JP : Volue 4 Noor Ju 0 hal. 4-5 LEA HENSTOCK PADA NTEGRAL uslch Jurusa ateata FPA UNS uslch_us@yahoo.co ABSTRACT. Based o the cshae e partto ad cshae tegral t ca be arraged the e partto ad tegral cocepts. Furtherore t s dscussed soe sple propertes o tegral ad Lea Hestoc. Keywords: Lea Hestoc cshae partto ad cshae tegral. ABSTRAK. Berdasara osep parts cshae e da tegral cshae dapat dbagu osep parts e da tegral. Keuda dbahas beberapa sat sederhaa tegral da Lea Hestoc. Kata Kuc: Lea Hestoc parts cshae da tegral cshae.. PENDAHULUAN Jes tegral dapat dlasasa ead dua aca yatu es tegral desrpt da es tegral ostrut. Ahr-ahr e dua es tegral tersebut egala perebaga yag cuup pesat. Hubugaya dega perebaga es tegral ostrut Jae yug Par et al [3] berhasl eyusu tegral yag daaa dega tegral. tegral dsusu berdasara osep tegral cshae. eurut Jae yug et al [] aupu Jarolav Kurzwel et al [6] dataa bahwa tegral cshae evale dega tegral Lebesgue da selautya oleh Tuo-Yeog Lee [7] dataa bahwa tegral cshae erupaa betu tegral ostrut dar tegral Lebsgue. D dala tulsa P dasud oles pasaga selag tt. {( dega Berdasara pasaga selag tt P {( ba Gordo [6] aupu D.H. Frel [] edesa osep parts cshae e da tegral cshae sebaga berut.
4 uslch Des. dataa parts cshae e pada [ a a P {( ( ) ( ) ( Des. Fugs a R dataa tertegral cshae pada [ a dtuls a terdapat blaga real A sehgga utu setap 0 terdapat ugs post () a R sehgga utu setap parts cshae e pada [ a P {( ( ) A Selautya Jae yug Par et al [3] da Jae yug Par et al [4] edesa osep parts [ a sebaga berut. e pada [ a da tegral pada Des.3 P {( dataa parts e pada [ a utu suatu osta 0 a parts cshae e pada [ a da P {( eeuh d( ) dega d( ) { x : x} Dbera parts e pada da ugs P {( a R euda dbetu ulaha S( P) ( ). Dar osep S( P) tersebut ddesa tegral ugs pada sebaga berut. Des.4 Dbera blaga real 0. Fugs a R dataa tertegral pada [ a dtuls a terdapat blaga real A sehgga utu setap 0 terdapat ugs post () a R sehgga utu setap parts e pada [ a P {( ( ) A
Lea Hestoc Pada tegral 43 Blaga A dsebut la tegral pada [ a da dotasa dega A ( ) dx. Fugs tertegral pada E a ugs E tertegral pada [ a da ( ) ( ) E. E Berdasara osep tegral peuls bertuua utu ebahas ebal tulsa Jae yug Par et al [] tetag sat-sat tegral da Lea Hestoc yag beraaat elegap peryataa-peryataa yag dpadag perlu.. HASL DAN PEBAHASAN Berdasara pada osep parts e pada P {( da osep tegral pada [ a aa aa dbahas beberapa sat sederhaa tegral da Lea Hestoc. Utu eudaha dala pebahasa da ( ) berturut-turut cuup dtuls dega P {( P {( da ( ). Teorea. Dbera a R. Ja ugs tertegral pada [ a aa la tegralya tuggal. But. Dbera sebarag 0. Adaa la tegral ugs pada [ a tda tuggal sebut A ( ) dx da ( ) B dx dega A B aa terdapat ugs post ( ) a R sehgga utu setap parts e P {( pada [ a ( ) A
44 uslch da terdapat ugs post ( ) a R sehgga utu setap parts e P {( pada [ a ( ) B. Ddesa ugs post () a R dega ( ) { ( ) ( aa utu setap parts e P {( pada [ a A B = A ( ) ( ) B A ( ) ( P ) ( ) B = Karea utu setap 0 aa A=B ad pegadaa salah yag bear la tegral ugs pada adalah tuggal. Teorea. erupaa ruag lear yatu a g : R tertegral pada [ a da blaga real aa g da tertegral pada da a. ( g) dx = dx b. dx= dx But. a.dbera sebarag 0. Detahu g : R tertegral pada [ a aa terdapat ugs post ( ) a R sehgga utu setap parts gdx e P {( pada [ a ( ) A da terdapat ugs post ( ) a R sehgga utu setap parts e P" {( pada [ a ( P") g( ) B
Lea Hestoc Pada tegral 45 Ddesa ugs post () a R dega ( ) { ( ) ( aa utu setap parts e P {( pada [ a ( g)( ) ( A B) ( P ) ( ( ) A ( P ) ( g( ) B ( ) = Jad g tertegral pada da ( g) dx = A B = dx b. Selautya uga ( P ) ( ) A ( ) A ( ) gdx. Jad tertegral pada da dx= A= dx Berut dbera Teorea Cauchy yag dapat dperguaa utu eetua rtera apaah suatu ugs tertegral pada [ a. Teorea.3 (Teorea Cauchy) Dbera a R. Fugs tertegral pada a haya a utu setap 0 terdapat ugs post () a R sehgga utu setap dua parts P" {( pada [ a But. a. Syarat perlu. ( P ) ( ) ( P") ( ) e P {( da Dbera sebarag 0.Detahu a R tertegral pada [ a aa terdapat ugs post () a R sehgga utu setap parts e P {( pada [ a
