag diaji
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS GLBAL DARI PRSES PISSN PERIDIK DENGAN TREN FUNGSI PANGKAT Sripsi Seagai salah satu syarat utu memperoleh gelar Sarjaa Sais pada Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor leh : LIA YULIAWATI G5444 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BGR BGR 8
Judul Nama NRP : Pedugaa Fugsi Itesitas Gloal dari Proses Poisso Periodi dega Tre Fugsi Pagat : Lia Yuliawati : G5444 Meyetujui, Pemimig I Pemimig II Dr Ir I Waya Magu, MS Ir Reto Budiarti, MS NIP 3 663 NIP 3 84 49 Megetahui, Dea Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Dr drh Hasim, DEA NIP 3 578 86 Taggal Lulus :
RIWAYAT HIDUP Peulis dilahira di Sumedag pada taggal 3 Juli 987 seagai aa sulug dari tiga ersaudara, aa dari pasaga Wasmaa Hedrayaa da Waah Tahu 998 peulis lulus dari SDN Pua Mulya Badug Tahu peulis lulus dari SMPN Tajugsari Sumedag Tahu 4 peulis lulus dari SMAN Tajugsari Sumedag da pada tahu yag sama lulus selesi masu IPB melalui jalur Ujia Sariga Masu IPB (USMI Peulis memilih Jurusa Matematia, Faultas Matematia da Ilmu Pegetahua Alam Selama megiuti peruliaha, peulis mejadi asiste mata uliah Kalulus II pada tahu ajara 6/7, asiste mata uliah Persamaa Diferesial Biasa pada tahu ajara 6/7, asiste mata uliah Persamaa Diferesial Parsial pada tahu ajara 7/8, da asiste mata uliah Pegatar Teori Peluag pada tahu ajara 7/8 Peulis juga atif pada egiata emahasiswaa Gumatia (Gugus Mahasiswa Matematia seagai staf Departeme Keilmua periode 6/7 Selai itu, peulis juga terliat dalam eerapa egiata, atara lai megiuti Program Guru Tamaha Tigat Seolah Dasar 4/5, Aggota Tim Khusus Matematia Ria 6, Koordiator Tim Khusus Matematia Ria 7, Aggota Tim Aara Sais Expo 7, Pelatiha Peyegara Materi Matematia Uiversitas 7, da Peserta limpiade Matematia Nasioal Tigat Mahasiswa 7
KATA PENGANTAR Puji da syuur peulis pajata epada Allah SWT atas segala rahmat da aruia-nya serta shalawat da salam epada Nai Muhammad SAW sehigga arya ilmiah ii erhasil diselesaia Peyusua arya ilmiah ii juga tida lepas dari atua eragai piha Utu itu peulis meguapa terima asih yag seesar-esarya epada: Dr Ir I Waya Magu, MS selau dose pemimig I (terima asih atas semua ilmu, esaara, motivasi, da atuaya selama peulisa sripsi ii Ir Reto Budiarti, MS selau dose pemimig II (terima asih atas semua ilmu, sara, da motivasiya 3 Drs Siswadi, MSi selau dose peguji (terima asih atas semua ilmu da saraya 4 Semua dose Departeme Matematia (terima asih atas semua ilmu yag telah dieria 5 Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Boo, Mas Dei, Mas Yoo, da Mas Ari 6 Keluargau terita: apa (terima asih atas erja erasya meyeolaha aamu ii higga searag, iu (terima asih aya atas semua doa, duuga, da asih sayagya Iu selalu mejadi iu terai seduia, Deli Diaa, Nailah Syafawai, Ne Erum, Ne Isah, Ai Kara, Wa Caih, Wa Tohir, Bi Aah, Teh Ae, Teh Ai, Teh Awag, Irma, Rumi, Hojah, Yai, da laiya (maasih atas doaya 7 Tema-tema Math 4: Muti, Diah, Ai, Dia, Armi, Ayu, Jaah, Feria, Ia, Titis, Fitrie, Ita, Nie, Liam, Eli, Tia, Nidia, Mahar, Ro fah, Eva, Uwie, Edit, Sita, Sifa, Maryam, Pey, Roma, Ey, Kurez, Ehie, Ria, Rita, Darwisah, Ria, Fariz, Ioy, Aji, Zali, Great, Udi, Mazid, Mora, Fred, Chuy, Dei, Ami, Yaya, Idris, Dia, Mahuri, Mimi, Rail, Cumi, Triyadi, da laiya (terima asih atas doaya Ayo epat meyusul 8 Tema-tema Math 4: Hapsari, Nie, Ilyas, Vera, Jae, Himah, Ahi, Lisda, Gita, Rie, oy, Wiwi, Bayu, Eyyi, Iput, Ridwa, Nyoma, Ayu, Ages, Muhtar, Fahri, Lela, Rima, Herry, Moo, ta, Hesti, Yui, Didi, Waro, Adi, y, Zil, Mega, Djawa, Carwidah, Yudi, Dau, Nofita, Dedy, Dwi, Titi, Auy, Tia da laiya (maasih uat duugaya 9 Tema-tema Math 43: Arum, Cii, Wira, da laiya (maasih duugaya Adi-adi 44: Sasi, Tari, Aomi, Tya, Tia, Sisa, Ery, Emil, Nufi, Yati, Dia, Devy, Nadia, Iha, Lia, Diar, Riri, Firi, Bio, Pram, Fey, Idi, Riri, Niit, Asti, Chae, Sista, Marha, Ray, Putri, Rifah, Karti, Risma, Tita, Zulmy, Aggit, Wita, Hari, da laiya (maasih atas semagat da duugaya Teh Walidah (maasih atas atua, sara, da motivasiya Para Pegajar MSC: K Syam, K Hepy, K Taufi, K Jae, K Idra, K Yudi, Dewi, Poppy, Ipul, Elis, Dita, Deri, Arum, Fifi, Egus, Iag, Basir, da laiya (maasih atas semagat da motivasiya 3 Keluarga Buls: Idri, Tia, da Adi (maasih atas atua da doaya 4 Noeg, Merry, Teh Ai, Mely, Bayu, Dii, Dei, da Novi (maasih atas persahaata da doaya 5 Tema-tema Kosta Istaa : Ifah, Riza, K Nio, Imah, Nera, Cira, Ema, K Naa, Dida, Tia, K Dia, Mira, Tia, Ula, Ayu, Fitri, Idri, Riza, Nida, K Idah, da K Iie(maasih atas semagat da duugaya Semoga arya ilmiah ii dapat ermafaat agi duia ilmu pegetahua hususya Matematia da mejadi ispirasi agi peelitia-peelitia selajutya Bogor, Jauari 8 Lia Yuliawati
DAFTAR ISI Halama DAFTAR ISI vii DAFTAR LAMPIRAN viii PENDAHULUAN Latar Belaag Tujua LANDASAN TERI Ruag Cotoh, Kejadia da Peluag Peuah Aa da Fugsi Seara Mome, Nilai Harapa da Ragam Peduga da Sifat-sifatya 3 Proses Poisso 4 Beerapa Defiisi da Lema Teis 5 HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusa Peduga Bagi θ 6 Keosistea ˆ θ 7 Pedeata Asimtoti utu MSE dari ˆ θ 7 Seara Normal Asimtoti dari ˆ θ KESIMPULAN 3 DAFTAR PUSTAKA 4 LAMPIRAN 5 vii
DAFTAR LAMPIRAN Halama Pemutia Lema 6 Pemutia Lema 4 7 Pemutia Lema 5 8 viii
PENDAHULUAN Latar Belaag Dalam ehidupa sehari-hari, aya masalah yag dapat dimodela dega proses stoasti Misalya, proses edataga pelagga pada suatu atria di pusat servis (a, ator pos, supermaret, da seagaiya Proses edataga peggua lie telepo juga merupaa suatu proses stoasti Salah satu etu husus dari proses stoasti adalah proses Poisso periodi Proses ii adalah suatu proses Poisso dega fugsi itesitas erupa fugsi periodi Proses Poisso periodi atara lai dapat diguaa utu memodela proses edataga pelagga e suatu pusat servis dega periode satu hari, atau memodela feomea-feomea serupa Jia laju edataga pelagga terseut meigat memetu fugsi pagat terhadap watu, maa model yag leih tepat utu diguaa adalah proses Poisso periodi dega tre fugsi pagat Pada pemodela stoasti dari suatu feomea yag dimodela dega proses Poisso periodi dega tre fugsi pagat, fugsi itesitas dari proses terseut umumya tida dietahui Sehigga diperlua suatu metode utu meduga fugsi terseut Pada aya asus, ita haya memerlua iformasi tetag rata-rata dari fugsi itesitas suatu proses Poisso periodi Rata-rata dari fugsi itesitas ii pada selag watu satu periode diseut fugsi itesitas gloal Pada tulisa ii diaji suatu metode utu meduga fugsi itesitas gloal dari ompoe periodi suatu proses Poisso periodi dega tre fugsi pagat Tujua Tujua peulisa arya ilmiah ii adalah utu : (i Mempelajari perumusa peduga itesitas gloal pada proses Poisso periodi dega tre fugsi pagat (ii Meetua syarat miimal agar peduga yag diperoleh adalah osiste (iii Meetua pedeata asimtoti dari ias, ragam da MSE dari peduga yag diaji Meetua seara ormal asimtoti dari peduga yag diaji LANDASAN TERI Ruag Cotoh, Kejadia, da Peluag Suatu peroaa yag dapat diulag dalam odisi yag sama, yag hasilya tida isa dipredisi seara tepat tapi ita isa megetahui semua emugia hasil yag muul diseut peroaa aa Defiisi (Ruag Cotoh Ruag otoh adalah himpua semua hasil yag mugi dari suatu peroaa aa, da diotasia dega Ω (Grimmett ad Stirzaer 99 Defiisi (Kejadia Kejadia adalah suatu himpua agia dari ruag otoh Ω (Grimmett ad Stirzaer 99 Defiisi 3 (Kejadia Lepas Kejadia A da B diseut salig lepas jia irisa dari eduaya adalah himpua osog (Grimmett ad Stirzaer 99 Defiisi 4 (Meda-σ Meda-σ adalah suatu himpua F yag aggotaya terdiri atas himpua agia ruag otoh Ω, yag memeuhi syarat eriut: F Jia A F, maa A F 3 Jia A, A, F, maa Ai F i= Meda-σ di atas diseut meda Borel jia Ω = da aggotaya diseut himpua Borel (Grimmett ad Stirzaer 99