46 uslch ( ) dx Dega dea utu setap parts pada [ a ( P ) ( ) ( P") ( ) ( P) ( ) dx dx ( P") e P {( da P" {( ( ) = b. Syarat cuup. eurut asus utu setap 0 terdapat ugs post () a R sehgga utu setap dua parts P {( pada [ a e P {( da ( P ) ( ) ( P ) ( ) Utu setap blaga asl dplh ugs () : R sehgga utu setap dua parts e P {( da P {( pada [ a P ) ( ) ( P ) ( ) ( Dasusa { } erupaa bars turu ooto. Utu setap blaga asl sala P {( erupaa parts e pada [ a aa {( P ) ( ) } erupaa bars Cauchy berabat {( P ) ( ) overge sebut l ( P ) ( ) = A ad dapat dplh blaga asl terecl N> sehgga utu N berabat da N
Lea Hestoc Pada tegral 47 ( P ) ( ) A hususya ( P N ) ( ) A Ja P {( erupaa parts N e pada [ a aa ( P ) ( ) A ( ) ( PN ) ( ) ( P N ) ( ) A N = Jad tertegral pada [ a dega dea teorea terbut. Teorea.4 Dbera a R. Ja tertegral pada [ a aa tertegral pada setap selag baga [ c d] [ a. But. Detahu tertegral pada [ a aa eurut Teorea.3 utu setap >0 terapat ugs post () a R sehgga utu setap dua parts e P {( da P" {( pada [ a ( P ) ( ) ( P") ( ) Abl sebarag parts e P {( da P3 {( pada [ c d] parts e P {( pada [ a da parts e P {( pada [ d aa udah dpaha bahwa 4 erupaa parts P P P 3 P P" P P P e pada sehgga dperoleh ( 3 D ) ( ) ( D ) ( ) ( P ) ( ) ( P") ( ) 4 4
48 uslch Karea P da P 3 sebarag parts aa ugs tertegral e pada [ c d] pada [ c d] utu setap [ c d] [ a. eurut Teorea.3 Teorea.5 Dbera a R. Ja tertegral pada da [ c aa tertegral pada [ a da dx = dx dx. [ c But. Dbera sebarag >0 da sala A ( ) dx da B ( ) dx aa terdapat ugs post [ c ( ) a R sedea hgga utu setap parts da terdapat ugs post parts e P {( pada : ( P ) ( ) A ( ) c R sedea hgga utu setap e P" {( pada [ c ( P") ( ) B Ddesa ugs post () a R. dega ( ) = { ( ) c } a [ a c) { ( c) ( c a c { ( ) c} a ( c Apabla P {( erupaa parts e pada aa c erupaa salah satu tt partsya da udah dpaha a P P P dega P {( da P {( berturut-turut erupaa parts e pada da [ c aa ( ) ( A B) ( P ) ( ( ) A ( P ) ( g( ) B =
Lea Hestoc Pada tegral 49 Karea utu sebarag >0 aa tertegral dx = A B = dx [ c pada gdx. da Teorea.6 (Lea Hestoc) Dbera a R. Ja tertegral pada yatu utu setap 0 terdapat ugs post () a R sehgga utu setap parts e P {( pada [ a ( ) aa utu setap parts e baga dar P {( P {( ( P ) ( ) ( ) But. Dbera 0 sala adalah parts e baga dar P {( P {( dega... adalah selag-selag pada parts P sedaga... adalah selag-selag ssaya sehgga [ a = ( ) ( ). Karea tertegral pada aa tertegral pada utu setap 3... dega dea terdapat ugs post () : R sehgga utu setap parts e P pada ( P ) ( ) Dbetu P P P ( ) aa P erupaa parts e pada [ a da
50 uslch sehgga berabat ( ) = ( ) ( ) ( ) ( = ( ) ( ) ) ( ) ( P) ( ) ( ) ( P) ( ) ( ) =. Dega dea Teorea terbut. 3. KESPULAN Dar hasl pebahasa d atas dperoleh beberapa espula atara la () erupaa ruag lear da () bahwa Lea Hestoc pada tegral yatu a dbera ugs a R da tertegral pada aa utu setap 0 terdapat ugs post () a R sehgga utu setap parts e P {( pada [ a ( ) aa utu setap parts e baga dar P {( P {(
Lea Hestoc Pada tegral 5 ( P ) ( ) ( ). DAFTAR PUSTAKA D. H. Frel (994) The Hestoc ad cshae tegral o Vector Valued Fucto llos o Joural atheatcs 38(3) 47-479. Jae yug Par ad Deo Ho Lee (996) The Deoy Exteso o The cshae tegral Bull. Korea ath. Soc. 33(3) 4-46. Jae yug Par Hyug Wo Ryu ad Hoe Kyug Lee (00) The - tegral Joural o The Chugcheog atheatcal Sosety 3() 99-08. Jae yug Par Deo Ho Lee Yu Ha Yoo ad Hoe Kyug Lee (00) The tegrato By Parts For The- tegral Joural o The Chugcheog atheatcal Sosety 3(4) 86-870. Jaroslav Kurzwel & S. Schwab (99) cshae Equtegrablty ad Vtal s Covergece Theore e-al address: urzwel@ath.cas.cz schwab@ath.cas.cz. R.A. Gordo (994) The tegrals o Lebesgue Deoy Perro ad Hestoc Graduate Studes atheatcs Volue 4 Aerca atheatcal Socety. Tuo-Yeog Lee (004) Soe ull Characterzatos o the Strog cshae tegral atheatca Boheca 9(3) 305-3.