Defiisi 5 (Uura Peluag Misala Ω adalah ruag otoh suatu peroaa da F adalah meda-σ pada Ω Suatu fugsi P yag memetaa usur-usur F e himpua ilaga yata, atau P:F diseut uura peluag jia: P ta egatif, yaitu utu setiap A F, P(A P ersifat aditif ta higga, yaitu jia A, A, F dega A j A =, j, maa Ρ A = Ρ( A = = 3 P erorma satu, yaitu P(Ω = Pasaga (Ω, F, P diseut ruag uura peluag atau ruag proailitas (Hogg ad Craig 995 Defiisi 6 (Kejadia Salig Beas Kejadia A da B diataa salig eas jia: Ρ A B =Ρ A Ρ B ( ( ( Seara umum, himpua ejadia {A i ; i I} diataa salig eas jia: Ρ Ai= Ρ( Ai i J i J utu setiap himpua agia J dari I (Grimmett ad Stirzaer 99 Peuah Aa da Fugsi Seara Defiisi 7 (Peuah Aa Misala Ω adalah ruag otoh dari suatu peroaa aa Fugsi X yag terdefiisi pada Ω yag memetaa setiap usur ω Ω e satu da haya satu ilaga real X(ω = x diseut peuah aa Ruag dari X adalah himpua agia ilaga real A = {x : x = X(ω, ω Ω} (Hogg ad Craig 995 Peuah aa diotasia dega huruf apital, misalya X, Y, Z Sedaga ilai peuah aa diotasia dega huruf eil seperti x, y, z Defiisi 8 (Peuah Aa Disret Peuah aa X diataa disret jia semua himpua ilai dari peuah aa terseut merupaa himpua teraah (Hogg ad Craig 995 Defiisi 9 (Fugsi Seara Misala X adalah peuah aa dega ruag A Misala ejadia A=(-,x] A, maa peluag dari ejadia A adalah px ( A =Ρ( X x = FX ( x Fugsi F X diseut fugsi seara dari peuah aa X (Hogg ad Craig 995 Defiisi (Peuah Aa Kotiu Suatu peuah aa X diseut otiu jia fugsi searaya dapat diyataa seagai: X x ( X (, F x = f u du x utu suatu fugsi yag teritegrala f : [, (Grimmett ad Stirzaer 99 Defiisi (Fugsi Kerapata Peluag Fugsi erapata peluag dari peuah aa disret X adalah fugsi p : [,] yag dieria oleh: px ( x =Ρ ( X = x (Hogg ad Craig 995 Defiisi (Peuah Aa Poisso Suatu peuah aa X diseut peuah aa Poisso dega parameter λ, λ >, jia fugsi erapata peluagya dieria oleh λ λ ( ( px =Ρ X = = e,! utu =,, (Ross 3 Lema (Jumlah Peuah Aa Poisso Misala X da Y adalah peuah aa yag salig eas da memilii seara Poisso dega parameter erturut-turut λ da λ Maa X+Y memilii seara Poisso dega parameter λ + λ Buti: lihat Taylor ad Karli 984 Mome, Nilai Harapa, da Ragam Defiisi 3 (Nilai Harapa Misala X adalah peuah aa disret dega fugsi erapata peluag px ( x =Ρ ( X = x Nilai harapa dari X, diotasia dega E(X, adalah Ε ( X = xρ ( X = x = xp ( x X, x x
3 jia jumlah di atas overge mutla (Hogg ad Craig 995 Defiisi 4 (Ragam Misala X adalah peuah aa disret p x da dega fugsi erapata peluag ( X ilai harapa E(X Maa ragam dari X, diotasia dega Var X atau σ, adalah ( X (( X ( X ( x ( X px ( σ X =Ε Ε = Ε x x (Hogg ad Craig 995 Defiisi 5 (Mome e- Jia adalah ilaga ulat positif, maa mome e- atau m dari peuah aa X adalah m ( X =Ε (Hogg ad Craig 995 Defiisi 6 (Mome Pusat e- Jia adalah ilaga ulat positif, maa mome pusat e- atau σ dari peuah aa X adalah (( σ =Ε X m (Hogg ad Craig 995 Nilai harapa dari peuah aa X juga merupaa rataa atau mome pertama dari X Nilai harapa dari uadrat peredaa jara atara peuah aa X dega ilai harapaya diseut ragam atau variae dari X Ragam merupaa mome pusat e- dari peuah aa X Defiisi 7 (Nilai Harapa Fugsi Idiator Misala A adalah suatu ejadia Fugsi idiator dari A adalah suatu fugsi ΙA : Ω [, ], yag dieria oleh:, jiaω A Ι A ( ω =, jiaω A Dega fugsi idiator ita dapat meyataa hal eriut : ΕΙ A =Ρ ( A (Grimmett ad Stirzaer 99 Peduga da Sifat-sifatya satu atau eerapa parameter yag ilaiya tida dietahui (Hogg ad Craig 995 Defiisi 9 (Peduga Misala X, X,, X adalah otoh aa Suatu statisti U(X, X,, X yag diguaa utu meduga fugsi parameter g(θ, diataa seagai peduga (estimator agi g(θ, dilamaga oleh ĝ ( θ Bilamaa ilai X = x, X = x,, X = x, maa ilai U(X, X,, X diseut seagai dugaa (estimate agi g(θ (Hogg ad Craig 995 Defiisi (Peduga Ta Bias (i Suatu peduga yag ilai harapaya sama dega parameter g(θ, yaitu E[U(X, X,, X ] = g(θ diseut peduga ta ias agi parameter g(θ Jia sealiya, peduga di atas diseut erias (ii Jia lim Ε U( X, X,, X = g( θ utu, maa U(X, X,, X diseut seagai peduga ta ias asimtoti agi parameter g(θ (Hogg ad Craig 995 Defiisi (Keovergea Dalam Peluag Misala X, X,, X adalah arisa peuah aa pada suatu ruag peluag (Ω, F, P Barisa peuah aa X diataa overge dalam peluag e X, diotasia p X X, jia utu setiap ε > erlau ( X X ε Ρ >, utu (Grimmett ad Stirzaer 99 Defiisi (Peduga Kosiste Suatu peduga yag overge dalam peluag e parameter g(θ, diseut peduga osiste agi g(θ (Hogg ad Craig 995 Defiisi 3 (MSE suatu Peduga Mea Square Error (MSE dari suatu peduga U agi parameter g(θ didefiisia seagai MSE(U = E(U-g(θ = (Bias(U + Var(U, dega Bias(U = EU - g(θ Defiisi 8 (Statisti Statisti adalah suatu fugsi dari satu atau leih peuah aa yag tida tergatug pada
4 Proses Poisso Defiisi 4 (Proses Stoasti Proses stoasti X = {X(t, t T} adalah suatu himpua dari peuah aa yag memetaa suatu ruag otoh Ω e suatu ruag state S (Ross 3 Jadi, utu setiap t pada himpua ides T, X(t adalah suatu peuah aa Kita serig megiterpretasia t seagai watu da X(t seagai state (eadaa dari proses pada watu t Defiisi 5 (Proses Stoasti Watu Kotiu Suatu proses stoasti X diseut proses stoasti dega watu otiu jia T adalah suatu iterval (Ross 3 Defiisi 6 (Ireme Beas Suatu proses stoasti dega watu otiu {X(t, t T} diseut memilii ireme eas jia utu semua t < t < t < < t, peuah aa X(t X(t, X(t X(t,, X(t X(t - adalah eas (Ross 3 Dega ata lai, suatu proses stoasti dega watu otiu X diseut memilii ireme eas jia proses eruahya ilai pada iterval watu yag tida tumpag tidih (tida overlap adalah eas Defiisi 7 (Ireme Stasioer Suatu proses stoasti dega watu otiu {X(t, t T} diseut memilii ireme stasioer jia X(t+s X(t memilii seara yag sama utu semua ilai t (Ross 3 Dega ata lai, suatu proses stoasti dega watu otiu X diseut memilii ireme stasioer jia seara (distriusi dari peruaha ilai atara semarag dua titi haya tergatug pada jara atara edua titi terseut, da tida tergatug dari loasi titi-titi terseut Salah satu etu husus dari proses stoasti dega watu otiu adalah proses Poisso Pada proses ii, euali diyataa seara husus, diaggap ahwa himpua ides T adalah iterval ilaga real ta egatif, yaitu [, Defiisi 8 (Proses Peaaha Suatu proses stoasti {N(t, t } diseut proses peaaha jia N(t meyataa ayaya ejadia yag telah terjadi sampai watu t Dari defiisi terseut, maa suatu proses peaaha N(t harus memeuhi syaratsyarat eriut: (i N(t utu semua t [, (ii Nilai N(t adalah iteger (iii Jia s < t maa N(s N(t, s, t [, (iv Utu s < t maa N(t N(s, sama dega ayaya ejadia yag terjadi pada selag (s,t] (Ross 3 Defiisi 9 (Proses Poisso Suatu proses peaaha {N(t, t } diseut proses Poisso dega laju λ, λ>, jia dipeuhi tiga syarat eriut (i N( = (ii Proses terseut memilii ireme eas (iii Bayaya ejadia pada semarag iterval watu dega pajag t, memilii seara (distriusi Poisso dega ilai harapa λt Jadi utu semua t, s >, t e ( ( ( ( λ λt Ρ Nt+ s Ns= =, =,,! (Ross 3 Dari syarat (iii dapat dilihat ahwa proses Poisso memilii ireme yag stasioer Dari syarat ii juga dapat diperoleh: E (N(t = λt Defiisi 3 (Proses Poisso Ta Homoge Suatu proses Poisso {N(t, t } diseut proses Poisso ta homoge jia laju λ pada semarag watu t merupaa fugsi ta osta dari t yaitu λ(t Selajutya λ(t diseut fugsi itesitas dari proses terseut (Ross 3 Defiisi 3 (Fugsi Periodi Suatu fugsi λ diseut periodi jia λ( s + = λ( s utu semua s da, dega meyataa himpua ilaga ulat Kostata tereil yag memeuhi persamaa di atas diseut periode dari fugsi λ terseut (Browder 996 Defiisi 3 (Proses Poisso Periodi Proses Poisso periodi adalah proses Poisso ta homoge yag fugsi itesitasya adalah fugsi periodi (Magu
5 Defiisi 33 (Fugsi Itesitas Gloal N, adalah proses Poisso Misala ([ ] pada iterval [,] Fugsi itesitas gloal θ dari proses Poisso ii didefiisia seagai ΕN ([, ] θ = lim jia limit di atas ada Lema (Fugsi Itesitas Gloal Jia N([,] adalah proses Poisso periodi dega fugsi itesitas λ, maa limit di atas ada da θ = λ ( s ds Buti: lihat Lampira Beerapa Defiisi da Lema Teis Defiisi 34 (Fugsi Teritegrala Loal Fugsi itesitas λ adalah teritegrala loal, jia utu semarag himpua Borel teratas B ita peroleh μ B = λ s ds < ( ( B (Dudley 989 Defiisi 35 (( da o( Simol-simol ii merupaa ara utu memadiga esarya dua fugsi u(x da v(x dega x meuju suatu limit L (i Notasi u( x = ( v( x, x L, meyataa ahwa u ( x v( x teratas, utu x L (ii Notasi u( x = o( v( x, x L, meyataa ahwa u ( x v ( x x L (Serflig 98 Lema 3 (Teorema Fuii Misala (X, A, μ da (Y, B, μ adalah dua ruag uura σ-fiit Jia f atau f dμ < maa (, ( ( = XY = f ( x, y μ ( μ ( dy Y X f x y μ dy μ f dμ XxY Lema 4 (Pertasamaa Cheyshev Jia X adalah peuah aa dega ilai harapa μ da ragam σ, maa utu setiap >, σ Ρ{ X μ } Buti: lihat Lampira Lema 5 (Pertasamaa Cauhy-Shwarz Utu setiap X da Y erlau Ε( XY Ε( X Ε ( Y Buti: lihat Lampira 3 Lema 6 (Teorema Deret Taylor Deret Taylor dari fugsi f di a (atau di seitar a atau yag erpusat di a memeuhi persamaa ( f ( a f( x = ( xa =! ( ( f ( a f ( a = f( a + ( x a + ( xa +!! Buti: lihat Stewart 999 Lema 7 (Teorema Limit Pusat(CLT Misala { X i } adalah arisa peuah aa yag eas dega masig-masig memilii ilai harapa { μ i } da ragamya erilai terhigga suatu, maa { i } σ Jia B = σ i da utu i v v v > EXi μi = ob (,, i= X i i adalah ormal asimtoti dega ilai harapa B, diotasia i i μ da ragam D X i AN μi, B i i Buti: lihat Serflig 98 Buti: lihat Durret 996
HASIL DAN PEMBAHASAN Perumusa Peduga Bagi θ Misala N adalah proses Poisso pada iterval [, dega rataa μ yag otiu mutla, da fugsi itesitas λ yag teritegrala loal Utu setiap himpua Borel teratas B, maa μ( B =Ε N( B = λ( s ds < Fugsi λ diasumsia terdiri atas dua ompoe yaitu ompoe periodi λ, dega periode > (dietahui da ompoe tre yag erupa fugsi pagat as, dega oefisie a dietahui da ( semarag ilaga yata da diasumsia dietahui Dega ata lai, utu setiap s [,, fugsi itesitas λ dapat ditulisa seagai λ( s = λ ( s + as ( dega λ ( s adalah fugsi periodi dega periode Dalam tulisa ii, diahas perumusa pedugaa fugsi itesitas gloal θ utu semarag ilai dimaa < < Utu asus = telah diaji pada jural Helmers da Magu ( Sedaga utu = telah diaji pada Magu (5 Seelumya ita asumsia λ adalah periodi sehigga persamaa λ( s + = λ ( s ( erlau utu setiap s [, da, dega adalah himpua ilaga ulat Di sii ita perhatia proses Poisso pada [, area λ harus memeuhi ( da harus ta-egatif Dega alasa yag sama, ita haya perhatia utu asus a> Misala utu suatu ω Ω, ita haya memilii seuah realisasi N ( ω dari proses Poisso N yag didefiisia pada ruag peluag (Ω,F,P dega fugsi itesitas λ seperti pada (, yag diamati pada iterval teratas [,] Tujua ita dalam pemahasa ii adalah utu mempelajari peyusua peduga osiste agi itesitas gloal θ = μ( [, ] λ ( s ds = (3 dari ompoe periodi λ dari fugsi itesitas λ pada ( Pada tulisa ii, ita asumsia ahwa periode dietahui (seperti: satu hari, satu B miggu, da lai-lai, tetapi fugsi λ pada [, tida dietahui Kita asumsia oefisie a adalah dietahui Pada situasi ii ita defiisia peduga θ seagai eriut ˆ ( N([ s+ /, s+ + / ] θ = = ( a (4 dega adalah ilaga ulat teresar yag leih eil atau sama dega, yaitu = Peduga dari θ yaitu ˆ θ diperoleh dari s+ + / θ = λ ( x (5 s+ / utu setiap x [, da setiap ilaga ulat positif Misala L, = =, maa dega (5 diperoleh θ = θ L, = = L s+ + /, = s+ / λ ( x Dega megguaa persamaa ( da ( maa uatitas di atas sama dega s+ + / θ = ( λ( x ax L, = s+ / s+ + / = L, = s+ / s+ + / L, = s+ / λ( x ax Dega peruaha atas itegral pada suu edua ruas aa persamaa di atas, maa diperoleh s+ + / θ = λ( x L = L, = s+ / / a ( x s L, = / E N([ x+ s, x+ s+ ], = + +
7 / a ( x + s+ L, = / (6 Perhatia ahwa ( x+ s+ = ( + ( (7 Suu edua pada ruas aa persamaa (6 mejadi / a ( x + s+ L, = / / a = (( + ( d L x, = / a (( = + ( L, = a = + ( L, = a = + ( L, a L, Dega meggati EN mejadi N, persamaa (6 dapat ditulisa seagai eriut N([ s+ /, s+ + /] θ L, = a L, (8 Karea L, utu, maa diperoleh: ( N([ s+ /, s+ + / ] θ = ( a (9 Keosistea ˆ θ Teorema : (Keosistea ˆ θ Misala fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegrala loal, maa ˆ P θ θ jia ( Dega ata lai, ˆ θ merupaa peduga yag osiste agi θ MSE dari ˆ θ overge e jia Buti:Teorema aa diutia setelah uti Teorema, Teorema 3, da Teorema 4 Pedeata Asimtoti utu MSE dari ˆ θ Teorema : (Pedeata Asimtoti utu Bias dari ˆ θ Misala fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegrala loal, maa ˆ as( l( Ε ( θ = θ + + jia ( Buti: Pertama, aa diutia persamaa ( Nilai harapa dari persamaa (4 adalah ˆ ( Ε N( [ s+ /, s+ + / ] Ε θ = = ( a ( Suu pertama pada ruas aa persamaa ( sama dega / ( s+ + λ( x = s+ / Dega peruaha atas itegral, maa persamaa diatas mejadi / ( = λ( x s = + + / Dega persamaa ( diperoleh / ( = λ( ( x s a x s + + + + + = / / ( = λ( x+ s+ = / / ( + ax ( + s+ = / (3 Dega persamaa (, suu pertama ruas aa persamaa (3 mejadi / ( λ ( x s = + / / ( = λ ( x s + / Dietahui ahwa = + ( = = (4 (5 jia (Lihat Tithmarsh 96 Dega mesustitusia persamaa (5 pada ruas aa persamaa (4 diperoleh
8 / ( λ ( x s + / = / ( = λ ( ( x s + + / / / ( = λ ( x+ s + λ( x+ s ( / / / = λ ( x s + + / jia (6 Dega peruaha atas itegral, maa ruas aa persamaa (6 mejadi s+ / λ ( x + s / = θ + jia (7 Suu edua pada ruas aa persamaa (3 mejadi ( / = / ax ( + s+ ( + + = / a x s / = Perhatia x+ s+ x+ s = + = = x s (8 ( x+ s ( x+ s = + + ( = = + (l ( + + ( jia (9 Dega mesustitusia persamaa (9 pada ruas aa persamaa (8 dapat diperoleh ( l( = a s a( + + jia ( Dega meggauga persamaa(7 da persamaa (, maa persamaa (3 teruti seagai eriut Ε ˆ as ( l( ( θ = θ + + = as( l( θ + + jia Maa Teorema teruti Teorema 3: (Pedeata Asimtoti utu Ragam dari ˆ θ Misala fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegrala loal, maa ˆ a( ( θ Var( θ = + ( + ( utu < <, ( ( l Var( ˆ θ = a + ( utu =, da ( ˆ a( Var( θ = + ( utu < <, (3 jia Buti: Aa diutia persamaa (, (, da (3 Catata, utu setiap j, j, =,,, maa s+ j /, s+ j + / da ([ ] ([ s /, s /] + + + tida salig tumpag tidih (tida overlap Sehigga Ns+ j /, s+ j+ / da ([ ] ([ /, s /] N s+ + + adalah eas, utu j Telah didefiisia peduga agi θ yaitu ˆ θ pada persamaa (4 Sehigga Var( ˆ θ dapat dihitug seagai eriut: Var( ˆ θ ( = Var( N ( ([ s /, s /] + + + = s+ + / ( = λ( x ( = s+ / Dega megguaa persamaa (, maa Var( ˆ θ ( / ( = / + = λ ( x + s + ax ( + s+ / ( = λ ( ( x s = + + / / ( + ax ( s ( = + + / Kemudia, dega persamaa ( diperoleh
9 Var( ˆ θ ( / = λ ( x+ s ( = / / ( + ax ( + s + ( = / = + / ( λ ( ( x s / = / ( + ax ( + s+ ( = / (4 Perhatia ahwa i = + ( utu < < = ii = l( + ( utu = = iii ( utu = < < = jia (Lihat Tithmarsh 96 (5 Dega megguaa persamaa (5, ita agi mejadi 3 asus Terleih dahulu ita uraia utu asus pertama < < Suu pertama pada ruas aa persamaa (4 mejadi / ( λ ( ( x s + / = / ( = λ ( + ( ( x s + / / λ ( x s ( / = ( ( + + = ( θ ( ( + = + ( θ ( ( jia (6 Sustitusia persamaa (7 pada suu edua ruas aa persamaa (4 mejadi / ( ( = / / ( = / / ax ( + s+ ( a = ( + ( d ( x a = ( = / ( / ( a + ( ( = / a( = ( + ( = jia Sustitusia persamaa (5 pada persamaa diatas maa suu edua pada ruas aa persamaa (4 sama dega a( + ( jia (7 Sehigga diperoleh, utu < <, ˆ a( ( θ Var( θ = + ( + ( jia Dega ara yag sama utu asus edua = seagai eriut ( l Var( ˆ θ = a + ( jia, da utu asus etiga < < seagai eriut ˆ a( Var( θ = + ( jia Maa Teorema 3 teruti Teorema 4: (Pedeata Asimtoti utu MSE dari ˆ θ Misala fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegrala loal, maa MSE( ˆ θ a θ ( + + ( asl( ( ( l utu < <, (8 MSE( ˆ θ = + ( ( ( + l( = + ( ( utu a ( as ( l =, da (9
MSE( ˆ θ ( a + as = ( ( l( + l ( ( utu < <, (3 jia Buti Berdasara Defiisi 3 maa ( MSE( ˆ θ = Var( ˆ θ + Bias( ˆ θ (3 Dari Teorema da Teorema 3 maa ( ˆ MSE θ utu asus < < diperoleh MSE( ˆ θ a θ ( = ( + ( + ( as( l( + + = a( + ( θ + ( ( ( + as( l( l ( ( + a θ ( + + ( asl( ( ( = ( l + ( jia Sedaga utu asus = diperoleh MSE( ˆ θ a( l = + ( as( l( + + a( l = + + l + ( ( as( l( ( ( a ( + ( asl( ( l = + ( ( jia da utu asus < < diperoleh MSE ( ˆ θ a( = + ( as( l( + + ( as( l( a( l = + + ( ( ( = a( + as( l( + l ( ( jia Maa Teorema 4 teruti Buti Teorema : Dega megguaa persamaa (, diperoleh ˆ as( l( lim Ε ( θ = lim θ+ + = θ Atau dapat ditulis seagai Ε ( ˆ θ = θ + o(, jia (3 Sedaga dari persamaa (, ( da (3 lim Var( ˆ θ = Dapat ditulis juga seagai Var( ˆ θ = o(, jia (33 Selajutya, aa diutia ahwa ˆ θ adalah peduga osiste agi θ, yaitu ahwa utu setiap ε > erlau Ρ ˆ θ θ > ε, jia ( Ruas iri persamaa di atas dapat ditulis seagai eriut Ρ ˆ θ θ > ε =Ρ ˆ θ Ε ˆ θ +Ε ˆ θ θ > ε ( ( (34 Dega etasamaa segitiga maa persamaa (34 mejadi Ρ ˆ θ Ε ˆ θ +Εˆ θ θ > ε ( ( θ θ ε θ θ =Ρ ˆ Ε ˆ > Εˆ (35 Berdasara persamaa (3, maa ada o sehigga ˆ ε Εθ θ, (36 utu setiap > o
Dega mesustitusia persamaa (36 pada persamaa (35, maa ruas aa persamaa (35 mejadi ˆ ˆ ε =Ρ θ Ε θ > Kemudia diperoleh ( ˆ ˆ ˆ ε Ρ θ θ > ε Ρ θ θ Ε > Dega megguaa pertasamaa Cheyshev, maa 4 ( ˆ ˆ ˆ ε Var θ Ρ θ Ε θ > ε (37 Dega (33, maa ruas aa persamaa (37 overge e jia Mea Squared Error-ya adalah MSE( ˆ θ = Bias ( ˆ θ + Var( ˆ θ Dega megguaa persamaa (8, (9, da (3 diperoleh MSE( ˆ θ = o(,jia, dega ata lai MSE( ˆ θ,jia Maa Teorema teruti Seara Normal Asimtoti Peduga ˆ θ Teorema 5 : (Seara Normal Asimtoti Peduga ˆ θ Misala fugsi itesitas λ memeuhi ( da teritegrala loal, maa ( ˆ θ ( a D ( θ Normal, ( jia Buti : Terleih dahulu ita tulis ruas iri (38 ( ( ˆ ( ( ˆ ˆ θ θ ˆ θ θ θ = ( E + (E θ (38 Sehigga utu memutia Teorema 5 di atas, uup diutia ( ( ˆ E ˆ D θ θ Normal(, a( (39 da ( ˆ (E θ θ (4 Pertama aa diutia etu (39 di atas Perhatia ruas iri (39 dapat ditulis ( ( ˆ E ˆ ( ˆ θ θ Var θ (4 Var( ˆ θ Kita aa meerapa Teorema Limit Pusat (CLT pada Lema 7 utu memutia etu (4 overge e ruas aa etu (39 Misala N([ s+ /, s+ + /] X = a + Utu setiap j, j, =,,, maa ([ s j /, s j /] ([ s /, s /] + + + da + + + tida salig tumpag tidih (tida overlap Sehigga Ns+ j /, s+ j+ / da ([ ] ([ /, s /] N s+ + + adalah eas, utu j harapa peuah aa N s EX / Utu semarag, ilai X diperoleh ([ /, s /] + Ε + + + = a = λ( x+ s+ + ax ( + s+ a / / / / / / / a / / + a = λ ( x+ s+ + ( x+ s+ a + + = λ ( x+ s + ( + ( a θ + + = + a a + = jia, sedaga ragam peuah aa X diperoleh Ε N [ s+ /, s+ + / ] Var( X = ( / = λ ( x + s+ + a( x+ s+ / / / a = λ( x+ s+ + ( x+ s+ / / / / a λ / / = ( x+ s + ( + ( + θ a = + + + a = + jia Misala diperoleh B 4 = Var( X = maa
B a + 4 = + = + = a + ( = = Utu asus yag pertama, diperoleh B a 4 + = + a = + ( ( 4 ( a = + ( 3 ( jia Selajutya ita tetua = E = = = ( X EX 4 N([ s+ /, s+ + / ] E N([ s+ /, s+ + /] < < = 4 ( N([ s+ /, s+ + / ] E N([ s+ /, s+ + /] Karea N meyear Poisso, maa persamaa diatas mejadi 4 ( E N ([ s+ /, s+ + /] = ( N s s + 3E ([ + /, + + /] = 4 ( E N ([ s+ /, s+ + /] = ( N s s + 3E ([ + /, + + /] (4 Perhatia ahwa Ε N( [ s+ /, s+ + / ] Var( X = (43 Dega mesustitusia persamaa (43 pada ruas aa persamaa (4 diperoleh E = ( X EX = Var( X 3 ( + = 4 ( Var X 4 4 a + a + = + + 3 + 3 4 = = + = ( + 3a 3 ( 3 ( + = 3a + 3 = = 4 3a = + ( 4 a 3 = + ( jia ( ( Perhatia ahwa overge e jia, sehigga o( = Persamaa diatas dapat ita tulisa seagai = 4 4 4 ( X X = o B = o( B E E ( jia Ahirya diperoleh arisa X merupaa arisa peuah aa eas yag ilai harapaya erilai terhigga da ragamya erilai terhigga da tida ol utu semarag Dega demiia peduga θ dapat dipadag seagai jumlah ˆ dari peuah aa yag eas yag dialia suatu ostata yaitu ˆ ( θ = X = yag meyear ormal asimtoti dega ilai harapa E( ˆ θ da ragam Var( ˆ θ, maa diperoleh ( ˆ θ E ˆ θ D Normal(, Var( ˆ θ (44 jia Maa utu memutia (39, tiggal diutia ( ˆ θ Var( a( jia Berdasara Teorema 3 diperoleh ( ˆ Var( θ ( ( θ a( = + + ( ( ( ( ( θ a( = + + (
3 a( ( = + jia Perhatia ahwa overge e jia, sehigga ( = o Misal x = a( + o(, f ( x = x Berdasara Teorema Deret Taylor, maa f '( a( f( x = f(( a + ( xa(! f '( a( ( ( + xa +! o( ( o( = a( + + 3 3 a( 4 a ( = a( + o( Dega ara yag sama diperoleh hasil yag sama utu = da < < Sehigga (39 teruti Utu memutia (4 ita guaa Teorema sehigga diperoleh ( (E ˆ θ θ ( as( l( = + = o( jia ( ˆ Dega ata lai (E θ θ jia maa (4 teruti Jadi Teorema 5 legap teruti KESIMPULAN Pada tulisa ii diaji suatu metode utu meduga fugsi itesitas gloal dari ompoe periodi suatu proses Poisso periodi dega tre fugsi pagat as Diasumsia ahwa periode dietahui, oefisie a dietahui tetapi fugsi λ pada [, tida dietahui Pada situasi ii ita guaa peduga θ seagai eriut ˆ ( N([ s+ /, s+ + / ] θ = = ( a, adalah ilaga ulat teresar yag leih eil atau sama dega Dari hasil pegajia yag dilaua, dapat disimpula ahwa: (i Kuatitas ˆ θ merupaa peduga osiste agi θ, serta MSE( ˆ θ, jia (ii Bias dari ˆ θ adalah ˆ as( l( Bias ( θ = + jia Var( ˆ θ = a( ( + θ ( + ( utu < <, Var( ˆ θ = a( l ( + utu =, da ˆ a( Var( θ = + ( utu < <, jia (iv Seara Normal Asimtoti dari ˆ θ ( ˆ θ ( a D ( θ Normal, ( jia (iii Ragam dari ˆ θ adalah
DAFTAR PUSTAKA Browder, A 996 Mathematial Aalysis : A Itrodutio Spriger New Yor Dudley, R M 989 Real Aalysis ad Proaility Wadsworth & Broos Califoria Durret, R 996 Proaility : Theory ad Examples Ed e- Duxury Press New Yor Grimmett, G R da D R Stirzaer 99 Proaility ad Radom Proesses Ed e- Claredo Press xford Ghahramai, S 5 Fudametals of Proaility with Stohasti Proesses Ed e-3 Pearso Pretie Hall New Jersey Helmers, R da I W Magu Statistial Estimatio of Poisso Itesity Futio Proeedigs of the SEAMS-GMU Iteratioal Coferee o Mathematis ad Its Appliatios, Yogyaarta, July 6-7, 999, p 9- Hogg, R V da A T Craig 995 Itrodutio to Mathematial Statistis Ed e-5 Pretie Hall, Eglewood Cliffs New Jersey Magu, I W Estimatig the Itesity of a Cyli Poisso Proess (PhDThesis Uiversity of Amsterdam Amsterdam Magu, I W 5 A Note o Estimatio of The Gloal Itesity of a Cyli Poisso Proess i The Presee of Liear Tred Joural of Mathematis ad Its Appliatios Vol 4 No Ross, S M 3 Itrodutio to Proaility Model Ed e-8 Aademi Press I rlado, Florida Serflig, R J 98 Approximatio Theorems of Mathematial Statistis Joh Wiley & Sos New Yor Stewart,J 999 Kalulus Jilid Ed Ke-4 Peerit Erlagga Jaarta Taylor, H M ad S Karli 984 A Itrodutio to Stohasti Modelig Aademi Press, I rlado, Florida Tithmarsh, E C 96 The Theory of Futios xford Uiversity Press Lodo
LAMPIRAN
6 Lampira Pemutia Lema Lema (Fugsi Itesitas Gloal Jia N([,] adalah proses Poisso periodi dega fugsi itesitas λ, maa pada Defiisi 33 ada da θ = λ ( s ds ΕN lim ([, ] Buti: Berdasara Defiisi 9, dietahui ahwa ([, ] ([ ] μ, = λ ( s ds, sehigga Ε, = λ ( s ds ([ ] N memilii seara Poisso dega parameter leh area itu, maa ΕN( [, ] lim = lim ( s ds λ (45 Misala = da r = Maa r < Sehigga ruas aa (45 sama dega lim λ ( s ds λ ( s ds lim λ ( s ds lim λ ( s ds + = + (46 Perhatia ahwa limit pada suu edua pada (46 erilai ol Maa tiggal meujua ahwa λ s ds = lim ( ( s ds λ Utu memperoleh hal di atas, ita tulis ruas iri (47 seagai eriut lim λ ( s ds Perhatia ahwa (47 λ( s ds = λ( s ds ( s ds = λ Maa limit pada (48 dapat dihitug seagai eriut r λ( s ds lim λ( s ds lim = r = λ ( s ds lim = λ ( s ds Jadi, utu asus N( [, ] adalah proses Poisso periodi dega fugsi itesitas λ yag periodi dega periode, maa θ = λ ( s ds Lema teruti (48
7 Lampira Pemutia Lema 4 Lema 4 (Pertasamaa Cheyshev Jia X adalah peuah aa dega rataa μ da ragam σ, maa utu setiap >, σ Ρ{ X μ } (Ross 3 Buti : Utu memutia pertasamaa Cheyshev diperlua Pertasamaa Marov (Lema 8 eriut: Lema 8 (Pertasamaa Marov Jia X adalah peuah aa yag taegatif, maa utu setiap a >, Ε( X Ρ{ X a} a Buti : Jia X otiu dega fugsi epeata peluag f, maa Ε ( X = x f( x a = x f( x + x f( x a a = a xf( x af( x a f( x a = aρ{ X a} Utu asus X disret, dapat diutia dega ara serupa, yaitu dega meggati itegral dega otasi pejumlaha serta fugsi epeata peluag dega fugsi erapata peluag Jadi Ε( X aρ{ X a} Ε X Ρ a Sehigga dapat ditulis ( X a Jadi Lema 8 teruti Selajutya dega Pertasamaa Marov (Lema 8, maa ita dapat memutia Lema 4 ( ( μ ( μ Ρ X =Ρ X Ε σ = Jadi Lema 4 teruti ( X μ
8 Lampira 3 Pemutia Lema 5 Lema 5 (Pertasamaa Cauhy-Shwarz Utu setiap peuah aa X da Y erlau Ε( XY Ε( X Ε ( Y (Ghahramai 5 Buti: Utu setiap ilaga real a, ( X ay Sehigga X axy + Y Karea peuah aa taegatif memilii ilai harapa taegatif, maa Ε( X axy + a Y Ε( X aε ( XY + a Ε( Y Misala A =Ε ( Y, B = Ε ( XY,da C =Ε ( X Perhatia ahwa jia poliom derajat dua memilii palig aya seuah aar real maa disrimiaya tapositif Sehigga [ ] B 4AC 4 Ε( XY 4 Ε( X Ε( Y [ ] Ε( XY Ε( X Ε ( Y Kemudia jia edua ruas diaara maa Ε( XY Ε( X Ε( Y Ε( XY Ε( X Ε ( Y Jadi, Lema 5 teruti